Determinação_da_constante_em (2)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Física Moderna Experimental 1
Anah Carolina Jolando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RA: 820545
Luca de Souza Simões Trotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RA: 820942
Luís Fernando Frade Moura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RA: 820984
RELATÓRIO - DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE e/m
São Carlos
2025
ANAH CAROLINA JOLANDO
LUCA DE SOUZA SIMÕES TROTTA
LUÍS FERNANDO FRADE MOURA
RELATÓRIO - DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE e/m
Relatório apresentado ao curso de Física Moderna
Experimental 1 da Universidade Federal de São
Carlos como parte dos requisitos para avaliação da
matéria.
Professor: Dr. Waldir Avansi Junior
São Carlos
2025
RESUMO
Este relatório apresenta a determinação experimental da razão carga-massa do elétron (𝑒/𝑚) a
partir da análise da trajetória circular de um feixe de elétrons sob a ação de um campo magnético
uniforme. Foram empregados dois métodos distintos. No primeiro, com campo magnético
fixo e tensão de aceleração variável, a remoção de dados anômalos, atribuídos a instabilidades
elétricas, foi essencial para validar o resultado, obtendo-se 𝑒
𝑚
= (1, 74 ± 0, 04) × 1011 C/kg,
com uma concordância de 99,23% com o valor de referência. O segundo método, com tensão
fixa e campo magnético variável, apresentou inicialmente um resultado discrepante, com uma
concordância de apenas 66,4%. Uma análise mais profunda revelou um possível erro sistemático
multiplicativo, atribuído a um desalinhamento da sonda de medição do campo. Após a aplicação
de um fator de correção, obteve-se 𝑒
𝑚
= (1, 74 ± 0, 03) × 1011 C/kg, elevando a concordância
para 98,9%.
i
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Fundamentos Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Campo magnético em Bobinas de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Movimento de um elétron em campo magnético uniforme . . . . . . . . 2
1.2.3 O Método de J. J. Thomson para a Determinação da Razão e/m . . . . . 4
2 Materiais e métodos 6
2.1 Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Resultados e Discussões 8
3.1 Resultados da 1ª Etapa Experimental: Tensão Variável . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Resultados da 2ª Etapa Experimental: Campo Magnético Variável . . . . . . . 10
4 Conclusão 13
Apêndice 14
4.1 Tipos de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.1 Incerteza tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.2 Incerteza combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.3 Propagação de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Equação de concordâcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Demonstração do Campo Magnético no Eixo de uma Espira . . . . . . . . . . . 15
4.4 Dados coletados no experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Referências 17
ii
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 1
1. Introdução
O tubo de raios catódicos (TRC), componente central do aparato utilizado neste experimento,
representa uma tecnologia fundamental que definiu a eletrônica e a visualização de informações
durante grande parte do século XX. Antes de ser majoritariamente substituído por tecnologias
de tela plana, o TRC foi a base para uma vasta gama de aplicações. As mais conhecidas
são os televisores e monitores de computador, nos quais um feixe de elétrons varria uma
tela fosforescente para formar imagens. Além disso, os TRCs foram essenciais em instrumentos
científicos, como nos osciloscópios, onde permitiam a visualização de sinais elétricos em função
do tempo, e em sistemas de radar para a exibição de objetos detectados.
O princípio de funcionamento por trás dessas diversas aplicações é a capacidade de defletir
e controlar com precisão a trajetória de um feixe de elétrons por meio de campos elétricos
e/ou magnéticos. Contudo, para além do seu impacto tecnológico, o estudo do comportamento
desses raios foi crucial para a física fundamental. Foi através da análise da deflexão do feixe
que se tornou possível investigar as propriedades intrínsecas do elétron. O presente trabalho se
dedica a um desses experimentos fundacionais, focando na determinação da razão carga-massa
(𝑒/𝑚) do elétron a partir de sua trajetória circular sob a ação de um campo magnético.
1.1. Objetivos
• Determinar a constante 𝑒/𝑚 através de um feixe de elétrons submetido a um campo
magnético.
