Prova 3

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A´lgebra Linear - 2012.2
Prof. Israel Galva˜o
3a PROVA
ALUNO:
DATA: 16/11/2012
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS!
1. (3,0 pontos) Decida se cada ı´tem e´ VERDADEIRO ou FALSO, justificando
sua resposta.
1.1. A aplicac¸a˜o
det : M(3, 3) −→ R
A 7−→ detA e´ uma transformac¸a˜o
linear;
1.2. Se T : V −→ W e´ uma transformac¸a˜o linear injetiva e {v1, v2, v3} e´
um subconjunto L.I. de V , enta˜o {T (v1), T (v2), T (v3)} e´ um subcon-
junto L.I. de W ;
1.3. Se T1, T2 : V −→ R sa˜o transformac¸o˜es lineares, enta˜o a aplicac¸a˜o
T : V −→ R2 definida por T (v) = (T1(v), T2(v)) tambe´m e´ linear;
1.4. Se F : R3 −→ R2 e´ uma transformac¸a˜o linear tal que
{(1, 2, 0), (1, 2, 1)} ⊂ kerF , enta˜o dim Im F = 1;
1.5. Existe uma transformac¸a˜o linear S : R2 −→ R2 tal que S(1, 1) =
(4, 3) e S(1, 2) = (1, 1).
2. (2,5 pontos)
2.1. Mostre que, se T : V −→ W e´ uma transformac¸a˜o lienar, enta˜o
T (0V ) = 0W ;
2.2. Por que a transformac¸a˜o que associa a cada ponto (x, y) ∈ R2 a um
ponto da reta y = 2x− 1 na˜o e´ linear?
3. (2,5 pontos)
3.1. Ache a transformac¸a˜o lienar T : R3 −→ R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0),
T(0, 1, 0) = (1,1)eT (0, 0, 1) = (0,−1);
3.2. Encontre v ∈ R3 tal que T (v) = 3, 2.
4. (3,0 pontos) Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 dada por
T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
4.1. Determine uma base para o nu´cleo de T e deˆ a dimensa˜o da imagem
de T ;
4.2. T e´ sobrejetora? E´ injetora? Junstifique.
4.3. Determine [T ]αβ , onde α = {(1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2)} e β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
sa˜o bases de R3.
VAI DAR TUDO CERTO!
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