03)CircuitosMagneticos_e_Indutores

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA 
ENGENHARIA ELÉTRICA / 2013 
ENG 3511 - Conversão de Energia 
Prof. Carlos Medeiros 
 
Cap. 03 – Circuitos Magnéticos e Indutores 
Conteúdo 
 
3.1 Objetivos do capítulo ............................................................................................................................................................. 1 
3.2 Circuitos magnéticos lineares ............................................................................................................................................ 1 
3.2.1 Circuito magnético simples ........................................................................................................................................ 1 
Exercícios 3.1 ............................................................................................................................................................................... 6 
3.2.2 Circuitos magnéticos mais gerais e analogia com circuitos elétricos ....................................................... 7 
3.2.2.1 Formulação geral de circuitos magnéticos .................................................................................................... 10 
Exercícios 3.2 ............................................................................................................................................................................ 13 
3.2.3 Fluxo concatenado, força eletromotriz induzida e indutância .................................................................. 14 
Exercícios 3.3 ............................................................................................................................................................................ 18 
3.2.4 Energia em circuitos magnéticos lineares ......................................................................................................... 19 
3.2.5 Indutância e energia armazenada em sistemas com entreferro .............................................................. 21 
Exercícios 3.4 ............................................................................................................................................................................ 23 
3.3 Circuitos magnéticos não-lineares ............................................................................................................................... 24 
3.3.1 Ferromagnetismo ........................................................................................................................................................ 24 
3.3.2 Magnetização ................................................................................................................................................................. 26 
3.3.3 Saturação ......................................................................................................................................................................... 27 
3.3.4 Permeabilidade dos materiais ferromagnéticos e indutor não-linear................................................... 28 
3.3.5 Aproximação da permeabilidade para meios não-lineares ........................................................................ 29 
3.3.6 Efeito da temperatura ................................................................................................................................................ 31 
Exercícios 3.5 ............................................................................................................................................................................ 32 
3.3.7 Histerese .......................................................................................................................................................................... 33 
3.3.8 Energia e co-energia em sistemas magnéticos não-lineares ..................................................................... 35 
3.3.9 Excitação em corrente alternada e perdas no núcleo ................................................................................... 36 
3.4 Outras questões .................................................................................................................................................................... 43 
3.4.1 Fluxo de dispersão....................................................................................................................................................... 43 
3.4.2 Efeito do entreferro em sistemas não-lineares ............................................................................................... 45 
3.4.3 Força magnetomotriz com mais de um enrolamento energizado ........................................................... 45 
Exercícios 3.6 ............................................................................................................................................................................ 46 
APÊNDICE A – Informações adicionais .............................................................................................................................. 48 
A.1 Classificação magnética dos materiais ................................................................................................................... 48 
A.2 Co-energia magnética .................................................................................................................................................... 49 
A.3 Perdas por histerese ...................................................................................................................................................... 50 
Bibliografia ..................................................................................................................................................................................... 51 
Respostas de exercícios ............................................................................................................................................................ 52 
 
 
1 
 
3.1 Objetivos do capítulo 
 
 Apresentar grandezas e fenômenos relacionados aos circuitos magnéticos, consistindo de 
suporte fundamental para a compreensão teórica, aplicações e projetos de equipamentos tais como: 
indutores, transformadores, motores e geradores. 
 
3.2 Circuitos magnéticos lineares 
 
Nesta seção do capítulo: 
Principais tópicos: 
  fundamentos de circuitos magnéticos; 
  análise e solução de circuitos magnéticos; 
  indutância e energia magnética. 
 
Principais aproximações: 
  nos casos de núcleos com materiais magnéticos a permeabilidade () será considerada 
constante; 
  assume-se que o fluxo magnético está praticamente confinado no núcleo (despreza-se 
dispersão de fluxo), pois considera-se  >> 0; 
  não serão consideradas perdas no núcleo. 
  o efeito de espraiamento de fluxo devido a entreferro será apresentado, mas desconsiderado 
nos cálculos. 
 
3.2.1 Circuito magnético simples 
 
 Para começar, a fig. 3.1 mostra um circuito magnético simples, que consiste em um núcleo de 
material magnético sobre o qual está enrolado um condutor com N voltas ou espiras. Considerando 
que uma corrente i percorre esse enrolamento, será produzido um campo magnético no núcleo, como 
ilustrado pelas linhas de fluxo (tracejadas). 
 
 
Fig. 3.1. Circuito magnético simples. 
 
 Assume-se que o núcleo é composto por um material cuja permeabilidade magnética é muito 
maior que a do ar, isto é  >> 0, como indica a fig. 3.2. Devido a essa alta permeabilidade do núcleo em 
relação ao ar, uma solução exata mostraria que: 
  o fluxo magnético fica confinado quase que totalmente no núcleo. Em outras palavras, o fluxo 
se estabelece naturalmente pelo caminho mais fácil, ou seja, por aquele de maior permeabilidade; 
  as linhas de campo seguem o caminho definido pelo núcleo; 
  basicamente tanto a intensidade de campo 
H
 como a densidade fluxo 
B
 são consideradas 
uniformes em qualquer seção reta, porque a área desta é uniforme.2 
 
 
Fig. 3.2. Circuito magnético simples e grandezas do núcleo. 
 
 A fig. 3.2 mostra também um vetor simbolizando o campo 
H
 , produzido pela corrente no 
enrolamento. A magnitude da intensidade de campo magnético (H) pode ser determinada pela Lei 
Circuital de Ampère (recordada no Capítulo 02): 
 
ildH 

 (3.1) 
 
 Considerando uma espira amperiana ao longo do caminho médio lc do núcleo e o campo H 
constante, a parte da esquerda da integral resulta em Hlc. Como o percurso fechado da integral envolve 
o enrolamento com N espiras, a corrente total envolvida é o produto Ni. Assim sendo, a magnitude H 
(A/m) é: 
 
cl
Ni
H 
 (3.2) 
onde: lc é o comprimento do caminho médio desse circuito magnético, em metros. 
 
 A relação entre a intensidade de campo (
H
 ) e a densidade de fluxo magnético (
B
 ) é uma 
propriedade do material em que se encontra o campo magnético. Nesta seção estudar-se-á esta relação 
como sendo linear, ou seja: 
 
HB


 (3.3) 
Onde:  é a permeabilidade magnética do núcleo, considerada constante, em henry/metro (H/m); 
 a unidade de B é Wb/m2 ou T. 
 
 A fig. 3.3 mostra a curva de magnetização ou curva B-H (para valores positivos). 
 
Intensidade de 
Campo, H (A/m)
Densidade
de Fluxo,
B (T)
o
 
Fig. 3.3. Visualização gráfica da relação entre B e H (curva B-H), 
para o CASO LINEAR: B = H (sendo  = constante). 
 
3 
 
 Em unidades do Sistema Internacional (SI), a permeabilidade do vácuo é 0 = 410-7 
henry/metro. A permeabilidade dos materiais magnéticos considerados lineares pode ser expressa em 
termos da permeabilidade relativa r, em relação à do vácuo: 
 
0

 r
 (3.4) 
 
 Valores típicos de r variam entre 2.000 a 80.000 para os materiais ferromagnéticos usados em 
transformadores e máquinas rotativas. Por enquanto, a fim de enfatizar outros aspectos do estudo, 
assume-se r como sendo uma constante conhecida, embora, na realidade, nos materiais 
ferromagnéticos varie apreciavelmente em função da densidade de fluxo (B). O ferromagnetismo e as 
características dos materiais magnéticos serão descritos posteriormente neste capítulo. A tab. 3.1 
mostra (apenas a título ilustrativo), alguns valores de permeabilidade típicos. 
 
Tab. 3.1. Permeabilidades relativas de alguns materiais. 
Material r 
Ar 1,0000 
Madeira 0,99999950 
Alumínio 1,00000065 
Cobre 0.9999910 
Níquel 50,0 
Ferro fundido 60,0 
Aço-silício (10.000 gauss) 3000 
Superliga 100.000 
 
 O fluxo magnético por sua vez é dado por 
 
A
AdB


. Com a consideração de que a densidade 
de fluxo magnético B é uniforme na seção reta do núcleo, tem-se o fluxo  (Wb) expresso por: 
 
cBA
 (3.5) 
onde: Ac é a área da seção transversal em m2. 
 
 A fig. 3.4 ilustra um corte transversal do núcleo com as linhas de campo emergindo da área Ac: 
 
 
 
 
 
Fig. 3.4. Linhas do campo 
B
 considerado uniforme na seção reta do núcleo Ac. 
 
 Além dessas três grandezas fundamentais 
H
 , 
B
 e , uma outra muito utilizada em circuitos 
magnéticos é a força magnetomotriz fmm, também simbolizada por . A fmm expressa o produto das N 
voltas do enrolamento pela corrente que o percorre. No circuito da fig. 3.2, ela é dada simplesmente 
por Ni, ou seja, se relaciona com o campo 
H
 como mostra a eq. (3.6): 
 
  ldHNi

 (3.6) 
onde: na prática atribui-se à fmm a unidade ampère-espira (Ae). 
 
 Analisando a fig. 3.2 e com (3.5), obtém-se: 
 
cHlNi 
 (3.7) 
 
Campo 
B
 
Área Ac 
4 
 
 Embora a fig. 3.2 mostre somente uma bobina, os transformadores e a maioria das máquinas 
rotativas têm no mínimo dois enrolamentos e, nesse caso, a força magnetomotriz resultante é a soma 
algébrica dos ampères-espiras de todos os enrolamentos. 
 
 Substituindo (3.3) e (3.5) em (3.7) tem-se: 
 
c
c
A
l


 (3.8) 
 
 Quando a permeabilidade magnética  é considerada constante, nota-se na eq. (3.8), que existe 
uma constante de proporcionalidade entre o fluxo magnético  e a força magnetomotriz . Esta 
constante é a relutância do circuito magnético , que leva em conta as características geométricas (lc, 
Ac) e magnéticas () do núcleo, isto é: 
 
c
c
A
l


 (3.9) 
 
 Entende-se que a força magnetomotriz fmm é a fonte do fluxo magnético que atua no circuito 
podendo-se expressar (3.8) como: 
 

 
ou, 
 



 
(3.10) 
 
 Em outras palavras, o fluxo magnético  é diretamente proporcional à força magnetomotriz e 
pode ser considerado como o resultado dela. A constante de proporcionalidade entre  e  é a 
relutância do caminho magnético  (A/Wb), definida por: 
 



 (3.11) 
 
 A fig. 3.5 representa o sistema magnético da fig. 3.2 com o uso de símbolos. Esse circuito lembra 
algo já conhecido por você? 
 
