UNIDADE IV aula 7

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UNIDADE IV: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
4.1. SOMAS DE RIEMANN. PROPRIEDADES DA INTEGRAL MÚLTIPLA. 
O TEOREMA DE FUBINI. (INTEGRAIS REPETIDAS)
4.2. SISTEMAS DE COORDENADAS. O TEOREMA DE MUDANÇA DE 
VARIÁVEL
4.3. COORDENADAS POLARES. COORDENADAS CILÍNDRICAS. 
COORDENADAS ESFÉRICAS
4.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
4.5. CÁLCULO DE ÁREAS. VOLUMES. MASSAS. CARGAS 
ELÉTRICAS. CENTRO DE MASSA. MOMENTO DE INÉRCIA. ETC.
Integrais Múltiplas
Integrais Duplas
Suponha que seja definida em uma 
região retangular dada por
Imaginamos como estando coberto por uma 
rede de retas paralelas aos eixos x e y. A região 
assim é dividida em pequenos retângulos de 
área
Formamos a soma 
f(x, y)
R
R : a � x � b, c � y � d
R
�A = �x�y
Sn =
n�
k=1
f(xk, yk)Ak
Se é contínua em , então, à medida que refinamos a 
largura da rede para fazermos tanto quanto 
tenderem a zero, as somas na equação aproximam um limite 
chamado de Integral Dupla de em .
 ou 
Assim,
f R
�x �y
f R� �
R
f(x, y)dA
� �
R
f(x, y)dxdy
⇥ ⇥
R
f(x, y)dA = lim
�A�0
n�
k=1
f(xk, yk)�Ak
1. Múltiplo constante :
2. Soma e Diferença
3. Dominação se em 
 se em 
4.Aditividade
se for a união de dois retângulos não sobrepostos e 
� �
R
kf(x, y)dA = k
� �
R
f(x, y)dA
� �
R
(f(x, y)± g(x, y))dA =
� �
R
f(x, y)dA±
� �
R
g(x, y)dA� �
R
f(x, y)dA � 0 f(x, y) � 0 R� �
R
f(x, y)dA �
� �
R
g(x, y)dA f(x, y) � g(x, y) R
� �
R
f(x, y)dA =
� �
R1
f(x, y)dA+
� �
R2
f(x, y)dA
R R1 R2
R1 R2
Quando é positiva, podemos interpretar a integral 
dupla de em uma região retangular como o volume do 
prisma sólido limitado inferiormente por e 
superiormente pela superfície .
Integrais Duplas como Volume
f(x, y)
f R
R
z = f(x, y)
V olume = limSn =
� �
R
f(x, y)dA
Definimos o Volume de 
sólidos com base curva da 
mesma maneira que 
definimos o volume de 
sólidos com base 
retangular.
Teorema de Fubini
Se for contínua na região retangular 
Então
f(x, y)
R : a � x � b, c � y � d
� �
R
f(x, y)dA =
� d
c
� b
a
f(x, y)dxdy =
� b
a
� d
c
f(x, y)dydx
Teorema de Fubini 2
Seja contínua em uma região .
1. Se for definida por , 
com e contínuas em , então
f(x, y) R
R a � x � b g1(x) � y � g2(x)
g1 g2 [a, b]� �
R
f(x, y)dA =
� b
a
� g2(x)
g1(x)
f(x, y)dydx
Teorema de Fubini 2
Seja contínua em uma região .
2. Se for definida por , 
com e contínuas em , então
f(x, y) R
R c � y � d h1(y) � x � h2(y)
h1 h2 [c, d]� �
R
f(x, y)dA =
� d
c
� h2(y)
h1(y)
f(x, y)dxdy
Área, Momento e Centro de Massa
A área de uma região plana fechada e limitada éR
A =
� �
R
dA
Massa e primeiros momentos para placas 
finas que cobrem regiões no plano xy
Densidade
massa
primeiros momentos 
centro de massa
M =
� �
R
�(x, y)dA
�(x, y)
Mx =
� �
R
y�(x, y)dA My =
� �
R
x�(x, y)dA
x¯ =
My
M
y¯ =
Mx
M
Momentos de inércia para placas finas no plano xy
Em relação ao eixo x
Em relação ao eixo y
Em relação à origem (momento polar)
Em relação a uma reta 
onde é a distância de até 
Ix =
� �
R
y2�(x, y)dA
Iy =
� �
R
x2�(x, y)dA
I0 =
� �
R
(x2 + y2)�(x, y)dA = Ix + Iy
IL =
� �
R
r2(x, y)�(x, y)dA
L
r(x, y) (x, y) L
Raios de rotação
Em relação ao eixo x
Em relação ao eixo y
Em relação a origem
Rx =
�
Ix
M
Ry =
�
Iy
M
R0 =
�
I0
M
Integrais triplas : Volume de uma região no espaço
O volume de uma região D fechada e limitada no espaço é
V =
� � �
D
dV
Massa e momentos para objetos no espaço
massa densidade
primeiros momentos em relacão aos planos coordenados
centro de massa
M =
� � �
D
�dV � = �(x, y, z)
Myz =
� � �
D
x � dV Mxz =
� � �
D
y � dV
Mxy =
� � �
D
z � dV
x¯ =
Myz
M
y¯ =
Mxz
M
z¯ =
Mxy
M
Momento de Inércia com relação aos eixos coordenados
Momento de Inércia com relação a uma reta
 é a distância do ponto
 à reta 
Raio de rotação em relação a uma reta 
Ix =
� � �
D
(y2 + z2)�dV
Iy =
� � �
D
(x2 + z2)�dV
Iz =
� � �
D
(x2 + y2)�dV
L
IL =
� � �
D
r2 � dV r(x, y, z) (x, y, z)
L
L
RL =
�
IL
M