1.2. Fundamentos Teóricos
1.2.1 Campo magnético em Bobinas de Helmholtz
O campo magnético 𝐵, gerado por uma única bobina circular com 𝑁 espiras e raio 𝑅
percorrida por uma corrente 𝐼, pode ser calculado em qualquer ponto ao longo de seu eixo. A
uma distância 𝑥 do centro da bobina, a magnitude do campo é dada pela Lei de Biot-Savart [3]
e está demonstrado na seção (4.3) do apêndice:
𝐵(𝑥) =
𝜇0𝑁𝐼𝑅
2
2(𝑅2 + 𝑥2)3/2 (1)
Um arranjo de Bobinas de Helmholtz é constituído por duas bobinas idênticas, cada uma com
raio 𝑅, posicionadas coaxialmente a uma distância também igual a 𝑅. Este arranjo, ilustrado
na Figura 1, é projetado para gerar um campo magnético aproximadamente uniforme na região
entre as bobinas [3].
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 2
Figura 1: Ilustração Bobinas de Helmholtz
Nesse arranjo, o campo magnético resultante será a superposição dos campos gerados por
cada bobina, que seguem a equação (1):
𝐵(𝑥) = 𝐵1 + 𝐵2 =
𝜇0𝑁𝐼
2𝑅
(
1
[1 + (𝑥/𝑅)2]3/2 + 1
[1 + (𝑥/𝑅 − 1)2]3/2
)
(2)
Para analisar a uniformidade do campo na região central, pode-se expandir a função 𝐵(𝑥)
em uma série de Taylor em torno do ponto 𝑥 = 𝑅/2:
𝐵(𝑥) = 𝐵(𝑅/2) + 𝐵′(𝑅/2) (𝑥 − 𝑅/2) +
𝐵′′(𝑅/2)
2!
(𝑥 − 𝑅/2)2 + . . . (3)
Pode-se verificar que a função da (2) possui um máximo em 𝑥 = 𝑅/2, o que implica que
𝐵′(𝑅/2) = 0. Então, descartando os termos não lineares de (3), obtém-se:
𝐵(𝑥) ≈ 𝐵(𝑅/2) =
𝜇0𝑁𝐼
𝑅
(
4
5
)3/2
(4)
essa aproximação é válida para os arredores do ponto 𝑥 = 𝑅/2.
1.2.2 Movimento de um elétron em campo magnético uniforme
Um elétron de carga 𝑒 e massa𝑚, ao ser acelerado por uma diferença de potencial𝑉 , adquire
uma energia cinética 𝐾 . De acordo com o princípio da conservação de energia, a energia
potencial elétrica perdida pelo elétron é integralmente convertida em energia cinética, de modo
que:
𝐾 = 𝑒𝑉 =
1
2
𝑚𝑣2 (5)
em que 𝑣 é a velocidade do elétron após a aceleração.
Ao adentrar uma região com um campo magnético uniforme ®𝐵, o elétron fica sujeito à ação
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 3
da força magnética de Lorentz, descrita por [3]:
®𝐹𝐵 = 𝑒(®𝑣 × ®𝐵) (6)
No arranjo deste experimento, as Bobinas de Helmholtz geram um campo magnético ®𝐵
perpendicular à velocidade inicial ®𝑣 do feixe de elétrons. Consequentemente, a força magnética
®𝐹𝐵 possui direção sempre perpendicular tanto a ®𝑣 quanto a ®𝐵.
Uma característica fundamental dessa força é que ela não realiza trabalho sobre a partícula,
pois ®𝐹𝐵 ⊥ ®𝑣. Isso implica que a energia cinética do elétron permanece constante, e a força
magnética atua apenas alterando a direção do vetor velocidade, desempenhando o papel de uma
força centrípeta.
A magnitude da força magnética, no caso em que ®𝑣 ⊥ ®𝐵, é 𝐹𝐵 = 𝑒𝑣𝐵. Igualando-se esta
expressão à força centrípeta, 𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟
, obtém-se:
𝑒𝑣𝐵 =
𝑚𝑣2
𝑟
(7)
em que 𝑟 é o raio da trajetória circular descrita pelos elétrons.
A trajetória dos elétrons é somente visível quando está interagindo com o meio (e emitindoluz visível), neste experimento se torna visível devido ao gás inerte rarefeito presente no interior
da ampola, que se excita quando elétrons em altas velocidades colidem com os átomos do gás.
Fazendo a trajetória circular ser visível e com raio facilmente mensurável.
