Teoria Eletromagnetica II

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A.R.
J.S.
1 Equac¸o˜es de Maxwell
Lei de Gauss
→∇ . →ρ= ρ
→∇ . →B= 0
Lei de Faraday
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
Lei de Ampere
→∇ × →H=
→
j
→∇ × →H=
→
j +
∂
→
D
∂t
onde
→
D e´ a densidade de corrente de deslocamento.
1.1 Conservac¸a˜o da Energia Eletromagne´tica
UE =
1
2
∫
V
→
E .
→
D dv
Um =
1
2
∫
V
→
H .
→
B dv
No caso de campos varia´veis no tempo podemos expressar a conservac¸a˜o
de energia da seguinte forma:
→∇ × →H= j + ∂
→
D
∂t
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
→∇ .(→E × →H)
1
A.R.
J.S.
→
H .(
→∇ × →E)− →E (→∇ × →H) = − →H ∂
→
B
∂t
− →E ∂
→
D
∂t
− →E
→
j
→∇ .(→E × →H) = − →H ∂
→
B
∂t
− →E ∂
→
D
∂t
− →j →E
para meios lineares onde µ e � sa˜o independentes de t, E ou B podemos
inserir
→
D= �
→
E
→
B= µH
→
E
∂
→
D
∂t
=
∂
∂t
(
1
2
→
E .
→
D
)
→
H
∂
→
B
∂t
=
∂
∂t
(
1
2
→
H .
→
B
)
logo ∫ →∇ (→E × →H)dv = − ∂
∂t
∫ 1
2
(
→
E .
→
D +
→
H
→
B)dv −
∫ →
j
→
E dv
∫ →∇ (→E × →H)dv = ∮ (→E × →H)nˆda
aplicar a conservac¸a˜o de energia mostrando que a integral de
→
s sobre uma
a´rea que inclui a apenas a bateria = poteˆncia fornecida pela bate´ria.
1.2 Revisa˜o de Eletrodinaˆmica
Para a maioria das substaˆncias temos que
→
j= σ
→
f
onde
→
f e´ a forc¸a por unidade de carga, vamos nos ater ao caso em que esta´
forc¸a e´ eletromagne´tica
j = σ(
→
E +
→
v × →B)
2
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J.S.
geralmente
→
v e´ ta˜o pequeno que fazemos
→
j= σ
→
E (1)
esta equac¸a˜o e´ a chamada lei de ohm. Podemos provar que a diferenc¸a de
potencial entre dois eletrodos e´ proporcional a corrente, se
→
E e´ homogeˆneo
num material que obedece (1).
V = RI
R depende da forma do material, para um fio
R =
σA
L
no caso de correntes estaciona´rias e condutividade uniforme
→∇→E= 1
σ
→∇ j = 0
logo a densidade de carga e´ zero e toda carga na˜o balanceada reside na
superf´ıcie.
1.3 Forc¸a Eletromotiva
Ha´ no circuito duas forc¸as encarregadas de mover a corrente, a fonte fs,
que esta confinada na bate´ria, e a forc¸a eletroesta´tica, que serve para suavizar
o fluxo e comunicar a influeˆncia da fonte para partes do circuito.
→
f=
→
fs +
→
E
qual seja o mecanismo que gera
→
fs seu efeito e´ determinado pela integral de
linha ao redor do circuito
� =
∮ →
f .
→
dl=
∮ →
fs .
→
dl
� e´ chamada forc¸a eletromotriz.
Numa fonte ideal a forc¸a resultante nas cargas e´ 0, logo − →fs=
→
E e a
diferenc¸a de potencial entre os terminais da bateria.
v = −
∫ b
a
→
E .
→
dl=
∫ b
a
→
fs .
→
dl=
∮ →
fs .
→
dl= �
3
A.R.
J.S.
1.4 Fem Gerada por Movimento
Quando movemos um circuito na presenc¸a de um campo magne´tico cria-
mos uma fem (
→
F= q
→
v × →B) que por sua vez gera uma corrente.
Ha´ uma boa maneira de expressar a fem em um campo em um loop em
movimento seja Φ o fluxo de
→
B atrave´s do loop.
Φ =
∫ →
B
→
da
onde a fem e´ a veria´c¸a˜o no tempo do fluxo no loop.
� = −dΦ
dt
1.5 Induc¸a˜o Eletromagne´tica
Faraday concluiu atrave´s de suas experieˆncias que:
Uma mudanc¸a no campo magne´tico induz um campo ele´trico
Usando novamente que a fem e´ a variac¸a˜o do fluxo no tempo.
� =
∮ →
E .
→
dl= −dΦ
dt
onde
→
fs=
→
E em todo o circuito. Usando a definic¸a`o de Φ chegamos a uma
relac¸a˜o entre
→
B e
→
E:
∮ →
E .
→
dl= −
∫ ∂ →B
∂t
.
→
da
usando o teorema de stokes
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
1.6 Campo Ele´trico Induzido
Como vimos ha´ dois tipos de campo ele´trico: um associado a mudanc¸a no
campo magne´tico e outro associado a lei de coulomb. Para calcular o campo
devido a variac¸a˜o do campo magne´tico, podemos explorar uma analogia entre
a lei de Faraday
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
4
A.R.
J.S.
e a lei de Ampe´re
→∇ × →B= µ0
→
j
e´ claro, o rotacional na˜o e´ suficiente para a determinac¸a˜o de um campo,
precisamos do divergente tambe´m mas desde que
→
E seja um campo de faraday
puro, a lei de gauss diz que:
∇. →E= 0
enquanto que para campos magne´ticos
→∇ . →B= 0
logo podemos fazer um paralelo, pois o campo ele´trico induzido e´ totalmente
determinado por (∂B
∂t
) como
→
B e´ por µ0
→
j .
1.7 Energia em Campos Magne´ticos
Requer uma certa quantidade de energia para manter a corrente fluindo,
na˜o apenas estamos falando da energia perdida por efeito joule mas sim do
trabalho realizado contra a fem oposta. Este trabalho em uma unidade de
carga, em uma volta ao redor do circuito e´ −�. O trabalho fica
dw
dt
= −�I = IL dI
dT
integrando de um tempo onde I = 0 ate´ um valor final I
w =
1
2
LI2
Ha´ uma maneira melhor de escrever w, que tem a vantagem de ser generali-
zada para correntes superficiais e volume´tricas, lembrando que o fluxo sobre
uma espira e´ igual ha´ L.I. Por outro lado
Φ =
∫
s
→
B .
→
da=
∫
s
(
→∇ × →A).
→
ds=
∮
c
→
A .
→
dl
enta˜o
L.I =
∮ →
A .
→
dl
e assim
5
A.R.
J.S.
w =
1
2
I
∮ →
A .
→
dl=
1
2
∮ →
A .
→
I dl
nesta forma, generalizado
w =
1
2
∫
v
(
→
A .
→
J )dτ
podemos expressar w inteiramente em termos de
→
B como
→∇ × →B= µ0
→
J .
w =
1
2µ0
∫ →
A .(
→∇ × →B).dτ
integrando por partes
∇.(→A × →B) =→B (→∇ × →A)− →A (→∇ × →B)
→
A (∇× →B) =→B→B −∇.(→A × →B)
consequentemente
w =
1
2µ0
[∫
B2dτ −
∫
∇(→A × →B)dτ
]
w =
1
2µ0
[∫
V
B2dτ −
∮
s
(
→
A × →B)
→
da
]
V e´ o volume que engloba
→
j mas qualquer volume maior tambe´m serve
integrando enta˜o o espac¸o
w =
1
2µ0
∫
B2dτ
1.8 Equac¸o˜es de Maxwell
Antes de Maxwell
→∇ . →E= ρ
�0
→∇ . →B= 0
6
A.R.
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→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
→∇ × →B= µ0
→
j
estas equac¸o`es representam o estado da teoria eletromagne´tica ha´ um se´culo
atra´s quando Maxwell comec¸ou seu trabalho. Pore´m, acontece que ha´ uma
inconsisteˆncia nestas fo´rmulas, tem haver com o fato que o divergente do
rotacional e´ zero
→∇ .(→∇ × →B) = µ0(
→∇ .
→
j )
o lado esquerdo precisa ser zero, mas o lado direito, em geral, na˜o e´. Para cor-
rente estaciona´ria divergente de
→
j e´ zero, mas indo ale´m da magnetosta´tica,
a lei de Ampe´re na˜o pode estar certa.
E´ claro, na˜o temos o direito de esperar que a lei de Ampe´re estivesse certa,
pois a derivamos da lei de Biot-Savart
1.9 Como Maxwell Consertou a Lei de Ampe´re
Aplicando a equac¸a˜o da continuidade e a lei de gauss, o termo pode ser
reescrito
→∇ .
→
j= −∂ρ
∂t
= − ∂
∂t
(�0
→∇ . →E) = −∇.