+
- (=Ni) c
 
Fig. 3.5. Modelo do circuito magnético da fig. 3.2. 
 
 A tab. 3.2 mostra analogias entre um circuito elétrico e magnético e suas grandezas 
correspondentes. 
 
5 
 
Tab. 3.2. Analogia entre circuitos elétrico e magnético. 
Circuito elétrico Circuito magnético 
e
i
R+
-
 
+
- 
 
Força eletromotriz, fem (V): 
e 
Força magnetomotriz, fmm (A): 
 
Corrente (A): 
R
e
i 
 
Fluxo magnético (Wb): 



 
Resistência (V/A ou ): 
condutor
condutor
A
l
R



 
Relutância (A/ Wb): 
A
l


 
 
* Observações: 
 
 a) A força eletromotriz fem realiza trabalho sobre portadores de carga através de 
transformação da energia de uma fonte (química como numa bateria, num gerador eletromecânico 
convencional, termopilha, célula fotovoltaica, etc.), sendo aplicada a um circuito, é a responsável pela 
corrente i. 
 
 b) Por analogia, a força magnetomotriz fmm pode ser entendida como uma diferença de 
potencial magnético estabelecida no enrolamento de N espiras, sendo responsável pelo fluxo 
magnético . 
 
 c) A permeabilidade absoluta , considerada como constante nessa Seção 3.2 deste texto, se 
deve a uma aproximação quanto ao comportamento do meio magnético (núcleo) e seu estudo será 
aprofundado posteriormente para a situação não-linear. 
 
 d) Uma diferença importante entre os circuitos elétrico e magnético é o fato de que é 
necessário fornecer energia para manter a corrente em um circuito elétrico, enquanto que, um fluxo 
magnético após ser produzido não solicita energia adicional. Por exemplo, uma vez que o fluxo 
magnético produzido pela corrente, em um dispositivo como num solenóide ou num toróide, tenha 
atingido seu valor máximo, toda energia que continuar a ser absorvida pelo dispositivo será apenas 
para suprir perdas, ou seja, é dissipada na forma de calor na resistência do enrolamento – perdas Joule 
(Ri2) –, e nas perdas no núcleo (por exemplo, nos casos de núcleos compostos por materiais 
ferromagnéticos). 
 
 e) Outra diferença: não existem isoladores magnéticos análogos aos conhecidos para os 
circuitos elétricos. 
6 
 
Exercícios 3.1 
 
(01) Considere o núcleo abaixo com dimensões mostradas em centímetros. Adote a hipótese 
simplificadora que sua permeabilidade é constante, sendo seu valor relativo: r = 39789. 
 
 
(a) Determinar a permeabilidade absoluta do núcleo. 
(b) Calcule a relutância magnética e, em seguida, a força magnetomotriz necessária para que o fluxo 
estabelecido no núcleo seja 50x10-3 Wb (despreze a dispersão de fluxo pelo ar). 
(c) Considerando que se deseja trabalhar com uma corrente i = 1,5 A, qual deve ser a quantidade de 
espiras do enrolamento. 
(d) Desenhe o circuito magnético equivalente colocando os símbolos e valores das respectivas 
grandezas. 
 
 
02) Seja um núcleo toroidal feito de madeira, com seção reta circular,raio externo de 20 cm e raio 
interno de 10 cm, dotado de um enrolamento de 500 espiras. Fazendo circular uma corrente contínua 
de 0,5 A determine: 
 
a) A intensidade de campo magnético no núcleo. 
b) A densidade magnética que se manifesta no núcleo. 
c) A relutância magnética. 
d) A força magnetomotriz gerada. 
e) O fluxo magnético (de duas maneiras diferentes). 
 
 
 
03) Considerando o toróide do exercício (02), porém, com uma corrente i(t) = 0,707cos(t) A. 
Determine: 
 a) Força magnetomotriz gerada. 
 b) Fluxo magnético. 
 c) Densidade de campo magnético. 
 d) Intensidade de campo magnético. 
 
 
04) Elabore uma tabela relacionando todas as grandezas magnéticas estudadas até aqui, contendo: 
símbolo, designação por extenso, definição básica (e/ou equação) e unidade. 
7 
 
3.2.2 Circuitos magnéticos mais gerais e analogia com circuitos elétricos 
 
 Certos projetos de indutores e equipamentos com um elemento móvel possuem um ou mais 
entreferros de ar em seus circuitos magnéticos. Como a própria palavra diz, entreferro é um espaço 
entre partes ferromagnéticas do núcleo. A fig. 3.6 mostra um núcleo ferromagnético com um 
entreferro de ar de comprimento g. 
 
 
Fig. 3.6. Núcleo magnético com entreferro de ar de comprimento g. 
 
 Quando o comprimento g do entreferro for muito menor que as dimensões do núcleo, o fluxo 
magnético  seguirá o caminho definido pelo núcleo e pelo entreferro. Com essa consideração a análise 
de circuitos magnéticos pode ser diretamente aplicada. 
 Assim, considerando que o comprimento g é suficiente pequeno a configuração da fig. 3.6 pode 
ser analisada por duas componentes em série: 
  um núcleo magnético com permeabilidade , área de seção Ac e comprimento médio lc; 
  um entreferro de permeabilidade 0, área de seção Ag e comprimento g. 
 
 O fluxo  é comum no circuito magnético. Além disso, no núcleo, a densidade de fluxo pode ser 
considerada uniforme, assim: 
 
c
c
A
B


 (3.12) 
 
 Analogamente, no entreferro: 
 
g
g
A
B


 (3.13) 
 
 A aplicação da eq. (3.6) a esse circuito magnético fornece: 
 
gHlH gcc 
 (3.14) 
 
 Usando a relação linear entre
B
 e 
H
 da eq. (3.3) tem-se: 
 
g
B
l
B g
c
c
0

 (3.15) 
 
 Vale lembrar que  = Ni é a força magnetomotriz aplicada ao circuito magnético. De (3.14) nota-
se que uma parte dela, c = Hclc, é necessária para produzir campo magnético no núcleo, e o restante, 
g = Hgg, produz o campo magnético no entreferro. 
 
8 
 
 Com os materiais ferromagnéticos da prática (discutidos posteriormente neste capítulo), Bc e Hc 
nem sempre se relacionam de maneira simples e proporcional, através da permeabilidade  constante. 
Assim, embora a expressão (3.14) continue sendo válida, ela não levará a uma expressão simples como a 
(3.15) que relaciona a força magnetomotriz aplicada  com as densidades de fluxo. Ao invés disso, deve-
se usar, gráfica ou analiticamente os detalhes específicos da relação não-linear Bc-Hc do núcleo 
ferromagnético. Apesar disso, em muitos casos, o conceito de permeabilidade constante aplicada a um 
material fornece resultados cuja precisão é aceitável em engenharia, sendo por isso usado 
frequentemente. 
 
 Das equações (3.12), (3.13) e (3.15) reescreve-se a força magnetomotriz aplicada em termos do 
fluxo total  como: 
 









gc
c
A
g
A
l
0

 (3.16) 
 
 As duas parcelas que multiplicam o fluxo na eq. (3.16) são conhecidos como as relutâncias do 
núcleo e do ferro respectivamente (compare com  = ): 
 
c
c
c
A
l


 (3.17) 
g
g
A
g
0

 (3.18) 
 
 E assim: 
 
 
gc  
 (3.19) 
 
 Isolando-se o fluxo  obtém-se: 
 
gc 


 (3.20) 
 
ou, 
 
gc
c
A
g
A
l
0




 
(3.21) 
 
 Em geral, para qualquer circuito magnético de relutância total equivalente, total, o fluxo pode 
ser determinado por: 
 
total


 (3.22) 
 
 O inverso da relutância é conhecido como permeância magnética , (em Wb/A), isto é,  = 
1/, de forma que: 
 
 total
 (3.23) 
 
9 
 
 Note que as equações (3.19) e (3.20) são análogas às relações entre tensão e corrente em um 
circuito elétrico série. Como exemplifica a fig. 3.7, no circuito elétrico uma tensão V impulsiona uma 
corrente I passando pelos resistores R1 e R2 em série; no circuito magnético, uma força magnetomotriz 
 (análoga à V), estabelece um fluxo  (análogo à corrente I) através das relutâncias c e g em série. 
 Esse raciocínio por analogia pode ser empregado para se obter as soluções dos fluxos em 
circuitos magnéticos lineares de maior complexidade. 
 
 
Fig. 3.7. Analogia entre circuitos elétrico e magnético (elementos em série). 
 
 A fração de fmm necessária para impulsionar o fluxo através de uma parte do circuito magnético, 
denominada de queda de fmm em um circuito magnético, é proporcional à relutância daquela parte 
do circuito na forma "", em analogia à queda de tensão num circuito elétrico que é proporcional à 
resistência, isto é, "RI". No circuito elétrico Rtotal = R1 + R2; no magnético tem-se: total = c + g. 
 Da eq. (3.17) nota-se que uma alta permeabilidade  no material pode resultar em uma baixa 
relutância do núcleo, muito inferior à do entreferro, isto é: c << g e assim total  g. Nesse caso a 
relutância do núcleo pode ser desprezada e o fluxo, e portanto B, podem ser obtidos apenas das 
propriedades do entreferro, transformando-se a eq. (3.20) em: 
 
g
A
Ni
g
g
0 



 (3.24) 
 
 Como será visto neste capítulo, na prática os materiais ferromagnéticos têm permeabilidades não 
constantes, que variam de acordo com o nível de fluxo. Mesmo assim, das equações (3.17) a (3.20) 
observa-se que enquanto essa permeabilidade permanecer suficientemente elevada, a sua variação não 
afetará significativamente o desempenho do circuito magnético conforme está sendo estudado. 
 Um fenômeno que ocorre em sistemas reais é que as linhas de campo magnético se abrem nas 
extremidades do entreferro, isto é, se espraiam ou se "espalham" pelos lados do entreferro. Se esse 
espraiamento não for excessivo as técnicas de circuito magnético continuam aplicáveis. A fig. 3.8 
ilustra esse fenômeno mostrando linhas de campos de espraiamento. 
 
