MCFE4 - Aula 10 - Introdução à Cinemática dos Fluidos - parte 2

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Mecânica dos FluidosMecânica dos Fluidos
MCFE4MCFE4
2/20252/2025
Cinemática do Cinemática do 
movimentomovimento
de fluidosde fluidos
4IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Campo de Velocidades
Grandeza Vetorial:
5IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Campo de Velocidades
Pode ser expandido em coordenadas cartesianas como:
Onde u, v, w são os componentes x, y, z da velocidade e i, j, k são os 
vetores unitários que definem os sentidos positivos nos eixos x, y, z.
6IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Campo de Velocidades
Considere o seguinte Campo de Velocidades:
As componentes x e y da velocidade são:
7IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando o Campo de Velocidades
8IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de Corrente
Linhas de Corrente do Campo de Velocidades:
9IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando as Linhas de Corrente
10IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Consideração a respeito da velocidade de escoamento
Acelerando
dV/dt > 0
Desacelerando
dV/dt 0
Desacelerando
dV/dtAeronáutica
Linha de emissão
67IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de corrente, trajetória e emissão
Em escoamentos permanentes, linhas de corrente, linhas de emissão e 
linhas de trajetória são idênticas, mas diferem em escoamentos não 
permanentes. 
68IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linha de tempo
Um conjunto de partículas de fluido adjacentes que foram marcadas no mesmo 
instante (anterior) no tempo. São particularmente úteis em situações em que a 
uniformidade de um escoamento (ou a falta dela) deve ser examinada.
69IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linha de tempo
Linhas de tempo produzidas por um fio de bolha de hidrogênio são usadas 
para visualizar o formato do perfil de velocidade da camada limite. 
70IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Técnicas de visualização de fluxo refrativo
A refração da luz ocorre quando sua velocidade muda ao passar de um material para outro, 
ou dentro do mesmo material se a densidade variar. Essa diferença de índice de refração 
faz com que os raios de luz se curvem ao atravessar fluidos com diferentes índices de 
refração.
71IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Técnicas de visualização de fluxo refrativo
A refração da luz ocorre quando sua velocidade muda ao passar de um material para outro, 
ou dentro do mesmo material se a densidade variar. Essa diferença de índice de refração 
faz com que os raios de luz se curvem ao atravessar fluidos com diferentes índices de 
refração.
72IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Fotografia de Schlieren
Técnica óptica que nos permite ver pequenas mudanças na refratividade do ar e de outros 
meios transparentes.
c
73IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Fotografia de Schlieren
74IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Fotografia de Schlieren
75IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Fotografia de Schlieren
76IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Fotografia de Schlieren
Traçando campos de Traçando campos de 
escoamento com Pythonescoamento com Python
78IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
Bibliotecas Python que serão utilizadas:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
79IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
# Definir o intervalo de valores para x e y
x = np.linspace(-3, 3, 11)
y = np.linspace(-1, 5, 11)
# Criar a malha de coordenadas
X, Y = np.meshgrid(x-0.625, y-0.125)
plt.figure(1, figsize=[8,8])
plt.scatter(X, Y)
plt.xlabel('x',fontsize=20)
plt.ylabel('y', fontsize=20)
plt.tick_params(axis="both", labelsize=15)
plt.show()
80IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
81IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
U = 0.5 + 0.8 * X # Componente no eixo x (i)
V = 1.5 - 0.8 * Y # Componente no eixo y (j)
plt.figure(2, figsize=(12, 10))
plt.quiver(X, Y, U, V, label='Velocidade', color='darkgreen', alpha = 1, zorder=2)
plt.title(r'Campo de Velocidades: (0,5 + 0,8x)$\vec{i}$ + (1,5 - 0,8y)$\vec{j}$', fontsize = 15)
plt.xlabel('x',fontsize=20)
plt.ylabel('y', fontsize=20)
plt.tick_params(axis="both", labelsize=15)
plt.xlim([-3, 3])
plt.ylim([-1, 5])
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.0), loc='upper left')