(
�0
∂E
∂t
)
→∇
j + �0∂
→
E
∂t
 = 0
logo combinando os dois termos ocorre que o divergente e´ sempre nulo, se
adicionarmos na lei de Ampe´re, sera´ o suficiente para acabar com o termo
extra.
→∇ × →B= µ0
→
j +µ0�0
∂
→
E
∂t
logo concluimos que:
Uma mudanc¸a no campo ele´trico induz um campo magne´tico
Maxwell chamou seu termo extra de corrente de deslocamento.
→
jd= �0
∂
→
E
∂t
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1.10 Equac¸o˜es de Maxwell na Mate´ria
As equac¸o˜es de Maxwell vistas ate´ agora esta˜o completas e corretas.
Pore´m quando trabalhamos com materiais estes esta˜o sujeitos a polarizac¸a˜o
ele´trica e magne´tica, logo existe uma forma mais conveniente de escrever essas
equac¸o˜es. Dentro de um material polarizado ha´ acumulos de carga e corrente
sobre o qual na˜o temos controle. Seria melhor reescrever as equac¸o˜es de modo
que so´ fizessemos refereˆncia a carga e corrente que podemos controlar. No´s
ja´ aprendemos que
ρb = −
→∇ . →P
→
jb=
→∇ × →M
Ha´ so´ mais um aspecto que precisamos considerar no caso na˜o esta´tico.Qual-
quer mudanc¸a na polarizac¸a˜o ele´trica envolve um fluxo de carga ligada (
→
jp,
que deve ser incluido na coarrente total suponha que no´s examinemos um
pedac¸o de material polarizado. A polarizac¸a˜o introduz uma densidade de
carga σb = P e um lado −σb no outro. Se P aumentar um pouco, a carga em
cada lado aumenta um pouco, dando uma corrente resultante. A densidade
de corrente e´ enta˜o:
dI =
∂σb
∂t
da⊥ =
∂P
∂t
da⊥
logo a densidade de corrente e´
→
jp=
∂
→
P
∂t
.
A corrente de polarizac¸a`o na˜o tem nada haver com a corrente ligada
→
jb.
A u´ltima esta´ associada com a magnetizac¸a˜o do material e involve o spin e
movimento orbital dos ele´trons:
→
jp, pelo contra´rio, e´ o resultado do movi-
mento linear de carga quando a polarizac¸a˜o ele´trica muda. Nesta conexa˜o,
no´s podemos verificar que esta equac¸a˜o e´ consistente com a equac¸a˜o de con-
tinuidade
→∇
→
jp= ∇.
∂ →P
∂t
 = ∂
∂t
(∇P ) = −∂ρb
∂t
em vista disso, a densidade total de carga pode ser separada em duas partes
ρ = ρf + ρb = ρ−
→∇→P
e a densidade corrente em treˆs partes
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→
j=
→
jf +
→
jb +
→
jp=
→
jf +
→∇ × →M +∂
→
P
∂t
a lei de Gauss pode ser escrita como
→∇ . →E= 1
�0
(ρf−
→∇ . →P )
→∇→D= ρf
onde
→
D no caso esta´tico, e´ dado por
→
D= �0
→
E +
→
P
enquanto isso a lei de Ampe´re fica:
→∇ × →B= µ0
→jf + →∇ × →M +∂
→
P
∂t
+ µ0�0∂
→
E
∂t
ou
→∇ × →H=
→
jf +
∂
→
P
∂t
onde
→
H=
→
B
µ0
− →M
em termos de cargas e correntes livres a equac¸a˜o de Maxwell fica:
→∇ . →D= ρf
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
→∇ . →B= 0
→∇ × →H=
→
jf +
∂
→
D
∂t
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A.R.
J.S.
2 Leis de Conservac¸a˜o
Nesta sec¸a˜o estudaremos a conservac¸a˜o de energia, momento e momento
angular, em eletrodinaˆmica. Mas comec¸amos revendo a conservac¸a˜o de carga,
porque este e´ um paradigma para toda lei de conservac¸a˜o. O que ela nos diz?
Que a carga do universo e´ constante? Bem, e´ claro esta e´ a conservac¸a˜o global
da carga, mas conservac¸a˜o local da carga e´ uma afirmac¸a˜o muito mais forte.
Se a carga total em algum volume muda, enta˜o aquela quantidade exata de
carga passou pela superf´ıcie.
Formalmente, a carga em um volume V e´
Q(t) =
∫
V
ρ(
→
r , t)dτ (2)
e a corrente fluindo para fora atrave´s do contorno S e´
∫
S
→
j .
→
da, enta˜o a
conservac¸a˜o da carga diz que
dQ
dt
= −
∫
s
→
j .
→
da
usando (2) juntamente com o teorema da divergencia:
∂ρ
∂t
= − →∇ .
→
j
esta e´ a equac¸a˜o de continuidade a afirmac¸a˜o matema´tica precisa da con-
servac¸a`o local da carga como indicado anteriormente pode ser derivado das
equac¸o˜es de Maxwell conservac¸a˜o da carga na˜o e´ uma lei independente, mas
uma consequeˆncia das leis da eletrodinaˆmica.
2.1 Teorema de Poynting
Anteriormente, nos achamos o trabalho necessa´rio para juntar uma dis-
tribuic¸a˜o esta´tica de carga:
We =
�0
2
∫
E2.dτ
onde
→
E e´ a resultante do campo ele´trico, do memso modo, o trabalho reque-
rido para ter correntes indo contra a fem oposta.
Wm =
1
2µ0
∫
B2.dτ
onde
→
B e´ a resultante do campo magne´tico. Isto sugere que a energia total
armazenada no campo eletromagne´tico e´:
10
A.R.
J.S.
Uem =
1
2
∫ (
�0E
2 +
1
µ0
B2
)
dτ
derivando esta equac¸a˜o de uma forma mais geral, no contexto da lei de con-
servac¸a˜o da energia para a eletrodinaˆmica.
Suponha que no´s tenhamos uma configurac¸a˜o de carga e corrente tal que,
num tempo t, produz campos
→
E e
→
B. No instante seguinte, dt, as cargas se
movem um pouco. Nossa questa˜o e´: Quanto trabalho, dw, e´ realizado pelas
forc¸as eletromagne´ticas atuando nas cargas neste intervalo dt? de acordo
com a lei da forc¸a de Lorentz, o trabalho realizado na carga que e´
→
F .
→
dl= q(
→
E +
→
v × →B). →v dt = q →E . →v .dt
Agora, q = ρ.dτ e ρ
→
v=
→
j , enta˜o a taxa na qual o trabalho e´ feito em todas
as cargas no volume V e´:
dw
dt
=
∫
V
(
→
E .
→
j )dτ
evidentemente
→
E .
→
j e´ o trabalho feito por unidade de tempo por unidade
de volume. No´s podemos expressar essa quantidade em termos do campo
usando a lei de Ampe´re-Maxwell para eliminar j
→
E .
→
j=
1
µ0
→
E .(
→∇ × →B) = �0
→
E
∂
→
E
∂t
usando a regra do produto
∇.(→E × →B) = B(∇× →E)− E(→∇ × →B)
invocando a lei de Faraday
→∇ × →E= ∂
→
B
∂t
segue que:
→
E .(
→∇ × →B) = −B∂B
∂t
−∇(→E × →B)
enquanto que
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A.R.
J.S.
→
B .
∂
→
B
∂t
=
1
2
∂B2
∂t
e
→
E .
∂
→
E
∂t
=
1
2
∂E2
∂t
enta˜o
→
E .
→
j= −1
2
∂
∂t
(
�0E
2 +
B2
µ0
)
=
1
µ0
∇.(→E × →B)
colocando na equac¸a˜o dw/dt
dw
dt
= − d
dt
∫
V
1
2
(
�0E
2 +
1
µ0
B2
)
dτ − 1
µ0
∮
(
→
E × →B)
→
da
Este e´ o teorema de Point: O trabalho realizado nas cargas pela forc¸a eletro-
magne´tica e´ igual ao decaimento na energia armazenada no campo, menos a
energia que flui para fora da superf´ıcie.
A energia por unidade de tempo, por unidade de a´rea transportada pelos
campos e´ chamado vetor de Poynting.
→
s=
1
µ0
(
→
E × →B)
especificamente, (
→
s .
→
da) e´ a energia por unidade de tempo cruzando a su-
perf´ıce
→
da o fluxo de energia.
Vamos usar o teorema de Poynting:
dw
dt
= −dUem
dt
−
∮
s
→
s .
→
da
e´ claro, o trabalho w vai aumentar a energia mecanica (cine´tica, potencial,
. . . ). Se nos denotarmos µmec como a densidade de energia mecaˆnica, enta˜o:
dw
dt
=
d
dt
∫
V
µmecdτ
e se usarmos µem para densidade de energia dos campos:
µem =
1
2
(
�0E
2 +
1
µ0
B2
)
12
A.R.
