Prova N1 C 2ª Semetre 2015

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Profª Me Simone Tatiane do Canto 
Avaliação N1- (24/09/2015) 
Nome:_______________________________________________ RA:_____________________ 
Justifique, com o máximo detalhe possível, cada uma de suas respostas. 
1.) (2,00) Sendo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥2 tal que 𝑎𝑖𝑗 =
(𝑖)3 − 2. (𝑗)2 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥2 tal que 
𝑏𝑖𝑗 = (𝑖)
2 − (𝑗)2 + 3. Calcule 𝐴 + 𝐵. 
 
Primeiro Encontramos a matriz A. 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
] 
 
𝑎11 = (1)
3 − 2. (1)2 = 1 − 2 = −1 
𝑎12 = (1)
3 − 2. (2)2 = 1 − 8 = −7 
𝑎21 = 2
3 − 2. (1)2 = 8 − 2 = 6 
𝑎22 = (2)
3 − 2. (2)2 = 8 − 8 = 0 
𝑎31 = (3)
3 − 2. (1)2 = 27 − 2 = 25 
𝑎32 = (3)
3 − 2. (2)2 = 27 − 8 = 19 
 
𝐴 = [
−1 −7
6 0
25 19
] 
 
 
 
Agora encontramos B. 
𝐵 = [
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑏31 𝑏32
] 
 
𝑏11 = (1)
2 − (1)2 + 3 = 3 
𝑏12 = (1)
2 − (2)2 + 3 = 0 
𝑏21 = (2)
2 − (1)2 + 3 = 6 
𝑏22 = (2)
2 − (2)2 + 3 = 3 
𝑏31 = (3)
2 − (1)2 + 3 = 11 
𝑏32 = (3)
2 − (2)2 + 3 = 8 
 
 
𝐵 = [
3 0
6 3
11 8
] 
 
 
 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
Agora faremos A+B 
𝐴 + 𝐵 = [
−1 −7
6 0
25 19
] + [
3 0
6 3
11 8
] 
 
𝐴 + 𝐵 = [
−1 + 3 −7 + 0
6 + 6 0 + 3
25 + 11 19 + 8
] 
 
𝐴 + 𝐵 = [
2 −7
12 3
36 27
] 
 
2.) (2,00) Qual o valor de 𝑥 e 𝑦 de modo que: 
 
[
−9 1
1 −3
] . [
𝑥
𝑦] = [
9
3
] 
 
[
−9𝑥 + 𝑦
𝑥 − 3𝑦
] = [
9
3
] 
 
{
−9𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 − 3𝑦 = 3
 
 
{
−9𝑥 + 𝑦 = 9
9𝑥 − 27𝑦 = 27
 
 
−26𝑦 = 36 
𝑦 = −
36
26
= −
18
13
 
 
𝑥 − 3𝑦 = 3 
𝑥 +
54
13
= 3 
𝑥 = 3 −
54
13
 
𝑥 =
39 − 54
13
= − 
15
13
 
 
3.) (2,00) Qual o determinante da matriz quadrada: 
𝐴 = (
sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1
0 0 0
sin 𝑥 1 1
) 
 
det (𝐴) = |
sin𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1
0 0 0
sin𝑥 1 1
|
sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
0 0
sin 𝑥 1
 
det(𝐴) = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 
det(𝐴) = 0 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
4.) (2,00) Dê a solução da seguinte equação: 
|
2 𝑥 𝑥
−1 −2 −1
3 1 2
| = 10 − log2 16 
 
𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎, 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 − 𝑜𝑠. 
 
|
2 𝑥 𝑥
−1 −2 −1
3 1 2
|
2 𝑥
−1 −2
3 1
 
 
det(𝐴) = −8 − 3𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 + 2 + 2𝑥 
det(𝐴) = −6 + 4𝑥 
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 log2 16 = log2 2
4 = 4 log2 2 = 4.1 = 4, 𝑙𝑜𝑔𝑜 10 − log2 16 = 10 − 4 = 6, 
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
−6 + 4𝑥 = 6 
4𝑥 = 12 
𝑥 = 3 
 
5.) (2,00) Dada a matriz 𝐴 = (
5 7
2 6
), calcule: 
 
 
a) det(𝐴) = 30 − 14 = 16 
 
b) det (𝐴2) 
 
