Lista5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - UERJ 2015,1 Física

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IME 508 - CDI I T12 (2015-1)
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
IME - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
ANMAT - DEPARTAMENTO DE ANA´LISE MATEMA´TICA
Prof.a Cristiane Oliveira de Faria
LISTA 4 DE CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Derivadas: Regras de derivac¸a˜o, Regra da cadeia, Derivada superior
1. Calcule f ′(x0) e determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto (x0, f(x0)).
(a) f(x) =
√
x2 + 4, x0 =
√
5 (b) f(x) =
x + 4
x + 2
, x0 = 0 (c) f(x) =
1
x
, x0 =
1
2
2. Seja f(x) =

3− x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ cont´ınua em x = 1?
3. Seja f(x) =

−x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ cont´ınua em x = 1?
4. Determine a e b de modo que f(x) =
 x
2 , x < 1
ax + b , x ≥ 1
seja diferencia´vel.
5. Derive cada func¸a˜o abaixo (se poss´ıvel, simplifique a func¸a˜o e/ou a derivada da func¸a˜o)
(a) f(x) = 2(x2 + 2x + 1) tanx
(b) f(x) = cos2 x
(c) f(x) =
√
x senx + x1/3
(d) f(x) = 2x cosx tanx
(e) f(x) =
x secx
x2 + 2x + 3
(f) f(x) =
(x2 − 2x + 2)2
x4 + x2 + 1
(g) f(x) =
1
(x2 + 2)2
(h) f(x) =
 x
3 sen(1/x) , x 6= 0
0 , x = 0
(i) f(x) = |2x− 8|, x 6= 4
6. Derive cada func¸a˜o abaixo (se poss´ıvel, simplifique a func¸a˜o e/ou a derivada da func¸a˜o)
(a) f(x) =
4√2x4+2x
cos2 x
(b) f(x) = ( sen2x)(x3 + 2x)2/3
(c) F (u) = u
3−3u2
(u4+1)5/2
(d) G(r) = 5
√
2r2−2
r−1
(e) M(x) =
√
x +
√
x +
√
x
(f) f(x) =
 x
3 sen(1/x4) , x 6= 0
0 , x = 0
7. Sejam f(x) =
√
2x + 1 e g(x) =
√
tanx. Calcule (f ◦ g)′(pi4 ).
8. Considere f uma func¸a˜o diferencia´vel e g definida por g(x) = f2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e
f ′(0) = − 12 , calcule g′(pi2 ).
9. Seja g : R→ R diferencia´vel; g(0) = 12 e g′(0) = 1. Calcule f ′(0), onde f(x) = cos(x)g2
(
tan( xx2+2 )
)
10. Sejam g diferencia´vel e f(x) = x g(x2).
(a) Mostre que f ′(x) = g(x2) + 2x2g′(x2);
(b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g′(4) = 1 e f ′(2) = −1.
11. Calcule f ′′ para as func¸o˜es do ex. 6.(d) e 6.(f)
12. Considere g(x) = cosx f2(x), onde f : R → R e´ duas vezes diferencia´vel, f(0) = −1 e f ′(0) =
f ′′(0) = 2. Calcule g′′(0).
RESPOSTAS
1. (a) f ′(5) = lim
x→√5
√
x2 + 4− 3
x−√5 =
√
5
3
; reta tangente: y − 3 =
√
5
3 (x−
√
5)
(b) f ′(0) = −1
2
, reta tangente: y = −x2 + 2
(c) f ′( 12 ) = −4, reta tangente: y = −4x + 4
2. f e´ diferencia´vel em x = 1 pois f ′(1) = −1/2; f e´ cont´ınua em x = 1, pois tem um teorema que
garante que toda func¸a˜o diferencia´vel num ponto e´ cont´ınua nesse ponto.
3. f na˜o e´ cont´ınua em x = 1, pois lim
x→1−
f(x) = −1
2
6= lim
x→1+
f(x) = 1; f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1
pois se fosse, f seria cont´ınua em x = 1 (tem um teorema que garante que toda func¸a˜o diferencia´vel
num ponto e´ cont´ınua nesse ponto) e ja´ provamos que f na˜o e´ cont´ınua em x = 1.
4. a = 2 e b = −1
5. (a) f ′(x) = 2(x + 1)
[
(x + 1) sec2 x + 2 tanx
]
(b) f ′(x) = − sen(2x)
(c) f ′(x) = senx+2x cos x
2
√
x
+ 1
3
3√
x2
(d) f ′(x) = 2( senx + x cosx)
(e) f ′(x) =
[
3− x2 + (x32x2 + 3x) tanx
]
secx
(x2 + 2x + 3)2
(f) f ′(x) =
2(x2 − 2x + 2)(2x4 − 3x2 − 2)
(x4 + x2 + 1)2
(g) f ′(x) =
−4x
(x2 + 2)3
(h) f ′(x) =
 −x cos(1/x) + 3x
2 sen(1/x) , x 6= 0
0 , x = 0
(i) f ′(x) = 2(x−4)|x−4| , x 6= 4
6. (a) f ′(x) = (4x
3+1) cos x+8x senx(x3+1)
2(2x4+2x)3/4 cos3 x
(b) f ′(x) = 2(3x
2+2) sen2x+6(x3+2x) cos 2x
3(x3+2x)1/3
(c) F ′(u) = −7u
6+24u5+3u2−6u
(u4+1)7/2
(d) G′(r) = 2
5 5
√
(2r+2)4
(e) M ′(x) =
1 +
1 + 1
2
√
x
2
√
x +
√
x
2
√
x +
√
x +
√
x
(f) f ′(x) =
 3x
2 sen( 1x4 )− 4x2 cos( 1x4 ) , x 6= 0
0 , x = 0
7.
√
3
3
8. 1 9. 12 10.
9
7
11. (a) G′′(r) = − 1625 (2r + 2)−9/5
(b) Para x 6= 0, f ′′(x) = (6x− 16x7 ) sen( 1x4 )− 4x3 cos( 1x4 )
12. 3