J.S.
enta˜o
d
dt
∫
V
(µmec + µem)dτ = −
∮ →
s .
→
da= −
∫ →∇ . →s dτ
esta e´ a variac¸a˜o diferencial do teorema de Poynting:
∂
∂t
(µmec + µem) = −
→∇→s
2.2 Equac¸o˜es de Ondas
Lei de Ampe´re-Maxwell
∇× →H= j + ∂
→
D
∂t
→∇ × →∇ × →H=→∇ ×
→
j +
→∇ ×∂
→
D
∂t
usando
→
D= �
→
E e
→
j= σ
→
E
→∇ × →∇ × →H= σ →∇ × →E +� ∂
∂t
(
→∇ × →E)
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
= −µ0∂
→
H
∂t
→∇ . →B= 0 = µ. →∇ . →H
→∇ × →∇ × →H= −σ∂
→
H
∂t
− �µ∂
2H
∂t2
→∇ × →∇ × →H=→∇ (→∇ . →H)−∇2 →H
∇2 →H −�µ∂
2H
∂t2
− σµ∂
→
H
∂t
= 0
13
A.R.
J.S.
a partir de
→∇ × →E= ∂
→
B
∂t
→∇ × →∇ × →E= −µ0
→∇ ×
∂ →H
∂t
 = −µ0 ∂
∂t
(
→∇ × →H)
= µ
∂
∂t
(
→∇ × →H)
→∇ × →H −
→
j +
∂
→
D
∂t
=
→
j +
∂
→
E
∂t
→∇ × →∇ × →E= −σµ∂
→
E
∂t
− �µ∂
2
→
E
∂t2
→∇ × →∇ × →E=→∇ (→∇ . →E)−∇2 →E
onde
→∇ (→∇ . →E) e´ igual a zero
→∇
2→
E −�µ∂
2H
∂t2
− σµ∂
→
E
∂t
= 0
2.3 Ondas Monocroma´ticas w = cte
→
E (
→
r , t) =
→
E (r)e
−iwt
substituindo na E.D para
→
E:
e−iwt
{
∇2 →E +w2�µ →E +iwσ →E
}
= 0
casos simples
1) va´cuo µ = µ0 = 4pi × 10−7, � = �0 = 8.85× 10−12
onde se propagando ao longo de z.
E(z) = E0e
±ikz
14
A.R.
J.S.
→
E (z, t) =
→
E0 e
−i(wt±kz) =
→
E0 e
−iw(±z/c)
tomando a parte real
→
E (z, t) =
→
E0 cos(wt± kz)
2) Meio diele´trico na˜o-magne´tico e na˜o condutor
(� = k�0, µ = µ0, σ = 0)
∇2 →E +
(
w
√
k
c
)2
→
E= 0
K =
√
kw
c
a onda se propaga com velocidade c
n
.
3) O meio condutor (σ > 0)
∇2 →E −�µ∂
2
→
E
∂t2
− σµ∂
→
E
∂t
= 0
E(
→
r , t) =
→
E (
→
r )e−iwt
e−iwt
{
∇2 →E (r) + w2�µ →E +iwσµ →E
}
= 0
Se wσµ << w2�µ ou σ << w� ocorrera´ propagac¸a˜o de uma onda com ampli-
tude amortecida. Se σ >> w� o termo associado a propagac¸a˜o ondulato´ria
pode ser desprezado.Em uma dimensa˜o:
d2
→
E
dt2
+
iwσµ
→
E
k2
= 0
→
E (z) =
→
E0 e
±ikz =
→
E0 (z)e
−αz
que cai exponencialmente com z pois k e´ imagina´rio. A transic¸a˜o entre os
dois comportamentos ocorre para
wc ∼= σ
�
wc =
1
tc
onde tc e´ o termo de relaxac¸a˜o do material.
15
A.R.
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2.4 Condic¸o˜es de Contorno
∮ →
B .
→
da= 0
∮ →
B1 .
→
da1 +
∮ →
B2 .
→
da2 +
∮ →
B3 .
→
da3= 0
se �→ 0 ∮ →
B .
→
da3= 0
B1 = B2
componente de
→
E tangencial a` interface
→∇ × →E= −∂
→
B
∂t
∮ →
E
→
dl= −∂Φ
∂t
= − d
dt
∫ →
B .
→
da
lE1t − lE2t − h1E ′1n − h2E
′
2n + h¯2E2n + h¯1E1n =
dΦ
dt
se h1 → 0 h2 = 0
E1t = E2t
Componente normal do campo
→
E
→∇ . →D= ρf
∫
D.
→
da= σf = σfA
D1⊥ −D2⊥ = σfA
D1⊥ −D2⊥A = σfA
16
A.R.
J.S.
�1E
1
⊥ − �2E2⊥ = σ
no caso em que ocorre correntes
→∇
→
j= −∂ρ
∂t
∮ →
j .
→
da= −dq
dt
= −Adσ
dt
j1n − j2n = −∂σ
∂t
q1E1n − q2E2n = −∂σ
∂t
caso a corrente na interface seja alternada e caracterizada por um u´nico w.
dσ
dt
= −iwσ
logo podemos escrever, para o caso monocroma´tico
q1E1n − q2E2n = iwσ
2.5 Energia Eletromagne´tica
Ja´ vimos anteriormente que
EE =
1
2
∫
V
→
E .
→
D .dV
pode ser identificada como a energia potencial eletrosta´tica do sistema de
cargas que produzem o campo ele´trico. De maneira semelhante:
Um =
1
2
∫
V
→
H
→
B dV
foi identificado como a energia armazenada no campo magne´tico. Vamos
analisar a aplicabilidade destas equac¸o˜es a situac¸o˜es na˜o - esta´ticas.
Multiplicando a lei de Ampe´re-Maxwell por
→
E: l subtraindo na lei de
Faraday escalar
→
H:
17
A.R.
J.S.
− →E .(→∇ × →H)+ →H (→∇ × →E) = −
→
j .
→
E − →E ∂
→
D
∂t
− →H ∂
→
B
∂t
usando que
→∇ .(→F × →G) =→G . →∇ × →F − →F . →∇ × →G
→∇ .(→E × →H) = − →H ∂
→
B
∂t
− →E ∂
→
D
∂t
− →j . →E
se considerarmos um meio linear onde
→
D= �
→
E
→
B= µ
→
H
→
E
∂D
∂t
=
→
E
∂(�
→
E)
∂t
=
1
2
�
∂(E2)
∂t
=
∂
∂t
(
1
2
→
E .
→
D
)
→
H
∂
→
B
∂t
=
→
H .u
∂
→
H
∂t
=
1
2
µ
∂
→
H
2
∂t
=
∂
∂t
(
1
2
→
H
→
B
)
usanso estas relac¸o˜es
∇(→E × →H) = ∂
∂t
1
2
(→
E
→
D +
→
H
→
B
)
− →j →E
o primeiro termo a direita e´ a variac¸a˜o temporal da soma da energia do campo
ele´trico mais magne´tico; o segundo termo e´ em muitos casos o negativo da
taxa de aquecimento joule por unidade de volume. Integrando em um volume
V ∫
V
→∇ (→E × →H)dV = − ∂
∂t
1
2
∫
V
(
→
E
→
D +
→
H
→
B)dV
∫
V
→
j
→
E dV
aplicando o teorema de gauss∮
(
→
E × →H)nˆda = − d
dt
(
1
2
∫
V
(
→
E
→
D +
→
H
→
B)dV
)
−
∫ →
j
→
E dV
reescrevendo
18
A.R.
J.S.
−
∫ →
j
→
E dV = − d
dt
∫
V
1
2
(
→
E
→
D +
→
B
→
H)dV −
∮ →
E × →H nˆ
→
da
logo o termo
→
j
→
E e´ composto da variac¸a˜o de energia armazenada no campo
eletromagne´tico mais uma integral de superf´ıcie. O lado esquerdo representa
a poteˆncia transferida ao campo eletromagne´tico devido a movimentac¸a˜o das
cargas. Vamos supor que uma carga que se desloca com velocidade constante→
v , sob a influeˆncia de forc¸as mecaˆnicas ele´tricas e magne´ticas, a taxa a qual
a forc¸a mecaˆnica realiza trabalho sobre a part´ıcula.[ →
Fm +q(
→
E +v× →B)
]
= 0
pois v constante, logo
→
Fm
→
v= −q(→E + →v × →B) →v= −q →E→v
como a densidade de corrente e´ definida por
→
j=
∑
i
Niqi
→
vi
a taxa segundo a qual o trabalho mecaˆnico e´ realizado e´:∑
i
Ni
→
Fm
→
vi= −
→
E
→
j
e esta e´ a densidade de poteˆncia transferida ao campo eletromagne´tico.