plt.tight_layout()
plt.grid(True, zorder=0)
plt.show()
82IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
83IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
U = 0.5 + 0.8 * X # Componente no eixo x (i)
V = 1.5 - 0.8 * Y # Componente no eixo y (j)
plt.figure(2, figsize=(12, 10))
plt.quiver(X, Y, U, V, label='Velocidade', color='darkgreen', alpha = 1, zorder=2)
xc = np.arange(-3, 3.1, 0.01)
C = [-5,-4, -3, -2, -1.25, -0.625, -0.25, 0, 0.25, 0.625, 1.25, 2, 3, 4, 5] 
for c in C:
 yc = (c/(0.8*(0.5+0.8*xc)))+1.875
 plt.plot(xc,yc, color = 'royalblue',alpha = 0.8, zorder=1)
plt.title(r'Campo de Velocidades: (0,5 + 0,8x)$\vec{i}$ + (1,5 - 0,8y)$\vec{j}$', fontsize = 15)
plt.xlabel('x',fontsize=20)
plt.ylabel('y', fontsize=20)
plt.tick_params(axis="both", labelsize=15)
plt.xlim([-3, 3])
plt.ylim([-1, 5])
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.0), loc='upper left')
plt.tight_layout()
plt.grid(True, zorder=0)
plt.show()
84IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
85IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
plt.figure(3, figsize=(12, 10))
U = 0.5 + 0.8 * X # Componente no eixo x (i)
V = 1.5 - 0.8 * Y # Componente no eixo y (j)
plt.quiver(X, Y, U, V, label='Velocidade', color='darkgreen', alpha = 1, zorder=2)
ax = 0.4 + 0.64 * X
ay = -1.2 + 0.64 * Y
plt.quiver(X, Y, ax, ay, label='Aceleração', color='orange', alpha = 0.8, zorder=2)
xc = np.arange(-3, 3.1, 0.01)
C = [-5,-4, -3, -2, -1.25, -0.625, -0.25, 0, 0.25, 0.625, 1.25, 2, 3, 4, 5] 
for c in C:
 yc = (c/(0.8*(0.5+0.8*xc)))+1.875
 plt.plot(xc,yc, color = 'royalblue',alpha = 0.8, zorder=1)
 
plt.title(r'Campo de Velocidades: (0,5 + 0,8x)$\vec{i}$ + (1,5 - 0,8y)$\vec{j}$', fontsize = 15)
plt.xlabel('x',fontsize=20)
plt.ylabel('y', fontsize=20)
plt.tick_params(axis="both", labelsize=15)
plt.xlim([-3, 3])
plt.ylim([-1, 5])
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.0), loc='upper left')
plt.tight_layout()
plt.grid(True, zorder=0)
plt.show()
86IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
Traçando campos de Traçando campos de 
escoamento com Matlabescoamento com Matlab
88IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
x = linspace(-3, 3, 11);
y = linspace(-1, 5, 11);
[X, Y] = meshgrid(x - 0.625, y - 0.125);
figure(1); clf
scatter(X(:), Y(:), 'filled'); hold on
xlabel('x', 'FontSize', 20)
ylabel('y', 'FontSize', 20)
set(gca, 'FontSize', 15)
grid on
axis tight
89IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
U = 0.5 + 0.8.*X;
V = 1.5 - 0.8.*Y;
figure(2); clf
hold on
xc = -3:0.01:3.1;
C = [-5 -4 -3 -2 -1.25 -0.625 -0.25 0 0.25 0.625 1.25 2 3 4 5];
for k = 1:numel(C)
 c = C(k);
 yc = (c ./ (0.8*(0.5 + 0.8*xc))) + 1.875;
 plot(xc, yc, 'Color', [0.2549 0.4118 0.8824], 'LineWidth', 1.5, 'HandleVisibility', 'off'); 
end
hq = quiver(X, Y, U, V, 'AutoScale', 'on'); hold on
set(hq, 'LineWidth', 2.0, 'Color', [0.0 0.39 0.0], 'DisplayName', 'Velocidade')
title('Campo de Velocidades: (0,5 + 0,8x)i + (1,5 - 0,8y)j', 'FontSize', 15, 'Interpreter','latex')
xlabel('x', 'FontSize', 20)
ylabel('y', 'FontSize', 20)
set(gca, 'FontSize', 15)
xlim([-3 3])
ylim([-1 5])
legend( 'Location', 'northeastoutside')
grid on
box on
hold off
90IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Traçando campos
U = 0.5 + 0.8.*X;
V = 1.5 - 0.8.*Y;
ax = 0.4 + 0.64.*X;
ay = -1.2 + 0.64.*Y;
figure(3); clf
hold on
xc = -3:0.01:3.1;
C = [-5 -4 -3 -2 -1.25 -0.625 -0.25 0 0.25 0.625 1.25 2 3 4 5];
for k = 1:numel(C)
 c = C(k);
 yc = (c ./ (0.8*(0.5 + 0.8*xc))) + 1.875;
 plot(xc, yc, 'Color', [0.2549 0.4118 0.8824], 'LineWidth', 1.5, 'HandleVisibility', 'off');
end
hq = quiver(X, Y, U, V, 'AutoScale', 'on'); hold on
set(hq, 'LineWidth', 2.0, 'Color', [0.0 0.39 0.0], 'DisplayName', 'Velocidade')
ha = quiver(X, Y, ax, ay, 'AutoScale', 'on');
set(ha, 'LineWidth', 2.0, 'Color', [1.0 0.5 0.0], 'DisplayName', 'Aceleração') 
title('Campo de Velocidades: (0,5 + 0,8x)i + (1,5 - 0,8y)j', 'FontSize', 15, 'Interpreter','latex')
xlabel('x', 'FontSize', 20)
ylabel('y', 'FontSize', 20)
set(gca, 'FontSize', 15)
xlim([-3 3])
ylim([-1 5])
legend('Location', 'northeastoutside')
grid on
box on
hold off
ExercícioExercício
92IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício
Um campo de velocidade é definido por u = (8y) 
m/s e v = (6x) m/s, onde x e y estão em metros. 
Apresentar os campos de velocidade e aceleração 
sobre as linhas de corrente no intervalo de x[0, 5] 
e y[0, 5]
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