Forum Avaliativo - Calculo III

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Forum Avaliativo – Calculo III 
Marco Antonio da Silva Amaral 
Matricula: 225150199 
 
1. 
Resolução da Questão sobre Funções f e g 
Considere as funções f, g : ℝ² → ℝ definidas por: 
f(x, y) = (3x² + 2xy + y²) / 2 
g(x, y) = e^(x + y) 
a) Determinar o domínio de f 
A função f(x, y) é uma expressão polinomial dividida por 2, ou seja, uma função racional 
com denominador constante. Como não há divisão por zero, raízes de expressões 
negativas, ou logaritmos, o domínio de f é todo o ℝ². 
Domínio de f: ℝ² 
b) Calcular f(3,1) + g(3,1) 
1. f(3,1): 
f(3,1) = (3×3² + 2×3×1 + 1²) / 2 = (27 + 6 + 1) / 2 = 34 / 2 = 17 
2. g(3,1): 
g(3,1) = e^(3 + 1) = e^4 ≈ 54.598 
Soma: 
f(3,1) + g(3,1) ≈ 17 + 54.598 = 71.598 
c) Calcular g(t, a·t²) 
Sabemos que g(x, y) = e^(x + y). Substituindo x = t e y = a·t²: 
g(t, a·t²) = e^(t + a·t²) 
 
 
2. 
Resolução da Função f(x, y) = 8 - x² - 2y 
a) Curva de Nível para k = 6 
A curva de nível é obtida ao igualar a função a uma constante k. Para k = 6: 
f(x, y) = 6 ⇒ 8 - x² - 2y = 6 
⇒ -x² - 2y = -2 ⇒ x² + 2y = 2 
Portanto, a equação da curva de nível é: x² + 2y = 2 
 
 
 
b) Curva de Nível que Passa pelo Ponto (2, 0) 
Calculamos f(2, 0): f(2, 0) = 8 - 2² - 2×0 = 4 
Logo, a curva de nível é para k = 4: 
f(x, y) = 4 ⇒ 8 - x² - 2y = 4 
⇒ -x² - 2y = -4 ⇒ x² + 2y = 4 
Portanto, a equação da curva de nível que passa por (2, 0) é: x² + 2y = 4