lista 02 de AL

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Lista 2 de a´lgebra linear: Matrizes e Sistemas Lineares:
Turma 05 - Prof Simone Batista - 2015
Matrizes e Sistemas
1. Resolva o sistema de equac¸o˜es, escrevendo a matriz ampliada e reduzindo esta matriz a forma escada reduzida
por linhas.
(a)

2x− y + 3z = 11
4x− 3y + 2z = 0
x+ y + z = 6
3x+ y + z = 4
Resp.

2 −1 3 11
4 −3 2 0
1 1 1 6
3 1 1 4

∼

1 0 0 −1
0 1 0 2
0 0 1 5
0 0 0 0

, x = −1, y = 2 e z = 5
2. Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2× 2, que esta˜o na forma escada reduzida por linhas.
Resp.
 1 0
0 1
 ,
 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 e
 0 0
0 0
.
3. Reduza as matrizes a` forma escada reduzida por linhas.
(a)

1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3
. (b)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

. (c)

0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1
.
Resp. (a)

1 0 0 227
0 1 0 − 117
0 0 1 − 177
, (b)

1 0 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0

e (c)

1 0 − 72 52
0 1 3 −2
0 0 0 0
.
4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questa˜o 3.
Resp. (a) Posto 3 e nulidade 0. (b) Posto 2 e nulidade 2. (c) Posto 2 e nulidade 1.
5. Dado o sistema

3x+ 5y = 1
2x+ z = 3
5x+ y − z = 0
escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a a` forma escada
reduzida por linhas, para resolver o sistema original.
Resp.

3 5 0 1
2 0 1 3
5 1 −1 0
 , ∼

1 0 0 716
0 1 0 − 116
0 0 1 178
 x = 716 , y = − 116 e z = 178 .
6. Determine k, para que o sistema admita soluc¸a˜o.

−4x+ 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
Resp. k = −6.
7. Encontre todas as soluc¸o˜es do sistema

x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
Resp. x4 = 2x5 + 3, x2 = − x5
3
− x1
3
+
1
3
e x3 = x5 + 2.
8. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca e´ negativa.
Resp. A nulidade e´ sempre um nu´mero inteiro e nunca e´ negativo porque e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz
linha-reduzida menos o nu´mero de linhas nulas da matriz matriz linha-reduzida ( e o nu´mero de linhas nulas de uma
matriz e´ sempre menor que o nu´mero de linhas da matriz!)
9. Foram estudados treˆs tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se que:
(i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
(ii) O alimento II tem 2 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C.
(iii) O alimento III tem 3 unidade de vitamina A, 0 unidades de vitamina B e 3 unidades de vitamina C.
Se sa˜o necessa´rias 11 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina B e 20 unidades de vitamina C,
(a) Encontre todas as poss´ıveis quantidades de alimentos I,II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas
desejada.
(b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 centavos por grama, existe uma
soluc¸a˜o custando exatamente R$ 1,00 ?
Resp. (a) Chamando de x a quantidade do alimento I, y a quantidade do alimento II e z a quantidade do
alimento III, temos que x = −5 + 3z, y = 8 − 3z e z = z sa˜o todas as poss´ıveis quantidades de alimentos I,II e III,
que fornecem a quantidade de vitaminas desejada. (b) 1 quantidade do alimento I, 2 quantidades do alimento II e
2 quantidades do alimento III, vai fornecer a quantidade de vitaminas desejada ao custo de exatamente R$ 1,00.
10. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas a` forma escada e dando tambe´m
seus postos, encontre os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for poss´ıvel, determine o grau de liberdade.
(a) x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1. (b)
 x+ y = z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
(c)

x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
x+ 7y − 7z = 5
.
(d)
 x− 2y + 3z = 0
2x+ 5y + 6z = 0
(e)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
x1 − x2 + x3 + x4 = 2
(f)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
(g)

3x+ 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x+ 3y − 5z = 0
−x+ y + z = 1
Resp. (a) Matriz ampliada
[
1 2 − 1 3 1
]
. Posto 1. Nulidade 0. Soluc¸a˜o do sistema: Sistema possivel e indeter-
minado. x1 = −2x2 + x3 − 3x4 − x5. Posto da matriz dos coeficientes 1. (b) Matriz ampliada:
 1 1 1 4
2 5 −2 3
.
Posto 2. Nulidade 0. Soluc¸a˜o do sistema: Sistema poss´ıvel e indeterminado. x =
17
3
− 7
3
z e y = − 5
3
+
4
3
z. Posto
da matriz dos coeficientes 2. (c) Matriz ampliada:

1 1 1 4
2 5 −2 3
1 7 −7 5
. Posto 3. Nulidade 0. Soluc¸a˜o do sistema:
Sistema imposs´ıvel. Na˜o tem soluc¸a˜o. Posto da matriz dos coeficientes 2. (d) Matriz ampliada:
 1 −2 3 0
2 5 6 0
.
Posto 2. Nulidade 0. Soluc¸a˜o do sistema: Sistema poss´ıvel e indeterminado. x = −3z e y = 0. Posto da matriz dos
coeficientes 2. (e) Matriz ampliada:

1 1 1 1 0
1 1 1 −1 4
1 1 −1 1 −4
1 −1 1 1 2

. Posto 4. Nulidade 0. Soluc¸a˜o do sistema: Sistema
poss´ıvel e determinado. x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 e x4 = −2. Posto da matriz dos ceoficientes 4. (f) Matriz Ampliada:
1 2 3 0
2 1 3 0
3 2 1 0
. Posto 3. Nulidade 0. Soluc¸a˜o do sistema: Sistema poss´ıvel e determinado. x = 0, y = 0 e z = 0.
Posto da matriz dos coeficientes 3. (g) Matriz ampliada:

3 2 −4 1
1 −1 1 3
1 −1 −3 −3
3 3 −5 0
−1 1 1 1

. Posto 4 Nulidade 1. Soluc¸a˜o do
sistema: Sistema imposs´ıvel. Posto da matriz dos coeficientes 3.
11. O me´todo de Gauss para resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´ um dos mais adotados quando se faz uso do
computador, devido ao menor nu´mero de operac¸o˜es que envolve. ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do
sistema por linha-equval encia a uma matriz que so´ e´ diferente da matriz linha reduzida a` forma escada na condic¸a˜o
(b) que passa a ser: (b’) Cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha , tem todos os elementos
abaixo desta linha iguais a zero. Uma vez reduzida a matriz ampliada do sistema a esta forma, que chamaremos forma
de Gauss, a soluc¸a˜o final do sistema e´ obtida por substituic¸a˜o.
Resolva os sistemas por Gauss:
(a)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
x1 − x2 + x3 + x4 = 2
(b)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
(c)

3x+ 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x+ 3y − 5z = 0
−x+ y + z = 1
(d)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
12. Chamamos um sistema de m equac¸o˜es e n inco´gnitas de homogeˆneo quando todos os termos independentes
do sistema sa˜o nulos.
(a) Um sistema homogeˆneo admite, pelo menos, uma soluc¸a˜o (que chamamos de trivial). Qual e´ esta soluc¸a˜o ?
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneo

2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta
da soluc¸a˜o trivial.
Resp. (a) Soluc¸a˜o trivial e´ a soluc¸a˜o que todas as inco´gnitas sa˜o iguais a zero. (b) k = 2
13. Considere o sistema
 x+ 6y − 8z = 3
2x+ 6y − 4z = 0
(a) Reescreva o sistema na forma matricial.
(b) Verifique que a matriz X1 =

−3
1
0
 e´ uma soluc¸a˜o para o sistema.
(c) Resolva o sistema e verifique que toda ”matriz-soluc¸a˜o”e´ da forma X = λ

−4
2
1
+

−3
1
0
, onde λ ∈ R.
(d) Verifique que

−4
2
1
 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associadaoao sistema do enunciado do exerc´ıcio: x+ 6y − 8z = 0
2x+ 6y − 4z = 0
(e) Observe que a soluc¸a˜o do sistema na˜o homogeˆneo do exerc´ıcio e´ a soma da soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
associado ao sistema do exerc´ıcio mais uma soluc¸a˜o particular do sistema na˜o homogeˆneo do exerc´ıcio.
Resp. (a)
 1 6 −8
2 6 −4


x
y
z
 =
 3
0
. (b) E´ soluc¸a˜o pois:
 1 6 −8
2 6 −4


−3
1
0
 =
 3
0
.
(c) Resolvendo o sistema achamos: x = −3− 4z, y = 1 + 2z e z = z, ou seja,

x
y
z
 =

−3
1
0
+ z

−4
2
1

(d) Trocando x = −4, y = 2 e z = 1 no sistema homogeˆneo
 x+ 6y − 8z = 0
2x+ 6y − 4z = 0
verificamos que e´ soluc¸a˜o.
(e) Toda soluc¸a˜o

x
y
z
 do sistema
 x+ 6y − 8z = 3
2x+ 6y − 4z = 0
e´ da forma:

x
y
z

︸ ︷︷ ︸
soluc¸a˜o do sistema na˜o homogeˆneo
=

−3
1
0

︸ ︷︷ ︸
soluc¸a˜o particular do sistema na˜o homogeˆneo
+λ

−4
2
1

︸ ︷︷ ︸
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
14. Dado o sistema

1 2 0 −1
1 0 2 −1
1 2 2 −1
3 4 4 −3


x
y
z
w

=

2
2
4
8

(a) Resolva o sistema , isto e´, encontre sua matriz-soluc¸a˜o.
(b) Resolva o sistema homogeˆneo associado, isto e´, encontre sua matriz-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado.
(c) Verifique que toda matriz-soluc¸a˜o e´ a soma de uma matriz-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado mais uma
soluc¸a˜o particular do sistema na˜o homogeˆneo.
Resp. (a) x = w, y = 1, z = 1 e w = w, ou seja, matriz-soluc¸a˜o:

x
y
z
w

=

λ
1
1
λ

=

0
1
1
0

+ λ

1
0
0
1

.
(b) Sistema homogeˆneo associado:

1 2 0 −1
1 0 2 −1
1 2 2 −1
3 4 4 −3


x
y
z
w

=

0
0
0
0

Soluc¸a˜o x = w, y = 0, z = 0 e w = w,
ou seja,

x
y
z
w

= λ

1
0
0
1

.
15. Dado o sistema:

3x+ 5y + 12z − w = −3
x+ y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
.
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema.
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema incompat´ıvel
(imposs´ıvel).
Resp. (a) Sistema poss´ıvel e indeterminado. x =
13
2
, y =
15
2
− w, z = −5 + 1
2
w, w = w. (b) k = −1.