AULA 01 - ESTATISTICA - ICMS SP

Prévia do material em texto

Ponto dos Concursos 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
 
 
Atenção. 
 
O conteúdo deste curso é de uso exclusivo do aluno matriculado, cujo 
nome e CPF constam do texto apresentado, sendo vedada, por 
quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, 
divulgação e distribuição. 
 
É vedado, também, o fornecimento de informações cadastrais 
inexatas ou incompletas – nome, endereço, CPF, e-mail - no ato da 
matrícula. 
 
O descumprimento dessas vedações implicará o imediato 
cancelamento da matrícula, sem prévio aviso e sem devolução de 
valores pagos - sem prejuízo da responsabilização civil e criminal do 
infrator. 
 
Em razão da presença da marca d’ água, identificadora do nome e 
CPF do aluno matriculado, em todas as páginas deste material, 
recomenda-se a sua impressão no modo econômico da impressora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
AULA 1 
 
I INTRODUÇÃO............................................................................................................................................ 2 
 
1 Estatística descritiva e inferencial ............................................................................................................ 2 
 
2 População e amostra................................................................................................................................. 2 
 
3 Amostragem aleatória ............................................................................................................................... 3 
 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. .............................................................................. 3 
 
1 Dados brutos ............................................................................................................................................. 3 
 
2 Rol ............................................................................................................................................................. 4 
 
3 Medidas de posição................................................................................................................................... 6 
 
4 Média Aritmética....................................................................................................................................... 7 
 
5 Média Geométrica e Harmônica ............................................................................................................. 20 
 
6 Média ponderada .................................................................................................................................... 24 
 
7 Propriedades da média aritmética .......................................................................................................... 26 
 
8 Mediana .................................................................................................................................................. 34 
 
9 Moda ....................................................................................................................................................... 38 
 
III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS ................................................................................................... 40 
 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS UTILIZADAS ......................................................................... 43 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 50 
 
 
ANEXO ................................................................................................................................................................ 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
I INTRODUÇÃO 
 
1 Estatística descritiva e inferencial 
 
A estatística é usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial. 
 
Nos concursos, a estatística descritiva geralmente aparece como “Estatística Básica”. Ela 
busca descrever um conjunto de dados por meio de algumas medidas. Acho que a 
melhor maneira de entender é por meio de um exemplo. 
 
Desejamos pesquisar o salário das pessoas de um bairro. Entrevistamos diversos 
moradores e anotamos seus salários. Um trecho de nossas anotações poderia ser 
representado assim: 
 
 
 
Salários dos moradores bairro Nova Vila: 
 
R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 
2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00... 
 
 
E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salários. Só que simplesmente pegar 
esta listagem e apresentar para alguém não permite, de imediato, tirar conclusões sobre 
as pessoas deste bairro. São predominantemente de classe média, baixa, alta? O bairro é 
mais ou menos homogêneo ou abriga pessoas ricas e pobres? 
 
Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salário médio das 
pessoas pesquisadas no bairro Nova Vila é de R$ 3.600,00, aí sim já podemos começar a 
tirar algumas conclusões. Esta média descreve, de maneira sucinta, todo o nosso 
conjunto de dados. É uma medida típica na estatística descritiva. 
 
Já a estatística inferencial tem outro propósito. Se quisermos, a partir da média obtida 
nesta nossa pesquisa, calcular qual a provável média salarial de TODOS os moradores do 
bairro, usaremos ferramentas de estatística inferencial. Seu intuito é fazer 
generalizações, a partir de alguns valores conhecidos. 
 
 
 
2 População e amostra 
 
Voltemos ao exemplo da seção anterior, em que queríamos pesquisar o salário das 
pessoas do bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salários de TODAS as pessoas do 
bairro é a nossa população. 
 
 
População: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada característica 
em comum. 
 
 
No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salários de pessoas 
que moram no bairro Nova Vila. Esta é a característica de interesse. 
 
Se entrevistarmos TODAS as pessoas do bairro, estamos realizando um CENSO. Agora, 
dependendo da população, fica inviável entrevistar todo mundo. Imagine se for um bairro 
muito grande. De repente não se tem tempo suficiente para esperar que todo mundo 
seja entrevistado. Ou não se tem dinheiro para pagar toda a quantidade de pessoal que 
seria necessária para coletar tais dados. Nestes casos, em vez de entrevistarmos todo 
mundo, trabalhamos com uma AMOSTRA. 
 
 
 
Amostra: qualquer subconjunto não vazio da população. 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 3 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Apesar de eu ter dito “qualquer subconjunto”, este “qualquer” tem exceção. O conjunto 
de todos os salários dos moradores (= população) é um subconjunto de si mesmo. Então 
uma definição mais correta de amostra seria: qualquer subconjunto não vazio da 
população, exceto a própria população. Mas isto já é preciosismo... 
 
Há diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo da pesquisa 
salarial com os moradores do bairro Nova Vila, já demos algumas razões (tempo, custo). 
Há outras. Suponha que se deseje testar a resistência de uma dada mercadoria, 
produzida em série por uma empresa. O teste consiste em submeter esta mercadoria a 
pressões cada vez maiores, até que ele arrebente. Não podemos testar todas as 
mercadorias produzidas. Se não, não sobra nenhum produto e o teste fica sem o menor 
sentido.Seria o caso daquela piada comum do português (com todo respeito aos 
portugueses) que risca todos os fósforos da caixa para ver se estão funcionando. Neste 
caso, testando toda a população, temos uma situação absurda. 
 
 
EC 1 
 
Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
 
O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, 
utilizando-se todos os componentes da população, denomina-se: 
a) amostragem 
b) estimação 
 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
 
 
Quando temos acesso a todos os elementos da população, estamos realizando um censo. 
Resposta: C. 
 
 
 
3 Amostragem aleatória 
 
Há diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatória simples é a mais cobrada em 
provas de concursos. De forma bem resumida, podemos dizer que se trata da 
amostragem feita de forma que cada elemento da população tem a mesma chance de ser 
escolhido. Por exemplo: queremos escolher algumas pessoas de uma empresa para 
realizar uma entrevista. Escrevemos os nomes de todos os funcionários em pedaços de 
papel de mesmo tamanho. Colocamos todos os nomes em um saco. Misturamos bem 
todos os papéis. Feito isto sorteamos 5 nomes. Este é um exemplo de amostragem 
aleatória simples. Todos os funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos. Além 
disso, qualquer combinação de cinco pessoas tem a mesma chance de ser sorteada. 
Falamos mais sobre isso na aula 5. 
 
 
 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. 
 
Vamos falar agora de medidas de posição para dados em rol. Precisamos, portanto, 
saber o que é um rol e o que são medidas de posição. Comecemos pelo rol. Só que para 
chegarmos a ele, vejamos os chamados “dados brutos”. 
 
 
 
1 Dados brutos 
 
Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro. 
Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram: 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 4 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Salário dos moradores da Nova Vila – amostra com dez salários: R$ 5.000,00; R$ 
2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 
4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00. 
 
 
O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro morador e 
perguntamos: qual o seu salário? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente pega e anota este 
valor. Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 
2.000,00. A gente pega e anota este valor. E assim por diante. 
 
A estes dados desorganizados, chamamos de DADOS BRUTOS. Eles estão simplesmente 
na ordem em que foram coletados. Não receberam qualquer tratamento. 
 
 
 
2 Rol 
 
Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL. 
Geralmente em concurso só aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria 
assim: 
 
 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; 
R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
 
 
O rol já é uma primeira forma de organizar nossos dados. É também uma maneira de 
apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante algum 
tempo ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o símbolo ‘R$’ e indicar 
apenas as unidades de milhar. 
 
 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
 
Então rol é apenas isto. Nada mais é que um conjunto de números (resultados de uma 
pesquisa, de um experimento, etc), colocados em ordem crescente (ou decrescente). 
 
É muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa série de 
dados. Uma notação muito usual é: X i (lê-se “xis, índice i”). É utilizada para nos 
referimos ao “i-ésimo” elemento. Vamos dar um exemplo. 
 
Quem é o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como: 
 
 
 
Qual o valor de 
 
 
 
X 3 ? 
 
Resposta: o terceiro elemento é 2 ( X 3 = 2) 
 
 
 
Para chegar à resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro 
elemento é o 1, o segundo elemento é o 2 e o terceiro elemento também é 2. 
 
Abaixo seguem mais valores de 
 
X i : 
 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 5 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Somatório 
 
Conhecendo esta notação, podemos apresentar uma ferramenta muito importante em 
estatística: o SOMATÓRIO. 
 
O símbolo de somatório é: ∑ 
 
A utilidade do somatório é possibilitar uma escrita mais compacta. 
 
Desejamos saber qual o salário total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos somar 
todos os valores de salários das dez pessoas entrevistadas. 
 
Precisamos fazer o seguinte: 
 
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
 
 
Ou seja, o salário total das dez pessoas entrevistadas é de R$ 36.000,00. 
Em vez de escrever desta forma, poderíamos escrever: 
 
10 
∑ X i =36 
i =1 
 
O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois há um 
símbolo de somatório). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de Xi. 
Quais valores de Xi? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
 
10 
A expressão ∑ X i =36 nada mais é que uma forma compacta de escrever X1 + X2 + X3 + 
i =1 
X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
 
 
 
Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma série de dados, vamos calcular 
5 
∑ X i . 
i =2 
 
Sabemos que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Queremos 
somar valores de Xi para os quais ‘i’ vai de 2 até 5. Assim, queremos calcular a seguinte 
soma: 
 
X2 + X3 + X4 + X5 
 
Substituindo os valores, ficamos com: 
 
5 
∑ X i = X2 + X3 + X4 + X5 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. 
i =2 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
EP 1 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
 
2, 6, 1, 4, 6. 
 
Obtenha o rol correspondente 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 6 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
EP 2 
 
Considere a seguinte seqüência de dados: 
 
3, 1, 4, 2, 7, 3 
 
3 
Obtenha o valor de ∑ X i 
i =1 
 
 
 
EP 3 
 
 
Para a mesma seqüência de dados do exercício anterior, obtenha 
 
4 
∑ ( )2 
X i . 
i =1 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
Resolução - EP 1 
 
ROL: 1, 2, 4, 6, 6 
 
 
 
Resolução EP 2 
Primeiro passo: obtendo o ROL. 
ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7 
 
Identificando os termos. 
 
X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7 
 
Fazendo a soma: 
 
3 
∑ X i 
i 1= 
 
 
= X 1 + X 2 + X 3 = 1 + 2 + 3 = 6 
 
 
 
 
Resolução EP 3 
 
Fazendo a soma: 
 
4 
∑ ( )2 = 
21X 
i 
 
 
+ 2 2 + 32 + 32 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23 . 
i =1 
 
 
 
3 Medidas de posição 
 
Medidas de posição nos fornecem informações acerca de posições que os dados ocupam. 
Podem ser de dois tipos: 
 
· Medidas de tendência central (média, mediana e moda). 
 
· Medidas separatrizes. 
 
As medidas de tendência central indicam valores em torno dos quais os dados “giram”. 
Um exemplo é a média. Se dissermos que a nota média dos alunos em uma prova foi 6, 
é razoável esperar que as notas “giraram” em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter 
tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com 
uma nota intermediária, uns 4, 5, 6 ou 7. 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 7 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Se dissermos que a nota média desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, é 
razoávelesperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. 
Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10. 
 
As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida 
separatriz é o quartil. Uma série de dados possui três quartis que separam a série de 
dados em quatro partes. 
 
Devido a algumas dificuldades que surgem no estudo de medidas separatrizes, vamos 
deixá-las para depois. Nesta aula só estudaremos a principal medida separatriz: a 
mediana. As demais estudaremos na aula 3. 
 
 
 
4 Média Aritmética 
 
A MÉDIA ARITMÉTICA dos dados é dada pela soma dos valores observados, dividida pelo 
total de observações. Voltemos à nossa pesquisa sobre o salário dos moradores do 
bairro. Relembrando o nosso rol: 
 
 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
 
 
Calculando a soma dos dados, temos: 
 
10 
∑ X i = 36 
i 1= 
 
Só relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois há um 
símbolo de somatório). Quais valores? Valores de X para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. Ou 
seja, queremos somar todos os 10 valores observados. 
 
A média fica: 
 
= 36 = 3 6, 
___ 
X 
10 
Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salário médio de R$ 3.600,00. 
Média é apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados. 
 
Este símbolo adotado para média ( X ) é muito comum. Muitos autores o utilizam. É 
importante saber isto porque às vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e 
não explicam que se trata da média. 
 
Para um conjunto de ‘n’ dados, a média pode ser representada por: 
 
 
 
___ 
X 
 
 
n 
∑ X i 
= 1 n 
 
A fórmula acima indica que, para obter a média aritmética, somamos todos os dados e 
dividimos por n. 
 
Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte. Muitas pessoas acham que a média 
precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto é falso. No exemplo acima, a média foi 3,6. 
E na nossa amostra não há nenhuma pessoa que ganhe um salário de R$ 3.600,00. 
 
Este valor 3,6 só é um indicativo de que os salários das pessoas entrevistadas devem 
girar em torno de R$ 3.600,00. 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 8 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Antes de irmos para os exercícios, só um comentário. Além da média aritmética, há 
outras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmética é a 
mais importante (porque é a mais cobrada). Portanto, se o exercício falar apenas 
“média”, sem mencionar que é a aritmética, pode supor que se trata dela. 
Vamos a alguns exercícios sobre o assunto. 
 
 
 
 
EP 4 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - MÉDIA 
 
 
Calcule a média da seguinte seqüência de números: {1, 3, 8}. 
 
 
EP 5 
 
Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 
825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e 
mulheres? 
 
 
EP 6 
 
Numa empresa, temos 6 homens e 4 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 
2.000,00. A média salarial geral (considerando homens e mulheres) é R$ 1.600,00. Qual a 
média salarial das mulheres? 
 
 
EP 7 
 
Numa empresa, temos 100 funcionários. A média do salário dos homens é de R$ 
1.000,00. A média do salário das mulheres é de R$ 900,00. A média geral, considerando 
homens e mulheres, é R$ 960,00. Quantas mulheres há na empresa? 
 
 
 
 
Resolução - EP 4 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
X = 1 + 3 + 8 = 4 3 
 
 
 
Resolução - EP 5 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Como assim?? 
 
Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salários: 
 
725,00; 800,00; 850,00; 925,00. 
 
Pronto, a média desses salários é de 825,00. 
 
Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte: 
 
O salário do primeiro homem é 725. Portanto: 
 
O salário do segundo homem é 800. Portanto: 
 
E assim por diante. 
 
H1 = 725 
 
H 2 = 800 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 9 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Pois bem, somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente 
a média de salário dos homens. Fica assim: 
 
= ∑ H 825 4 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H = 4 × 825 = 3300 
 
Ou seja, a soma dos salários de todos os homens é igual a R$ 3.300,00. 
 
 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres 
e dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim: 
 
600 = ∑ M 
5 
 
 
� ∑ M = 5 × 600 = 3000 
 
 
Ou seja, a soma dos salários de todas as mulheres é igual a R$ 3.000,00. 
 
 
 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as 
mulheres, e dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
 
Fica assim: 
 
 
Média _ 
 
 
geral = ∑ H + ∑ M 
9 
 
Substituindo os valores: 
 
Média _ geral = 3300 + 3000 = 700 
9 
 
A média geral, incluindo homens e mulheres, é de R$ 700,00. 
 
