Aula 07 - Simplificação de Diagramas de Bloco (dia_241008_095222

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Simplificação de Diagramas de Bloco 
(diagramas equivalentes)
Gilson Amorim
Introdução
• Em um modelo de um sistema complexo, 
pode-se notar que cada subsistema tem sua 
função de transferência.
• Os diagramas de blocos pode ser usados 
para representar cada um desses 
subsistemas
• Veremos como, dado um sistema complexo, 
determinaremos o sistema equivalente
usando a representação de blocos
Diagramas de Blocos
• Os diagramas de blocos utilizam 
os seguintes elementos:
• Seta - É usada para representar o 
sentido do fluxo de sinal.
• Bloco - É um símbolo de 
operação matemática sobre o 
sinal de entrada do bloco que 
produz a saída. É representado 
normalmente por função de 
transferência.
Diagramas de Blocos
• Ponto de soma - O círculo com 
uma cruz é o símbolo que indica 
uma operação de soma. O sinal 
mais ou menos determina se o 
sinal deve ser adicionado ou 
subtraído.
• Ponto de junção - É um ponto a 
partir do qual o sinal proveniente 
de um bloco vai para outros 
blocos ou pontos de soma.
Blocos em 
Cascata (em 
série)
• Um sistema terá elementos em 
cascata (em série) se dois ou 
mais elementos estão num 
mesmo ramo direto, então a 
função de transferência G(s) do 
sistema é:
• 𝐺 𝑠 =
𝜃0(𝑠)
𝜃𝑖(𝑠)
• Onde: 
• 𝜃0(𝑠) é o sinal de saída
• 𝜃𝑖(𝑠) é o sinal de entrada
Blocos em Cascata (em série)
• Tomando a figura abaixo como um ramo de um sistema com dois 
blocos (funções de transferência) estão em série:
𝜃𝑜1 = 𝐺1𝜃𝑖1
𝜃𝑜2 = 𝐺2𝜃𝑖2
𝜃𝑖2 = 𝜃𝑜1
𝜃𝑜2 = 𝐺2𝐺1𝜃𝑖1 Fazendo 
𝜃𝑜2
𝜃𝑖1
= 𝐺2𝐺1, que é a função de transferência resultante (G)
𝐺 = 𝐺2𝐺1
Bloco com 
Ramificação de 
Realimentação 
(Feedback) 
• Sistemas em malha fechada com 
realimentação têm as seguintes 
representações:
Bloco com 
Ramificação de 
Realimentação 
(Feedback)
• A função de transferência G(s) para 
realimentação negativa será:
• 𝐺1 =
𝜃𝑜
𝜃𝑖−𝐻𝜃𝑜
• 𝜃𝑜 = 𝐺1𝜃𝑖 − 𝐺1𝐻𝜃𝑜
• 𝜃𝑜 + 𝐺1𝐻𝜃𝑜 = 𝐺1𝜃𝑖
• 𝜃𝑜(1 + 𝐺1𝐻)= 𝐺1𝜃𝑖
•
𝜃𝑜(𝑠)
𝜃𝑖(𝑠)
=
𝐺1
1+𝐺1𝐻
• 𝐺 𝑠 =
𝜃𝑜(𝑠)
𝜃𝑖(𝑠)
=
𝐺1
1+𝐺1𝐻
 , ou 𝐺 𝑠 =
𝐺1(𝑠)
1+𝐺1(𝑠)𝐻(𝑠)
 
Bloco com 
Ramificação de 
Realimentação 
(Feedback)
• A função de transferência G(s) para 
realimentação positiva será:
• 𝐺1 =
𝜃𝑜
𝜃𝑖+𝐻𝜃𝑜
• 𝜃𝑜 = 𝐺1𝜃𝑖 + 𝐺1𝐻𝜃𝑜
• 𝜃𝑜 − 𝐺1𝐻𝜃𝑜 = 𝐺1𝜃𝑖
• 𝜃𝑜(1 − 𝐺1𝐻)= 𝐺1𝜃𝑖
•
𝜃𝑜(𝑠)
𝜃𝑖(𝑠)
=
𝐺1
1−𝐺1𝐻
• 𝐺 𝑠 =
𝜃𝑜(𝑠)
𝜃𝑖(𝑠)
=
𝐺1
1−𝐺1𝐻
 , ou 𝐺 𝑠 =
𝐺1(𝑠)
1−𝐺1(𝑠)𝐻(𝑠)
 