 
Fig. 3.8. Campos de espraiamento no entreferro. 
10 
 
 A consequência desse espraiamento de campo é aumentar a área efetiva da seção transversal 
reta do entreferro Ag. Diversos métodos empíricos foram desenvolvidos para levar em conta esse 
efeito. Em entreferros de comprimento pequeno, uma correção para esses campos de espraiamento 
pode ser feita acrescentando-se o comprimento do entreferro a cada uma das suas dimensões, 
aumentando-se assim a área de sua seção reta como ilustra a fig. 3.9. 
 
 
Ac
Ag, corrigida
g g
g
g
 
 
Fig. 3.9. Uma forma de correção da área para entreferros de pequenos comprimentos. 
 
 Esse efeito leva à redução da densidade de fluxo no entreferro Bg em relação à Bc. No entanto, 
neste texto, a menos que seja mencionado o contrário, o efeito do espraiamento será ignorado. Assim a 
área de seção do núcleo ferromagnético Ac será considerada igual à área do entreferro Ag, isto é: Ac = Ag. 
Neste caso sendo o fluxo  comum, as densidades de fluxo no núcleo e no entreferro serão também 
iguais (Bc = Bg). Mas, as intensidades de campo serão diferentes, isto é, Hc = Bc/ e Hg = Bg/0. 
 
3.2.2.1 Formulação geral de circuitos magnéticos 
 
 Em geral os circuitos magnéticos podem ser compostos por vários elementos em série e em 
paralelo. A eq. (3.6) pode ser generalizada para: 
 
  
k k
kkk lHLdHNi

 (3.25) 
 
 Portanto, a eq. (3.25),complementa de forma mais geral a analogia entre circuito elétrico e 
magnético, sendo que a força magnetomotriz total  impulsiona o fluxo magnético em um laço fechado 
de um circuito magnético. Além disso, a quantidade: 
 
kkk lH
 (3.26) 
representa a queda de fmm no k-ésimo elemento desse laço. 
 
 Essa análise é análoga à queda de tensão nos circuitos elétricos constituídos por fonte e 
resistores como preconiza a lei de Kirchhoff das tensões: 
 

k
kkiRV
 (3.27) 
onde: V é a fonte de tensão que impulsiona a corrente e Rkik é a queda de tensão no k-ésimo elemento 
resistivo daquele laço. 
 
 Já a lei de Kirchhoff das correntes estabelece que a soma das correntes em um nó de um circuito 
elétrico é zero, a qual é expressa matematicamente por: 
 
0
n
ni
 (3.28) 
 
 O circuito magnético também tem analogia com essa lei, ou seja, a soma dos fluxos em um nó de 
um circuito magnético é zero: 
0
n
n
 (3.29) 
11 
 
Exemplo 3.1. A eq. (3.29) pode ser aplicada no cálculo que envolve circuitos magnéticos com caminhos 
paralelos, como ilustra a fig. 3.10(a), onde se tem os nós do circuito justamente nas junções superior e inferior 
da coluna central do núcleo. A fig. 3.10(b) mostra o circuito magnético equivalente. De (3.29): 
321  
. 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
Fig. 3.10. (a) Núcleo com caminhos paralelos e nós. (b) Circuito equivalente com nós correspondentes. 
 
Exemplo 3.2. Seja o sistema da fig. 3.11(a), com dois materiais de permeabilidades absolutas distintas, 
constituído por ferro fundido (i) e aço fundido (s). Além disso, as áreas de seção transversal Ai e As e 
comprimentos li e ls, respectivamente, são também diferentes. Pode ser mostrado que: 
iiss ABAB 
 (3.30) 
onde: Bi e Bs são as densidades de fluxo no ferro e no aço, respectivamente. 
(a) 
 
 
 
 
(b) 
Fig. 3.11. (a) Sistema com dois materiais ferromagnéticos diferentes. (b) Circuito equivalente. 
 
 O circuito magnético equivalente é mostrado na fig. 3.11(b), onde a relutância do ferro é i e a do aço é s. 
De (3.25): 
 NilHlHldH ssii

 (3.31) 
 
 Como descrito anteriormente o termo Hili é uma diferença de potencial magnético (ou queda) na parte de 
ferro, cuja relutância i é, portanto: 
iri
i
i
ii
iiii
iiii
A
l
AB
lHlH
lH
0 
 (3.32) 
 
 Analogamente para o aço fundido: 
srs
s
s
A
l
0

 (3.33) 
onde: ri e rs são as permeabilidade relativas do ferro fundido e aço fundido, respectivamente. 
 
 Assim: 
 )( sisi 
 (3.34) 
 
 A relutância total total do sistema "vista" a partir da força magnetomotriz é: 
sitotal 



 (3.35) 
 
 
12 
 
 Vale ressaltar no Exemplo 3.2 que a equações (3.34) e (3.35) estão de acordo com o circuito 
magnético equivalente com relutâncias em série, conforme a fig. 3.11(b). 
 Note também que, embora nesta situação as densidades de fluxo Bi e Bs sejam diferentes, o fluxo 
 que percorre o núcleo é o mesmo, podendo ser expresso por: 
 
ssii ABAB 
 (3.36) 
 
Exemplo 3.3. Desenhe o circuito magnético 
equivalente para o sistema da fig. 3.12(a). 
Solução: circuito magnético equivalente, 
mostrado de forma parcial na fig. 3.12(b): 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
Fig. 3.12. (a) Sistema magnético de uma máquina rotativa. (b) Circuito magnético equivalente (PARCIAL). 
 
 Enfim, nesta seção foram examinados os princípios básicos e adotadas aproximações que 
conduziram a um modelo de circuito magnético relativamente simples, bem como propiciaram um 
entendimento básico para engenheiros, para auxiliar na solução de problemas práticos de análise e 
projeto. As principais simplificações foram: 
  desprezou-se o fluxo de dispersão; 
  ignorou-se o espraiamento do campo magnético no entreferro; 
  considerou-se a permeabilidade do material constante. 
 
 O sucesso desta abordagem depende do raciocínio, experiência e da intuição próprios da 
engenharia. Embora estas suposições sejam razoáveis para muitas situações, verifica-se, por outro lado, 
que as correntes do enrolamento produzem campos magnéticos fora do núcleo (ou fluxo de dispersão). 
Quando dois ou mais enrolamentos são colocados em um campo magnético, como no caso de 
transformadores e máquinas rotativas, esses campos externos ao núcleo, conhecidos como campos de 
dispersão, não podem ser ignorados, pois afetam de forma significativa o desempenho destes dispositivos. 
 Ademais, em diversas situações práticas os fenômenos conhecidos como saturação magnética e 
histerese são muito importantes e não podem ser desconsiderados. Seu estudo será realizado na 
posteriormente neste capítulo. 
 
 
 
 
 
13 
 
Exercícios 3.2 
 
01) O circuito magnético mostrado na 
figura ao lado tem as dimensões Ac = Ag = 9 
cm2, g = 0,05 cm, lc = 30 cm e N = 500 
espiras. Suponha uma aproximação linear 
para o comportamento do núcleo de tal 
forma que a permeabilidade relativa de seu 
material seja r = 70.000. 
a) Determine as relutâncias c e g. 
Despreze a dispersão de fluxo. 
b) Dada a condição de que o circuito 
magnético esteja operando com Bc = 1,0 T, 
encontre o fluxo  e a corrente i. 
 
 
 
02) A estrutura magnética de uma máquina síncrona 
simplificada está mostrada na figura. Supondo que o ferro 
do rotor e do estator tenham permeabilidade praticamente 
infinita (  ), encontre: 
 
O fluxo  do entreferro e a densidade de fluxo Bg, sendo a 
corrente I = 10 A, N = 1000, g = 1 cm e Ag = 2000 cm2. 
 
 
 
 
03) Seja o sistema magnético ao lado onde 
TODAS as dimensões estão em polegadas e a 
profundidade é uma polegada (não mostrada no 
desenho). Desenhe o circuito magnético 
equivalente e calcule o fluxo e a densidade de 
fluxo, em cada uma das pernas do núcleo. 
Desprezar o espraiamento nos entreferros e a 
dispersão de fluxo pelo ar. Supor que a 
permeabilidade do núcleo é tão alta que a força 
magnetomotriz do enrolamento é totalmente 
utilizada para a magnetização nos entreferros. O 
enrolamento possui 1000 espiras e a corrente 
que flui por ele é 0,2 A. 
 
 
04) Seja o sistema magnético: 
 
Onde: 
 
l1 = l3 = 300 mm l2 = 100 mm 
A1 = A3 = 200 mm2 A2 = 400 mm2 
r1 = r3 = 2250 r2 = 1350 
 
N = 25 espiras 
a) Determine as densidades de fluxo B1, B2 e B3 nas três partes do circuito sendo a corrente na bobina 
igual a 0,5 A. 
b) Desenhe o circuito magnético equivalente e coloque os valores encontrado: , relutâncias e fluxos. 
14 
 
3.2.3 Fluxo concatenado, força eletromotriz induzida e indutância 
 
 Nesta seção estuda-se uma das maneiras de apreciar a manifestação da indução da força 
eletromotriz (fem) segundo a lei da Indução de Faraday. Para tanto, como será mostrado a seguir, as 
grandezas elétricas e magnéticas variam em função da variável independente tempo, t. 
 Seja a situação mostrada na fig. 3.13 onde um fluxo magnético em uma espira é produzido pela 
corrente i(t) variando no tempo, graças à aplicação de uma fonte de tensão externa também variante 
no tempo v(t). O fluxo (t) que passa pela espira é obtido pela integração do campo 
B
 sobre a 
superfície limitada pela espira. 
 Se a corrente i(t) na espira está aumentando então o fluxo (t) também aumentará, e 
consequentemente, uma força eletromotriz e(t) será induzida na espira. Pela lei de Lenz a polaridade 
resultante de e(t) será em oposição ao aumento da corrente. No laço da fig. 3.13 e(t) será positiva, em 
oposição à v(t), quando i(t) estiver aumentando. A lei de Faraday estabelece que a fem induzida é: 
 
dt
td
te
)(
)(


 (3.37) 
onde o sinal negativo foi suprimido devido à interpretação direta da lei de Lenz, como descrito acima. 
 
