CEPA - Sistema de Ensino Pan Americano

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CEPA Centro Educacional Pan Americano www.cepa.g12.br Sistema de Ensino Pan Americano Levando a oferecendo Oportunidade sepa Ensino Médio Esta Apostila pertence a: Núcleo de: Professor(a): O CEPA COLOCA O MUNDO EM SUAS MÃOS 1Sistema de Ensino Pan Americano a conhecimento aferecendo Oportunidade Todos os direitos reservados. Sistema de Ensino Pan Americano FPA Faculdade Pan Americana / CEPA Centro Educacional Pan Americano / IPAEd - Instituto Pan Americano de Educação / ETEA Escola Técnica de Enfermagem da Amazônia / ETEMA - Escola Técnica de Enfermagem do Maranhão Diretor Presidente: Dirceu Milani Diretor Administrativo: Tarcísio Soares Milani Secretaria Geral do Ensino Médio: Maria Francesca Soares Secretario Geral dos Cursos Técnicos: Lionel Soares Milani Diretora Pedagógica: Cleudimar Soares Milani Esta Apostila foi impressa nas oficinas gráficas do IDEMA- Instituto para o Desenvolvimento da Educação do Estado do Maranhão CNPJ: 08.892.588/0001-47 idema Av. Senador Vitorino Freire - Lote 01 Qd 36 Sala 102 - 1° Andar Areinha - CEP: 65030-015 - São Luis -MA Fone:(98) 8194 / (98) 3083-1861 - Email: idema.ma@hotmail.com Supervisão Geral: Ricardo Breier Coordenação de Impressão: Alexandre A. de Carvalho Assistente de Produção: Regiane A. Serra / Rayanne A. Pinto / Hildson Ranyere G. Silva Todos os direitos reservados - Lei 9610 de 10-02-1998 Proíbe a Reprodução total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas gráficos, reprográficos, fotográficos, etc.... bem como a memorização e/ou reprodução total ou parcial, ou inclusão deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem a previa autorização escrita da Editora. Os infratores estão sujeitos as penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsáveis pela produção de cópias. Ao Concluir este Curso, informem-se através do Sistema Pan Americano, da possibilidade de dar prosseguimento a seus Estudos, quer no Ensino Profissionalizante, Ensino Técnico ou Superior (Graduação e Pós Graduação) Informações: Sistema de Ensino Pan Americano (91) 3462-4548 / 3462-3052) Av. João Paulo II - 801 Fátima Capanema -Pará - Brasil Home Page: www.cepa.g12.br E-mail: cepa@cepa.g12.br 2CEPA Centro Educacional Pan Americano SUMÁRIO 1. CONJUNTOS 02 2. FUNÇÕES 05 3. INEQUAÇÕES 10 4. FUNÇÃO MODULAR 10 5. PROGRESSÕES: P.A. e P.G 11 6. MATRIZES 13 7. DETERMINANTES 16 8. SISTEMA LINEAR 18 9. ANÁLISE COMBINATÓRIA 20 10. BINÔMIO DE NEWTON 21 11. PROBABILIDADE 23 12. NÚMEROS COMPLEXOS 24 13. POLINÔMIOS 27 14. GEOMETRIA PLANA 32 15. GEOMETRIA ESPACIAL 37 16. GEOMETRIA ANALÍTICA 39 17. TRIGONOMETRIA 48 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 50 AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO DO PROFESSOR 51 1CEPA Centro Educacional Pan Americano CONJUNTOS Conjunto: representa uma coleção de objetos. a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os números naturais. O conjunto de todos os números reais tal que Relação de pertinência Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo E que se "pertence" ,se não pertence indicaremos por Ex; 1 notações para conjuntos: aqui utilizaremos o da chave Subconjuntos: Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A C B, se todos os elementos de A também estão em B. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A. Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. (A C A) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (0 C A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {0, {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A. f)quando tratarmos de elemento com conjunto utilizaremos o símbolo de Ee quando relacionarmos conjunto com conjunto utilizaremos o símbolo Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por 0 nunca por conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto unitário: Por exemplo: {6} ou B = {3} Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: = B) Exemplo: Se e B={3,4} então Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao = conjunto representado por formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Exemplo: Se A={1,2} e B={1,2,3,4} então 2CEPA Centro Educacional Pan Americano Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A B) ntado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja, Algumas Propriedades Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A NB=BNA Elemento neutro para a união: O conjunto vazio é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A A Diferença de conjuntos A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A-B = {x: Exemplos: Seja A= {0,5,7}, B={0,7,3}, C={1,2,3,4,5} e {1,2,3} A-B= C-D={1,2,3,4,5} {1,2,3} = {4,5}. OBS: A-B # B-A, a operação de conjuntos NÃO é comutativa Complementar de um conjunto Dados dois conjuntos A e B, a diferença A - B desde que B A chama- se, neste caso, complementar de B em relação a A. Simbologia: CAB = A B. Leis de De Morgan 1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. 2. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. Número de elementos nas operações com conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. n(AUB)=n(A)+n(B) EXERCÍCIOS 1) No último clássico Corinthians X Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se: 3CEPA Centro Educacional Pan Americano a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? b) Quantos cariocas foram ao estádio? c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? h) Quantos eram corintianos ou paulistas? i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? 2) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados: 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; e 75 o produto P2. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas consumiam somente o produto P3? b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3? 3) Se A = 2, 6, 7, 8 , B = 1, 2, 3, 6, 8 C = 1, 4, 6, 8 então: a) (A-B) 12 = 1 b) c) n.d.a 4) Sendo A = {0, 1,2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {xEN|x é número par menor que 10} e D = {xIx é número compreendido entre 4 e 10}, determine: a) A UB b) BLC c) A D d) (AuB)u 5) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados não assistem; 101 assistem às corridas de Fórmula 1 e 27 assistem às corridas de Fórmula le de Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de Motovelocidade? 6) 10000 aparelhos de TV foram examinados Depois de um ano de uso e constatou-se que 4 000 deles apresentaram problemas de Imagem, 2 tinham problemas de som e 3 500 não apresentavam nenhum dos tipos de problemas citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: a) B) 3700 C) 3500 d) 2800 e) 2500 7) Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliado tomaram um campo de concentração nazista e de lá resgataram 979 prisioneiros. Desses, 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321 não tinham nenhuma dessas duas doenças. Qual o número de prisioneiros com as duas doenças? 8) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam Quantos jogam: a) tênis e não jogam vôlei?b) xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) vôlei e não jogam xadrez? E Considere o diagrama: 3 3 Escreva os seguintes conjuntos: 8 a)E,FeG b) E U F c) F G d) (E G) F 4Centro Educacional Pan Americano 2 FUNCOES Definição de função: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação fé uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos A={0,5,15} e Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5} e B = {0, 5, 10, 15,20, 25}, seja a relação de A em B 2, 5, 10, 20} seja a relação de A em B expressa pela fórmula com EAey expressa pela fórmula com E A y EB. A B A B 0 0 -2 5 0 2 10 5 2 5 15 15 20 5 10 25 20 Observamos que: Todos os elementos de A estão associados a Este exemplo não expressa uma função de A elementos de B. em B; pois o elemento -2 do conjunto A não A um dado elemento de A está associado um tem correspondente em B. único elemento de B Notação - Quando temos uma função de A em B, pode representá-la da seguinte forma: f: A B função A em B) Domínio, contradomínio e imagem de uma função - Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f: A-B. O conjunto A é denominado da função, que indicaremos por D. O conjunto B é denominado contra dominio da função, que indicaremos por CD. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no A esse valor de y damos o nome de imagem de pela função f. Exemplo: na função F: A B definida por f(x) =x+5, com A = {-4, 0, 1, 2} e 1,3,5,6,7, 9}, temos: A B -2 X f(x) 1 0 5 0 5 6 1 1 6 7 2 3 2 9 D = {-4, 0, 1, 2}, CD={-2, 1,3,5,6, 7, 9} e Im = {1, 5, 6, 7} Estudando o domínio de uma função - Numa função f, sendo dada por f(x) =x3-2x2+7, X pode ser qualquer número real, ou seja, D = R e CD = IR. Já na função f(x) = 1/x-4o domínio é qualquer numero real diferente de 4 pois X = 4 anula denominador. Assim, D=IR- {4} ou D = {x IR Exemplo: Construir o gráfico da função f: A- IR.dada por v=x+1. onde A = {0, 1,2, 3}. X y y 0 1 (0,1) 4 1 2 (1,2) 2 3 (2,3) 3 3 4 (3,4) 2 elementos da 1 0 1 2 3 X Observe que D=A={0, 1, 2, 3} Irn = {1, 2, 3, 4} Os pontos A, B, C, D constituem o gráfico da função dada. 5Educacional Pan Americano EXERCÍCIOS Construa o gráfico da função f: R, dada por f(x) = 3x - 1, sendo 1. Dado o conjunto A={-2,-1,0,1}, determine o conjunto imagem da função f: IR quando f for definida por: a) f(x) 2. Considere a função f(x) real, definida por f(1)=43 e f(x+1)=2f(x) 15. Determine o valor de 3. Dada a função f: definida para inteiro n podemos afirmar que o valor de f(200) é: Função Crescente - Sejam os conjuntos A = [O, 2], B = [3, 5] e a função f: A-B definida por f(x) = + 3. O gráfico dessa função é o seguinte: y f(x2) 5 f(x1) 4 Observe que X2 > XI e f(X2) > f(XI)' isto é, 3 aumenta e f(x) também aumenta. Dizemos, então, 2 que a função é crescente neste intervalo 0 2 (x1) (x2) Função decrescente Sejam os conjuntos A = [0, 4], B = [0, 4] e a função f: A-B definida por f(x) = X 4: O gráfico dessa função é o seguinte: 4 f(x1) 3 Observe que X2> XICEPA Centro Educacional Pan Americano Função injetora - Considere os conjuntos A = {-I, 0, 1, 2 J. B = {I, 2, 3, 4, 5) e a função Observe que cada elemento de B é imagem de somente um f: A B definida por y=X+2: elemento de A. Nesse caso,dizemos que a função é injetora. Função sobrejetora - Considere os conjuntos A={-2,-4,0,2,4, B={0,2,8} e a função f: B definida por A B Observe que não há elemento em B que não seja imagem de um 0 elemento de A. O contradomínio da função é igual ao seu conjunto 2 2 imagem. Nesse caso, dizemos que a função é sobrejetora. 4 Função composta - Considere os conjuntos A ={0, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 5} e C = (2, e as funções f: A-B, definida por f(x) = x+ 1, e g: definida por g(x) = 2x. Visualizando através de diagramas, temos: A B B C 0 1 1 2 3 2 2 4 4 2 3 6 5 5 10 definida f(x)=x+1 fb definida por g(x)= 2x Existe uma função h: A - C definida por h(x) = 2(x+I) = 2x 2. Observe os diagramas: A 0 2 2 Sendof: temos g o f: A-C de forma que is 10 EXERCÍCIOS 1. a)g of b)fog c)f(g(-1)) 2. Dadas as funções f(x) = calcular f(g(h(x))). 3. Sendo f e g funções de domínio real com determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)) Função polinomial - Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. Grau de uma função polinomial -> O grau do polinômio corresponde ao maior expoente da variável Ex: (função polinomial de grau 5) polinomial de grau). Função constante - Uma função polinomial cuja lei é do tipo f(x) = k, onde k E IR,é chamada de função constante, pois para qualquer valor real atribuído à variável sua imagem será sempre a mesma: k. 7Centro Educacional Pan Americano y Função linear - Seja a função polinomial do 1° grau f(x) = ax No caso de b=0, temos f(x) = ax, e ela recebe o nome especial de função Uma característica da função linear é k que, quando atribuímos par X o número zero, sua imagem f(0) também será 0, pois se =0 então, f(0)=a.0=0. X Gráfico de uma função polinomial do 1° grau - O gráfico da função polinomial do 1° grau y = a #0, é uma reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b), ou = ax + b é crescente f(x) = ax +bé decrescente y b a b Exercício: construir o gráfico da função cuja lei é y=2-x Zero de uma Função Polinomial do 1° grau - Zero ou raiz da função polinomial do 1° grau é o valor de X que anula a função, isto é torna f(x)=0,f(x)=ax+b->0=ax+b = -b = -b/a Estudo do sinal da função polinomial do 1° grau + -b/a -b/a 3 Q Inequações do 1° grau: denomina-se inequação do 1° grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: ax ou ax + b Resolvendo o caso 2: => 8CEPA Centro Educacional Pan Americano Inequações modulares: chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. - 1) Resolver a equação -2x+6 2x>4 x>2 Função modular - Chamamos de função modular a função definida por: Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio - Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: |x|-3 1 Exemplo 1: Determinar o domínio da função possível em IR se Então -3 Resposta Progressão Aritmética Progressão Geométrica P.A. P.G. Termo Geral: Termo Geral: = Soma Finita dos Termos: ou ainda: = 2 Soma Infinita: EXERCÍCIOS 1) Numa P.A., cujo 2° termo é igual a 5 termo é igual a 13 o termo é igual a: a) 13 b) 40 c) 41 d) 42 e) nda. 02) Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101? a) 250 b) 2050 c) 2555 d) 2550 e) zero 9Centro Educacional Americano 10 03) Os números , - são os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos positivos, sendo O décimo termo desta P.A. é igual a: a) 50 b) 53 c) 54 d) 57 e) 55 04) Numa PG razão da PG é : a) 2 b) 3 d) 5 e) 6 05) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a: a) 2 b) 6 c) 18 d) 5 e) nda. 06) Calcule sendo: x x x a) 45 b) 50 c) 10 d) 9 e) 4 + 07) A soma dos 9 primeiros termos da é igual a: a) 63 b) 127 c) 128 d) 255 e) 511 08) A soma dos infinitos termos da P.G. 111 é igual a: a) 2 b) 1/3 c) 2/3 e) 1 09) Calcule o valor da seguinte 101) a) 5050 b) 5051 c) 5049 d) 5055 e) nda 10) O produto dos 25 primeiros termos da PG (2,4,8,16,32, ...) é melhor representado pela alternativa: a) b) c) 250 d) e) nda 11 - Os números que ex primem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. O lado do quadrado mede: a) 2 b) d) 4 e) 12. A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética é 176. Se então, para qualquer n E N* temos: a) b) e) MATRIZES Uma matriz de ordem m n é qualquer conjunto de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Representação: Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: a i j. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna: Classificação das Matrizes - Em função dos valores de m e n classifica-se a matriz A = (aij) mxn em: Matriz se Matriz quadrada, se m n. 2 Em uma matriz A = (aij) mxn quadrada I de ordem n, os elementos aij com i =j 1 2 -3 constituem a diagonal principal. Os Matriz 0 4 5 6 elementos aij com i formam 5 2 0 4 a diagonal secundária. Matriz 10CEPA Centro Educaciona Pan Americano Tipos de Matrizes Matriz Nula - É a matriz onde todos os elementos são nulos. Matriz Oposta - Matriz oposta de uma matriz A= 3 2 3 (bij)mxn tal que bij = -aij. É a matriz Matriz Identidade ou Matriz Unidade 0 1 0 0 0 Matriz Transposta É a matriz que se obtém trocando 21 ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada. 2 3 0 B A' é transposta de A = então 0 5 3 5 Matriz Diagonal - É uma matriz quadrada onde 5 A 2 para i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal Ex: 2 principal são nulos. Matriz Simétrica - É uma matriz quadrada A tal que isto é, = para -2 3 345 Matriz Anti-simétrica - É uma matriz quadrada A tal que isto é, para i e j quaisquer. 0 I 5 0 -3 Ex: -530 Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = de mesma ordem, são iguais se, e somente se, Adição e subtração de Matrizes 2 2 41-2 2 Propriedades da adição de Matrizes a) A+B=B+A (COMUTATIVA) b)(A+B)+C=A+(B+C) (ASSOCIATIVA) c) (ELEMENTO NEUTRO) d)A+(-A)=(-A)+A=0 (ELEMENTO OPOSTO) e) DA SOMA) 11CEPA Centro Educacional Pan Americano Produto de Matrizes (Produto de um Número Real por uma Matriz) 3 9 - Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = é Sendo uma matriz B = Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz - Se A e B são matrizes de mesma ordem e e são números reais, valem as seguintes propriedades: a) b) c) = Produto de Matrizes Dadas da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. A matriz produto (A B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos. Propriedades do Produto de Matrizes - Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e supondo as operações abaixo possíveis, temos que: a) A.(B.C) = (A.B).C (ASSOCIATIVA) b) A.(B+C) = A.B + A.C (DISTRIBUTIVA À DIREITA) c) (A+B).C = A.C+B.C (DISTRIBUTIVA À ESQUERDA) A d) A IDENTIDADE e) Matriz Inversa - Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se 3 inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que de indicamos por denominada inversa de A, tal que: 2 A 3 pois Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: A det sen COSX = = sen sen Exemplo: 12Centro Educacional Pan Americano 1 2 5 REGRA DE SARRUS 0 1 3 - 1 0 -2 1 2 5 1 2 O determinante de ordem 3x3 veja como aplicar a Regra de Sarrus. 0 1 3 0 1 -1 0 -2 -1 0 Repetimos as duas primeiras colunas: 2 0 1 Multiplicamos os elementos das diagonais secundárias e os elementos das diagonais principais. -5 0 -2 0 inverte os PROPRIEDADES DOS P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero é nulo. P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer. P8) determinante da matriz inversa : EXERCÍCIOS -101 2 -1 01. (UNIFORM) Sejam as matrizes A= e B = 1 2 determinante da matriz A B é: 0 1 a) 64 b) 8 c) 0 e) -64 02. Para que O determinante da matriz seja nulo, valor de a deve ser: a a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4 1 03. produto M N na matriz M = 1 pela matriz N = (111): 1 a) não se define; b) é uma matriz de determinante nulo; c) é a matriz identidade de ordem 3: d) é uma matriz de uma linha e uma coluna; e) não é matriz quadrada. 1 -11 6 04. Sabendo-se que 0 determinante associado à matriz 2 4 - 3 é nulo, concluímos que essa matriz tem: a) duas linhas proporcionais; b) duas colunas proporcionais; 13CEPA Centro Educacional Pan Americano c) elementos negativos; d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas; e) duas filas paralelas iguais. p 2 2 05. (UESP) Se 0 determinante da matriz é igual a -18, então determinante da matriz é igual a: 4 1 b) -6 c) 3 d) 6 e) 9 210 2 1 0 06. (UESP) Se determinante da matriz kkk é igual a 10, então 0 determinante da matriz k +4 k+3 1 2 -2 é igual a: a) 7 b) 8 d) 10 e) 11 152 07. Calcular determinante da matriz M = aplicando Teorema de Laplace e utilizando a coluna. 213 08. (PUC) co-fator do elemento da matriz A = 121 0 2 a) 2 b) 1 e) 3 1 1 3 1 1332 10. (MACK) valor de é: 2 5 3 3 1 1 1 1 c) 0 d) 1 e) 1131 Sistema Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,... xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas. Exemplo: Sistema linear com três equações e três variáveis. Classificação de um sistema linear - Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele. SPD - Sistema Possível e Determinado - possui apenas uma solução. SPI - Sistema Possível e Indeterminado possui infinitas soluções. SI - Sistema Impossível - não possui solução. 14CEPA Centro Educacional Pan Americano Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: Teremos: 1 3 1 3 3 A = 2 = 24 Ax3 = 2 = 96 4 3 6 = 12 =120 = 2 12 1 = 48 -5 4 6 -5 Portanto, pela regra de Cramer, teremos: = 4 Logo, o conjunto solução do sistema dado Agora, resolva este sem utilizar a regra de Cramer: x+y+z=5 EXERCÍCIOS 01. 3x+y=9 Resolver pela Regra de o sistema 02. Resolver pela Regra de Cramer. o sistema x+y+z=6 03. Se o terno a x+y+z=-2 solução do sistema igual a: a) -8 15CEPA Centro Educacional Pan Americano 05. O sistema 9x-2y-7z=25 a) só apresenta a solução trivial; b) é possível e determinado não tendo solução trivial; c) é possível e indeterminado; d) é impossível; e) admite a solução (1; 2; 1) x+y+z=-1 06. Se tivermos a: a) -1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 5/9 10. Determinar m tenha apenas a solução trivial. para que o sistema 5x+3y+mz=0 ANÁLISE COMBINATORIA Fatorial - Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n ENen>1, n!=n(n-1)! , 1!=1 , 0!