Bloco em Cascata com Ramo de 
Realimentação (feedback)
• Tomemos um sistema em 
ramo fechado com dois 
elementos em cascata e 
uma realimentação, figura 
abaixo
Que pode ser simplificado como 
segue:
Cuja função de transferência será:
𝐺 𝑠 =
𝐺2 𝑠 𝐺1(𝑠)
1 + 𝐺2 𝑠 𝐺1 𝑠 𝐻(𝑠)
Blocos em Paralelo 
(soma)
• Em um sistema com blocos em 
paralelo os sinais se somam no 
ponto de soma, conforme figura ao 
lado
• Resulta em:
• 𝜃𝑜 = 𝐺1𝜃𝑖 + 𝐺2𝜃𝑖
• 𝜃𝑜 = (𝐺1+𝐺2)𝜃𝑖
•
𝜃𝑜
𝜃𝑖
= (𝐺1+𝐺2)
• 𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 + 𝐺2(𝑠)
Blocos em Paralelo 
(subtração)
• Em um sistema com blocos em 
paralelo os sinais se subtraem no 
ponto de soma, conforme figura ao 
lado
• Resulta em:
• 𝜃𝑜 = 𝐺1𝜃𝑖 − 𝐺2𝜃𝑖
• 𝜃𝑜 = (𝐺1−𝐺2)𝜃𝑖
•
𝜃𝑜
𝜃𝑖
= (𝐺1−𝐺2)
• 𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 − 𝐺2(𝑠)
Exemplo 1
• Simplifique o diagrama de blocos 
abaixo:
• Os trechos acima em destaque estão 
em série (produto) e em paralelo 
(soma ou subtração), resultando em:
Exemplo 1 - Resolução
• O trecho acima em destaque é uma 
realimentação, resultando em:
Exemplo 1 - Resolução
• O trecho acima em destaque representa, 
mais uma vez, blocos em série:
Exemplo 1 - Resolução
• O diagrama acima representa um diagrama de realimentação, que 
resultam em:
Exemplo 1 - Resolução
• Que é a função de transferência do diagrama.
Exemplo 2
Considere o sistema mostrado 
na figura abaixo. Simplifique o 
diagrama.
Exemplo 2 - Resolução
• Desloca-se o somador de H2 para antes de G1 para obter dois blocos 
em série com G1 e G2 
Exemplo 2 - Resolução
• Resolvendo o trecho em série de G1 e G2 e a realimentação com H1:
• O trecho em vermelho acima são dois blocos em série
• O trecho em verde acima representa uma realimentação negativa
Exemplo 2 - Resolução
• Calculando a função transferência resultante da realimentação 
negativa:
•
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1
1+
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1
𝐻2
𝐺1
=
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1
1+
𝐺2𝐺3𝐻2
1−𝐺1𝐺2𝐻1
=
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1
1−𝐺1𝐺2𝐻1+𝐺2𝐺3𝐻2
1−𝐺1𝐺2𝐻1
• =
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1+𝐺2𝐺3𝐻2
Exemplo 2 - Resolução
• De onde se obtém: 
• =
(
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1+𝐺2𝐺3𝐻2
)
1+
𝐺1𝐺2𝐺3
1−𝐺1𝐺2𝐻1+𝐺2𝐺3𝐻2
1
Exemplo 2 - Resolução
• Que equivale a uma realimentação considerando H=1, de onde, 
finalmente se obtém:
Exemplo 3
• Simplifique o diagrama de blocos 
da figura abaixo.
Exemplo 3 - Resolução
• Inicialmente, mova o ponto de ramificação que contém H1 para fora 
da malha que contém H2
• O trecho em verde é uma realimentação e no trecho em vermelho 
tem dois blocos em paralelo, deste modo teremos:
Exemplo 3 - Resolução
• Este dois blocos estão em série
• Calculando a função transferência ficará:
Exemplo 3 - Resolução
•
𝐺
1+𝐺𝐻2
1 +
𝐻1
𝐺
=
𝐺
1+𝐺𝐻2
+
𝐻1
𝐺
𝐺
1+𝐺𝐻2
=
𝐺+𝐻1
1+𝐺𝐻2
• O diagrama finalmente será:
Exemplo 4
• Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo:
Exemplo 4 - Resolução
• O circuito acima pode ser entendido como tendo duas ramificações 
saindo de R(s), ou seja,
• O trecho em verde corresponde a dois blocos em paralelo (𝐺1e 1)
Exemplo 4 - Resolução
• O trecho em vermelho também corresponde a dois blocos em série 
(𝐺1 + 1) e 𝐺2
• O trecho em azul corresponde a dois blocos em paralelo: (
)
𝐺1𝐺2 +
𝐺2 e 1
Exemplo 4 - Resolução
• Fazendo os cálculos do trecho em série, tem-se:
• 𝐺1 + 1 𝐺2 = 𝐺1𝐺2 + 𝐺2
• Que, finalmente, resultará em:
Referências
• FRANCHI, C. M. Controle de processos 
industriais : princípios e aplicações. 2011. 
• GARCIA, C. Modelagem e simulação de 
processos industriais e de sistemas 
eletromecânicos. 2005.
• OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 
2011.
	Slide 1: Simplificação de Diagramas de Bloco (diagramas equivalentes)
	Slide 2: Introdução
	Slide 3: Diagramas de Blocos
	Slide 4: Diagramas de Blocos
	Slide 5: Blocos em Cascata (em série)
	Slide 6: Blocos em Cascata (em série)
	Slide 7: Bloco com Ramificação de Realimentação (Feedback) 
	Slide 8: Bloco com Ramificação de Realimentação (Feedback)
	Slide 9: Bloco com Ramificação de Realimentação (Feedback)
	Slide 10: Bloco em Cascata com Ramo de Realimentação (feedback)
	Slide 11: Blocos em Paralelo (soma)
	Slide 12: Blocos em Paralelo (subtração)
	Slide 13: Exemplo 1
	Slide 14: Exemplo 1 - Resolução
	Slide 15: Exemplo 1 - Resolução
	Slide 16: Exemplo 1 - Resolução
	Slide 17: Exemplo 1 - Resolução
	Slide 18: Exemplo 2
	Slide 19: Exemplo 2 - Resolução
	Slide 20: Exemplo 2 - Resolução
	Slide 21: Exemplo 2 - Resolução
	Slide 22: Exemplo 2 - Resolução
	Slide 23: Exemplo 2 - Resolução
	Slide 24: Exemplo 3
	Slide 25: Exemplo 3 - Resolução
	Slide 26: Exemplo 3 - Resolução
	Slide 27: Exemplo 3 - Resolução
	Slide 28: Exemplo 4
	Slide 29: Exemplo 4 - Resolução
	Slide 30: Exemplo 4 - Resolução
	Slide 31: Exemplo 4 - Resolução
	Slide 32: Referências