Unidade 3 - Circuitos Combinacionais

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Circuitos Combinacionais
Unidade 3
Sistemas Digitais – Prof. Rogério Reguim Nauderer
1
Ementa:
3.1 – Álgebra Booleana
3.2 – Construção de tabelas verdade
3.3 – Representação de Funções 
3.4 – Projeto de circuitos lógicos combinacionais
3.5 – Codificadores e decodificadores
3 – Circuitos Combinacionais
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2
3.1 – Álgebra Booleana
Podemos representar a lógica de um circuito digital como uma expressão booleana, tal como:
S = A.B+B.C+D.A.B
As expressões booleanas podem ser operadas através de axiomas e teoremas, com o objetivo de reduzir a expressão à mais simples possível.
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3.1 – Álgebra Booleana
Axiomas:
Axioma da comutatividade:
A.B=B.A 			A+B=B+A
Axioma da distributividade:
A.(B+C)=A.B+A.C		A+(B.C)=(A+B).(A+C)
Axioma da Identidade:
A.1=A		A+0=A
Axioma do complemento:
A.A=0		A+A=1
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3.1 – Álgebra Booleana
Teoremas:
Idempotência:
A.A=A			A+A=A
Elementos Absorventes:
A.0=0			A+1=1
Associatividade:
(A+B)+C=A+(B+C)			(A.B).C=A.(B.C)
Dupla Negação:
A=A
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3.1 – Álgebra Booleana
Absorção:
A+AB=A		A.(A+B)=A
Redundância:
A+AB=A+B	A.(A+B)=AB
Adjacência:
AB+AB=A		(A+B).(A+B)=A
De Morgan:
A+B=A.B		A.B=A+B
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3.1 – Álgebra Booleana
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3.1 – Álgebra Booleana
Exemplos: 
1) Usando os teoremas da álgebra booleana, simplifique as expressões:
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3.2 – Construção de Tabelas Verdade
Como já vimos na unidade 2, podemos construir tabelas verdade com todas as combinações de resultados para uma expressão lógica.
Essa construção pode ser estendida para expressões mais complexas.
Uma tabela verdade será composta por:
“n” colunas: cada uma representando uma variável;
“m” colunas: cada uma representando uma saída;
2n linhas, uma para cada combinação de entradas.
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3.2 – Construção de Tabelas Verdade
Exemplo:
A tabela verdade da função S=A.B+A.C é:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.2 – Construção de Tabelas Verdade
Para auxiliar na criação da tabela verdade a partir de uma expressão, podemos acrescentar colunas para representar os resultados intermediários, até obtermos o resultado final na última coluna.
Exemplo:
S=A.B+A.C
A
B
C
C
A.B
A.C
S
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
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3.2 – Construção de Tabelas Verdade
Exemplos:
1) Encontre as tabelas verdades das expressões abaixo:
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3.3 – Representação de Funções
Podemos utilizar as tabelas verdade para determinar uma expressão booleana que a satisfaça.
Existem três técnicas principais para a representação:
Representação por soma de mintermos
Representação por produtos de maxitermos
Representação por mapa de Karnaugh.
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3.3 – Representação de Funções
Representação por soma de mintermos:
Elabora a expressão algébrica a partir das linhas da tabela verdade cuja saída seja igual a 1.
Para cada linha cuja saída é 1, elabora-se uma expressão algébrica com o produto (E) das entradas.
Ao final, soma-se (OU) todos os termos encontrados.
A vantagem desse processo é que encontramos facilmente a expressão algébrica.
A desvantagem é que a expressão não é otimizada e pode ficar muito grande se a tabela tiver muitos “1”.
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3.3 – Representação de Funções
Exemplo: 
Use a soma de mintermos para encontrar uma expressão algébrica para a tabela verdade:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.3 – Representação de Funções
Solução:
Inicialmente identificamos cada linha que contém o resultado 1:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.3 – Representação de Funções
Em seguida, criamos um produto das entradas para cada linha identificada, colocando o complemento da entrada quando o valor dela for zero.
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
A.B.C
1
0
1
0
1
1
0
1
A.B.C
1
1
1
1
A.B.C
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3.3 – Representação de Funções
A expressão final será a soma (OU) entre as expressões criadas:
S=A.B.C+A.B.C+A.B.C
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
A.B.C
1
0
1
0
1
1
0
1
A.B.C
1
1
1
1
A.B.C
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3.3 – Representação de Funções
Representação por produtos de maxtermos:
Elabora a expressão algébrica a partir das linhas da tabela verdade cuja saída seja igual a 0.
Para cada linha cuja saída é zero, elabora-se uma expressão algébrica com a soma (OU) das entradas.
Ao final, faz-se o produto (E) das expressões encontradas.
Este método compartilha as vantagens e desvantagens da representação por soma de mintermos.
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3.3 – Representação de Funções
Exemplo: 
Use o produto de maxtermos para encontrar uma expressão algébrica para a tabela verdade:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.3 – Representação de Funções
Solução:
Inicialmente identificamos cada linha que contém o resultado 0:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.3 – Representação de Funções
Em seguida, criamos uma soma (OU) das entradas para cada linha identificada, colocando o complemento da entrada quando o valor dela for 1.
A
B
C
S
0
0
0
0
A+B+C
0
0
1
0
A+B+C
0
1
0
0
A+B+C
0
1
1
0
A+B+C
1
0
0
1
1
0
1
0
A+B+C
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.3 – Representação de Funções
A expressão final será o produto (E) entre as expressões criadas:
S=(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
A
B
C
S
0
0
0
0
A+B+C
0
0
1
0
A+B+C
0
1
0
0
A+B+C
0
1
1
0
A+B+C
1
0
0
1
1
0
1
0
A+B+C
1
1
0
1
1
1
1
1
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3.3 – Representação de Funções
Mapa de Karnaugh:
Ao utilizarmos a soma de mintermos ou o produto de maxtermos para obter expressões booleanas, não obtemos a expressão mais simples.
Antes de implementar o circuito lógico, podemos (devemos) simplificar a expressão utilizando o método algébrico já visto.
A simplificação algébrica de expressões é muitas vezes difícil.
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3.3 – Representação de Funções
Antes de passarmos ao mapa de Karnaugh, vamos ver o que acontece realmente na tabela verdade vista anteriormente.
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
A expressão booleana que gerou esta tabela é a S=A.B+A.C.
Repare que nas linhas destaca-das a saída é 1 quando A e B forem 1, independente do valor de C. Portanto, este termo A.B faz parte da solução.
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3.3 – Representação de Funções
Repare também que a saída também será 1 quando A for 1 e C for zero, independente do valor de B. Esta é a segunda parte da solução, A.C.
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
A melhor solução para a expressão booleana sempre passará pela análise conjunta de duas ou mais linhas.
As linhas onde essas condições são permitem a simplificação são chamadas de adjacentes.
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3.3 – Representação de Funções
Linhas adjacentes são as linhas da tabela verdade que diferem de somente uma variável.
O problema é que essas linhas nem sempre estão “encostadas” uma na outra.
Uma forma de contornar esse problema é alterar a tabela para uma forma conhecida como mapa de Karnaugh.
ABC
00
01
11
10
0
0
1
3
2
1
4
5
7
6
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3.3 – Representação de Funções
No mapa de Karnaugh, cada posição P do mapa está adjacente a três outras posições (A1, A2 e A3), como podemos ver abaixo.
ABC
00
01
11
10
0
A2
1
A1
P
A3
ABC
00
01
11
10
0
A2
1
A3
A1
P
ABC
00
01
11
10
0
P
A3
A1
1
A2
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3.3 – Representação de Funções
Ao reescrevermos a tabela verdade da função, obtemos:
Para gerarmos a expressão booleana, agrupamos os “1” da tabela em grupos de 1, 2 ou 4 elementos, conforme seja possível. No nosso exemplo, podemos formar dois grupos: G1 e G2.
ABC
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
G1
G2
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3.3 – Representação de Funções
Ao lermos a expressão a partir do mapa, vemos que:
Para G1: A=1, B=1 e C=0 ou 1;
Para G2: A=1,B=0 ou 1 e C=0;
Assim, podemos escrever que:
G1=A.B
G2=A.C
ABC
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
G1
G2
S=G1+G2=A.B+A.C
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3.3 – Representação de Funções
Mapa de Karnaugh com 4 variáveis:
O mapa de Karnaugh de quatro variáveis pode ser construído espelhando-se o mapa de três variáveis:
Neste mapa, podemos criar grupos com 1, 2, 4 ou 8 células. 