 
Fig. 3.13. Ilustração da lei de Faraday. 
 
 Considerando como exemplo o sistema toroidalda fig. 3.14, com N espiras, sendo i = i(t), então o 
fluxo  também será variável, isto é,  = (t), e novamente pela lei da indução de Faraday, uma força 
eletromotriz e(t) será induzida em cada espira do enrolamento, sendo, portanto: 
 
dt
td
te espira
)(
)(


 (3.38) 
 
 
Fig. 3.14. Bobina enrolada em um toróide de plástico (permeabilidade  0). 
15 
 
 Como o enrolamento concatena o fluxo no núcleo N vezes, a fem total induzida no enrolamento é, 
portanto: 
 
dt
td
dt
tNd
te
)()(
)(


 (3.39) 
 
 Onde  é o fluxo concatenado do enrolamento de N espiras definido por: 
 



N
k
k tt
1
)()( 
 
onde: K é o fluxo concatenado com a espira k (atravessa a espira k); 
  é expresso em webers (ou webers-espiras). 
 
 Considerando o fluxo total praticamente confinado no núcleo, então  = K, logo mostra-se que: 
 
)()( tNt  
 (3.40) 
 
 
 é também denominado fluxo total enlaçado pelas N espiras de uma bobina, 
ou referido como enlace de fluxo. 
 
 
Exemplo 3.4. Mostre que para o sistema magnético da fig. 3.14: 
 
)(
42
)(
2
0
2
ti
d
a
N
t 



 (3.41) 
 
 Esta expressão indica que o fluxo concatenado  é diretamente proporcional à corrente i no 
enrolamento. 
 
 Em um circuito magnético composto por material de permeabilidade magnética  constante ou 
que inclua um entreferro dominante, ver a eq. (3.24), a relação entre o fluxo concatenado  e a 
corrente i será linear. Desta maneira, pode-se definir a indutância L como: 
 
i
L


 (3.42) 
sendo a unidade da indutância weber/ampère (Wb/A) ou henry (H). 
 
 Em outras palavras, (t) = Li(t), veja também a fig. 3.15. 
 
 
Corrente, (A)i
Fluxo
concatenado,
Wb)
 
Fig. 3.15. Gráfico mostrando a relação de proporcionalidade 
entre o fluxo concatenado e a corrente i para o caso linear:  = Li. 
Compare com a curva B-H também para o caso linear: B = H (compare com fig. 3.3). 
 
16 
 
 Substituindo (3.6), (3.22) e (3.40) na eq. (3.42) obtém-se: 
 
total
N
L


2 (3.43) 
 
 Nota-se de (3.43) que a indutância de um indutor é uma propriedade que depende do quadrado 
do número de espiras do enrolamento e é inversamente proporcional à sua relutância. 
 Expressando para o sistema magnético simples da fig. 3.2, observa-se que depende do 
enrolamento (N2), do meio magnético empregado () e de suas características geométricas (lc, Ac): 
 
c
c
l
AN
L
2

 (3.44) 
 
Exemplo 3.5. Demonstre que a indutância do circuito magnético da fig. 3.6, supondo que a relutância 
do núcleo seja desprezível em comparação com a do entreferro é dada por: 
g
AN
L
g0
2

 (3.45) 
 
 
 A indutância é uma característica dos campos magnéticos. De maneira geral pode ser 
caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia pode ser 
armazenada num campo de fluxo magnético. Um fato importante é que seu efeito só aparece num 
circuito quando há variação da corrente ou fluxo, isto é, sua presença no circuito é sentida somente se 
houver uma variação da corrente no tempo, por exemplo, em situações transitórias ou em circuitos de 
corrente alternada. 
 Em muitas situações de interesse prático, a relutância do sistema é dominada pela do entreferro 
cuja característica é a linearidade, e assim, os efeitos não lineares dos materiais magnéticos (a serem 
estudados posteriormente neste capítulo) podem ser ignorados. Em outros casos, pode ser aceitável 
assumir um valor médio para a permeabilidade magnética do material do núcleo, o que resulta numa 
indutância média correspondente, que pode ser usada com exatidão razoável em certos casos de 
cálculos de engenharia. 
 
 
 Um indutor é, portanto, a estrutura magnética como um todo: uma bobina enrolada sobre um 
núcleo. Seu propósito em um circuito elétrico é prover indutância (ou auto-indutância). 
 
 
 Considerando o indutor com um enrolamento ideal, isto é, sem resistência, uma tensão aplicada 
aos terminais da bobina v(t) será igual à fem induzida e(t) na mesma, ou seja: 
 
dt
tdi
di
td
dt
td
tetv
)()()(
)()( 
 (3.46) 
 
 Como para o caso linear: 
idi
td 

)(
 (3.47) 
 
 Então, com (3.42) e (3.46): 
dt
tdi
Ltetv
)(
)()( 
 (3.48) 
 
 
 Esta expressão revela que a tensão induzida é proporcional à indutância L. Em outras palavras, 
uma maior indutância significa que um indutor, para uma mesma taxa de variação da corrente em 
relação ao tempo, induz mais força eletromotriz e(t). 
 
17 
 
 A bobina puramente indutiva é representada simbolicamente no circuito da fig. 3.16(a). Na 
prática o enrolamento tem uma resistência cujo efeito, em muitas circunstâncias, não pode ser 
desprezado. Um modelo de circuito de indutor prático incluindo esse efeito na forma de um parâmetro 
concentrado de circuito, um resistor R, é dado na fig. 3.16(b). Para este modelo tem-se: 
 
dt
tdi
LtRitv
)(
)()( 
 (3.49) 
 
Lev
 
(a) 
RRi
Le
v
 
(b) 
Fig. 3.16. Modelos de circuito elétrico para indutor linear: 
(a) bobina com resistência desprezada. (b) indutor linear prático. 
 
 Observação: frequentemente em dispositivos de conversão de energia, como é o caso das 
máquinas motrizes, em que as indutâncias podem ser expressas por L = /i mas são variáveis com o 
tempo, a equação e(t) = d(t)/dt se torna: 
 
 
dt
tdL
i
dt
tdi
LtitL
dt
d
te
)()(
)()()( 
 (3.50) 
 
 
18 
 
Exercícios 3.3 
 
 
01) Qual é a diferença entre indutor e indutância? 
 
 
02) Seja um núcleo toroidal feito em madeira, de seção reta 
circular, com um raio externo de 20 cm e um raio interno 
de 10 cm, dotado de um enrolamento de 500 espiras. 
Fazendo circular uma corrente contínua de 0,5 A. 
 
a) Calcule o fluxo magnético concatenado. 
b) Determine a indutância do dispositivo (indutor) de duas 
maneiras diferentes. 
 
 
03) Demonstre que a indutância do toróide da fig. 3.1 com,  = 0, é dada por: 
a
dN
L
8
22
0
. 
 
04) Projete de forma simplificada um indutor de tal forma que: 
  deve ter uma indutância de 1 mH; 
  núcleo toroidal de ar (ar  0); 
  com bobina com fio de cobre esmaltado de 1 mm2 enrolada ao longo de um molde de papelão; 
 
 Alguns parâmetros do indutor poderão ser arbitrados para poder encontrar os demais. 
Represente o circuito elétrico equivalente levando em conta a resistência do enrolamento. Adote a 
resistividade do cobre como sendo 1.72×10−8 m a 20 oC. Para simplificar, suponha que esta será a 
temperatura de trabalho do indutor. 
 
 
05) Elabore uma tabela com todas as grandezas magnéticas estudadas até aqui, contendo: símbolo, 
designação por extenso, definição básica (e/ou equação) e unidade. 
 
 
06) PESQUISE e cite exemplos de utilização prática de indutores tanto para circuitos elétricos e 
eletrônicos em geral, quanto para sistemas elétricos de potência. O que são reatores no contexto que 
estamos estudando? 
 
 
19 
 
3.2.4 Energia em circuitos magnéticos lineares 
 
 
 Em um circuito magnético, a potência 
elétrica nos terminais de um enrolamento é uma 
medida da taxa em relação ao tempo com que a 
energia flui para aquele circuito. Da teoria de 
Circuitos Elétricos, sabe-se que a potência 
instantânea p(t) é dada por: 
 
)()()( titvtp 
 
 
 
 Em um indutor uma corrente i(t) fluindo em seu enrolamento produz um fluxo (t) enlaçando 
suas N espiras. Considerando também a resistência do condutor, da seção anterior sabe-se que: 
 
dt
td
tRitetRitv
)(
)()()()(


 (3.51) 
 
 Multiplicando-se a expressão anterior pela corrente i(t), obtém-se a potência p(t), em watts, nos 
terminais do dispositivo:dt
td
titRititvtp
)(
)()()()()( 2


 (3.52) 
 
 O termo Ri2(t) é a parte da potência dissipada na resistência R da bobina. A outra parcela 
corresponde ao fluxo de potência da rede elétrica para o campo magnético. O trabalho necessário para 
estabelecer o fluxo magnético no indutor corresponde à energia que é armazenada em seu campo 
magnético, em joules, dada por: 
 
2
1
2
1
)(
)()()(
t
t
t
t
dt
dt
td
tidttiteW
 
 
2
1


diW
 (3.53) 
 
 Note da expressão (3.53) que o cálculo da energia corresponde a uma integral definida que 
fornece a área obtida da curva -i, conforme ilustra a fig. 3.17 para o caso linear. 
 