Como a integral de superf´ıcie envolve apenas o campo ele´trico e magne´tico
podemos o interpretar como o fluxo de energia atrave´s de S. Assim a equac¸a˜o
expressa a conservac¸a˜o de energia num volume V . Retornando a repre-
sentac¸a˜o diferencial e usando as seguintes notac¸o˜es
S =
→
E × →H
u =
1
2
(→
E
→
D +
→
B
→
H
)
logo
→∇ S + ∂u
∂t
= − →j →E
usualmente trata-se o pro´prio
→
S=
→
H × →E (vetor de Poynting), como o fluxo
de energia local por unidade de a´rea.
19
A.R.
J.S.
2.6 Equac¸a˜o da Onda
Uma das consequeˆncias mais importantes da euqac¸a˜o de Maxwell sa˜o
as equac¸o˜es de propagac¸a˜o das ondas eletromagne´ticas num meio linear. A
equac¸a˜o de onda para
→
H e´ deduzida, tomando o rotacional da lei de Ampe´re-
Maxwell:
→∇ × →∇ × →H=→∇ ×
→
j +
→∇ ×∂
→
D
∂t
fazendo
D = �E e j = g
→
E
→∇ × →∇ × →H= g(→∇ × →E) + � ∂
∂t
(
→∇ × →E)
usando a lei de Faraday e B = µ
→
H
→∇ ×(→∇ × →H) = gµ∂
→
H
∂t
− �µ∂
2
→
H
∂t2
usando a identidade vetorial:
→∇ × →∇ × = ∇ →∇ +∇2
∇(→∇→H) +∇2 →H= gµ∂
→
H
∂t
− �µ∂
2
→
H
∂t2
→∇→H=→∇
→B
µ

obtemos a equac¸a˜o da onda:
∇2 →H −�µ∂
2
→
H
∂t2
− gµ∂
→
H
∂t
= 0
→
E obedece uma equac¸a˜o semelhante
→∇ × →∇ × →E= − →∇ ×∂
→
B
∂t
mas
20
A.R.
J.S.
→∇ × →B= µg →E +�µ∂
→
E
∂t
→∇ × →∇ × →E= µg∂
→
E
∂t
+ �µ
∂2E
∂t2
que resulta (usando
→∇→E= ρ = 0)
∇2 →E −�µ∂
2
→
E
∂t2
− gµ∂
→
E
∂t
= 0
estas equac¸o˜es de onda regem os campos ele´trico e magne´tico em meios li-
neares na auseˆncia de carga livre e´ claro que estas equac¸o˜es sa˜o condic¸o˜es
necessa´rias da equac¸a˜o de Maxwell mas na˜o sufientes, ou seja, ao resolver a
equac¸a˜o da onda temos que obter cuidadosamente para estas serem soluc¸o˜es
das equac¸o˜es de Maxwell.
Vamos estudar agora as soluc¸o˜es do tipo onda monocroma´tica que sa˜o
caracterizadas por uma u´nica frequeˆncia. Consideramos a dependeˆncia tem-
poral como sendo e−iwt, de forma que
→
E (
→
r , t) =
→
E (
→
r )e−iwt
substituindo na equac¸a˜o da onda
∇2 →E e−iwt + (w2eµ →E +iwgµ →E)e−iwt = 0
∇2 →E +w2eµ →E +iwgµ →E= 0
Vamos analisar os resultados desta equac¸a˜o em diferentes casos:
Espac¸o vazio (g = 0, � = �0, µ = µ0). Vamos supor que o campo so´ varie na
direc¸a˜o z
d2
→
E
dz2
+
(
w
c
)2 →
E= 0
onde c =
√
1
�0µ0
que tem soluc¸a˜o do tipo:
→
E (z) =
→
E0 e
±ikz
21
A.R.
J.S.
k =
w
c
que nos da´ a soluc¸a˜o completa
→
E (
→
r , t) =
→
E0 e
−i(wt±kx)
tomando a parte real
→
E (
→
r , t) =
→
E0 cos(wt± kx)
Diele´trico na˜o magne´tico, na˜o condutor (g = 0, � = k�, µ = µ0). A derivac¸a˜o
e´ a mesma da anterior com a diferenc¸a que
k =
√
kw/c
definindo, n =
√
k, observamos que os resultados sa˜o os mesmos que no
va´cuo com a diferenc¸a que a velocidade agora e´ c/n .
Meio Condutor (g > 0)
e−iwt
{
∇2 →E +w2�µ →E +iwgµ →E
}
= 0
Se g for pequeno, o terceiro termo e´ despres´ıvel perto do primeiro o que leva
a soluc¸a˜o de onda:
wgµ << w2�µ
g << w�
no outro estremo quando g ≥ w�, desprezamos o segundo termo:
d2
→
E(z)
dz
+ iwgµ
→
E= 0
tomemos o coeficiente de
→
E real fazendo α = iw real logo w e´ imagina´rio
enta˜o:
k =
√
αgµ
a dependeˆncia espacial e´ a mesma. A diferenc¸a reside na dependeˆncia tem-
poral:
→
E (
→
r , t) =
→
E (
→
r )e−αt
22
A.R.
J.S.
2.7 Condic¸o˜es de Contorno
1)
→∇→B= 0, na forma integral∮ →
B nˆ
→
da= 0
∫
s1
→
B nˆ1da+
∫
s2
→
B nˆ2da+
∫
s3
→
B nˆ3da = 0
se fizermos � = 0, tiramos que B11 = B
1
2
2) Componente tangecial de
→
E,
→∇ × →E +∂
→
B
∂t
= 0
∫
c
→
E dl =
∂
∂t
∫
s
→
B nˆda
logo
E
′′
1 l − E
′′
2 l + E
⊥
1 h1 + E
⊥
2 h2 − E⊥
′
1 h1 − E⊥
′
2 h¯2 =
∂
∂t
∫
s
→
Bnˆda
fazendo h1 → 0 e h2 → 0 temso, E ′′1 = E ′′2
3) Componente normal do deslocamento ele´trico
∇D = ρf
integrando ∮
s
→
D nˆ
→
da=
∫
V
ρdV
fazendo h→ 0
D⊥1 A−D⊥2 A = σA
D⊥1 −D⊥2 = σA
4) Componente tangencial ao campo auxiliar
→
H
→∇ × →H= j ∂
→
D
∂t∫
c
→
H dl =
∂
∂t
∫
s
→
D nˆ
→
da +
∫
s
→
j nˆ
→
da
que nos da´
H
′′
1 −H
′′
2 = j1
23
A.R.
J.S.
3 Ondas em Regia˜o de Contorno
Usaremos agora as soluc¸o˜es do tipo onda plana para estudar as equac¸o˜es
de Maxwell em regio˜es com condic¸o˜es de contorno.
Reflexa˜o e Refrac¸a˜o nos limites de dois meios na˜o condutores. Incideˆncia
normal
Vamos agora estudar o caso onde uma onda eletromagne´tica incide nor-
malmente na interface de dois materiais diele´tricos. Estas ondas no caso
planas devera˜o satisfazer as condic¸o˜es para serem soluc¸o˜es da equac¸a˜o de
Maxwell no meio
→
k
→
E= 0
→
k
→
B= 0
→
K × →E= w →B
→
k × →B= −w
c2
�r
→
E
(figura)
Estamos supondo que deve haver uma onda refletida e outra transmitida,
vamos agora impor as condic¸o˜es de contorno a onda
→
E1 achando a relac¸a˜o
entre
→
E
′
1,
→
H
′
1,
→
E2,
→
H2. Pela equac¸a˜o de Maxwell
k1 = n1
w
c
k2 = n2
w
c
Bˆ =
n
c
u× Eˆ
para a onda trasmitida
→
u2= kˆ, para a onda refletida
→
u1= −kˆ, logo o campo
magne´tico deve obedecer
c
→
B1= jˆn1E1xe
i(k1z−wt)
c
→
B
′
1= jˆn1E
′
1xe
i(k1z−wt)
24
A.R.
J.S.
c
→
B
′
2= jˆn2E
′
2xe
i(k2z−wt)
como vimos as condic¸o˜es de contorno para g1 = g2 = 0 (na˜o condutor) requer
que todos os campos sejam continuos na interface em qualquer tempo (por
isso todas as ondas tem a mesma frequeˆncia w). Impondo a condic¸a˜o na
interface em (z = 0)
E1x − E ′1x = E2x
O campo H deve ser cont´ınuo tambe´m e em meios na˜o magne´ticos (µ1 =
µ2 = µ0)
n1(E1x + E
′
1x) = n2E2x
podemos resolver as equac¸o˜es acima para E
′
1x e E2x em func¸a˜o dos dados do
problema E1x, n1, n2:
E
′
1x =
n2 − n1
n2 + n1
E1x
E2x =
2n1
n1 + n2
E1x
logo as razo˜es entre os campos sa˜o totalmente determinados pelo ı´ndeice de
refrac¸a˜o
E
′
1x
E1x
= r12
E2x
E1x
= t12
r12 e t12 sa˜o chamadas de coeficientes de Fresnel. Assim:
r12 =
(n2 − n1)
(n2 + n1)
E1x
t12 =
2n1
(n1 + n2)
25
A.R.