Primeiro faremos 𝐴2 = (
5 7
2 6
) . (
5 7
2 6
) = (
25 + 14 35 + 42
10 + 12 14 + 36
) = (
39 77
22 50
) 
 
det(𝐴2) = 39 . 50 − 77 . 22 = 1950 − 1694 = 256 
 
c) det (𝐴−1) 
Primeiro encontraremos 𝐴−1: 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 
(
5 7
2 6
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 
(
5𝑎 + 7𝑐 5𝑏 + 7𝑑
2𝑎 + 6𝑐 2𝑏 + 6𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
 
Agora aplicaremos a igualdade de matrizes: 
 
{
5𝑎 + 7𝑐 = 1
2𝑎 + 6𝑐 = 0
 
 
{
10𝑎 + 14𝑐 = 2
−10𝑎 − 30𝑐 = 0
 
 
Somamos as matrizes: 
−16𝑐 = 2 
𝑐 = −
2
16
= −
1
8
 
 
 
2𝑎 + 6𝑐 = 0 
2𝑎 + 6 (−
1
8
) = 0 
2𝑎 −
6
8
= 0 
2𝑎 =
6
8
 
𝑎 =
6
16
=
3
8
 
 
 
{
5𝑏 + 7𝑑 = 0
2𝑏 + 6𝑑 = 1
 
 
{
10𝑏 + 14𝑑 = 0
−10𝑏 − 30𝑑 = −5
 
 
−16𝑑 = −5 
𝑑 =
5
16
 
 
2𝑏 + 6𝑑 = 1 
2𝑏 +
30
16
= 1 
2𝑏 = 1 −
30
16
 
2𝑏 =
16 − 30
16
 
 
𝑏 =
−14
32
=
−7
16
 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
Assim 𝐴−1 = (
3
8
−7
16
−1
8
5
16
), agora faremos det (𝐴−1) 
 
det(𝐴−1) =
3
8
.
5
16
− (
−7
16
) . (
−1
8
) =
15
128
−
7
128
=
15 − 7
128
=
8
128
=
1
16
 
 
 
6.) (3,00) QUESTÃO DESAFIO: (OPCIONAL) 
 
 
a) 𝐴2 =
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1]
 
 
 
 
 
 
b) 𝑐22 = 2 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
𝑐22 = ∑ 𝑎2𝑘𝑎𝑘2 =
5
𝑘=1
𝑎21𝑎12 + 𝑎22𝑎22 + 𝑎23𝑎32 + 𝑎24𝑎42 + 𝑎25𝑎52 
 
𝑐22 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 
Logo existem 2 caminhos que transmite em 𝑐22 , 2 → 1 → 2 e 2 → 3 → 2. 
 
c) Note que essa resposta está no enunciado do exercício: 
O elemento nulo significa que não há transmissão, o elemento igual a 1 há transmissão 
por 1 caminho que envolve 3 setores, logo cada valor dos elementos dizem a 
quantidade de caminhos para que ocorra a transmissão e como cada caminhos contém 
3 setores envolvidos basta multiplicar a quantidade de caminhos por 3 e obterá a 
quantidade de setores envolvidos na transmissão. 
 
d) 𝐴3 =
[
 
 
 
 
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1]
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 3 5 5 4
2 2 4 6 2
0 3 2 4 2
1 0 3 1 2
0 1 0 2 0]
 
 
 
 
 
 
𝐴3 + 𝐴 =
[
 
 
 
 
1 3 5 5 4
2 2 4 6 2
0 3 2 4 2
1 0 3 1 2
0 1 0 2 0]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 4 6 6 5
3 2 5 7 2
0 4 2 5 2
1 0 4 1 3
0 1 0 3 0]
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑24 
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜, 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 7 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 21 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑13 𝑒 𝑑14 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 6 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 18 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑15 𝑒 𝑑23 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 5 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 15 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
 𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑12 , 𝑑32 𝑒 𝑑43 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 4 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 12 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑21 , 𝑑45 𝑒 𝑑54 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 3 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 9 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑22 , 𝑑33 , 𝑑25 𝑒 𝑑35 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 2 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 
6 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑11 , 𝑑41 , 𝑑52 𝑒 𝑑44 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 1 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑞𝑢𝑒 
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 3 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜.