Lista2_Equacoes_Transcedentais

Prévia do material em texto

ECT1303 Lista de Exercícios II 2013.2
Resolução de Equações Transcedentais
1. Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
(a) xcosx− 2x2 + 3x− 1 = 0, [0,2; 0,3] e [1,2; 1,3]
(b) (x− 2)2 − lnx = 0, [1;2] e [e;4]
2. Determine, utilizando a análise gráfica, o intervalo com um número ímpar de soluções
para as equações abaixo.
(a) x− 3−x = 0
(b) 4x2 − ex = 0
(c) x3 − 2x2 − 4x+ 2 = 0
(d) x3 + 4, 001x2 + 4, 002x+ 1, 101 = 0
3. Seja f(x) = (x+ 2)(x+ 1)2x(x− 1)3(x− 2), para qual zero de f o método da Bissecção
converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3
algarismos.
(a) [−1, 5; 2, 5]
(b) [−0, 5; 2, 4]
(c) [−0, 5; 3]
(d) [−3; 0, 5]
4. Considere a equação ex − (x+ 5) = 0 para responder os itens a seguir:
(a) Determine graficamente o número e a posição aproximada das raízes reais positivas
da equação.
(b) Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão
10−4.
(c) Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para cal-
cular a raiz próxima de 1 com uma precisão 10−8 partindo do intervalo [0, 2]. Não
faça as iterações.
5. Seja uma função f(x) onde f(10) = 100, f ′(10) = 0 e a raiz vale 9. Explique por que o
método de Newton não é uma boa alternativa se começarmos com x0 próxima de 10.
6. Deseja-se resolver a equação:
ex − 3x2 = 0
que possui as duas raízes r1 = −0, 4589623 e r2 = 0, 91, assim como uma terceira raiz
situada próxima de 4.
(a) O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos [−1, 0] como
intervalo inicial?
(b) Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão 10−3.
(c) Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão 10−3.
7. Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma f(x) = 0 pode ser
dada pelo método seguinte:
xk+1 = xk − f(xk)
f ′(x0)
(a) Dê uma interpretação geométrica deste método.
(b) Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz r =
√
2 da equação x2− 2 = 0.
Dê uma condição necessária sobre x0 para a convergência do método para
√
2.
8. Verdadeiro ou Falso: Se um método iterativo para resolução de equações não-lineares
ganha dois bits de precisão por iteração, então ele tem convergência quadrática. Justi-
fique.
9. Uma carga total Q está uniformemente distribuída ao redor de um condutor circular
de raio a. Uma carga q está localizada a uma distância x do centro do anel. A força
exercida na carga do anel é dada por:
onde e0 = 8, 85× 10−12 C2/(Nm2). Encontre a distância x onde a força é 1, 25 N se q e
Q são 2× 10−5 C para um anel de raio 0, 9 m.
10. A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
c = 75e−t + 20e−0.075t
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
(a) Usando o método gráfico;
(b) Usando o método de Newton com aproximação inicial t = 6 e erro < 10−3.
11. Os engenheiros espaciais algumas vezes calculam a trajetória de projéteis como foguetes.
Um problema relacionado trata da trajetória de uma bola lançada. A trajetória da bola
é definida pelas coordenadas (x, y) como mostrado na figura abaixo. A trajetória pode
ser modelada por:
y = (tan θ)x− g
2v20 cos
2 θ
x2 + y0
Encontre o ângulo inicial apropriado θ, se a velocidade inicial for v0 = 20m/s e a distância
do receptor for x = 35m. Observe que a bola deixa a mão do lançador a uma elevação
de y0 = 2m e o receptor a recebe a 1m. Expresse o resultado final em graus. Use um
valor de 9, 81m/s2 para g e utilize um método gráfico para encontrar suas aproximações
iniciais.
12. Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo Θ está
variando a velocidade constante
dΘ
dt
= w < 0.
Depois de t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t) = − g
2w2
(
ewt − e−wt
2
− sen(wt)
)
.
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que
g = 9, 81 m/s2.
(a) Utilize Bissecção para determinar, com precisão de 10−6, a velocidade w com a qual
Θ varia.
(b) Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de 10−15, a velocidade
w com a qual Θ varia.
(c) Considerando o resultado encontrado pelo método da Secante como sendo o valor
exato, estime a ordem de convergência do método da Bissecção empregado anteri-
ormente.
Soluções
1.
2.
3. (a) 0
(b) 10−165, finaliza no limite de iterações.
(c) 2.0002441
(d) −2.0002441
4. (a)
Sem recorrer ao gráfico, pode-se
observar que f ′(x) > 0,∀x > 0,
ou seja a função é estritamente
crescente. Como f(0) = -4 e
f(2) = 0, 38, a única raiz posi-
tiva está contida neste intervalo.
Isto pode ser verificado no gráfico
ao lado. De fato, vemos que esta
raiz está próxima a 2.
