Apostila Álgebra Linear - Prof Bárbara

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Introdução à Álgebra Linear
Prof. Bárbara Lopes Amaral
Outubro de 2015
1
1
Matrizes
Em matemática, uma matriz m × n é uma tabela de m linhas e n colunas
de símbolos sobre um conjunto, normalmente o conjunto dos números reais R,
representada sob a forma de um quadro. As matrizes são utilizadas na resolu-
ção de sistemas de equações lineares e no estudo das transformações lineares,
assuntos que serão abordados mais a frente nesse curso.
Aplicações de matrizes são encontrados em inúmeras áreas da ciência. Em to-
dos os ramos da física, incluindo a mecânica clássica, eletromagnetismo, óptica,
mecânica quântica, e eletrodinâmica quântica, matrizes são usadas âĂŃâĂŃ-
para estudar fenômenos importantes, tais como o movimento de corpos rígidos.
Matrizes também são utilizadas para representar estados, transformações e me-
dições realizadas em determinados sistemas. Em computação gráfica, matrizes
são usadas âĂŃâĂŃpara projetar uma imagem tridimensional em uma tela bi-
dimensional. Em teoria de probabilidade e estatística, matrizes estocásticas são
usados âĂŃâĂŃpara descrever conjuntos de probabilidades. Esse tipo de matriz
aparece, por exemplo, no algoritmo PageRank, que classifica as páginas em uma
pesquisa no Google.
Nesse capítulo veremos alguns aspectos da álgebra matricial. Matrizes de
mesmo tamanho podem ser somadas ou subtraídas: soma-se ou subtrai-se cada
elemento individualmente. A regra que se aplica à multiplicação matricial é
3
4 Introdução à Álgebra Linear
diferente: multiplica-se duas matrizes somente quando o número de colunas da
primeira é igual ao número de linhas da segunda. No capítulo seguinte, veremos
como as matrizes podem ser utilizadas na resolução de sistemas de equações
lineares.
1.1 Definição
Uma matriz A é uma tabela demn números dispostos emm linhas (horizontais)
e n colunas (verticais).
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn

Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n
(escreve-se m× n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Exemplo 1. A matriz
A =
1 2 3
4 5 6

é uma matriz do tipo 2× 3.
Cada um dos símbolos que aparece em uma matriz é chamado de elemento
ou entrada da matriz. Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha
e na j-ésima coluna é chamado de elemento ij ou (i, j)-ésimo elemento de A.
Ele é escrito como aij ou A[i, j]. No exemplo anterior, o elemento a12 é 2, o
número que aparece na primeira linha e segunda coluna do quadro.
Dizemos que duas matrizes A e B são iguais se elas têm o mesmo tamanho
e os elementos correspondentes são iguais, ou seja, se A e B são ambas m× n
e aij = bij para todos os valores de i e j.
Três tipos de matrizes recebem nomes especiais:
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• Matriz linha ou vetor linha: matriz do tipo 1× n, ou seja, uma matriz
que possui uma única linha.
Exemplo 2. A matriz 1× 3
[
3 7 2
]
é uma matriz linha.
• Matriz coluna ou vetor coluna: matriz do tipo n × 1, ou seja, uma
matriz que possui uma única coluna.
Exemplo 3. A matriz 3× 1 
4
1
8

é uma matriz coluna.
• Matriz quadrada: matriz do tipo n× n, ou seja, uma matriz que tem o
mesmo número de linhas e colunas.
Exemplo 4. A matriz 3× 3

9 13 5
1 11 7
2 6 3

é uma matriz quadrada.
Exemplo 5. Considere as seguintes matrizes:
A =
1 2
3 4
 , B =

−1 2
1 3
0 1
 , C = [1 2 4 0] , D =
1
3
 ,
6 Introdução à Álgebra Linear
E =
[−2] , F =

1 2 4 −1 0
0 3 −1 4 −5
7 −3 1 4 −4
2 1 −1 0 5
−5 1 2 0 1

.
A é uma matriz quadrada 2× 2, B é uma matriz 3× 2, C é uma matriz linha
1 × 4, D é uma matriz coluna 2 × 1, E é uma matriz quadrada 1 × 1 e F é
uma matriz quadrada 5× 5. Exemplos de elementos dessas matrizes: a12 = 2,
b32 = 1, c13 = 4, d21 = 3, e11 = −2, f54 = 0.
1.2 Operações envolvendo matrizes
1.2.1 Multiplicação de um número real por uma matriz
A multiplicação de um número real por uma matriz é a operação matricial mais
simples que podemos definir. Para multiplicar um número real k por uma matriz
A do tipo n × m, basta multiplicar cada elemento aij de A por k. Assim, a
matriz resultante B será também n×m e bij = k · aij.
Pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número:
basta multiplicá-la pelo inverso desse número.
Exemplo 6. Dada a matriz
A =
1 8 −3
4 −2 5
 ,
ao multiplicá-la pelo escalar 2 obtemos
2A = 2
1 8 −3
4 −2 5
 =
2× 1 2× 8 2× (−3)
2× 4 2× (−2) 2× 5
 =
2 16 −6
8 −4 10
 .
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1.2.2 Adição e subtração entre matrizes
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo m × n, sua soma A + B é a matriz
m× n computada adicionando os elementos correspondentes:
(A+B)[i, j] = A[i, j] +B[i, j].
Exemplo 7. Considere as matrizes
A =

1 3
1 0
1 2
 e B =

0 0
7 5
2 1
 .
Sua soma é obtida da seguinte maneira:
A+B =

1 3
1 0
1 2
 +

0 0
7 5
2 1
 =

1 + 0 3 + 0
1 + 7 0 + 5
1 + 2 2 + 1
 =

1 3
8 5
3 3
 .
Exemplo 8. Considere as matrizes
A =

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
 e

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
 .
Sua soma é obtida da seguinte forma:

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
 +

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
 =

3 + 1 −1 + 0 2 + 4
1 + 2 1− 5 2 + 0
3− 2 2 + 1 2− 1
 =

4 −1 6
3 −4 2
1 3 1
 .
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo m× n, sua subtração A− B é a
matriz m× n computada subtraindo os elementos correspondentes:
(A−B)[i, j] = A[i, j]−B[i, j].
8 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 9. Considere as matrizes
A =

1 3
1 0
1 2
 e B =

0 0
7 5
2 1
 .
Sua subtração é obtida da seguinte maneira:
A−B =

1 3
1 0
1 2
−

0 0
7 5
2 1
 =

1− 0 3− 0
1− 7 0− 5
1− 2 2− 1
 =

1 3
−6 −5
−1 1
 .
Exemplo 10. Considere as matrizes
A =

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
 e

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
 .
Sua subtração é obtida da seguinte forma:

3 −1 2
1 1 2
3 2 2
−

1 0 4
2 −5 0
−2 1 −1
 =

3− 1 −1− 0 2− 4
1− 2 1− (−5) 2− 0
3− (−2) 2− 1 2− (−1)
 =

2 −1 −2
−1 6 2
5 1 3
 .
Observação 1. As operações A−B e A+ (−1)B resultam na mesma matriz.
1.2.3 Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas
da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A
é uma matriz m×n e B é uma matriz n× p, então seu produto AB é a matriz
m× p (m linhas e p colunas) dada por:
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(AB)[i, j] = A[i, 1]B[1, j]+A[i, 2]B[2, j]+...+A[i, n]B[n, j] =
∑
k
A[i, k]B[k, j]
para cada par i e j.
A expressão acima pode parecer complicada, mas na prática o cálculo do ele-
mento (AB)[i, j] é bastante simples. Ele é obtido multiplicando-se os elementos
da linha i de A pelos elementos correspondentes da coluna j de B e somando
os resultados.
Exemplo 11. Dadas a matriz 2× 3
A =
 1 0 2−1 3 1

e a matriz 3× 2
B =

3 1
2 1
1 0

seu produto AB é calculado da seguinte forma
 1 0 2−1 3 1
×

3 1
2 1
1 0
 =
 (1× 3 + 0× 2 + 2× 1) (1× 1 + 0× 1 + 2× 0)
(−1× 3 + 3× 2 + 1× 1) (−1× 1 + 3× 1 + 1× 0)
 =
5 1
4 2
 .
Nesse caso também podemos calcular o produto BA:
3 1
2 1
1 0
×
 1 0 2−1 3 1
 =

(3× 1 + 1× (−1) 3× 0 + 1× 3 3× 2 + 1× 1
2× 1 + 1× 3 2× 0 + 1× 3 2× 2 + 1× 1
1× 1 + 0× (−1) 1× 0 + 0× 3 1× 2 + 0× 1

=

2 3 7
5 3 5
1 0 2
 .
10 Introdução à Álgebra Linear
Note que no exemplo acima AB 6= BA, já que a primeira é uma matriz
2× 2 enquanto a segunda é uma matriz3× 3. Isso mostra que a multiplicação
de matrizes não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores altera o valor do
produto. Em alguns casos, pode ser possível calcular AB, mas o produto BA
pode nem estar definido.
Exemplo 12. Dadas a matriz 1× 3
A =
[
1 0 2
]
e a matriz 3× 2
B =

3 1
2 1
1 0

seu produto AB é calculado da seguinte forma
[
1 0 2
]×

3 1
2 1
1 0
 = [(1× 3 + 0× 2 + 2× 1) (1× 1 + 0× 1 + 2× 0)] = [5 1] .
Nesse caso NÃO podemos calcular o produto BA, já que uma matriz 3× 2
não pode ser multiplicada por uma matriz 1× 3.
Observação 2. Não se define adição ou subtração de um número com uma
matriz, nem divisões envolvendo matrizes.
Teorema 1. Sejam α e β constantes reais e A e B matrizes de tamanho apro-
priado. As operaçõs matriciais satisfazem as seguintes propriedades:
1. Comutatividade da soma: A+B = B + A;
2. Associatividade da soma: A+ (B + C) = (A+B) + C;
3. Associatividade da multiplicação por constante: α (βA) = (αβ)A;
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4. Distributividade da multiplicação por constante: (α+ β)A = αA+
βA;
5. Distributividade da multiplicação por constante: α(A+B) = αA+
αB;
6. Associatividade do produto: (AB)C = A(BC);
7. Distributividade do produto de matrizes: A(B + C) = AB + BC e
(A+B)C = AC +BC;
8. Associatividade do produto: α(AB) = (αA)B = A(αB).
Exercício 1. Prove a validade das propriedades acima.
1.2.4 Transposição
A matriz transposta de uma matriz A do tipom×n é a matriz AT do tipo n×m
que se obtém trocando as linhas pelas colunas de A, ou seja, AT [i, j] = A[j, i].
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n... ... . . . ...
am1 am2 . . . am,n
⇔ A
T =

a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2... ... . . . ...
a1n a2n . . . amn
 .
Exemplo 13. 1. Se A =
[
1 2
]
, então AT =
1
2
 .
2. Se A =
1 2
3 4
 então AT =
1 3
2 4
 .
Proposição 1. Seja c uma constante real e A e B matrizes de tamanho ade-
quado. As seguintes propriedades são válidas:
12 Introdução à Álgebra Linear
1.
(
AT
)T = A;
2. (A+B)T = AT +BT ;
3. (cA)T = cAT ;
4. (AB)T = BTAT .
Demonstração.
1.
(
AT
)T [i, j] = AT [j, i] = A[i, j];
2.
(A+B)T [i, j] = (A+B)[j, i]
= A[j, i] +B[j, i]
= AT [i, j] +BT [i, j]
= (AT +BT )[i, j];
.
3. (cA)T [i, j] = (cA)[j, i] = c× A[j, i] = c× AT [i, j];
4. (AB)T [i, j] = AB[j, i] = ∑k ajkbki = ∑k bkiajk = BTAT [i, j].
Exercício 2. Dadas as matrizes
A =
2 −1
4 −2
 e B =
 5 10
15 0

calcule A+B, 2A− 3B, 12A+ 5B.
Exercício 3. Utilizando as matrizes do exercício 2, calcule AB e BA (utilize
um computador para realizar as contas). Conclua que o produto de matrizes
não é comutativo.
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Exercício 4. ?? Seja
C =
 3 0−1 2
 .
1. Utilizando as matrizes A e B do exercício 2, calcule (A+ B) + C e A+
(B+C) (efetue primeiro a operação que está entre parênteses. Utilize um
computador para realizar as contas). As duas matrizes obtidas são iguais?
Esse resultado ilustra a propriedade associativa da soma de matrizes.
2. Calcule (AB)C e A(BC) (utilize um computador para realizar as contas).
As duas matrizes obtidas são iguais? O resultado ilustra a propriedade
associativa do produto de matrizes.
Exercício 5. Seja
I =
1 0
0 1
 .
Utilizando as matrizes dos exercícios 2 e ??, calcule AI, IA, BI, IB, CI,
IC (utilize um computador para realizar as contas). Você percebe alguma
propriedade interessante ao calcular esses produtos? A matriz I é chamada
matriz identidade. Veremos algumas propriedades dessa matriz na subseção
1.3.4.
Exercício 6. Entre as matrizes abaixo, quais podem ser somadas e quais podem
ser multiplicadas? Justifique. Em caso afirmativo, calcule a soma ou o produto.
1. X =
0 1
4 −2
 , Y =
2 −1 9
4 7− 2 8
 ;
2. X =

2 10 1
4 3 −2
3 4 1
 , Y =
2 −1 9
4 −2 8
 ;
3. X =
0 1 3
4 −2 2
 , Y =
2 −1 9
4 −2 8
 ;
14 Introdução à Álgebra Linear
4. X =
0 1 3
4 −2 2
 , Y =

2 −1 9
4 −2 8
−1 0 1
 .
Exercício 7. Suponha que A e B são matrizes 3 × 3. Verifique quais das
afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. Se uma afirmativa for
falsa, mostre um contra-exemplo.
1. Se as colunas 1 e 3 de B são iguais, então as colunas 1 e 3 de AB também
são;
2. Se as linhas 1 e 3 de B são iguais, então as linhas 1 e 3 de AB também
são;
3. Se as linhas 1 e 3 de A são iguais, então as linhas 1 e 3 de AB também
são.
Exercício 8. Seja
A =
 2 x2
2x− 1 2
 .
Se A = AT , encontre o valor de x.
Exercício 9. Verique se as armativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando
uma armativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira.
1. (−A)T = −(AT );
2. (A+B)T = BT + AT ;
3. (−A)(−B) = −(AB);
4. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada;
5. Se AB e BA são definidos, então A e B são matrizes quadradas;
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6. Se AB = B então A = I;
7. (AB)2 = A2B2;
8. (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
1.3 Algumas matrizes especiais
1.3.1 Matrizes Diagonais
A diagonal principal de uma matriz quadrada corresponde aos elementos aij com
i = j. 
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
an1 an2 · · · ann

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos exteriores à
diagonal principal são nulos.
Exemplo 14. As matrizes
1 0
0 1
 ,

0 0 0
0 2 0
0 0 3
 ,

3 0 0
0 1 0
0 0 5
 ,

0 0 0
0 0 0
0 0 0

são matrizes diagonais. Observe que a definição de uma matriz diagonal permite
que o elementos que pertencem à diagonal principal de uma matriz diagonal
sejam nulos.
Várias operações matriciais preservam a forma de matrizes diagonais:
• O produto de um escalar por uma matriz diagonal é uma matriz diagonal;
16 Introdução à Álgebra Linear
• A soma de duas matrizes diagonais é uma matriz diagonal;
• O produto de duas matrizes diagonais é uma matriz diagonal.
1.3.2 Matrizes triangulares
Uma matriz quadrada é chamada triangular quando os elementos acima ou
abaixo da diagonal principal são zero. Mais especificamente, uma matriz trian-
gular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são
nulos, ou seja, aij = 0 sempre que i > j; uma matriz triangular inferior é aquela
em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, aij = 0
sempre que i < j.
Várias operações matriciais preservam a forma de matrizes triangulares:
• O produto de uma matriz triangular superior por uma constante é uma
matriz triangular superior;
• A soma de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular
superior;
• O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular
superior.
Analogamente, temos que:
• O produto de uma matriz triangular inferior por uma constante é uma
matriz triangular inferior;
• A soma de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular
inferior;
• O produto de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular
inferior.
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Exemplo 15. A matriz
A =

1 4 2
0 3 4
0 0 1

é uma matriz triangular superior e a matriz
B =

1 0 0
2 8 0
4 9 7

é uma matriz triangular inferior.
Exercício 10. Mostre que se uma matriz é triangular superior e inferior simul-
taneamente, então ela é uma matriz diagonal.
1.3.3 Matrizes Nulas
A matriz nula 0m,n é a matriz m× n com todos os elementos iguais a zero.
Exemplo 16. As matrizes
01,1 =
[
0
]
, 02,2 =
0 0
0 0
 , 02,3 =
0 0 0
0 0 0

são matrizes nulas.
Em geral, a matriz nula m× n tem a forma
0m,n =

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · 0
 .
A matriznula m × n é o elemento neutro para a soma das matrizes de
tamanho m×n, ou seja, para toda matriz A do tipo m×n valem as igualdades
A+ 0m,n = 0m,n + A = A.
18 Introdução à Álgebra Linear
Em geral, o tamanho da matriz fica claro do contexto e escrevemos apenas
0 para denotar a matriz nula. Fiquem sempre atentos para não confundir com
o número 0 ou as diferentes matrizes nulas entre si. Sempre que aparecer o
símbolo 0, ele representará a matriz nula de tamanho adequado.
1.3.4 Matrizes Identidade
A matriz identidade n× n é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal
são todos iguais a 1. é denotada por In ou simplesmente I, quando o tamanho
da matriz for claro do contexto. A matriz identidade In tem a seguinte forma:
In =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · 1

A matriz In é o elemento neutro da multiplicação de matrizes n× n. Mais
precisamente, para qualquer matriz A do tipo n×n, as seguintes igualdades são
válidas:
AIn = InA = A.
1.3.5 Matrizes Simétricas
Uma matriz é chamada simétrica se A = AT . Como duas matrizes são iguais
somente se as dimensões são iguais, uma matriz só é simétrica se ela é quadrada.
Proposição 2. Toda matriz simétrica é uma matriz quadrada.
Demonstração. Seja A uma matriz m×n. Sabemos que a transposição inverte
as linhas e as colunas da matriz, AT é uma matriz n×m. Se A é uma matriz
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simétrica, A = AT e como duas matrizes são iguais somente se as dimenões são
iguais, temos que m = n.
As entradas de uma matriz simétrica são simétricas em relação à diagonal
principal.
Proposição 3. Se A é uma matriz simétrica, então aij = aji.
Demonstração. Primeiramente notamos que se B = AT então bij = aji,
uma vez que a transposição troca as linhas e colunas de A. Da igualdade
A = AT = B segue que aij = bij = aji e o resultado está provado.
Exemplo 17. A matriz 
1 7 3
7 4 −5
3 −5 6

é uma matriz simétrica.
1.3.6 Matrizes Anti-simétricas
Uma matriz é chamada anti-simétrica se A = −AT . Como duas matrizes são
iguais somente se as dimensões são iguais, uma matriz só é anti-simétrica se ela
é quadrada.
Exercício 11. Utilize um argumento semelhante ao utilizado na proposição 2
para mostrar que toda matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada.
Exercício 12. Utilize um argumento semelhante ao utilizado na proposição 3
para mostrar que se A é uma matriz anti-simétrica, então aij = −aji.
Exemplo 18. A matriz 
0 2 −1
−2 0 −4
1 4 0

20 Introdução à Álgebra Linear
é uma matriz anti-simétrica.
1.3.7 Matrizes Idempotentes
Uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma,
resulta em si mesma, isto é, AA = A.
Exercício 13. Mostre que se o produto AA é possível, A deve necessariamente
ser uma matriz quadrada.
Exercício 14. Mostre que as matrizes
1 0
0 1
 e

2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3

são idempotentes.
Exercício 15. Mostre que uma matriz 2× 2 que pode ser escrita na formaa b
c 1− a

com a2 + bc = a, em que a, b e c são números reais quaisquer, é idempotente.
1.3.8 Matrizes Nilpotentes
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se uma matriz nilpotente se existir um
número natural k tal que Ak = 0, onde 0 representa a matriz nula de tamanho
adequado. O menor número natural tal que Ak = 0, é chamado índice de
nilpotência da matriz A.
Exercício 16. 1. Mostre que a matriz nula
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Prof. Bárbara Amaral - UFOP 21
é uma matriz nilpotente;
2. Mostre que a matriz 
0 a 0
0 0 a
0 0 0
 , a 6= 0
é nilpotente. Encontre seu índice de nilpotência.
3. Mostre que a matriz 
0 0 0
a 0 0
a a 0
 , a 6= 0
é nilpotente. Encontre seu índice de nilpotência.
Exercício 17. Quais são os valores de a para os quais a matriz

a 0 0
0 a 0
0 0 a

é nilpotente?
1.4 Utilizando o Matlab
Vamos descrever aqui alguns comandos simples que podem ser usados para a
manipulação de matrizes. Outros comandos serão introduzidos ao longo do
curso a medida que forem necessários.
• A=[a11 a12 ...a1n; a21 a22 ... a2n; ... ; am1 am2 amn] cria uma
matriz m× n usando os elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa
matriz de nome A.
22 Introdução à Álgebra Linear
Por exemplo, o comando A=[1 2; 4 5] cria a matriz
A =
1 2
4 5

• O Matlab possui um comando especial para criar uma matriz identidade.
O comando I=eye(n) cria a matriz identidade n × n e a armazena na
matriz I.
• Existe também um comando especial para matrizes nulas. O comando
O=zeros(n) cria a matriz nula quadrada n×n e o comando O=zeros(m,n)
cria a matriz nula m× n e a armazena na matriz de nome 0.
• O comando k*A calcula o produto do número previamente definida k pela
matriz previamente definida A.
• A soma de matrizes pode ser facilmente realizada com o comando A+B,
que calcula a soma das matrizes previamente definidas A e B.
• De maneira análoga, o comando A−B calcula a diferença das matrizes A
e B.
• O produto de matrizes é feito através do comando A*B, que calcula o
produto de duas matrizes previamente definidas A e B.
• O comando A.' calcula a transposta da matriz previamente definida A.
• O comando A^k calcula o produto da matriz A por ela mesma k vezes.
• O comando
O Matlab é mais adequado para fazer cálculos com números. Outros softwa-
res são mais indicados para fazer cálculos com “ letras”, isto é, com variáveis
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 23
simbólicas. Ainda assim, o Matlab oferece a possibilidade de cálculos simbó-
licos. O comando syms x y z diz ao MATLAB que as variáveis x, y e z são
simbólicas.
Utilizando os comando introduzidos acima, resolva os problemas abaixo.
Exercício 18. Utilize o MATLAB para conferir as respostas dos exercícios nú-
mericos enunciados anteriormente.
Exercício 19. Utilize o MATLAB para calcular a transposta da matriz F do
exemplo 1. Calcule o produto dessa transposta pela própria matriz F .
Exercício 20. Utilize o MATLAB para encontrar o menor valor natural de k
para o qual Ak = I, em que
A =

0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
 .
Exercício 21. Utilize o MATLAB para encontrar o menor valor natural de k
para o qual Ak = 0, em que
A =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
 .
2
Sistemas Lineares
A teoria de sistemas lineares é uma parte fundamental da álgebra linear, um tema
que é usado na maior parte da matemática moderna, pura ou aplicada. Podemos
encontrar várias áreas onde a utilização de sistemas lineares é fundamental, entre
elas a física, a quÃŋmica, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a
navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e a astronomia.
Algoritmos computacionais também são importantes para quem utiliza si-
temas lineares, uma vez que na grande maioria das aplicações os sistemas que
devem ser resolvidos são enormes, o que inviabiliza qualquer tentativa de solução
analítica. A utilização de sistemas cada vez maiores faz com que a busca por
métodos mais eficientes e rápidos de soluções dos sistemas.
Além da importância intrínseca dos sistemas lineares, em algumas situações
Ãľ possível substituir ou aproximar um sistema de equações não-lineares de um
sistema linear, uma técnica útil em modelagem matemática ou simulação com-
putacional de sistemas complexos.
25
26 Introdução à Álgebra Linear
2.1 Equações Lineares
Dizemos que uma equação envolvendo as variáveis x1, . . . xn é uma equação
linear se nela aparecem apenas somas dessas variáveis multiplicadas por números
reais, isto é, se ela pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b.
Observação 3. Em uma equação linear não podem aparecer potências das va-
riáveis com expoentes diferentes de 1, ou seja, não podem aparecer termos da
forma x2i , x3i , etc. Também não podem aparecer funções envolvendo as variáveis,como por exemplo cos, sen, exp, log, etc.
Exemplo 19. 1. A equação x1 + 2x2 − 4x3 − x4 = 1 é uma equação linear
envolvendo as variáveis x1, x2, x3 e x4;
2. A equação x21+2x2−4x33−x4 = 1 não é uma equação linear pois aparecem
as potências x21 e x33;
3. A equação cos(x1) + 2x2 − 4x3 − sen(x4) = 1 não é uma equação linear
pois aparecem os termos cos(x1) e sen(x4);
4. A equação x1+2x2−4x3−x4 = cos(1) é uma equação linear. Observe que
a função cos que a aprece na equação não está sendo aplicada a nenhuma
das variáveis: cos(1) é um número real como qualquer outro.
2.2 Sistemas de Equações Lineares
Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto
finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto finito de variáveis.
Por exemplo,
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 27

3x + 2y − z = 1
2x − 2y + 4z = −2
−x + 12y − z = 0
é um sistema de três equações com três variáveis (x, y e z). Uma solução
para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis que satisfaz
simultaneamente todas as equações do sistema. Uma solução para o sistema
acima é dada por

x = 1
y = −2
z = −2
já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A
palavra "sistema"indica que as equações devem ser consideradas em conjunto,
e não de forma individual, ou seja, procuramos por valores das variáveis que
satisfaçam, simultaneamente, todas as equações do sistema.
De maneira geral, um sistema linear com m equações lineares e n incógnitas
pode ser escrito na forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
onde x1, x2, . . . , xn são as incógnitas, a11, a12, . . . , amn são os coeficientes do
sistema e b1, b2, . . . , bm são termos constantes.
Muitas vezes, os coeficientes e as incógnitas são números reais ou comple-
xos, mas pode-se encontrar também números inteiros e racionais ou elementos
de uma estrutura algébrica abstrata. Nesse curso trabalharemos apenas com
sistemas lineares com coeficientes e incógnitas reais.
Em geral, as incógnitas representam propriedades de um determinado pro-
blema real, que devem satisfazer certas condições representadas pelas equações
28 Introdução à Álgebra Linear
do sistema. Encontrar soluções para o sistema é fundamental para o estudo
do problema real em questão. Nesse capítulo veremos algumas estratégias para
encontrar essas soluções. Veremos mais adiante alguns exemplos de problemas
reais que podem ser modelados através de sistemas lineares.
2.2.1 Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma
das equações, obtendo uma igualdade com um polinômio que depende apenas
das outras incógnitas. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra
das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.
Exemplo 20. Vamos ilustrar esse método resolvendo um exemplo simples:
 2x + 3y = 64x + 9y = 15.
Em primeiro lugar, resolvemos a equação superior para x em termos de y:
x = 3− 32y.
Em seguida, substituímos expressão para x na equação inferior:
4
(
3− 32y
)
+ 9y = 15.
Isto resulta numa única equação envolvendo apenas a variável y. Resolvendo
essa equação obtemos y = 1, e voltando à equação anterior e substituindo y
por seu valor (isto é, 1), vem que x = 3/2.
Este método se generaliza para sistemas com variáveis adicionais. Vamos
resolver o sistema
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 29
Exemplo 21. 
x + 2y − z = 1
y + z = 2
x + 3y = 0
utilizando o mesmo método.
Vamos começar isolando as variáveis x e z em função de y, utilisando as
duas equações de baixo que são mais simples. Assim temos
x = −3y, z = 2− y.
Substituindo na primeira equação temos
−3y + 2y − (2− y) = 1⇒ −2 = 1
obtemos então uma contradição, o que implica que o sistema acima não possui
solução. Isso acontece porque as três equações, consideradas conjuntamente,
são contraditórias. Vejamos porquê.
Se supomos que as duas primeiras equações são verdadeiras, temos que
 x + 2y − z = 1y + z = 2.
Temos então que
(x+ 2y − z) + (y + z) = 1 + 2⇒ x+ 3y = 3
o que contradiz a terceira equação, que exige que x+ 3y = 0.
Exemplo 22. Vamos resolver agora o sistema
 x + y − z = 1x − 2y + z = 0
30 Introdução à Álgebra Linear
Utilizando a segunda equação e isolando x, temos x = 2y− z. Substituindo
na segunda equação temos
(2y − z) + y − z = 1⇒ 3y − 2z = 1⇒ y = 1 + 2z3 .
Substituindo na equação para x temos
x = 2 + 4z3 − z =
2 + z
3 .
Como não há mais equações que podem ser utilizadas, não há nenhuma restrição
que possa ser feita ao valor de z. Logo, a incógnita z pode assumir qualquer
valor real. Assim, vemos que o sistema admite infinitas soluções, uma para cada
valor especificado de z. Essas soluções podem ser agrupadas na forma
x = 2 + z3 , y =
2 + 4z
3 , z ∈ R.
No exemplo 20, vemos um sistema que possui uma única solução; no exemplo
21, vemos um sistema que não possui solução e no exemplo 22, um sistema
que possui infinitas soluções. Veremos mais adiante que essas são as únicas
possibilidades.
O método de substituição funciona para qualquer sistema, para qualquer
número de equações e de incógnitas. No entanto, ele se torna extremamente
trabalhoso quando o número de incógnitas passa de três. Além disso, ele não
é adequado para implementações computacionais. Na próxima seção veremos
como reescrever um sistema utilizando notação matricial e como utilizar as ma-
trizes envolvidas para desenvolver um método mais eficiente para a solução do
sistema.
Exercício 22. Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de substituição:
1.
 x + 3y = 42x + y = 1;
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 31
2.

x + y − z = 3
x + 3y − 5z = 10
x + 4y − 3z = 5.
2.3 Notação matricial de sistemas lineares
Dado o sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(2.1)
considere as matrizes
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 , X =

x1
x2...
xn
 , B =

b1
b2...
bm
 .
Observe que A é uma matriz m× n, X é uma matriz coluna com n elementos
e B é uma matriz coluna com m elementos, em que m é o número de equações
e n o número de incógnitas.
Com essas definições, o sistema linear se torna equivalente à equação matri-
cial
AX = B. (2.2)
De fato, ao efetuar o produto no lado esquerdo da equação, temos
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
 =

b1
b2...
bm
 .
32 Introdução à Álgebra Linear
A igualdade matricial acima se verifica se, e somente se, o sistema (2.1) é
satisfeito.
A partir de agora, trabalharemos com a equação matricial AX = B. O
objetivo é encontrar a matriz de incógnitas X. Quanto mais simples for a
matriz A, mais fácil será encontrar X.
Exemplo 23. Resolva os sistema AX = B em que
A =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 e B =

1
−1
2
 .
Solução. Ao efetuar o produto no lado esquerdo da equação matricial AX = B
obtemos 
1 0 0
0 1 0
0 0 1


x1
x2
x3
 =

x1
x2
x3
 =

1
−1
2

o que implica que x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2.
No exemplo anterior, a resolução da equação matricial pode ser feita de
forma trivial. Nem sempre é esse o caso. Vamos agora descrever um método que
pode ser utilizado para resolver qualquer equação matricial da forma (2.2). Esse
método consite, essencialmente, em aplicar à equação operações que simplificam
a forma da matriz A sem alterar o conjunto de soluções do sistema. O objetivo
final é obter uma matriz o mais parecida possível coma matriz do exemplo 23.
2.4 Método de eliminação de Gauss
O método de eliminação de Gauss (também conhecido como método do es-
calonamento) é um importante algoritmo para resolver sistemas de equações
lineares. Esse algoritmo consiste da aplicação de uma sequência de operações
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 33
realizadas sobre a matriz associada ao sistema, afim de transformá-lo num sis-
tema de mais fácil resolução que possui as mesmas soluções que o original. Este
método também pode ser utilizado para vários outros objetivos, como veremos
melhor mais adiante. O método recebeu o nome do matemático Carl Friedrich
Gauss (1777-1855), apesar de já ser conhecido por matemáticos chineses já em
179 dC.
As operações que podem ser utilizadas para simplificar o sistema sem alterar
seu conjunto de soluções são chamadas operações elementares. São elas:
1. Trocar duas equações de lugar;
2. Multiplicar uma equação por um número qualquer diferente de 0;
3. Substituir uma equação pela sua soma com um múltiplo de outra equação.
Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema
linear, somente os coeficientes do sistema são alterados, assim podemos aplicar
as operações sobre a matriz de coeficientes do sistema
a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2... ... . . . ... | ...
am1 am2 · · · amn | bm

que chamamos de matriz aumentada do sistema.
Exercício 23. Encontre a matriz aumentada dos sitemas abaixo:
1.

2x + 3y − z = 1
5x + y + 10z = 2
x − y + z = 3.
2.

x + 2y − z + w = 3
2x + 3y − 5z + 2w = 10
x + 4y − 3z + 4w = 5.
34 Introdução à Álgebra Linear
3.
 x + 3y − 2z = 42x + y − z = 1.
O resultado das operações elementares sobre a matriz aumentada são:
1. Trocar duas linhas da matriz [A|B];
Exemplo 24. Troca da primeira com a terceira linha:

1 2 3
4 5 6 2
7 8 9 3

←−
←−
⇒

7 8 9
4 5 6
1 2 3
 .
2. Multiplicar uma linha da matriz [A|B] por um número qualquer diferente
de 0;
Exemplo 25. Multiplicação da segunda linha por 2:

1 2 3
4 5 6
7 8 9
 | 2 ⇒

1 2 3
8 10 12
7 8 9
 .
3. Substituir uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra linha da
matriz [A|B].
Exemplo 26. Somar à terceira linha −1 vezes a segunda linha:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

←−
× (−1)
+
⇒

1 2 3
4 5 6
3 3 3
 .
Toda operação elementar possui uma operação elementar inversa, isto é,
uma operação elementar que disfaz o que a primeira fez. Se trocamos a linha
k pela linha l, a operação elementar inversa é trocar novamente a linha k pela
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 35
linha l. Se multiplicamos uma linha por um número α 6= 0, a operação elementar
inversa é multiplicar a mesma linha por 1α . Se somamos um múltiplo de uma linha
à outra, a operação elementar inversa é subtrair dessa mesma linha o mesmo
múltiplo da linha que somamos.
Teorema 2. Se dois sistemas linearesAX = B e CX = D, são tais que a matriz
aumentada [C|D] ÌĄé obtida de [A|B] aplicando-se uma operação elementar,
então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.
Demonstração. A demonstração deste teorema segue de duas observações:
1. Se X é solução de um sistema, então X também é solução do sistema
obtido aplicando-se uma operação elementar sobre suas equações. É claro
que alterar a ordem de duas equação não altera a solução; multiplicar
ambos os lados de uma equação pelo mesmo número não nulo também não
altera a validade da equação; finalmente, se duas equações são satisfeitas,
a soma delas também será.
Isso mostra que toda solução de [A|B] é também solução de [C|D].
2. Se o sistema CX = D é obtido de AX = B aplicando-se uma operação
elementar, então o sistema AX = B também pode ser obtido de CX = D
aplicando-se uma operação elementar às suas equações, pois cada opera-
ção elementar possui uma operação elementar inversa do mesmo tipo,
como comentado anteriormente.
Essa afirmação combinada com a observação 1 mostra que qualquer solução
de [C|D] é também solução de [A|B]. Podemos concluir que ambos os sistemas
possuem exatamente as mesmas soluções.
36 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 27. Vamos resolver o sistema linear

x + − z = 1
x + 2y + z = −1
3x + y = 0
utilizando operações elementares.
Solução. Primeiramente, escrevemos a matriz aumentada do sistema

1 0 −1 | 1
1 2 1 | −1
3 1 0 | 0
 .
Vamos aplicar agora uma série de operações elementares com o objetivo de sim-
plificar ao máximo a matrix A que está do lado esquerdo da matriz aumentada.
O objetivo é deixar apenas um elemento não nulo em cada coluna. Veremos ao
final desse exemplo que quando isso acontece a resolução do sistema é trivial.
Vamos começar com a primeira coluna. Na primeira linha aparece o ele-
mento a11 = 1. Ele será o único elemento não nulo da primeira coluna ao final
do processo. Devemos agora zerar os outros elementos da primeira coluna. Para
zerar o elemento a21, multiplicamos a primeira linha por −1 e somamos à se-
gunda linha. Para zerar o elemento a31 multiplicamos a primeira linha por −3 e
somamos à terceira linha.

1 0 −1 | 1
1 2 1 | −1
3 1 0 | 0
 ←−
× (−1)
+ ⇒

1 0 −1 | 1
0 2 2 | −2
3 1 0 | 0

←−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 | 1
0 2 2 | −2
0 1 3 | −3
 .
Com essas operações, levamos a primeira coluna ao formato desejado. Vamos
agora trabalhar com a segunda coluna. O primeiro elemento da segunda coluna
é igual a zero. Vamos então trabalhar com o elemento a22. Para facilitar os
cálculos, vamos dividir a segunda linha por 2 para que a22 seja igual a 1.
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 37

1 0 −1 | 1
0 2 2 | −2
0 1 3 | −3
 | 12 ⇒

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 1 3 | −3
 .
Vamos agora zerar o elemento a32 para que a22 seja o único elemento não
nulo nessa coluna. Para isso, multiplicamos a linha 2 por −1 e somamos à linha
3.

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 1 3 | −3

←−
× (−1)
+
⇒

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 2 | −2
 .
Observe que as operações realizadas para simplificar a segunda coluna NÃO
alteraram a primeira coluna. Essa propriedade é crucial para o funcionamento
do método.
Para simplificar as contas, dividimos a terceira coluna por 2.

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 2 | −2

| 12
⇒

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 1 | −1
 .
Vamos agora zerar os elementos a13 e a23 para que o elemento a33 seja o
único elemento não nulo da terceira coluna. Para isso somamos a terceira linha
à primeira e em seguida multiplicamos a terceira linha por −1 e somamos à
segunda.

1 0 −1 | 1
0 1 1 | −1
0 0 1 | −1
 ←−
×−1
+
←−−−−−
× (−1)
+
⇒

1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | −1
 .
A matriz acima não pode ser mais simplificada através de operações ele-
mentares. Quando chegamos a esse ponto transformamos a matriz aumentada
novamente em um sistema. Nesse caso temos
38 Introdução à Álgebra Linear

x + 0× y + 0× z = 0
0× x + y + 0× z = 0
0× x + 0× y + z = −1
cuja solução única é, obviamente, x = 0, y = 0 e z = −1.
Nem sempre é possível levar a matriz de coeficientes do sistema a uma forma
análoga à do exemplo anterior. A forma mais simples que podemos obter através
de operações elementares é chamada forma escalonada reduzida da matriz.
Definição 1. Dada uma matriz A, chamamos de pivô de uma linha i de A o
primeiro elemento não nulo dessa linha.
Definição 2. Dizemos que uma matriz está na sua forma escalonada reduzida
quando ela satisfaz as seguintes condições:
1. Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de
zeros;
2. O pivô de cada linha é igual a 1 e está numa coluna à direita do pivô da
linha acima;
3. Todos os elementos de uma coluna que contém um pivô são zero.
Exemplo 28. Considere as matrizes
A =
0 0
4 5
 ,B =
0 1 0
1 −1 2
 , C =

1 0 2
0 1 −1
0 0 1
 , D =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 , E =

1 0 2
0 1 −1
0 0 0
 .
A matriz A não está na forma escalonada reduzida porque não satisfaz a condição
1. A matriz B não está na forma escalonada reduzida porque não satisfaz
a condição 2. A matriz C não está na forma escalonada reduzida porque não
satisfaz a condição 3. Já as matrizes D e E estão na forma escalonada reduzida,
uma vez que satisfazem todas as condições exigidas.
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 39
Proposição 4. Dada uma matriz qualquer A, é possível levá-la a uma matriz C
na forma escalonada reduzida aplicando operações elementares sobre as linhas de
A. A matriz C é única, ou seja, não depende da ordem ou do tipo de operações
elementares aplicadas à matriz A.
Considere um sistema com matriz de coeficientes [A|B]. Para transformar
esse sistema em outro mais simples que tenha o mesmo conjunto de soluções,
aplicamos operações elementares à matriz de coeficientes [A|B] até que a matriz
A esteja na forma escalonada reduzida.
Exemplo 29. Vamos resolver o sistema linear
x − z = 2
2x − 2y + z = 1
3x − 2y = 4
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:
1 0 −1 | 2
2 −2 1 | 1
3 −2 0 | 4
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 −2 3 | −3
0 −2 3 | −2
 | − 12
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 −2 3 | −2

←−
× 2
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 0 0 | 1
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x − z = 2
y + 3z2 = −32
0× x + 0× y + 0× z = 1
40 Introdução à Álgebra Linear
que é um sistema sem solução, uma vez que a terceira equação implica que
0 = 1, o que obviamente não é uma igualdade verdadeira.
Observe que nesse caso não é necessário completar todo o escalonamento
para ver que o sistema não possui solução. Após a primeira etapa do escalo-
namento a segunda equação equivale a −2x + 3y = −3 enquanto a terceira
equação equivale a −2x + 3y = −2 que claramente não podem ser satisfeitas
simultaneamente.
Exemplo 30. Vamos resolver o sistema linear
x − z = 2
2x − 2y + z = 1
3x − 2y = 3
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:
1 0 −1 | 2
2 −2 1 | 1
3 −2 0 | 3
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 −2 3 | −3
0 −2 3 | −3
 | − 12
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 −2 3 | −3

←−
× 2
+
⇒

1 0 −1 | 2
0 1 32 | −32
0 0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x − z = 2
y + 3z2 = −32
0× x + 0× y + 0× z = 0
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 41
Observe que a última equação se reduz a 0 = 0 e portanto pode ser descartada.
Ficamos então com o sistema
 x − z = 2y + 3z2 = −32
que implica que x = 2 − z e y = −32(1 + z). Como não há outra equação
que possa ser utilizada para determinar o valor de z, essa váriavel pode assumir
qualquer valor real. Logo o sistema possui infinitas soluções, uma para cada
valor real da variável z.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida somando-se as
duas primeiras. Isso quer dizer que a equação não fornece nenhuma informação
adicional sobre as variáveis e portanto pode ser eliminada.
Exemplo 31. Vamos resolver o sistema linear

x − z + w = 2
2x − y + z + 2w = 0
2x − 2y + 5z + w = 3
42 Introdução à Álgebra Linear
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

1 0 −1 1 | 2
2 −1 1 2 | 0
2 −2 5 1 | 3
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−2)
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 −1 3 0 | −4
0 −2 7 −1 | −1
 | − 1
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 −2 7 −1 | −1

←−
× 2
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 0 1 −1 | 7

←−+
←−
× 3
+
⇒

1 0 0 0 | 9
0 1 0 −3 | 25
0 0 1 −1 | 7
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x = 9
y − 3w = 25
z − w = 7
o que implica que x = 9 e y = 25 + 3w e z = 7 + w. Como não há outra
equação que possa ser utilizada para determinar o valor de w, essa váriavel pode
assumir qualquer valor real. Logo o sistema possui infinitas soluções, uma para
cada valor real da variável w.
Exemplo 32. Vamos resolver o sistema linear

x − z + w = 2
2x − y + z + 2w = 0
3x − y + 3w = 3
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 43
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

1 0 −1 1 | 2
2 −1 1 2 | 0
3 −1 0 3 | 3
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 −1 3 0 | −4
0 −1 3 0 | −3
 .
A matriz do lado esquerdo ainda não está na forma escalonada reduzida, mas
nesse estágio já podemos perceber que o sistema não possui solução, uma vez
que a segunda equação implica que −y+ 3z = −4 e a terceira equação implica
que −y + 3z = −3, condições que não podem ser simultaneamente satisfeitas.
Exemplo 33. Vamos resolver o sistema linear

x − z + w = 2
2x − y + z + 2w = 0
3x − y + 3w = 2
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

1 0 −1 1 | 2
2 −1 1 2 | 0
3 −1 0 3 | 2
 ←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 −1 3 0 | −4
0 −1 3 0 | −4
 | − 1
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 −1 3 0 | −4

←−+
⇒

1 0 −1 1 | 2
0 1 −3 0 | 4
0 0 0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x − z + w = 2
y − 3z + = 4
0× x + 0× y + 0× z + 0× w = 0
44 Introdução à Álgebra Linear
Observe que a última equação se reduz a 0 = 0 e portanto pode ser descartada.
Ficamos então com o sistema
 x − z + w = 2y − 3z + = 4
que implica que x = 2 + z − w e y = 4 + 3z. Como não há outra equação que
possa ser utilizada para determinar os valores de z e w, essas váriaveis podem
assumir qualquer valor real. Logo o sistema possui infinitas soluções, uma para
cada par de valores reais de z e w.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida somando-se as
duas primeiras. Isso quer dizer que a equação não fornece nenhuma informação
adicional sobre as variáveis e portanto pode ser eleminada.
Exemplo 34. Vamos resolver o sistema linear

2x + y = 3
x − y = 0
x + 2y = 3
3x + 3y = 6
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 45
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

2 1 | 3
1 −1 | 0
1 2 | 3
3 3 | 6

←−
←− ⇒

1 −1 | 0
2 1 | 3
1 2 | 3
3 3 | 6

←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−1)
+
←−−−−−−−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 −1 | 0
0 3 | 3
0 3 | 3
0 6 | 6

| 13
⇒

1 −1 | 0
0 1 | 1
0 3 | 3
0 6 | 6
 ←−
× (−3)
+
←−−−−−−
× (−6)
+
⇒

1 −1 | 0
0 1 | 1
0 0 | 0
0 0 | 0

←−+
⇒

1 0 | 1
0 1 | 1
0 0 | 0
0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x = 1
y = 1
0× x + 0× y = 0
0× x + 0× y = 0
Observe que as duas últimas equações se reduzem a 0 = 0 e portanto podem
ser descartadas. Já as duas primeiras implicam que x = 1 e y = 1 e portanto o
sistema possui solução única.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida subtraindo a se-
gunda equação da primeira, enquanto a quarta equação pode ser obtida subtraindo-
se a segundaequaÃğÃčo do dobro da primeira. Isso quer dizer que essas equa-
ções não fornecem nenhuma informação adicional sobre as variáveis e portanto
podem ser eleminadas.
46 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 35. Vamos resolver o sistema linear

2x + y = 3
x − y = 0
x + 2y = 2
3x + 3y = 6
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:

2 1 | 3
1 −1 | 0
1 2 | 2
3 3 | 6

←−
←− ⇒

1 −1 | 0
2 1 | 3
1 2 | 2
3 3 | 6

←−
× (−2)
+
←−−−−−−
× (−1)
+
←−−−−−−−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 −1 | 0
0 3 | 3
0 3 | 2
0 6 | 6
 .
A matriz do lado esquerdo ainda não está na forma escalonada reduzida,
mas já podemos perceber que o sistema não possui solução, uma vez que a
segunda equação implica que 3y = 3 enquanto a terceira implica que 3y = 2,
duas condições que nunca podem ser satisfeitas simultaneamente.
Exemplo 36. Vamos resolver o sistema linear

x + y + z = 1
x − y + z = 3
2x + 2z = 4
3x + y + 3z = 5
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 47
Solução. Escrevendo a matriz aumentada do sistema e escalonando temos:
1 1 1 | 1
1 −1 1 | 3
2 0 2 | 4
3 1 3 | 5

←−
× (−1)
+
←−−−−−−
× (−2)
+
←−−−−−−−−−−−−
× (−3)
+
⇒

1 1 1 | 1
0 −2 0 | 2
0 −2 0 | 2
0 −2 0 | 2

| − 12
⇒

1 1 1 | 1
0 1 0 | −1
0 −2 0 | 2
0 −2 0 | 2
 ←−
× 2
+
←−−−−
× 2
+
⇒

1 1 1 | 1
0 1 0 | 1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0

←−
× −(1)
+
⇒

1 0 1 | 2
0 1 0 | 1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
 .
A matriz do lado esquerdo já está na forma escalonada reduzida e portanto
não pode ser simplificada. Transformando novamente a matriz em um sistema
obtemos 
x + z = 2
y = −1
0× x + 0× y + 0× z = 0
0× x + 0× y + 0× z = 0
Observe que as duas últimas equações se reduzem a 0 = 0 e portanto podem
ser descartadas. Já as duas primeiras implicam que x = 2− z e y = −1. Como
não há mais equações para determinar o valor de z, segue que o sistema tem
infinitas soluções, uma para cada valor real de z.
Observe que a terceira equação do sistema inicial é obtida somando-se a
segunda equação com primeira, enquanto a quarta equação pode ser obtida
somando-se à segunda 2 vezes a primeira. Isso quer dizer que essas equações
não fornecem nenhuma informação adicional sobre as variáveis e portanto podem
ser eleminadas.
48 Introdução à Álgebra Linear
Observe dos exemplos acima que um pivô sozinho em uma linha determina
unicamente o valor da variável correspondente. Uma linha de zeros corresponde
a uma equação que não fornece nenhuma informação relevante sobre o sistema
e pode ser descartada. Equações contraditórias implicam que sistema não tem
solução. Linhas com duas entradas não nulas geram uma dependência entre as
respectivas variáveis.
Exercício 24. Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre as soluções dos
sistemas lineares abaixo:
1.
 x + y = 3x − y = 1
2.
 x + 2y = 52x + 5y = 12
3.

x + y = 4
x − 2y = 1
2x − y = 4
4.

x + y = 2
3x + y = 5
5x + 3y = 9
5.
 x + 2y − z = −3x − y + z = 1
6.

x + y + 2z = 3
2x + 4y − 3z = 4
x + 3y − 5z = 2
7.

2x + 3y − z + w = 1
5x + y + 10z + 2w = 2
3x − 2y + 11z + w = 3
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 49
Exercício 25. Verdadeiro ou falso:
1. Se a terceira equação de um sistema linear começa com um coeficiente
nulo (0x), então nenhum múltiplo da primeria equação será subtraído da
terceira equação durante o processo de escalonamento;
2. Se a terceira equação de um sistema linear possui o segundo coeficiente
nulo (0y), então nenhum múltiplo da segunda equação será subtraído da
terceira equação durante o processo de escalonamento;
3. Se a terceira equação de um sistema linear possui os dois primeiros coe-
ficientes nulos (0x e 0y), então nenhum múltiplo da primeria equação ou
da segunda equação será subtraído da terceira equação durante o processo
de escalonamento.
Observação 4. Quando dois sitemas AX = B1 e AX = B2 possuem a mesma
matriz de coeficientes do lado esquerdo, podemos resolvê-lo simultâneamente
escalonando a matriz aumentada
[A|B1|B2].
Exemplo 37. Suponhamos que precisamos resolver os sistemas

x − 2y − 2z = −2
2x − 4y − 3z = −7
x − 2y + z = 4
,

x − 2y − 2z = 2
2x − 4y − 3z = 5
x − 2y + z = 0
.
Como ambos possuem a mesma matriz de coeficientes
A =

1 −2 −2
2 −4 −3
1 −2 1
 ,
50 Introdução à Álgebra Linear
podemos construir a matriz aumentada

1 −2 −2 | −2 | 2
2 −4 −3 | −7 | 5
1 −2 1 | 4 | 0

e resolver os sistemas simultaneamente. Após escalonamento obtemos

1 −2 0 | 0 | 43
0 0 1 | 0 | 0
0 0 0 | 1 | −13
 ,
o que implica que nenhum dos sistemas acima possui solução.
2.5 Comportamento de sistemas lineares
Proposição 5. Se um sistema linear possui duas soluções distintas, então ele
possui infinitas soluções.
Demonstração. Suponhamos queX1 eX2 sejam soluções do sistema AX = B.
Então Xλ = λX1 + (1− λ)X2 também é solução para qualquer valor real de λ,
uma vez que
A (λX1 + (1− λ)X2) = λAX1 + (1− λ)AX2 = λB + (1− λ)B = B.
Temos então três opções para o comportamento de um sistema linear.
1. Um sistema possível determinado é um sistema que possui uma única
solução. Nesse caso, a forma escalonada reduzida de A é sempre igual à
matriz identidade (com, possivelmente, algumas linhas nulas abaixo).
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 51
2. Um sistema possível indeterminado é um sistema que possui infinitas
soluções. Nesse caso, a forma escalonada reduzida sempre tem alguma
linha nula que levará a uma variável indeterminada.
3. Um sistema impossível é um sistema que não possui solução. Nesse
caso, sempre aparece uma linha com zeros em todos os elementos do lado
correspondente à matriz A, enquanto o elemento correspondente à matriz
B é diferente de zero.
Nos dois últimos casos, a forma escalonada reduzida da matriz A possui uma
linha de zeros. Quando isso acontece dizemos que o sistema é singular.
Exercício 26. Explique por que o sistema
x + y + z = 2
x − y +z = 1
2x + 2z = 2
é impossível, encontrando uma combinação das três equações que leve à equação
0 = 1. Que valor deve substituir o último zero do lado direito para permitir que
o sistema tenha infinitas soluções? Nesse caso, qual é o conjunto de soluções?
Exercício 27. Para qual valor de a ∈ R o sistema 3x + 2y = 106x + 4y = a
é impossível? Por quê? Para quais valores de a o mesmo sistema possui infinitas
soluções? Por quê? Nesse caso encontre o conjunto de soluções. Existe algum
valor de a para o qual o sistema acima possui uma única solução?
Exercício 28. Verifique se existe algum valor de a para o qual o sistema ax + y = 14x + ay = 2
se torna singular. Nesse caso, o sistema é possível ou impossível?
52 Introdução à Álgebra Linear
Exercício 29. Escolha o valor do coeficiente b para o qual o sistema 2x + by = 164x + 8y = g
é singular. A seguir, escolha o valor de g para o qual o sistema possui solução.
Nesse caso, encontre o conjunto de soluções.
Exercício 30. Qual é a condição que b1 e b2 devem satisfazer para que o sistema 3x − 2y = b19x − 6y = b2
possua solução? Nesse caso, encontre o conjunto de soluções.
Exercício 31. Estude o comportamento do sistema abaixo, em função dos va-
lores de a, b1, b2, b3. 
ax + 2y + 3z = b1
ax + ay + 4z = b2
ax + ay + az = b3
2.6 Interpretação geométrica de sistemas
lineares
2.6.1 Sistemas com duas incógnitas
Você aprendeu em seu curso de Geometria Análitica e Cálculo Vetorial que
qualquer reta r em R2 pode ser descrita utilizando uma equação linear
r = {(x, y) | ax+ by = c},
ou seja, o ponto (x, y) pertence à reta r se, e somente se, a equação ax+by = c
é satisfeita. Um conjunto deequações lineares com duas incógnitas representa,
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 53
portanto, um conjunto de retas no plano. Um ponto satisfaz todas as equações
do sistema se, e somente se, pertence à todas essas retas. Isso quer dizer que
(x, y) será uma solução do sistema se, e somente se, pertencer à todas as retas
definidas pelas equações do sistema.
Essa ligação entre equações lineares e retas permite resolver sistemas lineares
e interpretar suas soluções de forma puramente geométrica.
Exemplo 38. Resolva o sistema
 x + y = 1x − y = 2 .
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar as retas determi-
nadas pelas duas equações e verificar qual é a sua interseção.
Figura 2.1: Retas x+ y = 1 e x− y = 2 e sua interseção.
Da figura 2.1 vemos que as retas se cruzam em um único ponto e portanto
o sistema possui solução única x = 1.5 e y = −0.5.
54 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 39. 
x + y = 1
x − y = 2
3x + y = 0
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar as retas determi-
nadas pelas duas equações e verificar qual é a sua interseção.
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 55
Figura 2.2: Retas x + y = 1, x − y = 2 e 3x + y = 0. Observe que as retas
nÃčo se interceptam.
Da figura 2.2 vemos que as retas não se cruzam em portanto o sistema não
possui solução.
Exemplo 40. 
x + y = 1
x − y = 2
3x + y = 4
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar as retas determi-
nadas pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
56 Introdução à Álgebra Linear
Figura 2.3: Retas x + y = 1, x − y = 2 e 3x + y = 4. Observe que as retas
nÃčo se interceptam.
Da figura 2.3 vemos que as retas se cruzam em um único ponto e portanto
o sistema possui solução única x = 1.5 e y = −0.5.
Exercício 32. Resolva os sistemas abaixo e faça um esboço da interpretação
geométrica da solução.
1.
 2x + y = 3x − 2y = −1
2.

2x + y = 3
x − 2y = −1
3x − y = 3
3.

2x + y = 3
x − 2y = −1
3x − y = 2
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 57
4.

2x + y = 3
x + 2y = −1
3x − y = 4
2.6.2 Sistemas com três incógnitas
Você aprendeu em seu curso de Geometria Análitica e Cálculo Vetorial que
qualquer plano Π em R3 pode ser descrita utilizando uma equação linear
Π = {(x, y) | ax+ by + cz = d},
ou seja, o ponto (x, y, z) pertence ao plano Π se, e somente se, a equação
ax + by + cz = d é satisfeita. Um conjunto de equações lineares com três
incógnitas representa, portanto, um conjunto de planos no espaço. Um ponto
satisfaz todas as equações do sistema se, e somente se, pertence a todos esses
planos. Isso quer dizer que (x, y, z) será uma solução do sistema se, e somente
se, pertencer a todos os planos definidos pelas equações do sistema.
Essa ligação entre equações lineares e planos permite resolver sistemas line-
ares e interpretar suas soluções de forma puramente geométrica.
Exemplo 41. 
x − z = 1
y − z = 2
x + y − 2z = 3
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar os planos determi-
nadas pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
58 Introdução à Álgebra Linear
Figura 2.4: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z =
2, x− y − z = 3 e sua interseção.
Da figura 2.4 vemos que os planos se cruzam em uma reta e portanto o sis-
tema possui infinitas soluções. Essa reta pode ser parametrizada pelas equações
x = z + 1 e y = z + 2, z ∈ R.
Exemplo 42. 
x − z = 1
y − z = 2
x + y − 2z = 4
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar os planos determi-
nados pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
Da figura 2.5 vemos que os planos não se interceptam em nenhum ponto e
portanto o sistema não possui solução.
Exemplo 43. 
x − z = 1
y − z = 2
x − y − z = −1
.
Solução. Para encontrar a solução do sistema, basta plotar os planos determi-
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 59
Figura 2.5: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z = 2 e
x+ 2y − 2z = 4. Observe que os planos não se interceptam.
nados pelas três equações e verificar qual é a sua interseção.
Figura 2.6: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z =
2, x− y − z = 1 e sua interseção.
Das figuras 2.6, 2.7 e 2.8 vemos que os planos se interceptam em um único
ponto e portanto o sistema possui solução solução única x = 1, y = 2, z = 0.
60 Introdução à Álgebra Linear
Figura 2.7: Os planos determinados pelas equações x − z = 1, y − z =
2, x− y − z = 1 e sua interseção.
Exercício 33. Considere o sistema ax + 2y = 02x + ay = 0
em que a ∈ R.
1. Mostre que o sistema abaixo possui pelo menos uma solução para qualquer
valor de a;
2. Encontre o valor de a para que o sistema possua infinitas soluções. Nesse
caso, qual é a representação geométrica do conjunto de soluções? Faça
um esboço.
Exercício 34. Descreva a interseção dos três planos x+y+z = 3, x+y−z = 1
e 3x + 3y + z = 7. É uma reta, um ponto, ou um conjunto vazio? Como será
a interseção se o plano x = −1 for adicionado? Encontre uma quinta equação
que deixe o sistema sem solução.
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 61
Figura 2.8: Cada reta representa a interseção de dois dos planos determi-
nados pelas equações do sistema. A interseção das três retas corresponde à
solução do sistema.
Exercício 35. Encontre dois pontos sobre a reta de interseção dos hiperplanos
w = 0, z = 0 e x+ y + z + w = 1 em um espaço quadridimensional.
Exercício 36. Em que condições sobre os nÞmeros l,m e n os pontos (0, l),
(1,m) e (2, n) se localizam em uma linha reta?
Exercício 37. Se três planos se cruzam em dois pontos, onde mais eles se
cruzam?
2.7 Sistemas lineares homogêneos
Um sistema da forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
62 Introdução à Álgebra Linear
é chamado sistema linear homogêneo, que pode ser escrito na forma matricial
como
AX = 0
em que
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 , X =