=1 Princípio fundamental da contagem - PFC - Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: Arranjos - São agrupamentos formados com p elementos, de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição. FÓRMULA: PERMUTAÇÕES SIMPLES - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. FÓRMULA: COMBINAÇÃO SIMPLES - Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: = EXERCÍCIOS 01. Considere todas as trinta e duas com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? 16CEPA Centro Educacional Pan Americano a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16 02. De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12 04. Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 861 b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 242 05. O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é: a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720 07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é: a) 120 b) 108 c) 160 d) 140 e) 128 08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? a) 90 b) 21 c) 240 d) 38 e) 80 09. Considere a palavra FELINO: a) Quantos são os anagramas dessa palavra b) Quantos começam com a letra N c) Quantos terminam por vogal d) Quantos apresentam as letras ELI juntas e nessa ordem e) Quantos apresentam as letras ELI juntas e em qualquer ordem 10. Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos e 9: 11. Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108 12. De quantas maneiras é possível ordenar 2 livros de matemática,e livros de português e 4 de física,de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e alem disso os de física fiquem entre si na mesma ordem? 10 de Newton 3 Número binomial: n! Propriedades dos números binomiais: Se k = n então 17CEPA Centro Educacional Pan Americano Se Ne p então De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton: Percebemos então, que um termo qualquer T de ordem ser expresso por: EXERCÍCIOS Nas questões de la 5 utilize o teorema do Binômio de Newton: 01. 04. (2x+1)5 05. 06. Calcular o quarto termo do desenvolvimento de feito segundo os expoentes decrescentes de X. 07. O coeficiente de x4 no polinômio 08. Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x + 2y)5. 09. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ? 10. Qual é o termo em no desenvolvimento de 11. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de é 625. O valor de m é: 12. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio - 13. Desenvolvendo-se a expressão obtém-se como termo independente de o valor: PROBABILIDADE Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, Exemplo: Lançando uma moeda,Sendo S o espaço amostral: S={CARA, COROA} Exemplo: No lançamento de um Dado: S={1,2,3,4,5,6} EVENTOS - Qualquer conjunto do espaço amostral é chamado de evento.no lançamento de um dado por exemplo,em relação a face voltada para cima podemos ter os seguintes eventos: Número par A={2,4,6} Número menos que 5 B={1,2,3,4} Número impar C={1,3,5} etc... 18CEPA Centro Educacional Pan Americano Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: número de casos favoráveis número de casos possíveis Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: número de elementos de A n(A) P(A) = número de elementos de S n(S) Probabilidade Condicional Eventos Independentes EXERCÍCIOS 1) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% 2) A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes? 3) Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 4) Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: 1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 3) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5% 5) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidade de que: a) tenham pelo menos um menino? b) tenham filhos de ambos os sexos? c) tenham dois filhos de cada sexo? 6) Em um armário há 6 pares de sapatos. Escolhem-se 2 pés de sapatos. Qual é a probabilidade de se formar um par de sapatos? 7) Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de se obter: a) um par (os demais diferentes); b) dois pares diferentes (o quinto diferente dos pares); c) uma trinca (os demais diferentes); d) uma quadra (o quinto diferente ); e) uma quina; f) uma 8) Um dado honesto tem duas de suas faces pintadas de vermelho e as demais de azul. O dado é lançado três vezes, anotando-se a da face obtida. 19CEPA Centro Educacional Pan Americano a) Qual é a probabilidade de que a con obtida no 1° lançamento seja igual à obtida no ? b) Dado que a mesma con foi obtida no 1° e 2° lançamentos, qual é a probabilidade de que no lançamento saia esta mesma cor? 9) Em uma questão típica de múltipla escolha com cinco respostas possíveis, respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada? 10) Em um teste com três questões do tipo V/F, um estudante mal preparado deve responder cada uma aleatoriamente (por palpite). a) Relacione os diferentes resultados b) Qual é a probabilidade de responder corretamente todas as três questões? c) Qual é a probabilidade de "palpitar" incorretamente todas as três questões? d) Qual é a probabilidade de passar no teste "palpitando" corretamente ao menos duas questões? 11) Ao jogar 21 (um jogo no cassino em Las Vegas), o apostador tira a carta de um baralho bem embaralhado. Qual é a probabilidade de se obter: a) uma carta de paus ou um ás? b) um ás ou um 2? c) um ás e um 2? 12) Seja o experimento lançar um dado e os eventos: A: sair o número 3; B: sair um número par; C: sair um número a) qual a probabilidade de sair o número 3 ou sair um número par? b) qual a probabilidade de sair o número 3 ou sair um número c) qual a probabilidade de não sair o número 3? d) qual a probabilidade de sair o número 3 numa jogada se a deu 12 EXOS Sabemos que a equação x2 +9 = 0 não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos x2 = = para solucionar o problema vamos chamar i = Um número complexo é expresso na seguinte forma: z=a+ bi, onde a é denominado a parte real e o numero b é denominado a parte imaginária. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO + bi- = Subtração (a d)i Multiplicação = (ac + (ad + bc)i Dividindo dois números complexos - Regra: Para dividir um número complexo Z por outro basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador 3+2i Potências de i - Temos: 20CEPA Centro Educacional Pan Americano Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos basta calcularmos i' onde r é o resto da divisão de n por 4. Exemplo: => 63/4 dá resto 3, logo Interpretação geométrica - Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo da seguinte maneira Im P de ou seja: p b Re a Forma polar dos números complexos - Da interpretação geométrica, temos: O que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Operações na forma polar: Multiplicação Divisão Potenciação Radiciação EXERCÍCIOS - a: 3) Sendo i a unidade imaginária o valor de + é: 21CEPA Centro Educacional Pan Americano 4) A potência equivale a 5) Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i. 6) Encontre todas as soluções complexas possíveis para as equações abaixo: a) - b) 3z6 - c) z=8 7) Dado o número complexo Z= 4-3i, calcule o modulo de 8) Dê a forma trigonométrica dos seguintes números complexos: a) z=-2-2i c) z=-2 d) z=1+i 9) Simplificando-se a expressão obtêm-se: b) 10) Seja Z = onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que é igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i EXERCÍCIOS EXTRAS Determinar o módulo e o argumento, colocar na forma trigonométrica e dar a representação gráfica dos números: b) c) 3i e)-5 Calcular o módulo dos números: 2 5 Transforme os números complexos para sua forma algébrica. Baseado em Z3, e na questão anterior, resolva: e) 22Centro Educacional Par Americano 13 Definição - Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação + Grau de um Polinômio: Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos: a) P(x)=5 ou P(x)=5.x° é um polinômio constante, ou seja, b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1° grau, isto é, gr(P)=1. Alguns exercícios resolvidos: 1°) Sabendo-se que -3 é raiz de calcular o valor de a. Resolução: Se -3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => = 2°) Calcular m para que o polinômio a) do 3°grau b) do 2° grau Polinômios iguais - Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)=B(x)). Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que = a+b=1 Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. a+b+c=-2 a+c=1 Divisão de polinômios - Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: P(x) D(x) R(x) Q(x) gr(R) ou R(x)=0 Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x) Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=0 Exemplo: Determinar o quociente 23Centro Educacional Pan Americano x4 Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=0 - + 2x x2 -2x+1-0(x) Resolução: Aplicando o método da chave, temos: 5x2 +9x - 1 Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por + 2x3 +6x2 - 4x D(x)=2x-1. X2 + 5x - 1 2r-1 -x2 - 3x+2 2x 3 2x+1 R(x) Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a) Exemplo: Calcule o resto da divisão de por x+1. Resolução: Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): => Resposta: R(x) = -5. Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio seja divisível por x-2.Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0. P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19 O dispositivo de Briot-Ruffini - Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio por (x-2). RAIZ DO 2 3 -5 1 3.(2) 1.(2)+1 3.(2)-2 3 1 3 4 KESTO Resposta: R(x)=4. Decomposição de um polinômio em fatores 1° caso: O polinômio é do 2° grau. De uma forma geral, o polinômio de 2° grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes pode ser decomposto em fatores do 1° grau, da seguinte forma: Exemplos: 1) Fatorar o polinômio Resolução: Fazendo obtemos as raízes e r2=2. Logo: = (x-5)(x-2). 2° caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. 24Centro Educacional Pan Americano Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3° grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1° grau por um polinômio do 2° grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também. Exemplo: Decompor em fatores do 1° grau o polinômio Resolução: = à colocando X em evidência Fazendo = 0 obtemos: x=0 ou Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 Portanto, o polinômio na forma fatorada é: 2.x.(x-1).(x+(1/2)). EXERCÍCIOS 1- - Sejam os polinômios A(x) Calcule: a) B(-1) 2- Determine m,n,p de modo que - 3 3- Considere os Determine m,n,p de modo que A(x) 4 - Calcule os valores de m,n,p para os quais os polinômios P(x) = (2m - + (3 2p) seja identicamente nulo. 5- Determine o quociente e o resto + 3x - 2 6- Calcule m,n para que o polinômio A(x) seja divisível por B(x) 7- Determine o valor de p, para que o polinômio px + 2 seja divisível por - 8- Determine o valor de k, para que o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x + 1 por seja 4. 9- Sabendo que -1 é raiz o seu conjunto solução. 10- Resolva a sabendo que 3 é raiz dupla. EQUAÇÕES POLINOMIAIS Teorema da Decomposição - De forma geral um polinômio pode ser escrito na forma fatorada: P(x) = OBS: Toda equação polinomial P(x)=0,de grau n, n > 1,tem exatamente n raízes reais ou complexas 25CEPA Centro Educacional Pan Americano Raízes Complexas - Se um numero complexo z=a+bi com a,b E R e b#0 é raiz da equação algébrica P(x)=0,de coeficientes reais,então o seu conjugado - bi é também raiz da mesma equação. Raízes Racionais - Se o número racional p/q, p e q primos entre si,for raiz da equação algébrica de coeficientes inteiros: e então p é divisor de ao e q é divisor de an. Relações de Girard Equações do 2° grau Consideremos a equação do 2° grau P(x)=ax2+bx+c, com a#0, cujas raízes são as raízes e X2 da equação algébrica do 2° grau ax2+bx+c=0 com a#0, são tais que: X1.X2=c/a Equações do 3°grau Consideremos a equação do 3° grau com a#0, cujas raízes são X1, X3: as raízes X1, X3 da equação algébrica do 3° grau +d com a#0, são tais que: X1. = -d/a De forma geral um polinômio podemos ter: EXERCÍCIOS 01. Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3: a) p(x) b) p(x) c) 02. Sabe-se que a equação 2x3 - 6x 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são: a) inteiras e positivas; b) inteiras e de sinais contrários; c) não reais; d) irracionais e positivas; e) irracionais e de sinais contrários. 03. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser: 04. A equação + + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 + i (i sendo a unidade imaginária) como a raiz. Então men valem, respectivamente: 26CEPA Centro Educacional Pan Americano 05. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação = 0. Então: a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2; b) as soluções dessa equação formam uma progressão; c) a equação tem duas soluções reais irracionais; d) a equação tem 2 soluções reais racionais; e) a equação não tem soluções reais. 06. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 + 2x2 07. Resolver a equação 10x sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3. 08. Resolver a equação sabendo-se que a soma de duas raízes é zero. 09. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 2x2 + ax determinar a e as demais raízes da equação. 10. Sendo P(x) um polinômio de 5° grau que satisfaz as 0, obter o conjunto-verdade da equação P(x) 1=0 e o valor de P(0). 11. Resolva a equação 12. Sabendo que 2 é raiz da equação +2x2-5x+c=0, determinar o seu conjunto solução. 13. Calcular a e b de modo que 2 seja raiz dupla da equação + ax2 -8x +b=0 14. Resolver a equação + 2x4 -2x3 + 2x2 3x=0 15. Resolver a equação x3-7x+6=0 sabendo que a soma de duas raízes é 3. 