Corrente, (A)i
Fluxo
concatenado,
Wb)
o

i

i2
Energia
W
 
Fig. 3.17. Energia em circuito magnético linear. 
20 
 
 No caso de um sistema magnético com único enrolamento de indutância L constante, para o qual 
vale a relação  = Li (ou, i = /L), a variação da energia magnética armazenada quando o fluxo varia de 
1 à 2, pode ser escrita como: 
 
)(
2
1 2
1
2
2
2
1



  L
d
L
W
 (3.54) 
 
 A energia magnética total armazenada para qualquer valor de , pode ser obtida fazendo-se 1 
igual a zero: 
 2
2
1

L
W
 
2
2
1
LiW 
 (3.55) 
 
 A equação (3.55) é aquela conhecida do estudo de Circuitos Elétricos. Outra maneira de chegar a 
ela é: 
  
t ti
i
t
dttiLdtti
dt
tdi
LdttitetW
0
)(
)0(0
)()(
)(
)()()(
 
)(
2
1
)( 2 tLitW 
 
onde: considerou-se zero a corrente inicial no indutor, isto é: i(0) = 0 (sem energia inicial). 
 
 Portanto, o indutor absorve uma quantidade de energia proporcional à sua indutância e é 
sempre positiva. A energia armazenada no campo magnético do indutor linear é de valor finito e pode 
ser recuperada, pois a energia aumenta, diminui ou zera quando o mesmo ocorre com a corrente, de 
forma que o indutor linear retorna a energia à fonte ou rede elétrica da qual ele a recebeu. Entretanto 
vale enfatizar que, nos casos em que a resistência do enrolamento não pode ser desprezada, mesmo 
num indutor linear há uma dissipação de energia na forma: 
 
dttRitW
t
disspada 
0
2 )()(
 (3.56) 
 
 Outra maneira de expressar a energia em sistemas magnéticos é fazendo uso do campo B e da 
curva B-H do material do núcleo. Como exemplo, considere a aplicação de uma tensão variável v(t) aos 
terminais da bobina do toróide mostrado na fig. 3.18. 
 
 
Fig. 3.18. Toróide com permeabilidade  0 e caminho magnético médio l = 2a. 
 
21 
 
 Sendo sua permeabilidade praticamente igual a 0, pode-se mostrar que a energia magnética 
armazenada (em joules) para um determinado valor de densidade de fluxo B0 é: 
 
0
2
0
2
AlB
W 
 (3.57) 
 
 Sendo o produto Al o volume do espaço envolvido pela bobina, então a densidade de energia (em 
J/m3) é dada por: 
 
0
2
0
2
1

B
w 
 (3.58) 
 
 A curva de magnetização deste sistema não ferromagnético pode ser representada por uma 
linha reta passando pela origem como mostra a fig. 3.19. Desta figura e da eq. (3.58) nota-se que a 
densidade de energia correspondente a um valor específico 
0B
 é dada pela área compreendida entre a 
linha representando a relação B-H do toróide e o eixo vertical B. 
 
 
Fig. 3.19. Curva B-H para material não ferromagnético e densidade de energia = área sombreada. 
 
3.2.5 Indutância e energia armazenada em sistemas com entreferro 
 
 Devido à relação linear entre  e , ou assumindo que ela existe, isto é, nos sistemas magnéticos 
que são linearizados em decorrência da presença do entreferro, a indutância é considerada uma 
grandeza constante. Neste caso, vale a definição já conhecida: 
 
total
N
i
L


2 (3.59) 
 
 Tomando como exemplo o sistema magnético da fig. 3.6 composto por um núcleo com um 
entreferro tem-se: 
 
gc
N
i
L


2 (3.60) 
 
 Quando  >> 0 o que implica em c << g, a indutância fica sendo: 
 
g
ANN
L
g
g
0
22 



 (3.61) 
onde, neste caso, percebe-se que a indutância é praticamente ditada pelo entreferro. 
 
22 
 
 Com (3.55) a energia, em joules, pode ser expressa por: 
 
20
2
2
1
i
g
AN
W
g









 (3.62) 
 
 Outra forma de expressar a energia armazenada, porém em função no campo B no entreferro, 
pode ser obtida diretamente de (3.62), sendo nesta região B = 0Hg e como Hg  Ni/g, obtém-se: 
 
)(
2
1
0
2
gA
B
W g

 (3.63) 
onde: o produto (Agg) é o volume do entreferro em m3. 
 
 Assim, sendo  >> 0, praticamente toda energia magnética fica armazenada no entreferro. Uma 
maneira ainda melhor de perceber esta afirmação é através da análise da expressão abaixo, a qual foi 
deduzida levando em conta as duas parcelas de energia, por unidade de volume do núcleo e por 
unidade de volume do entreferro: 
 
0
22
22 
BB
w 
 (3.64) 
onde: w é densidade de energia dada em J/m3; 
 foi desprezado o espraiamento do fluxo, isto é, Ac = Ag; 
 a densidade de fluxo B foi considerada igual para o núcleo e o entreferro: B = Bc = Bg; 
 o produto (Agg) é o volume do entreferro e (Aclc) é o volume do núcleo, ambos em m3. 
 
 Da eq. (3.64) nota-se claramente que quando  >> 0 a primeira parcela, correspondente à 
energia para o núcleo, fica desprezível em face da outra, ou seja, a energia magnética é praticamente 
armazenada no campo estabelecido no entreferro como mostraram também as equações (3.62) e 
(3.63). 
 
23 
 
Exercícios 3.4 
 
01) No sistema magnético abaixo Ac = Ag = 9 cm2, g = 0,05 cm, lc = 30 cm, N = 500 espiras, r = 70000 
para o material do núcleo. Encontre: (a) A indutância. (b) A energia magnética armazenada quando a 
densidade de fluxo magnético no núcleo é 1,0 T. (c) A tensão induzida no enrolamento considerando 
que Bc = 1,0sen(t) T, sendo a frequência 60 Hz. 
 
(d) A indutância desprezando a influência do núcleo e compare com a letra (a). 
(e) A energia magnética armazenada desprezando a contribuição do núcleo e compare com a letra (b). 
 
02) (a) Considerando o exercício (01) novamente, porém, com r = 30.000, calcule a indutância. 
Compare com o valore encontrado anteriormente. O que você conclui a respeito disso? 
 (b) Usando o programa MATLAB (ou outro), faça um gráfico da indutância do circuito magnético 
do exercício (01) em função da permeabilidade do núcleo no intervalo 100  r  50000. Observe o 
que ocorre com a indutância à medida que r aumenta. Por exemplo, com r em torno de 1000, como 
fica o efeito do núcleo sobre a indutância? 
 (c) Idem para a energia, considerando a presença do núcleo e do entreferro. 
 
03) Calcule a densidade de energia (J/m3) e a energia (J) no 
entreferro para a estrutura magnética ao lado (para a qual 
admite-se que o ferro do rotor e do estator tenham 
permeabilidade praticamente infinita). 
 
Considere a corrente no enrolamento I = 10 A, N = 1000 
espiras, g = 1 cm e Ag = 2000 cm2. 
 
 
 
 
04) O circuito magnético da figura é constituído por uma 
bobina de N espiras enroladas em um núcleo magnético, de 
permeabilidade muito alta (considerada infinita   ), com 
dois entreferros paralelos de comprimentos g1 e g2, e áreas A1 
e A2, respectivamente. Determine de forma literal: 
 
a) O diagrama do circuito magnético equivalente. 
b) A indutância. 
c) A densidade de fluxo B1 no entreferro 1 quando o 
enrolamento está conduzindo uma corrente i. Despreze os 
efeitos de espraiamento no entreferro e de fluxos de 
dispersão. 
 
 
05) Demonstre a eq. (3.57). 
24 
 
3.3 Circuitos magnéticos não-lineares 
 
 Nesta seção,será estudado o ferromagnetismo, sua importância e influência prática nos sistemas 
magnéticos. Dentre outros assuntos será mostrado que a permeabilidade  dos materiais 
ferromagnéticos não é constante, que a relação entre B e H é não-linear e que existem perdas de 
energia no núcleo. 
 Os materiais magnéticos (ou mais precisamente ferromagnéticos) têm grande importância no 
funcionamento de equipamentos elétricos e de conversão eletromecânica de energia, pois: 
 
 
 a) permitem obter densidades elevadas de fluxo magnético (B) com níveis relativamente baixos 
de intensidade de campo (H). Como as forças magnéticas e a densidade de energia aumentam com a 
densidade de fluxo, esse efeito apresenta grande influência no desempenho dos equipamentos. Em 
termos práticos, o uso de materiais ferromagnéticos no núcleo dos equipamentos aumenta o fluxo por 
unidade de corrente, o que propicia dispositivos menores e mais baratos. 
 
 b) delimitam e direcionam os campos magnéticos no circuito, em caminhos bem definidos. Em 
transformadores, os materiais magnéticos são usados para maximizar o acoplamento entre os 
enrolamentos, assim como para diminuir a corrente de excitação. Em máquinas motrizes, os materiais 
magnéticos dão forma aos campos de modo que seja produzido o conjugado desejado, e as 
características elétricas específicas sejam obtidas nos terminais da máquina. 
 
 
3.3.1 Ferromagnetismo 
 
 Considere novamente o toróide da fig. 3.14. A corrente no enrolamento produz uma intensidade 
de campo magnético 
H
 dentro do toróide e uma densidade de fluxo magnético 
B
 que são colineares. 
Sendo o meio o vácuo, a relação entre 
B
 e 
H
 em qualquer ponto é dada pela conhecida expressão: 
 
HB

0
 (3.65) 
 
 Se o núcleo do toróide for preenchido com ar, plástico ou madeira, a magnitude da densidade de 
fluxo, B, é muito pouco aumentada. De fato, para a maioria das substâncias não ferromagnéticas, a 
diferença em relação à expressão (3.65) é tão pequena que, em termos práticos, pode ser 
completamente desprezada. 
 
 
 Todavia, como será explicado, se o núcleo de madeira for substituído por um de ferro de 
dimensões idênticas, será observado que a densidade de fluxo magnético B e, portanto, o fluxo 
magnético  total produzido pela mesma bobina, com a mesma corrente (mesmo campo H), será 
enormemente aumentado! Este aumento é devido ao fenômeno denominado de ferromagnetismo, 
visto que foi observado primeiramente no ferro. 
 