x1
x2...
xn
 , 0 =

0
0
...
0
 .
Observe que todo sistema homogêneo possui a solução
X =

0
0
...
0
 ,
chamada solução trivial. Portanto, não existe sistema homogêneo impossível.
Geometricamente, isso significa que o conjunto solução de qualquer sistema
homogêneo contém a origem.
Observe também que para resolver um sistema linear homogêneo basta es-
calonarmos a matriz A, uma vez que as operações elementares não alteram a
coluna de zeros da matriz aumentada [A|0].
Sabemos que um sistema com n incógnitas terá solução única quando a
forma escalonada da matriz A possui n pivôs e nenhuma outra linha de zeros que
possa levar a uma contradição. Para sistemas lineares homogêneos, como o lado
direito da matriz aumenta [A|0] é sempre 0, linhas que levam a contradições não
existem e por isso sempre que encontrarmos n pivôs o sistema possuirá solução
única, ou seja, somente a solução trivial. Se não for possível encontrar n pivôs,
o sistema terá infinitas soluções.
Exercício 38. Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre as soluções dos
sistemas lineares homogêneos abaixo:
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 63
1.
 x + y = 0x − y = 0
2.
 x + 2y = 02x + 5y = 0
3.

x + y = 0
x − 2y = 0
2x − y = 0
4.

x + y = 0
3x + y = 0
5x + 3y = 0
5.
 x + 2y − z = 0x − y + z = 0
6.

x + y + 2z = 0
2x + 4y − 3z = 0
x + 3y − 5z = 0
7.

2x + 3y − z + w = 0
5x + y + 10z + 2w = 0
3x − 2y + 11z + w = 0
DICA: observe que você já tem as formas escalonadas reduzidas das matrizes A
do exercíco 24. Não é necessário escalonar todas as matrizes novamente.
Teorema 3. Todo sistema homogêneo com menosequações que incógnitas
possui infintas soluções.
Demonstração. Suponhamos que o sistema tenha n incógnitas. Como o
sistema tem menos equações que incógnitas, o número r de linhas não nulas da
64 Introdução à Álgebra Linear
forma escalonada reduzida da matriz aumentada [A|0] também é menor que n e
portanto não é possível encontrar n pivôs. Assim temos r pivôs e n−r variáveis
livres, que podem assumir todos os valores reais, o que implica que o sistema
possui infinitas soluções.
Teorema 4. Sejam X1 e X2 soluções do sistema AX = 0. Então valem as
seguintes propriedades:
1. X3 = X1 +X2 também é solução de AX = 0;
2. X4 = αX1 também é solução de AX = 0 para qualquer α ∈ R.
Demonstração. Sabemos que AX1 = 0 e AX2 = 0, uma vez que X1 e X2 são
soluções de AX = 0. Assim temos:
1. AX3 = A(X1 +X2) = AX1 + AX2 = 0 + 0 = 0;
2. AX4 = A(αX1) = αAX1 = α× 0 = 0.
Exercício 39. Mostre que as propriedades acima não são verdadeiras se o sis-
tema não for homogêneo.
2.8 Utilizando o MATLAB
o MATLAB não possui comandos pré-definidos para operações elementares. No
entanto, elas podem ser facilmente realizadas com os comandos abaixo:
1. O comando A([i j],:) = A([j i],:) troca as linhas i e j da matriz
A;
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 65
2. O comando A(i,:) = k*A(i,:) multiplica a linha i da matriz A pelo
escalar k;
3. O comando A(i,:) = A(i,:) +k*A(j,:) soma à linha i de A a linha j
vezes k.
Alguns pacotes adicionais podem ser encontrados em que os comandos para
realizar essas operações estão definidos. Veja, por exemplo, o pacote GAAL do
professor Reginaldo Santos da UFMG.
O comando rref pode ser utilizado para encontrar a forma escalonada redu-
zida de uma matriz no MATLAB. Veja abaixo os passos que devem ser seguidos
para chegar à forma escalonada reduzida da matriz aumentada de um sistema:
A=[ ] % declarar a matriz dos coeficientes $A$;
B=[ ] % declarar o vetor coluna dos coeficientes $b$;
M=[A B] % definir k como a matriz aumentada do sistema;
S=rref(M) % escalonar a matriz.
Exercício 40. Utilize o MATLAB para refazer os exercícios númericos desse
capítulo.
3
Inversão de Matrizes
Sabemos que todo número real não nulo a possui um inverso multiplicativo
a−1 = 1a tal que a × a−1 = a−1 × a = 1. Quando temos uma equação do tipo
ax = b em que a e b são números reais conhecidos e x é uma incógnita que deve
ser encontrada, basta dividirmos a equação por a para encontrar sua solução
x = b
a
.
Esse procedimento é possível sempre que a 6= 0.
Sabemos que para matrizes a divisão não está definida e portanto o mesmo
procedimento não pode ser aplicado à equação matricial AX = B para encon-
trar a solução de um sistema linear. No entanto, em alguns casos é possível
definir o que chamamos de matriz inversa da matriz A, denotada por A−1, de
modo que A−1A = AA−1 = I. Assim, o sistema AX = B pode ser resolvido
multiplicando-se a equação matricial por A−1:
A−1 (AX) = A−1B(
A−1A
)
X = A−1B
IX = A−1B
X = A−1B.
67
68 Introdução à Álgebra Linear
Desse modo, sempre que é possível inverter a matriz A, o sistema pode ser
facilmente resolvido multiplicando-se B por A−1. Veremos em breve que apenas
as matrizes quadradas podem ser invertidas e que, além disso, calcular a inversa
de uma matriz não é uma tarefa trivial.
3.1 Definição e propriedades
Definição 3. Uma matriz quadrada A n × n é dita invertível quando existe
outra matriz A−1 n× n tal que
A−1 × A = I e A× A−1 = I
onde I é a matriz identidade n× n.
Caso a inversa de A não exista, dizemos que A é uma matriz singular.
Se A uma matriz invertível, valem as seguintes propriedades:
1. A matriz inversa é única. De fato, supondo que A−1 e B sejam duas
inversas para a matriz A temos
B = IB =
(
A−1A
)
B = A−1 (AB) = A−1I = A−1.
2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que
a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz, ou seja,
A = (A−1)−1.
3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a
inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, (AT )−1 = (A−1)T .
De fato
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I e (A−1)TAT = (AA−1)T = IT = I.
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 69
4. A inversa de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero)
é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número, ou seja
(αA)−1 = α−1A−1
5. O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das
inversas dessas matrizes com a ordem trocada, ou seja,
(A1A2A3...An)−1 = A−1n ...A−13 A−12 A−11 .
6. A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz
identidade, ou seja, I−1 = I. Essa propriedade decorre da igualdade
I × I = I.
Exercício 41. Dada uma matriz A, suponha que B é a matriz inversa de A2.
Mostre que a matriz C = AB é a inversa de A.
Exercício 42. Utilizando o exercício anterior, mostre que A é invertível se, e
somente se, A2 é invertível.
3.2 Determinação da inversa
3.2.1 Aplicação da definição de inversa
Este método de cálculo da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada
genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a condição
A× A−1 = I.
Exemplo 44. Vamos calcular a inversa da matriz
A =
2 1
4 3
 .
70 Introdução à Álgebra Linear
Solução. Sabemos que a matriz inversa tem que ser também uma matriz 2×2
e portanto é da forma
A−1 =
a b
c d
 .
O objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a
definição de inversa: 2 1
4 3
×
a b
c d
 =
1 0
0 1
 .
Resolvendo essa multiplicação de matrizes obtemos: 2a+ c 2b+ d
4a+ 3c 4b+ 3d
 =
1 0
0 1

o que nos leva ao sistema de equações:
2a+ c = 1
2b+ d = 0
4a+ 3c = 0
4b+ 3d = 1
Observe que temos dois sistemas 2a+ c = 14a+ 3c = 0 e
 2b+ d = 04b+ 3d = 1
com a mesma matriz de coeficientes do lado direito, igual à matriz original
A. Esses sistemas podem ser resolvidos escalonando simultaneamente a matriz
aumentada
A =
2 1 | 1 | 0
4 3 | 0 | 1
 .
Escalonando obtemos a matriz
A =
1 0 | 32 | −12
0 1 | −2 | 1
 .
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 71
o que implica a = 32 , b =
−1
2 , c = −2 e d = 1. Assim, temos
A−1 =
 32 −12−2 1
 .
Caso a matriz que queremos inverter não fosse invertível, chegaríamos a um
sistema impossível.
Esse método se torna bastante trabalhoso para matrizes 3×3 e impraticável
para matrizes maiores.
Exercício 43. Encontre, se possível, as inversas das matrizes abaixo utilizando
o método mostrado no exemplo acima. Utilize um computador para escalonar
as matrizes envolvidas.
1. A =
 0 2−3 0
 ;
2. A =
2 0
4 2
 ;
3. A =
1 1
2 2
 .
Exercício 44. Encontre quatro matrizes 2× 2 distintas de modo que cada uma
delas seja sua própria inversa, ou seja, A2 = I.
3.2.2 Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan
Uma outra forma de determinar a inversa de uma matriz é utilizando a eliminação
de Gauss-Jordan. Esse método é uma maneira prática de aplicar o método
anterior.
72 Introdução à Álgebra Linear
Para entender o método, vamos novamente analizar o que acontece no exem-
plo 44. Nesse exemplo, escrevemos a inversa na forma
A−1 =
a b
c d
 .
e aplicamos a definição de inversa para encontrar os valores de a, b, c e d.
2 1
4 3
×
a b
c d
 =
 2a+ c 2b+ d
4a+ 3c 4b+ 3d
 =
1 0
0 1
 .
Observe que a primeira coluna de AA−1 equivale a AX1, em que
X1 =
a
c