(b) Sejam o intervalo inicial [a, b] = [0, 2] e x0 = a = 0.
Iteração 1: [a, b] = [0, 2]
x1 = (0 + 2)/2 = 1
Erelativo =
∣∣1−0
1
∣∣ = 1 > 10−4
f(x1)× f(b) < 0 =⇒ a = 1
Iteração 2: [a, b] = [1, 2]
x2 = (1 + 2)/2 = 1.5
Erelativo =
∣∣1.5−1
1.5
∣∣ = 0.333333 > 10−4
f(x2)× f(b) < 0 =⇒ a = 1.5
Iteração 3: [a, b] = [1.5, 2]
x3 = (1.5 + 2)/2 = 1.75
Erelativo =
∣∣1.75−1.5
1.75
∣∣ = 0.142857 > 10−4
f(x3)× f(b) < 0 =⇒ a = 1.75
...
Iteração 14: [a, b] = [1.936768, 2]
x14 = (1.936768 + 2)/2 = 1.936890
Erelativo =
∣∣1.936890−1.936768
1.936890
∣∣ = 0.000063 < 10−4
Portanto, a solução obtida com precisão 10−4 é 1.936890.
(c) O tamanho do intervalo que contém a raiz é dividida por 2 em cada iteração. Seja
L = 2 o tamanho do intervalo inicial. Depois de uma iteração, o novo intervalo tem
tamanho L/2 e, depois de k iterações, o tamanho do intervalo é L/2k. Deseja-se
obter o valor necessário de k para se obter:
L
2k
< Eabsoluto =⇒ k > log2
(
L
Eabsoluto
)
.
Portanto, temos
k > log2
(
2
10−8
)
= 27, 57.
Ou seja, são necessárias 28 iterações.
5. Sabemos que a raiz vale 9 e devemos iniciar de um valor próximo ao da raiz. Porém,
ao utilizar o x0 próximo de 10, onde a derivada é zero, o método de Newton tende a
traçar uma reta quase paralela ao eixo x, o que leva a solução para longe da raiz e pode
divergir, dependendo da função.
6. (a) Sim, pois f(x) = ex − 3x2 é contínua e f(−1)× f(0) < 0.
(b) Sejam o chute inicial x0 = 4 e f
′(x) = ex − 6x.
Iteração 1:
x1 = x0 − f(x0)f ′(x0) = 3.784361145167
Erelativo =
∣∣3.784361145167−4
3.784361145167
∣∣ = 0.056981574052 > 10−3
Iteração 2:
x2 = x1 − f(x1)f ′(x1) = 3.735379375080
Erelativo =
∣∣3.735379375080−3.784361145167
3.735379375080
∣∣ = 0.013112930487 > 10−3
Iteração 3:
x3 = x2 − f(x2)f ′(x2) = 3.733083897874
Erelativo =
∣∣3.733083897874−3.735379375080
3.733083897874
∣∣ = 0.000614901049 < 10−3
Portanto, a solução obtida com precisão 10−3 é 3.733083897874.
(c) Sejam as estimativas iniciais x0 = 3 e x1 = 4.
Iteração 1:
x2 = x1 − f(x1) x1−x0)f(x1)−f(x0) = 3.511704362476
Erelativo =
∣∣3.511704362476−4
3.511704362476
∣∣ = 0.139048048219 > 10−3
Iteração 2:
x3 = x2 − f(x2) x2−x1)f(x2)−f(x1) = 3.680658256169
Erelativo =
∣∣3.680658256169−3.511704362476
3.680658256169
∣∣ = 0.045903173273 > 10−3
Iteração 3:
x4 = x3 − f(x3) x3−x2)f(x3)−f(x2) = 3.745598502519
Erelativo =
∣∣3.745598502519−3.680658256169
3.745598502519
∣∣ = 0.017337748909 > 10−3
Iteração 4:
x5 = x4 − f(x4) x4−x3)f(x4)−f(x3) = 3.732460650523
Erelativo =
∣∣3.732460650523−3.745598502519
3.732460650523
∣∣ = 0.003519890289 > 10−3
Iteração 5:
x6 = x5 − f(x5) x5−x4)f(x5)−f(x4) = 3.733071932407
Erelativo =
∣∣3.733071932407−3.732460650523
3.733071932407
∣∣ = 0.000163747684 < 10−3
Portanto, a solução obtida com precisão 10−3 é 3.733071932407.
7.
8. Falso! 2, 4, 8, 16... para ser quadrática.
9. Para Bissecção com a = 1, b = 3 e p = 5, o resultado foi: x = 2.0176
10. (a)
(b) t= 4.59.
11. Para Bissecção com a = 0.45, b = 0.5 e p = 4, x = 0.4748.
12. (a) a = −0.35, b = −0.3 e p = 6, x = −0.318039.
(b) a = −0.35, b = −0.3 e p = 15, x = −0.318038939784410.
(c) c = 1.00122