Com isso, tem-se um sistema com duas equações que permite obter a relação 𝑒/𝑚. Da
equação (5), isola-se 𝑣2:
𝑣2 =
2𝑒𝑉
𝑚
(8)
Da equação (7), isola-se 𝑣:
𝑣 =
𝑒𝐵𝑟
𝑚
(9)
Substituindo-se a equação (9) na equação (8), resulta em:(
𝑒𝐵𝑟
𝑚
)2
=
2𝑒𝑉
𝑚
𝑒2𝐵2𝑟2
𝑚2 =
2𝑒𝑉
𝑚
Simplificando a expressão, chega-se à equação final que relaciona a tensão 𝑉 , o campo
magnético 𝐵 e o raio da trajetória 𝑟.
𝑒
𝑚
=
2𝑉
𝐵2𝑟2 (10)
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 4
1.2.3 O Método de J. J. Thomson para a Determinação da Razão e/m
A abordagem de Thomson difere fundamentalmente daquela utilizada nesta prática experi-
mental, pois empregava campos elétricos e magnéticos cruzados para, primeiramente, determi-
nar a velocidade das partículas e, em seguida, calcular a razão 𝑒/𝑚.
O aparato experimental de Thomson consistia em um tubo de raios catódicos altamente
evacuado. Dentro do tubo, um par de placas metálicas paralelas permitia a aplicação de um
campo elétrico uniforme ( ®𝐸) em uma direção (vertical, por exemplo), enquanto um par de
bobinas externas gerava um campo magnético uniforme ( ®𝐵), orientado de forma perpendicular
tanto ao campo elétrico quanto à trajetória inicial do feixe (horizontal). Podendo ser realizado
em duas etapas principais:
Na primeira etapa, aplicar simultaneamente um campo elétrico e um magnético. A força
elétrica ( ®𝐹𝐸 = 𝑒 ®𝐸) atuava sobre os elétrons, desviando-os em uma direção, enquanto a força
magnética ( ®𝐹𝐵 = 𝑒(®𝑣 × ®𝐵)) os desviava na direção oposta. Então ajustar cuidadosamente as
intensidades dos campos até que as duas forças se equilibrem perfeitamente. Nessa condição de
equilíbrio, a força resultante sobre os elétrons era nula, e o feixe passava pela região dos campos
sem sofrer qualquer desvio.
A condição de equilíbrio é dada por:
| ®𝐹𝐸 | = | ®𝐹𝐵 | ⇒ 𝑒𝐸 = 𝑒𝑣𝐵 (11)
A partir desta igualdade, Thomson pôde isolar e calcular a velocidade (𝑣) dos elétrons de
forma direta, sem precisar conhecer previamente a carga ou a massa da partícula:
𝑣 =
𝐸
𝐵
(12)
Este passo é a diferença crucial em relação ao método que utiliza apenas o campo magnético,
no qual a velocidade é inferida a partir da energia cinética adquirida pela tensão de aceleração
(𝑒𝑉 = 1
2𝑚𝑣
2).
Na segunda etapa, Thomson desligava o campo elétrico, mantendo apenas o campo magné-
tico ®𝐵. Agora, a única força atuando sobre os elétrons era a força magnética, que, sendo sempre
perpendicular à velocidade, atuava como uma força centrípeta, forçando o feixe a descrever uma
trajetória circular de raio 𝑟. Porém não uma trajetória completa como no experimento feito neste
relatório, mas sim uma trajetória contendo um arco de circunferência no local onde os elétrons
são afetados pelo campo ®𝐵.
Igualando a magnitude da força magnética à expressão da força centrípeta (𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟
), temos:
𝑒𝑣𝐵 =
𝑚𝑣2
𝑟
(13)
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 5
Isolando a razão 𝑒/𝑚, obtemos:
𝑒
𝑚
=
𝑣
𝐵𝑟
(14)
Finalmente, substituindo a expressão da velocidade (𝑣 = 𝐸/𝐵) encontrada na primeira etapa,
Thomson chegou à equação final para a razão carga-massa:
𝑒
𝑚
=
(𝐸/𝐵)
𝐵𝑟
=
𝐸
𝐵2𝑟
(15)
Medindo os valores do campo elétrico (𝐸), do campo magnético (𝐵) e do raio da curvatura
(𝑟), Thomson foi capaz de calcular o valor da razão 𝑒/𝑚 com notável precisão para a época,
estabelecendo de forma conclusiva que os raios catódicos eram compostos por partículas suba-
tômicas com uma razão carga-massa única e bem definida. O valor oficial hoje de acordo com
a CODATA é de:
𝑒
𝑚
= (1, 75882000838 ± 0, 00000000055) × 1011 C/kg (16)
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 6
2. Materiais e métodos
Nas seções seguintes estão detalhados o aparato experimental com seus componentes (2.1)
e o procedimento experimental (2.2).
2.1. Materiais
Figura 2: Aparato experimental
(1) Fonte de tensão da marca Schroff para as Bobinas de Helmholtz;
(2) Teslâmetro da marca PHYWE resolução 0, 01𝑚𝑇 ;
(3) Bobinas de Helmholtz;
(4) Ampola de vidro com gás inerte a baixa pressão e uma fonte de feixe de elétrons;
(5) Fonte de tensão da marca Leybold;
(6) Laser Vermelho;
(7) Trilho milimetrado com suporte para laser com resolução 0, 05𝑐𝑚;
(8) Multímetro digital da marca Minipa resolução 0, 1𝑉 .
2.2. Procedimento experimental
O experimento foi dividido em duas etapas, onde em cada uma diferentes parâmetros foram
variados, visando construir dois conjuntos de dados independentes, mas que consigam obter a
constante carga-massa do elétron.
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 7
1ª Etapa: Campo magnético constante
Nesta etapa, o campo magnético foi fixado em aproximadamente 1,20 mT. Este valor foi
ajustado utilizando a fonte de tensão Schroff (1) e monitorado continuamente com o teslâme-
tro (2). Devido a flutuações na rede elétrica do laboratório, foram necessárias recalibrações
periódicas para manter o campo magnético constante.
A tensão de aceleração dos elétrons, fornecida pela fonte Leybold (5), foi variada em um
intervalo de 100𝑉 a 230𝑉 , com passos de 10𝑉 . Para cada valor de tensão, registrado com o
multímetro, o raio da trajetória circular do feixe de elétrons foi medido.
A medição foi realizada utilizando o laser (6) montado sobre o trilho milimetrado (7).
Primeiramente, o laser foi posicionado para marcar o início do feixe circular, registrando-se a
posição inicial 𝑑0. Em seguida, o laser foi deslocado até o ponto oposto da trajetória, registrando-
se a posição final 𝑑, como ilustrado na Figura 3. O raio 𝑟 da trajetória foi então calculado por
𝑟 =
𝑑−𝑑0
2 .
Figura 3: Trajetória circular do feixe de elétrons.
2ª Etapa: Potencial elétrico constante
De forma análoga, a tensão de aceleração foi fixada em um valor constante de aproximada-
mente 200𝑉 , monitorada pelo multímetro.
Nesta segunda parte, a intensidade do campo magnético foi variada. Utilizando a fonte
Schroff, o campo foi ajustado em um intervalo de 0, 80𝑚𝑇 a 1, 60𝑚𝑇 , com incrementos de
0, 05𝑚𝑇 , conforme a leitura do teslâmetro. Para cada valor de campo magnético, o diâmetro da
trajetória do feixe foi medido seguindo o mesmo procedimento de marcação com o laser descrito
na primeira etapa.
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 8
3. Resultados e Discussões
A seguir, são apresentados os dados obtidos por meio do procedimento experimental, jun-
tamente com a análise gráfica que possibilita a determinação da razão carga-massa (𝑒/𝑚) do
elétron por dois métodos diferentes.
3.1. Resultados da 1ª Etapa Experimental: Tensão Variável
Os valores medidos para a tensão (𝑉) e o raio da trajetória (𝑟) foram compilados na Tabela
4 do apêndice.
A determinação da razão 𝑒/𝑚 foi realizada através de uma regressão linear dos dados
experimentais. O método baseia-se na Equação (10), que modela a dependência linear entre a
tensão 𝑉 e a variável 𝑟2:
𝑉 =
(
𝑒𝐵2
2𝑚
)
𝑟2 = 𝐴 · 𝑟2
Nessa expressão, a constante de proporcionalidade é o coeficiente angular 𝐴, cujo valor teórico
esperado para as condições experimentais é de 𝐴teorico = 1.265 76 × 105 V m−2. O ajuste linear
dos dados é apresentado na Figura 4.
Figura 4: Ajuste linear de 𝑉 em função de 𝑟2 para todos os pontos experimentais.
Tabela 1: Resultados do primeiro ajuste de dados.
Parâmetro Valor
Parâmetro 𝐴 125714, 26259 ± 1639, 69677
Qui-quadrado (𝜒2) 8, 15531
Coeficiente de Determinação (𝑅2) 0, 99558
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 9
O coeficiente angular experimental obtido foi 𝐴𝑒𝑥𝑝 = (1, 255 ± 0, 016) × 105 V m−2, um
valor 99,15% compatível com a previsão teórica. A análise daqualidade do ajuste, no entanto,
revela uma inconsistência. Enquanto o coeficiente de determinação 𝑅2 = 0, 99558 confirma o
comportamento linear esperado, o qui-quadrado reduzido 𝜒2
𝑟𝑒𝑑
= 8, 15531 desvia-se significati-
vamente de 1. Este valor elevado sugere que a dispersão dos pontos em relação à reta é maior
do que a prevista pelas incertezas, indicando que estas foram subestimadas.
A principal hipótese para essa discrepância é a instabilidade da rede elétrica do laboratório
durante as medições iniciais. Para testar essa hipótese, removemos os seis primeiros pontos de
dados e realizamos um novo ajuste, apresentado na Figura 5 a seguir.
Figura 5: Ajuste linear de 𝑉 em função de 𝑟2 após a remoção dos pontos iniciais.
Tabela 2: Resultados do ajuste de dados.
Parâmetro Valor
Parâmetro 𝐴 125755, 41234 ± 656, 71898
Qui-quadrado (𝜒2) 1, 04687
Coeficiente de Determinação (𝑅2) 0, 99813
Após o tratamento dos dados, o valor obtido para o Chi-quadrado reduzido, agora muito
próximo de 1, confirma nossa hipótese sobre os dados iniciais e valida as incertezas estimadas
para o restante do experimento. Além disso, o novo coeficiente angular obtido é estatisticamente
equivalente ao anterior. Este fato demonstra que os pontos removidos, embora aumentassem a
dispersão do ajuste, eram anômalos e não alteravam a tendência central dos dados.
A partir do novo coeficiente angular 𝐴 = (1, 257 ± 0, 006) × 105 V m−2, calcula-se a razão
carga-massa do elétron:
𝑒
𝑚
= (1, 75 ± 0, 04) × 1011 C kg−1
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 10
3.2. Resultados da 2ª Etapa Experimental: Campo Magnético Variável
Na segunda etapa, a tensão de aceleração foi mantida constante enquanto o campo magnético
era variado. As medidas de 𝐵 e 𝑟 foram compiladas na Tabela 5 do apêndice.
Para esta análise, os pontos são ajustados a Equação (10), que prevê uma relação inversamente
proporcional entre 𝐵 e 𝑟:
𝐵 =
(√︂
2𝑚𝑉
𝑒
)
1
𝑟
= 𝐴 · 1
𝑟
O valor teórico esperado para o parâmetro 𝐴 é 𝐴𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 = 4.772 05 × 10−5 T m. O ajuste dos
dados experimentais é mostrado na Figura 6.
Figura 6: Relação inversamente proporcional de 𝐵 em função de 𝑟.
O ajuste resultou no parâmetro 𝐴𝑒𝑥𝑝 = (4, 13 ± 0, 03) × 10−5 T m, que apresenta uma
concordância de 86, 5% com o valor teórico. A partir deste valor, a razão carga-massa calculada
é 𝑒
𝑚
= (2, 35 ± 0, 03) × 1011 C/kg, com uma concordância de apenas 66, 4% com o valor de
referência.
A análise dos parâmetros do ajuste (𝑅2 ≈ 1 e 𝜒2
𝑟𝑒𝑑
≈ 0) confirma que os dados seguiram
perfeitamente a função 1/𝑟, o que indica que mesmo com pouca concordância, os dados são
muito coesos entre si. Esta grande discrepância pode ser explicada pela presença de um erro
sistemático.
Buscando argumentos para validar essa hipótese, foi construída a Figura 7, que compara os
pontos experimentais com a curva teórica esperada.
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 11
Figura 7: Comparação entre os pontos experimentais e a curva teórica esperada.
Observa-se que todos os pontos experimentais se encontram "comportadamente"abaixo da
curva teórica. Este padrão sugere um erro multiplicativo, onde o campo medido é uma fração
constante do campo real:
𝐵𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑛 · 𝐵𝑟𝑒𝑎𝑙 (17)
A verificação desse fator 𝑛 pode explicar as discrepâncias observadas no ajuste origi-
nal. A partir dos parâmetros experimentais e teóricos, pode-se estimar este fator como
𝑛 = 𝐴𝑒𝑥𝑝/𝐴𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 ≈ 0, 86.
Para validar esta hipótese, os valores do campo magnético da Tabela 5 foram corrigidos por
um fator de 1/𝑛 e um novo ajuste foi realizado (Figura 8).
Figura 8: Ajuste dos dados de campo magnético após correção do erro sistemático.
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 12
O novo parâmetro ajustado, 𝐴′𝑒𝑥𝑝, apresenta uma concordância de 99, 4% com o valor teórico.
A razão carga-massa derivada deste ajuste corrigido é:
𝑒
𝑚
= (1, 74 ± 0, 03) × 1011 C/kg
que possui uma concordância de 98, 9% com o valor de referência, corroborando fortemente a
hipótese do erro sistemático multiplicativo.
A origem física mais provável para este fator é um desalinhamento da sonda Hall do teslâme-
tro em relação ao vetor do campo magnético ®𝐵. O sensor mede apenas a componente do campo
perpendicular à sua superfície, tal que 𝐵𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝐵𝑟𝑒𝑎𝑙 · cos(𝜃). Neste caso, o fator 𝑛 ≈ 0, 86
corresponderia a um ângulo de desalinhamento 𝜃 = arccos(0, 86) ≈ 30◦.
Finalmente, é pertinente discutir a influência do campo magnético terrestre como uma fonte
de erro sistemático. Este campo atua como uma contribuição vetorial parasita ao campo gerado
pelas bobinas de Helmholtz, alterando o campo magnético total que age sobre os elétrons.
Considerando que a intensidade do campo magnético em São Paulo é da ordem de 25 µT
[4], seu valor corresponde a cerca de 2% da magnitude do campo aplicado no experimento
(aproximadamente 1,20 mT). Por se tratar de uma contribuição percentualmente baixa, seu
impacto foi considerado desprezível em relação às outras fontes de incerteza do experimento.
.
A Tabela 3 apresenta um comparativo da evolução dos resultados, mostrando o valor da
razão 𝑒/𝑚 e sua respectiva concordância com o valor teórico antes e depois de cada etapa de
análise e correção.
Tabela 3: Evolução dos resultados para a razão 𝑒/𝑚.
Método Análise 𝑒/𝑚 (C/kg) Concordância
Tensão Var. Inicial 1, 74 × 1011 99,28%
Final (Tratado) 1, 75 × 1011 99,44%
Campo Var. Inicial 2, 35 × 1011 66,4%
Final (Corrigido) 1, 74 × 1011 99,11%
A análise da tabela evidencia o sucesso do procedimento experimental. Os valores finais
para a razão 𝑒/𝑚 apresentam alta concordância com o valor teórico de referência, e também são
estatisticamente consistentes entre si, considerando suas respectivas incertezas.
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 13
4. Conclusão
O presente trabalho teve como objetivo a determinação da razão carga-massa (𝑒/𝑚) do
elétron, utilizando um feixe de elétrons defletido por um campo magnético uniforme gerado por
bobinas de Helmholtz. O experimento foi conduzido em duas etapas distintas. Na primeira,
com campo magnético constante e tensão variável, a análise dos dados, após a remoção de
pontos inconsistentes atribuídos a instabilidades na rede elétrica, resultou em um valor de
𝑒
𝑚
= (1, 75 ± 0, 04) × 1011 C/kg. Este valor demonstrou concordância de 99,44% com o valor
de referência da literatura.
Na segunda etapa, mantendo a tensão de aceleração constante e variando o campo magnético,
observou-se uma discrepância inicial significativa. A análise revelou a presença de um erro
sistemático multiplicativo, que foi atribuído a um provável desalinhamento angular da sonda
Hall do teslâmetro, estimado em aproximadamente 30◦. Após a aplicação de um fator de correção
nos dados de campo magnético, o novo ajuste forneceu o valor de 𝑒
𝑚
= (1, 74±0, 03) ×1011 C/kg
, que também apresentou alta concordância (99,1%) com o valor teórico.