Note que na empresa há mais mulheres do que homens. Portanto, a média geral está 
mais próxima da média das mulheres. 
 
 
 
Resolução - EP 6 
 
Exercício bem parecido com o anterior. 
 
Vamos chamar de H o salário dos homens e de M o salário das mulheres. 
 
A média salarial dos homens é igual a R$ 2.000,00. E para obter esta média, somamos 
os salários de todos os homens e dividimos por 6 (são seis homens). 
 
Portanto: 
 
= ∑ H 2000 6 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H = 6 × 2000 = 12000 
 
Assim, a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 10 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
A média salarial geral é obtida somando o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres, e dividindo por 10 (são 10 pessoas ao todo). 
 
= ∑ H + ∑ M 1600 10 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H + ∑ M 
 
= 16000 
 
A soma dos salários de todos os homens e todas as mulheres é igual a R$ 16.000,00. 
 
Mas já sabemos que a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. 
Substituindo o valor da soma dos salários dos homens: 
 
12000 + ∑ M 
 
= 16000 
 
M∑ = 4000 
 
A soma dos salários das mulheres é igual a R$ 4.000,00. Como são quatro mulheres, a 
média salarial das mulheres fica: 
 
Média _ mulheres = 4000 = 1000 
4 
 
As mulheres ganham em média R$ 1.000,00. 
 
Como há mais homens na empresa, a média geral é mais próxima da média masculina. 
 
 
 
Resolução - EP 7 
 
Este exercício é um pouco mais difícil que os anteriores. 
 
Como não sabemos o número de homens e de mulheres, vamos dizer que são ‘a’ homens 
e ‘b’ mulheres. 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
a + b = 100 (há 100 funcionários na empresa). 
 
Esta é a primeira equação. 
 
a + b = 100 (I) 
 
 
 
Vamos, como de costume, chamar o salário dos homens de H e o das mulheres de M. 
 
A média dos salários dos homens é R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salários 
dos homens e dividindo por ‘a’ (são ‘a’ homens), temos a média salarial masculina 
(=1000). 
 
1000 = ∑ H 
a 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H = 1000 × a 
 
A soma dos salários de todos os homens é igual a mil vezes o número de homens. 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A média dos salários das mulheres é R$ 900,00. Portanto,somando o salário de todas as 
mulheres e dividindo por ‘b’ (são ‘b’ mulheres), temos a média salarial feminina (=900): 
 
900 = ∑ M 
b 
 
Multiplicando cruzado: 
 
M∑ = 900 × b 
 
A soma dos salários de todas as mulheres é igual a 900 vezes o número de mulheres. 
 
A média geral é R$ 960,00. Ou seja, somando o salário de todos os homens e de todas 
as mulheres, dividindo pelo número de pessoas (=a+b), temos a média geral. 
 
960 = ∑ H + 
 
∑ M 
 
a + b 
 
Multiplicando cruzado: 
 
∑ H + ∑ M 
 
= 960 × (a + b) 
A soma de salários de homens e mulheres é igual a 960 vezes o número de pessoas. 
Substituindo as somas de salários de homens e mulheres: 
 
 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) (II) 
 
 
 
Esta é a equação II. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de 
resolver. Aqui, vamos fazer o seguinte: 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
 
 
Substituímos 1000 × a por 100 × a + 900 × a 
 
 
1000 × a + 900 × b = 960 × (a + b ) 
 
 
 
 
 
Continuando: 
 
 
 
100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b ) 
 
 
 
100 × a + 900 × a + 900 × b = 960 × (a + b) 
 
Colocando 900 em evidência: 
 
100 × a + 900 × (a + b) = 960 × (a + b) 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 
 
100 × a + 900 ×100 = 960 ×100 
 
Dividindo todos os termos por 100: 
 
a + 900 = 960 
 
a = 60 � b = 40 
 
São quarenta mulheres na empresa. 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 12 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Para quem tem facilidade com contas, esta resolução é rápida. Já outras pessoas 
preferem, em vez de ficar montando essas equações, decorar uma fórmula que dá direto 
o percentual de homens (ou de mulheres). Esta fórmula nada mais é que uma 
combinação das duas equações vistas acima. Aí vai de cada um. Eu, particularmente, 
prefiro decorar o menos possível. Já tem tanta coisa pra decorar pra um concurso. 
Quanto mais eu puder aliviar a memória, melhor. De todo modo, vamos passar a 
fórmula, para quem assim preferir. 
 
Vamos chamar a média dos salários das mulheres de M . A média dos salários dos 
homens de H . A média geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de 
homens e mulheres no conjunto fica: 
 
 
perc _ de _ hom ens = 
 
X − M 
 
 
= 960 − 900 = 60 
 
 
= %60 
H − M 1000 − 900 100 
 
 
perc _ de _ mulheres = 
 
X − H = 960 − 1000 =
 
− 40 
 
− 100 
 
 
= %40 
M − H 900 − 1000 
 
 
 
 
 
 
EC 2 
 
Fiscal ICMS/SC - 1998 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIA 
 
 
 
 
Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, mensalmente, de 
R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um 
diretor de recursos humanos com salário mensal de R$ 7.000,00 e três outros 
profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. A média, mensal, destes salários 
é: 
a) 5.830,00 
b) 6.830,00 
c) 2.830,00 
d) 3.830,00 
e) 4.830,00 
 
 
 
O nosso rol pode ser escrito assim: 
Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000. 
São 10 dados (n = 10) 
 
A média fica: 
 
 
 
___ 
X 
 
 
n 
∑ X i 
= 1 n 
 
___
 4
00. 
= 3X 
 
 
+ 3 
400. 
 
 
 
+ 4 
500. 
 
 
 
+ 4 
500. 
 
 
 
+ 4 500. 
10 
 
+ 4 
500. 
 
 
 
+ 5 
500. 
 
 
 
+ 5 
500. 
 
 
 
+ 7 000. 
 
 
 
___ 
X 
 
 
= 48 300. = 4 830. 10 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 13 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Resposta: letra E. 
 
 
EC 3 
 
Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 
9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, 
respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
 
Para treinar, vamos primeiro fazer o rol. 
ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
Ainda não estudamos o que é moda e mediana. 
Vamos calcular só a média. 
 
= ∑ X (dividimos por 10 porque são dez notas). 
X i 10 
 
X = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10 
 
A média vale 6. 
 
 
EC 4 
 
Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003 [ESAF] 
 
Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de 
homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio 
observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. 
Assinale a opção correta. 
 
 
 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
 
 
 
Repare que a média de homens é de 1300. A média de mulheres é de 1100. 
 
Se no conjunto tivéssemos mais homens, a média geral (considerando homens e 
mulheres) estaria mais próxima de 1300. 
 
Do contrário, se tivéssemos mais mulheres, a média geral estaria mais próxima de 1100. 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 14 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Contudo, a média geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o número 
de homens é igual ao número de mulheres. Nem precisou fazer conta. 
 
 
De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resolução. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 1.300,00. 
 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e 
dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 1.300,00. 
 
 
H∑ = 1300 
a 
 
 
 
Ou ainda: 
 
H∑ = 1300 � ∑ H = 1300 × a 
a 
 
 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 1300 vezes o 
número de homens. 
 
 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários da mulheres é de R$ 1.1000. 
Portanto: 
 
M∑ = 1100 � ∑ M = 1100 × b 
b 
 
 
 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 1.200. 
 
 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres e dividirmos pelo número de pessoas. 
 
Fica: 
 
 
∑ H + ∑ M 
a + b 
 
 
 
 
= 1200 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 15 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
∑ H + ∑ M 
 
 
 
= (a + b) ×1200 
 
 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
 
 
1300 × a + 1100 × b = (a + b) ×1200 
 
1300 × a + 1100 × b = 1200 × a + 1200 × b 
 
1300 × a − 1200 × a = 1200 × b − 1100 × b 
 
100 × a = 100 × b 
 
a = b 
 
Resposta: A. O número de homens é igual ao número de mulheres. 
 
 
 
 
EC 5 
 
Fiscal ISS/SP – 2007 – Questão adaptada. [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi 
de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são 
respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o percentual de homens entre 
os funcionários da empresa. 
 
 
 
 
A questão é da Fundação Carlos Chagas. Está adaptada. O enunciado original, este nós 
veremos ainda nesta aula. 
 
A questão é bem parecida com a anterior. 
 
A média dos homensé de 600. A das mulheres é de 500. Note que a média geral está 
mais próxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
 
Vamos supor que são 100 funcionários no total. Na verdade nem precisava supor isto. 
Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. Ou então, falar 
simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
Portanto: 
 
a + b = 100 (pois supusemos que são 100 funcionários). 
 
a + b = 100 (EQUAÇÃO I) 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 600,00. 
 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e 
dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 600,00. 
 
 
H∑ = 600 
a 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 16 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Ou ainda: 
 
H∑ = 600 � ∑ H = 600 × a 
a 
 
 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 600 vezes o 
número de homens. 
 
 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 500. 
Portanto: 
 
M∑ = 500 � ∑ M = 500 × b 
b 
 
 
 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 530. 
 
 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres e dividirmos pelo número de pessoas. 
 
Fica: 
 
 
∑ H + ∑ M 
a + b 
 
 
 
 
= 530 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
∑ H + ∑ M 
 
 
 
= (a + b) × 530 
 
 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
600 × a + 500 × b = (a + b) × 530 (EQUAÇÃO II) 
 
Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os 
valores de ‘a’ e ‘b’. 
 
Vamos fazer o seguinte: 
 
Vamos substituir 
 
 
 
600 × a por 100 × a + 500 × a 
 
600 × a + 500 × b = (a + b ) × 530 
 
 
 
100 × a + 500 × a + 500 × b = ( a + b ) × 530 
 
 
 
Continuando a resolução: 
 
100 × a + 500 × a + 500 × b = (a + b) × 530 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 17 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Colocando 500 em evidência: 
 
100 × a + 500 × (a + b) = (a + b) × 530 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 : 
 
100 × a + 500 ×100 = 100 × 530 
 
Dividindo todos os termos por 100: 
 
a + 500 = 530 
 
a = 30 
 
Portanto, de cada 100 funcionários, 30 são homens. Logo, o percentual de homens é de 
30%. 
 
 
 
Outra opção é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7. 
 
 
perc _ de _ hom ens = 
 
 
X − M 
 
H − M 
 
= 530 − 500 = %30 600 − 500 
 
 
perc _ de _ mulheres = 
 
X − H = 530 − 600 =
 
− 70 
 
− 100 
 
 
= %70 
M − H 500 − 600 
 
 
 
 
EC 6 
 
Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC] 
 
Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 
53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova 
empresa, a média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa 
foi de: 
a) 140,00 
b) 990,00 
c) 5.820,00 
 
d) 7.420,00 
 
e) 9.900,00 
 
 
 
Questão da Fundação Carlos Chagas. 
 
Antes de fazer a questão, olhemos atentamente as alternativas. Dá pra descartar alguma 
sem precisar fazer contas? Sim! É possível descartar as letras ‘a’ e ‘b’. 
 
Com as 53 empresas, a média era de R$ 2.340,00. Depois, uma qüinquagésima quarta 
empresa se juntou às 53 iniciais. E a média AUMENTOU para R$ 2.480,00. 
 
Ora, se a média aumentou, é porque o tributo pago por esta última empresa foi maior 
que a média anterior. Ou seja, o tributo pago pela última empresa foi maior que R$ 
2.340,00. 
 
E antes mesmo de resolver a questão, podemos já arriscar um chute. Uma única 
empresa aumentou a média em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem 
alto. Portanto, se fôssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas 
D e E. A letra E é melhor que a D. Isto porque a letra B é igual à letra E dividido por 10, 
possivelmente esperando um erro de conta do candidato. 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 18 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Vamos à resolução. No início, quando eram apenas 53 empresas, a média podia ser 
escrita como: 
 
53 
 ∑ X i 
X = 1 53 
 
Substituindo o valor de X por 2.340, temos: 
 
53 
∑ X i 53 
2340 = 1 � ∑ X i = 53 × 2340 (I) 53 1 
 
O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o 
total obtido será 53 x 2340. 
 
Depois que a última empresa pagou seu tributo, a média passa a ser escrita como: 
 
54 
 ∑ X i 
X ' = 1 54 
 
Modifiquei o símbolo da média só para diferenciar da média anterior. 
 
Substituindo o valor de 
 
X ' por 2.480, temos: 
 
54 
∑ X i 54 
2480 = 1 � ∑ X i = 54 × 2480 (II) 54 1 
 
Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53 
empresas iniciais e mais a última empresa a pagar tributo), o resultado obtido será 54 x 
2480. 
 
Na equação (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equação (I) eu tenho o 
total pago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? 
Obtemos o tributo pago pela última empresa (X54). Ficamos com: 
 
54 53 
∑ X i − ∑ X i = X 54 
1 1 
 
Caso tenha ficado difícil de entender, é como se estivéssemos fazendo a seguinte conta: 
 
(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) – (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54. 
 
 
 
Continuando: 
 
54 53 
∑ X i − ∑ X i = X 54 
1 1 
 
54 × 2480 − 53 × 2340 = X 54 
 
Se você quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo. 
 
Só vou dar uma sugestão. Na conta acima, temos duas multiplicações envolvendo 
números de quatro dígitos. São trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Além das 
multiplicações, temos uma subtração. Seria ótimo se eu pudesse primeiro fazer a 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 19 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
subtração, diminuir os valores, e depois fazer a multiplicação. Com esta idéia, podemos 
fazer o seguinte: 
 
 
 
X 54 
 
 
 
= 54 × 2480 − 53 × 2340 
 
 
X 54 
 
 
= 2480 + 53 × 2480 − 53 × 2340 
 
 
 
Continuando a solução: 
 
X 54 = 2480 + 53 × 2480 − 53 × 2340 
 
Colocando o ‘53’ em evidência: 
 
X 54 = 2480 + 53 × (2480 − )2340 
 
X 54 = 2480 + 53 × ( )140 
 
Pronto, agora temos apenas uma multiplicação e envolvendo números menores. 
 
X 54 = 9900 
 
Resposta: letra E. 
 
 
EC 7 
 
Perito Criminal Federal (Engenharia Química) – PF/2004. [CESPE] 
Concentração em 
μg/g 
Elemento Casaco Vidraça 
Desvio padrão 
 
As 132 122 9,7 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
 
Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um caso 
criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um 
suspeito de assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma rara 
vidraça belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu então 
determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito 
para verificar se este era do mesmo material da vidraça belga. A técnica escolhida para 
essas determinações foi a espectroscopia de absorção atômica. As médias e os desvios- 
padrão das análises em triplicata desses cinco elementos nas amostrasde vidro retiradas 
do casaco, bem como os valores conhecidos para a vidraça belga são mostrados na 
 
tabela acima. Considerando essa situação hipotética, que 3 = 1 
73, 
 
 e que o parâmetro t 
de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiança é igual a 4,303, julgue os itens a 
seguir, que se referem às técnicas espectroscópicas de análise e à análise estatística de 
dados. 
 
[...] 
 
A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 
μg/g, 130 μg/g e 143 μg/g. 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 20 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Prova do CESPE, de perito da PF de 2004. Para o elemento As, foram obtidas três 
amostras. A média da concentração dessas três amostras foi de 132. 
A questão diz que esta média pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e 143. 
Fazendo a média destes três valores, temos: 
 
X = 121 + 130 + 143 = 131 33, . 3 
 
Portanto a alternativa está incorreta. 
 