J.S.
como experimentalmente o que e´ medido e´ o fluxo me´dio de energia por
unidade de a´rea (intensidade), usamos muitas vezes o vetor de Poyinting:
S¯ =
1
2
n
µ0c
(E2p + E
2
s )
escolhemos Ep = Ex (Es = 0). Definimos a reflectaˆncia Rn e a transmitancia
Tn para incideˆncia normal:
s¯1
′
s¯1
= Rn
s¯2
s¯1
= Tn
enta˜o
Rn = (r12)
2
Tn =
n2
n1
(t12)
2
fazendo a substituic¸a˜o chegamos que
Rn + Tn = 1
consideramos ate´ agora somente o caso linearmente polarizado. No caso em
que a luz e´ elipticamente polarizada precisamos considerar as componentes
perpendiculares
→
Es= Eˆy
3.1 Reflexa˜o e Refrac¸a˜o nos Limites de dois Meios na˜o
Condutores (Incideˆncia Obliqua)
Vamos passar a um caso mais geral agora quando uma onda eletro-
magne´tica incide em uma superf´ıcie fazendo um aˆngulo θ. Exemplificamos
este caso com uma gravura
(figura)
na figura estamos supondo que as ondas sa˜o todas coplanares, prova-se esta
suposic¸a˜o. Levando em conta essa suposic¸a˜o os campos ficam:
→
E1= Eˆ1pe
i(
→
k1
→
r−wt)
26
A.R.
J.S.
→
E
′
1= Eˆ
′
1pe
i(
→
k
′
1
→
r−wt)
→
E2= Eˆ2pe
i(
→
k2
→
r−wt)
as amplitudes significam
Eˆ1p = E˜1ppˆ1
Eˆ
′
1p = E˜
′
1ppˆ1
′
Eˆ2p = E˜2ppˆ2
Os vetores de propagac¸a˜o sa˜o
→
k1= k1
→
u1
a normal unita´ria a superf´ıcie e´ nˆ = kˆ. Definimos o plano que conteˆm
→
k1 e nˆ
como o plano de incideˆncia (cuja normal e´
→
k1 ×nˆ).
A componente p da polarizac¸a˜o e´ escolhida como paralela ao plano de
incideˆncia. Em geral tambe´m existe uma componente em s de modo que:
Eˆ1s = E˜1ssˆ1
Eˆ
′
1s = E˜1s
′
sˆ1
′
Eˆ2s = E˜2ssˆ2
Para cada uma das treˆs ondas,
→
s=
→
u × →p e p =→s × →u
sˆ1 = sˆ1
′
= sˆ2 = j
Pelas condic¸o˜es de contorno para materiais na˜o condutores, temos que os
vetores
→
E e
→
H devem ser continuos na interface em cada instante de tempo
logo na˜o so´ a frequeˆncia w e´ igual em cada instante de tempo como a fase
tambe´m deve ser sobre toda a superf´ıcie, ou seja,
27
A.R.
J.S.
→
k1
′→
r=
→
k1
→
r=
→
k2
→
r
esta condic¸a˜o simples provoca consequeˆncias extremamente interessante. E´
bom ressaltar que
→
r nas equac¸o˜es anteriores na˜o e´ qualquer posic¸a˜o,
→
r esta´
restrito a superf´ıcie ou seja z = 0, ou, nˆ
→
r= 0. Considerando a identidade:
nˆ× (nˆ× →r ) = n(nˆ →r )− n2 →r= − →r
logo um vetor
→
r na interface:
→
r= −nˆ× (nˆ× →r )
substituindo nas relac¸o˜es dos
→
ki
→
r :
→
k1
→
r= − →k1
[
nˆ× (nˆ× →r )
]
= −(→k1 ×nˆ)(nˆ× →r )
como
→
r e´ um vetor arbitra´rio da superf´ıcie:
→
k1
′
×nˆ =→k1 ×nˆ =
→
k2 ×nˆ
A primeira conclusa˜o que tiramos dessa equac¸a˜o e´ que os vetores nˆ,
→
k1,
→
k1
′
sa˜o coplanares. O aˆngulo de incideˆncia e´ dado por:
→
k1 nˆ = k1 cos θ1
→
k1
′
nˆ = −k′1 cos θ
′
1
→
k2 nˆ = k2 cos θ2
portanto ∣∣∣∣→k1 ×nˆ∣∣∣∣ = k1 sin θ1
∣∣∣∣∣→k1
′
×nˆ
∣∣∣∣∣ = k1 sin θ′1
28
A.R.
J.S.
∣∣∣∣→k2 ×nˆ∣∣∣∣ = k2 sin θ2
usando a equac¸a˜o
k
′
1 sin θ
′
2 = k1 sin θ1 = k2 sin θ2
o mo´dulo de k
′
1 = n1
w
c
e´ igual a k1 = n1
w
c
logo
θ
′
1 = θ1
que e´ a lei da reflexa˜o
substituindo os valores de k1 e k2
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
lei de Snell
Para derivar os coeficientes de Fresnell, necessitamos das condic¸o˜es de
contorno sobre as componentes do campo magne´tico e ele´trico. Primeira-
mente vamos utilizar a identidade vetorial
nˆ× (nˆ× →E) = nˆ(nˆ →E)− →E
→
E= nˆ(nˆ
→
E)− nˆ× (nˆ× →E)
logo nˆ(nˆ
→
E) e´ a componente normal e −nˆ(nˆ →E) e´ a componente tangencial.
Usaremos as condic¸o˜es de contorno
nˆ× (Eˆ1 + Eˆ1
′
) = nˆ× Eˆ2
nˆ× (Bˆ1 + Bˆ1
′
) = nˆ× Bˆ2
lembrando das relac¸o˜es vindas da equac¸a˜o de Maxwell
Bˆ =
n
c
→
u ×Eˆ
Eˆ = − c
n
→
u × →B
29
A.R.
J.S.
substituindo nas condic¸o˜es de contorno
n1nˆ× (→u1 ×Eˆ1+ →u1
′
× →E1
′
) = n2nˆ× (→u2 ×
→
E2)
usando que
nˆ× (→u × →E) = nˆ(→u Eˆ)− (nˆ →u) →E
logo a componente s do campo Es
nˆ× (→u ×Eˆs) = Eˆs cos θ
n1(Eˆ1s cos θ1 − E ′1s cos θ
′
) = n2E2s cos θ2
usando a lei de reflexa˜o:
n1(Eˆ1s − Eˆ1s
′
) cos θ1 = n2E2s cos θ2
como s e´ tangencial a superf´ıcie ela deve ser cont´ınua
Eˆ1s + Eˆ1s
′
= Eˆ2s
vamos considerar casos isolados de polarizac¸a˜o, ou seja,
Caso 1: Polarizac¸a˜o s
r12s =
Eˆ
′
1s
Eˆ1s
obtemos usando as equac¸o˜es obtidas anteriormente
r13s =
n1 cos θ1 − n2 cos θ2
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
t12 =
2n1 cos θ1
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
Caso 2: Polarizac¸a˜o p:
Quando os vetores
→
E esta˜o na direc¸a˜o pˆ o campo
→
B esta´ na direc¸a˜o s.
Usando a condic¸a˜o de contorno para a componente tangencial de
→
E
nˆ× (E1 + Eˆ1
′
) = nˆ× →E2 + c
n1
nˆ× (→u × →B1 + →u ×
→
B1s)
30
A.R.
J.S.
=
c
n2
nˆ× (→u ×Bˆ2)
usando que
nˆ× (→u × →B) = B cos θ
1
n1
cos θ1(Bˆ1s − Bˆ′1s) =
1
n2
cos θ2Bˆ2s
ale´m disso como o material e´ na˜o magne´tico
Bˆ1s + Bˆ
′
1s = Bˆ2s
lembrando que
Bˆ
′
1s = r12pBˆ1s
B2s =
n1
n2
t12pBˆ1s
onde achamos que
r12p =
n2 cos θ1 − n1 cos θ2
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
t12p =
2n1 cos θ1
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
logo usamos estes coeficientes de fresnell temos uma soluc¸a˜o completa do
problema de contorno, uma vez que uma onda polarizada pode ser decom-
posta emcomponentes s e p. Se olharmos estes resultados para θ = 0 as
equac¸o˜es resumem-se a incideˆncia normal. Usando as equac¸o˜es junto com a
lei de Snell
cos θ2 =
√
1− (n1/n2)2 sin2 θ1
podemos expressar os coeficientes de fresnell em termos so´ de n1 e n2 e do
aˆngulo de incideˆncia θ1 . Vamos agora achar a relac¸a˜o entre as intensidades.
Dividiremos ela conforme a polarizac¸a˜o.
31
A.R.
J.S.
Rs =
nˆs¯1s
′
nˆs¯1s
Ts =
nˆs¯2s
nˆs¯1s
Rp =
nˆs¯1p
′
nˆs¯1s
Tp =
nˆs¯1p
′
nˆs¯1p
como
→
S=
1
µ0
n
c
E2
→
u
Rs = (r12s)
2
Rp = (r12p)
2
Ts =
n2
n1
cos θ2
cos θ1
(t12s)
2
Tp =
n2
n1
cos θ2
cos θ1
(t12p)
2
as entidades
Rs + Ts = 1
Rp + Tp = 1
32
A.R.
J.S.
3.2 Aˆngulo de Brewster e Aˆngulo Cr´ıtico
Como vimos na sec¸a˜o anterior R e T dependem do aˆngulo de incideˆncia
no caso de dois meios na˜o condutores. Como vimos em cada caso T = 1−R,
logo so´ discutirems R. Alguns casos part´ıculares:
Caso θi = 0, e enta˜o temos o caso de incideˆncia normal a superf´ıcie, e a
reflectaˆncia torna-se maior conforme a raza˜o n2/n1 >> 1
R =
(
n1 − n2
n1 + n2
)2
=
(
n1/n2 − 1
n1/n2 + 1
)2
Caso θ = pi/2, enta˜o temos uma onda incidindo paralelamente a superf´ıcie,
pelas equac¸o˜es vistas: R1s = R1p = 1.
aˆngulos pro´ximos de θ = pi/2 (incidencia rasante) tem reflectaˆncia grande.
Para aˆngulos de incideˆncia intermedia´rios, ha´ dosi aˆngulos de especial inte-
resse. Vamos agora investigar o caso onde na˜o ha´ luz refletida (R = 0), sera´
que este caso e´ poss´ıvel. Examinando o coeficiente de Fresnell na forma:
r12s =
sin(θ2 − θ1)
sin(θ2 + θ1)
(3)
r12p =
tan(θ1 − θ2)
tan(θ1 + θ2)
(4)
podemos ver que se θ2 = θ1, enta˜o ambas as componentes do campo ele´rico
na˜o sera˜o refletidos (r12s = r12p = 0), mas pela lei de Snell
n1 sin θ1 = n2 sin θ1
n1 = n2
ou seja, os meios sa˜o indistinguive´is ( o que na˜o nos desperta muito interesse).
De (3) e (4) podemos visualizar outro caso: se θ1 + θ2 = pi/2 enta˜o tan(θ1 +
θ2)→ e R12p = 0, logo so´ uma componente do campo e´ refletida, neste caso
n1 na˜o e´ necessariamente igual a n2.
Isto significa que se a luz que incide sob essa condic¸a˜o, que tiver uma pola-
rizac¸a˜o el´ıptica ou ser ate´ mesmo na˜o polarizada, ficara´ na direc¸a˜o s. Vamos
achar o valor de θ1 para qual tal efeito ocorre. (ja´ que nossas varia´veis
independentes ou dadas no problema sa˜o n1, n2, θ1 e polarizac¸a˜o da onda
incidente) usando a lei de Snell com θ2 = pi/2− θ1
n1 sin θ1 = n2 sin
(
pi
2
− θ1
)
= n2 cos θ1
33
A.R.
J.S.
tan θB =
n1
n2
(5)
o aˆngulo θB e´ conhecido como aˆngulo de Brewster (a equac¸a˜o (5) e´ chamada
de lei de Brewster). A polarizac¸a˜o pelo aˆngulo de Brewster e´ uma maneira de
obter radiac¸a˜o polarizada. Se analisarmos as equac¸o`es (3) e (4) novamente
veremos que existe outro caso ale´m da incideˆncia razante em que toda a luz
e´ refletida, ou seja, Rs = Rp = 1. Se θ2 = pi/2 enta˜o a luz e´ refletida. O
aˆngulo θ1 para o qual θ2 = pi/2 e´ chamado aˆngulo cr´ıtico (θc) e pode ser
determinado pela lei de Snell.
n1 sin θc = n2 sin
(
pi
2
)
sin θc =
n2
n1
vamos agora analisar este resultado com cuidado, pois usando o resultado do
aˆngulo de Brewster
sin θc = tan θB =
n2
n1
mas a tan θB na˜o e´ restrita quanto ao valor, logo sempre existira´ um aˆngulo
de Brewster real. Como tan θ > sin θ, θB < θc. Vamos analisar aˆngulos de
incideˆncia maior que o aˆngulo cr´ıtico
sin θ2 =
n1
n2
sin θ1 >
n1
n2
sin θc
logo isto requer que
sin θ2 > 1
Tal reesultado aparentemente absurdo na˜o apresenta uma complicac¸a˜o
muito se´ria. Ela significa que na˜o existe um aˆngulo θ2 real que satisfac¸a a
equac¸a˜o de Snell. Pode isso? claro que pode, o que acontece e´ que supomos
inicialmente (para deduzirmos a lei de Snell e outras coisas mais) que haveria
uma onda transmitida fazendo um aˆngulo θ2 real. Pore´m nosso resultado
mostra que nossa suposic¸a˜o inicial na˜ e´ sempre va´lida. Como interpretamos
o resultado? O resultado e´ Rs = Rp = 1 quando θ1 ≥ θc analisaremos o
porque disso posteriormente.
34
A.R.
J.S.
3.3 Coeficientes Complexos de Fresnell e Reflexa˜o por
um Plano Condutor
Considerando o impasse que surgiu no item anterior (sin θ2 > 1), vamos
agora considerar o coeficiente de Frenell como complexo.
sin θ > 1
enta˜o
cos θ =
√
1− sin2 θ
e´ puramente imagina´ria de cos θ, desse modo cos θ2 (que aparece nos coefi-
cientes de Fresnell) e´ complexo logo os pro´prios coeficientes sa˜o complexos.
Isto tambe´m ocorreria se o meio n2 fosse condutor pois n2 seria complexo,
nesse caso a lei de Snell fica:
n1 sin θ1 = nˆ2 sin θˆ2
Nosso ca´lculo anterior, na˜o falamos em ı´ndices de refrac¸a˜o complexos,
nosso resultado e´ ainda va´lido? Deve ser pois so´ uma condic¸a˜o de contorno
e´ alterada
k1 sinE1n = k2E2n
k1E1n = kˆ2E2n
nˆ2 =
√
kˆ2
logo a forma e´ a mesma a u´nica diferenc¸a e´ que kˆ2 e´ complexo e como todas
as contas feitas tambe´m vale kˆ2 for complexo enta˜o os resultados tambe´m
devem ser va´lidos (levando em considerac¸a˜o que n2 → nˆ2 e θ2 → θˆ2). Dessa
forma
→
k1 × →n=
→
k2 × →n
logo
→
k2 × →n e´ real (porque
→
k1 × →n= 0) e esta´ na direc¸a˜o jˆ assumindo que o
plano de incideˆncia seja z, logo o caso mais geral seria que
kˆ2jˆ = 0
definimos o aˆngulo complexo θˆ2 de forma que
35
A.R.
J.S.
kˆ2.n =
∣∣∣kˆ2∣∣∣ cos θˆ2
enta˜o a lei de Snell torna-se
n1 sin θ1 = nˆ2 sin θˆ2
onde
sin θˆ2 =
√
1− cos2 θ2
todas as manipulac¸o˜es alge´bricas com as condic¸o˜es de
→
E e
→
B sa˜o va´lidas
logo os coeficientes de Fresnell tem a mesma forma pore´m agora θˆ2 e nˆ2 sa˜o
complexos expressndo na forma polar,
ˆr12s = | ˆr12s| eiαs
ˆr12p = | ˆr12p| eiαp
usando a definic¸a˜o
Eˆ
′
1s = |rˆ12| eiαsEˆ1s
Eˆ
′
1p = | ˆr12p| eiαpEˆ1p
logo e´ evidente que o campo
→
E refletido e trasmitido, enta˜o com a fase alte-
rada em relac¸a˜o ao campo E incidente.
Para incideˆncia normal (θ1 = 0) do ar (n1 = 1) em um meio condutor
(n2 = n+ ik) a reflectaˆncia e´:
Rn =
(n− 1)2 + k2
(n+ 1)2 + k2
se o segundo meio e´ semi-infinito enta˜o toda a energia transmitida sera´ ab-
sorvida pelo condutor. Definimos enta˜o uma grandeza a absorvancia
A = 1−R
para a incideˆncia normal
36
A.R.
J.S.
An =
4n
(n+ 1)2 + k2
Podemos agora analisar alguns casos particulares
Caso 1: n ∼= k >> 1
logo
ki =
g
�0w
>> 1
An ∼= 2
k
<< 1
neste caso
ki ∼= 2k2
k ∼=
√
g
2�0w
An ∼= 2
√
2�0w
g
que e´ conhecida como a relac¸a˜o de Hangen-Rubens, que vale para alta condu-
tividade e baixa frequeˆncia pois supomos que g
�0w
>> 1 a onda transmitida
e´ importante em problemas como os que sa˜o cnsiderados na sec¸a˜o seguinte.
As amplitudes e fases sa˜o dadas por ˆt12p e ˆt12s, e seu vetor de propagac¸a˜o kˆ2
que satisfaz:
→
k1 ×nˆ = kˆ2 × nˆ
kˆ2n = kˆ2 cos θˆ1
sin θˆ2 =
√
1− cos2 θˆ2
O vetor de onda complexo kˆ2 definira´ os planos de fase constante e as
velocidades (parte real) assim como os planos de amplitude constante (parte
imagina´ria). estas podem ser vizualizadas de:
37
A.R.
J.S.
kˆ =
→
kr +i
→
ki
kˆ = kˆ sin θˆiˆ+ kˆ cos θˆkˆ
como vimos
→
k ×nˆ e´ real
→
k1 ×nˆ =
→
kr ×nˆ
→
ki ×nˆ = 0
a equac¸a˜o anterior mostra que
→
ki e´ paralelo a nˆ
→
k1 ×nˆ =
→
kr ×nˆ
k1 sin θ1 = kr sin Θ
onde Θ e´ um aˆngulo real entre
→
kr e nˆ o que nos define a direc¸a˜o de propagac¸a˜o
da onda. Os planos de amplitude constante sa˜o paralelos a superf´ıcie
→
ki
//nˆ. Em virtude dessas novas definic¸o`es (Θ), vamos reescrever o vetor de
propagac¸a˜o dentro do metal:
kˆ = kr sin Θiˆ+ kr cos Θkˆ + ikikˆ
= k1 sin θ1iˆ+ (kr cos Θkˆ + iki)kˆ
k1 sin θ1 = kˆ sinθˆ (6)
kr cos Θ + iki = kˆ cos θˆ (7)
(6) e´ novamente a lei de Snell, mas (7) junto com kr sin(Θ) = k1 sin θ, ja´ a
relac¸a˜o entre kr, ki,Θ e n, k, θ1 que procura´vamos
kˆ cos θˆ =
w
c
(p+ iq)
de modo que
nˆ cos θˆ = p+ iq
38
A.R.
J.S.
kr =
w
c
√
p+ n1 sin θ1
ki =
w
c
q
nos falta determinar p e q, que nos resultaram resolvendo as equac¸o˜es acima
e lembrando que nˆ2 = (kr + iki) n
2
1 = k
kr − k1 sin2 θ1 = p2 − q2
ki = 2pq
p =
√
1
2
[
(kr − k1 sin2 θ1) +
√
(kr − k1 sin2 θ1)2 + k2i
]
q =
√
1
2
[
(−kr − k1 sin2 θ1) +
√
(kr − k1 sin2 θ1)2 + k2i
]
a equac¸a˜o para kr pode ser escrita como
kr = N
w
c
o que define um ı´ndice de refrac¸a˜o real e da a velocidade de fase c/n, vemos
que N satisfaz
N sin Θ = n1 sin θ1
N cos Θ = p
Agora que definimos aˆngulos complexos vamos voltar a soluc¸a˜o do meio
na˜o condutor quando o aˆngulo de incideˆncia era maior que o aˆngulo cr´ıtico.
Naquele caso n2 =
√
k2r e ki = 0, pore´m, cos θˆ2 e´ imagina´rio quando θ1 > θc
cos θˆ2 =
√
1− sin2 θˆ2 =
√
1−
(
n1
n2
)2
sin2 θ1
cos θˆ2 = i
√√√√(sin θ1
θ2
)2
− 1
39
A.R.
J.S.
pois sin θc = n2/n1. Agora segundo nossas definic¸o˜es:
n2 cos θˆ2 = in2
√√√√(sin θ1
sin θc
)2
− 1 = p+ iq
de modo que p = 0
q = n2
√√√√(sin θ1)2
(sin θc)
− 1
usando isso nos coeficientes de Fresnell
ˆr12s =
n1 cos θ1 − iq
n1 cos θ2 + iq
o numerador e´ o nu´mero complexo do denominador de modo que
R = ˆr12s ˆr12s
∗ = 1
logo T = 0 (pela conservac¸a˜o de energia). Pore´m os coeficientes de fresnell
ˆt12 na˜o sa˜o nulos, logo ha´ campos E e B que na˜o se anulam do meio 2. Vamos
tentar enta˜o encontrar
→
k2 com p = 0.
N = n1 sin θ1 = n2
(
sin θ1
sin θc
)
logo quando
θc < θ1 <
pi
2
n2 ≤ N ≤ n1
como
N cos Θ = p = 0
Θ =
pi
2
40
A.R.
J.S.
3.4 Reflexa˜o e Transmissa˜o por uma Camada Delgada
Consideraremos duas superf´ıcies de descontinuidade plano infinitas em
z = 0 e z = d, em z < 0 temos z > d temos o meio 3.
(figura)
Um me´todo para resolver este problema e´ impor as condic¸o˜es de contorno
nas descontinuidades para
→
E e para
→
B. Pore´m usaremos um me´todo mais
direto que consiste em utilizar os resultados antes obtidos, para somar ondas
trasmitidas e refletidas em cada interface
(figura)
A interface de fase e´
βˆ = 2kˆ2.
→
r2 −
→
k1 .
→
r
as componentes de
→
r2
→
r2= xi+ dk
e
→
r1= 2xiˆ− wpˆ1
p1 = s× u1 = jˆ× →u1
e´ perpendicular a
→
k1= k1
→
u1. Enta˜o:
β = 2× (kˆ2iˆ−
→
k1 iˆ) + 2dkˆ2
→
k
agora
kˆ2iˆ−
→
k1 iˆ = kˆ2 sin θˆ2 − k1 sin θ1 = 0
de acordo com a lei de Snell kˆ2zˆ = kˆ2 cos θˆ2
βˆ = 2d
w
c
nˆ2 cos θˆ2 = 2d
w
c
(p+ iq)
vamos agora somar os coeficientes de Fresnell de todas as ondas refletidas e
de todas as ondas transmitidas.
rˆ = rˆ12 + ˆt12rˆ23 ˆt21 + ˆt12rˆ23rˆ21rˆ23 ˆt21e
i2β + . . .
rˆ = rˆ12 + ˆt12rˆ23 ˆt21e
iβ
[
1 + rˆ21rˆ23e
iβ + (rˆ21rˆ23e
iβ)2
]
+ . . .
41
A.R.
J.S.
usando que isto e´ uma se´rie geome´trica
1 + z2 + z2 + . . . =
1
1− z
rˆ = rˆ12 +
ˆt12rˆ23 ˆt21e
iβ
1− rˆ12rˆ23eiβ
usando que rˆ12 = −rˆ21 e que rˆ122 + ˆt12 ˆt21 = 1
rˆ = rˆ12 +
ˆt12rˆ23 ˆt21e
iβ
1 + rˆ12rˆ23eiβ
=
rˆ12 + ˆt12 ˆt23 ˆt21e
iβ
1 + rˆ12rˆ23eiβ
um ca´lculo semelhante fornece a amplitude transmitida para o meio 3:
tˆ =
ˆt12 + ˆt23e
iβ/2
1 + rˆ12rˆ23eiβ
3.5 Propagac¸a˜o entre Placas Condutoras Paralelas
Agora estudaremos o caso de um meio diele´trico entre placas planas pa-
ralelas condutoras ou seja, temos novamente um problema de contorno. Para
simplificar consideraremos a condutividade do metal como infinita ou seja,
ki →∞ e nˆ2 →∞, logo
ˆr12s = −1
ˆr12p = 1
para a reflexa˜o em um plano condutor com qualquer aˆngulo de incideˆncia. O
meio diele´trico considerado sera´ o va´cuo,
(figura)
Cosideramos uma onda com vetor de onda
→
k que se propaga entre duas
placas plano codutoras uma em y = 0 e outra em y = a. Consideremos
→
k no
plano yz formando um aˆngulo θ com o eixo y no plano de incideˆncia. A outra
sera´ refletida primeiramente pelo plano em y = a, o vetor de onda refletida
fara´ um aˆngulo de θ com o eixo y negativo. Essa onda ao chegar em y = 0
42
A.R.
J.S.
sera´ novamente refletida, fazendo o vetor
→
K voltar a fazer um aˆngulo θ com
o eixo dos y positivo. Logo podemos escrever as ondas como:
ei[k(y cos θ+z sin θ)−wt] (8)
ei[k(−y cos θ+z sin θ)−wt] (9)
para ondas desse tipo a duas polarizac¸o˜es poss´ıveis:
Polarizac¸a˜o s , ou seja,
→
E na direc¸a˜o x, esse caso e´ chamado de transversal
ele´trica. T.E.
Polarizac¸a˜o p, ou seja,
→
H na direc¸a˜o x, esse caso e´ chamado de transversal
magne´tica TM.
Consideramos o caso da transversal ele´trica. O campo ele´trico na regia˜o
entre os dois planos e´ dado por:
→
E= xˆ
(
E1e
i[k(y cos θ+z sin θ)−wt] + E
′
1e
i[k(−y cos θ+z sin θ−wt])
vamos agora utilizar nossos resultados anteriores, da definic¸a˜o dos coeficientes
de Fresnell
E
′
1 = r12sE1
E
′
1 = −E1
logo nossa onda pode ser reescrita como
→
E= xˆE(e
iky cos θ − e−iky cos θ)ei(kz sin θ−wt) (10)
As condic¸o˜es de contorno sa˜o Et = 0 (que e´ o nosso caso pois xˆ e´ paralelo
aos planos) em y = 0 e y = a0 vemos, da equac¸a˜o (10) que a condic¸a˜o em
y = 0 e´ automaticamente satisfeita a condic¸a˜o em y = a so´ sera´ satisfeita se
colocarmos certas restric¸o`es em k.
ka cos θ = npi (11)
onde n e´ um valor inteiro. Qual o significado f´ısico disto? Lembramos que
k = w
c
, logo se consideramos w como dado enta˜o θ tem os valores fixos dados
por (11).
Calculando este aˆngulo, poderiamos dizer que a velocidade aparente na
direc¸a˜o z e´:
vp =
c
sin θ
43
A.R.
J.S.
que e´ para qualquer valor de θ, maior ou igual a velocidade da luz. Tal para-
doxo resolveremos mais tarde. Expressaremos a variac¸a˜o no campo ele´trico
nas direc¸o˜es y e z em termos de comprimentos de onda como se segue:
λg =
2pi
k sin θ
=
λ0
sin θ
λ0 =
2/pi
k
=
2pic
w
na direc¸a˜o z.
λz =
2pi
k cos θ
=
λ0
cos θ
logo o campo ele´trico fica
→
E= kˆE0 sin
2piy
λc
ei[(2piz/λg)−wt]
as restric¸o˜es impostas pelas condic¸o˜es de contorno ficam
a
λc
=
n
2
(12)
tambe´m temos a relac¸a˜o:
1
λ2g
+
1
λ2c
+
1
λ20
(13)
se na equac¸a˜o (12) n = 1 enta˜o λc = 2a, como λ0 so´ da frequeˆncia ele pode
tomar valores maior que 2a nessa situac¸a˜o λg e´ imagina´rio, isto significa que
a onda resultante sera´ atenuada na direc¸a˜o z, tal fato sempre ocorre quando
λ0 > λc por isso λc e´ chamada frequeˆncia de corte.
Na velocidade vp obtida anteriormente, esta sempre excede a velocidade
da luz, e torna-se infinita quando θ = 0 (λc = λ0) Quem e´ vp? vp significa a
velocidade de fase, ou seja, a velocidade com que se propagam planos de fase
constante. A soluc¸a˜o desse paradoxo reside que a energia se propaga com
uma velocidae menor que a da luz, ou seja, com A assim chamada velocidade
de grupo e na˜o com a velocidade de fase.
Para obtermos a velocidade com que a energia se propaga vamos utilizar
da relac¸a˜o
→
s= u.
→
v
onde u e´ a energia armazenada no campo, logo
44
A.R.
J.S.
v =
∣∣∣→s ∣∣∣
u
para calcular u precisamos de
→
E e
→
B, ja´ temos
→
E, para obtermos
→
B utilizamos
a lei de Faraday
→∇ ×E = −∂B
∂t
→
B (
→
r , t) = zˆE0
2pi
wλc
sin
2piy
λc
ei[(2piz/λg)−wt]
+izˆE0
2/pi
wλg
cos
2piy
λc
ei[(2piz/λg)−wt]
para calcular o vetor de Poyinting usamos
→
s=
→
E × →H
calculando U¯ usando
→
u=
1
4
Re[
→
E
∗
.
→
D +
→
B
∗
.
→
H]
e S¯ usando
→
s=
1
2
ReE
2
xHy3.6 Guia de Ondas
Como vimos
→
E e
→
H satisfazem a equac¸a˜o da onda no espac¸o livre:
∇2 →E −�0µ0∂
2
→
E
∂t2
∇2 →H −�0µ0∂
2
→
H
∂t2
= 0
para ond na forma
45
A.R.
J.S.
→
E (
→
r , t) =
→
E (
→
r )e−iwt
logo as equac¸o˜es ficam
∇2 →E +w
2
c2
→
E= 0
∇2 →H +w
2
c2
→
H= 0
Pore´m essas equac¸o˜es poe si so´ na˜o caracterizam totalmente os campos, e´
preciso satisfazer as equac¸o`es de Maxwell. Para uma onda transversal ele´trica
(TE) propagando na direc¸a˜o z, Ez = 0. Ondas que se propagam na direc¸a˜o
z possuem as cinco quantidades de campo restantes proporcionais a ei2piz/λg .
As equac¸o˜es do rotacional de Maxwell neste caso sa˜o:
→∇ × →E −iµ0w
→
H= 0
∂Ey
∂x
− ∂Ex
∂y
− iµ0wHz
Ex =
µ0wλa
2pi
Hy
Ey = −µ0wλg
2pi
Hx
→∇ × →H +i�0w
→
E= 0
∂Hz
∂y
− 2pii
λg
Hy + i�wEx = 0
2pii
λg
Hx − ∂Hz
∂x
+ i�0wEy = 0
∂Hy
∂x
− ∂Hx
∂y
= 0
46
A.R.
J.S.
substituindo chegamos que
partialHz
∂y
=
(
2pii
λg
− i�0µ0w
2λg
2pi
)
Hy
ou seja, Hy pode ser achado se conhecermos Hz, de maneira ana´loga podemos
obter Hx em func¸a˜o de Hz. Logo todas as componentes dos campos podem
ser determinadas em func¸a˜o de Hz. Mas Hz deve satisfazer a equac¸a˜o da
nda o que nos permite achar Hz se soubermos as condic¸o˜es de contorno
apropriadas.
∂2Hz
∂x2
+
∂2Hz
∂y2
+
(
w2
c2
− 4pi
2
λ2g
)
Hz = 0
Vamos agora estudar o caso de um guia de onda retangular:
(figura)
usando separac¸a˜o de varia´veis chegamos a seguinte soluc¸a˜o geral para Hz:
Hz = [A cos(kxx) cos(kyy) +B cos(kxx) sin(kyy) +
(sin(kxx) cos(kyy) +D sin(kxx) sin(kyy)]e
2piiz/λy
onde kx e ky devem obedecer:
−(k2x + k2y) +
w2
c2
−
(
4pi
λy
)2 = 0
escrevendo Ex em func¸a˜o de Hz
Ex = −µ0wλg
2pi
(
2pii
λg
− i�0µ0w
2λg
2pi
)−1
∂Hz
∂y
o campo Ey deve se anular y = 0 e em y = b, para que isso acontec¸a
∂Hz
∂y
∣∣∣∣
y=0
e
∂Hz
∂y
∣∣∣∣
y=s
deve ser zero, logo para y = 0 ser satisfeitos na˜o deve existir termos, em
sin(kyy) em hz a segunda condic¸a˜o e´ satisfeita se ky =
npi
b
. Fazendo trata-
mento semelhante para Ey chegamos que o campo Hz e´
47
A.R.
J.S.
Hz = A cos
mpix
a
cos
npiy
b
e2piizλy
onde m e n sa˜o inteiros que satisfazem:(
2pi
λy
)2
=
(
2pi
λ0
)2
−
(
npi
b
)2
−
(
mpi
a
)2
para uma onda (TE)mn (modo m n) pode -se mostrar que
σT =
8pi
3
R2e
tambe´m e´ obtido apartir da teoria de espalhamento em materiais a altas
frequeˆncias
n ∼= 1, k1 << 1, k0 << 1
no interior de um metal
s =
E2
µ0c
=
1
µ0c
E20e
−2z/γ
onde α = 2
γ
. Na pra´tica usa-se no lugar de α o paraˆmetro µl (coeficiente
linear de absorc¸a˜o)
µ0 = µmρ
ρ→ massa espec´ıfica
δ =
c
wk0
e´ a profundidade de atenuac¸a˜o
se considerarmos o volume por ele´tron
Vol =
σT δ
α
Vol = σTλ
λ =
δ
2
48
A.R.
J.S.
se
Vol =
nu´mero de ele´trons
m3
=
1
vol
λσ =
1
N
σT =
2
Nδ
=
2k0w
Nc
δ ∼= 109Hz
k0 ∼=
w2pγ
2w3
usamos
γ =
4pi
3
(
Re
λ
)
w
onde
λ =
2pic
w
49