Vetores em 3 Dimensões

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Prof. Me. Juliano Lima da Silva
juliano.silva@atitus.edu.br
MECÂNICA GERAL
02 – Vetores (continuação)
1
FIS1 - Decomposição (i; j)
FIS1 - Decomposição (i; j)
FIS1 - Soma de vetores (i; j)
https://www.mathsisfun.com/algebra/vector-calculator.html
https://www.mathsisfun.com/algebra/vector-calculator.html
FIS1 - Exemplo 1
❖As operações da álgebra vetorial, quando
aplicadas para resolver problemas em três
dimensões, são enormemente simplificadas
se os vetores forem primeiro representados
na forma de um vetor cartesiano.
▪Sistema de coordenadas destro
❖Dizemos que um sistema de coordenadas
retangular é destro desde que o polegar da
mão direita aponte na direção positiva do
eixo z, quando os dedos da mão direita
estão curvados em relação a esse eixo e
direcionados do eixo x positivo para o eixo
y positivo.
Vetores cartesianos – 3D
▪Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do sistema x, y, z:
▪
Componentes retangulares
▪Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes,
como:
▪
▪A = A’ + Az
▪e depois
▪A’ = Ax + Ay.
▪Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de suas três
componentes retangulares,
▪
▪A = Ax + Ay + Az
Componentes retangulares
Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:
Vetores cartesianos unitários
▪F = Fxi + Fyj + Fzk
▪Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente, simplificam-se
as operações da álgebra vetorial, particularmente em três dimensões.
Representação de um vetor cartesiano
É sempre possível obter a intensidade de A,
desde que ele seja expresso sob a forma de um
vetor cartesiano.
𝑭 = 𝑭𝒙
𝟐 + 𝑭𝒚
𝟐 + 𝑭𝒛
𝟐
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α (alfa), β (beta) e γ (gama),
medidos entre a origem de A e os eixos x, y, z positivos, desde que estejam localizados na
origem de A.
Direção de um vetor cartesiano
𝑭𝒙 = 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑭𝒚 = 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷
𝑭𝒛 = 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜸
Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A sobre os eixos
x, y, z.
Direção de um vetor cartesiano
Com referência aos triângulos sombreados de cinza claros mostrados em cada figura, temos:
Direção de um vetor cartesiano
Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário uA na
direção de A.
Direção de um vetor cartesiano
Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj + Azk,
então uA terá uma intensidade de um e será adimensional, desde
que A seja dividido pela sua intensidade, ou seja,
vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos diretores de
A, ou seja,
uA = cos αi + cos βj + cos γk
Direção de um vetor cartesiano
Pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores como:
A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:
A = AuA
A = Axi + Ayj + Azk
Direção de um vetor cartesiano
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
F = (F*cosα)i + (F*cosβ)j + (F*cosγ)k
Algumas vezes, a direção de A pode
ser especificada usando dois
ângulos, θ (theta) ϕ (fi),
Componentes determinados por
trigonometria.
Direção de um vetor cartesiano
▪A força resultante poderá ser escrita como:
▪FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk
Adição de vetores cartesianos
▪ A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em
três dimensões.
▪ As direções positivas dos eixos x, y, z são definidas pelos vetores cartesianos
unitários i, j, k, respectivamente.
▪ A intensidade de um vetor cartesiano é dada por
Resumo
𝑭 = 𝑭𝒙
𝟐 + 𝑭𝒚
𝟐 + 𝑭𝒛
𝟐
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
𝑭𝒙 = 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑭𝒚 = 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑭𝒛 = 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜸
▪ A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção
coordenados α, β, γ que a origem do vetor forma com os eixos x, y, z positivos,
respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A representam os
cossenos diretores de α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α, β, γ precisam ser
especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação: cos2 α + cos2 β + cos2
γ = 1.
▪ Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos θ e ϕ.
Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por decomposição vetorial
usando trigonometria.
▪ Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse
cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas
as forças do sistema.
Resumo
21
Exercício 2.1
Fx = -200N
Fy = 200N
Fz = 283N
2-63. A força F atua na conexão conforme 
indicado. Se F=400N, β=60º e γ=45º, determine 
os componentes Fx, Fy e Fz da força
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Exercício 2.2
F=775N; Fy=387N;
α=113º; γ=39,2º 
2-64. A força F atua na conexão conforme indicado. Se a 
intensidade das componentes Fx e Fz são 300N e 600N, 
respectivamente, e β=60º, determine a intensidade de F e seu 
componente Fy. Além disso, determine α e γ
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Exercício 2.3
α=90º; β=53,1º ; γ=66,4º 
=500 N
2-75. O poste está submetido às três forças conforme 
indicado. Determine os ângulos α, β e γ de F1 de modo 
que a força resultante atuante no poste seja zero.
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Exercício 2.4
Fx = 1,28kN
Fy = 2,60kN
Fz = 0,776kN
2-81. O pilar está submetido à força F, que possui 
componentes ao longo dos eixos x,y,z conforme indicado. 
Se F=3kN, β=30º e γ=75º, determine a intensidade de cada 
componente (Fx, Fy e Fz).
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Exercício 2.5
F = 2,02kN
Fy = 0,523kN
2-82. O pilar está submetido à força F, que possui componentes 
Fx=1,5kN, Fy=? e Fz=1,25kN.
Se β=75º, determine a intensidade de Fy e da força F.
Prof. Juliano Lima da Silva
Engenheiro civil
Esp. em Gerenciamento de Obras
Mestre em Arquitetura e Urbanismo
OBRIGADO!
juliano.silva@atitus.edu.br
juliano208945
jul.ls
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