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𝑦(𝑥) = 𝐶 𝑦′(𝑥) = 0 
𝑦(𝑥) = 𝐶 ∙ 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = 𝐶 ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑥𝑛 𝑦′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 
𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) 𝑦′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ± 𝑣′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) 𝑦′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥) 
𝑦(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
 𝑦′(𝑥) =
𝑣(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)
(𝑣(𝑥))2
 
 
𝑦(𝑥) = [𝑢(𝑥)]𝑛 𝑦′(𝑥) = 𝑛 ∙ [𝑢(𝑥)]𝑛−1 ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = sin 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = cos 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = cos 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = −sin 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = sec 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = sec 𝑢(𝑥) ∙ 𝑡𝑔 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
√1 − 𝑢(𝑥)2
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = −
𝑢′(𝑥)
√1 − 𝑢(𝑥)2
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tg 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
1 + 𝑢(𝑥)2
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cotg 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = −
𝑢′(𝑥)
1 + 𝑢(𝑥)2
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sec 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)√𝑢(𝑥)2 − 1
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cossec 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = −
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)√𝑢(𝑥)2 − 1
 
 
𝑦(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) = 𝑎𝑢(𝑥) ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑢′(𝑥) 
 
𝑦(𝑥) = ln 𝑢(𝑥) 𝑦′(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
 
𝑦(𝑥) = log𝑎 𝑢(𝑥) 
𝑦′(𝑥) =
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥) ∙ ln 𝑎
 
𝑦(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢(𝑥) 𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢(𝑥) 𝑦(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ 𝑢(𝑥) 𝑦(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑢(𝑥) 𝑦(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢(𝑥) 𝑦(𝑥) = −𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑡𝑔ℎ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢(𝑥) 𝑦(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 
 
Produto Soma e Diferença de Senos e Cossenos 
sin 𝑢 cos 𝑣 =
1
2
[sin(𝑢 + 𝑣) + 𝑠𝑖𝑛(𝑢 − 𝑣)] 
cos 𝑢 sin 𝑣 =
1
2
[sin(𝑢 + 𝑣) − 𝑠𝑖𝑛(𝑢 − 𝑣)] 
cos 𝑢 cos 𝑣 =
1
2
[cos(𝑢 + 𝑣) + 𝑐𝑜𝑠(𝑢 − 𝑣)] 
sin 𝑢 sin 𝑣 =
1
2
[cos(𝑢 − 𝑣) − 𝑐𝑜𝑠(𝑢 + 𝑣)] 
𝑠𝑖𝑛 𝑠 +𝑠𝑖𝑛 𝑡 = 2 𝑠𝑖𝑛 (
𝑠+𝑡
2
) cos (
𝑠−𝑡
2
) 
𝑠𝑖𝑛 𝑠 −𝑠𝑖𝑛 𝑡 = 2 𝑐𝑜𝑠 (
𝑠+𝑡
2
) sin (
𝑠−𝑡
2
) 
𝑐𝑜𝑠 𝑠 +𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 2 𝑐𝑜𝑠 (
𝑠+𝑡
2
) cos (
𝑠−𝑡
2
) 
𝑐𝑜𝑠 𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = −2 𝑠𝑖𝑛 (
𝑠+𝑡
2
) 𝑠𝑖𝑛 (
𝑠−𝑡
2
) 
Identidades Trigonométricas Fundamentais 
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 1 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 1 𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 1 
𝑡𝑔 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
 
1 + 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
Identidades sobre Soma e diferença de Arcos 
𝑠𝑖𝑛(𝑢 + 𝑣) = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑣 + 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝑣 
𝑐𝑜𝑠(𝑢 + 𝑣) = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑣 − 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝑣 
𝑠𝑖𝑛(𝑢 − 𝑣) = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑣 − 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝑣 
𝑐𝑜𝑠(𝑢 − 𝑣) = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑣 + 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝑣 
𝑡𝑔(𝑢 + 𝑣) =
𝑡𝑔 𝑢+𝑡𝑔 𝑣
1−𝑡𝑔 𝑢 𝑡𝑔 𝑣
 
𝑡𝑔(𝑢 − 𝑣) =
𝑡𝑔 𝑢−𝑡𝑔 𝑣
1+𝑡𝑔 𝑢 𝑡𝑔 𝑣
 
 
Identidades sobre Medidas Duplas 
sin 2𝑢 = 2 sin 𝑢 cos 𝑢 
cos 2𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2𝑢 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 
cos 2𝑢 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑢 
cos 2𝑢 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑢 − 1 
𝑡𝑔 2𝑢 =
2𝑡𝑔 𝑢
1−𝑡𝑔2𝑢
 
𝑠𝑖𝑛2𝑢 =
1−cos 2𝑢
2
 
𝑐𝑜𝑠2𝑢 =
1+cos 2𝑢
2
 
𝑡𝑔2𝑢 =
1−cos 2𝑢
1+cos 2𝑢
 
𝑠𝑖𝑛2 0.5𝑡 =
1−cos 𝑡
2
 
𝑐𝑜𝑠20.5𝑡 =
1+cos 𝑡
2
 
𝑡𝑔20.5𝑡 =
1−cos 𝑡
sin 𝑡
 
𝑡𝑔20.5𝑡 =
sin 𝑡
1+cos 𝑡
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO SUPERIOR EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
PROF: ANDRE LUIZ BEDENDO 
 
FORMULÁRIO – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
Fórmulas de Redução 
𝑠𝑖𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑖𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑡𝑔 𝑥 
𝑠𝑖𝑛 (
1
2
𝜋 − 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (
1
2
𝜋 + 𝑥) = cos 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 (
1
2
𝜋 − 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 
𝑡𝑔 (
1
2
𝜋 − 𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 (
1
2
𝜋 + 𝑥) = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 
𝑡𝑔 (
1
2
𝜋 + 𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥 
𝑡𝑔(𝜋 − 𝑥) = −𝑡𝑔 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐 (𝑛 ≠ −1) 
∫
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 
∫ 𝑒𝑛 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
𝑙𝑛 𝑎
+ 𝑐 
∫ 𝑙𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 𝑙𝑛 𝑎𝑢 − 𝑢 + 𝑐 
∫
𝑑𝑢
𝑢 𝑙𝑛 𝑎𝑢
= 𝑙𝑛|𝑎𝑢| + 𝑐 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑐 
∫
𝑑𝑢
𝑢2 + 𝑎2
=
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑢
𝑎
) + 𝑐 
∫
𝑑𝑢
𝑢√𝑢2 − 𝑎2
=
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 |
𝑢
𝑎
| + 𝑐 
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑢| + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑖𝑛 𝑢| + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑡𝑔 𝑢| + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢| + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑔ℎ 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 𝑡𝑔ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑢 + 𝑐 
𝑥 
𝑎 
√𝑎2 − 𝑥2 
𝜃 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝜃 √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑥 = 𝑎𝑡𝑔 𝜃 √𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎𝑠𝑒𝑐 𝜃 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑐 𝜃 √𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎𝑡𝑔 𝜃 
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑢 𝑑𝑢 = −
𝑠𝑖𝑛𝑛−1𝑢 cos 𝑢
𝑛
+
𝑛 − 1
𝑛
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑢 𝑑𝑢 =
𝑐𝑜𝑠𝑛−1𝑢 sin 𝑢
𝑛
+
𝑛 − 1
𝑛
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
∫ 𝑡𝑔𝑛𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑛 − 1
𝑡𝑔𝑛−1𝑢 − ∫ 𝑡𝑔𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛𝑢 𝑑𝑢 = −
1
𝑛 − 1
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−1𝑢 − ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑛 − 1
𝑠𝑒𝑐𝑛−2𝑢 𝑡𝑔 𝑢 +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛𝑢 𝑑𝑢 = −
1
𝑛 − 1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛−2𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 
 
𝑉 = 𝜋 ∫[𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 ∫([𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑏
𝑎
 
𝑉 = 𝜋 ∫[𝑓(𝑥) − 𝐿]2𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 ∫[𝑔(𝑦) − 𝑀]2𝑑𝑦 
𝑑
𝑐
 
𝑏
𝑎
 
𝑆 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑𝑥 𝑆 = ∫ √1 + [𝑔′(𝑦)]2𝑑𝑦 
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
 
𝐴𝑠 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑𝑥 𝐴𝑠 = 2𝜋 ∫ 𝑔(𝑦)√1 + [𝑔′(𝑦)]2𝑑𝑦 
𝑑
𝑐
 
𝑏
𝑎
 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
]
𝑏
𝑎
𝐷
𝑑𝑥 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
]
𝑑
𝑐
𝐷
𝑑𝑦 
∬ 𝑓(𝑟, 𝜃)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟2(𝜃)
𝑟1(𝜃)
𝛽
𝛼
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐺
𝑑𝑉 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧
𝑧2(𝑥,𝑦)
𝑧1(𝑥,𝑦)
] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐺
𝑑𝑉 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦
𝜌2(𝑥,𝑧)
𝜌1(𝑥,𝑧)
] 𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐷′
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐺
𝑑𝑉 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥
𝑞2(𝑦,𝑧)
𝑞1(𝑦,𝑧)
] 𝑑𝑦𝑑𝑧
𝐷′′
 
∭ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧)
𝑔2(𝑟,𝜃)
𝑔1(𝑟,𝜃)
𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟2(𝜃)
𝑟1(𝜃)
𝜃2
𝜃1𝐺
 
∭ 𝑓(𝜌, 𝜃, 𝜙) 𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝜌, 𝜃, 𝜙)𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐺
 
 
CONVERSÃO FÓRMULAS Restrições 
 
Retangulares → cilíndricas 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑟 = √𝑥
2 + 𝑦2, tan 𝜃 =
𝑦
𝑥, 𝑧 = 𝑧 
Cilíndricas → retangulares (𝑟, 𝜃, 𝑧) → (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, 𝑧 = 𝑧 
Esféricas → cilíndricas (𝜌, 𝜃, 𝜙) → (𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑟 = 𝜌 sin 𝜙 , 𝜃 = 𝜃, 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 
𝑟 ≥ 0, 𝜌 ≥ 0 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 
 
Cilíndricas → esféricas 
 
(𝑟, 𝜃, 𝑧) → (𝜌, 𝜃, 𝜙) 
 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑧2, 𝜃 = 𝜃, tan 𝜙 =
𝑟
𝑧
 
 
 
Retangulares → esféricas 
 
 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝜌, 𝜃, 𝜙) 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
 
𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 
 
 
Esféricas → retangulares 
 
 
(𝜌, 𝜃, 𝜙) → (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜙 cos 𝜃 
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜙 sin 𝜃 
𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 
 
 
𝑥 
𝜃 
√𝑥2 − 𝑎2 
 √𝑎2 − 𝑥2 
𝜃 
𝜃 
𝑥 
𝑥 
𝑎 
𝑎