é a primeira coluna de A−1. Essa coluna deve ser igual à primeira coluna da
matriz identidade, ou seja
AX1 = E1
em que
E1 =
1
0

é a primeira coluna da matriz identidade. De maneira análoga, a segunda coluna
de AA−1 equivale a AX2, em que
X2 =
b
d

é a segunda coluna de A−1. Essa coluna deve ser igual à segunda coluna da
matriz identidade, ou seja
AX2 = E2Prof. Bárbara Amaral - UFOP 73
em que
E2 =
0
1

é a segunda coluna da matriz identidade. Obtemos assim dois sistemas com a
mesma matriz de coeficientes A. Podemos então resolvê-los simultâneamente
escalonando a matriz aumentada
[A|E1|E2].
Observe que do lado esquerdo as colunas E1 e E2 geram a matriz identidade, e
portanto basta escalonar a matriz
[A|I].
Após o escalonamento, obtemos a matriz aumentada
1 0 | 32 −12
0 1 | −2 1

que nos leva a  a =
3
2
c = −12
para o primeiro sistema e b = −2d = 1
para o segundo sistema. Veja que a matriz inversa aparece do lado esquerdo
após o processo de escalonamento.
De maneira geral, para verificarmos se uma matriz A n×n é invertível, basta
verificarmos se existe uma matriz B, tal que AB = I. Vamos denotar as colunas
da inversa B por X1, X2, . . . , Xn , ou seja, B = [X1 . . . Xn], e as colunas da
74 Introdução à Álgebra Linear
matriz identidade I , por E1, E2, . . . , En , ou seja, I = [E1 . . . En] , em que
E1 =

1
0
0
...
0

, E2 =

0
1
0
...
0

, . . . , En =

0
0
0
...
1

.
Assim, a equação AB = I pode ser escrita como
A[X1 . . . Xn] = [AX1 . . . AXn] = [E1 . . . En],
pois a j-ésima coluna do produto AB é igual à A vezes a j-ésima coluna da
matriz B. Analisando coluna a coluna a equação anterior, vemos que encontrar
B é equivalente a resolver n sistemas lineares
AXj = Ej
para j = 1, . . . , n. Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método
de Gauss-Jordan. Como as matrizes dos coeficietes à esquerda são todas iguais
à A, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz
aumentada
[A|E1 E2 . . . En] = [A|I].
Após escalonamento, chegamos a uma matriz do tipo [R|S], em que R é a
forma escalonada reduzida da matriz A. Temos duas possibilidades:
1. Se R = I, então a forma escalonada reduzida da matriz [A|I] é da
forma [I|S]. Se escrevemos a matriz S em termos das suas colunas
S = [S1 S2 . . . Sn], então as soluções dos sistemas AXj = Ej são
X = Sj e assim B = S e A é invertível;
2. Se R 6= I, então a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identi-
dade I. Então a matriz R tem uma linha nula, o que implica que cada um
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 75
dos sistemas AXj = Ej ou tem infinitas soluções ou não tem solução. Se
todos os sistemas possuírem infinitas soluções, teríamos infinitas opções
para B, o que não é possível pois sabemos que a inversa é única. Assim,
pelo menos um dos sistemas não possui solução, o que quer dizer que a
matriz A não tem inversa.
Com esse raciocínio, provamos o seguinte resultado:
Teorema 5. Uma matriz A n×n possui inversa se, e somente se, é equivalente
por linhas à matriz identidade I n× n.
Além de provar o teorema acima, o raciocínio anterior mostra também uma
maneira prática de calcular a inversa de uma matriz A. Escrevemos lado a lado a
matriz que queremos inverter e a matriz identidade [A|I]. Em seguida, aplicam-
se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de
modo a transformá-la em sua forma escalonada reduzida, aplicando as mesmas
operações à matriz identidade, obtendo a matriz [R|S]. Se R = I, A é invertível
e A−1 = S. Se R 6= I a matriz A não é invertível.
Exemplo 45. Encontre, caso exista, a inversa da matriz2 1
4 3
 .
Solução. Escrevendo a matriz aumentada e escalonando2 1 | 1 0
4 3 | 0 1
 ←−× (−2)+ ⇒
2 1 | 1 0
0 1 | −2 1
 ←−
× (−1)
+
⇒
2 0 | 3 −1
0 1 | −2 1
 | 12 ⇒
1 0 | 32 −12
0 1 | −2 1

Como a forma escalonada reduzida de A é igual a I, A é invertível e a inversa
é a matriz que aparece do lado direito:
A−1 =
 32 −12−2 1
 .
76 Introdução à Álgebra Linear
Exemplo 46. Encontre, caso exista, a inversa da matriz
1 2 0
0 1 1
−1 1 1
 .
Solução. Escrevendo a matriz aumentada e escalonando
1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
−1 1 1 | 0 0 1

←−+
⇒

1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
0 3 1 | 1 0 1

←−
×−3
+
⇒

1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
0 0 −2 | 1 −3 1

| − 12
⇒

1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
0 0 1 | −12 32 −12
 ←−
×−1
+
⇒

1 2 0| 1 0 0
0 1 0 | 12 −12 12
0 0 1 | −12 32 −12

←−
×−2
+
⇒

1 0 0| 0 1 −1
0 1 0 | 12 −12 12
0 0 1 | −12 32 −12
 .
Como a forma escalonada reduzida de A é igual a I, A é invertível e a inversa
é a matriz que aparece do lado direito:
A−1 =

0 1 −1
1
2 −12 12
−12 32 −12
 .
Exemplo 47. Encontre, caso exista, a inversa da matriz
1 2 0
0 1 1
−1 −1 1
 .
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 77
Solução. Escrevendo a matriz aumentada e escalonando
1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
−1 −1 1 | 0 0 1

←−+
⇒

1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
0 1 1 | 1 0 1

←−
×−1
+
⇒

1 2 0 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
0 0 0 | 1 −1 1
 .
Como temos uma linha de zeros do lado esquerdo, podemos parar o processo de
escalonamento: a forma escalonada reduzida de A não é igual a I e portanto A
é não é uma matriz invertível.
Exercício 45. Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre, caso exista, a
inversa das matrizes abaixo:
1. A =

1 0 0
1 1 0
0 0 1
 ; Faça essa letra sem o auxílio do computador!
2. A =

2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 12
 ;
3. A =

0 0 1
0 1 1
1 1 1
 ;
4. A =

1 0 0 0
1
4 1 0 01
3
1
3 1 01
2
1
2
1
2 1
 .
Exercício 46. Dê exemplos de matrizes A e B de modo que:
78 Introdução à Álgebra Linear
1. A e B sejam invertíveis mas A+B seja singular;
2. A e B sejam singulares mas A+B seja invertível;
3. A, B e A+B sejam invertíveis;
4. A, B e A+B sejam singulares.
Exercício 47. Suponhamos que A seja uma matriz 3×3 tal que a terceira linha
é obtida somando-se as duas primeiras.
1. Explique porque o sistema
AX =

1
0
0

não possui solução;
2. Descubra quais são as condições sobre b1, b2 e b3 para que o sistema
AX =

b1
b2
b3

possua solução;
3. Mostre que A não é invertível.
Exercício 48. Verdadeiro ou falso:
1. Se A é invertível, A−1 também é.
2. Se A é invertível então AT também é.
3. Uma matriz com uma linha de zeros pode ser invertível.
4. Uma matriz com uma coluna de zeros pode ser invertível.
Prof. Bárbara Amaral - UFOP 79
Quando a matriz A de coeficientes de um sistema linear é invertível e sua
inversa é conhecida, a resolução do sistema é trivial, como mostra o resultado
abaixo.
Teorema 6. Seja A uma matriz n × n. O sistema associado AX = B tem
solução única se, e somente se, A é invertível. Neste caso a solução é X =
A−1B.
Demonstração. Se a matriz A é invertível, então multiplicando ambos os lados
da equação AX = B à esquerda por A−1 obtemos
A−1 (AX) = A−1B(
A−1A
)
X = A−1B
IX = A−1B
X = A−1B.
Portanto, X = A−1B é a única solução do sistema AX = B.
Por outro lado, se o sistema AX = B possui solução única, então a forma
escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [A|B] é da forma [I|C],
pois se a forma escalonada reduzida de A fosse diferente da identidade haveria
uma linha de zeros, e o sistema AX = B ou não possuiria solução ou possuiria
infinitas soluções. Logo, a matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade,
o que implica que A é invertÄśÌĄvel.
Como consequência do teorema anterior, vale a seguinte propriedade para
sistemas homogêneos:
CorolÃąrio 1. O sistema homogêneo AX = 0ÌĎ tem solução não trivial se, e
somente se, A é singular.
Demonstração. Todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução tri-
vial. Pelo teorema ante- rior, esta será a única solução se, e somente se, A é
80 Introdução à Álgebra Linear
invertÄśÌĄvel. Assim, para que hajam soluções além da solução trivial, A não
pode ser