Ambos os métodos, após o tratamento adequado dos dados, produziram resultados estatistica-
mente consistentes entre si e com o valor de referência, validando o procedimento experimental.
As principais fontes de incerteza foram identificadas como a instabilidade dos equipamentos e
a dificuldade na medição precisa do raio da trajetória, além do erro sistemático de medição do
campo magnético. Conclui-se, portanto, que o experimento permitiu verificar com sucesso a
constante 𝑒/𝑚, reforçando a compreensão da dinâmica de partículas carregadas sob a ação de
campos magnéticos.
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 14
Apêndice
4.1. Tipos de incertezas
Segundo a apostila de Física Experimental A [2], as incertezas são classificadas como nos
seguintes tópicos (4.1.1), (4.1.2) e (4.1.3):
4.1.1 Incerteza tipo A
O desvio padrão (𝑠) de uma medida 𝑥 repetida 𝑛 vezes é dada por:
𝑠2 =
1
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛∑︁
𝑖=1
(𝑥𝑖 − ⟨𝑥⟩)2 (18)
4.1.2 Incerteza combinadaA incerteza combinada da média de uma medida 𝑥 é dada, considerando seu desvio padrão
(𝑠) e sua incerteza do tipo B (𝑢𝐵), por:
𝑢𝑐 (⟨𝑥⟩) =
√︃
𝑠2 + 𝑢2
𝐵
(19)
4.1.3 Propagação de incertezas
A equação geral para a propagação de incertezas de uma função 𝑓 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑁 ), é dada
como:
𝑢2
( 𝑓 ) =
𝑁∑︁
𝑖=1
(
𝜕 𝑓
𝜕𝑥𝑖
)2
𝑢2
(𝑥𝑖) (20)
onde 𝑢( 𝑓 ) é a incerteza padrão de 𝑓
4.2. Equação de concordâcia
A concordância (𝐶) entre um valor (𝑥𝑒𝑥𝑝) medido e seu valor teórico (𝑥𝑡𝑒𝑜) é dada, como
na apostila de Física Experimental A [2]:
𝐶 = 100 ×
(
1 −
|𝑥𝑒𝑥𝑝 − 𝑥𝑡𝑒𝑜 |
𝑥𝑡𝑒𝑜
)
(21)
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 15
4.3. Demonstração do Campo Magnético no Eixo de uma Espira
A dedução parte da Lei de Biot-Savart para um elemento de corrente 𝐼 𝑑®𝑙:
𝑑 ®𝐵 =
𝜇0𝐼
4𝜋
𝑑®𝑙 × 𝑟
𝑟2 (22)
Considera-se uma espira circular de raio 𝑅 no plano y-z, centrada na origem. O campo ®𝐵 é
calculado em um ponto P no eixo x, a uma distância 𝑥 do centro.
A distância de um elemento 𝑑®𝑙 ao ponto P é constante e vale 𝑟 =
√
𝑥2 + 𝑅2. O vetor 𝑑®𝑙 é
sempre perpendicular a ®𝑟, logo |𝑑®𝑙 × 𝑟 | = 𝑑𝑙. A magnitude do campo infinitesimal é:
𝑑𝐵 =
𝜇0𝐼
4𝜋
𝑑𝑙
𝑥2 + 𝑅2 (23)
Por simetria, as componentes do campo magnético perpendiculares ao eixo x se cancelam.
Apenas a componente axial, 𝑑𝐵𝑥 = 𝑑𝐵 cos(𝜃), contribui para o campo total. Da geometria,
temos que cos(𝜃) = 𝑅/𝑟 = 𝑅/
√
𝑥2 + 𝑅2.
Integrando-se ao longo da espira para obter o campo total 𝐵 = 𝐵𝑥:
𝐵 =
∮
𝑑𝐵𝑥 =
∮
𝑑𝐵 cos(𝜃)
=
∮ (
𝜇0𝐼
4𝜋
𝑑𝑙
𝑥2 + 𝑅2
) (
𝑅
√
𝑥2 + 𝑅2
)
=
∫ 2𝜋𝑅
0
𝜇0𝐼𝑅
4𝜋(𝑥2 + 𝑅2)3/2 𝑑𝑙
=
𝜇0𝐼𝑅
4𝜋(𝑥2 + 𝑅2)3/2
∫ 2𝜋𝑅
0
𝑑𝑙
=
𝜇0𝐼𝑅
4𝜋(𝑥2 + 𝑅2)3/2 (2𝜋𝑅)
Simplificando, chega-se à equação final para o campo no eixo de uma espira:
𝐵(𝑥) = 𝜇0𝐼𝑅
2
2(𝑥2 + 𝑅2)3/2 (24)
Para uma bobina compacta com 𝑁 espiras, a expressão é multiplicada por 𝑁:
𝐵(𝑥) = 𝜇0𝑁𝐼𝑅
2
2(𝑥2 + 𝑅2)3/2 (25)
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 16
4.4. Dados coletados no experimento
Tabela 4: Valores de raio e tensão medidos na 1ª etapa, com campo magnético fixo.