16. A equação x4-4x3 + 12x2 +4x-13=0 tem a raiz complexa x1=2+3i, determine as outras três raízes 17. Resolver a equação sabendo-se que a soma de duas raízes é nula. 18. Quais as soluções de x(x2-4x+4)=1 ? PLANA O teorema de Tales é determinado por feixes de retas paralelas (determinado por três ou mais retas paralelas) cortadas por transversais que formarão segmentos de retas correspondentes. A A' Os pontos A, B, C, A', B'. C' formam os segmentos de retas AB, BC, AC, A'B', B'C', A'C', esses obedecem à B seguinte correspondência: AB = BC = AC Exemplo: Encontre o valor de e y indicado em cada feixe de retas paralelas abaixo: 27Centro Educacional Pan Americano F 2x-3 5 6 2x-3=x+2 5 6 5x+10 = 12x-18 5x - 12x = - 18-10 - -7x = -28 X = 4 Relações métricas nos polígonos regulares inscritos em uma circunferência Onde r=raio da circunferência 1) Quadrado - ; 2) Hexágono - ; 3) Triangulo - ; apótema=r/2 Relações Métricas no Triângulo Retângulo b C h m n B a C RELACOES- = EXERCÍCIOS 1.Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. 2.A medida da altura relativa À hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. 3. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm. 28CEPA Centro Educacional Pan Americano Circunferência P C Diâmetro- D=2.r Comprimentro Áreas de Figuras Planas a) Triângulo a b.h 2 h C S=bh b b a d) Trapézio ab . sen a C S = b 2 b (B+b).h h 2 B e) Losango a C fórmula de Hierão b Dd d S = 2 D a h=c S 2 f) Quadrado b 3 S = 4 b) Retângulo g) Área do b R S = ab a a 1) Comprimento da circunferência b i) Circular c) Paralelogramo 29CEPA Centro Educacional Pan Americano IMPORTANTE LEI DOS SENOS B 3 4 6 0 5 0 a o o o C b A S 1 V V e / 2 3 m 2 / / 2 2 C 1/2 ó 3 2 S / / 2 2 t 1 V g 3 3 / 3 LEI DOS COSSENOS C a B A C EXERCÍCIOS 1)Uma torre vertical, de altura 12 metros, é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância da sua base, e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determine a distância tg Dado a figura calcule X ey y 4) e D são os ângulos retos de um trapézio.se os lados AB,DC e AD medem, respectivamente, 12cm, 8cm e 4cm, devemos aumentar o seguimento AD, para encontrar o prolongamento de BC em: 30Centro Educacional Pan Americano a) 8 cm b) 9cm c) 10 cm d 11cm e) 12cm 5) O lado de um triângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um triângulo que possui o: a. dobro da área do primeiro triângulo? b. triplo da área do primeiro triângulo? quádruplo da área do primeiro triângulo? 6) Calcular a medida do lado de um triângulo com a área igual a 9 cm2 7) ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC? 6) Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos sabendo-se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferência? 7) )Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência está no interior do trapézio. 8)No triângulo ADE da figura, em que B e C são os pontos do lado AD e AE,respectivamente AB=AC,BC=BD e Qual o valor de x? D B A E 15 GEOMETRIA ESPACIAL Áreas e volumes de sólidos geométricos. V=axbxc a 31CEPA Centro Educacional Pan Americano a ap g 3 V = volume ; P = perímetro da base; g = geratriz Prismas Paralelepípedo Cubo 4 Área da esfera A área de uma superfície esférica de raio r é igual a Volume da esfera volume de uma esfera de raio r é igual a 3 4 3 Relação de EULER: em um poliedro convexo vale a A+2=F + V Onde A: número de aresta, F=número de faces e V=número de vértices EXERCÍCIOS 1) Numa pirâmide triangular a aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral 10 cm, calcular a) a medida do apótema da pirâmide c) a medida do apótema da base b) a altura da pirâmide d) a área total da pirâmide 2) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? 3) Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 4cm, 3cm, a) a medida de sua diagonal b) a área total do paralelepípedo 4) Calcular o volume de um prisma retangular, no qual a aresta da base mede 4 cm e a altura tem 10 V3 cm. 32CEPA Educacional Pan Americano 5) Nnuma pirâmide triangular retangular a aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral,10 a) a medida do apótema da pirâmide b) a medida do apótema da base c) a altura da prirâmide d) a área total da pirâmide 6) Calcular o volume de um tetraedro regular de aresta 5 cm 7) A área total de um cubo mede 48 ache a medida da diagonal desse cubo 8) Planificando a lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio 5 cm e um ângulo central de rad. Calcular a área lateral e a área total do cone. 9) Uma esfera de raio 8 cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. a) calcule o raio da seção b) calcule a área da esférica c) calcule o volume da esfera 10) Um prisma quadrangular regular de aresta da base esta inscrito num cilindro o volume V do cilindro em funcao da aresta da base do prisma. B Distância entre dois pontos A Exemplo 1 x D Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles. D D y Ponto Médio B y A o B Condições de alinhamento de três pontos - Se três pontos, B(XB, e yc), estão alinhados, então: 1 XB 1 = 0 1 33Centro Educacional Pan Americano Dada uma reta r, sendo A(XA, e B(XB, pontos conhecidos e distintos de re P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: a e b não são simultaneamente nulos temos: ax+by+c=0 1) Determine o valor de X para que os pontos A(2,-3), B(x,7) e C(x,1) sejam: a)colineares b)os vértices de um triângulo 2) Os pontos A(1,2), B(3,1), C(2,4) são os vértices de um triângulo. Determine a equação das retas suportes dos lados desse triângulo. Equação reduzida da reta - y=mx+n onde m=coeficiente angular , n=coeficiente linear Exemplo: uma reta passa pelo ponto P(-2,-4) e tem coeficiente angular m= /3.determine o coeficiente linear dessa reta. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS Paralelismo - Duas retas, r e distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais. a Concorrência - Dadas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes: res são concorrentes ressão concorrent es +4y+3=0 são concorrentes: Perpendicularismo - Se r es são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a S se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se Acompanhe o desenho: - 1/m2 34CEPA Centro Educacional Par Americano Distância entre ponto e reta - Dados um ponto y1) e uma reta distância entre eles (dpr)é dada por: = d P(x1,y1) pr 0 Podemos determinar a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do y C A área do triângulo de vértices dado por: B S = I A 2 YA A Exemplo: Determine a área da região triangular cujos vértices são os pontos A(1, 2); Solução: 1 2 1 1 2 2 4 1-2 2 (4+8+4-16+2+4) 1 2 2+ EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA Equação reduzida P(x,y) o 35CEPA Centro Educacional Pan Americano Equação geral - Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: B2 a a b Elipse - Observe a elipse a Nela, consideramos os 0 A1 seguintes elementos: F1 F2 A2 a a focos : os pontos F1 e F2 B1 centro: o ponto