 
 Para entender os fundamentos deste fenômeno é suficiente empregar um modelo atômico 
relativamente simples, que consiste de um núcleo circundado por uma nuvem de elétrons. Cada 
elétron possui uma carga de 1,6x10-19 C, e esta carga pode ser considerada como concentrada em uma 
pequena esfera. Os elétrons estão em órbita ao redor do núcleo. Além disso, cada elétron gira em torno 
de seu próprio eixo enquanto se move na órbita em torno do núcleo, ver fig. 3.20. 
 A fig. 3.20(a) ilustra um elétron em órbita. A direção do movimento orbital descrita pela carga 
negativa do elétron corresponde a uma corrente i positiva (sentido convencional), em um laço 
formado pela órbita fluindo no sentido mostrado. A direção do fluxo magnético resultante, e 
consequentemente a direção do momento magnético orbital, ao longo do eixo da órbita, é aquele 
indicado pelo vetor 
mop

. 
 Além disso, cada elétron tem um momento magnético de spin decorrente da rotação da carga 
em torno de seu próprio eixo, como ilustra a fig. 3.20(b). Se a carga é entendida como distribuída 
esfericamente ao redor de seu eixo, girando no sentido horário, então equivale a um laço de corrente 
25 
 
no sentido anti-horário. Como um elétron tem uma quantidade específica (um quantum) de carga 
elétrica, ele tem também um momento magnético específico. O momento magnético de spin 
msp

, tem 
uma magnitude de 9,27x10-24 Am2, e o momento magnético orbital 
0mp

, vale zero ou é um múltiplo 
inteiro deste valor. 
 
Fig. 3.20. (a) Movimento orbital de um elétron. (b) Spin de um elétron. 
 
 Existem, portanto, dois fatores que podem se combinar para produzir o momento magnético do 
átomo
mp

. 
 No entanto, nos átomos de muitos elementos os elétrons estão dispostos simetricamente, de 
forma que os momentos magnéticos devidos ao spin e ao movimento orbital cancelam-se entre si, 
levando o átomo a não ter momento magnético líquido. Mas, nos átomos de mais de um terço dos 
elementos conhecidos não há essa simetria, de forma que eles possuem um momento magnético 
atômico líquido. Mesmo assim, a disposição dos átomos na maioria dos materiais é tal que o momento 
magnético de um átomo é cancelado por de outro de direção oposta (antiparalelo) vizinho próximo. 
Em somente cinco elementos os átomos estão dispostos com seus momentos magnéticos em paralelo 
de forma que eles se suplementam ao invés de se cancelar. Os cinco elementos ferromagnéticos são: 
 ferro;  níquel;  cobalto;  disprósio;  gadolínio. 
 
 Os dois últimos são metais de terras-raras, têm aplicação limitada na indústria e seu 
ferromagnetismo ocorre em temperaturas mais baixas que a ambiente. Um número de ligas destes 
cinco elementos, que incluem substâncias não ferromagnéticas em sua composição, também possuem 
a propriedade do ferromagnetismo. Um exemplo muito usado é o aço-silício, uma liga projetada 
especialmente para sistemas magnéticos práticos. 
 
 Foi demonstrado, experimentalmente, que uma 
amostra de material ferromagnético é dividida em 
domínios magnéticos, comumente de tamanho 
microscópico, nos quais os momentos atômicos estão 
alinhados. A figura ao lado mostra uma fotografia 
ampliada de um conjunto de domínios num cristal 
simples de níquel. Para tirá-la o fotógrafo espalhou uma 
suspensão coloidal de um finíssimo pó de óxido de ferro 
sobre uma superfície do cristal convenientemente 
cortada. As linhas brancas mostram as fronteiras destes 
domínios. As setas indicam a orientação dos momentos 
magnéticos no interior dos domínios. 
 
 A direção de alinhamento dos momentos atômicos difere de um para outro domínio. Isto está 
ilustrado na fig. 3.21(a) onde as setas indicam a direção do momento magnético em cada domínio. Mas, 
deve-se ter em mente que os domínios podem estar alinhados de forma aleatória nas três dimensões 
do material. O tamanho dos domínios é tal que um simples cristal pode conter muitos domínios, cada 
qual alinhado com um eixo do cristal. 
 Quando uma amostra ferromagnética é colocada em um campo magnético, os momentos 
magnéticos atômicos tendem a girar em alinhamento ao campo magnético. O volume dos domínios na 
amostra em que os momentos magnéticos são mais ou menos alinhados com o campo magnético 
(favoravelmente orientados) aumenta em tamanho, às custas da diminuição do volume dos domínios 
26 
 
que estão mais ou menos em alinhamento oposto ao campo aplicado (desfavoravelmente orientados). 
Este fenômeno é conhecido como movimento de parede de domínio, ilustrado na fig. 3.21(a) para a fig. 
3.21(b) e também de forma similar, para outro caso, na fig. 3.21(c) para (d). A consequência deste 
movimento de parede é que a amostra do material como um todo adquire um momento magnético que 
pode ser considerado como o resultante de todos seus momentos atômicos. O momento magnético da 
amostra fornece uma medida do grau de alinhamento de seus momentos. 
 
 
 
 
(c) 
 
 (d) 
Fig. 3.21. Domínios ferromagnéticos: (a) sem campo magnético aplicado; (b) campo magnético aplicado de 
intensidade H; (c) outro material desmagnetizado; (d) magnetização e movimento da parede do domínio. 
 
3.3.2 Magnetização 
 
 Mais uma vez usando o toróide da fig. 3.14, porém, considerando que seu núcleo é de ferro 
fundido, pode ser determinada a curva de magnetização B = B(H) experimentalmente,medindo-se 
um conjunto de valores de B e H a partir de uma determinada faixa de valores de corrente aplicada. 
Tipicamente, a relação obtida entre B e H tem a forma da curva de baixo da fig. 3.22. Se a bobina é 
enrolada em um toróide de aço fundido, material usado em máquinas elétricas, então a curva de 
magnetização típica obtida é a curva intermediária da fig. 3.22, ou, se o núcleo for de aço silício do tipo 
especificado tem-se a curva superior na fig. 3.22. 
 
 
Fig. 3.22. Curvas de magnetização de três materiais ferromagnéticos diferentes. 
27 
 
 A densidade de fluxo produzida no material ferromagnético pode ser descrita como constituída 
por duas componentes: 
 
MBBB

 0
 (3.66) 
onde: B0 é a magnitude da densidade de fluxo que ocorreria em uma bobina envolvendo o vácuo; 
 BM é a magnitude da densidade de fluxo adicional devida à presença do núcleo ferromagnético. 
 
 Com H = 1000 A/m, ter-se-ia: 
  B0 = 0,0012566 T; 
  da fig. 3.22 para o ferro fundido B = 0,513 T; 
  assim, da eq. (3.66), em módulo: BM  0,512 T. 
 
 
 Portanto, nota-se um extraordinário aumento da densidade de fluxo devido à presença do 
material ferromagnético, mais de 400 vezes maior que a densidade produzida somente no ar. 
 
 
 Assim, quando uma intensidade de campo magnético externa (
H
 ) é aplicada ao material 
ferromagnético, os momentos dos domínios magnéticos tendem a se alinhar com o campo aplicado. A 
componente de densidade de fluxo 
MB

 é o resultado de um alinhamento parcial dos momentos 
magnéticos atômicos do ferro na direção do campo 
H
 aplicado. Como resultado, se produz um valor 
muito mais elevando de densidade de fluxo (
B
 ) do aquele que existiria se houvesse apenas o vácuo ou 
o ar. 
 À medida que a magnitude H aumenta B também aumenta – porém, de forma não-linear com a 
variação de H, isto é,  não é mais constante (ver curvas B-H da fig. 3.22) –, até que todos os momentos 
magnéticos estejam alinhados com o campo aplicado. Nesse ponto, eles não podem mais contribuir 
para o aumento da densidade de fluxo (B), diz-se que o material está completamente saturado. 
 
3.3.3 Saturação 
 
 As curvas de magnetização da fig. 3.22 mostram que a densidade de fluxo B cresce rapidamente 
enquanto H é aumentado a partir de zero. Isto indica que somente um pequeno campo aplicado H é 
requerido para fazer as fronteiras dos domínios magnéticos moverem-se e permitir mais momentos 
atômicos se alinharem parcialmente com H. À medida que H é aumentado, a inclinação da curva de 
magnetização (dB/dH) é reduzida, indicando que as paredes dos domínios estão se movendo mais 
lentamente. Para se obter uma magnetização adicional será requerida a aplicação de um valor de H 
grande o suficiente para girar os momentos atômicos dos eixos dos cristais a uma direção mais 
próxima do alinhamento com H. 
 Este achatamento da curva B-H é proveniente da chamada saturação do ferro. A saturação 
completa, correspondendo à magnetização máxima, ocorreria se todos os momentos atômicos fossem 
levados a um completo alinhamento na direção do campo aplicado. Para qualquer outro valor menor 
de magnetização tem-se: 
 
)(00 MHBBB M

 
 (3.67) 
 
 A denominada magnetização 
M
 explicitada na eq. (3.67) é dada por: 
 
0
MBM



 (3.68) 
onde: em módulo: M= BM/0; a unidade da magnetização é A/m; no vácuo M = 0. 
 
 Como pode ser visto na fig. 3.22, por exemplo, até mesmo para H = 3000 A/m a densidade de 
fluxo para o ferro fundido é somente B = 0,76 T, um valor muito menor que o decorrente de um 
28 
 
perfeito alinhamento de todos os momentos atômicos na direção do campo aplicado. 
Consequentemente, este material é muito difícil de saturar completamente. Se H é aumentado 
enormemente, B continuaria a aumentar, e a inclinação da curva tenderia à 0, onde a máxima 
magnetização do material seria alcançada. 
 Na fig. 3.22 o material M36 (lâminas de aço-silício de espessura "29 gauge") atinge uma 
densidade de fluxo B = 1,8 T em 1000 A/m. Neste ponto, somente 0,0012 T advém do campo H 
aplicado, sendo a maior parte devida a magnetização do material. Em H = 3000 A/m, 1,99 T é obtido, 
que é cerca de 92% de BMmax do ferro (2,18 T), o principal componente desta liga. Portanto, alguns 
materiais ferromagnéticos podem se aproximar do limite teórico (2,18 T) com a aplicação de valores 
relativamente pequenos de H. 
 Enfim, diferentes materiais saturam em diferentes valores de densidade de fluxo. Na saturação a 
permeabilidade torna-se muito pequena. 
 