 
 
5 Média Geométrica e Harmônica 
 
Este assunto não é muito cobrado em concursos. Mas não custa nada comentar. 
 
Aqui, também estamos interessados em calcular um valor médio, assim como feito com a 
média aritmética. Só que a conta que fazemos é outra. 
 
Por definição, a média geométrica de ‘n’ valores não negativos (X1, X2, ..., Xn) é: 
 
 
G = n 
 
 
 
X 1 × X 2 × ... × X n 
 
 
n 
= n ∏ X i 
i =1 
 
Por definição, a média harmônica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) é: 
 
n 
H = � 1 ∑� n i 1= 
 
1− 
iX 
1− �� 
 
Fórmulas meio complicadas, não? 
 
Vamos ver alguns exemplos que fica mais fácil. 
 
Suponhamos que nossos dados são apenas: 3 e 12. Apenas dois números (pra facilitar as 
contas). 
 
Para calcular a média aritmética, conforme vimos na seção anterior, ficamos com: 
 
X = 3 + 12 = 7 5, 
2 
 
A média geométrica é diferente. Para obtê-la, multiplicamos todos os dados. Depois 
tiramos a raiz “enésima”. Como neste caso são apenas dois valores, será a raiz 
quadrada. 
 
G = 2 3 ×12 = 6 
 
 
A média harmônica é um pouco mais complicada. Vamos dividir em três passos. 
Primeiro passo: achamos os recíprocos de cada valor. 
 
Para obter o recíproco de um número, basta inverter seu numerador com seu 
denominador. Vamos a um exemplo. 
 
 
Tomemos o número 
 
 
2 3 
. Seu recíproco é . 
3 2 
 
No nosso caso, os valores são 3 e 12. 
 
1 
O recíproco de 3 é . 
3 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 21 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
1 
O recíproco de 12 é . 
12 
 
 
Segundo passo: calculamos a média aritmética dos recíprocos. 
Ficamos com: 
 
1 1 + 4 + 1 
3 12 = 12 = 5 22 24 
 
Terceiro passo: calculamos o recíproco do valor obtido acima. Pronto. Esta é a média 
harmônica. 
 
H = 24 5 
 
H = 4 8, 
 
Se resumirmos todos esses três passos numa frase, podemos dizer que a média 
harmônica é o recíproco da média aritmética dos recíprocos dos valores. 
 
Agora o que mais cai em concurso não é essa parte de contas. É simplesmente saber o 
seguinte: 
 
Para qualquer conjunto de n números não negativos, a média harmônica é menor ou 
igual à média geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só 
ocorre se todos os números forem iguais entre si. 
 
Vamos olhar no caso dos números 3 e 12. A média aritmética foi de 7,5. Foi a maior das 
médias. A média harmônica foi de 4,8. Foi a menor das três. E a média geométrica foi de 
6, o valor intermediário. 
 
Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, aí teríamos: 
 
X = G = H = 12 
Quando todos os valores são iguais, as médias coincidem. 
Resumindo, o que geralmente cai em prova é saber que: 
 
H ≤ G ≤ X (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
 
 
Resumo: comparação das médias. 
 
H ≤ G ≤ X (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
EP 8 
 
Para a seqüência (4,6,9), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 22 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
EP 9 
 
Para a seqüência (4,4,4), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
 
 
 
Resolução - EP 8 
 
Média aritmética: 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
X = ∑ X 
i = 4 + 6 + 9 = 19 
33 3 
 
Média geométrica: 
 
G = 3 4 × 6 × 9 = 3 216 = 6 
 
 
 
Média harmônica: 
 
Primeiro passo: encontrando os recíprocos: 
 
1 1, 1, 64 9 
 
Segundo passo: média dos recíprocos: 
 
1 + 1 + 1 
64 9 9 + 6 + 4= 1× =
19 
 
3 108 3 36 
 
Terceiro passo: recíproco do valor acima: 
 
H = 108 19 
 
 
 
Resolução EP 9 
 
Como todos os valores são iguais, todas as médias são iguais a 4. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 
 
 
EC 8 
 
Analista Contábil - SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
 Indicando por: 
 
- X : a média aritmética de uma amostra; 
 
- mg : a média geométrica da mesma amostra; e 
 
- mh : a média harmônica também da mesma amostra. 
 
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é 
verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: 
a) X < mg < mh . 
b) X > mg > mh . 
c) mg < X < mh . 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 23 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
d) X < mg = mh . 
e) X = mg = mh . 
 
 
Esta é uma questão da ESAF. Aplicação direta do nosso “resumo” visto acima. Como o 
enunciado informou que todos os valores são diferentes entre si, então a igualdade entre 
as médias fica excluída. 
 
Resposta: B. 
 
 
EC 9 
 
AFRF – 2005 [ESAF] 
 
Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) 
e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn). 
 
a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. 
 
b) G ≤ X ≤ H , com G = X 
 
= H somente se os n valores forem todos iguais. 
 
c) X ≤ G ≤ H , com 
 
X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. 
 
d) H ≤ G ≤ X , com 
 
H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. 
 
e) X ≤ H ≤ G , com 
 
X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 
 
 
Outra questão da ESAF. Aplicação direta do resumo visto acima. 
Resposta: D. 
 
 
EC 10 
 
Estatístico ENAP – 2006 [ESAF] 
 
O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 
8, 9, 3} é igual a 
a) 6. 
 
b) 6,5. 
c) 4,794. 
d) 10. 
 
e) 3,9. 
 
 
Questão da ESAF. 
Os recíprocos são: 
1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3. 
Fazendo a média desses valores, temos: 
 
� 1 � 
1 × � 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + � = 
10 � 10 5 3 54 10 83 9 3 � 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 24 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
� 1 �× 
1 + 1 + 3 × 1 1 + 1 + 2 × + 
 
 
 
 1 � 
×2 � = 
10 � 4 8 9 
 
 
� 
3 5 
 
 1 � 
 
10 � 
 
 
 
1 × � 1 + 1 + 1 + 3 × 1 + 2 × 1 + � = 
10 � 4 8 9 3 5 5 � 
 
� � � 0 375, 1 � 
1 × � 2 + 1 + 1 + 3 × 1 + 3 × 1 � = 1 × � + + 1 + 0 6, � 
10 � 8 8 9 3 5 � 10 � 9 � 
 
Observe que 1/9 é uma fração mais “complicada”. Dá uma dízima periódica. Vamos 
aproximar 1/9 por 0,11. 
 
 1 × � 0 
375, 
� 
 
+ 1 + 1 + 0 6, 
 
� � 
 1 (,2 )085 
� 
 
10 � 9 � 10 
 
E a média harmônica fica: 
 
H � 10 2 085, 
 
Outra divisão “complicada” de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 
2,085 por 2 
 
H � 10 10� = 52 085, 2 
 
Quando nós trocamos o denominador 2,085 por 2, nós aumentamos um pouco a nossa 
fração. Portanto, na verdade, a média harmônica é um pouco menor que 5. 
O número mais próximo disto é o 4,794. 
Resposta: C. 
 
Esta última questão já foi mais complicada por causa das contas. Mas não se preocupem. 
Notem que foi tirada de uma prova específica para a área de estatística. 
 
Isso bem que às vezes a ESAF exagera nas questões e coloca contas muito trabalhosas 
de fazer. O último AFRF foi exemplo disso. 
 
 
 
6 Média ponderada 
 
A média ponderada é uma variação da média aritmética. Vamos ver do que se trata por 
meio de um exemplo. 
 
Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final é a média dessas quatro provas. 
Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6. 
 
A nota final fica: 
 
NF = 10 + 9 + 7 + 6 = 8 4 
 
Ok, até aqui nenhuma novidade. Fizemos a média aritmética normal, a mesma que 
vimos no começo da aula. 
 
Esse mesmo aluno faz um outro curso, em que são aplicadas apenas duas provas. Suas 
notas são: 9,5 e 7,5. 
 
A média dessas notas fica: 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 25 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
9 5, 
 
 
 
 
+ 7 5, = 8 5, 2 
 
Só que, nesse segundo curso, a nota final não é calculada simplesmente por meio da 
média aritmética. Isso porque a primeira prova é de múltipla escolha. A segunda é 
discursiva. Como a segunda prova é mais complicada, mais difícil, ela “vale mais”. Ela 
tem peso três. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso? 
Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale três vezes mais. 
A nota final, nesse segundo curso, é igual a: 
 
NF ' = 1× 9 5, 
 
+ 3 × 7 5, = 8 4 
 
É como se a segunda prova fosse “triplicada”. É como se estivéssemos, na verdade, 
fazendo uma média aritmética entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda 
nota porque ela tem peso 3. 
 
 
 
 
peso da primeira nota 
 
 
 
 
 
peso da segunda nota 
 
 
 
 
 
 
 
NF ' = 
 
 
 
 
 
 
 
1 × 4 
 
 
 
 
 
 
 
( 
)1 × 
 9 , 5 + ×3 7 , 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
soma dos pesos 
(=1+3) 
 
 
primeira nota 
 
 
 
segunda nota 
 
 
 
 
Essa nota final, neste segundo curso, é uma média ponderada das notas das duas 
provas. É uma modificação da média aritmética. Na média ponderada, cada valor tem um 
peso diferente. 
 
 
 
Vamos relembrar do EP 5. Seu enunciado era: 
 
Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 
825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e 
mulheres? 
 
 
Vamos reescrever a solução? Ficou assim: 
Chamamos os salários dos homens de H. 
 
Somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a média 
de salário dos homens. Fica assim: 
 
= ∑ H 825 4 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 26 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
∑ H = 4 × 825 
 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres 
e dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim: 
 
600 = ∑ M 
5 
 
 
� ∑ M = 5 × 600 
 
 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as 
mulheres, e dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
 
Fica assim: 
 
 
Média _ 
 
 
geral = ∑ H + ∑ M 
9 
 
Substituindo os valores: 
 
Média _ geral = 4 × 825 + 5 × 600 = 700 
9 
 
Observe que a média geral é uma média ponderada entre as médias dos homens e das 
mulheres. O peso da média dos homens é o número de homens. O peso da média das 
mulheres é o número de mulheres. 
 
 
 
 
peso da média dos 
homens peso da média das 
mulheres 
 
 
 
 
 
 
Médi 
_a 
 
 
 
 
 
 
geral = 1 × ( )4
× 825+ 5 × 600 
 = 700 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
soma dos pesos 
(=4+5) 
 
 
média dos 
homens 
 
média das 
mulheres 
 
 
 
Ainda nesta aula veremos mais exercícios parecidos com este. 
 
 
 
7 Propriedades da média aritmética 
 
Voltemos à nossa pesquisa de salários dos moradores do bairro Nova Vila. 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 
1.000,00. Agora, seus salários são: 
 
Salários após o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8. 
Qual a nova média? 
A nova média será: 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 27 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
X = 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4 6, 10 
 
O salário médio agora é de R$ 4.600,00. 
 
Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados 
foram somados em R$ 1.000,00. E a média também foi somada de R$ 1.000,00. 
 
 
Suponhamos agora que todos esses funcionários, além do salário normal (já reajustado 
em R$ 1.000,00), vão receber em dezembro o décimo terceiro integral. Assim, no mês 
de dezembro, os salários vão ficar: 
 
Salário mais décimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16. 
 
A nova média fica: 
 
X = 4 + 6 + 6 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 14 + 16 = ,9 2 10 
 
 
 
Note que todos os valores foram dobrados. A média, que era de R$ 4.600,00, passou a 
R$ 9.200,00. Portanto, a média também dobrou. 
 
 
 
Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma: 
 
 
· somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a 
média do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c. 
 
· multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, 
a média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c. 
 
 
 
Outras duas propriedades da média são: 
 
· a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a soma dos quadrados dos 
desvios. 
 
· a soma de todos os desvios em relação à média aritmética é igual a zero. 
 
Sobre essas duas últimas propriedades, por enquanto vai ficar só o registro de que elas 
existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de dispersão. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
 
EP 10 
 
Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {1, 3, 5} 
 
 
EP 11 
 
Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {3, 5, 7} (observe que esta foi obtida 
a partir da seqüência anterior, somando 2 a todos os elementos). 
 
 
EP 12 
 
Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {6, 10, 14} (observe que esta 
seqüência foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2). 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 28 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
 
 
Resolução EP 10 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
X = 1 + 3 + 5 = 3 3 
 
 
 
Resolução EP 11 
 
X = 3 + 5 + 7 = 5 . 3 
 
Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relação à seqüência anterior), a 
média também foi adicionada de 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida 
pelos dados. 
 
 
 
Resolução EP 12 
 
X = 6 + 10 + 14 = 10 3 
 
Repare que, como multiplicamos por2 todos os elementos (em relação à seqüência 
anterior), a média também foi multiplicada por 2. Ou seja, a média sofre a mesma 
alteração sofrida pelos dados. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
 
EC 11 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua 
região, procedeu às seguintes operações: 
 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos 
alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
 
 
 
Questão da FCC. 
 
Vamos chamar a média dos aluguéis de X . 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 29 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Primeiro, todos os valores são dobrados. Ou seja, a média desses novos valores também 
será dobrada. 
 
Média dos valores obtidos no item I: 2 X 
 
 
Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. Ou seja, a média desses novos 
valores também será reduzida de R$ 1.200,00. 
 
Média dos valores obtidos no item II: 
 
2 X − 1200 
 
 
Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a média também ficará 
dividida por mil. 
 
2 X − 1200 
Média dos valores obtidos em III: 
1000 
 
O enunciado me disse que a média dos valores obtidos no item III é de 3/10. Portanto: 
 
2 X − 1200 3= 
 
 
X� = 750 
1000 10 
 
Resposta: E. 
 
 
EC 12 
 
Fiscal ISS/SP – 2007 [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi 
de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são 
respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens 
receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, 
sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após 
esses reajustes, o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a: 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
 
 
Lá no EC 5 nós vimos que, nesta empresa, de cada 100 funcionários, 30 são homens. 
Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionários. Inicialmente, temos que a média 
dos homens é de R$ 600,00 e a média das mulheres é R$ 500,00. 
 
Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens têm seus 
salários acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a média dos homens sofrerá a mesma 
alteração. A nova média dos homens ficará igual a R$ 620,00. 
 
 
Ok, a média dos salários dos homens é igual a 620. Significa que, somando todos os 
salários dos homens (após o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620. 
 
620 = ∑ H 
30 
 
 
 
 
� ∑ H = 620 × 30 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 30 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Todas as mulheres terão seu salário multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar algo em 
10% é o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a média dos salários das mulheres 
sofrerá a mesma alteração. Será também multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 
550,00. Assim, somando os salários das mulheres (após o aumento) e dividindo por 70, 
obtemos 550. 
 
550 = ∑ M 
70 
 
 
� ∑ M = 550 × 70 
 
 
A média geral é simplesmente somar todos os salários dos homens, todos os salários das 
mulheres, e dividir por 100. 
 
 
Média _ geral = ∑ H + ∑ M 
100 
 
 
 
= 620 × 30 + 550 × 70 = 62 × 3 + 55 × 7 = 186 + 385 = 571 
100 
 
Resposta: C. 
 
Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 186 + 385 
 
O algarismo das unidades da soma será igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, 
só aí já dá para marcar letra C. 
 
Outra opção para calcular a média geral é lembrar que ela é uma média ponderada entre 
as médias dos homens e das mulheres (conforme vimos lá na página 24). E os pesos 
são, respectivamente, o número de homens e o número de mulheres. 
 
Ficaria assim: 
 
Média _ geral = 1 × ( 
)30 × 620 + 70 × 550 
100 
 
 
= 571 
 
 
 
EC 13 
 
Assessor especializado – IPEA/2004 [FCC] 
 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi 
de R$ 463,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são, 
respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No próximo mês, todos os homens 
receberão um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 25% sobre 
os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses 
reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a: 
a) R$ 525,00 
b) R$ 530,00 
c) R$ 535,00 
d) R$ 542,00 
e) R$ 545,00 
 
 
 
Vamos primeiro nos concentrar na situação inicial, antes dos reajustes. 
 
A média dos homens é de 580. A das mulheres é de 400. Note que a média geral está 
mais próxima de 400. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
 
Vamos novamente supor que são 100 funcionários no total. Lembrando que nem 
precisava supor isto. Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. 
Ou então, falar simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo. 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 31 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
Portanto: 
 
a + b = 100 (pois supusemos que são 100 funcionários). 
 
a + b = 100 (EQUAÇÃO I) 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 580,00. 
 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e 
dividirmos por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 580,00. 
 
 
H∑ = 580 
a 
 
 
 
Ou ainda: 
 
H∑ = 580 � ∑ H = 580 × a 
a 
 
 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 580 vezes o 
número de homens. 
 
 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 400. 
Portanto: 
 
M∑ = 400 � ∑ M = 400 × b 
b 
 
 
 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 463. 
 
 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as 
mulheres e dividirmos pelo número de pessoas. 
 
Fica: 
 
 
∑ H + ∑ M 
a + b 
 
 
 
 
= 463 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
 
∑ H + ∑ M 
 
 
 
= (a + b) × 463 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 32 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Substituindo os valores dos somatórios: 
 
580 × a + 400 × b = (a + b) × 463 (EQUAÇÃO II) 
 
Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os 
valores de ‘a’ e ‘b’. 
 
Vamos fazer o seguinte: 
 
Vamos substituir 580 × a por 180 × a + 400 × a 
 
180 × a + 400 × a + 400 × b = (a + b) × 463 
 
Colocando 400 em evidência: 
 
180 × a + 400 × (a + b) = (a + b) × 463 
 
Lembrando que 
 
a + b = 100 : 
 
180 × a + 400 ×100 = 100 × 463 
 
Dividindo todos os termos por 100: 
 
1 8, 
 
× a + 400 = 463 
 
a = 35 
 
Portanto, de cada 100 funcionários, 35 são homens. Logo, o percentual de homens é de 
35%. 
 
 
 
Outra opção de resolução é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7. 
 
 
perc _ de _ hom ens = 
 
X −M 
 
 
= 463 − 400 = 63 
 
 
= %35 
H − M 580 − 400 180 
 
perc _ de _ mulheres =
 %1
00 
 
−
 %3
5 
 
= %65 
 
 
Pronto, já sabemos qual o percentual de homens e de mulheres na empresa. 
Vamos agora para a segunda situação, após os reajustes. 
 
Os homens recebem R$ 20,00 a mais. Ou seja, estamos aumentando todos os salários 
dos homens em R$ 20,00. Consequentemente, a média dos salários dos homens também 
aumenta. Vai para R$ 600,00 (=580 + 20). 
 
As mulheres têm um reajuste de 25%. Consequentemente, a média feminina sofre a 
mesma variação. Também aumenta 25%. Vai para R$ 500,00 (=400 + 25% de 400). 
 
 
A nova média geral é simplesmente a média ponderada entre a média dos homens e a 
média das mulheres. Os pesos são o percentual de homens e o percentual de mulheres. 
 
35 × 600 + 65 × 500 = 535 100 
 
Resposta: C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 33 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
EC 14 
 
Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
 
Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 
245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos 
elementos de Q é igual a: 
a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5. 
b) média dos elementos de P mais a constante 220. 
 
c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária. 
 
d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado 
por 5. 
 
e) média dos elementos de P mais a constante 200 
 
 
Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma: I 
– multiplicamos por 5 
 
II – somamos 220. 
 
Vamos pegar os primeiros valores. 
 
P1 = 0 �
 1
Q 
 
= 0 × 5 + 220 = 220 
 
Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q: 
 
P2 = 1 � Q2 = 1× 5 + 220 = 225 
 
Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q: 
 
P2 = 2 �
 3
Q 
 
= 2 × 5 + 220 = 230 
 
E assim por diante. 
 
Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q: 
 
Q = P × 5 + 220 
 
Já vimos que sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtraímos uma 
constante de cada um dos dados, a média sofre a mesma alteração. 
 
Então a média de Q fica: 
 
Q = P × 5 + 220 
A média de Q é igual à média de P, multiplicada por 5 e somada com 220. 
Esse procedimento está descrito na letra A. 
 
Resposta: A. 
 
 
EC 15 
 
Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
 
A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. 
Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 
2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários 
remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de: 
 
a) R$ 1.375,00 b) 1.350,00 c) R$ 1.345,00 d) 1.320,00 e) 1.300,00 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 34 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A média inicial era de R$ 1.500,00. E como obtemos essa média? Somamos todos os 100 
salários e dividimos por 100. 
 
100 
∑ X i 
 
 
100 
1500 = i 1= � ∑ X i = 150.000 100 i 1= 
 
A soma de todos os 100 salários é de R$ 150.000,00. 
 
Foram demitidos 20 funcionários que ganhavam, cada um, o salário de R$ 2.500,00. A 
soma dos salários desses 20 funcionários é: 
 
20 × 2.500 = 50.000 
 
Agora, a soma dos salários dos oitenta funcionários remanescentes fica: 
 
150.000 − 50.000 = 100.000 
 
E a nova média fica: 
 
80 
∑ X i 
 i 1= = 100 000. = 1 
25 0.80 80 
 
 
 
00, 
 
A nova média é de 1.250,00. 
 
Depois disso, todos os funcionários ganham um reajuste de 10%. Portanto, a média sofre 
a mesma alteração, e também é aumentada em 10%. 
 
1 
250. 
 
×1 1, 
 
= 1 375. 
 
Resposta: A. 
 
 
 
8 Mediana 
 
Mediana é outra medida de posição. Assim como a média aritmética, também é uma 
medida de tendência central. O símbolo que vamos adotar para mediana é ‘D’. 
 
Mediana nada mais é que o termo do meio da minha seqüência de dados. Imaginemos o 
seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13. 
 
São cinco elementos. O do meio é o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de 
dados é: 
 
D = 8 
 
Repare que a mediana divide a série em duas partes com a mesma quantidade de dados. 
À esquerda do número 8 temos dois valores (2 e 7). À direita do número 8 também 
temos dois valores (11 e 13). 
 
Para o exemplo que estamos trabalhando desde o início da aula, o rol é: 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Quem é a mediana? 
 
Neste rol, o número de dados é par. Ou seja, não tem um termo que seja o do meio. 
Nestes casos, adotamos o seguinte procedimento: 
 
 
 
1 – tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento) 
 
2 – fazemos a média entre eles. 
 
O quinto elemento é 3 (X5 = 3). O sexto elemento é 4 (X6 = 4). 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 35 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A mediana fica: 
 
D = 3 + 4 = 3 5, 
2 
 
Quando a série tem um número ímpar de elementos, fatalmente a mediana fará parte do 
conjunto de dados. Como existirá um termo do meio, ele será a mediana. 
 
Quando a série tem um número par de elementos, a mediana não necessariamente fará 
parte do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta. 
 
A mediana, além de ser uma medida de tendência central, também é uma medida 
separatriz. Ela separa a série de dados de forma bem específica, em duas partes com 
mesmo número de elementos. 
 
Por falar em medidas separatrizes, a mediana é a única que nós veremos (ao menos por 
enquanto). As demais ficam para a aula 3, quando falarmos de dados em classes. 
 
 
 
 
EP 13 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados: 
 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
 
b) 2, 8, 5, 1 
 
c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
 
 
 
Resolução do EP 13 
 
a) A seqüência tem nove termos. A mediana é simplesmente o termo central, ou seja, o 
quinto termo. O quinto termo é o seis. Portanto: 
 
D = 6 
 
 
 
Certo??? 
 
 
 
ERRADO! 
 
 
 
Antes de fazermos qualquer coisa com a série de dados, temos que passá-la para um 
ROL, colocando os termos em ordem crescente. 
ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6 
 
Pronto. Agora a seqüência está ordenada. O quinto termo é o ‘3’. 
 
D = 3 
 
 
b) Primeiro, achemos o ROL. 
ROL: 1, 2, 5, 8. 
 
A seqüência tem quatro termos (número par). Não há termo central. Fazemos a média 
dos dois termos centrais. 
 
D = 2 + 5 = 3 5, 
2 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 36 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
 
São vinte e um termos. O do meio é o décimo primeiro. 
 
D = 3 
 
 
 
Apenas por curiosidade, vamos calcular a média deste conjunto. 
 
X = ∑ X 
i = 158 = 7 52, 
21 21 
 
A mediana deu 3. É uma medida de tendência central. Nós vimos lá na página 6 desta 
aula que medidas de tendência central nos dão um indicativo de valores em torno dos 
quais os dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em 
torno de 3. 
 
Mas a média também é uma medida de tendência central. Tomando apenas a média, 
dizemos que os dados giram em torno de 7,52. 
 
Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52??? 
 
Na verdade,as medidas de tendência central não precisam necessariamente coincidir. 
Elas coincidem quando a seqüência for simétrica. O conceito de assimetria é cobrado em 
alguns concursos (é o caso do concurso da Receita Federal). No caso do último ICMS/SP, 
assimetria não fez parte do edital. Mas falamos um pouquinho a respeito posteriormente. 
Média e mediana são obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos 
os valores, dividido pelo número de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que 
tomamos o termo do meio. 
 
Cada uma delas procura expressar a tendência central, mas de forma distinta. 
 
Suponha que esta série de dados da letra C represente os salários dos funcionários de 
uma dada empresa, em números de salários mínimos. 
 
Assim, os quatro primeiros funcionários ganhariam 1 salário mínimo. Os seis seguintes, 
dois salários mínimos. E assim por diante, até os dois últimos, que ganham quarenta 
salários mínimos. 
 
Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos funcionários recebe um 
salário mais baixo. São operários, técnicos, secretárias, etc. E poucos funcionários 
recebem um salário muito alto. São diretores, gerentes, etc. 
 
Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que é um ótimo lugar para 
trabalhar, dirá que o salário médio por ela pago é de mais de 7 salários mínimos. É que, 
mesmo com a grande maioria dos funcionários ganhando um salário muito baixo, temos 
uns poucos ‘felizardos’ que ganham um salário tão alto a ponto de fazer com que a 
média não seja assim tão baixa. 
 
Por outro lado, se os funcionários quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, 
poderão dizer que o salário mediano na empresa é de apenas 3 salários mínimos. 
 
Olha que interessante. Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados 
os dois funcionários que ganham 40 salários mínimos. Ficaríamos com o seguinte 
conjunto: 
 
1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19. 
 
A mediana agora é igual a 2. E a média passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem 
menos que a média. Isso porque a mediana é menos influenciada por valores extremos. 
A média, contrariamente, é mais influenciada por valores muito grandes (ou muito 
pequenos). 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 37 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Por isso, em pesquisas de distribuição de renda, muitas vezes é utilizada a mediana 
como medida de tendência central. Geralmente poucas pessoas têm renda 
extremamente alta. Estas pessoas contribuiriam para aumentar a renda média, num 
quadro em que grande parte da população tem renda baixa. A mediana, nesses casos, 
tende a fornecer valores mais baixos, que descrevem melhor a população pesquisada. 
Retomaremos o assunto quando falarmos brevemente em assimetria. De todo modo, 
mesmo sem saber exatamente o que é assimetria, com essa noção dada dá para ver um 
exercício de concurso. 
 
 
EC 16 
 
Analista MPU – Área Pericial – Especialidade: Estatística. [ESAF] 
 
A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de 
renda porque as distribuições de renda 
a) têm intervalos de classe distintos. 
b) sempre são normais. 
 
c) tipicamente são do tipo uniforme. 
d) geralmente se mostram bastante assimétricas. 
e) sempre são bimodais. 
 
 
Questão da ESAF. 
Resposta: D. 
 
 
EC 17 
AFC/CGU - 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF] 
Determine a mediana do seguinte conjunto de dados: 
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. 
a) 28. 
b) 31. 
c) 44. 
d) 50. 
e) 56 
 
 
A questão é sobre mediana. Basta fazer o ROL e achar o termo do meio. 
ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95. 
 
São quinze valores. O do meio é o oitavo. A mediana é igual a 44. 
 
D = 44 
 
Resposta: C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 38 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
 
 
 
9 Moda 
 
A moda é mais uma medida de tendência central. A moda é o termo que mais se repete. 
Fácil, não? Podemos até nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que está 
na ‘moda’ é o que todo mundo usa. 
 
Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa série de dados será a moda. Pra 
variar um pouco, voltemos aos moradores do nosso bairro Nova Vila: 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Qual o salário que mais se repetiu? Foi o salário de R$ 2.000,00. Três pessoas ganham 
um salário de R$ 2.000,00. Este valor é justamente a moda. 
 
M = 2 (valor em R$ 1.000,00) 
 
 
EP 14 
 
Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados: 
 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
 
b) 1, 2, 2, 3, 3, 4 
 
c) 2, 8, 5, 1 
 
d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20 
 
 
 
Resolução do EP 14 
 
a) O termo que mais se repete é o três. 
 
M = 3 
 
b) Há dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. 
Dizemos que o conjunto tem duas modas. É bimodal. 
 
Um conjunto não precisar ter uma única moda. Pode ter duas, três, quatro, ou mais 
modas. 
 
 
c) Note que todos os termos da seqüência ocorrem com a mesma freqüência. Dizemos 
que o conjunto é amodal. Não tem moda. 
 
 
 
d) O termo que mais se repete é o 2. Ocorre cinco vezes. 
 
M = 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 39 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
EC 18 
 
AFRF/98 [ESAF] 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
 
 
 
 
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra 
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A 
unidade monetária é o dólar americano. 
 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
Assinale a opção que corresponde ao preço modal: 
a) 7 
b) 23 
c) 10 
d) 8 
e) 9 
 
 
 
Questão da ESAF. 
 
Temos uma série de dados em rol. O exercício pede que determinemos a moda. A moda 
será o termo que mais se repete. Contemos alguns deles. 
 
O número 4 aparece uma vez. O número 5 aparece duas vezes. O número 6 aparece 
quatro vezes. E assim por diante. Você verá que o número que mais se repete é o oito 
(são nove vezes). Resposta: D. 
 
 
EC 19 
 
Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 
9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, 
respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
 
 
Outra questão da ESAF. Nós até já começamos a resolvê-la na página 13 
Relembrando: vamos primeiro fazer o rol. 
ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
 
A média fica: 
 
= ∑ X (dividimos por 10 porque são dez notas). 
X i 10 
 
X = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10 
 
 
 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 40 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A média vale 6. 
 
 
 
A moda é o termo que mais se repete. O termo que mais se repete é o 3. 
 
M = 3 
 
 
São dez termos. Não há um termo central. A mediana será dada pela média dos dois 
termos centrais (no caso, o quinto e o sexto elementos). 
 
=D X 5 + X 6 = 5 + 5 = 5 2 2 
 
Resposta: A. 
 
 
 
III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS 
 
Nesta aula inteira nós estudamos uma primeira forma de apresentação