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Fundamentos de Matemática
Valor Absoluto
Profª. Karla Carolina Vicente de Sousa
UFSCar Araras
Departamento de Ciência da Natureza, Matemática e Educação
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De�nição de Valor Absoluto
De�nição 1
O valor absoluto de um número real x , denotado por |x |, é de�nido por:
|x | =
{
x , x ≥ 0
−x , x 0:
|x | a ⇐⇒ x > a ou x 3 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,+∞)
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Propriedades Fundamentais
Desigualdades Básicas
Para a > 0:
|x | a ⇐⇒ x > a ou x 3 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,+∞)
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Propriedades Operacionais
Multiplicação e Divisão
Para a, b ∈ R:
|a · b| = |a| · |b|∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a|
|b|
(b ̸= 0)
Example
|(−5) · 2| = | − 10| = 10 = 5 · 2∣∣∣∣−8
4
∣∣∣∣ = 2 =
8
4
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Desigualdade Triangular
Teorema
Para a, b ∈ R:
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
|a| − |b| ≤ |a− b|
Contra-Exemplo
| − 5+ 2| = 3 vs | − 5|+ |2| = 7
Mostra que |a+ b| ≠ |a|+ |b| em geral.
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Interpretação Geométrica
Distância entre pontos
|x − y | representa a distância entre x e y na reta real.
0 1 2 3 4 5
x y
|x − y |
Example
|x − 2| = 3 implica x = 5 ou x = −1.
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Propriedades e Intervalos
Intervalo centrado
|x − a| ε signi�ca que x está na união
(−∞, a− ε) ∪ (a+ ε,+∞)
xaa− ε a+ ε
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Exemplos Numéricos
Exemplo: |x − 3| 0.5
Solução: x ∈ (−∞, 1.5) ∪ (2.5,+∞)
x21.5 2.5
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Exemplos Numéricos
Exemplo: |x − 2| > 0.5
Solução: x ∈ (−∞, 1.5) ∪ (2.5,+∞)
x21.5 2.5
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Exemplo
Resolver: |x | = 5
Resolução:
Temos dois casos:
x = 5 ou x = −5
Solução: x = 5 ou x = −5
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Exemplo
Resolver: |x | = 5
Resolução:
Temos dois casos:
x = 5 ou x = −5
Solução: x = 5 ou x = −5
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Exemplo
Resolver: |x − 3| = 7.
Resolução:
Dois casos:
x − 3 = 7 ou x − 3 = −7
Resolvendo:
x = 10 ou x = −4
Solução: x = 10 ou x = −4
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Exemplo
Resolver: |x − 3| = 7.
Resolução:
Dois casos:
x − 3 = 7 ou x − 3 = −7
Resolvendo:
x = 10 ou x = −4
Solução: x = 10 ou x = −4
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Exemplo
Resolver |5x − 3| = 7:
5x − 3 = 7 ⇒ x = 2
5x − 3 = −7 ⇒ x = −0.8
Solução: {−0.8, 2}
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Exemplo
Resolver |5x − 3| = 7:
5x − 3 = 7 ⇒ x = 2
5x − 3 = −7 ⇒ x = −0.8
Solução: {−0.8, 2}
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Exemplo
Resolver |7x − 1| = 12x + 5:
7x − 1 = 12x + 5 ⇒ x = −4
5
7x − 1 = −(12x + 5) ⇒ x = 6
5
Solução:
{
−4
5
, 6
5
}
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Exemplo
Resolver |7x − 1| = 12x + 5:
7x − 1 = 12x + 5 ⇒ x = −4
5
7x − 1 = −(12x + 5) ⇒ x = 6
5
Solução:
{
−4
5
, 6
5
}
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Exemplo
Resolver: |2x − 1| = |x + 4|.
Resolução:
Dois casos:
2x − 1 = x + 4 ou 2x − 1 = −(x + 4)
Primeiro caso:
2x − x = 4+ 1 ⇒ x = 5
Segundo caso:
2x − 1 = −x − 4 ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1
Solução: x = 5 ou x = −1
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Exemplo
Resolver: |2x − 1| = |x + 4|.
Resolução:
Dois casos:
2x − 1 = x + 4 ou 2x − 1 = −(x + 4)
Primeiro caso:
2x − x = 4+ 1 ⇒ x = 5
Segundo caso:
2x − 1 = −x − 4 ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1
Solução: x = 5 ou x = −1
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Exemplo
Resolver: |x + 2| − |x − 3| = 5
Resolução:
Analisamos as regiões:
• Se xKarla Carolina Vicente de Sousa (UFSCar Araras Departamento de Ciência da Natureza, Matemática e Educação)Fundamentos de Matemática 17 / 31
Continuação
Analisando cada intervalo:
Para x 4
Resolução:
Dois casos:
x 4
Solução: Intervalo (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
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Exemplo
Resolver: |x | > 4
Resolução:
Dois casos:
x 4
Solução: Intervalo (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
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Exemplo
Resolva |2x + 1| ≥ 3
Resolução:
2x + 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 1 ou 2x + 1 ≤ −3 ⇒ x ≤ −2
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Exemplo
Resolva |2x + 1| ≥ 3
Resolução:
2x + 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 1 ou 2x + 1 ≤ −3 ⇒ x ≤ −2
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Método Alternativo
Usando quadrados
Para |A| |x − 2|
Resolução:
Analisamos os pontos críticos: x = −1 e x = 2
Dividimos em intervalos:
(−∞,−1), (−1, 2), (2,+∞)
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Analisando cada intervalo:
Para x −(x − 2) ⇒ x + 1 −(x − 2) ⇒ x + 1 > −x + 2
2x > 1 ⇒ x >
1
2
Então:
1
2
 2:
|x + 1| = x + 1, |x − 2| = x − 2
x + 1 > x − 2
1 > −2 (sempre verdadeiro)
x > 2
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Solução Final
Juntando as informações:
Solução é: (
1
2
, 2
)
∪ (2,+∞)
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Exemplo
Resolver: ||x − 1| − 3| ≤ 2
Resolução:
Começamos por:
−2 ≤ |x − 1| − 3 ≤ 2
Somando 3:
1 ≤ |x − 1| ≤ 5
Agora, resolvemos duas inequações:
|x − 1| ≥ 1 e |x − 1| ≤ 5
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Continuação
Resolvendo:
|x − 1| ≥ 1:
x − 1 ≤ −1 ou x − 1 ≥ 1
x ≤ 0 ou x ≥ 2
|x − 1| ≤ 5:
−5 ≤ x − 1 ≤ 5
−4 ≤ x ≤ 6
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Solução Final
Intersecção das condições:
x ≤ 0 dentro de [−4, 6] é [−4, 0]
x ≥ 2 dentro de [−4, 6] é [2, 6]
Solução:
[−4, 0] ∪ [2, 6]
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Exemplo: Função Racional
Resolver
∣∣∣7−2x
4+x
∣∣∣ ≤ 2:
|7− 2x | ≤ 2|4+ x |
x ≥ −0.25
Solução: [−0.25,+∞)
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Exemplo: Função Racional
Resolver
∣∣∣7−2x
4+x
∣∣∣ ≤ 2:
|7− 2x | ≤ 2|4+ x |
x ≥ −0.25
Solução: [−0.25,+∞)
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Referências Bibliográ�cas
Stewart, J., L. Redlin e S. Watson: Precalculus: Mathematics for
Calculus. Cengage Learning, 7a ed., 2014.
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