Raio ×10−2(𝑚) Tensão (𝑉)
2, 75 ± 0, 04 100, 0 ± 0, 1
2, 85 ± 0, 04 110, 0 ± 0, 1
2, 95 ± 0, 04 120, 0 ± 0, 1
3, 05 ± 0, 04 130, 0 ± 0, 1
3, 25 ± 0, 04 140, 0 ± 0, 1
3, 35 ± 0, 04 150, 0 ± 0, 1
3, 55 ± 0, 04 160, 0 ± 0, 1
3, 70 ± 0, 04 170, 0 ± 0, 1
3, 85 ± 0, 04 180, 0 ± 0, 1
3, 95 ± 0, 04 190, 0 ± 0, 1
4, 05 ± 0, 04 200, 0 ± 0, 1
4, 15 ± 0, 04 210, 0 ± 0, 1
4, 25 ± 0, 04 220, 0 ± 0, 1
4, 45 ± 0, 04 230, 0 ± 0, 1
Tabela 5: Valores de raio e campo magnético medidos na 2ª etapa, com tensão fixa.
Raio ×10−2(𝑚) B ×10−4(𝑇)
5, 80 ± 0, 04 8, 00 ± 0, 10
5, 30 ± 0, 04 8, 50 ± 0, 10
4, 90 ± 0, 04 9, 00 ± 0, 10
4, 50 ± 0, 04 9, 50 ± 0, 10
4, 20 ± 0, 04 10, 00 ± 0, 10
4, 05 ± 0, 04 10, 50 ± 0, 10
3, 80 ± 0, 04 11, 00 ± 0, 10
3, 60 ± 0, 04 11, 50 ± 0, 10
3, 50 ± 0, 04 12, 00 ± 0, 10
3, 30 ± 0, 04 12, 50 ± 0, 10
3, 15 ± 0, 04 13, 00 ± 0, 10
3, 05 ± 0, 04 13, 50 ± 0, 10
2, 95 ± 0, 04 14, 00 ± 0, 10
2, 75 ± 0, 04 14, 50 ± 0, 10
2, 70 ± 0, 04 15, 00 ± 0, 10
2, 60 ± 0, 04 15, 50 ± 0, 10
2, 50 ± 0, 04 16, 00 ± 0, 10
Física Experimental Moderna 1 - Determinação da constante e/m 17
Referências
[1] UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS. Departamento de Física. Prática: De-
terminação da constante e/m. São Carlos: UFSCar, [s.d.].
[2] UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS. Departamento de Física. Apostila de
Física Experimental A. São Carlos: UFSCar, [s.d.].
[3] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. São Paulo:
Editora Blücher, 1997. v. 3.
[4] RIBEIRO, Fernando Brenha; MOLINA, Eder Cassola. O Campo Magnético Terrestre. In:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO/UNIVESP. Geofísica. São Paulo: USP/UNIVESP,
[s.d.]. Módulo 2.
	Introdução
	Objetivos
	Fundamentos Teóricos
	Campo magnético em Bobinas de Helmholtz
	Movimento de um elétron em campo magnético uniforme
	O Método de J. J. Thomson para a Determinação da Razão e/m
	Materiais e métodos
	Materiais
	Procedimento experimental
	Resultados e Discussões
	Resultados da 1ª Etapa Experimental: Tensão Variável
	Resultados da 2ª Etapa Experimental: Campo Magnético Variável
	Conclusão
	Apêndice
	Tipos de incertezas
	Incerteza tipo A
	Incerteza combinada
	Propagação de incertezas
	Equação de concordâcia
	Demonstração do Campo Magnético no Eixo de uma Espira
	Dados coletados no experimento
	Referências