que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: vértices: os pontos A1, eixo eixo distância focal: Relação fundamental - Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo retângulo em podemos escrever a seguinte relação Excentricidade - Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2cCEPA Centro Educacional Pan Americano y Hipérbole focos: os pontos F1 e F2 b os pontos e F a A2 F2 centro da hipérbole: o ponto que é o ponto médio de semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c distância focal: os focos) eixo real: que relação fundamental) eixo imaginário: Excentricidade - Chamamos de excentricidade o número real e tal que: e = - a Como a, temos e > 1. Equações a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox y P(x, y) F2 (c,0) F2 a Aplicando a definição de hipérbole: = 2a Obtemos a equação da hipérbole: b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy 2 Nessas condições, a equação da hipérbole é: 1 y F2 A2 A1 a F 37Centro Educacional Pan Americano Parábola Elementos - Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: D F P foco: o ponto F a reta d vértice: o ponto V parâmetro: p Então, temos que: o vértice o foco F ficam numa mesma o eixo de simetria e. Assim, sempre temos eld DF =p = P 2 V é o ponto médio de Equações - Vamos considerar os seguintes casos: a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal d y P(x,y) 5 Como a reta d tem equação 2 e na parábola temos: 2.5 2 ; P(x, y); 38CEPA Centro Educacional Pan Americano obtemos, então, a equação da parábola: b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal Nessas condições, a equação da parábola é: y d F 2 p 2 c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical Y x2=2py 2 d d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical y d { 2 F EXERCÍCIOS 1) Prove que é isósceles o triangulo cujos vértices são os pontos A(2,-2), B(-3,-1),C(1,6) 2) Determine as coordenadas dos vértices de um triangulo,sabendo que os pontos médios dos lados dos triângulos são 3) Dados os pontos A(2,6) B(4,3),determine a equação da mediatriz do segmento AB. 39Centro Educacional Americano 4) Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k,3) e B(-1,-4) é de 45° 5) Determine a distância entre as retas paralelas 2x + 3y - 6=0 6) Determine a distância entre o ponto A(2,1) e a reta r de equação +2y 14=0 7) A área de um triângulo é 12cm2.dois de seus vértices são (-1,-2) e (2,3)sabendo-se que o terceiro vértice está sobre a reta 2x + y=2. Calcule as coordenadas desse vértice. 8) Determine a equação da circunferência com centro C(2,3) que passa pelo ponto P(-1,2) 9) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto A(4,2),B(-1,1) e C(1,1) 10) Determine as coordenadas do centro e do raio da circunferência de equação x2 + 19=0 11) Dada a equação da elipse 4x2 + determine: a) as coordenadas dos vértices e dos focos b) o comprimento dos eixos maior e menor c) a excentricidade 12) Determinar a equação da elipse de focos que o comprimento do eixo menor é 2 13) Determinar a equação e as coordenadas dos vértices da hipérbole de focosF1(0,-4) e F2(0,4),sujo eixo real mede 6. 14) Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário e da distancia focal da hipérbole de equação 9x2 16y2=144 15) Dada uma parábola de equação -20x,pede-se: a) as coordenadas do foco b) a equação da diretriz 16) Determinar a equação da parábola cujo eixo de simetria é vertical e passa pelos pontos A(-3,5), B(0,-4) e C(2,0) 16 TRIGONOMETRIA Relação Fundamental da Trigonometria sen(x) 1) = Relação válida para todo 2) Relação válida para todo 3) = cos(x) Relação válida para todo 4) 1 Relação válida para todo # kr 5) 40CEPA Centro Educacional Pan Americano Cosseno do arco metade Seno dom arco metade 1+cosx 2 sen 2 Tangente do arco metade = 1+cosx Fórmulas da adição 6) sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) 7) sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a) 8) cos(a+b) - 9) 10) As fórmulas acima são verdadeiras para arcos positivos,cuja soma pertence ao primeiro quadrante. Fórmulas da Multiplicação e Transformação em Produto 12) 14) EXERCÍCIOS 15) 1) Qual o valor máximo da função cos 20x ? 16) 2) O valor de cos72° - é idêntico ao de 17) (A) cos36°. (B) -cos236°. (C) cos236°. (D) -sen236°. (E) sen236° 41Centro Educacional Pan Americano 3) Construa o gráfico do domínio, imagem e período de cada uma das seguinte funções: a) y=sen2x b) y=2+sen2x 8) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então: c) y=1+senx d) y=3+2senx a) senx = 0 tgx = 1 d) sen2x = 1 4) Calcule: a) sen75° b) cos 15° c) sen 105° d)tg 15° 9) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: 5) Transforme em produto: a) a) y=sen28° + sen b) y=cos3x-cosx 6) Resolva as seguintes equações: 10) Se e y são dois arcos complementares, a) cos2x=cosx b) 2cosx + 1=0 então podemos afirmar que c) cos2x-cosx=0 A = (cosx - + (senx + é igual a: a) 0 b) 1/2 c) 3/2 d) 1 e) 2 7) Para que valores de m a equação sen 30x 1 tem solução? 11) Calcule sen 2x sabendo-se que tg X + cotg História da Hoje, todos os países e a sociedade em geral dependem cada vez mais da matemática. Mas a matemática não apareceu tal como a conhecemos hoje. A matemática tem uma história e a história da matemática permite que as teorias hoje usadas são resultado de desafios que os matemáticos enfrentaram desde o início dos tempos. Tais teorias foram desenvolvidas com grande esforço e, por grandes matemáticos. Nikolay Ivanovich Lobatchevisk- Nascido em 1792 morreu em 1856. Trabalhou em Geometrias não-euclidianas, negando o teorema das paralelas conhecido como Axioma V dos Postulados de Euclides. John Napier - Nasceu em 1550 morreu em 1617. Considerado o inventor dos logaritmos embora não fosse um matemático profissional. Blaise Pascal Nascido em 1623 morreu 1662. Construiu as primeiras máquinas de calcular aos 18 anos. Interessava-se por várias áreas da Matemática e da Física. Teve grande importância no estudo dos cálculos das probabilidades. Isaac Newton - Nasceu em 1642 morreu em 1727. Foi físico, matemático e astrônomo. Trabalhou muito em Geometria Analítica e Mecânica. 42Centro Educacional Pan Americano Leonard Euler Nasceu em 1707 morreu em 1783. Responsável por muitas das notações matemáticas usadas hoje em dia por nós. Foi o matemático que mais produziu obras escritas. Infelizmente ficou cego nos últimos 17 anos de sua vida. Gottfried Wilhem Leibniz Nasceu em 1646 morreu em 1716. Aos 17 anos já era Bacharel. É atribuída a ele a notação do ponto para o sinal de multiplicação, o sinal de "=" (igual) e (aproximação). Arquimedes nasceu em 287 A.C. e foi o matemático mais famoso da antiga Grécia. Ensinou o cálculo de raízes quadradas, determinou alguns perímetros com toda a exactidão, calculo valores aproximados do p e resolveu equações cúbicas com recurso a secções cónicas. Além disso, são-lhe atribuídas algumas descobertas da área da Física tais como as leis do centro da gravidade, do plano inclinado, da alavanca e da impulsão. Morreu em 212 A.C. na sua cidade Natal, Siracusa, durante a conquista pelos Romanos. Uma Historia Os egípcios criam os símbolos Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. Como desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era fim da Pré-História e começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos - os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números? Contando com os egípcios Há mais ou menos 3.600 anos, faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa "Filho da Lua". Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu Papiro Ahmes. papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a 43Centro Educacional Pan armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito - no século XVIII também foi muito útil. sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000: Todos os outros números eram escritos combinando os números- chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45 Os papiros da Matemática egípcia Quase tudo que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se em dois grandes papiros: Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor. A técnica de calcular dos egípcios Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que 9 deveria ser adicionado treze vezes. 13 9 = 9 + + 9 + 9 + 9 + 9 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação: Número de parcelas Resultado 19218436872 Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas: 1 4 + 8 = 13 resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas: 9 36 + 72 = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam. Descobrindo a fração Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris.. repartiu solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda." Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região 44Centro Educacional Pan Americano ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para cultivo. Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era início da inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: número fracionário. Para representar os números fracionários, usavam frações. As complicadas frações egípcias Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre denominador. As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição + entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade. Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: sistema de numeração romano. Contando com os romanos De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África. Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso? o sistema de numeração romano Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto. Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. valia 100. D valia 500. M valia 1.000. Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores. 10 = 30 45CEPA Centro Educacional Pan Americano Quando dois números diferentes vinham juntos, e menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores. IV=4 porque 5 1 = 4 IX = 9 porque 10 - 1 = 9 XC = 90 porque 100 10 = 90 Mas se número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores. VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60 Ao lermos cartaz, ficamos sabendo que de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam: Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000 Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor. D 500 Depois tiravam de D valor da letra que vem antes. D - C = 500 100 = 400 Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M. CD = 1.000 + 400 = 1.400 Sobrava apenas V. Então: MCDV = 1.400 + 5= 1.405 Os milhares Como você acabou de ver, número 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM correspondiam a e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre M davam-lhe valor de 1 milhão. sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: sistema de numeração decimal. Afinal os nossos números No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: "Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!". A referência a nove, e não dez símbolos, significa que passo mais importante dado pelos hindus para formar seu sistema de numeração - a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia - um ovo de ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal - zero - sistema de numeração tal qual conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de 46CEPA Centro Educacional Pan Americano AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO DE PROFESSOR UNIDADE DE ENSINO: DOCENTE OBSERVADO: DISCIPLINA MINISTRADA: DATA: / / AVALIAÇÃO QUANTITATIVA Pontos Observados Nota (0 a 10) Observações Assiduidade Pontualidade Domínio do Conteúdo Postura em sala de aula Criatividade Avaliação Qualitativa 1. O professor ministrou as aulas de forma clara, utilizando uma linguagem de fácil assimilação pelo aluno? 2. O professor utilizou recursos didáticos auxiliares (livros, jornais, revistas, filmes, etc) tornando as aulas mais dinâmicas e produtivas? 3. A participação do aluno nas aulas foi incentivada pelo professor através de perguntas, debates, seminários ou outras formas de trabalho individual ou em equipe? Quais? 4. As avaliações e exercícios realizados foram embasados nos conteúdos ministrados em sala de aula? As perguntas foram propostas de maneira clara, sem deixar espaço para dúvidas ou interpretações duvidosas? 5. Como se deu a interação professor X aluno, foi positiva ou negativa? Comente o porquê. 6. Que sugestões você gostaria de nos oferecer para que possamos manter a qualidade do nosso sistema de ensino? Observação Importante: esta avaliação deverá ser devidamente preenchida ao término da disciplina, destacada da apostila e entregue à coordenação para que seja enviada imediatamente para a matriz do CEPA. 49Centro Pan Americano algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram nosso sistema de numeração, que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos 0123456789 são chamados de algarismos? Os árabes divulgam ao mundo os números hindus Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe. Em 809, califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. "Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu". Como era um apaixonado da ciência, califa procurou tornar Bagdá maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para desenvolvimento da Matemática. Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou termo latino algorismus. Daí nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al- Khowarizmi que constituem nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos. Os números racionais Com sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse. 3.645.872 Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para desenvolvimento da Matemática. Fim 47