ABCD
00
01
11
10
00
0
1
3
2
01
4
5
7
6
11
12
13
15
14
10
8
9
11
10
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3.3 – Representação de Funções
Exemplo:
Dado o mapa de Karnaugh abaixo, encontre a expressão booleana S que o representa.
ABCD
00
01
11
10
00
0
1
0
0
01
0
1
1
1
11
1
1
1
0
10
0
0
1
0
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3.3 – Representação de Funções
Solução:
A=ABC
B=ACD
C=ACD
D=ABC
ABCD
00
01
11
10
00
0
1
0
0
01
0
1
1
1
11
1
1
1
0
10
0
0
1
0
A
B
C
D
S=ABC+ACD+ACD+ABC
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3.3 – Representação de Funções
Minimização com indiferenças:
Algumas vezes acontece de uma função lógica ter certas configurações de entradas que são impossíveis. Podemos aproveitar esse fato para minimizar ainda mais a expressão algébrica da função.
Por exemplo, vamos estudar a expressão lógica para uma função que retorne 1 sempre que o número BCD representado seja múltiplo de 3. 
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3.3 – Representação de Funções
A tabela verdade dessa função será:
BCD
A
B
C
D
S
0
0
0
0
0
0
Não é múltiplo de 3
1
0
0
0
1
0
Não é múltiplo de 3
2
0
0
1
0
0
Não é múltiplo de 3
3
0
0
1
1
1
É múltiplo de 3
4
0
1
0
0
0
Não é múltiplo de 3
5
0
1
0
1
0
Não é múltiplo de 3
6
0
1
1
0
1
É múltiplo de 3
7
0
1
1
1
0
Não é múltiplo de 3
8
1
0
0
0
0
Não é múltiplo de 3
9
1
0
0
1
1
É múltiplo de 3
1
0
1
0
X
Não é BCD
1
0
1
1
X
Não é BCD
1
1
0
0
X
Não é BCD
1
1
0
1
X
Não é BCD
1
1
1
0
X
Não é BCD
1
1
1
1
X
Não é BCD
Repare que temos 3 situações:
Não é múltiplo de 3
É múltiplo de 3
Não é BCD (marcados com X na tabela), indicam indiferença.
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3.3 – Representação de Funções
Considerando os valores indiferentes como 0, a expressão algébrica que conseguimos será:
S=A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D
ABCD
00
01
11
10
00
0
0
1
0
01
0
0
0
1
11
0
0
0
0
10
0
1
0
0
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3.3 – Representação de Funções
Mas, se colocarmos as indiferenças no mapa, podemos aproveitá-las como 0 ou 1, dependendo da conveniência:
S=AD+BCD+BCD
ABCD
00
01
11
10
00
0
0
1
0
01
0
0
0
1
11
X
X
X
X
10
0
1
X
0
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Análise de circuitos combinacionais
Podemos analisar um circuito combinacional de duas formas:
Levantando as equações de saída do circuito;
Escrevendo a tabela verdade do circuito;
Conceitualmente as duas formas não são diferentes, mas usam ferramentas diferentes para obter os resultados.
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Exemplo: Encontre a equação algébrica e a tabela verdade do circuito abaixo:
A
B
C
D
S1
S2
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Para levantar a expressão algébrica, inserimos a expressão de cada operação na saída da mesma:
A
B
C
D
S1
S2
A
B
B.C
A.B
A+B.C
A.B+D
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Assim:
S1=A.B⊕D+A+B.C
S2=A.B+D
Para obter a tabela verdade, analisamos os valores das saídas enquanto variamos os valores das entradas para cobrirem todas as opções.
Podemos utilizar colunas intermediárias para auxiliar no cálculo.
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Assim:
A
B
C
D
A
B
A.B
A.B⊕D
B.C
S1
S2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Projeto de circuitos combinacionais
O projeto de circuitos combinacionais complexos envolve quebrar o problema principal em módulos menores e mais simples.
Se os módulos menores forem simples o suficiente, pode-se partir para o projeto do circuito e da interligação entre os módulos.
A hierarquia do projeto é importante, partindo da descrição mais abstrata do circuito até chegar a módulos de menor complexidade.