3.3.4 Permeabilidade dos materiais ferromagnéticos e indutor não-linear 
 
 Considere em primeiro lugar uma amostra não magnetizada de material ferromagnético. Se a 
intensidade magnética H, inicialmente nula, for aumentada continuamente, a relação B-H descreverá 
uma curva semelhante à da fig. 3.23, a curva de magnetização do material. Nota-se mais uma vez que a 
permeabilidade  não é constante, sendo seus valores tomados na curva de magnetização sempre de 
sinal positivo em uma ampla faixa. Da curva de magnetização obtém-se a permeabilidade, que deve 
ser calculada para cada ponto da curva, dada por: 
 
dH
dB

 (3.69) 
 
 Esta expressão fornece a permeabilidade de forma geral, isto é, válida tanto para o caso linear 
estudado anteriormente, quanto para o caso não-linear, onde a permeabilidade varia dependendo do 
ponto de operação na curva B-H. 
 
 
Fig. 3.23. Ilustração da curva de magnetização (curva B-H) 
e permeabilidade ( = dB/dH) de um material ferromagnético típico. 
 
 A permeabilidade máxima ocorrerá no "joelho" da curva onde a derivada dB/dH é máxima; em 
alguns materiais esta permeabilidade máxima é maior do que 1050, em outros é bem menor. Como 
pode ser observado na fig. 3.23, a permeabilidade do material cai drasticamente na saturação, o que 
faz com que a indutância se torne muito pequena nesta situação, como explanado a seguir. 
 O uso do material ferromagnético introduz a mencionada relação não-linear entre B e H, o que 
faz com que a curva -i seja também não-linear como mostra a fig. 3.24. Assim, não será válida a 
relação de proporcionalidade que representa uma reta  = Li com a indutância constante (ver fig. 
3.15). Em outras palavras, quando se faz passar um fluxo por um material ferromagnético, a relação 
com a corrente que o produz não é mais proporcional. Alguns autores chamam o dispositivo de 
indutor não-linear. Neste caso a indutância, denominada de indutância incremental, é dada por: 
 
di
d
L


 (3.70) 
29 
 
 Por exemplo, considerando o toróide da fig. 3.14 com núcleo ferromagnético e usando as 
conhecidas expressões anteriores obtém-se: 






 

N
lH
d
NAdB
di
d
N
di
d
L
 







dH
dB
l
AN
L
2 (3.71) 
 
 O que mostra que a indutância neste caso é variável, atingindo um valor máximo na maior 
inclinação da curva B-H (maior valor da derivada  = dB/dH), podendo cair bastante na região de 
saturação, que ocorre com maiores valores de H, com correntes mais elevadas. 
 
 
Fig. 3.24. Gráfico mostrando a relação não-linear entre o fluxo concatenado e a corrente i para materiais 
ferromagnéticos. Veja a curva B-H não-linear da fig. 3.23 e compare também com o caso linear da fig. 3.15. 
 
3.3.5 Aproximação da permeabilidade para meios não-lineares 
 
 Como visto, as curvas B-H na fig. 3.22 são não-lineares. Em muitos casos, nos equipamentos os 
materiais magnéticos operam normalmente em pontos de suas curvas B-H antes da saturação. Assim, 
com frequência, é conveniente aproximar por uma linha reta aquela parte da curva B-H que é usada. 
Isto foi feito para o aço fundido da fig. 3.22, como mostra a fig. 3.25. Neste caso, a aproximação é 
aceitável até o valor de B  0,9 T. Acima destevalor, as imprecisões se tornam muito grandes. 
 
 
Fig. 3.25. Aproximação para a curva de magnetização para o aço fundido da fig. 3.22. 
30 
 
 Dentro da faixa "linear" aceitável, a curva B-H pode ser descrita pela conhecida relação: 
 
B = 0rH (3.72) 
 
 Onde r é a conhecida permeabilidade relativa do material, isto é, um fator pelo qual a 
densidade de fluxo é multiplicada devida a presença do material ferromagnético, valendo portanto a 
expressão B = H, onde  = r0. Na aproximação linear da fig. 3.25, para B = 0,9 T, H  530 A/m e, 
portanto, r  1350. Veja como é grande o efeito na permeabilidade devida à presença do material! 
 
Exemplo 3.6. Suponha uma ferrite para a qual r = 50 e que esteja operando com baixa densidade de 
fluxo, a fim de que se possa considerar uma relação linear para o meio. Sendo B = 0,05 T, calcule , H, 
M e a susceptibilidade magnética m a qual é dada pela relação M/H. 
Solução: 
 Permeabilidade absoluta:  = 0r = (410-7)*50 = 6.2832x10-5 H/m. 
 Intensidade magnética: H = B/ = 795,7747 A/m. 
 Magnetização: B = 0(H + M) => M = B/0 – H => M = 38992,9611 A/m. 
 Susceptibilidade: m = M/H = 49,0000. O que mostra que a magnetização produzida pelo 
material é 49 vezes maior que a produzida pelas cargas livres (corrente). 
 
Exemplo 3.7. Considere que a bobina da fig. 3.14 tem 1000 voltas e que o núcleo do toróide é de aço 
fundido, com um raio médio de 250 mm e uma seção transversal com 25 mm de diâmetro. Use a curva 
B-H (aço fundido) da fig. 3.22 para determinar M e r, quando a corrente na bobina é 1,2 A. 
Solução: 
 H = Ni/l = 1000*1,2/(2**25010-3) = 763,9 A/m 
Da fig. 3.22: 
 B  1,03 T 
 Como: B0 = 0H = 410-7763,9 = 9,6010-4 T 
 Logo: BM = B – B0  1,029 T 
 
 De (3.68): M = BM/0 = 1,029/(410-7) = 8,19105 A/m 
 Com (3.72): r = /0 = (B/H)/0 => 
1073
104
)09,763/()003,1(
7



r
. 
 
Exemplo 3.8. Para o sistema magnético do Exemplo 3.7 determine: 
a) A corrente na bobina para produzir uma densidade de fluxo de 1,2 T no toróide. 
b) A permeabilidade relativa para uma densidade de fluxo de 0,9 T. 
c) A indutância da bobina usando uma reta passando pelo ponto na curva para 0,9 T como 
aproximação. 
Solução: 
 a) Da fig. 3.22, em B = 1,2 T tem-se: H  1140 A/m. 
 Da eq. (3.2): H = Ni/lc => i = lcH/N => 
Ai 79,1
1000
114010250**2 3



 
 b) Da fig. 3.25, em B = 0,9 T, H  580 A/m. 
 Da eq. (3.72): r = /0 = (B/H)/0 => 
8,1234
104
)0580/()09,0(
7



r
 
 c) B = 0,9 T o fluxo magnético é: 
mWb44179,09,0)1025(
4
23  

 
 E a indutância é: 
H
l
ANN
L
c
cr 485,0
102502
4/)1025(1048,12341000
3
2372
0
22








 
 
* Note nos Exemplos 3.7 e 3.8 que as permeabilidades relativas são diferentes para o mesmo sistema 
magnético, devido a pontos de operação diferentes na curva B-H. 
31 
 
 Como já mencionado, na prática os materiais ferromagnéticos são usados para aumentar o fluxo 
concatenado por unidade de corrente para se ter equipamentos (indutores, transformadores, motores, 
geradores, etc.) menores e mais baratos. No entanto, os materiais ferromagnéticos se caracterizam por 
sua magnetização, saturação e pelo fato de sua presença no circuito implicar usualmente em um 
profundo efeito na indução magnética. Portanto: 
 
 
  os materiais ferromagnéticos, amplamente utilizados em máquinas elétricas, são não-lineares. 
Desta forma a permeabilidade  constante não se aplica estritamente a eles; 
 
  como aproximação pode-se considerar uma linha reta na parte da curva B-H em que se 
presume que o núcleo irá trabalhar antes da saturação, isto é, válida somente até um certo valor de B; 
 
  outra maneira é examinar separadamente cada problema que envolve o ferromagnetismo, 
determinando-se qual região da curva B-H é importante para o problema em particular, fazendo-se 
aproximações para esta região. Em certos estudos linearizar-se por partes determinados trechos da 
curva B-H, ver Exercícios 3.5, número (04). 
 
  ou, simplifica-se o problema pela adoção de um valor médio constante para a permeabilidade; 
 
  certas espécies de ferros conhecidas como ferro doce podem ser tratadas como 
aproximadamente lineares. 
 
 
 Embora tenha sido enfatizado neste texto somente as substâncias ferromagnéticas, em geral nos 
materiais, cada átomo contém componentes diferentes para o momento magnético e a sua combinação 
determina as características magnéticas do material e provê sua classificação magnética. Deste modo, 
tem-se seis tipos diferentes, descritos resumidamente no Apêndice A, que pode ser acessado pelo 
hiperlink: A.1 Classificação magnética dos materiais. Esta classificação é bem mais abrangente e 
adequada do que a simplificada tab. 3.1 mostrada no início deste capítulo. 
 
3.3.6 Efeito da temperatura 
 
 Quando a temperatura de um material é aumentada cada átomo oscila ao redor de sua posição 
média no cristal, e esta oscilação perturba o alinhamento dos momentos magnéticos. 
Consequentemente, quando a temperatura de um material ferromagnético é aumentada, sua 
magnetização é alterada da maneira ilustrada na fig. 3.26. 
 
 
Fig. 3.26. Diminuição da magnetização ferromagnética com a temperatura. 
 
 Em uma temperatura conhecida como Temperatura Curie (Tc), o alinhamento atômico paralelo 
desaparece completamente e os momentos atômicos ficam alinhados aleatoriamente. A Temperatura 
Curie para o ferro é 770 C. Desde que as temperaturas na maioria das máquinas elétricas são 
usualmente abaixo de 150 C, o efeito nas propriedades ferromagnéticas do ferro será pequeno. Os 
efeitos de temperatura são mais importantes no níquel, no qual Tc = 348 C. Nos elementos das terras-
raras, as Temperaturas Curie estão abaixo da temperatura ambiente normal. 
32 
 
Exercícios 3.5 
 
01) Considere o sistema magnético toroidal da 
fig. 3.14, no qual é aplicado uma intensidade 
magnética externa de magnitude H = 1000 
A/m. 
 a) Determine (aproximadamente) para 
as três curvas da figura ao lado, a magnitude 
da componente de densidade de fluxo BM e da 
magnetização M correspondente. 
 
 b) Calcule a corrente i para se obter uma 
densidade de fluxo magnético B = 1,4 T 
considerando o núcleo do toróide e somente 
para as curvas do aço fundido e do aço-silício 
da figura. 
 
