Funções Contínuas

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Cálculo VII - Prof. Fábio Pacheco Ferreira 1 
 
UFF - Infes 
LIMITE E CONTINUIDADE 
 
Já vimos que os conceitos de limites e continuidade para funções de várias variáveis são 
análogas aos estudados em funções de uma variável. Ou seja, intuitivamente, vimos que o limite 
de ),( yxf quando ),( yx tende ao ponto ),( 00 yx é o número L (se existir) do qual se aproxima 
),( yxf quando ),( yx se aproxima de ),( 00 yx , por qualquer caminho, sem no entanto ficar 
igual a ),( 00 yx . 
Representamos esta ideia da seguinte forma: 
 
Lyxf
yxyx
=
→
),(lim
),(),( 00
 
 
Obs.: Caso L seja igual a ),( 00 yxf , dizemos que f é contínua em ),( 00 yx ; caso 
contrário, f é dita descontínua em ),( 00 yx . 
 
Exemplo 1.1: Seja yxyxf += 2),( . O limite de ),( yxf quando ),( yx se aproxima do 
ponto )3,1( é o número 5, e escrevemos 
 
5),(lim
)3,1(),(
=
→
yxf
yx
 
 
E, como 5)3,1( =f , f é contínua em )3,1( . 
 
Exemplo 1.2: Seja a função 



=
≠+
=
).3,1(),(,6
),3,1(),(,2
),(
yxse
yxseyx
yxf . O limite de ),( yxf 
quando ),( yx se aproxima do ponto )3,1( é 5. Ou seja, 
 
5),(lim
)3,2(),(
=
→
yxf
yx
 
 
E, como 6)3,1( =f , f é descontínua em )3,1( . 
 
Teorema 1.1: São contínuas em todos os pontos de seu domínio as funções: 
 
 i) polinomiais nas variáveis x e y; 
 
 ii) racionais nas variáveis x e y. 
 
Exemplo 1.3: As seguintes funções são contínuas: 
 
a) )(,,2),( polinomialyxyxyxf ∀+= 
b) )(,,452),( 243 polinomialyxyxyyxyxf ∀−+−= 
c) )(1,,
1
2
),(
2
racionalxyquetaisyx
xy
yx
yxf ≠∀
−
+
= . 
Cálculo VII - Prof. Fábio Pacheco Ferreira 2 
 
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 Teorema 1.2: Se ),( yxf e ),( yxg são contínuas em ),( 00 yx , então serão também 
contínuas em ),( 00 yx as funções: 
1) ),(),( yxgyxf ± 2) )(),(. Rkyxfk ∈ 
 
3) ),(.),( yxgyxf 4) )0),((
),(
),(
00 ≠yxg
yxg
yxf
 
 
5) )0(),( >aa yxf 6) )0),((),(log 00 >yxfyxf 
 
7) ),(cos yxf 8) ),( yxfsen 
 
 
Exemplo 1.4: As seguintes funções são contínuas em todos os pontos de seu domínio: 
 
a) 452),( 243 −+−= yxyyxyxf b) 
yx
yx
yxf
−
+
=),( 
 
c) 
22
2),(
yx
yxf
−= d) )2ln(),( yxyxf += 
 
e) )(),( 2yxsenyxf += f) 1),( += xeyxf 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Dada a função yxyxf 34),( += , obtenha ),(lim
)1,3(),(
yxf
yx →
 e verifique se ela é 
contínua no ponto )1,3( . 
 
2) Dada a função 



=
≠++
=
)2,2(),(,10
)2,2(),(,52
),(
yxse
yxseyx
yxf verifique se ela é contínua em 
)2,2( . 
3) Em que pontos ),( yx no plano as funções a seguir são contínuas? 
 
a) )(),( yxsenyxf += b) )ln(),( 22 yxyxf += 
 
c) 
xy
senyxf
1
),( = d) 
x
yx
yxf
cos2
),(
+
+
= 
 
e) 222 2),,( zyxzyxf −+= f) 
yx
yxf
−
=
2
1
),(