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Uma vez que se tenha a definição de um módulo simples o suficiente para implementação, fazemos:
1 – Define-se o número de entradas e saídas e atribui-se nomes a elas.
2 – Obtém-se a tabela verdade para cada saída ou suas expressões lógicas.
3 – Obtém-se as expressões lógicas simplificadas das funções de saída.
4 – Desenha-se o circuito.
5 – Verifica-se o projeto. 
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Exemplo:
Projete um circuito detector de paridade ímpar com 9 entradas. 
Solução:
A saída do circuito deve ser 1 sempre que o número de entradas em 1 for ímpar. 
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
S0
Detector de paridade ímpar com 9 entradas
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Como são 9 entradas, não é prático criar uma tabela verdade para o circuito (terá 512 linhas!).
Uma solução para o problema seria dividir o circuito em módulos detectores de paridade com três entradas:
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
S0
Detector de paridade ímpar com 3 entradas
Detector de paridade ímpar com 3 entradas
Detector de paridade ímpar com 3 entradas
Detector de paridade ímpar com 3 entradas
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Cada módulo desses pode ser criado usando 2 portas “OU Exclusivo”, da seguinte forma (saltou-se propositalmente os passos de projeto):
A
B
C
S
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Assim, o circuito final usará 2 circuitos integrados com portas XOR de duas entradas e terá a seguinte configuração:
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
S0
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3.4 – Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Exercícios propostos:
Dado um número de 8 bits, desenhe o diagrama em blocos de um circuito combinacional que gere o seu complemento de 2 (para obter o complemento de 2, gere o complemento do número binário e some 1 ao resultado).
Projete um circuito combinacional de três entradas (X2, X1 e X0)e duas saídas (Y1 e Y0) que calcule Y=X MOD 2. Obs.: MOD é a parte inteira da divisão.
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
3.5.1 – Decodificadores
Um decodificador é um circuito que permite obter uma saída que identifique o código de um conjunto de bits de entrada.
Para isso, o decodificador tem tantas saídas quanto o número de palavras de código e ativa, a cada momento, a saída correspondente à palavra de código da entrada.
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
Por exemplo, um decodificador binário de n bits possui n entradas e 2n saídas. Somente uma saída estará ativa para cada combinação de bits nas entradas. Um decodificador binário de três entradas terá a seguinte tabela verdade:
A
B
C
S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
Existem vários tipos de decodificadores no mercado, cada um projetado para uma finalidade específica.
Por exemplo, podemos encontrar decodificadores:
Binário para 7 segmentos;
Seletor de n saídas (1 de n);
Binário para BCD;
Etc.
D0
D1
Dn
EN
O0
O1
O3
O2
O2n
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
Em algumas situações, precisamos de um número de entradas e saídas superior ao número disponível em um circuito decodificador. 
Para permitir a expansão de decodificadores, alguns destes vêm equipados com uma porta de ENABLE (EN). Esta entrada, quando ativada, seleciona a saída de acordo com a entrada. Se estiver desativada, não seleciona nenhuma saída.
Fazendo uma lógica entre vária entradas enable, podemos aumentar o número de saídas disponíveis.
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
Por exemplo, podemos combinar decodificadores 1 de 4 para elaborar um circuito 1 de 16.
D0
D1
EN
O0
O1
O3
O2
D0
D1
EN
O0
O1
O3
O2
D0
D1
EN
O0
O1
O3
O2
D0
D1
EN
O0
O1
O3
O2
D0
D1
EN
O0
O1
O3
O2
D0
D1
Vcc
O0
O1
O3
O2
O4
O5
O7
O6
O8
O9
O11
O10
O12
O13
O15
O14
D2
D3
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
Podemos usar decodificadores binários 1 de n para implementar tabelas verdade através de mintermos:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
D0
D1
O0
O1
O3
O2
O4
O5
O7
O6
D2
A
B
C
S
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3.5 – Codificadores e Decodificadores
3.5.2 – Codificadores
Tem funcionamento inverso ao do decodificador.
Identifica uma entrada e a codifica em uma palavra binária de n bits.
Problema: O que fazer se um codificador 1 para n tiver mais de uma entrada ativa ao mesmo tempo?
Solução: Priorizar as entradas, de forma que a mais prioritária será codificada. Um codificador de prioridades também é chamado de transcodificador.
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