Dados: 
  raio a do toróide: a = 15 cm; 
  número de espiras: N = 250. 
 
 
02) O núcleo da figura ao lado é feito de aço-silício M-36 (29 gauge), 
cuja curva de magnetização é mostrada no exercício (01). O 
enrolamento possui 300 voltas. As dimensões estão em milímetros. 
 
 a) Determine a corrente requerida para produzir uma 
densidade de fluxo de 1,4 T no núcleo. 
 b) Se a curva de magnetização é aproximada por uma reta a 
partir da origem até o ponto B = 1,4 T, qual seria a permeabilidade 
relativa do material do núcleo e a indutância do dispositivo? 
 
 
 
03) Um indutor composto por um núcleo de área de seção transversal 
retangular A e caminho magnético médio de 0,60 m, deve trabalhar na região 
da curva B-H do material antes da saturação, isto é, abaixo do joelho da curva. 
A indutância deve ser 5 mH. Sendo o enrolamento com 50 espiras, calcule qual 
deve ser a área A para cada um dos três materiais da figura do exercício (01). 
Despreze a dispersão de fluxo. Analise os resultados. 
 
 
04) Seja uma liga de aço-silício com os seguintes valores de sua curva de magnetização: 
 
H = [0 25 50 75 100 150 200 250 300 350 400 500 600 700 800 900 1000 ] A/m 
B = [0 0.0222 0.1222 0.3111 0.6000 0.8444 1.0000 1.1000 1.1556 1.2000 1.2333 1.2778 1.3000 1.3111 1.3222 1.3333 1.3344] T 
 
 a) Plote a curva B-H correspondente.b) Faça uma linearização da curva B-H usando duas retas. Ache as equações destas retas sendo a 
1ª da origem até B = 1,10 T (aproximadamente início da saturação). A 2ª reta de B = 1,10 T até B = 
1,3344 T. 
 c) Determine, para a aproximação da curva B-H obtida no item (b), a indutância obtida em cada 
reta, considerando um núcleo com a geometria do exercício (03) sendo A = 6x10-2 m2 , l = 0,6 m e N = 50 
espiras. O que você observa? 
 
 
33 
 
3.3.7 Histerese 
 
 Embora o estudo da curva de magnetização seja de grande importância, outros fenômenos, não 
menos importantes, também ocorrem nos materiais ferromagnéticos, os quais serão discutidos nesta e 
nas próximas seções. 
 
 Verifica-se que, quando se aumenta e depois se diminui a intensidade de campo H aplicada, a 
curva de magnetização ou curva B-H de um material ferromagnético não se sobrepõe. Para apreciar 
isso, considere novamente a bobina da fig. 3.14 enrolada sobre um toróide de ferro e excitada por uma 
corrente alternada de frequência muito baixa. Desta forma, H inicia em zero e varia muito lentamente 
entre valores de pico Hmax e –Hmax como mostra a fig. 3.27(a). 
 
 Com o ferro inicialmente desmagnetizado, a variação de B é mostrada na fig. 3.27(b). Após 
alguns ciclos de H, se define um laço B-H fechado, o laço abcdefa mostrado na fig. 3.27(c), no qual a 
densidade de fluxo B é uma função de dois valores para cada valor de H. As setas indicam o sentido do 
movimento do estado magnético do ferro à medida que H varia. Assim, a curva B-H para H crescente 
difere de modo notável daquela para H decrescente. Este fenômeno é a histerese magnética. 
 
 
Fig. 3.27. Variação de B com H. (a) Intensidade H aplicada variando no tempo. 
(b) Variação de B para 0 < t < t1. (c) Laço B-H em regime permanente. 
 
 A variação de H para obter o laço B-H 
fechado da fig. 3.27(c), de Hmax para –Hmax e a 
volta de –Hmax para Hmax, deve ser unidirecional. 
Por exemplo, em nenhum momento o aumento 
contínuo de H que fornece a parte defa do laço 
pode ser interrompido ou revertido. Se isto 
ocorrer, um laço menor de histerese (minor loop) 
como o mostrado na fig. 3.28 surgiria, e muitos 
ciclos de variação de H seriam necessários para 
restabelecer o laço fechado abcdefa, em regime 
permanente, da fig. 3.27(c). 
Fig. 3.28. Laço de histerese menor (minor loop). 
 
 Observe que no ponto b da fig. 3.27(c), o ferro permanece magnetizado até mesmo se a corrente 
no enrolamento for zero. Para remover esta magnetização a corrente deve aumentar em módulo, mas 
em sentido negativo. Portanto, nos pontos b, e no laço, o ferro possui uma magnetização que não 
desaparece com a remoção do campo H que a produziu: diz-se que o material ficou imantado. 
 
 
 Através de todo o ciclo de variação, o valor de B está sempre defasado (atrasado) do valor de H. 
Este fenômeno é denominado histerese, da palavra grega que significa "vir atrás". O fator 
preponderante do ciclo de histerese é a reorientação lenta dos domínios magnéticos em resposta a 
uma força magnetizante H que varia ciclicamente. 
 
34 
 
 A forma da curva de histerese depende não só da natureza do material ferromagnético, mas 
também do valor máximo de H ao qual o material está submetido. 
 
 A fig. 3.29(a) mostra uma família de laços de histerese para vários valores de Hmax. Observe que 
após H ter sido aumentado até Hmax e então ser reduzido a zero, algumas paredes de domínios se 
movem espontaneamente em direção às posições que eles tomaram quando H era inicialmente zero. 
Isto reduz a extensão dos domínios positivos alinhados, mas o movimento não é completo e, como 
consequência, tem-se a densidade de fluxo Br remanente (imantação), mostrada na fig. 3.29(a). Este 
valor Br também é conhecido como densidade de fluxo remanescente ou residual, sendo diferente 
para cada laço de histerese, determinado por cada Hmax em particular. O valor negativo da intensidade 
de campo –Hc, requerida para remover a densidade de fluxo residual, é conhecido como coercitividade 
ou força coercitiva do ferro como mostra a fig. 3.29(a). 
 
 Já a fig. 3.29(b) mostra o ciclo de histerese em termos de H e da magnetização M do material, 
fazendo uma associação, de forma ilustrativa, com a teoria dos domínios magnéticos apresentada 
anteriormente. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Fig. 3.29. (a) Família de laços de histerese em regime permanente. (b) Variação da magnetização em 
função da intensidade do campo magnético aplicado. 
 
 Se no primeiro quadrante da fig. 3.29(a) forem ligados os pontos das extremidades dos vários 
laços produzidos pelos vários valores de Hmax, o resultado é uma curva como aquela internamente 
tracejada. Esta é a conhecida curva de magnetização do ferro ilustrada na fig. 3.22, sendo também 
denominada de curva normal de magnetização, útil para se efetuar cálculos mais exatos com 
materiais ferromagnéticos do que quando se considera simplesmente uma permeabilidade constante, 
valendo destacar que: 
 
 
para muitas aplicações em engenharia é suficiente o uso da curva de magnetização, que embora 
desconsidere a histerese do material, leva em conta as suas características não-lineares. 
 
 
 Enfim, devido a histerese a relação entre B e H é não-linear e plurívoca. Em geral, as 
características do material não podem ser descritas por expressões analíticas. Usualmente se utiliza 
gráficos com conjuntos de curvas determinadas a partir de ensaios de amostras dos materiais. O 
exemplo a seguir ilustra estas considerações. 
35 
 
 
Exemplo 3.9. Laços de histerese e curva de magnetização para o aço elétrico tipo M-5: o primeiro e o 
segundo quadrantes (onde B  0) de um conjunto de laços de histerese estão mostrados na fig. 3.30(a) para 
este material, tipicamente usado em equipamentos elétricos. Observe que, com um valor crescente de H, as 
curvas começam a ficar horizontais à medida que o material tende à saturação. Para uma densidade de fluxo 
cerca de 1,7 T, o material está fortemente saturado. Em todas as curvas pode ser notado tanto a densidade 
residual (Br) como a força coercitiva (–Hc). 
 Como já referido, para muitas aplicações em engenharia é suficiente descrever o material por uma curva 
unívoca, obtida da plotagem dos lugares de valores máximos de B e H nas extremidades dos laços de histerese. 
Esta é a mencionada curva de magnetização CC ou normal, mostrada na fig. 3.30(b). Mais uma vez observa-se 
que, embora a curva de magnetização despreze a histerese do material, ela exibe claramente suas 
características não-lineares. 
 
 
(a) (b) 
Fig. 3.30. Aço elétrico de grão orientado, tipo M-5, de 0,012 polegadas de espessura. Armco Inc. 
(a) Laços de histerese (apenas metades superiores). 
(b) Curva de magnetização (com apenas valores positivos de B e H). 
 
3.3.8 Energia e co-energia em sistemas magnéticos não-lineares 
 
 De forma semelhante à Seção 3.2.4, considere o cálculo da energia em sistemas magnéticos, 
porém, considerando o material ferromagnético para o qual a relação entre H e B é não-linear. 
Tomando como exemplo o indutor da fig. 3.2, com área de seção transversal Ac e caminho magnético 
médio lc, continua sendo válida a eq. (3.53), ou seja: 
 
2
1


diW
 
 Fazendo 1 = 0 e 2 =  tem-se, na fig. 3.31, uma representação gráfica da energia W, em joules, 
que corresponde à área entre a curva -i e o eixo vertical. 
 
Fig. 3.31. Representação gráfica da energia magnética e a da co-energia para curva -i. 
36 
 
 Como i = Hlc/N e com  = NAcB, obtém-se a variação de energia da rede elétrica para a parte 
magnética, W (em joules), quando a densidade de fluxo varia de B1 à B2, como: 
 

2
1
B
B
cc HdBlAW
 (3.73) 
quando W < 0 então que a energia está sendo devolvida do campo magnético para a rede elétrica. 
 
 A densidade de energia w, em J/m3, é dada por: