Apostila de Eletronica de Potencia I UFU

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Núcleo de Eletrônica de Potência 
Faculdade de Engenharia Elétrica 
Universidade Federal de Uberlândia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletrônica 
de 
Potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
João Batista Vieira Júnior 
Luiz Carlos de Freitas 
Valdeir José Farias 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO 1 
6 
6 
6 
7 
8 
9 
9 
10 
11 
13 
13 
15 
17 
18 
I.1. Revis ão Simplificada das Chaves Semicondutoras 
I.1.1. Chave Semicondutora Diodo 
I.1.2. Transistor Bipolar NPN 
I.1.3 .MOSFET de Canal N 
I.1.4. SCR 
I.1.4.1. Características Dinâmicas do SCR 
I.1.4.1.1. Disparo (Processo de Entrada em Condução) 
I.1.4.1.2. Apagamento (Entrada no Estado de Bloqueio) 
I.1.5. Exemplos de Outras Chaves 
I.2. Circuitos Básicos Úteis ao Estudo da Eletrônica de Potência 
I.2.1. Circuito R - C 
I.2.2. Circuito R - L 
I.2.3. Circuito de Carga de um Capacitor à Corrente Constante 
I.2.4. Circuito de Carga de um Indutor à Tensão Constante 
I.2.5. Circuito LC Unidirecional sem Corrente Inicial 19 
 
1. CONVERSORES CC/CC 22 
22 
22 
24 
27 
28 
32 
32 
39 
45 
50 
52 
53 
55 
56 
58 
61 
1.1. Introdução 
1.2. Conversores CC/CC PWM do Tipo Buck 
1.2.1. Condução Contínua 
1.2.2. Condução Descontínua 
1.2.3. Controle da Tensão de Saída 
1.3. Estrutura Básica dos Conversores CC/CC PWM 
1.3.1. Conversor do tipo Buck 
1.3.2. Conversor do Tipo Boost 
1.3.3. Conversor do tipo Buck - Boost 
1.3.4. Conversor do Tipo Cúk 
1.3.5. Conversor do Tipo SEPIC 
1.3.6. Conversor CC/CC PWM do Tipo ZETA 
1.3.7. Conversor Tipo Buck Quadrático 
1.3.8. Conversor do Tipo Boost Quadrático 
1.3.9. Conversor do Tipo “Half-Bridge” 
1.3.10. Conversor do Tipo “Full-Bridge” 
1.3.11. Conversores CC/CC isolados 64 
 
2. CHOPPERS” - Conversores CC/CC PWM a SCR 76 
76 
76 
76 
79 
81 
81 
82 
82 
85 
86 
86 
90 
94 
95 
96 
96 
99 
100 
100 
104 
2.1. Introdução 
2.2. Conversor CC/CC PWM a SCR(“chopper”) do Tipo Básico 
2.2.1. Princípio de Funcionamento 
2.2.2. Cálculo da Capacitância e Indutância de Comutação 
2.2.3. Tensão Final no Capacitor e Capacidade de Comutação 
2.2.4. Máxima Freqüência de Operação 
2.2.5. Mínima Razão Cíclica 
2.2.6. Tensão e Corrente nos Componentes 
2.2.7. dv/dt e di/dt nos Tiristores 
2.3. Conversor CC/CC PWM a SCR (“Chopper”) do Tipo Wagner 
2.3.1. Princípios de Funcionamento 
2.3.2. Cálculo da Capacitância e da Indutância de Comutação 
2.3.3. Tensão Final no Capacitor e Capacidade de Comutação 
2.3.4. Máxima Freqüência de Operação 
2.3.5. Mínima Razão Cíclica 
2.3.6. Tensão e Corrente nos Componentes 
2.3.7. dv/dt e di/dt nos Tiristores 
2.4. Comutação no “Chopper” do tipo Mc Murray 
2.4.1. Funcionamento 
2.4.2. Cálculo da Capacitância e Indutância de Comutação. 
2.4.3. Tensão Final e Capacidade de Comutação 105 
106 
107 
107 
109 
110 
111 
116 
120 
120 
123 
124 
2.4.4. Máxima Freqüência de Operação 
2.4.5. Mínima Razão Cíclica 
2.4.6. Tensão e Corrente nos Componentes. 
2.4.7. dv/dt e di/dt nos Tiristores 
2.5. Comutação no “Chopper” do tipo Mc Murray-Bedford 
2.5.1. Funcionamento 
2.5.2. Cálculo da Capacitância e Indutância de Comutação. 
2.5.3. Tensão Final e Capacidade de Comutação. 
2.5.4. Máxima Freqüência de Operação. 
2.5.5. Mínima Razão Cíclica 
2.5.6. Tensão e Corrente nos Componentes 
2.5.7. dv/dt e di/dt nos tiristores 126 
 
3. Conversores CC/CC com Chaves Totalmente Controladas 127 
127 
128 
128 
 
129 
 
147 
 
150 
155 
 
155 
3.1. Introdução 
3.2. Conversores CC/CC Quase-Ressonante do Tipo ZCS-FM 
3.2.1. Introdução 
3.2.2. Conversores CC/CC Buck Quase-Ressonantes, com Comutação à Corrente Nula e 
Modulação em Freqüência, com Interruptores Bidirecionais em Corrente 
3.2.3. Conversores Buck Quase-Ressonantes ZCS Controlados por Freqüência e com Chaves 
Unidirecionais em Corrente 
3.2.4. Conversores Boost Quase-Ressonantes ZCS Controlado por Freqüência, Usando Chave 
Bidirecional em Corrente. 
3.3. Conversores Quase-Ressonantes do Tipo ZVS-FM 
3.3.1. Conversores Buck Quase-Ressonantes, com Comutação à Tensão Nula e Modulação em 
Freqüência, com Interruptor Bidirecional em Tensão 
3.4. Conversores Quase-Ressonantes ZCS com Modulação por Largura de Pulso 161 
 
4. CONVERSORES CC/CA (INVERSORES) 169 
169 
170 
170 
174 
176 
424 
184 
187 
188 
195 
4.1. Introdução 
4.2. Inversores Monofásicos 
4.2.1. Inversores Alimentados em Tensão 
4.2.2. Inversores Alimentados em Corrente 
4.2.3. Redução de Harmônicas 
4.2.4. Inversores PWM 
4.3. Inversores Trifásicos 
4.4. Inversores a SCR 
4.4.1. Inversor tipo Mc Murray 
4.4.2. Inversor tipo Mc Murray-Bedford 
4.4.3. Inversor Comutado a Capacitor Ligado à Carga 202 
 
5. CONVERSORES CA/CC PWM 208 
208 
208 
208 
210 
212 
213 
214 
218 
250 
250 
253 
258 
5.1. Introdução 
5.2. Revisão Simplificada de Retificadores Convencionais 
5.2.1. Retificador Monofásico Controlado de Meia Onda 
5.2.2. Retificador Controlado Monofásico de Onda Completa em Ponte 
5.2.3. Retificador Trifásico Controlado 
5.2.4. Retificador Monofásico não Controlado com Filtro Capacitivo. 
5.3. Correção de fator de potência 
5.3.1. Circuitos para reduzir as harmônicas de corrente de baixa freqüência 
5.4. Retificadores PWM 
5.4.1. Princípios de Funcionamento do Retificador do Tipo Boost 
5.4.2. Princípio de Controle de um Retificador Boost 
5.4.3. Configurações Básicas de Retificadores Boost 
5.4.4. Considerações Finais 261 
 
Introdução - 1 
INTRODUÇÃO 
 
Pode ser entendido como Eletrônica de Potência o assunto associado a Conversores 
Estáticos de potência que visa providenciar condições adequadas para desenvolvimento, 
implementação e manutenção dos mesmos. 
De maneira geral, os conversores estáticos de potência podem ser classificados em 4 
(quatro) grandes grupos como indicado na Figura I.I. 
 
Figura I.1 - Classificação dos conversores estáticos de potência. 
A Eletrônica de Potência tem como objetivo processar e controlar o fluxo de energia de 
modo a fornecer tensões e corrente que possibilitem um melhor aproveitamento desta pela 
carga. 
 
Figura I.2 - Diagrama de blocos de um sistema de Eletrônica de Potência. 
 
Atualmente a Eletrônica de Potência está passando por um crescimento muito 
acentuado. Isto se deve a vários fatores, dentre eles os seguintes [1]: 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 2 
· Os controladores são constituídos por CI’s lineares ou digitais 
(microprocessadores, etc.). Os avanços na área da microeletrônica têm 
proporcionado CI’s cada vez mais compactos, eficientes e baratos; 
· Os avanços nas tecnologias de fabricação têm propiciado a obtenção de chaves 
semicondutoras com maiores velocidades e capacidades de corrente e tensão; 
· O mercado de Eletrônica de Potência tem crescido significativamente. O 
mercado de utilidades domésticas nos Estados Unidos contava com 
aproximadamente 50% delas alimentadas através da Eletrônica de Potência no 
ano 2000. Hoje em dia já se fala em medir o desenvolvimento de um país pelo 
nível de utilização da Eletrônica de Potência. Quanto maior esta utilização maior 
o seu adiantamento. 
Continuando este estudo torna-se mais adequado fazer uma comparação entre as fontes 
lineares e as chaveadas [1]. 
Qualquer fonte de alimentação tem como objetivo ocupar o menor espaço possível e 
obter, também, o melhor rendimento. 
Em uma fonte linear o transformador é colocado na entrada (50 ou 60Hz, dependendo 
do país onde será utilizada), depois são acrescentados um retificador e um estabilizador (nas 
que são estabilizadas). 
 
(a) 
 
(b) 
Figura I.3 - Esquema de uma fonte linear e formas de onda associadas a ela. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 3 
Em Eletrônicade Potência moderna (fonte chaveada) a retificação é feita em alta tensão, 
depois passa por um transistor, que é utilizado como uma chave funcionando em alta 
freqüência (por exemplo, 100 kHz) e em seguida é colocado o transformador que operará em 
alta freqüência (os mesmos 100 kHz do chaveamento do transistor). 
 
Figura I.4 – Esquema de uma fonte chaveada. 
Comparando-se as duas tecnologias de fontes de alimentação tem-se que, entre outras 
características apresentam as seguintes: 
· Fontes Lineares: 
o 1) Mais pesadas (dificuldade de deslocamento); 
o 2) Maior volume (maior ocupação de espaço); 
o 3) Menos eficientes (maior consumo de energia). 
· Fontes Chaveadas: 
o 1) Mais complexas (dificuldades no projeto e execução do mesmo); 
o 2) Geração de ruídos (EMI, RFI, devido o chaveamento, necessita de 
blindagem e filtros). 
A Eletrônica de Potência tem se tornado mais e mais importante e se difundido porque 
encontra muitas aplicações em nossos dias, entre elas enfatizaremos as seguintes [1]: 
· Fontes chaveadas (CC) e alimentação ininterrupta de energia (no-breaks, ups). 
Os avanços que aconteceram na tecnologia de fabricação dos componentes da 
microeletrônica levaram ao desenvolvimento de computadores, equipamentos de 
telecomunicações e eletrônicos de consumo, todos necessitando de fonte cc 
reguladas e pequenas e normalmente de alimentação ininterrupta de energia; 
· Conservação de energia. O aumento nos custos da energia elétrica combinado 
com a preservação do meio ambiente tornou a conservação de energia uma 
prioridade. Uma aplicação típica de Eletrônica de Potência é o funcionamento de 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 4 
lâmpadas fluorescentes em alta freqüência (acima de 20 kHz), aumentando 
assim a sua eficiência luminosa. Outra aplicação típica é o acionamento de 
motores em bombeamento e sistemas de ar condicionado, economizando 
energia, mais uma vez; 
· Controle de processo e automação industrial. Há uma demanda crescente por 
eficiência, que é oferecida pelos acionamentos de bombas e compressores à 
velocidade variável. Robôs são acionados por servo acionamento; 
· Transportes. Em muitos países a utilização de trens elétricos é uma realidade há 
muitos anos. Atualmente cresce a necessidade de utilização de veículos elétricos 
em grandes áreas metropolitanas, para redução de fumaça e poluição sonora. 
Veículos elétricos necessitam de carregadores de bateria, que são feitos através 
da utilização de Eletrônica de Potência, assim como os acionadores dos motores 
dos próprios veículos elétricos; 
· Aplicações eletrotécnicas. Aqui estão incluídos equipamentos para soldagem, 
eletrodeposição e aquecimento indutivo; 
· Aplicações diversas. Transmissão em alta tensão (HVDC). Ligação de sistemas 
fotovoltaicos e eólicos. 
Continuando pode-se fazer um resumo das aplicações de Eletrônica de Potência, que é o 
seguinte: 
· RESIDENCIAL 
o Refrigeradores e “freezers”; 
o Aquecimento ambiente; 
o Ar condicionado; 
o Cozinha; 
o Iluminação; 
o Eletrônicos (computadores pessoais e outros equipamentos de diversão); 
o Aspiradores de pó; 
o Máquinas de lavar roupa; 
· COMERCIAL 
o Aquecimento, ventilação e ar condicionado; 
o Centrais de refrigeração; 
o Iluminação; 
o Computadores e equipamentos de escritório; 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 5 
o Sistemas de alimentação ininterrupta (UPS); 
o Elevadores. 
· INDUSTRIAL 
o Bombas; 
o Compressores; 
o Aspiradores e ventiladores; 
o Máquinas ferramentas (robôs); 
o Fornos a arco e fornos de indução; 
o Iluminação; 
o Lasers industriais; 
o Aquecimento indutivo; 
o Soldagem. 
· TRANSPORTES 
o Controle de tração de veículos elétricos; 
o Carregadores de bateria para veículos elétricos; 
o Locomotivas elétricas; 
o Carros elé tricos, ônibus elétricos; 
o Metrôs; 
o Eletrônica automotiva, incluindo o controle do motor ou dos motores; 
· SISTEMAS UTILITÁRIOS 
o HVDC; 
o Compensadores estáticos (SVC); 
o Fontes alternativas de energia (eólica, fotovoltaica, células 
combustíveis); 
o Sistemas de armazenamento de energia; 
· AEROESPACIAL 
o Sistemas de alimentação dos ônibus espaciais; 
o Sistemas de alimentação de satélites; 
o Sistemas de alimentação de aviões; 
· TELECOMUNICAÇÕES 
o Carregadores de baterias; 
o Fontes de alimentação; 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 6 
Para se obter sucesso quando se estudam os conversores estáticos é necessário que se 
tenha um conhecimento, pelo menos, razoável das principais características das chaves 
semicondutoras mais comuns e de alguns circuitos elétricos básicos. 
Assim sendo torna oportuna uma revisão destas matérias, o que será feito de forma 
bastante simplificada a seguir. 
 
I.1. Revisão Simplificada das Chaves Semicondutoras 
 
I.1.1. Chave Semicondutora Diodo 
 
A Figura I.5 mostra um símbolo, a característica ideal e a característica real de uma 
chave semicondutora não controla chamada de diodo. 
 
(a) Símbolo (b) Característica ideal (c) Característica real 
Figura I.5 - Chave semicondutora diodo. 
A menos que se diga o contrário, em Eletrônica de Potência, será considerada a 
característica ideal do diodo. Conforme pode ser observado na Figura I.5(b), quando o diodo 
estiver conduzindo (ia > 0) a queda de tensão no mesmo será desprezível e quando ele estiver 
polarizado reversamente sua corrente de anodo será nula. Além disso, em estudos idealizados, 
é comum considerar que os processos de entrada e saída de condução de um diodo ocorrem de 
forma instantânea. Na prática isto não é verdadeiro e o diodo trabalha com a característica real 
mostrada na Figura I.5(c ). 
I.1.2. Transistor Bipolar NPN 
 
Um dos símbolos utilizados, a característica ideal e a característica real para um 
transistor bipolar NPN são apresentados na Figura I.6. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 7 
A Figura I.6(b), mostra que, ao contrário do diodo, o transistor bipolar, não possui 
habilidade para isolar tensões reversas e que sua queda de tensão direta no estado de condução 
é nula. Além disso, a menos que se diga o contrário, os tempos de entrada em condução e de 
apagamento deste transistor serão considerados instantâneos. 
 
(a) Símbolo (b) Característica ideal (c) Característica real 
Figura I.6 - Símbolo e características de um transistor bipolar NPN. 
Na realidade estes tempos não são nulos e o transistor trabalha de acordo com as 
características reais da Figura I.6(c). Observa-se que a tensão de ruptura reversa, embora 
sendo considerado aproximadamente 15 (quinze) volts, varia de transistor para transistor. 
Para que a característica real se aproxima da ideal é necessário que esta tensão reversa 
seja desprezível e que a corrente de base seja nula para que o transistor esteja em corte (eixo 
das abscissas) ou que a corrente de base seja muito grande para que o transistor esteja em 
saturação (eixo das ordenadas). 
I.1.3. MOSFET de Canal N 
 
Na Figura I.7 estão representados, um dos símbolos, a característica ideal e a 
característica real de um MOSFET de canal N. 
 
(a) Símbolo (b) Característica ideal (c) Característica real 
Figura I.7 - Símbolo e características de um MOSFET canal N. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 8 
A característica ideal desta chave, mostrada na Figura I.7(b), é exa tamente igual àquela 
ideal do transistor bipolar. Contudo a sua característica real difere um pouco daquela do 
transistor comum. Além de o MOSFET possuir uma tensão de ruptura reversa menor que a do 
transistor bipolar, sua queda de tensão direta no estado de condução é mais sensível à variação 
da corrente de carga (iD). 
Além disso,a freqüência de chaveamento máxima em que o MOSFET pode trabalhar é 
muito maior que aquela máxima permitida para o transistor comum. Devido aos princípios de 
disparo o MOSFET possui um ganho de corrente bem maior que aquele do transistor bipolar. 
Devido suas características construtivas os MOSFETs, normalmente, possuem um 
diodo em anti-paralelo. Este diodo aparece naturalmente durante a fabricação do MOSFET. 
I.1.4. SCR 
 
Ao contrário do diodo e das chaves transistores, o SCR possui habilidade para bloquear 
tanto tensão direta quanto tensão reversa, como pode ser visto através de sua característica 
ideal mostrada na Figura I.8(b). 
 
(a) Símbolo (b) Característica ideal (c) Característica real 
Figura I.8 - Símbolo e característica de um SCR. 
Entretanto, em relação à queda de tensão direta no estado de condução, ele se comporta 
de maneira similar às outras chaves. 
Observando a Figura I.8(c) nota-se que, para uma corrente de gatilho muito grande, a 
característica real do SCR se aproxima daquela de um diodo. À medida que a corrente de 
gatilho diminui a tensão necessária para o SCR começar a conduzir aumenta. Mesmo sem esta 
corrente de gatilho, ele pode entrar no estado de condução, necessitando para isto de uma 
maior tensão. 
 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 9 
I.1.4.1. Características Dinâmicas do SCR 
 
Quando se trabalha com chaves semicondutoras, além das características estáticas vistas 
anteriormente, é importante observar também as características dinâmicas. Isto se torna mais 
acentuado quando se usa SCR. Assim sendo serão analisadas a seguir as principais 
características dinâmicas apenas do SCR, uma vez que muito do que será dito para o SCR 
vale também para as outras chaves. 
I.1.4.1.1. Disparo (Processo de Entrada em Condução) 
 
Em condições normais (práticas), para disparar uma chave semicondutora (SCR) é 
necessário que a mesma esteja polarizada diretamente e seja aplicado um sinal de gatilho 
(Figura I.9). 
 
Figura I.9 - Circuito para ilustração do disparo de um SCR. 
No caso de um SCR este sinal de disparo pode ser retirado logo após a corrente de 
anodo atingir a corrente (LATCHING) IL indicada na Figura I.10. 
 
 
Figura I.10 - Tensão e corrente durante o disparo de chave semicondutora. 
Durante o processo de entrada em condução de uma chave semicondutora, a tensão e a 
corrente se comportam como mostrado na Figura I.10, ou seja, a tensão decresce enquanto 
que a corrente cresce de tal forma que haja uma perda de potência (vAK x iA) em qualquer 
instante do processo de chaveamento. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 10 
O crescimento não instantâneo da corrente, numa chave semicondutora, se deve 
principalmente ao fato da área da seção reta do semicondutor que se torna condutora crescer 
gradativamente. Assim se a razão de crescimento de corrente (di/dt) for muito grande pode 
provocar aquecimento localizado, estragando o semicondutor. Para uma boa utilização da 
chave este fato deve ser observado e se necessário um indutor de poucas espiras em série com 
a chave deve ser usado. 
I.1.4.1.2. Apagamento (Entrada no Estado de Bloqueio) 
 
Um SCR que esteja no estado de condução direta só readquirirá a capacidade de 
bloqueio direto após sua corrente de anodo ser reduzida e mantida abaixo da sua corrente de 
manutenção (Holding) IH que na prática pode, muitas vezes, ser considerada zero. 
O processo de apagamento normal de uma chave semicondutora totalmente controlada, 
após a retirada do sinal de gatilho, ocorre de maneira inversa àquela ilustrada na Figura I.10, 
ou seja, a tensão cresce enquanto a corrente decresce. 
Entretanto no caso de um SCR, o processo de apagamento normal (redução da corrente 
de anodo) é provocado por uma polarização reversa. 
Quando esta polarização inversa é aplicada a uma chave semicondutora a sua corrente 
se inverte e depois decresce para zero de forma semelhante àquela indicada na Figura I.1I. 
 
 
Figura I.11 - Ilustração do bloqueio de um SCR. 
 
Além do que acontece, após a aplicação de uma tensão reversa no instante t1, esta 
Figura também mostra o que acontece após a reaplicação de uma tensão direta no instante t2. 
Observa-se que, mesmo sem um sinal de gatilho, aparece uma pequena corrente de anodo 
quando uma tensão direta é reaplicada ao SCR. Se esta corrente atingir um valor igual ou 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 11 
superior a IH o SCR volta a conduzir sem sinal de “gate”. Para evitar esta situação a taxa de 
crescimento de tensão direta não pode ultrapassar um valor limite inerente a cada SCR, 
podendo ser necessário, para isto, a utilização de circuitos “Snubbers”. 
I.1.5. Exemplos de Outras Chaves 
 
 
Transistor Bipolar PNP 
Esta chave, transistor bipolar PNP, possue características muito 
próximas daquelas do transistor bipolar NPN, exceto que os 
sentidos das grandezas ib, ic e vc são investidas em relação 
aquele visto para o transistor NPN. 
 
 
MOSFET de Canal P 
As características do MOSFET de canal P são muito próximas 
daquelas vistas para o MOSFET de canal N, porém os sinais de 
iD, vDs e vGs são contrários àqueles observados para o MOSFET 
de canal N. 
 
 
IGBT 
O IGBT (isolated gate bipolar transistor) é uma chave 
semicondutora que reúne algumas das principais características 
do transistor bipolar e do MOSFET. 
 
 
MCT 
O MCT (mos controlled thyristor) é uma chave semicondutora 
que reune algumas das principais características do MOSFET e 
do SCR. 
 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 12 
 
TRIAC 
O TRIAC é uma chave semicondutora que é constituída 
basicamente de dois SCRs em anti-paralelo. 
 
 
GTO 
O GTO (gate turned off) é basicamente um SCR fabricado para 
ser apagado pelo gatilho. 
De [1] tem-se as seguintes capacidades para os diversos tipos de dispositivos 
semicondutores de potência existentes no mercado na década de 1990. 
Tabela I.1 – Valores nominais de dispositivos semicondutores de potência 
 Tipo 
Especificação 
Tensão/Corrente 
Freqüência 
superior (hz) 
Tempo de 
chaveamento 
(ms) 
Resistência em 
estado de 
condução (W) 
Genéricos 5000v/5000a 1k 100 0,16m 
Alta velocidade 3000v/1000a 10k 2-5 1m Diodos 
Schottky 40v/60a 20k 0,23 10m 
Bloqueio 
reverso 
5000v/5000a 1k 200 0,25m 
Alta velocidade 1200v/1500a 10k 20 0,47m 
Bloqueio 
reverso 
2500v/400a 5k 40 2,16m 
Condução 
reversa 
2500v/1000a 5k 40 2,1m 
Gatt 1200v/400a 20k 8 2,24m 
Tiristores com 
desligamento 
forçado 
Disp. Por luz 6000v/1500a 400 200-400 0,53m 
Triacs 1200v/300a 400 200-400 3,57m 
Gtos 4500v/3000a 10k 15 2,5m Tiristores 
autocomutados Sith 4000v/2200a 20k 6,5 5,75m 
400v/250a 20k 9 4m 
400v/40a 20k 6 31m Único 
650v/50a 25k 1,7 15m 
Transistores de 
Potência 
Darlington 1200v/400a 10k 30 10m 
Sits 1200v/300a 100k 0,55 1,2 
500v/8,6a 100k 0,7 0,6 
1000v/4,7a 100k 0,9 2 
Mosfets de 
Potência Único 
500v/50a 100k 0,6 0,4m 
Igbts Único 1200v/400a 20k 2,3 50m 
Mcts Único 600v/60a 20k 2,2 18m 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 13 
I.2. Circuitos Básicos Úteis ao Estudo da Eletrônica de Potência 
 
I.2.1. Circuito R – C 
 
 
Figura I.12 - Circuito R - C. 
Supõe-se que no circuito da Figura I.12, inicialmente, o capacitor, C, esteja carregado 
com a tensão Vo indicada e o tiristor, Tp, se encontra no estado de bloqueio. 
Após o disparo de Tp, no instante t = 0, a equação de tensão para este circuito será: 
1 t
oo
V Ri idt V
C
= + -ò (I.1) 
Cuja solução é expressa por: 
-t/RC eo
V V
i
R
+
= (I.2) 
A tensão no capacitor é dada por: 
Vc = V - Ri = V - (V + Vo) e-t/RC (I.3) 
Asequações (I.2) e (I.3) estão representadas graficamente na Figura I.13. Esta Figura 
mostra que a corrente no capacitor adquire um valor inicial de (V + Vo)/R e depois decresce 
exponencialmente, enquanto a tensão cresce, também exponencialmente, de (-Vo) para V. 
 
Figura I.13 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.12. 
 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 14 
A Figura I.14 mostra a variação da corrente e da tensão no capacitor do circuito da 
Figura I.12 para Vo = 0. 
 
 
Figura I.14 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.12 para Vo = 0. 
 
Se Vo for menor que V e se tiver uma polaridade contrária aquela indicada na Figura 
I.12, a representação gráfica das equações (I.2) e (I.3) passa a ser aquela da Figura I.15. 
 
 
Figura I.15 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.12 para V > vc(o) > 0. 
 
Se o capacitor estiver, inicialmente, carregado com uma tensão Vo > V e de polaridade 
oposta àquela indicada, o tiristor Tp não poderá ser disparado. 
 
 
 
 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 15 
I.2.2. Circuito R – L 
 
 
Figura I.16 - Circuito R – L. 
No circuito da Figura I.16, Io é a corrente inicial na indutância, L. Após o disparo de Tp, 
a equação de tensão para este circuito é expressa por: 
di
V L Ri
dt
= + (I.4) 
A solução desta equação (I.4) para a condição inicial i(o) = Io é: 
R
t
L
o
V V
i I e
R R
-
= - -æ öç ÷
è ø
 (I.5) 
A tensão no indutor é expressa por: 
vL = V - Ri = (V - R io) 
R
t
Le
-
 (I.6) 
A Figura I.17 mostra as formas de onda da corrente e da tensão no indutor do circuito 
da Figura I.13 para Io < V/R. Observa-se que a corrente cresce exponencialmente de Io para 
V/R e a tensão adquire um valor inicial de (V - RIo) e depois decresce exponencialmente. 
 
Figura I.17 - Corrente e tensão no indutor do circuito da Figura I.16 para Io < V/R. 
Se Io > V/R, a corrente e a tensão no indutor variam segundo as curvas da Figura I.18. É 
interessante notar que para esta situação a tensão no indutor é negativa. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 16 
 
Figura I.18 - Corrente e tensão no indutor do circuito da Figura I.16 para Io > V/R. 
A Figura I.19 também mostra a variação da corrente e da tensão no indutor do circuito 
da Figura I.16 para Io = 0. 
 
Figura I.19 - Corrente e tensão no indutor do circuito da Figura I.16 para Io = 0. 
Se a tensão de alimentação for nula isto é, para V = 0, o tiristor, Tp, não será disparado 
e, neste caso, a corrente, i, circulará pelo diodo DR enquanto a energia armazenada em L for 
dissipada na resistência R. O tempo de dissipação dessa energia é uma função de R, isto é, ele 
aumenta quando R diminui e vice-versa, veja equação (I.6). A Figura I.20 mostra as formas de 
onda da corrente e da tensão para esta situação. 
 
Figura I.20 - Corrente e tensão no indutor do circuito da Figura I.16 para V = 0 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 17 
 
I.2.3. Circuito de Carga de um Capacitor à Corrente Constante 
 
A Figura I.21 mostra um circuito que permite o carregamento de um capacitor à 
corrente constante. Supõe-se que o capacitor C esteja inicialmente carregado com a tensão Vo 
indicada na Figura e o tiristor Tp esteja no estado de bloqueio. 
 
 
Figura I.21 - Circuito de carga de um capacitor à corrente constante. 
 
Quando o tiristor for disparado, a corrente I da fonte de corrente circulará através do 
capacitor. Assim a tensão vc, será dada por: 
 
1 tt
c o oo
I
v Idt V V
C C
= - = -ò (I.7) 
 
 
Figura I.22 - Tensão no capacitor do circuito da Figura I.2I. 
 
Esta equação (I.7) está representada, graficamente, na Figura I.22. 
 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 18 
I.2.4. Circuito de Carga de um Indutor à Tensão Constante 
 
A Figura I.23 mostra um circuito que permite o carregamento de um indutor à tensão 
constante. Supõe-se que o indutor L esteja inicialmente com corrente nula, conforme indicada 
na Figura e o tiristor Tp esteja no estado de bloqueio. 
 
Figura I.23 - Circuito de carga de um indutor à tensão constante. 
 
Quando o tiristor for disparado, a tensão V da fonte de tensão será aplicada sobre o 
indutor. Assim a corrente iL, será dada por: 
 
L
d
V L
dt
i= (I.8) 
 
( )
L
V
t t
L
i = (I.9) 
Esta equação (I.9) está representada, graficamente, na Figura I.24. 
 
Figura I.24 - Corrente no indutor do circuito da Figura I.23. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 19 
 
I.2.5. Circuito LC Unidirecional sem Corrente Inicial 
 
 
 
Figura I.25 - Circuito L - C unidirecional sem corrente inicial. 
 
No circuito da Figura I.20, Vo é a tensão inicial do capacitor C. A equação de tensão 
para este circuito após o disparo do tiristor Tp é: 
1 t
oo
di
V L idt V
dt C
= + -ò (I.10) 
Que solucionada, para i(o) = 0, resulta 
( ) t sen
LC
o
C
i V V
L
= + (I.11) 
A tensão no capacitor é dada por 
( )cosc o
di t
v V L V V V
dt LC
= - = - + (I.12) 
A corrente i (equação (I.11)) e a tensão vc (equação (I.12)) estão representadas 
graficamente na Figura I.26. Pode-se observar que a tensão no capacitor cresce de (- Vo) para 
(2 V + Vo) e que o valor máximo da corrente é ( )o
C
V V
L
+ . 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 20 
 
Figura I.26 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.25 para 
Vo > 0 e com a polaridade indicada. 
 
A Figura I.27 mostra as variações da corrente e da tensão no capacitor do circuito da 
Figura I.25 para Vo = 0. Para esta situação vc cresce de zero para 2V e o valor máximo de i é 
C
V
L
. 
 
 
Figura I.27 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.25 para Vo = 0. 
Eletrônica de Potência 
Introdução - 21 
 
Figura I.28 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.25 para V = 0. 
 
Se a tensão de alimentação for nula, isto é, se V = 0, a corrente i e a tensão vc variam 
segundo as curvas da Figura I.28. Neste caso ocorre simplesmente uma inversão de tensão no 
capacitor, is to é, vc cresce de - Vo para + Vo e o máximo valor de i é o
C
V
L
. 
A Figura I.29 mostra as variações da corrente e da tensão no capacitor do circuito da 
Figura I.25 para V>Vo > 0. Para esta situação a tensão no capacitor cresce de (Vo) para (2 V - 
Vo) e que o valor máximo da corrente é ( )o
C
V V
L
- . 
 
Figura I.29 - Corrente e tensão no capacitor do circuito da Figura I.25 para V>Vo> 0. 
 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 22 
1. CONVERSORES CC/CC 
 
 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
Os conversores CC/CC são, fundamentalmente, destinados a dois tipos básicos de 
aplicações, primeiro onde se exige uma tensão CC ajustável, como em acionamentos, e 
segundo onde é necessária uma tensão constante com boa regulação, como no caso de fontes 
CC de alimentação para diversas finalidades, como por exemplo fontes para alimentação de 
microcomputadores. 
1.2. Conversores CC/CC PWM do Tipo Buck 
Um conversor CC/CC PWM (Pulse Width Modulation) do tipo Buck é, essencialmente, 
um conversor abaixador que transforma uma tensão constante numa tensão CC ajustável, 
como mostra a Figura 1.1. 
 
Figura 1.1 - Diagrama de blocos de um conversor CC/CC. 
Este conversor consiste, basicamente, de um dispositivo de chaveamento, como mostra 
a Figura 1.2, que recebendo uma tensão CC constante fornece uma tensão CC pulsada, como 
mostra a Figura 1.3(b),cujo valor médio pode ser controlado através da variação da largura 
dos pulsos conforme uma lei de controle 
 
Figura 1.2 - Conversor CC/CC PWM do tipo Buck. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC -23 
. 
Figura 1.3 - Tensões de entrada e de saída de um conversor CC/CC PWM do tipo Buck. 
 
Vi = tensão de alimentação; 
Vm = tensão média na carga; 
Tp = tiristor principal; 
Dr = diodo de roda livre; 
is = corrente na fonte; 
ir = corrente no diodo Dr; 
i = corrente na carga; 
t = tempo; 
ta = tempo de Tp aberto; 
tf = tempo de Tp fechado; 
T = período; 
iM = corrente máxima na carga; 
im = corrente mínima na carga; 
I = corrente média na carga; 
Di = ondulação de corrente. 
Figura 1.4 - Circuito, tensão e corrente de um conversor CC/CC PWM alimentando uma carga R-L-E. 
 
A Figura 1.4 mostra um circuito simplificado de um conversor CC/CC ideal 
alimentando uma carga R-L-E (ou motor CC) juntamente com as formas de onda de tensão e 
corrente e as definições das grandezas usadas. Foi escolhida uma carga R-L-E porque ela é 
bem geral. As demais cargas CC são casos particulares desta. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 24 
1.2.1. Condução Contínua 
Considera-se que em t = 0, o conversor já esteja funcionando em regime permanente. 
Neste mesmo instante o tiristor Tp é disparado e conduz durante o intervalo de tempo tf. Em t 
= tf, ocorre a interrupção da condução de Tp que voltará a conduzir apenas em t = T quando, 
então, se inicia um novo ciclo. 
Considerando-se queda de tensão em Tp desprezível, durante o intervalo de tempo tf, a 
tensão aplicada à carga é V. A corrente i na carga, que é igual a corrente is na fonte durante tf, 
cresce exponencialmente. 
Durante o intervalo de tempo ta, a tensão na carga é nula (queda de tensão em Dr 
desprezível). A corrente que agora é igual a ir decresce exponencialmente. 
Durante a condução de Tp a equação de tensão na carga pode ser escrita da seguinte 
forma. 
i
d i
v V E R i L
d t
= = + + (1.1) 
A tensão média na carga ao longo do período T é dada por: 
0
T f
m i
ti
v v dt V
T T
= =ò 
ou 
m i iv V V da= = 
(1.2) 
Onde a = d = tf/T ®- é a razão cíclica. 
A tensão média pode ser escrita como: 
0 0
1
0
T T
m
d i R
v E R i L d t E i d t
T d t T
æ ö
= + + = + +ç ÷
è ø
ò ò (1.3) 
A expressão 
0
1 T
i d t
T
æ ö
ç ÷
è øò é a corrente média I na carga, assim da equação 1.3, tem-se: 
m
m
v E
v E R I I
R
-
= + Þ = (1.4) 
 
A equação (1.2) fornece o valor da tensão média na carga, enquanto a equação (1.4) dá 
a corrente média. É interessante notar que se houver continuidade de corrente na carga, a 
tensão média fornecida pelo conversor independe da impedância da carga. Portanto o 
conversor, em condução contínua funciona como uma boa fonte de tensão. Entretanto isto não 
acontece na condução descontínua, como será visto posteriormente. 
A solução da equação diferencial (1.1), para i(0+) = im, fornece: 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 25 
t
i i
m
V E V E
i i e
R R
b-- -æ ö= - +ç ÷
è ø
 (1.5) 
Onde b = L/R é a constante de tempo do circuito de carga. 
No instante t = tf tem-se i = iM, logo da equação (1.5) vem: 
t
i i
M m
V E V E
i i e
R R
b-- -æ ö= - +ç ÷è ø
 (1.6) 
Durante o intervalo de tempo ta, a equação de tensão na carga é: 
0 d iE R i L
d t
= + + (1.7) 
Cuja solução, para uma corrente inicial igual a iM, é 
ft t
M
E E
i i e
R R
b
-
-æ ö= + -ç ÷
è ø 
(1.8) 
Em t = T, a corrente i é igual a im, logo da equação (1.8), obtém-se 
( )fT t
m M
E E
i i e
R R
b
-
æ ö= + -ç ÷è ø
 (1.9) 
Substituindo o valor de im, dado pela equação (1.9), na equação (1.6), encontra-se: 
1
1
ft
i
M T
V e E
i
R Re
b
b
-
-
æ ö
-ç ÷= -ç ÷ç ÷-è ø
 
(1.10) 
Esta equação (1.10) permite determinar o máximo valor da corrente de carga. 
A substituição da equação (1.10) na equação (1.9) seguida de rearranjos, resulta: 
1
at T
i
m T
V e e E
i
R Re
b b
b
- -
-
æ ö-ç ÷= -ç ÷ç ÷-è ø
 (1.11) 
Esta equação (1.11) fornece o mínimo valor da corrente de carga em condução contínua. 
Subtraindo membro a membro as equações (1.10) e (1.11) obtém-se: 
1 1
1
f at t
i
M m T
e e
V
i i i
R e
b b
b
- -
-
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è øè øD = - =
-
 
(1.12) 
Onde Di é chamada de amplitude da ondulação de corrente. 
A equação (1.12) está representada graficamente na Figura 1.7 para tf constante e T 
variável. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 26 
 
Figura 1.5 - Ondulação de corrente em função do período pata t f=cte e T variável. 
Pode-se observar que a amplitude da ondulação é mínima quando T é igual a tf e tende 
assintoticamente a um máximo Vi/R(1-e-
tf / b), quando T aumenta. Observa-se também que, 
para grandes valores de T, a ondulação de corrente, além de ser praticamente constante, será 
tanto menor quanto menor for o tempo de condução. Entretanto o tempo de condução é 
limitado, principalmente pelo circuito de comutação, como será visto oportunamente. 
Esta situação, tf constante e T variável, se adapta bem em aplicações onde se deseja 
baixas tensões médias, uma vez que se pode obter baixas tensões médias (tf pequeno e T 
grande) com uma ondulação de corrente relativamente baixa e praticamente constante. 
Para T constante e tf variável a ondulação de corrente varia segundo as curvas mostradas 
na Figura 1.6. 
 
Figura 1.6 - Ondulação de corrente em função de t f., para T=cte e t f variável. 
Observa-se que para esta situação, a ondulação de corrente é máxima em tf=T/2 e 
decresce para um aumento ou decréscimo de tf. Observa-se também que para um período 
menor T1 (e conseqüentemente maior freqüência) tem-se menor ondulação de corrente. 
Entretanto o valor de T1 é limitado pelas características do circuito e do circuito de 
comutação. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 27 
Esta situação T constante e tf variável, não permite tensões médias muito baixas, 
principalmente em altas frequências, devido a limitação de tf salientada anteriormente. 
1.2.2. Condução Descontínua 
Fazendo-se im = 0 e ta = ta’ na equação (1.11) e resolvendo encontra-se: 
1
T
a
i i
E Et Ln e
V V
b
b
-
-é ùæ ö¢ = + -ê úç ÷
è øë û
 (1.13) 
 
Figura 1.7 - Ondas para condução crítica. 
O tempo ta’, dado pela equação (1.13), é o tempo gasto para que toda energia 
armazenada na indutância de carga seja liberada. Se este tempo for maior que o tempo ta, o 
conversor trabalha em condução contínua (Figura 1.4), se for igual ele funciona em condução 
crítica (Figura 1.7) e se for menor, ele trabalha em condução descontínua (Figura 1.8). 
 
Figura 1.8 - Ondas para condução descontínua. 
Para o caso da condução descontínua, como indicado na Figura 1.8, a tensão média na 
carga é dada por: 
'
'0
1
0f f a
f f a
t t t T
m t t t
v v dt dt Edt
T
+
+
æ ö= + +ç ÷è øò ò ò (1.14) 
Ou por 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 28 
'
f f a
m i
t T t t
v V E
T T
æ ö- -
= + ç ÷ç ÷
è ø
 (1.15) 
A equação (1.15) mostra que a tensão média na carga, em condução descontínua, 
depende da carga. Foi visto que isto não acontece na condução contínua. 
Aqui a corrente média pode ser obtida da mesma forma em que foi encontrada 
anteriormente para a condução contínua (equação (1.4)). 
Para se obter a corrente máxima na carga basta fazer im = 0 na equação (1.6). Com isto, 
obtém-se: 
1
ft
i
M
V Ei e
R
b-æ ö-= -ç ÷
è ø
 (1.16) 
A condução descontínua apresenta sérios inconvenientes ao controle de tensão, porque o 
conversor não funciona como uma boa fonte de tensão, ou seja a tensão média na carga 
diminui quando a corrente de carga aumenta. Ascur vas mostradas na Figura 1.9 ilustram esta 
situação. 
 
Figura 1.9 - Tensão média em função da corrente média na carga. 
Os pontos situados entre o eixo das ordenadas e a curva tracejada representam 
condições de condução descontínua e aqueles situados sobre esta curva correspondem à 
condução crítica e aqueles à direita da mesma são relativos à condução contínua. Observa-se 
que quanto menor for a razão cíclica a, maior será a variação da tensão média com a corrente 
de carga quando o conversor funciona em condução descontínua. 
1.2.3. Controle da Tensão de Saída 
Foi visto que a tensão média vm é igual ao produto da tensão V da fonte pela razão 
cíclica a (equação (1.2)). Como V é constante, a única maneira de controlar é variar a. Sendo 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 29 
a igual à tf/T, pode-se variá-lo de duas maneiras básicas: (1o) variando tf e mantendo T 
constante e (2o) mantendo tf constante e variando T. 
 
Figura 1.10 - Tensões de saída para dois tempos de condução diferentes. 
A Figura 1.10 ilustra o primeiro método de controle da tensão de saída de um conversor 
CC/CC PWM. Esta Figura indica que o tempo de condução no caso (a) é maior que o tempo 
de condução do caso (b), conseqüentemente a tensão média em (a) é maior que em (b). 
 
Figura 1.11 - Geração de pulsos (a) diagrama de blocos (b) diagrama de tensão. 
Para realizar este tipo de controle de tensão, é necessário que um circuito de controle 
desempenhe uma função que permita variar a largura de pulso da onda de tensão de saída do 
conversor. Isto pode ser feito, pela comparação de uma onda dente de serra, de freqüência e 
amplitude constante (tensão de sincronismo), com uma tensão CC ajustável (tensão de 
controle), da seguinte forma. Um comparador recebe as duas tensões a de sincronismo e a de 
controle e quando estas se igualam a saída do mesmo muda de nível. Estas mudanças de 
níveis são transformadas em pulsos por um diferenciador por exemplo (Figura 1.9). Estes 
pulsos são usados para disparar e apagar o tiristor Tp, para controlar a tensão de saída do 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 30 
conversor. O pulso 1 é usado no disparo e o pulso 2 no apagamento. Através da Figura 1.11, 
vê-se que quanto maior for a tensão de controle maior será o tempo de condução do tiristor 
Tp. 
 
Figura 1.12 - Tensões de saída para dois períodos diferentes. 
O segundo método de controle de tensão, tf constante e T variável, está ilustrado na 
Figura 1.12. Esta Figura mostra que no caso (a) o período é menor que no caso (b), 
conseqüentemente a tensão média no caso (a) é maior que a do caso (b). 
Para realizar este tipo de controle de tensão, pode-se também comparar uma tensão 
dente de serra com uma tensão CC, de duas maneiras diferentes: 1ª Mantendo a tensão de 
controle constante e variando a amplitude e a freqüência da dente de serra. 2ª Mantendo a 
amplitude da dente de serra constante e variando a sua freqüência juntamente com a tensão de 
controle. 
A Figura 1.13 mostra um diagrama de blocos de um circuito que pode realizar todas as 
funções de comando citadas anteriormente. 
 
Figura 1.13 - Diagrama de blocos do comando de um conversor CC/CC PWM. 
A Figura 1.14 mostra um diagrama de blocos de um outro circuito que pode realizar 
todas as funções de comandos citadas anteriormente. Este outro método é denominado de 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 31 
controle por histerese ou controle bang-bang, entre outros. Neste controle o tempo de 
condução da chave e a freqüência de funcionamento são variados. Este tipo de controle 
apresenta um tempo de resposta considerado muito bom. Por isto é bastante utilizado em 
conversores que vão atuar em locais onde a dinâmica é fator preponderante. 
 
Figura 1.14 - Diagrama de blocos do comando de um conversor CC/CC PWM. 
Embora o dispositivo básico de chaveamento, indicado na Figura 1.4, seja um tiristor 
(SCR), o que foi dito até agora não seria muito diferente se este dispositivo fosse uma outra 
chave semicondutora qualquer. Se a chave usada for totalmente controlada e da família dos 
transistores, por exemplo, não há necessidade de transformar a saída do comparador em 
pulsos. Ela após ser tratada num estágio de saída (amplificação e isolação) pode ser usada 
diretamente para comandar o dispositivo de chaveamento. Neste caso o diagrama de blocos da 
Figura 1.11, a menos do estágio de saída pode ser implementado com o circuito integrado 
3525, por exemplo, e o circuito de potência completo é basicamente aquele da Figura 1.4 com 
uma chave totalmente controlada ao invés do SCR. 
Quando se usa um SCR como dispositivo de chaveamento, o que só é justificável, 
atualmente, para aplicações de alta potência, é necessário adicionar um circuito de comutação 
junto ao SCR principal. Este circuito adicional é usado para providenciar a polarização 
reversa, a qual é de capital importância para o apagamento do tiristor principal, uma vez que a 
alimentação é feita em corrente contínua. Um estudo detalhado destes circuitos de comutação 
será realizado posteriormente. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 32 
1.3. Estrutura Básica dos Conversores CC/CC PWM 
Até o presente momento, apenas a estrutura de conversão CC/CC abaixadora (ou 
conversor do tipo Buck) foi considerada. Entretanto existem outras estruturas básicas que são 
elevadoras, abaixadoras ou elevadoras e abaixadoras dependendo da razão cíclica. As 
estruturas CC/CC básicas serão apresentadas de forma simplificada logo a seguir. 
1.3.1. Conversor do tipo Buck 
Conforme foi visto, este conversor trabalha como abaixador de tensão e o seu circuito 
de potência genérico é mostrado na Figura 1.15. 
 
Figura 1.15 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC do tipo Buck. 
Neste conversor o conjunto carga mais elementos de filtros são considerados como uma 
fonte de corrente como indicado. Como esta estrutura é abaixadora de tensão o seu ganho de 
tensão é no máximo igual a um. 
1.3.1.1. Condução contínua 
Em condução contínua este conversor funciona com dois estágios de operação, que são 
os seguintes: 
1º Estágio (tf) – Este estágio é mostrado na Figura 1.16. Durante este estágio a chave S 
se encontra fechada e a fonte (Vi) fornece energia para a carga. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 33 
 
Figura 1.16 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC do tipo Buck, na configuração de sua primeira etapa de 
funcionamento, em condução contínua. 
2º Estágio (tf) – Este estágio é mostrado na Figura 1.17. Durante este estágio a chave S 
se encontra aberta e a carga se encontra em roda livre pelo diodo Do. 
 
Figura 1.17 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC do tipo Buck, na configuração de sua segunda etapa de 
funcionamento, em condução contínua. 
As formas de onda mais importantes, para condução contínua, estão apresentadas na 
Figura 1.18. 
 
Figura 1.18 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Buck, funcionando em condução contínua. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 34 
Em um conversor funcionando em regime permanente [3] a integral da tensão sobre o 
indutor, durante um período de chaveamento completo, é nula. Deste modo encontra-se a 
equação 1.17. 
( )
0
( )
T tf T
L i o oo tf
v t dt V V dt V dt= - + -ò ò ò (1.17) 
A solução da equação 1.17 nos leva à equação (1.18). 
0
i
V
D
V
= (1.18) 
Onde: 
T
tf
D = (1.19) 
1.3.1.2. Condução crítica 
Na fronteira entre condução contínua e descontínua este conversor continua operando 
com os mesmos dois estágios da condução contínua. A única diferença é que o valor mínimo 
da corrente, no indutorde filtro, atinge o valor nulo, porém não permanece nele. As formas de 
onda, principais, para este tipo de condução estão apresentadas na Figura 1.19. 
 
Figura 1.19 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Buck, funcionando em condução crítica. 
Da Figura 1.19 obtém-se a equação 1.20. 
( ) ( )oioiLpicoOBLB VVL
DT
VV
L
tf
iII -=-===
222
1
 (1.20) 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 35 
Considerando que a tensão de entrada é constante e substituindo-se o valor da tensão de 
entrada pela relação obtida na equação 1.18 obtém-se a equação 1.21. 
( )DD
L
TV
I iLB -= 12
 (1.21) 
Como o valor máximo de ILB é obtido quando tf=0,5T este valor é dado pela equação 
1.22. 
 
8
i
LBmzx
TV
I
L
= (1.22) 
Então: 
( )DDII LBLB -= 14 max (1.23) 
A solução da equação 1.23, em função de D, é apresentada na Figura 1.20. 
 
Figura 1.20 - Valor de ILB=IOB em função de D. 
1.3.1.3. Condução descontínua 
A condução descontínua, neste conversor, acontece quando a corrente no indutor de 
filtro se anula e permanece neste valor nulo por um determinado intervalo de tempo. As 
formas de onda, principais, para este tipo de condução estão apresentadas na Figura 1.21. 
 
Figura 1.21 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Buck, funcionando em condução descontínua. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 36 
Considerando: 
Tt a 11 D= (1.24) 
Tt a 22 D= (1.25) 
 
 
Tem-se: 
( ) TVDTVV ooi 1D=- (1.26) 
Então: 
D
D
V
V
i
o
+D
=
1
 (1.27) 
Onde: 
11 <+D D (1.28) 
Considerando-se Vi=constante, tem-se: 
T
L
V
i oLpico 1D= (1.29) 
2
1D+=
D
iI Lpicoo (1.30) 
( ) 112 DD+= DL
TV
I oo (1.31) 
12
D= D
L
TV
I io (1.32) 
1max4 D= DII LBo (1.33) 
Então: 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=
max
2
2
4
1
LB
oi
o
I
I
D
D
V
V
 
(1.34) 
Considerando-se Vo=constante, tem-se: 
( )oiLB VVL
DT
I -=
2
 (1.35) 
( )D
L
TV
I oLB -= 12
 (1.36) 
Quando D=0 ILB=ILBmax: 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 37 
L
TV
I oLB 2max
= (1.37) 
÷÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
è
æ
-
=
i
o
LB
o
i
o
V
V
I
I
V
V
D
1
max (1.38) 
As soluções das equações 1.34 e 1.38 resultam nos gráficos apresentados nas Figuras 
1.22 e 1.23, respectivamente. 
 
Figura 1.22 - Curvas resultantes da resolução da equação 1.34 para vários valores de D. 
 
Figura 1.23 - Curvas resultantes da resolução da equação 1.38 para vários valores de Vi/Vo. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 38 
1.3.1.4. Ondulação da Tensão de Saída 
As formas de onda, mais importantes, para se ver a ondulação da tensão de saída estão 
apresentadas na Figura 1.24. 
 
Figura 1.24 - Formas de onda onde se mostra a ondulação da tensão de saída do conversor Buck. 
De [3] tem-se que: 
222
11 TI
CC
Q
V Lo
D
=
D
=D (1.39) 
Mas: 
TD
L
V
I oL )1( -=D (1.40) 
Então: 
TD
L
V
C
T
V oo )1(8
-=D (1.41) 
LC
DT
V
V
o
o )1(
8
1 2 -
=
D
 (1.42) 
E a freqüência de corte do filtro de saída é dada por: 
LC
f c
p2
1
= (1.43) 
Para o bom funcionamento do conversor: 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 39 
sc ff << (1.44) 
1.3.2. Conversor do Tipo Boost 
O circuito de potência básico de um conversor do tipo Boost está representado de forma 
genérica na Figura 1.25. Este é um conversor que trabalha como elevador de tensão, ou seja, 
sua tensão de saída deverá ser sempre maior do que a de entrada. 
 
Figura 1.25 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Boost. 
Observa-se que a fonte de alimentação é considerada como fonte de corrente e é 
constituída de uma fonte de tensão em série com um indutor com alta indutância. A carga em 
paralelo com um capacitor de filtro é considerada como uma fonte de tensão. 
1.3.2.1. Condução Contínua 
Em condução contínua o funcionamento deste conversor se dá em dois estágios de 
operação. 
1º Estágio (tf) – Este estágio tem início quando a chave S1 é colocada em condução e 
tem fim quando esta mesma chave é colocada em bloqueio. Durante este estágio a fonte de 
tensão de entrada (Vi) fornece energia para o indutor Lf, que a acumula. Neste estágio a 
corrente no indutor Lf tem um crescimento linear. Este estágio é mostrado na Figura 1.26. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 40 
 
Figura 1.26 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Boost, na configuração de sua primeira etapa de 
funcionamento, em condução contínua. 
2º Estágio (ta) – Este estágio tem início quando a chave S1 colocada em bloqueio e tem 
fim quando esta mesma chave é colocada em condução, dando início ao primeiro estágio de 
funcionamento do próximo ciclo. Durante este estágio o indutor Lf fornece a energia 
acumulada, no estágio anterior, para a carga. Neste estágio a corrente no indutor Lf tem um 
decrescimento linear. Este estágio é mostrado na Figura 1.27. 
 
Figura 1.27 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Boost, na configuração de sua segunda etapa de 
funcionamento, em condução contínua. 
As formas de onda, mais importantes do conversor Boost, funcionando em condução 
contínua, estão apresentadas na Figura 1.28. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 41 
 
Figura 1.28 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Boost, funcionando em condução contínua. 
De [3] tem-se que, em regime permanente, a integral da tensão sobre o indutor, durante 
um período completo é nula. Então: 
0 0
( ) ( ) 0
tf ta
i i oV t dt V V dt+ - =ò ò (1.45) 
A solução da equação (1.45) nos leva à equação (1.46). 
0 1
1i
V
V D
=
-
 (1.46) 
Nota-se que quanto maior for a razão cíclica maior será a quantidade de energia 
armazenada no indutor de filtro em cada ciclo de chaveamento, fazendo com que a tensão de 
saída seja maior, uma vez que esta energia será liberada para a carga numa fração menor do 
período chaveamento. 
1.3.2.2. Condução critica 
Na fronteira entre condução contínua e descontínua este conversor continua operando 
com os mesmos dois estágios da condução contínua. A única diferença é que o valor mínimo 
da corrente, no indutor de entrada, atinge o valor nulo, porém não permanece nele. As formas 
de onda, principais, para este tipo de condução estão apresentadas na Figura 1.19. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 42 
 
Figura 1.29 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Boost, funcionando em condução crítica. 
Da Figura 1.29 obtém-se a equação (1.47). 
( ) ( )1
2 2 2LB d Lpico i o i o
tf DT
I I i V V V V
L L
= = = - = - (1.47) 
Considerando que a tensão de entrada é constante e substituindo-se o valor da tensão de 
entrada pela relação obtida na equação (1.46) obtém-se a equação (1.48). 
( )DD
L
TV
I iLB -= 12
 (1.48) 
Como o valor máximo de ILB é obtido quando tf=0,5T este valor é dado pela equação 
(1.49). 
8
i
LBmzx
TV
I
L
= (1.49) 
Como: 
(1 )
O
LB d
I
I I
D
= =
-
 (1.50) 
Então: 
2(1 )
2
O
OB
V T
I D D
L
= - (1.51) 
Como o valor máximo de IOB é obtido quando tf=0,333T este valor é dado pela equação 
(1.52). 
2
27
O
OB
V T
I
L
= (1.52) 
A solução das equações (1.49) e (1.52) , em função de D, é apresentada na Figura 1.30. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 43 
 
Figura 1.30 - Valores de ILB e IOB em função de D. 
1.3.2.3. Condução descontínua 
A condução descontínua, neste conversor, acontece quando a corrente no indutor de 
entrada se anula e permaneceneste valor nulo por um determinado intervalo de tempo. As 
formas de onda, principais, para este tipo de condução estão presentes na Figura 1.31. 
 
Figura 1.31 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Boost, funcionando em condução descontínua. 
Da Figura 1.31, tem-se: 
1( ) 0i i OVDT V V T+ - D = (1.53) 
Então: 
1
1
O
i
V D
V
D +
=
D
 (1.54) 
Como Id = IL, obtém-se: 
1( )2
i
d
V T
I D D
L
= + D (1.55) 
Portanto: 
12
i
O
V T
I D
L
= D (1.56) 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 44 
Obtendo então: 
max
4
1
27
O O O
i i OB
V V I
D
V V I
æ ö
= -ç ÷
è ø
 (1.57) 
A solução da equação (1.57), resultam no gráfico apresentado na Figura 1.32. 
 
Figura 1.32 - Curvas resultantes da resolução da equação (1.57) para vários valores de Vd/VO. 
1.3.2.4. Efeitos dos elementos parasitas 
As perdas são associadas às não idealidades do indutor, do capacitor, da chave e do 
diodo. 
 
Figura 1.33 - Curva real e ideal do ganho estático do conversor Boost. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 45 
1.3.2.5. Ondulação da tensão de Saída 
AS formas de onda, mais importantes, para se ver a ondulação da tensão de saída estão 
apresentadas na Figura 1.34. 
 
Figura 1.34 - Formas de onda onde se mostra a ondulação da tensão de saída do conversor Boost. 
1.3.3. Conversor do tipo Buck - Boost 
O conversor Buck-Boost, conforme seu próprio nome indica, é uma associação de um 
conversor Buck com um conversor Boost como mostra a Figura 1.35. Conforme o próprio 
nome indica este conversor pode trabalhar tanto como abaixador quanto como elevador de 
tensão. 
 
Figura 1.35 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Buck-Boost. 
Neste conversor o indutor L deve ser grande o suficiente para manter a corrente I 
aproximadamente constante. 
Quando a chave S está fechada a primeira parte do circuito se comporta como um 
conversor do tipo Buck, tendo o indutor L como carga. Entretanto, quando a chave S está 
aberta a segunda parte do circuito trabalha como um conversor Boost, onde o indutor L é a 
fonte de alimentação (Figura 1.36). 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 46 
 
(a) 1ª etapa (Buck) 
 
(b) 2ª etapa (Boost) 
 Figura 1.36 - Etapas de operação do conversor tipo Buck-Boost. 
1.3.3.1. Condução Contínua 
As formas de onda mais importantes, para condução contínua, estão apresentadas na 
Figura 1.37. 
 
Figura 1.37 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Buck-Boost, funcionando em condução contínua. 
Pela integral da tensão no indutor em um período completo, obtém-se: 
( )(1 ) 0i OVDT V D T+ - - = (1.58) 
Portanto, o ganho de tensão deste conversor pode ser expresso pela equação (1.59). 
0
1
V D
Vi D
=
-
 (1.59) 
Nota-se que o ganho dado por esta equação corresponde ao produto do ganho do 
conversor Buck pelo ganho do conversor Boost, podendo ser maior ou menor que 1 (um) 
dependendo do valor da razão cíclica. É interessante notar também que a tensão de saída é 
invertida em relação à entrada. Isto é importante para aplicações em telefonia onde se usa o 
terminal positivo aterrado. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 47 
1.3.3.2. Condução critica 
Na fronteira entre condução contínua e descontínua este conversor continua operando 
com os mesmos dois estágios da condução contínua. A única diferença é que o valor mínimo 
da corrente, no indutor, atinge o valor nulo, porém não permanece nele. As formas de onda, 
principais, para este tipo de condução estão apresentadas na Figura 1.38. 
 
Figura 1.38 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Buck-Boost, funcionando em condução crítica 
Da Figura 1.38 obtém-se: 
1
2 2
i
LB d Lpico
VT
I I i D
L
= = = (1.60) 
Considerando que a tensão de entrada é constante e substituindo-se o valor da tensão de 
entrada pela relação obtida na equação (1.59), obtém-se: 
( )1
2
O
LB
TV
I D
L
= - (1.61) 
Do circuito tem-se: 
2(1 )
2
O
OB LB DB
V T
I I I D
L
= - = - (1.62) 
Como os valores máximos de ILB e de IOB são obtidos quando D=0, portanto: 
max 2
O
LBmax OB
V T
I I
L
= = (1.63) 
Então: 
max (1 )LB LBI I D= - (1.64) 
2
max (1 )OB OBI I D= - (1.65) 
A solução das equações (1.64) e (1.65), em função de D, é apresentada na Figura 1.39. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 48 
 
Figura 1.39 - Valores de ILB e IOB em função de D. 
1.3.3.3. Condução descontínua 
A condução descontínua, neste conversor, acontece quando a corrente no indutor se 
anula e permanece neste valor nulo por um determinado intervalo de tempo. As formas de 
onda, principais, para este tipo de condução estão presentes na Figura 1.31. 
 
Figura 1.40 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Buck-Boost, 
 funcionando em condução descontínua. 
Da Figura 1.31, tem-se: 
1i OVDT V T= D (1.66) 
Então: 
1
d O
O i
I V D
I V
= =
D
 (1.67) 
Calculando o valor de IL, obtém-se:: 
1( )2
i
L
V T
I D D
L
= + D (1.68) 
Portanto: 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 49 
2
2
2
i
O
O
V T
I D
LV
= (1.69) 
Obtendo então: 
max
O O
i OB
V I
D
V I
= (1.70) 
A solução da equação (1.70), resultam no gráfico apresentado na Figura 1.41. 
 
Figura 1.41 - Curvas resultantes da resolução da equação (1.57) para vários valores de Vi/VO. 
1.3.3.4. Efeitos dos elementos parasitas 
Assim como acontece nos conversores elevadores, os elementos parasitas afetam 
significativamente o comportamento dos conversores tipo Buck – Boost. 
 
Figura 1.42 - Curva real e ideal do ganho estático do conversor Buck-Boost. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 50 
1.3.3.5. Ondulação da tensão de Saída 
As formas de onda, mais importantes, para se ver a ondulação da tensão de saída estão 
apresentadas na Figura 1.43. 
 
Figura 1.43 - Formas de onda onde se mostra a ondulação da tensão de saída do conversor Buck - Boost. 
1.3.4. Conversor do Tipo Cúk 
 
O circuito de potência básico de um conversor do tipo Cúk está representado 
genericamente na Figura 1.44. 
 
Figura 1.44 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC do tipo Cuk. 
 
Observando a Figura 1.44, vê-se que este conversor interliga duas fontes de corrente. 
Para que isto possa ocorrer utiliza-se um capacitor C, emulando uma fonte de tensão entre 
elas de modo a restabelecer a configuração ideal que é sempre ter a seqüência, fonte de 
corrente – fonte de tensão – fonte de corrente – fonte de tensão, etc. 
 
 
 
 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 51 
1.3.4.1. Condução contínua 
 
Observando a Figura 1.44, quando a chave S está aberta o capacitor C é carregado 
através da alimentação, considerada fonte de corrente. Entretanto quando esta chave está 
fechada o capacitor C, que deve ter alta capacitância, trabalha como fonte de tensão, 
alimentando a carga, considerada como sendo fonte de corrente. 
 
(a) 1ª etapa 
(b) 2ª etapa 
Figura 1.45 - Etapas de operação do conversor tipo Cúk. 
 
Este conversor tomou o nome de Cúk, porque foi obtido em sua tese de doutorado. Ele 
foi obtido, através do princípio da dualidade, à partir do conversor Buck-Boost. Desta forma 
ele conserva a propriedade de inverter a tensão de saída, que existe no Buck-Boost. O 
capacitor C atua como acumulador de energia da fonte de entrada, transferindo-a em seguida 
para a carga. 
 
Figura 1.46 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo Cúk, 
 funcionando em condução contínua. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - ConversoresCC/CC - 52 
Considerando que a tensão no capacitor C varia muito pouco se pode toma-la como 
constante. A integral da tensão, sobre os indutores, durante um período completo, é nula. 
Obtém-se: 
1
O
i
V D
V D
=
-
 (1.71) 
1.3.5. Conversor do Tipo SEPIC 
A Figura 1.46 mostra uma configuração genérica de um conversor do tipo SEPIC. 
 
Figura 1.47 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC PWM do tipo SEPIC. 
 
1.3.5.1. Condução contínua 
 
Observa-se que este conversor possui dois elementos armazenadores de energia, um 
capacitor C e um indutor L. O capacitor, com alta capacitância, é carregado quando a chave S 
está aberta ao mesmo tempo que, o indutor, com alta indutância é descarregado, alimentando 
a carga a qual é considerada como sendo fonte de tensão. Quando a chave S está fechada, não 
ocorre transferência de energia para a carga e o indutor L é carregado através do capacitor C. 
Conforme pode ser visto na figura 1.48 onde estão apresentados os circuitos equivalentes das 
duas etapas de funcionamento, em regime permanente e em condução contínua. 
 
(a) 1ª etapa 
 
(b) 2ª etapa 
Figura 1.48 - Etapas de operação do conversor tipo SEPIC. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 53 
 
As formas de onda de tensão e corrente nos indutores de entrada e de acumulação estão 
apresentadas na Figura 1.49. 
 
Figura 1.49 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo SEPIC, 
 funcionando em condução contínua 
O ganho do conversor SEPIC é determinado pela equação (1.72), logo ele pode 
funcionar como abaixador ou elevador de tensão dependendo da razão cíclica. 
1
O
i
V D
V D
=
-
 (1.72) 
1.3.6. Conversor CC/CC PWM do Tipo ZETA 
Uma estrutura genérica, relativa à parte de potência de um conversor CC/CC PWM do 
tipo ZETA, é mostrada na Figura 1.48. 
 
Figura 1.50 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC PWM do tipo ZETA. 
 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 54 
1.3.6.1. Condução contínua 
A exemplo do conversor SEPIC, o conversor ZETA também possui dois elementos de 
armazenamento de energia, um indutor L e um capacitor C. Quando a chave S está fechada, o 
indutor L é carregado ao mesmo tempo em que ocorre transferência de energia para a carga. 
Quando a chave S é aberta, não ocorre transferência de energia para a carga e o capacitor C é 
carregado através da energia armazenada em L. Como pode ser visto nos circuitos 
equivalentes das duas etapas de funcionamento apresentados na Figura 1.51. 
 
(a) 1ª etapa 
 
(b) 2ª etapa 
Figura 1.51 - Etapas de operação do conversor tipo ZETA. 
 
As formas de onda das tensões e das correntes nos indutores deste conversor estão 
apresentadas na Figura 1.52. 
 
Figura 1.52 - Formas de onda de um conversor CC/CC do tipo ZETA, 
 funcionando em condução contínua 
De maneira análoga ao que foi visto para o conversor SEPIC, o conversor ZETA 
também pode trabalhar como abaixador ou elevador de tensão e o seu ganho é determinado 
pela equação (1.73). 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 55 
1
O
i
V D
V D
=
-
 (1.73) 
1.3.7. Conversor Tipo Buck Quadrático 
O conversor mostrado na Figura 1.53 pode ser visto como uma cascata de um estágio 
Buck passivo (L1, C1, D1 e D2) e um estágio Buck ativo (L2, C2, S, e Do). O chaveamento 
dos diodos do estágio passivo é o resultado da corrente de entrada pulsante do estágio ativo. 
 
Figura 1.53 - Estrutura genérica de um conversor CC/CC PWM do tipo Buck Quadrático. 
 
1.3.7.1. Condução contínua 
Em condução contínua o funcionamento deste conversor se dá em duas etapas de 
operação. 
1ª Etapa (tf) – Esta etapa tem início quando a chave S é colocada em condução e tem 
fim quando esta mesma chave é colocada em bloqueio. Durante esta etapa a fonte de tensão 
de entrada (Vi) fornece energia para o indutor L1 e o capacitor C1 fornece energia para L2. 
Nesta etapa as correntes nos indutores L1 e L2 tem um crescimento linear. Esta etapa é 
mostrada na Figura 1.54. 
 
Figura 1.54 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Buck Quadrático, na configuração de sua primeira 
etapa de funcionamento, em condução contínua. 
2ª Etapa (ta) – Esta etapa tem início quando a chave S colocada em bloqueio e tem fim 
quando esta mesma chave é colocada em condução, dando início à primeira etapa de 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 56 
funcionamento do próximo ciclo. Durante esta etapa o indutor L2 fornece a energia 
acumulada, no estágio anterior, para a carga, enquanto o indutor L1 fornece energia para o 
capacitor C1. Nesta etapa as correntes nos indutores L1 e L2 tem um decrescimento linear. Esta 
etapa é mostrada na Figura 1.55. 
 
Figura 1.55 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Buck Quadrático, na configuração de sua segunda etapa 
de funcionamento, em condução contínua. 
 
Como foi visto este conversor trabalha como se fosse dois conversores Buck colocados 
em cascata, portanto o seu ganho estático é o ganho do conversor Buck elevado ao quadrado e 
é determinado pela equação (1.74). 
2o
i
V
D
V
= 
(1.74) 
 
1.3.8. Conversor do Tipo Boost Quadrático 
O circuito de potência básico de um conversor do tipo Boost Quadrático está 
representado de forma genérica na Figura 1.56. Este conversor é uma derivação do conversor 
Buck Quadrático. Também pode ser visto como uma cascata de um estágio Boost passivo 
(L1, D1, D2 e C1) e um estágio Boost ativo (L2, S, Do e C2). 
 
Figura 1.56 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Boost Quadrático. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 57 
 
1.3.8.1. Condução contínua 
Em condução contínua o funcionamento deste conversor se dá em duas etapas de 
operação. 
1ª Etapa (tf) – Esta etapa tem início quando a chave S é colocada em condução e tem 
fim quando esta mesma chave é colocada em bloqueio. Durante esta etapa a fonte de tensão 
de entrada (Vi) fornece energia para o indutor L1, que a acumula, e o capacitor C1 fornece sua 
energia acumulada para o indutor L2. Nesta etapa as correntes nos indutores L1 e L2 tem um 
crescimento linear. Esta etapa é mostrada na Figura 1.57. 
 
Figura 1.57 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Boost Quadrático, na configuração de sua primeira 
etapa de funcionamento, em condução contínua. 
2ª Etapa (ta) – Esta etapa tem início quando a chave S colocada em bloqueio e tem fim 
quando esta mesma chave é colocada em condução, dando início a primeira etapa de 
funcionamento do próximo ciclo. Durante esta etapa o indutor L1 fornece a energia 
acumulada, na etapa anterior, para o capacitor C1, enquanto o indutor L2 fornece a energia 
para a carga. Nesta etapa as correntes nos indutores L1 e L2 têm um decrescimento linear. Esta 
etapa é mostrada na Figura 1.58. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 58 
 
Figura 1.58 - Estrutura genérica de um conversor do tipo Boost Quadrático, na configuração de sua segunda 
etapa de funcionamento, em condução contínua. 
 
Como foi visto este conversor trabalha como se fosse dois conversores Boost colocados 
em cascata, portanto o seu ganho estático é o ganho do conversor Boost elevado ao quadrado 
e é determinado pela equação (1.75). 
2
1
1
o
i
V
V D
æ ö= ç ÷-è ø
 
(1.75) 
 
1.3.9. Conversor do Tipo “Half-Bridge” 
O circuito de potência básico de um conversor do tipo “Half-Bridge” está representado 
de forma genérica na Figura 1.59. Este conversor é uma derivação do conversor Buck. 
Também pode ser visto como dois conversores Buck colocados em paralelo, um estágio Buck 
(C1, S1, D1, D3 e D6) e o outro estágio Buck (C2, S2, D2, D4 e D5), cadaum deles 
alimentado com uma tensão cujo valor é a metade da tensão de entrada. 
 
Figura 1.59 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Half-Bridge”. 
 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 59 
1.3.9.1. Condução contínua 
Em condução contínua o funcionamento deste conversor se dá em quatro etapas de 
operação, sendo duas delas para cada uma das chaves ativas. 
1ª Etapa (tf1) – Esta etapa tem início quando a chave S1 é colocada em condução e tem 
fim quando esta mesma chave é colocada em bloqueio. Durante esta etapa a fonte de tensão 
de entrada (Vi) fornece energia para a carga através do capacitor C1 e dois diodos D3 e D6. 
Nesta etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um crescimento linear. Esta etapa é 
mostrada na Figura 1.60. Esta etapa equivale à primeira etapa do primeiro conversor Buck do 
conjunto que forma o conversor “half-bridge”. 
 
Figura 1.60 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Half-Bridge” na configuração da primeira etapa de 
funcionamento. 
 
2ª Etapa (ta1) – Esta etapa tem início quando a chave S1 é colocada em bloqueio e tem 
fim quando a chave S2 é colocada em condução, dando início a terceira etapa de 
funcionamento deste ciclo e a primeira utilizando a chave S2. Durante esta etapa a carga se 
encontra em roda livre pelos diodos D3, D4, D5 e D6 da ponte retificadora de saída. Nesta 
etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um decrescimento linear. Esta etapa corresponde à 
etapa de roda livre do primeiro conversor Buck dos quais é formado o conversor “half-bridge” 
e é mostrada na Figura 1.61. 
 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 60 
Figura 1.61 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Half-Bridge” na configuração da segunda etapa de 
funcionamento. 
 
3ª Etapa (tf2) – Esta etapa tem início quando a chave S2 é colocada em condução e tem 
fim quando esta mesma chave é colocada em bloqueio. Durante esta etapa a fonte de tensão 
de entrada (Vi) fornece energia para a carga através do capacitor C2 e dois diodos D4 e D5. 
Nesta etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um crescimento linear. Esta etapa equivale à 
primeira etapa do segundo conversor Buck do conjunto que forma o conversor “half-bridge”. 
Esta etapa é mostrada na Figura 1.62. 
 
Figura 1.62 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Half-Bridge” na configuração da terceira etapa de 
funcionamento. 
 
4ª Etapa (ta2) – Esta etapa tem início quando a chave S2 é colocada em bloqueio e tem 
fim quando a chave S1 é colocada em condução, dando início a um novo ciclo de 
funcionamento. Durante esta etapa a carga se encontra em roda livre pelos diodos D3, D4, D5 
e D6 da ponte retificadora de saída. Nesta etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um 
decrescimento linear. Esta etapa corresponde à etapa de roda livre do segundo conversor Buck 
dos quais é formado o conversor “half-bridge” e é mostrada na Figura 1.63. 
 
Figura 1.63 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Half-Bridge” na configuração da quarta etapa de 
funcionamento. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 61 
 
Como foi visto este conversor trabalha como se fosse dois conversores Buck colocados 
em paralelo, portanto o seu ganho estático é o ganho do conversor Buck, somente que 
considerando que a tensão aplicada sobre a carga é a metade do valor da tensão de entrada e 
que cada chave pode trabalhar no máximo com tempo de fechamento igual à metade do seu 
período de chaveamento e é determinado pela equação (1.76). 
o
i
V
D
V
= 
(1.76) 
Onde: 
0,0 0,5D£ £ (1.77) 
Portanto o Ganho estático deste conversor é semelhante ao do conversor Buck (Figura 
1.22), somente que dividindo-se o valor do Ganho e de D por 2 naquela figura. 
 
1.3.10. Conversor do Tipo “Full-Bridge” 
O circuito de potência básico de um conversor do tipo “Full-Bridge” está representado 
de forma genérica na Figura 1.64. Este conversor é uma derivação do conversor Buck. 
Também pode ser visto como dois conversores Buck colocados em paralelo, um estágio Buck 
(S1, D1, S4, D4, D6 e D7) e o outro estágio Buck (S2, D2, S3, D3, D5 e D8), cada um deles 
alimentado com a tensão de entrada. 
 
Figura 1.64 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Full-Bridge”. 
 
1.3.10.1. Condução contínua 
Em condução contínua o funcionamento deste conversor se dá em quatro etapas de 
operação, sendo duas delas para cada um dos pares de chaves ativas. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 62 
1ª Etapa (tf1) – Esta etapa tem início quando as chaves S1 e S4 são colocadas em 
condução e tem fim quando estas mesmas chaves são colocadas em bloqueio. Durante esta 
etapa a fonte de tensão de entrada (Vi) fornece energia para a carga através das chaves S1 e S4 
e dos diodos D7 e D6. Nesta etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um crescimento 
linear. Esta etapa é mostrada na Figura 1.65. Esta etapa equivale à primeira etapa do primeiro 
conversor Buck do conjunto que forma o conversor “full-bridge”. 
 
Figura 1.65 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Full-Bridge” na configuração da primeira etapa de 
funcionamento. 
 
2ª Etapa (ta1) – Esta etapa tem início quando as chaves S1 e S4 são colocadas em 
bloqueio e tem fim quando as chaves S2 e S3 são colocadas em condução, dando início à 
terceira etapa de funcionamento deste ciclo e a primeira utilizando as chaves S2 e S3. Durante 
esta etapa a carga se encontra em roda livre pelos diodos D5, D6, D7 e D8 da ponte 
retificadora de saída. Nesta etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um decrescimento 
linear. Esta etapa corresponde à etapa de roda livre do primeiro conversor Buck dos quais é 
formado o conversor “full-bridge” e é mostrada na Figura 1.66. 
 
Figura 1.66 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Full-Bridge” na configuração da segunda etapa de 
funcionamento. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 63 
 
3ª Etapa (tf2) – Esta etapa tem início quando as chaves S2 e S3 são colocadas em 
condução e tem fim quando estas mesmas chaves são colocadas em bloqueio. Durante esta 
etapa a fonte de tensão de entrada (Vi) fornece energia para a carga através das chaves S2 e S3 
e dos diodos D5 e D8. Nesta etapa a corrente no indutor de filtro Lf tem um crescimento 
linear. Esta etapa equivale à primeira etapa do segundo conversor Buck do conjunto que 
forma o conversor “full-bridge”. Esta etapa é mostrada na Figura 1.67. 
 
Figura 1.67 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Full-Bridge” na configuração da terceira etapa de 
funcionamento. 
 
4ª Etapa (ta2) – Esta etapa tem início quando as chaves S2 e S3 são colocadas em 
bloqueio e tem fim quando as chaves S1 e S4 são colocadas em condução, dando início a um 
novo ciclo de funcionamento. Durante esta etapa a carga se encontra em roda livre pelos 
diodos D5, D6, D7 e D8 da ponte retificadora de saída. Nesta etapa a corrente no indutor de 
filtro Lf tem um decrescimento linear. Esta etapa corresponde à etapa de roda livre do 
segundo conversor Buck dos quais é formado o conversor “full-bridge” e é mostrada na 
Figura 1.68. 
 
Figura 1.68 - Estrutura genérica de um conversor do tipo “Full-Bridge” na configuração da quarta etapa de 
funcionamento. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 64 
 
Como foi visto este conversor trabalha como se fosse dois conversores Buck colocados 
em paralelo, portanto o seu ganho estático é o ganho do conversor Buck multiplicado por 
dois, somente que considerando que cada par de chaves pode trabalhar no máximo com tempo 
de fechamento igual à metade do seu período de chaveamento e é determinado pela equação 
(1.78). 
2oi
V
D
V
= 
(1.78) 
Onde: 
0 0,5D£ £ (1.79) 
Portanto o Ganho estático deste conversor é semelhante ao do conversor Buck (Figura 
1.22), somente que dividindo-se o valor de D por 2 naquela figura. 
 
1.3.11. Conversores CC/CC isolados 
 
Em determinadas aplicações é necessário que os conversores possuam isolamento 
galvânico entre a fonte de entrada e a carga. Esta necessidade pode ser decorrente de um dos 
seguintes fatores: 
1 – Necessidade de se atingir um ganho tão elevado que apenas o conversor não isolado 
seja capaz de atingir; 
2 – Proteção humana, porque existem normas de segurança que exigem isolação 
galvânica entre entrada e saída dependendo apenas do nível da tensão de entrada. 
Quando acontece qualquer destas hipóteses, os conversores apresentados até o momento 
não podem satisfazê- las da maneira em que estão. Muitos deles são facilmente isolados sem 
necessidade de modificação topológica e sem variação nas etapas de funcionamento em 
relação às versões não isoladas, outros apresentam algumas variações. Existem muitos tipos 
de conversores isolados dos quais serão abordados apenas os mais usuais neste trabalho. 
 
1.3.11.1. Conversores CC/CC isolados do tipo Flyback 
 
Estes conversores são derivados dos conversores Buck-Boost. Somente que substituindo 
o indutor de acumulação por um transformador. A estrutura genérica deste conversor isolado 
é apresentada na Figura 1.69. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 65 
 
Figura 1.69 – Estrutura genérica do conversor CC/CC isolado Flyback. 
 
1.3.11.1.1. Condução contínua 
As etapas de funcionamento deste conversor são similares àquelas do conversor Buck-
Boost. Portanto os circuitos equivalentes não serão apresentados aqui. Quando a chave S é 
fechada, o enrolamento primário do transformador recebe a energia fornecida pela fonte de 
entrada Vi e a armazena no campo magnético, porque o diodo Do bloqueia a transferência 
desta energia para a carga. Esta energia armazenada no campo magnético, dá origem a um 
campo magnético que enlaça os dois enrolamentos, primário e secundário, cujos números de 
espiras são Np e Ns, respectivamente. Quando a chave S é aberta esta energia é transferida 
para a carga pelo enrolamento secundário. O ganho estático deste conversor é o ganho estático 
do conversor Buck-Boost multiplicado pela relação de transformação do transformador e é 
dado pela equação (1.80). 
1
o s
i p
V ND
V D N
=
-
 
(1.80) 
 
1.3.11.2. Conversores CC/CC isolados do tipo Forward 
 
Os conversores CC/CC isolados do tipo Forward são derivados do conversor Buck. Esta 
derivação é feita através da adição de um transformador de isolação no conversor Buck e a 
adição de diodos de retificação assim como de enrolamentos adicionais, quando necessários. 
Existem, basicamente, dois tipo de conversores CC/CC isolados do tipo Forward que serão 
estudos, resumidamente, à seguir. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 66 
 
1.3.11.2.1. Conversores CC/CC isolados do tipo Forward à um transistor. 
 
Este conversor é obtido diretamente do conversor Buck, apenas adicionando-se um 
transformador entre a chave ativa S e a carga. Para que a topologia fique em condições de 
funcionamento em regime permanente e em corrente contínua na saída torna-se necessário a 
adição de um diodo de retificação de saída e de um enrolamento terciário de desmagnetização 
do transformador. Este conversor está apresentado na Figura 1.70. 
 
Figura 1.70 – Estrutura genérica do conversor CC/CC Forward à um transistor. 
 
1.3.11.2.1.1 Condução contínua 
As etapas de funcionamento deste conversor são similares àquelas do conversor Buck 
acrescidas de uma etapa de desmagnetização do transformador. Então, em regime permanente 
e em condução contínua, um ciclo de funcionamento deste conversor pode ser dividido em 
três etapas de funcionamento distintas. 
1ª Etapa (tf) – Esta etapa tem início quando a chave S é colocada em condução e tem 
fim quando esta mesma chave é colocada em bloqueio. Durante esta etapa a fonte de tensão 
de entrada (Vi) fornece energia para a carga através da chave S e do diodo D1. Nesta etapa a 
corrente no indutor de filtro Lf tem um crescimento linear. Esta etapa é mostrada na Figura 
1.71. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 67 
 
Figura 1.71 - Estrutura genérica do conversor CC/CC Forward à um transistor na configuração da primeira etapa 
de funcionamento. 
 
2ª Etapa (ta1) – Esta etapa tem início quando a chave S é colocada em bloqueio e tem 
fim quando termina a desmagnetização do transformador. Nesta etapa a corrente no indutor de 
filtro Lf tem um decrescimento linear enquanto que a corrente de magnetização do 
transformador decresce linearmente através do enrolamento terciário. Para a carga, esta etapa 
corresponde à uma parte da etapa de roda livre e é mostrada na Figura 1.72. 
 
Figura 1.72 - Estrutura genérica do conversor CC/CC Forward à um transistor na configuração da segunda etapa 
de funcionamento. 
 
3ª Etapa (ta2) – Esta etapa tem início quando a corrente de magnetização do 
transformador atinge o valor nulo e tem fim quando a chave S é colocada em condução dando 
início ao próximo ciclo de funcionamento. Durante esta etapa a carga se encontra em roda 
livre pelo diodo Do. O circuito na configuração desta etapa de funcionamento é mostrado na 
Figura 1.73. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 68 
 
Figura 1.73 - Estrutura genérica do conversor CC/CC Forward à um transistor na configuração da terceira etapa 
de funcionamento. 
 
O ganho estático deste conversor é o ganho estático do conversor Buck multiplicado 
pela relação de transformação do transformador e é dado pela equação (1.81). 
o s
i p
V N
D
V N
= 
(1.81) 
Este conversor tem a particularidade de que, quando Nt=Np, o máximo D com que a 
chave pode trabalhar seja menor que 0,5. Isto se deve ao fato de que o transformador será 
magnetizado e desmagnetizado com a mesma tensão e com o mesmo número de espiras, 
fazendo com que seja necessário o mesmo tempo nos dois processos. Então para que a 
desmagnetização se complete é necessário que a chave fique aberta por um tempo igual ou 
superior ao que ela ficou conduzindo. Isto é verdade para esta relação de espiras. 
 
1.3.11.2.2. Conversores CC/CC isolados do tipo Forward à dois transistores. 
 
Este conversor é obtido diretamente do conversor Buck, apenas adicionando-se um 
transformador entre a chave ativa S e a carga, deve-se acrescentar mais uma chave ativa entre 
o outro lado do enrolamento primário e a fonte de alimentação. Para que a topologia fique em 
condições de funcionamento deve-se acrescer dois diodos interligando o primário do 
transformador e a fonte de alimentação para que se processe a desmagnetização deste. Este 
conversor está apresentado na Figura 1.74. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 69 
 
Figura 1.74 – Estrutura genérica do conversor Forward à dois transistores. 
 
1.3.11.2.2.1 Condução contínua 
As etapas de funcionamento deste conversor são similares àquelas do conversor Buck 
acrescidas de uma etapa de desmagnetização do transformador. Então, em regime permanente 
e em condução contínua, um ciclo de funcionamento deste conversor pode ser dividido em 
três etapas de funcionamento distintas. 
1ª Etapa (tf) – Esta etapa tem início quando as chaves S1 e S2 são colocadas em 
condução e tem fim quando estas mesmas chaves são colocadas em bloqueio. Durante esta 
etapa a fonte de tensão de entrada (Vi) fornece energia para a carga através das chaves S1 e S2 
e do diodo D3. Nesta etapa a corrente noindutor de filtro Lf tem um crescimento linear. Esta 
etapa é mostrada na Figura 1.75. 
 
Figura 1.75 - Estrutura genérica do conversor Forward à dois transistores na configuração da primeira etapa de 
funcionamento. 
 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 70 
2ª Etapa (ta1) – Esta etapa tem início quando as chaves S1 e S2 são colocadas em 
bloqueio e tem fim quando termina a desmagnetização do transformador. Nesta etapa a 
corrente no indutor de filtro Lf tem um decrescimento linear enquanto que a corrente de 
magnetização do transformador decresce linearmente através do enrolamento primário 
colocado em sentido inverso sobre a fonte de entrada através dos diodos D1 e D2. Para a carga, 
esta etapa corresponde à uma parte da etapa de roda livre e é mostrada na Figura 1.76. 
 
Figura 1.76 - Estrutura genérica do conversor Forward à dois transistores na configuração da segunda etapa de 
funcionamento. 
 
3ª Etapa (ta2) – Esta etapa tem início quando a corrente de magnetização do 
transformador atinge o valor nulo e tem fim quando as chaves S1 e S2 são colocadas em 
condução dando início ao próximo ciclo de funcionamento. Durante esta etapa a carga se 
encontra em roda livre pelo diodo Do. O circuito na configuração desta etapa de 
funcionamento é mostrado na Figura 1.77. 
 
Figura 1.77 - Estrutura genérica do conversor Forward à dois transistores na configuração da terceira etapa de 
funcionamento. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 71 
 
O ganho estático deste conversor é o ganho estático do conversor Buck multiplicado 
pela relação de transformação do transformador e é dado pela equação (1.82). 
o s
i p
V N
D
V N
= 
(1.82) 
 
Este conversor tem a particularidade de que o máximo D com que a chave pode 
trabalhar seja menor que 0,5. Isto se deve ao fato de que o transformador será magnetizado e 
desmagnetizado com a mesma tensão e com o mesmo enrolamento, fazendo com que seja 
necessário o mesmo tempo nos dois processos. Então para que a desmagnetização se complete 
é necessário que a chave fique aberta por um tempo igual ou superior ao que ela ficou 
conduzindo. 
Comparando-se este conversor com o conversor Forward à um transistor observa-se que 
este possui uma chave ativa e um diodo a mais que aquele. Porem a chave do conversor 
Forward à um transistor fica submetida, normalmente, a uma tensão no mínimo igual ao 
dobro da tensão de entrada enquanto que as chaves do conversor Forward à dois transistores 
ficam submetidas, no máximo, à uma tensão igual à tensão de entrada. Como o custo das 
chaves cresce exponencialmente com a tensão duas chaves da metade da tensão custam menos 
que uma chave do valor total da tensão. Além do que no conversor Forward à dois transistores 
não há necessidade do enrolamento terciário para desmagnetização, simplificando assim a 
construção deste transformador. Desta forma, este último conversor é normalmente um 
conversor que custa mais barato que o conversor Forward à um transistor. 
 
1.3.11.3. Conversores CC/CC isolados do tipo “half-bridge” 
 
Os conversores CC/CC isolados do tipo “half-bridge são derivados do conversor “half-
bridge” não isolado. Esta derivação é feita através da adição de um transformador de isolação 
no conversor original e a adição de diodos de retificação. Desta forma o conversor isolado 
adquire a forma topológica representada na figura 1.78. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 72 
 
Figura 1.78 – Estrutura genérica do conversor “half-bridge” isolado. 
 
1.3.11.3.1. Condução contínua 
As etapas de funcionamento deste conversor são similares àquelas do conversor “half-
bridge” não isolado. Portanto os circuitos equivalentes não serão apresentados aqui. O ganho 
estático deste conversor é o ganho estático do conversor “half-bridge” não isolado 
multiplicado pela relação de transformação do transformador e é dado pela equação (1.83). 
o s
i p
V N
D
V N
= 
(1.83) 
Onde: 
0,0 0,5D£ £ (1.84) 
Portanto o Ganho estático deste conversor é semelhante ao do conversor Buck (Figura 
1.22), somente que dividindo-se o valor de D e do Ganho por 2 e multiplicando-o pela relação 
de transformação naquela figura. 
 
1.3.11.4. Conversores CC/CC isolados do tipo “full-bridge” 
 
Os conversores CC/CC isolados do tipo “full-bridge são derivados do conversor “full-
bridge” não isolado. Esta derivação é feita através da adição de um transformador de isolação 
no conversor original e a adição de diodos de retificação. Desta forma o conversor isolado 
adquire a forma topológica representada na figura 1.79. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 73 
 
Figura 1.79 - Estrutura genérica do conversor “full-bridge” isolado. 
 
1.3.11.4.1. Condução contínua 
As etapas de funcionamento deste conversor são similares àquelas do conversor “full-
bridge” não isolado. Portanto os circuitos equivalentes não serão apresentados aqui. O ganho 
estático deste conversor é o ganho estático do conversor “full-bridge” não isolado 
multiplicado pela relação de transformação do transformador e é dado pela equação (1.85). 
2o s
i p
V N
D
V N
= 
(1.85) 
Onde: 
0,0 0,5D£ £ (1.86) 
Portanto o Ganho estático deste conversor é semelhante ao do conversor Buck (Figura 
1.22), somente que dividindo-se o valor de D por 2 e multiplicando o ganho pela relação de 
transformação naquela figura. 
 
1.3.11.5. Conversores CC/CC isolados do tipo Push-Pull 
 
Os conversores CC/CC isolados do tipo Push-Pull são derivados do conversor Buck. 
Esta derivação é feita através da adição de um transformador de isolação com ponto médio 
com um conversor Buck para cada enrolamento primário e a adição de diodos de retificação. 
Desta forma o conversor isolado adquire a forma topológica representada na figura 1.80. 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 74 
 
Figura 1.80 - Estrutura genérica do conversor push-pull. 
 
1.3.11.5.1. Condução contínua 
As etapas de funcionamento deste conversor são similares àquelas do conversor 
Forward. O que deve ser observado é que existem dois conversores For trabalhando como se 
estivessem entrelaçados. Um dos conversores é formado pelo enrolamento superior do 
transformador (Figura 1.80), pela fonte de entrada Vi, pela chave S1 e pelo diodo D1 o outro é 
formado pelo enrolamento inferior do transformador (Figura 1.80), pela fonte de entrada, pela 
chave S2 e pelo diodo D2. Eles trabalham de forma entrelaçada, ou seja, como se estivessem 
em paralelo, um funcionando enquanto o outro está desligado. Ou seja, quando a chave S1 
está fechada a chave S2 deverá permanecer aberta e quando a chave S2 estiver fechada a chave 
S1 deverá permanecer aberta por sua vez. Desta forma o filtro de saída receberá uma onda 
com o dobro da freqüência utilizada em cada uma das chaves ativas. Portanto os circuitos 
equivalentes não serão apresentados aqui. O ganho estático deste conversor é igual ao ganho 
estático do conversor “full-bridge” isolado e é dado pela equação (1.87). 
2o s
i p
V N
D
V N
= 
(1.87) 
Onde: 
Eletrônica de Potência 
Cap. 1 - Conversores CC/CC - 75 
0,0 0,5D£ £ (1.88) 
Portanto o Ganho estático deste conversor, assim como acontece para o conversor “full-
bridge” isolado, é semelhante ao do conversor Buck (Figura 1.22), somente que dividindo-se 
o valor de D por 2 e multiplicando o ganho pela relação de transformação naquela figura. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 76 
 
 
2. CHOPPERS” - ConversoresCC/CC PWM a SCR 
 
 
2.1. Introdução 
 
 Conforme pode ser visto, foram utilizadas chaves genéricas para as diversas estruturas 
CC/CC PWM apresentadas. 
 Diversas chaves semicondutoras podem ser utilizadas, mas quando se usa o SCR, 
como dispositivo de chaveamento, em conversores alimentados em corrente contínua, são 
necessários alguns componentes adicionais para providenciar uma polarização reversa, uma 
vez que ele não possui apagamento controlado. Estes componentes adicionais constituem os 
circuitos de comutação forçada, os quais foram desenvolvidos por diversos pesquisadores e se 
apresentam de várias maneiras diferentes [2]. 
 Embora o número de circuitos de comutação forçada, já existentes, seja muito grande, 
serão estudados neste trabalho apenas quatro deles. O primeiro pode ser chamado do tipo 
básico devido a sua simplicidade, segundo é do tipo Wagner, o terceiro é o de McMurray e o 
quarto o de McMurray-Bedford, sendo estes três últimos muito utilizados na prática. 
 
2.2. Conversor CC/CC PWM a SCR(“chopper”) do Tipo Básico 
 
2.2.1. Princípio de Funcionamento 
 
 
Figura 2.1 – “Chopper” Básico . 
 
 A figura 2.1 mostra um conversor CC/CC PWM a SCR (“chopper”) do tipo Básico. 
 Para melhor entendimento do funcionamento deste circuito, seu ciclo de 
funcionamento será dividido em vários intervalos como indicados na figura 2.5. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 77 
 
 
 
Intervalo [t0, t1] 
 Considere que no instante t0, assinalado na figura 2.5, o circuito da figura 2.1 esteja 
funcionando em regime permanente com o tiristor principal Tp conduzindo a corrente de carga 
I e com o capacitor C carregado com a polaridade indicada. Neste mesmo instante o tiristor 
auxiliar Ta é disparado, dando início ao processo de apagamento de Tp. O circuito equivalente 
do “chopper” Básico para este intervalo é mostrado na figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2 - Circuito equivalente ao “chopper” Básico no intervalo [t0, t1]. 
 
 Imediatamente após o disparo de TA, a tensão do capacitor é aplicada reversamente ao 
tiristor principal. Com isto a sua condução é interrompida e a corrente de carga passa a 
circular através da malha C-carga-fonte-TA. Graças a isto, o capacitor, linearmente, se 
descarrega e depois se carrega em sentido contrário, até que sua tensão atinja o valor Vi (veja 
a figura 2.5). 
 O tiristor principal fica polarizado inversamente durante o tempo tq assinalado na 
figura 2.5. Por isto este tempo tq deve ser no mínimo igual ao toff de Tp para garantir uma 
recuperação completa da sua capacidade de bloqueio direto. Caso contrário o tiristor principal 
retomaria a condução quando sua tensão, de anodo para cátodo, se tornasse positiva. Isto 
produziria mau funcionamento (falha de comutação) do “chopper”. 
 Pode-se observar que imediatamente após o disparo de TA, a tensão na carga atinge o 
valor (Vi + Vo) e depois decresce para zero. 
 
 
 
 
Intervalo [t1 , t2] 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 78 
 
 
 
Figura 2.3 - Circuito Equivalente ao “chopper” Básico no Intervalo [t1,t2]. 
 
 No instante t1, a tensão no capacitor atinge o valor Vi, anulando a tensão na carga e 
provocando a transferência da corrente de carga do tiristor TA para o diodo DR. 
 Durante este intervalo, o capacitor permanece com a tensão Vi e o diodo DR conduz a 
corrente de carga. 
 
Intervalo [t2 , t3] 
 No instante t2 o tiristor principal é disparado, aplicando a tensão Vi na carga e 
interrompendo a condução de DR. 
 
 
Figura 2.4 - Circuito Equivalente ao “chopper” Básico no Intervalo [t2,t3]. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 79 
 
 
 
Figura 2.5 - Tensão e Corrente no “chopper” Básico. 
 
 Neste intervalo o capacitor, cossenoidalmente, se descarrega e depois se carrega em 
sentido contrário. No instante t3, ele atinge a sua tensão final, prontificando-se para a próxima 
comutação que será iniciada no instante em que TA for disparado novamente. 
 
2.2.2. Cálculo da Capacitância e Indutância de Comutação 
 
 A equação de tensão no capacitor C no intervalo de [t0, t1] pode ser escrita da seguinte 
forma: 
 ò=
q
q
0 o
V-d 
1
cc iC
v (2.1) 
 
Onde: q = t – t0 
 
 A solução desta equação é: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 80 
 
 
 f f a
m i
t T t t
v V E
T T
- -æ ö
= + ç ÷
è ø
 (2.2) 
 
 Para q = t3, vc = 0. Substituindo estes valores na equação (2.2), encontra-se: 
 
 C
I
=
 t
V
q
o
 (2.3) 
 
 É fácil concluir que Vo é igual a tensão V da fonte. Assim, (2.3) se transforma em: 
 
 q
i
 t
V
I
C = (2.4) 
 
 Esta equação (2.4) fornece a mínima capacitância necessária para apagar o tiristor Tp 
com toff = tq e que esteja conduzindo a corrente de carga I. Já que esta capacitância é mínima, 
ela pode ser chamada capacitância ótima do ponto de vista de perda de energia, ou seja, com 
esta capacitância tem-se a menor perda possível durante a comutação para a corrente de carga 
I. 
 Para o intervalo [t2 , t3] pode-se escrever: 
 
 2t p= LC (2.5) 
Ou, 
 L
C
=
4
2
 2t
p
 (2.6) 
 
 Esta equação (2.6) fornece o valor da indutância de comutação. 
 Desejando-se que este “chopper” funcione em máxima freqüência, é necessário fazer t 
no mínimo igual ao toff do tiristor auxiliar. Nestas circunstância, se TA for idêntico a Tp, t será 
igual a tq, assim a equação (2.6) pode ser escrita como: 
 
 q t0,4
I
iVL = (2.7) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 81 
 
 
 
 Esta indutância pode ser chamada de indutância ótima porque permite uma operação 
com a máxima freqüência e com a mínima perda de energia. 
 
2.2.3. Tensão Final no Capacitor e Capacidade de Comutação 
 
 No intervalo [t2 , t3], para a malha DA - TP - C - L, é fácil concluir que a tensão final vf 
no capacitor é igual a Vi, independente da corrente de carga. 
 Devido a esta independência entre a tensão final no capacitor e a corrente de carga, o 
“chopper” da figura 2.1 apresenta a vantagem de suportar aumentos súbitos na corrente de 
carga, desde que esta não ultrapasse o valor para o qual o capacitor foi dimensionado. No 
entanto ele apresenta a desvantagem de possuir baixo rendimento com cargas leves em virtude 
de suas perdas serem constantes. 
 Por simples observação da figura 2.1 vê-se que a primeira comutação de Tp se 
realizará apenas se o capacitor for pré-carregado com a polaridade indicada ou se TA for 
disparado antes de Tp.2.2.4. Máxima Freqüência de Operação 
 
 Desejando-se a máxima freqüência de operação, o tiristor principal, do “chopper” da 
figura 2.1, deverá ser disparado no instante t1 e não em t2. Consequentemente o intervalo [t1 , 
t2] não existirá. Nesta situação, o tiristor auxiliar TA ficará polarizado inversamente apenas 
durante o intervalo t. Portanto o valor de t deve ser no mínimo igual ao toff de TA para que 
haja uma comutação perfeita. Considerando Tp e TA idênticos, o mínimo período de 
funcionamento deste “chopper” será 4toff. Portanto a máxima freqüência de operação será: 
 
 f
tMAX off
=
1
4
 (2.8) 
 
 É bom salientar que esta equação (2.8) fornece o valor da máxima freqüência apenas 
se o valor da corrente de carga for aquele para o qual o capacitor foi dimensionado. Contudo 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 82 
 
 
se a corrente de carga for reduzida, o tempo de carga e descarga do capacitor, à corrente 
constante, será aumentado, consequentemente a máxima freqüência será reduzida. 
 
2.2.5. Mínima Razão Cíclica 
 
 O tempo mínimo de condução tf(min) ou a mínima razão cíclica a(min) são 
particularmente importantes, quando se usa o método de controle, da tensão de saída de um 
“chopper”, com o tempo de condução variável e o período constante. 
 Analisando a figura 2.5 vê-se que, para corrente máxima na carga, o mínimo tempo 
que a tensão Vi aparece na carga é 2t, isto é, o mínimo tempo de condução para o “chopper” 
da figura 2.1 é 2t. Este tempo é exatamente metade do período do circuito oscilante. Então 
pode-se escrever: 
 
 tf(min) = 2t p= LC (2.9) 
Logo, 
 ( )
( )a pmin
f mint
T
f LC= = (2.10) 
 
 Esta equação (2.10) fornece a mínima razão cíclica em função da freqüência de 
operação do “chopper” e da indutância e capacitância de comutação. Entretanto se a 
capacitância e indutância forem dadas respectivamente pelas equações (2.5) e (2.7), a equação 
(2.10) pode ser escrita como: 
 
 a(min) = 2ftq (2.11) 
 
2.2.6. Tensão e Corrente nos Componentes 
 
 Cada componente do “chopper” básico deve ser dimensionado para uma tensão Vi, 
exceto a carga e o diodo DR que devem ser dimensionados para 2Vi. 
 A seguir, será determinada a corrente para cada componente. 
 A corrente eficaz no capacitor é dada por: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 83 
 
 
 1 3
2
2
21 sen
o
t t
cef it t
C t
i I dt V dt
T L LC
é æ ö
ê= + ç ÷ç ÷ê è øë
ò ò (2.12) 
 
 Resolvendo esta equação (2.12), encontra-se 
 
 22
2cef i i
C
i f CVI V C
L
pæ ö
= +ç ÷ç ÷
è ø
 (2.13) 
 
Onde f é a freqüência da operação do circuito. 
Esta equação (2.13) fornece o valor da corrente eficaz no capacitor em função dos 
parâmetros (C e L) do circuito oscilante. Entretanto, se C e L forem determinados, 
respectivamente, pelas equações (1.23) e (1.25), a equação (1.36) pode ser transformada em: 
 
 i ftcef q= 2 11, (2.14) 
 
 A corrente média no tiristor principal é expressa por: 
 
 i
T
I I
t
LC
dtT
o
t
MAXP medio
f
( )
sen=
é
ë
ê
ù
û
úò ò1 dt + t
t
2
3
 (2.15) 
 
A solução desta equação (2.15) é: 
 
 
( ) f
(2 t )
P medioT i
i f V C I= + (2.16) 
 
Onde tf é o tempo durante o qual a tensão na carga é Vi. 
 A corrente média no tiristor auxiliar, TA, é determinada pela equação (2.17). 
 
 i
T
IT
t
t
A medio
o
( )
= ò1
1
 dt, (2.17) 
Cuja solução é: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 84 
 
 
 
( ) i
2 fCV
A medioT
i = (2.18) 
 
 A corrente média no diodo DA e na indutância L é a mesma e pode ser escrita como 
 
 i i
T
I
t
LC
dtD L medio
t
t
MAXA media( ) ( ) sen= = ò1
2
3
 (2.19) 
 
Resolvendo a integral desta equação (2.19), para a corrente iDA representada na figura 
2.2, encontra-se 
 
 
( ) ( ) i
2 fCV
AmedioD Lmedio
i i= = (2.20) 
 
 Pode-se determinar a corrente média no diodo Dr pela equação (2.21). 
 
 i
T
IDr medio
t
t
( ) = ò1
1
2
 dt (2.21) 
 
Cuja solução, para a corrente iDr da figura 2.2, é: 
 
 iDr(médio) = (1 - a) I (2.22) 
 
Onde a é razão cíclica (tf/T). 
 A corrente de pico para os componentes C, L e DA é: 
 
,i
C
V
L
 (2.23) 
Para TA e Dr é I para Tp é: 
i
C
I V
L
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
 (2.24) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 85 
 
 
2.2.7. dv/dt e di/dt nos Tiristores 
 
 A razão di/dt de crescimento da corrente iT p, nos instantes iniciais da condução 
do tiristor principal, quando a corrente de carga for nula, é dada por: 
 
 
p
i i
T C
V Vdi
dt L L
æ ö = +ç ÷è ø
 (2.25) 
 
Onde LC é a indutância de carga. 
Entretanto quando existe uma corrente inicial de carga circulando através do diodo Dr, 
a razão de crescimento da corrente em Tp pode ser muito maior que o valor dado pela equação 
(2.25). Isto se deve ao fato do disparo de Tp provocar uma transferência muito rápida da 
corrente de carga do diodo DR para o tiristor Tp. 
 Portanto, quando se trabalha com altas correntes de carga, é aconselhável que se use 
pequena indutância em série com Tp para limitar esta razão de crescimento de corrente. 
 A razão dv/dt de reaplicação de tensão direta no tiristor principal é dada por: 
 dv
dt
I
CTp
æ
èç
ö
ø÷
= (2.26) 
 A razão di/dt de crescimento da corrente iTA , durante o processo de disparo do tiristor 
auxiliar, pode ser muito grande porque com o disparo de TA, a transferência da corrente de 
carga de Tp para TA se processa rapidamente. 
 Portanto quando se trabalha com altas correntes de carga, deve-se introduzir uma 
pequena indutância em série com TA para limitar esta razão de crescimento de corrente. 
 A razão de reaplicação de tensão direta no tiristor auxiliar é dada por: 
 
A
i
T
Vdv
dt LC
æ ö =ç ÷è ø
 (2.27) 
 Já que a tensão reaplicada ao tiristor Ta varia cossenoidalmente, a derivada dada pela 
equação (2.27) é válida apenas para o instante inicial da reaplicação de tensão, depois esta 
derivada decresce com o tempo. 
 
 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 86 
 
 
2.3. Conversor CC/CC PWM a SCR (“Chopper”) do Tipo Wagner 
 
 A figura 2.6 mostra um circuito “chopper” do tipo Wagner. 
 
Figura 2.6 – “Chopper” do tipo Wagner. 
 
 As formas de onda de tensão e corrente, para este “chopper”, estão indicados na figura 
2.7. Nesta figura também se encontra a indicação dos intervalos em que foi dividido o ciclo de 
operação deste “chopper”. 
 
2.3.1. Princípios de FuncionamentoConsidera-se que, inicialmente, o “chopper” do tipo Wagner esteja operando em 
regime permanente com o tiristor principal Tp conduzindo a corrente de carga I e que a tensão 
Vo no capacitor, como indicado na figura 2.6, seja o valor de pico para esta corrente. No 
instante to, indicado na figura 2.7, o tiristor auxiliar TA é disparado dando início ao processo 
de extinção de Tp. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 87 
 
 
 
Figura 2.7 - Tensão e corrente no “chopper” do tipo Wagner. 
 
Intervalo [to, t1] 
 
Os ramos do circuito da figura 2.6 que conduzem corrente neste intervalo, estão 
representados em linhas cheias na figura 2.8. 
 Após o disparo do tiristor auxiliar, o capacitor se descarrega e depois se carrega em 
sentido contrário como indicado na figura 2.7. 
 A corrente que circula pelo tiristor principal é a soma da corrente de carga mais a 
corrente iC no capacitor. 
 
Figura 2.8 - Circuito equivalente do “chopper” tipo Wagner no Intervalo [t o,t1]. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 88 
 
 
 Devido a condução de Tp, a tensão na carga tem um valor máximo de Vi. 
 A condução do tiristor TA cessa, no instante t1 por causa da inversão de corrente no 
circuito oscilante. 
 
Intervalo [t1, t2] 
 
 Neste intervalo o diodo DA conduz, ao invés do tiristor TA, esta é a única alteração no 
circuito equivalente em relação ao intervalo anterior, veja figura 2.9. 
 
Figura 2.9 - Circuito equivalente do “chopper” tipo Wagner no Intervalo [t 1 , t2]. 
 
 A corrente no capacitor cresce de zero para I enquanto a corrente no tiristor Tp 
decresce, na mesma proporção, de I para zero. 
 Neste intervalo o capacitor continua a ser carregado em sentido contrário àquele 
adotado como positivo. 
 
Intervalo [t2, t3] 
 
 
Figura 2.10 - Circuito equivalente do “chopper” tipo Wagner no Intervalo [t 2 , t3]. 
 
 No instante t2 a condução de Tp é interrompida e o diodo Dp entra em condução para 
conduzir a corrente do circuito oscilante que excede a corrente I. 
 Durante o tempo tq, intervalo [t2 , t3], o tiristor principal fica polarizado inversamente 
devido a queda de tensão no diodo Dp. O tiristor Tp deve readquirir sua capacidade de 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 89 
 
 
bloqueio direto dentro deste intervalo. Para isto C e L devem ser dimensionados de tal forma 
a garantir um tq no mínimo igual ao toff de Tp. Caso contrário Tp retomaria a condução no 
instante t3, porque uma tensão direta lhe seria reaplicada, antes de uma completa recuperação 
da sua capacidade de bloqueio. Isto produziria mau funcionamento deste “chopper”. 
 
Intervalo [t3, t4] 
 
 Aqui há dois casos a serem considerados: 
 
 1o) vc3 < Vi e 2o) vc3 > Vi. 
 
 1o) Para vc3 < Vi, a condução do diodo Dp é interrompida no instante t3, quando a 
corrente iC cai ao valor I e, a partir daí, o capacitor se carrega linearmente com esta corrente, e 
sua tensão cresce de vc3 a Vi. A tensão na carga passa de Vi para (Vi - vc3) e depois decresce 
conforme vc cresce. O circuito equivalente para esta situação está indicado na figura 2.11. 
 
Figura 2.11 - Circuito equivalente do “chopper” tipo Wagner no intervalo [t3,t4]. 
 
 2o) Para vc3 > Vi, não haverá carga do capacitor à corrente constante e as tensões e as 
correntes seguirão as curvas tracejadas da figura 2.7. O circuito equivalente para esta situação 
coincide com a aquele do intervalo [t4 , t5] (figura 2.12). 
 A princípio não se pode afirmar qual das duas situações ocorre na prática porque vc3 
depende da impedância característica L
C
 e do fator de qualidade Q = C
L
R
æ
è
ç
ö
ø
÷ /
 do circuito 
oscilante e da corrente de carga I, ou seja, vc3 aumenta quando qualquer destes parâmetros 
aumenta. 
 Como o fator Q é elevado em circuitos práticos, para C e L dimensionados conforme 
as equações (2.43) e (2.44), respectivamente, vc3 será maior que Vi, exceto para correntes de 
carga muito menores que o valor usado para o dimensionamento de C e L. Normalmente um 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 90 
 
 
circuito “chopper” opera a maior parte do tempo com correntes de carga próximas daquela 
para qual foi dimensionado. Assim a situação vc3 > Vi ocorre com maior freqüência. Por isto 
os cálculos serão realizados apenas para esta situação. 
 
Intervalo [t4, t5] 
 
Figura 2.12 - Circuito equivalente do “chopper” tipo Wagner no intervalo [t4,t5]. 
 
 No instante t4 a tensão no capacitor atinge o valor Vi e tensão na carga se anula dando 
condição para o diodo Dr entrar em condução. Assim este diodo Dr passa a conduzir uma 
corrente iDr, que é igual a diferença entre a corrente de carga e a corrente no capacitor, 
enquanto a tensão no capacitor cresce de V para vf. 
 No instante t5 a tensão no capacitor atinge o valor vf prontificando-se para o próximo 
ciclo de operação. 
 
2.3.2. Cálculo da Capacitância e da Indutância de Comutação 
 
 Para o intervalo [t1, t3], a equação diferencial do circuito oscilante pode ser escrita 
como: 
 
 0
1
= -òC i Vc oo
t
 dt + L
di
dt
c (2.28) 
 
 A solução desta equação (2.28), para ic(0+) = 0, é: 
 
 i Ic MAX= sen
t
LC
 (2.29) 
Onde: 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 91 
 
 
 I V
C
LMAX o
= (2.30) 
 
 Para t = ( / ) ( / )p LC tq2 2- , a corrente ic é igual a I, então da equação (2.29) tem-
se: 
 
 I I
t
LC
IMAX
q
MAX= -
æ
è
ç
ö
ø
÷ = sen
2
 cos
t
2 LC
qp
2
 (2.31) 
Ou: 
 ( )
t
LC
g xq = =2 arc cos
1
x
 (2.32) 
Onde: 
 x
I
I
MAX= (2.33) 
 
Isto é, x é razão ent re a corrente de pico do circuito oscilante e a corrente de carga. 
 Dividindo ambos os membros da equação (2.30) por I, tem-se 
 
 x
V
I
C
L
o= (2.34) 
 
 Resolvendo o sistema de equações (2.32) e (2.34) encontra-se: 
 
 C
x
=
2 arc cos
1
x
 
I t
V
q
o
 (2.35) 
E, 
 
 L
x
x
=
2 arc cos
1
x
 
V t
I
o q (2.36) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 92 
 
 
 As equações (2.35) e (2.36) dão, respectivamente, os valores da capacitância e da 
indutância de comutação para o “chopper” do tipo Wagner da figura 2.6. 
 Já que C e L são ambos funções de x, podemos selecionar um valor de x que os 
otimiza. Para que C e L sejam ótimos, do ponto de vista de mínima perda de energia, é 
necessário que a energia envolvida na comutação seja mínima. 
 A energia do circuito oscilante, envolvida na comutação é dada por 
 
 W L=
1
2
2 IMAX (2.37) 
Ou: 
 W C=
1
2
 Vo
2 (2.38) 
 
 Tirando o valor de IMAX das equações (2.30) e (2.33) e substituindo na equação (2.38) 
encontra-se: 
 
 I x V 
2
1
oLCW = (2.39) 
 
Substituindo LC , pelo valor dado pela equações (1.45), na equação (1.52) obtém-se:W =
1
2
 
x
2 arc cos
1
x
 V I to q (2.40) 
Ou: 
 
 ( )W
V
x
h x
o I t arc cos
1
2
q
= =
4
 (2.41) 
 
 A razão (W/(VoItq))=h(x) é chamada de energia relativa de comutação. A minimização 
desta energia relativa, resulta também na minimização de W. Isto é feito da seguinte forma. 
 Derivando a equação (2.41) em relação a x e fazendo esta derivada igual a zero, depois 
resolvendo, encontra-se: 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 93 
 
 
 
 1 1
12x x
=
-
cos (2.42) 
 
A solução aproximada desta equação (2.42) é x = 1,5, este valor de x minimiza h(x) e 
consequentemente otimiza C e L. 
 Fazendo x = 1,5 nas equações (2.35) e (2.36) obtém-se, respectivamente: 
 
 C
I
= 0 893,
 t
V
q
o
 (2.43) 
E, 
 
 L
Vo= 0 397,
 t
I
q (2.44) 
 
 As equações (2.43) e (2.44) dão, respectivamente, os valores ótimos, do ponto de vista 
de mínima energia, de C e L quando se considera o circuito oscilante ideal, isto é, sem perdas. 
Entretanto isto não acontece na realidade. Então quando se deseja considerar as perdas, a 
tensão Vo, nas equações (2.43) e (2.44), deve ser multiplicada pelo fator e-p/4Q. 
 
Figura 2.13 - Representação gráfica das equações (2.32) e (2.41). 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 94 
 
 
 As equações (2.32) e (2.41) estão representadas graficamente na figura 2.13. A partir 
desta figura pode-se obter os mesmos valores de C e L obtidos anteriormente. 
 A tensão Vo, das equações (2.43) e (2.44), corresponde à tensão de pico do capacitor 
para a condição de carga máxima. A determinação do valor exato de Vo, na fase de projeto, é 
uma tarefa bastante complexa porque ele depende de vários parâmetros que são 
desconhecidos nesta fase. Entretanto, na prática, pode-se escolher o valor de Vo entre duas a 
três vezes o valor da tensão da fonte. 
 
2.3.3. Tensão Final no Capacitor e Capacidade de Comutação 
 
 No cálculo da tensão final no capacitor do “chopper” tipo Wagner da figura 2.6, 
devem ser considerados dois casos distintos: 1o) para vc3 < Vi e 2o) para vc3 > Vi. 
 Para vc3 < Vi, a tensão no capacitor pode ser calculada pela equação (2.45). 
 
 
f i
Lv V I
C
= + (2.45) 
 
 Com vc3 > Vi, o valor da tensão final vf pode ser dado pela equação (2.46). 
 
 
2
2
2
q
f i i
tL L
v V I tg V I
C CLC
é ùæ ö
= + - +ê úç ÷
è øë û
 (2.46) 
 
 As equações (2.45) e (2.46) mostram que a tensão final, no capacitor do “chopper” de 
Wagner da figura 2.6 é uma função da corrente de carga. Já que a energia de comutação 
(energia trocada entre capacitor e indutor) é uma função desta tensão vf, pode-se concluir que 
as perdas no circuito oscilante são também uma função da corrente de carga, isto é, este 
“chopper” apresenta baixas perdas em cargas baixa e grande perdas em cargas altas. 
 O tempo tq de polarização inversa do tiristor principal decresce quando a razão x = 
IMAX/I diminui (equação (2.33)). Como a corrente de pico (IMAX) do circuito oscilante, num 
determinado ciclo de operação, depende de vf do ciclo anterior, se a corrente de carga I 
aumentar subitamente, x e tq serão reduzidas, também, subitamente. Logo pode-se concluir 
que este “chopper” não suporta aumentos súbitos na corrente de carga. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 95 
 
 
 
2.3.4. Máxima Freqüência de Operação 
 
 O mínimo período de operação do “chopper” do tipo Wagner é exatamente o intervalo 
de tempo de to a ¢t4 então pode-se escrever: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )T t t t t t t t tmin o= - + - + - + ¢ -1 2 1 3 2 4 3 (2.47) 
Ou, 
 ( )T LC
t
t tmin
q= + + ¢ -
3
2 2 4 3
p
 (2.48) 
 
O termo ( )¢ -t t4 3 , desta equação (2.48), pode ser determinado pela equação (2.49). 
 
 
4 3
i o
LI
C arc tg -
V-V sen
2
q
t t LC
t
LC
æ ö
ç ÷
ç ÷¢ - =
ç ÷
ç ÷
è ø
 (2.49) 
 
 Substituindo na equação (2.48) o termo ( )¢ -t t4 3 dado pela equação (2.49) tem-se: 
 
 
min
i o
L
I
3 C tg
2 2
V-V sen
2
q
q
t
T LC arc
t
LC
p
æ ö
ç ÷
ç ÷= + +
ç ÷
ç ÷
è ø
 (2.50) 
 
O inverso deste mínimo período é a máxima freqüência de operação, ou seja, 
 
 
i o
1
L
I3 C tg -
2 2V-V sen
2
MAX
q
q
f
t
LC arc
t
LC
p
=
æ ö
ç ÷
ç ÷+ +
ç ÷
ç ÷
è ø
 (2.51) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 96 
 
 
 Analisando esta equação (2.51), vê-se que a máxima freqüência de operação do 
“chopper” de Wagner, para vc3 > Vi, varia muito pouco com a corrente de carga, porque o 
termo arc tg ( )( )q/ sen t / 2i oLI V V LCC
æ ö
-ç ÷ç ÷è ø
 varia apenas de zero a p/2 quando I varia de zero a 
infinito. Entretanto, para vc3 < Vi, a variação, da máxima freqüência de operação com a 
corrente de carga, é mais acentuada. 
 
2.3.5. Mínima Razão Cíclica 
 
 Mesmo que o tiristor auxiliar seja disparado no mesmo instante do disparo do tiristor 
principal, a tensão Vi aparecerá na carga durante o tempo (t3 - to). Então pode-se dizer que o 
mínimo tempo de condução, do “chopper” do tipo Wagner da figura 2.6 é (t3 - to), isto é, 
 
 t
t
f min
q
( ) = +
3
2 2
p LC (2.52) 
 
 O mínimo valor de a é dado por: 
 
 ( )a pmin f min q
t
T
f
LC t= = +( )
2
3 (2.53) 
 
Esta equação (2.53) fornece o mínimo valor da razão cíclica, a, em função do tempo 
de polarização inversa do tiristor principal e da freqüência de operação do “chopper”. 
 
2.3.6. Tensão e Corrente nos Componentes 
 
 O tiristor Tp e os diodos Dr e Dp devem ser dimensionados para uma tensão Vi, 
enquanto o tiristor TA, diodo DA, capacitor e indutor devem ser dimensionados para uma 
tensão igual a tensão de pico no capacitor. 
 O valor eficaz da corrente que circula por C e L é determinada pela equação (2.54). 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 97 
 
 
( )3 4
3
2 2
3
1
sen sen cos
o
t t
cef o i ct t
C t L t t
i V dt V V I dt
T L CLC LC LC
¢ì üæ ö é ùï ï= + - +ç ÷í ýê úç ÷
è ø ë ûï ïî þ
ò ò (2.54) 
 
A solução da equação (2.54) resulta em: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2q qo
cef 4 3 i c3
2
24 3 4 3
i c3 i c3
t tLC V C C Ii fd 3p sen t t V v
4L 2L 2LC LC
2 t t 2 t t I LC C C sen C V v I sen V v
4 LLC LC LC
ì é ùæ öï ¢= + + + - - + +í ç ÷ ê ú
ï è ø ë ûî
ü¢ ¢é ù- - ï- + - - ýê ú
ïë ûþ
 (2.55) 
Onde: 
 
( )v V
t
LC
e tc o
q
3 32
= ¢ -sen t4 são dados pela equação (2.49). 
 
 A corrente média no tiristor principal é determinada a partir da equação (2.56) 
 
 i
T
i dtT
o
T
TP medio P( ) ,= ò1 (2.56) 
Que solucionada para iTP representada na figura 2.13, resulta em: 
 
 ( )i f I t t CV t
LCT f q o
q
P medio( )
sen= - + +
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú1
2
 (2.57) 
 
Onde tf é o tempo durante o qual a tensão na carga é igual a Vi. 
 Durante o intervalo de tempo de to a t1 a correntedo circuito oscilante circula através 
do tiristor TA, logo a corrente média neste tiristor é expressa pela equação (2.58). 
 
 i
T
I dtT
t
t
MAXA medio
o
( )
= ò1 sen tLC (2.58) 
Cuja solução é: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 98 
 
 
 i fTA medio( ) = 2 CVo (2.59) 
 
 A corrente que circula pelo diodo DA é a mesma do capacitor e indutor durante o 
intervalo de t1 a ¢t4 . O seu valor médio, para vc3 = Vi, é determinado pela equação (2.60). 
 
 C
L
R
æ
è
ç
ö
ø
÷ / (2.60) 
Que solucionada se transforma em: 
 
 i f CV
t
LC
I LCD o
q
A medio( )
sen= +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
1
2
 (2.61) 
 
 A corrente média no diodo Dp pode ser expressa pela equação (2.62). 
 
 ( )i
T
i I dtD
t
t
cP medio( )
,= -ò1
2
3
 (2.62) 
Cuja solução é: 
 
 i f IDP medio( ) = -
æ
è
ç
ö
ø
÷2 CV sen
t
2 LC
 to
q
q (2.63) 
 
 A corrente média no diodo Dr é dada pela equação (2.64). 
 
 ( )
( )
i
T
I i dtD
t
t
c
o
t t t
r medio
a
( )
= - +
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
¢ - ¢-
ò ò1
3
4 4 3
 I dt (2.64) 
 
Cuja solução, para vc3 = Vi, é: 
 
 ( )i f I t LCD ar medio( ) = - (2.65) 
 
Onde ta é o tempo durante o qual a tensão na carga é nula. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 99 
 
 
 O valor da corrente de pico, para o capacitor, indutor, tiristor TA e diodo DA, é V C
Lo
, 
para o tiristor Tp é I V C
Lo
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ ,
 para o diodo Dr é I e para o diodo Dp é V C
L
Io -
æ
è
ç
ö
ø
÷ 
 
2.3.7. dv/dt e di/dt nos Tiristores 
 
 Se a corrente de carga for nula no instante do disparo do tiristor principal, a razão de 
crescimento de corrente através dele será dada por 
 
 
ˆ DE CARGA
P
i
T
Vdi
dt INDUTANCIA
= (2.66) 
 
Entretanto se existir um corrente inicial de carga, circulando através de Dr, o disparo 
de Tp provoca uma transferência muito rápida da corrente carga de Dr para Tp. Com isto o 
limite di/dt do tiristor Tp poderá ser ultrapassado. Portanto quando o “chopper” trabalha em 
condução contínua e alimenta grandes carga é necessário introduzir uma pequena indutância 
em série com o tiristor principal. 
 A razão de crescimento de corrente, durante o disparo de TA é dada por: 
 
 di
dt
V
LT
o
A
= (2.67) 
 
 As razões de reaplicação de tensões diretas, tanto em Tp quanto em TA, são muito 
grandes, por isto quando se trabalha com altas tensões é necessário adicionar um circuito de 
proteção contra disparo por dv/dt. Normalmente, este circuito de proteção é um resistor em 
série com capacitor ligado em paralelo com o tiristor. 
 
 
 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 100 
 
 
2.4. Comutação no “Chopper” do tipo Mc Murray 
 
A figura 2.14 mostra um “chopper” do tipo Mc Murray. Para estudar o seu 
funcionamento, dividiremos seu ciclo de operação em vários intervalos como indicado na 
figura 2.15. 
 
Figura 2.14 – “Chopper” do tipo McMurray. 
2.4.1. Funcionamento 
 
 
Figura 2.15 – Tensão e corrente no “chopper” do tipo Mc Murray. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 101 
 
 
Considera-se que inicialmente o tiristor Tp esteja conduzindo a corrente de carga I e o 
capacitor C esteja com a tensão Vo conforme mostra a figura 2.15. No instante to, dispara-se 
o tiristor TA1, dando início ao processo de extinção de Tp. 
 
Intervalo [t0, t1] 
 
0 circuito equivalente, ao “chopper” representado na figura 2.14, para este intervalo, 
está indicado na figura 2.16. 
Com o disparo de Ta1, um melhor caminho de corrente é oferecido à corrente de 
carga, graças a descarga do capacitor C. Por isto a corrente de carga vai se transferindo de Tp 
para o ramo Ta1, C e L, isto é, iTp decresce do va lor I a zero enquanto ic cresce de zero ao 
valor I (figura 2.15). 
 
Figura 2.16 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray durante o intervalo (t0, 
t1). 
 
No instante t1 a condução de Tp é interrompida e inicia-se uma nova etapa de operação. 
 
Intervalo [t1, t2] 
 
0 circuito equivalente, ao “chopper” representado na figura 2.14, para este intervalo, 
está indicado na figura 2.17. 
 
Figura 2.17 - Circuito equivalente ao ”chopper” do tipo Mc Murray no intervalo (t1, t2). 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 102 
 
 
Durante esta etapa de funcionamento o capacitor continua a se descarregar e depois é 
carregado em sentido contrário até que a corrente ic atinja novamente o valor I. 
A diferença de corrente (ic - I) circula através do diodo Dp durante o tempo tq 
assinalado na Figura 2.15. Graças a isto, Tp fica polarizado inversamente com uma tensão 
igual à queda em Dp, durante este intervalo. Portanto tq deve ser no mínimo igual ao toff do 
tiristor principal, para garantir uma completa recuperação da sua capacidade de bloqueio 
direto. Caso contrário Tp voltará a conduzir, no instante t2, quando uma tensão direta lhe será 
reaplicada, ou seja, ocorrerá o fenômeno chamado de falha de comutação Este fenômeno é 
indesejável, por isto C e L devem ser dimensionados de tal modo a garantir tq > toff. 
 
Intervalo [t2, t3] 
 
0 circuito equivalente, para o “chopper” representado na figura 2.14, na configuração 
desta etapa de funcionamento, está indicado na figura 2.18. 
 
Figura 2.18 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray no intervalo (t2, t3). 
 
Neste intervalo o capacitor continua se carregando através da malha C, L, carga, Vi e 
Ta1, enquanto a corrente ic decresce do valor I para zero. 0 diodo Dr entra em condução e sua 
corrente cresce na mesma proporção que ic decresce. A extinção do tiristor Ta1 se processa 
naturalmente devido ao anualmente da corrente através dele. 
Isto acontece somente se vc2 for maior ou igual a Vi, como indicado na figura 2.15. No 
entanto se vc2 for menor que Vi, o capacitor se carregará à corrente constante e tudo se 
passará como no intervalo (t2, t3) do “chopper” de Wagner indicado na figura 2.11. 
A situação vc2 < Vi ocorrerá apenas quando o fator de qualidade, Q, do circuito 
oscilante for baixo e/ou quando a corrente de carga for muito pequena. Como isto não é 
comum na prática, estudaremos apenas a situação vc2 > Vi. 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 103 
 
 
Intervalo [t3, t4] 
 
0 circuito equivalente, para o “chopper” representado na figura 2.14, na configuração 
desta etapa de funcionamento, está indicado na figura 2.19. 
 
Figura 2.19 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray no intervalo (t3, t4). 
 
Neste intervalo, o circuito da figura 2.14 fica reduzido ao circuito em linha cheia da 
figura 2.19. Apenas o diodo Dr conduz a corrente de carga até que Ta2 seja disparado no 
instante t4. Esta etapa é a chamada“etapa de roda livre” e é responsável pela maior parte do 
tempo em que a tensão aplicada sobre a carga é nula. 
 
Intervalo [t4, t5] 
 
0 circuito equivalente, para o “chopper” representado na figura 2.14, na configuração 
da quinta etapa de funcionamento, está indicado na figura 2.20. 
 
Figura 2.20 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray no intervalo (t4, t5). 
 
Ao disparar o tiristor auxiliar Ta2, o capacitor é descarregado e depois inicia-se a sua 
carga em sentido contrário. 
A corrente no diodo Dr é a soma da corrente de carga mais a corrente que passa pelo 
capacitor. 
Quando Tp é disparado, no instante t5, a condução do diodo Dr é interrompida e tem-se 
o início de uma nova etapa de funcionamento. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 104 
 
 
 
Intervalo [t5, t6] 
 
0 circuito equivalente, para o “chopper” representado na figura 2.14, na configuração 
da sexta etapa de funcionamento, está indicado na figura 2.21. 
 
Figura 2.21 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray no intervalo (t5, t6). 
 
Neste intervalo o capacitor completa sua carga e sua tensão atinge o valor vf. A 
corrente no tiristor Ta2 decresce de um certo valor, que depende de t (intervalo de tempo 
entre os disparos de Ta2 e Tp), para zero. 
No instante t6 o circuito está pronto para realizar nova comutação. Este novo ciclo de 
funcionamento será iniciado no instante em que Ta1 for disparado novamente. 
 
2.4.2. Cálculo da Capacitância e Indutância de Comutação. 
 
Os fenômenos que ocorrem nos intervalos (t0, t1) e (t1, t2) para o “chopper” do tipo Mc 
Murray da figura 2.14 são idênticos aos que ocorrem no intervalo (t1, t2) para o “chopper” do 
tipo Wagner da figura 2.6. Portanto os cálculos, da capacitância e indutância, feitos para o 
“chopper” do tipo Wagner são válidos para o “chopper” do tipo Mc Murray. Portanto, os 
valores ótimos, do ponto de vista de mínima energia envolvida na comutação, para a 
capacitância e indutância de comutação do “chopper” do tipo Mc Murray, são dados 
respectivamente, pelas equações (2.68) e (2.69). 
 C
I
= 0 893,
 t
V
q
o
 (2.68) 
 
 L
Vo= 0 397,
 t
I
q (2.69) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 105 
 
 
 
Como foi visto na seção 2.3.2, o valor de Vo das equações (2.68) e (2.69) deve ser 
multiplicado pelo fator e-p/4Q, quando se considera as perdas. 
 
2.4.3. Tensão Final e Capacidade de Comutação 
 
A tensão vc', que é a tensão final de carga do capacitor na figura 2.15, é determinada da 
mesma forma em que foi determinada a tensão vcf indicada na figura 2.7 (equação (2.46)). 
Se t for maior ou igual a LCp , a tensão final, vf, que pode ser vista na figura 2.15 será 
igual a vc'. Então para esta situação, a tensão final no capacitor do chopper do tipo Mc 
Murray da figura 2.15 será igual à tensão final no capacitor do “chopper” do tipo Wagner da 
figura 2.7. Logo, para t³ LCp , estes dois “choppers”, do tipo Mc Murray e do tipo Wagner, 
têm a mesma capacidade de comutação. 
Entretanto se t for menor que LCp , o valor da tensão final, no capacitor do circuito da 
figura 2.15, pode ser escrita como; 
' 2 ' 2 2( cos ) ( ) senf i c i cv V v V v
LC LC
t t
= ± - - + (2.70) 
Esta equação (2.70) fornece a tensão final, vf, no capacitor e mostra que ela aumenta 
com o aumento da corrente de carga e/ou com o decréscimo de t. Como a energia de 
comutação varia com o quadrado de vf, pode-se concluir que a perda de energia envolvida na 
comutação também aumenta com o aumento da corrente de carga e/ou com o decréscimo de 
t. 
0 tempo, tq, de polarização reversa do tiristor principal, para este “chopper”, também 
pode ser expresso pela equação (2.32). Então: 
x
LCtq
1
arccos2= (2.71) 
Esta equação nos mostra que tq varia no mesmo sentido da variação de x. Já que x é a 
razão entre corrente de pico do circuito oscilante e a corrente de carga e, como a corrente de 
pico, num determinado ciclo de operação, depende da tensão final no capacitor no final do 
ciclo anterior, se a corrente de carga aumentar subitamente, x e tq serão reduzidos, também, 
subitamente. Logo podemos concluir que este “chopper”, semelhante ao “chopper” do tipo 
Wagner, não suporta aumentos súbitos na corrente de carga. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 106 
 
 
No cálculo dos componentes básicos (C e L) de comutação, indiretamente, considerou-
se t> LCp . Não é difícil perceber que o tempo de polarização reversa do tiristor principal 
aumenta quando t diminui. Assim podemos concluir que este “chopper” pode operar com 
uma corrente de carga bem maior que aquela para qual ele foi dimensionado, isto é, pode 
operar com sobrecarga. 
 
2.4.4. Máxima Freqüência de Operação 
 
Obtém-se máxima freqüência de operação para o “chopper” do tipo Mc Murray 
quando t for igual à zero ou quando t for maior ou igual a LCp e menor ou igual à LCp 
mais o toff do tiristor Ta2. Para estes valores de t, o mínimo período de operação deste 
“chopper” é dado por: 
)()()()( 212302min offoff tLCtttttT +++-+-= p (2.72) 
Onde: toff1 é o toff do tiristor auxiliar, Ta1, e toff2 é o toff do tiristor auxiliar, Ta2. 
Considerando Ta1 e Ta2 idênticos, tem-se toff’= toff2 = toff, assim a equação (2.72) pode ser 
escrita como: 
offtLCttttT 2)()( 2302min ++-+-= p (2.73) 
Ou: 
offt
tq
LCttT 2
22
3
)( 23min +++-= p (2.74) 
0 termo (t3 - t2) da equação (2.74) é calculado da mesma forma que foi calculado o 
termo (t4 - t3) da equação (2.49), logo o mínimo período de funcionamento do “chopper” do 
tipo Mc Murray pode ser expresso por: 
min
0
3
arctan 2
2 2sen
2
off
i
L
I tqCT LC t
tq
V V
LC
p
æ ö
ç ÷
ç ÷= + - + +
ç ÷-ç ÷
è ø
 (2.75) 
0 inverso do mínimo período, dado pela equação (2.75), é a máxima freqüência de 
operação deste “chopper”, ou seja: 
0
1
min
3
arctan 2
2 2sen
2
off
i
LI
tqCLC t
tqV V
LC
T
p
æ ö
ç ÷
ç ÷+ - + +
ç ÷-ç ÷ç ÷
è ø
= (2.76) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 107 
 
 
Esta equação (2.76) nos mostra que a máxima freqüência de operação do “chopper” do 
tipo Mc Murray varia muito pouco com a corrente de carga. 
 
2.4.5. Mínima Razão Cíclica 
 
0 mínimo tempo de condução para o “chopper” do tipo Mc Murray será obtido quando 
o tiristor Ta1 for disparado no mesmo instante do disparo do tiristor Tp. Para esta situação a 
tensão na carga é igual à V durante um intervalo de tempo igual a )2()2( tqLC +p (w/2). 
Então podemos escrever: 
)(
2
1
(min) tqLCt f += p (2.77) 
Este tempo mínimo de condução, dado por esta equação (2.77), dividido pelo período, 
T, nos fornece a razão cíclica mínima para este “chopper”, ou seja, 
)(
2
(min)
(min) tqLC
f
T
t f +== pa (2.78) 
Esta equação (2.78) nos fornece o valor da razão cíclica mínima em função dos 
parâmetros do circuito oscilante, do tempo de polarização inversa do tiristor principal e da 
freqüência de operação do “chopper”. 
É bom salientar que, se Ta1 for disparado no instante do disparo Tp, t deve ser no 
mínimo igual a )( 2offtLC +p . Caso contrário haverá um curto circuitona fonte, devido a 
condução simultânea de Ta1 e Ta2. 
 
2.4.6. Tensão e Corrente nos Componentes. 
 
Os semicondutores Tp, Dp e DR devem ser dimensionados para uma tensão igual a V, 
enquanto que os demais componentes devem ser dimensionados para uma tensão igual à 
tensão de pico no capacitor. 
A máxima corrente eficaz no capacitor e indutor ocorre quando t=0. Ela é determinada 
à partir da equação (2.79). 
2 3
0 2
2 2 ' 2
2 0
1 1
[ ( sen ) (( ) sen cos ) ( ( ) sen ) ]
t t LC
cef o i c i ct t
C t C t C t
i V dt V v I V v dt
T L L LLC LC LC LC
p
= + - + + - +ò ò ò (2.79) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 108 
 
 
A solução desta equação é dada pela equação (2.80). 
2 2 2
2 2 ' 23 2 3 2
3 2 2 2 2 2
2( ) 2( )
{ 2 sen ( ) ( ) sen ( ) sen ( ) ( )
4 2 2 2 4 2
o
cef i c i c i c i c
CV t t t tC tq tq C I I LC C C C
i f t t V v C V v I V v C V v
L L L LLC LC LC LC
p
p
ì üé ùé ù - -æ öï ï= + + + - - + + - + + - + -í ýê úê úç ÷
è ø ë ûï ïë ûî þ
 
(2.80) 
Onde: 
LC
tq
Vv oc
2
sen2 = (2.81) 
3 2( ) arctan
sen
2i o
L
I
Ct t LC
tq
V V
LC
æ ö
ç ÷
ç ÷- = -
ç ÷-ç ÷
è ø
 (2.82) 
A pior condição de corrente, para o tiristor principal do “chopper” do tipo Mc Murray, 
ocorre quando t é igual a zero, isto é, quando Ta2 e Tp são disparados no mesmo instante. 
Nesta situação a corrente média nele é determinada pela equação (2.83). 
 1 2
0 1
'
( ) 0 0
1
( ) sen
ft t t LC
Tpmédio c i ct t
C t
i Idt i dt Idt V v dt
T L LC
pé ù
= - - + +ê ú
ë û
ò ò ò ò (2.83) 
A solução da equação (2.83) é aquela apresentada na equação (2.84). 
'
( ) ( ) 2 ( ) 1 sen 2Tpmédio f q i c o
tq
i f I t t C V v V C
LC
é ùæ ö
= - + + - -ê úç ÷
è øë û
 (2.84) 
A corrente no tiristor Ta1 é a mesma que circula pelo capacitor e indutor, durante os 
intervalos (t0, t1), (t1, t2) e (t2, t3), cujo valor médio é determinado a partir da equação (2.85). 
2 3
0 2
1( ) 2
1
sen ( ) sen cos
t t
Ta médio o i ct t
C t C t t
i V dt V v I dt
T L LLC LC LC
é ùæ ö
= + - +ê úç ÷ç ÷ê úè øë û
ò ò 
(2.85) 
Resolvendo-se a equação (2.85) encontra-se a (2.86). 
3 2 3 2
1( ) 2
( ) ( )
1 sen ( ) 1 cos sen
2Ta médio o i c
t t t ttq
i f CV C V v I LC
LC LC LC
é ù- -æ ö æ ö
= + + - - +ê úç ÷ ç ÷
è ø è øë û
 (2.86) 
Onde vc2 e (t3-t2) são dados, respectivamente pelas equações (2.81) e (2.82). 
A pior condição de corrente, para o tiristor Ta2, ocorre quando t é igual a zero. Nesta 
situação a corrente média em Ta2 é dada pela equação (2.87). 
'
2( ) 0
1
( ) senTa médio i c
C t t
i LC V v d
T L LC LC
p æ ö
= + ç ÷
è øò
 (2.87) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 109 
 
 
A solução da equação (2.87) é dada pela equação (2.88). 
'
2( ) 2 ( )Ta médio i ci fC V v= + (2.88) 
A corrente média, no diodo Dp do “chopper” do tipo Mc Murray, é determinada da 
mesma forma em que foi determinada iDp(médio) para o “chopper” do tipo Wagner e é dada pela 
equação (2.89). 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= Itq
LC
tq
CVfi omédioDp
2
sen2)( (2.89) 
Quando t for maior ou igual à LCp , tem-se a pior ,condição de corrente para DR. 
Nesta situação a corrente média através dele é dada pela equação (2.90). 
3
2
'
( ) 20 0
1
( ) sen cos ( ) sena
t t LC
DRmédio i c i ct
C t t C t
i Idt V v I dt V v dt
T L LLC LC LC
pé ùæ ö
= - - + + +ê úç ÷ç ÷ê úè øë û
ò ò ò (2.90) 
Cuja solução é dada pela equação (2.91). 
'3 2 3 2
( ) 2sen ( ) 1 cos 2 ( )DRmédio a i c i c
t t t t
i f I t LC C V v C V v
LC LC
é ùæ ö- -æ ö= - - - - + +ê úç ÷ç ÷
è øè øë û
 (2.91) 
Onde ta é o tempo durante o qual a tensão na carga e nula e vc2 e (t3-t2) são dados, 
respectivamente, pelas equações (2.81) e (2.82). 
 A corrente de pico para os componentes C, L, Ta1 e Ta2 é a própria corrente de pico 
do circuito oscilante. Para o tiristor Tp e o diodo DR é a soma desta corrente mais a corrente 
de carga, enquanto que para o diodo Dp é a diferença entre estas duas correntes. 
 
2.4.7. dv/dt e di/dt nos Tiristores 
 
0 aparecimento de tensão direta, nos três tiristores, Tp, Ta1 e Ta2, é muito rápido, isto 
é, a razão (dv/dt) de reaplicação de tensão direta é muito grande. Por isto, quando se trabalha 
com tensões relativamente altas, é necessário usar proteção contra auto-disparo destes 
tiristores. 
A razão de aparecimento de corrente no tiristor Ta2, para t maior que zero, é dada pela 
equação (2.92). 
 
L
v
dt
di c
Ta
'
2
=÷
ø
ö
ç
è
æ (2.92) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 110 
 
 
Para o tiristor Ta1, a razão de aparecimento de corrente é expressa pela equação 
(2.93). 
 
L
V
dt
di
aT
0
1
=÷
ø
ö
ç
è
æ (2.93) 
 
0 aparecimento de corrente no tiristor principal pode ser muito rápido quando o 
“chopper” do tipo Mc Murray funciona em condução continua, portanto quando se trabalha 
com alta corrente de carga é necessário introduzir uma indutância em série com ele para 
limitar o valor de di/dt através dele. 
 
2.5. Comutação no “Chopper” do tipo Mc Murray-Bedford 
 
A figura 2.22 mostra o circuito de potência de um “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford. 
Neste circuito, as capacitâncias de comutação, C1 e C2, são iguais e as indutâncias , L1 e L2, de 
dispersão do transformador de comutação, também são iguais. 0 ciclo de operação deste 
circuito será dividido em vários intervalos como indicado na figura 2.23. 
 
 
Figura 2.22 – “Chopper” do tipo Mc Murray-Bedford. 
 
 
Supõe-se que no instante to, assinalado na figura 2.23, o tiristor principal, Tp, esteja 
conduzindo a corrente de carga, I, a tensão no capacitor C2 seja Vi, o capacitor Cl esteja 
descarregado e o tiristor auxiliar, TA, seja disparado. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 111 
 
 
 
Figura 2.23 – Tensão e corrente no “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford. 
 
2.5.1. Funcionamento 
 
Intervalo [t0, t1] 
 
Após o disparo de Ta, os ramos, do circuito da figura 2.22, que conduzirão corrente, 
durante este intervalo a, estão representados em linha cheia na figura 2.24. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 112 
 
 
 
Figura 2.24 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford durante o 
intervalo [t 0,t1]. 
 
Devido ao disparo do tiristor auxiliar, no instante to, o ponto Z atinge o potencial zero 
e por ação de auto-transformação o ponto X atinge o potencial 2Vi. Neste mesmo instante as 
correntes que aparecem em C1, C2 e Ta têm o mesmo valor I. A partir deste instante o 
capacitor C2 se descarrega enquanto o capacitor C1 se carrega. A tensão do ponto Y que é 
igual à tensão em C2 cai do valor Vi para zero, enquanto a tensão do ponto X cai de 2Vi para 
zero (veja figura 2.23). 
Durante o decréscimo de vx do valor 2Vi ao valor Vi (intervalo de tempo tq indicado 
na figura 2.23), o tiristor Tp fica polarizado inversamente. Quando vx se torna menor que Vi, 
uma tensão direta é reaplicadaao tiristor principal. Por isto, tq deve ser no mínimo igual ao 
toff de Tp. Caso contrário, não haverá extinção de Tp, isto é, ele não recuperará sua 
capacidade de bloqueio direto, voltando a conduzir e desta forma o “chopper” perde a 
capacidade de funcionamento. 
 
Intervalo [t1, t2] 
 
No instante tl, termina a descarga do capacitor C2, o diodo D2 entra em condução e o 
circuito da figura 2.22 se reduz ao circuito representado em linha cheia na figura 2.25. Neste 
mesmo instante a corrente iD2 adquire o valor (I+IMAX) e depois decresce para o valor I, 
enquanto a corrente iTa decresce do valor máximo para zero (veja figura 2.24). 
Durante este intervalo de operação; a energia ])()21[( 2max2 IL armazenada na 
indutância L2, é dissipada no circuito formado por D2, L2 e Ta. Esta dissipação de energia é 
muito lenta porque a resistência total deste circuito é muito pequena. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 113 
 
 
 
Figura 2.25 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford durante o 
intervalo [t 1, t2]. 
 
Se o tiristor principal for disparado antes que esta energia seja totalmente dissipada, as 
corrente i TA e i D2 seguem as curvas tracejadas da figura 2.23. Nesta situação haverá uma 
redução do tempo de polarização inversa do tiristor Ta, devido a um acúmulo de energia no 
transformador de comutação. Se este tempo de polarização inversa de Ta for reduzido a um 
valor menor que o seu toff, este tiristor readquire o estado de condução no instante em que a 
tensão vz se tornar positiva, produzindo condução simultânea de Tp e Ta. Devido a baixa 
resistência do transformador de comutação, esta condução simultânea de Tp e Ta é 
praticamente um curto, portanto esta situação deve ser evitada. 
 
Intervalo [t2, t3] 
 
 No instante t2 o circuito do “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford adquire a 
configuração apresentada na figura 2.26 nas linhas cheias. 
 
Figura 2.26 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford durante o 
intervalo [t 2, t3]. 
 
Durante este intervalo apenas o diodo D2 conduz a corrente de carga. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 114 
 
 
Este intervalo existirá apenas se Tp for disparado após o instante de anulação da 
corrente iTa. 
 
Intervalo [t3, t4] 
 
 Após o tempo t3, instante em que o tiristor principal Tp é disparado, o circuito do 
“chopper” do tipo Mc Murray-Bedford fica com a configuração, de linha cheia, apresentada 
na figura 2.27. 
 
Figura 2.27 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford durante o 
intervalo [t 3, t4]. 
 
Pelo fato da indutância L1 não poder tomar a corrente de carga instantaneamente, após 
o disparo do tiristor principal, a corrente iTp cresce de zero ao valor I enquanto a corrente iD2 
decresce do valor I para zero. A condução do diodo D2 faz com que o ponto Y permaneça 
com uma tensão nula. 0 ponto X adquire uma tensão Vi devido a condução de Tp. Assim o 
ponto Z adquire uma tensão –Vi (veja figura 2.23). 
Este intervalo, [t3, t4], não existirá se Tp for disparado antes que iTa se anule. Nesta 
situação iTp, vx e vZ seguem as curvas tracejadas da figura 2.23. 
 
Intervalo [t4, t5] 
 
Após o término da condução de D2 no instante t4, o capacitor, C2, se carrega enquanto 
o capacitor, C1, se descarrega. Com isto a corrente iTp cresce do valor I ao valor iTPMAX, a 
tensão vy cresce de zero ao valor Vi e vz cresce de –Vi a Vi. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 115 
 
 
 
Figura 2.28 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray-bedford durante o 
 intervalo [t 4, t5]. 
 
 
Intervalo [t5, t6] 
 
No instante t5 o diodo Dl entra em condução e conduz a diferença de corrente (iTp- I) 
enquanto as tensões vx, vy e vz permanecem todas com o valor Vi. 
 
Figura 2.29 - Circuito equivalente ao “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford durante o 
intervalo [t 5, t6]. 
 
No instante t6 o circuito se prontifica para realizar nova comutação que terá inicio no 
instante em que Ta for disparado novamente. 
Neste intervalo, a energia 21 )()21[( IIL PMAX - , armazenada em L1, é dissipada na 
malha (Dl, Tp, L1). Esta dissipação de energia é lenta devido a baixa resistência dessa malha. 
Se Ta for disparado antes do término dessa dissipação de energia, as corrente iTp e 
1D1 seguirão as curvas tracejadas indicadas na figura 2.23. Nesta situação a corrente em Tp, a 
ser comutada, e a soma da corrente de carga mais a corrente de descarga de L1. Isto causa 
uma redução do tempo de polarização inversa do tiristor principal. Se este tempo de 
polarização inversa se tornar menor que o toff, o tiristor principal não entrará no estado de 
bloqueio direto e voltará a conduzir quando sua polarização se tornar positiva. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 116 
 
 
Um bom funcionamento deste “chopper” necessita de que esta situação seja evitada. 
 
2.5.2. Cálculo da Capacitância e Indutância de Comutação. 
 
Durante o intervalo de tempo (t0, t1), temos a situação como descrito a seguir. 
A corrente iTa, é composta de uma componente contínua e uma componente alternada, 
ou seja 
 
aTa iIi += (2.94) 
 
Onde I é a componente contínua que é igual à corrente de carga e ia é a componente 
alternada. 
Já que os capacitores C1 e C2 são iguais e estão em paralelo para a componente 
alternada, metade dessa componente alternada passa por C1 e a outra metade passa por C2. 
A equação diferencial para a malha C2, L2 e TA, pode ser escrita como: 
 
2 0
2
1
0
2
t
Ta a
i
di i
L I dt V
dt C
æ ö= + + -ç ÷
è øò (2.95) 
Ou: 
( )2 0
2
1
0 2
2
t
Ta
a i
di
L i I dt V
dt C
= + + -ò (2.96) 
 
Fazendo C = 2C2 = 2C1 e L2 = L1 = L, nesta equação, temos: 
 
0
1
0 [( ) ]
t
Ta
a i
di
L i I I dt V
dt C
= + + + -ò (2.97) 
Ou: 
0
1
0 ( )
t
Ta
Ta i
di
L i I dt V
dt C
= + + -ò (2.98) 
 
A solução desta equação (2.98), para as condições iniciais vc2 (0+)=Vi e iTA(0+)=I, é 
dada pela equação (2.99). 
 
sen 2cos 1Ta i
C t t
i V I
L LC LC
æ ö
= + -ç ÷
è ø
 (2.99) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 117 
 
 
Esta equação pode ser colocada sob a forma da equação (2.100). 
 I
LC
t
Ii mTa -÷
ø
ö
ç
è
æ
F+= sen (2.100) 
Onde: 
2
22
4
i
m
VC
I I
L
= + (2.101) 
 E: 
 
2
arctan
i
I
C
V
L
F = (2.102) 
Chamando o valor máximo de iTa simplesmente de IMÁX temos: 
2
22
4
i
MAX
VC
I I I
L
= + - (2.103) 
Dividindo ambos os membros da equação (2.103) por I encontraremos a equação 
(2.104). 
112)( 2 -+== xxf
I
I MAX (2.104) 
Onde: 
2
iV Cx
I L
= (2.105) 
A tensão no capacitor C2 é igual a vy e é dada pela equação (2.106). 
dt
di
Lv Tay = (2.106) 
Ou; 
cos 2 seny i
t L t
v V I
CLC LC
= - (2.107) 
Para t = tq, vy é igual à Vi/2, então teremos: 
cos 2 sen
2 i
V tq L tq
V I
CLC LC
= - (2.108)Ou: 
LC
tq
LC
tq
x
x
sencos
2
-= (2.109) 
Esta equação (2.109) pode ser escrita sob a forma da equação (2.110). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 118 
 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+
=
LC
tq
x
x
v
x
MÁX
1
arcsensen
2 2
 (2.110) 
Onde: 
12 += xvMÁX (2.111) 
 
0 tempo de polarização inversa do tiristor principal é determinado a partir da equação 
(2.110) e pode ser expresso pela equação (2.112). 
 
12
arcsen
1
arcsen)(
22 +
-
+
==
x
x
x
x
xg
LC
tq
 (2.112) 
 
Resolvendo simultaneamente as equações (2.105) e (2.112) encontra-se: 
 
2
( ) i
x Itq
C
g x V
= (2.113) 
E: 
1
2 ( )
itqVL
xg x I
= (2.114) 
 
Estas equações (2.113) e (2.114) dão, respectivamente, os valores de C e L em função 
de x, I, tq e Vi. 
A energia armazenada na indutância L2 no fim do intervalo a é dada por: 
 
222 )]([
2
1
)(
2
1
xfLIILW MÁX == (2.115) 
 
Dividindo ambos os membros da equação (2.115) por 0,5 VI tq, obtém-se: 
 
2( ( ))
( )
0,5 2 ( )i
W f x
h x
VItq xg x
= = (2.116) 
 
Ou: 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 119 
 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-
+
-+
=
12
arcsen
1
arcsen2
)112(
)(
22
22
x
x
x
x
x
x
xh (2.117) 
 
As equações (2.104),,(2.112) e (2.117) estão representadas graficamente na figura 
2.30. 
 
Figura 2.30 - Representação gráfica das equações (2.104), (2.112) e (2.117). 
 
Observando a figura 2.31, vemos que h(x) é mínimo para x = 1,15. Consequentemente, 
W, também, é mínimo para este valor de x. 
 Substituindo x por 1,15 nas equações (2.113) e (2.114) e colocando o índice (o) em I e 
tq para representar condições de carga máxima, obtém-se respectivamente: 
 0 04,913
i
I tq
C
V
= (2.118) 
E: 
0
0
0,928 i
Vtq
L
I
= (2.119) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 120 
 
 
Estas equações (2.118) e (2.119) dão, respectivamente, os valores ótimos, do ponto de 
vista de mínima energia de comutação, para a capacitância e indutância do “chopper” do tipo 
Mc Murray-Bedford representado na figura 2.22. 
Vimos que C = 2C2 = 2C1 e L = L1 = L2, então podemos escrever: 
0 0
1 2 2,4562 i
I tqC
C C
V
= = = (2.120) 
E: 
0
1 2
0
0,928 i
Vtq
L L L
I
= = = (2.121) 
 
2.5.3. Tensão Final e Capacidade de Comutação. 
 
A tensão final no capacitor C2 é sempre Vi, independentemente da corrente de carga. 
Em virtude desta independência entre tensão final no capacitor e a corrente de carga, a 
energia envolvida na comutação é sempre máxima para qualquer corrente de carga. Assim 
este “chopper” apresenta uma perda constante, isto é, possui baixo rendimento quando 
trabalha com cargas leves. 
Já que a energia envolvida na comutação é sempre máxima, este “chopper” suporta 
aumentos súbitos na corrente de carga, desde que esta não ultrapasse o valor para o qual o 
capacitor de comutação foi dimensionado. 
 
2.5.4. Máxima Freqüência de Operação. 
 
0 mínimo período de funcionamento do “chopper” do tipo Mc Murray-Bedford, 
representado na figura 2.22, é dado pela equação (2.122). 
 
)()()()()( 5645341201min ttttttttttT -+-+-+-+-= (2.122) 
 
Cada intervalo de tempo desta equação (2.122), será determinado a seguir. 
A tensão vy é anulada quando t = t1-t0, logo, tendo em vista a equação (2.107), 
podemos escrever a equação 2.123. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 121 
 
 
1 0 1 00 cos 2 seni
t t t tL
V I
CLC LC
- -
= - (2.123) 
Ou: 
1 0 arctan 2
iV Ct t LC
I L
æ ö
- = ç ÷ç ÷
è ø
 (2.124) 
 
No intervalo [t1,t2] a tensão na indutância L2 é igual à soma das quedas de tensão em 
Ta e D2. Considerando que estas quedas de tensão sejam constantes e cuja soma seja Dv, 
podemos escrever: 
0=D++ vri
dt
di
L Ta
Ta (2.125) 
Onde r é a resistência do indutor L2. 
 A solução desta equação (2.125), para iTA(O+)=IMAX, é: 
 
t
L
r
MÁXTa
e
r
v
I
r
v
i
-
÷
ø
ö
ç
è
æ D++
D
-= (2.126) 
Para t = t2 – t1 iTa é nulo, então podemos escrever a equação (2.127). 
)( 12
2
tt
L
r
MÁX
e
r
v
I
v --
÷
ø
ö
ç
è
æ D+=
D
 (2.127) 
Ou: 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
D
+=-
r
L
MÁX
v
rI
Lntt 112 (2.128) 
Durante o intervalo [t3, t4], a tensão em L1 é constante e vale V, assim podemos 
escrever: 
 Tpi
di
V L
dt
= (2.129) 
A solução desta equação (2.129), para iTP(0+)=0, é representada pela equação (2.130). 
i
Tp
V
i t
L
= (2.130) 
Para t = t4 - t3, iTP é igual a I, logo: 
4 3
i
IL
t t
V
- = (2.131) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 122 
 
 
A equação diferencial para a malha V, Tp, L1 e C2 , para o intervalo e, é aquela 
apresentada na equação (2.132). 
0
2
1
2
tTp Tp
i
di i I
V L dt
dt C
-æ ö
= + ç ÷
è ø
ò 
 (2.132) 
Ou: 
( )
0
1 tTp
i Tp
di
V L i I dt
dt C
= + -ò (2.133) 
Cuja solução, para íTp(O+)=I, é dada pela equação (2.134). 
senTp i
C t
i I V
L LC
= + (2.134) 
iTp é máxima para t=(t5-t4) e 
2
p
=
LC
t
, assim teremos: 
2
45 p=
-
LC
tt
 (2.135) 
Ou: 
245
LC
tt
p
=- (2.136) 
A tensão na indutância L1, durante o intervalo [t5, t6], é igual à soma das quedas de 
tensão em Tp e Dl. Considerando que estas quedas de tensão são constantes e cuja soma vale 
Dv, podemos escrever a equação (2.137). 
0=D++ vri
dt
di
L Tp
Tp (2.137) 
Onde r é a resistência do indutor L1. A solução desta equação (2.137), para 
(0 )Tp i
C
i I V
L
+ = + , é dada pela equação (2.138). 
r t
L
Tp i
v C v
i I V e
r L r
-æ öD D
= - + + +ç ÷ç ÷
è ø
 (2.138) 
Para t = t6 - t5, iTp é igual a I, logo podemos obter a equação (2.139). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 123 
 
 
6 5
L
r
i
C
r I V v
L
t t Ln
rI v
é ù
æ öæ öê ú+ + Dç ÷ç ÷ê úç ÷è øê ú- = ç ÷+ Dê ú
ç ÷ê úç ÷
êè ø ú
ë û
 (2.139) 
Substituindo os intervalos de tempo dados pelas equações (2.124), (2.128), (2.131), 
(2.136) e (2.139) , na equação (2.122), obtém-se a equação (2.140). 
min arctan 12 2
L
r
L
i
r
i MÁX
i
Cr I V v
LrIV C IL LC
T LC Ln Ln
I L v V rI v
p
æ öæ ö
+ + Dç ÷ç ÷
æ ö æ ö ç ÷è ø= + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ D + Dè øè ø ç ÷
ç ÷
è ø
 (2.140) 
0 inverso de Tmin, dado por esta equação (2.140), é a máxima freqüência de operação, 
ou seja: 
1
arctan 1
2 2
LMÁX
r
L
i
r
i MÁX
i
f
Cr I V v
LrIV C IL LC
LC Ln Ln
I L v V rI v
p
=
æ öæ ö
+ + Dç ÷ç ÷
æ ö æ ö ç ÷è ø+ + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷D + Dè øè ø ç ÷
ç ÷è ø
 
(2.141) 
0 “chopper’ do tipo McMurray-Bedford, representado na figura 2.22, pode operar 
numa freqüência maior que a dada pela equação (2.141), desde que os tempos de polarização 
inversa de Tp e/ou de Ta sejam maiores que seus respectivos toff, pois, nesta situação, Ta 
pode ser disparado antes da anulação da corrente iD1 e/ou Tp antes da anulação de iT A. De 
qualquer forma a máxima freqüência de operação deste “chopper” é muito baixa. Entretanto 
existem variações deste “chopper” que podem operar em freqüências bem maiores. Para isto é 
necessário fazer com que a desmagnetização dos indutores acoplados aconteça de maneira 
mais rápida. Isto é conseguido, normalmente, dissipando-se esta energia ou retornando-a à 
fonte ou à carga através de circuitos especiais que são encontrados na bibliografia 
especializada neste tipo de conversor. 
 
2.5.5. Mínima Razão Cíclica (a). 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 124 
 
 
O tempo mínimo, em que a tensão Vi aparece na carga do “chopper” esquematizado na 
figura 2.22, é exatamente [t6-t5], ou seja, o mínimo tempo de condução deste “chopper” é 
dado pela equação (2.142). 
(min) 6 5
L
r
i
f
Cr I V v
L
t t t Ln
rI v
æ öæ ö
+ + Dç ÷ç ÷
ç ÷è ø= - = ç ÷+ D
ç ÷
ç ÷
è ø
 (2.142) 
Este tempo mínimo de condução, dividido pelo período de operação, nos dá a mínima 
razão cíclica para este “chopper”, que é aquela representada na equação (2.143). 
(min)
(min)
L
r
i
f
C
r I V v
Lt
f Ln
T rI v
a
é ù
æ öæ öê ú+ + Dç ÷ç ÷ê úç ÷è øê ú= = ç ÷+ Dê ú
ç ÷ê úç ÷
ê è ø ú
ë û
 (2.143) 
Se o tempo de polarização inversa do tiristor principal for maior que o seu toff, o 
tiristor Ta poderá ser disparado antes que iD1 caia a zero e, assim poderá se obter razões 
cíclicas menores que a dada pela equação (2.143). 
 
2.5.6. Tensão e Corrente nos Componentes 
 
Todos os componentes do circuito da figura 2.22 devem ser dimensionados para uma 
tensão igual à tensão da fonte. 
A corrente eficaz no capacitor C =(C1 + C2) pode ser determinada pela equação 
(2.144). 
( ) ( )[ ] úûùêëé --++= ò ò dtIidtiITi
t
t
t
t TpTacef
1
0
5
4
221 (2.144) 
Resolvendo esta equação (2.144) encontra-se a equação (2.145). 
2 2 2
2 2arctan 4 sen(2arctan ) 4 (1 cos(2arctan ))
4 2 4
i i i
cef i
LCV C V C V CLC LC
i f x I x I CVI x
L L L
pé ùæ ö æ ö= + + + - + -ê úç ÷ ç ÷
ê úè ø è øë û
 (2.145) 
A corrente média no tiristor principal é determinada a partir da equação (2.146). 
úû
ù
êë
é += ò ò
--6
3
56 )(
0)(
1 t
t
ttt
TpmédioTp
f
Idtdti
T
i (2.146) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 125 
 
 
Onde tf é o tempo durante o qual a tensão na carga é V. Desenvolvendo o segundo 
membro desta equação (2.116) obtém-se a equação (2.147). 
( ) ( )6 5
2 ( )
( ) 6 5 6 512 2
r t t
L
Tp médio i i f
i
LI I LC v L C v
i f V C t t I V e I t t t
V r r L v
p - -ì üæ ö æ öD Dï ïé ù= + + - - + + + - + - -ç ÷í ýç ÷ ë ûç ÷ï ïè øè øî þ
 (2.147) 
Onde (t6-t5) é dado pela equação (2.139) e Dv é a soma das quedas de tensão nos 
semicondutores Tp e D1. 
 A corrente média no tiristor, Ta, é determinada pela equação (2.148). 
1 2
0 1
( )
1
sen 2 cos
r tt t
L
Tamédio i MÁXt t
C t t v v
i V I I dt I e dt
T L r rLC LC
-é ùæ ö æ öD Dæ ö= + - + - + +ê úç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è øê úè øè øë û
ò ò (2.148) 
Resolvendo as integrais do segundo membro desta equação (2.148) encontra-se a 
equação (2.149). 
( ) 2 1
( )
( ) 2 1(1 cos(arctan )) 2 sen(arctan ) arctan 1
r t t
L
Tamédio i MÁX
v L v
i f VC x I LC x I LC x t t I e
r r r
- -é ùæ öD Dæ ö= - + - - - + + -ê úç ÷ç ÷
è øê úè øë û
 (2.149) 
Onde (t2-t1) é dado pela equação (2.128) e Dv é a soma das quedas de tensão em Ta e 
D2. 
A corrente média no diodo D2 pode ser expressa pela equação (2.150). 
( ) ( ) úû
ù
êë
é -+++= ò ò ò
1
0
3
2
4
3
1
)(2
t
t
t
t
t
t TpTamédioD
dtiIIdtdtiI
T
i (2.150) 
Desenvolvendo o segundo membro desta equação (2.150) obtém-se a equação (2.151). 
( )2 1
2( )
2( ) 2 11 2
r t t
L
D médio aMÁX
i
L v v LI
i f I e t t It
r r r V
- -é ùæ öD Dæ ö= + - - - + -ê úç ÷ç ÷
è øê úè øë û
 (2.151) 
Onde os termos (t2-t1) e Dv são os mesmos especificados para a equação (2.139) e ta é 
o tempo durante o qual a tensão na carga é zero. 
A corrente média no diodo D1 e determinada a partir da equação (2.152). 
( )ò -=
6
5
1
)(1
t
t TpmédioD
dtIi
T
i (2.152) 
Resolvendo esta equação (2.152) obtém-se a equação (2.153). 
( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
---
D
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ D
++=
--
5656
)(
)(1
56
1 ttItt
r
v
e
r
v
L
C
VI
r
L
fi
tt
L
r
médioD (2.153) 
Onde os termos (t6-t5) e Dv são os mesmos especificados para a equação (2.147). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 2 - Conversores CC/CC - 126 
 
 
As equações (2.147), (2.149) ,(2.151) e (2.153) dão, respectivamente, os valores 
médios para as correntes iTp , .iTa, iD1 e iD2 apenas quando este “chopper” opera conforme 
as curvas em linhas cheias da figura 2.23. 
0 valor da corrente de pico dos capacitores C1 e C2 é 2 2
4
iV C I
L
+ , do tiristor Tp é 
i
C
i V
L
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
, do 
tiristor Ta é 2 22
4
iV C I I
I
æ ö
+ -ç ÷ç ÷
è ø
, do diodo D2 é 2 22
4
iV C I
L
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
 e do diodo D1 é 
i
C
V
L
æ ö
ç ÷ç ÷è ø
. 
 
2.5.7. dv/dt e di/dt nos tiristores 
 
A razão de reaplicação de tensão direta no tiristor principal, Tp, é dada pela equação 
(2.154). 
( ) 22 2 sen cosii y t tq
Tp
Vdv d tq I tq
V v
dt dt CLC LC LC=
æ ö
= - = +ç ÷
è ø
 (2.154) 
A razão de reaparecimento de tensão direta no tiristor auxiliar, Ta, é determinada pela 
equação (2.155). 
3
3 iz
t LCTa
Vdv dv
dt dt LCp=
= = (2.155) 
A razão de aparecimento de corrente no tiristor principal, Tp, é dada pela equação 
(2.156). 
i
Tp
Vdi
dt L
= (2.156) 
Esta equação (2.156) é válida apenas se Tp for disparado após o instante de anulação 
da corrente iTa. Entretanto se Tp for disparado antes deste instante a razão de aparecimento 
de corrente neste tiristor será muito maior que o valor dado por essa equação. 
0 surgimento de corrente no tiristor auxiliar, Ta , se processa rapidamente, ou seja, a 
razão de aparecimento de corrente, di/dt, é alta. Portanto quando se trabalha com alta corrente 
de carga é necessário introduzir uma indutância entre o cátodo de Ta e o terminal negativo da 
fonte, para reduzir o efeito de aquecimento localizado neste tiristor. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 127 
 
 
3. Conversores CC/CC com Chaves Totalmente Controladas 
 
3.1. Introdução 
 
 Quando se usa uma chave totalmente controlada, os conversores CC/CC 
PWM se tornam simples, de tal forma que, estudos mais profundos, além 
daqueles realizados no capítulo 1, possam ser dispensados quando tais 
conversores trabalham em baixa freqüência. Entretanto isto não é verdadeiro 
quando se trabalham com altas freqüências de chaveamento. 
 Altas freqüências de chaveamento são necessárias,porque esta é uma das 
maneiras utilizadas para reduzir o volume e o peso de conversores eletrônicos de 
potência. Isto acontece porque os conversores utilizam filtros e/ou 
transformadores e estes têm o seu peso e volume reduzidos quando se aumenta 
as freqüências das grandezas que são aplicadas sobre eles. Entretanto estas altas 
freqüências de chaveamento são limitadas principalmente pelas perdas no 
chaveamento que contribui para o abaixamento do rendimento dos conversores 
PWM convencionais. A diminuição do peso e volume dos conversores se deve 
ao fato de que os equipamentos, que utilizam estes conversores como fontes de 
alimentação, estão com o seu peso e volume cada vez mais reduzidos. Então esta 
redução é primordial para que os conversores acompanhem a evolução da 
miniaturização que acontece nas demais áreas da Eletrônica. 
 Para amenizar o problema das perdas por chaveamento, várias estruturas 
com chaveamento suave à base de ressonância tem sido propostas. Um dos 
primeiros conversores com chaveamento suave propostos são os conversores 
quase ressonante, os quais são do tipo ZCS (zero current switching) ou do tipo 
ZVS (zero voltage switching). Cada um deste tipo de conversor é constituído de 
uma estrutura PWM, estudada no capítulo 1, onde o elemento de chaveamento 
indicado passa a ser constituído por uma célula de comutação quase ressonante. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 128 
 
 
Cada célula de comutação é composta de uma chave semicondutora principal 
ligada junto com um capacitor e um indutor mais alguns semicondutores 
auxiliares. 
 Estas células são classificadas de acordo com a maneira que seus diversos 
componentes estão conectados. A tabela 3.1 fornece uma pequena amostra das 
células quase ressonante existente e uma idéia de classificação das mesmas. 
 
 
Tabela 3.1 - Pequena amostra das células quase-ressonantes básicas. 
 
 Cada uma destas células pode substituir a chave S das estruturas do 
capítulo 1, formando assim diversos conversores quase-ressonantes. Uma 
pequena amostra destes conversores é objeto de estudo das próximas seções. 
 
 
3.2. Conversores CC/CC Quase-Ressonante do Tipo ZCS-FM 
 
3.2.1. Introdução 
 
 Neste item serão estudados os conversores quase-ressonantes, com 
comutação à corrente nula e modulação em freqüência. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 129 
 
 
 Serão feitos estudos qualitativos e quantitativos destes conversores, 
utilizando-se para isto de interruptores uni e bidirecionais em corrente. 
 Serão calculados os ganhos estáticos e os tempos de bloqueio dos 
interruptores principais. 
 Serão apresentadas as equações obtidas nos estudos quantitativos, assim 
como a sua representação gráfica. 
 
3.2.2. Conversores CC/CC Buck Quase-Ressonantes, com 
Comutação à Corrente Nula e Modulação em Freqüência, com 
Interruptores Bidirecionais em Corrente 
 
 
 Para se obter os conversores Buck quase-ressonantes, com comutação à 
corrente nula e modulação em freqüência (Buck-QRC-ZCS-FM), com 
interruptor bidirecional em corrente, deve-se substituir no circuito da figura 1.2, 
o interruptor S por células ZCS bidirecional do tipo daquelas mostradas na 
tabela 3.1. Com esta substituição pode-se obter conversores como aqueles 
mostrados na figura 3.1. 
 Observa-se através desta figura, que as células de comutação utilizada nos 
conversores (b) e (d) não estão mostrados na tabela 3.1. Apesar disto todos os 
quatro conversores desta figura possuem fundamentalmente as mesmas 
características. Desta forma o estudo, feito em seguida para o conversor (a); 
pode ser estendido com pequenas alterações para os outros três conversores. 
Todos os estudos serão feitos considerando os conversores já funcionando em 
regime permanente. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 130 
 
 
 
Figura 3.1 - Família de conversores Buck quase-ressonantes, ZCS-FM com 
interruptor bidirecional em corrente. 
 
3.2.2.1.Etapas de Funcionamento 
 
Estes conversores, funcionando em regime permanente, possuem em seu 
ciclo de funcionamento quatro etapas de funcionamento. Estas etapas são 
descritas a seguir. 
 
1aEtapa [to , t1] Dt1 (linear para iLr) 
 
 Esta etapa de funcionamento é iniciada quando o transistor T1 é colocado 
em condução e é terminada, quando iLr = Io. 
 Durante esta etapa de funcionamento a corrente no indutor de ressonância 
(iLr) cresce linearmente. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 131 
 
 
 
Figura 3.2 - Configuração do conversor Buck-QRC-ZCS-FM, para a primeira 
etapa de funcionamento. 
 
2a Etapa [t1 , t2] Dt2 (etapa ressonante) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando iLr = Io, e se finda quando 
iLr = 0. 
 Durante esta etapa o circuito ressonante oscila. A corrente no indutor de 
ressonância (iLr) cresce, passa por um máximo, decresce, se anula, continua 
decrescendo, passa por um mínimo e cresce, senoidalmente, até se anular. 
Enquanto isto, a tensão no capacitor de ressonância (vcr) cresce, passa por um 
máximo e decresce, cossenoidalmente, se anula, continua decrescendo, passa 
por um mínimo e cresce, cossenoidalmente até o final desta etapa. 
 
Figura 3.3 - Configuração do conversor Buck-QRC-ZCS-FM na segunda 
etapa de funcionamento. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 132 
 
 
3a Etapa [t2 , t3] Dt3 (linear para vcr) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando iLr = 0 e tem fim quando 
vcr = 0. 
 Durante esta etapa de funcionamento o capacitor de ressonância (Cr) é 
descarregado linearmente pela corrente de carga. 
 
Figura 3.4 - Configuração do conversor Buck-QRC-ZCS-FM na terceira 
etapa. 
 
4a Etapa [t3 , t4] Dt3 (roda livre) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando vcr = 0 e tem fim quando o 
transistor T1 é colocado em condução, dando início à primeira etapa de 
funcionamento do próximo ciclo de funcionamento do conversor. 
 Durante esta etapa de funcionamento o diodo Do conduz a corrente de 
carga I, colocando-a em roda livre. 
 
Figura 3.5 - Configuração do conversor Buck-QRC-ZCS-FM na quarta etapa. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 133 
 
 
3.2.2.2. Formas de Ondas e Plano de Fase 
 
 As formas de onda e o plano de fases do conversor Buck-QRC-ZCS-FM, 
com interruptor bidirecional em corrente são mostrada nas figuras 3.6 e 3.7 
respectivamente. 
 
Figura 3.6 - Principais formas de ondas para o conversor Buck-QRC-ZCS-
FM da figura 3.1. 
 
 
Figura 3.7 - Plano de fase do conversor Buck-QRC-ZCS-FM da figura 3.1(a). 
 
 Como pode ser observado nas formas de ondas, (figura 3.6), e no plano de 
fase, (figura 3.7), se a corrente de carga for maior que a amplitude máxima da 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 134 
 
 
corrente iLr, o conversortrabalhará com chaveamento dissipativo. Isto limita a 
máxima potência deste tipo de conversor a poucas centenas de watts. 
 
 
 
3.2.2.3. Modelo Matemático 
 
1a Etapa [to , t1] Dt1 (linear para iLr) 
 
 A equação (3.1) e a equação que descreve o comportamento do circuito 
(a) da figura 3.1 funcionando na primeira etapa. 
 
 V L
diL
dtv r
r= (3.1) 
 
 Solucionando-se a equação obtem-se: 
 
 i t
V
L
tLr
i
r
( ) = (3.2) 
 
 Das condições de contorno tem-se que: 
 
 t = Dt1 = t1 - to (3.3) 
Quando: 
 iLr(t) = Io (3.4) 
 
Por definição: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 135 
 
 
 w0
1
=
Lr C r
 (3.5) 
 
 a =
I
V
L
Ci
r
r
 (3.6) 
 
 Substituindo-se as equações (3.3), (3.4), (3.5) e (3.6) na equação (3.2) 
obtém-se a equação (3.7), que é a equação do tempo de duração desta etapa de 
funcionamento. 
 
 Dt1
0
= a
w
 (3.7) 
 
2a Etapa [t1 , t2] Dt2 (etapa ressonante) 
 
 Nesta etapa o comportamento do circuito (a) da figura 3.1 é descrito pelas 
equações (3.8), (3.9) e (3.10). 
 
 V L
diL
dt
vi r
r
cr= + (3.8) 
 
 i C
dv
dtcr r
cr= (3.9) 
 
 iLr = icr + Io (3.10) 
 
 As condições iniciais desta etapa de funcionamento são dadas por: 
 
 vcr(0
+) = 0 (3.11) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 136 
 
 
 
 icr(0
+) = Io (3.12) 
 
 Resolvendo-se as equações (3.8) e (3.9) e utilizando-se as condições 
iniciais das (3.11) e (3.12), tem-se, respectivamente: 
 
 vcr(t) = Vi - Vi cos w0 t (3.13) 
 
 
L
C
i t V Ir
r
Lr i o( ) = sen t +
L
C
r
r
w 0 (3.14) 
 
 Das condições de contorno tem-se que: 
 
 t = Dt2 = t2 - t1 (3.15) 
 
Quando: 
 
 iLr(t) = 0 (3.16) 
 
E que o ângulo w 0Dt2 se encontra no quarto quadrante. 
 Substituindo-se as equações (3.15) e (3.16) em (3.14) e considerando-se o 
quadrante onde se encontra situado o ângulo w 0Dt2 obtém-se (3.17) que é a 
equação do tempo de duração desta etapa de funcionamento. 
 
 { }Dt2
0
11 2= - -
w
p asen ( ) (3.17) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 137 
 
 
 Substituindo-se a equação (3.17) em (3.13) encontra-se a equação (3.18), 
que é a equação da tensão no capacitor de ressonância no final desta etapa de 
funcionamento. 
 
 V V Vc i i2
21= - - a (3.18) 
 
 
3a Etapa [t2 , t3] Dt3 (linear para vcr) 
 
 O comportamento do circuito (a) da figura 3.1 no intervalo [t2,t3] é 
descrito pelas equações (3.19) e (3.20). 
 
 i t C
dv
dtcr r
cr( ) = (3.19) 
 
 icr(t) = - Io (3.20) 
 
 Substituindo-se a equação (3.20) em (3.19) e resolvendo-se obtém-se a 
equação (3.21). 
 
 v t V
I
C
tcr c
o
r
( ) = -2 (3.21) 
 
 Substituindo-se a equação (3.18) em (3.21) encontra-se: 
 
 v t V V
I
C
tcr i i
o
r
( ) = - - -1 2a (3.22) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 138 
 
 
 Das condições de contorno, tem-se: 
 
 t = Dt3 = t3 - t2 (3.23) 
 
Quando: 
 
 vcr(t) = 0 (3.24) 
 
 Substituindo-se as equações (3.23) e (3.24) em (3.22) obtêm-se (3.25) que 
é a equação do tempo de duração desta etapa de funcionamento. 
 
 Dt3
0
21 1 1
1= - æ
èç
ö
ø÷
-
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þïw a a
 (3.25) 
 
 Desprezando-se as perdas, pela lei da conservação da energia, a potência 
fornecida é igual à absorvida, então pode-se escrever: 
 
 
V
V
I
I
o
i
imed
o
= (3.26) 
 
 Pelas etapas de funcionamento observa-se que ii(t) é diferente de zero na 
1a e na 2a etapa. Neste caso ii(t) = iLr(t). Então o valor de iimed será dado pela 
equação (3.27). 
 
 i
T
V
L
t V t dtimed
v
r o
T
v
o
t
=
ì
í
î
ü
ý
þò ò ò
1 1 2
0
D D D
 dt +
C
L
 dt + Ir
r o
t 2
senw (3.27) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 139 
 
 
 Solucionando-se a equação (3.27) e substituindo-se em (3.26) obtém-se a 
equação (3.28) que é a equação do ganho estático para a família de conversores 
Buck-QRC-ZCS-FM, com interruptor bidirecional em corrente, mostrada na 
figura (3.1). 
 
 ( )V
V
f
f
o
i
= + - æ
èç
ö
ø÷
- + -
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-1
2 2
1 1
1 2
0
2
1
p
a
a a
p asen (3.28) 
 
 Onde: 
 f = freqüência de funcionamento; 
 fo = freqüência de ressonância. 
 
 Examinando-se a equação (3.28) observa-se que o funcionamento destes 
conversores só é normal para a < 1,0 e que o controle de tensão de saída é 
efetuado pela variação da freqüência de funcionamento, uma vez que freqüência 
de ressonância é uma função dos parâmetros Lr, Cr e a é a corrente de carga 
normalizada. 
 Das formas de onda da figura 3.6, obtém-se a equação (3.29). 
 
 tq = Dt2 - D ¢t2 (3.29) 
 
Onde: 
 
 Dt2 = t2 - t1 (3.30) 
 
 D ¢ = ¢ -t t t2 2 1 (3.31) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 140 
 
 
 Da equação (3.14) encontra-se o valor de D ¢t2 que está representado na 
equação (3.32). 
 
 ( ){ }D ¢ = + -t2
0
11
w
p asen (3.32) 
 
 Substituindo-se as equações (3.17) e (3.32) em (3.29) obtém-se a equação 
(3.33), que é a equação do tempo (tq) disponível para retirar o sinal de base do 
tiristor T1 da família de conversores quase-ressonantes em estudo quando se 
deseja chaveamento suave no bloqueio do mesmo. 
 
 ( ){ }tq = - -1 2
0
1
w
p asen (3.33) 
 
 As equações (3.28) e (3.33) foram processadas para vários valores de 
carga (a) e deram origem às curvas das figuras 3.8 e 3.9, respectivamente. 
 
Figura 3.8 - Ganho estático da família de conversores Buck-QRC-ZCS-FM 
com interruptor bidirecional em corrente. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 141 
 
 
 
Figura 3.9 - Tempo disponível para o bloqueio do transistor T1. 
 
Da figura 3.8, nota-se que, para a família de conversores Buck-QRC-ZCS-
FM com interruptor bidirecional em corrente, o ganho estático não varia com a 
variação da carga (a). Isto é uma característica de controle ótima, já que neste 
caso a única variável que influencia o ganho estático é a freqüência de 
funcionamento, uma vez definida a freqüência de ressonância. 
 Da figura 3.9, observa-se que, para a família de conversores quase-
ressonantes em estudo, o tempo disponível para o bloqueio do transistor T1 (tq) 
diminui com o aumento da carga (a), sendo que no limite a = 1,0 este tempo 
torna-se igual à zero, o que inviabiliza o funcionamento destes conversores nesta 
condição de operação, já quetodos os interruptores reais demandam algum 
tempo para serem colocados em condução ou para serem bloqueados. 
 
3.2.2.3.1. Valores Médios e Eficazes 
 
3.2.2.3.1.1. Transistor T1 
 
 A corrente que passa pelo transistor T1 é igual à corrente iLr na primeira 
etapa de funcionamento. Na segunda etapa, T1 conduz apenas a parte positiva da 
corrente de entrada, sendo que a parte negativa é conduzida pelo diodo D1. Com 
isto, a equação (3.34) representa o valor médio da corrente no transistor 
principal T1. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 142 
 
 
 
i
T
V
L
t V dtT
v
r o
t
v
o
t
o
t
medio1
2 2 21
0=
ì
í
î
ü
ý
þò ò ò
¢ ¢D D D
 dt +
C
L
 t dt + Ir
r
osen w (3.34) 
 
 Solucionando-se a equação (3.34) encontra-se (3.35) que é a equação do 
valor médio parametrizado da corrente no transistor principal. 
 
 ( )
I
I
f
f
T
o
med1
1
2 2
1 1
1
2
1= + + æ
èç
ö
ø÷
- + +
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-
p
a
a a
p asen (3.35) 
 
 A equação (3.35), representada graficamente para vários valores de carga 
(a) dá origem às curvas da figura 3.10. 
 
Figura 3.10 - Corrente média, parametrizada, no transistor T1 para a família 
de conversores Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional em corrente, 
para a variando de zero à 1,0. 
 
 A corrente eficaz no transistor T1 pode ser expressa pela equação (3.36). 
 
( )i
T
V
L
t dt
C
L
dtT
v
r
t t
r
r
oEF1
1 22
2
2
0
2
1=
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
ò ò
¢D D
sen t + Iw (3.36) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 143 
 
 
 
 Resolvendo-se a equação (3.36) obtém-se a equação (3.37). 
 
( )( )iI
f
f
T
o o
EF1
2 2 2
11
2 2
2 3
2
1
1 1
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ = + + æ
èç
ö
ø÷
- + + æ
èç
ö
ø÷
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-
p
a
a a a
p asen (3.37) 
 
 A representação gráfica da equação (3.37), para vários valores de carga 
(a) dá origem às curvas da figura 3.11. 
 
Figura 3.11 - Corrente eficaz, parametrizada, no transistor T1, para a família 
de conversores Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional em corrente, 
para a variando de zero à 1,0. 
 
3.2.2.3.1.2. Diodo D1 
 
 A corrente que passa pelo diodo D1 é igual à parte negativa da corrente iLr 
durante o tempo de polarização reversa (tq) do transistor T1. Com isto, o valor 
médio da corrente no diodo D1 é dado pela equação (3.38). 
 
 i
T
C
L
VD
r
r
v
t
t
t
t
med1
2
2
2
21
00=
ì
í
î
ü
ý
þ¢ ¢ò òD
D
D
D
sen t dt + I dtw (3.38) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 144 
 
 
 Solucionando-se a equação (3.38) encontra-se: 
 
 ( )
i
I
f
f
D
o o
med1
1
2
2
1
1 2
2
1= - æ
èç
ö
ø÷
- + -
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-
p a
p a sen (3.39) 
 
 A equação (3.39) representada graficamente para vários valores de 
carga (a), dá origem às curvas da figura 3.12. 
 
Figura 3.12 - Corrente média, parametrizada, no diodo D1, para a família de 
conversores Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional em corrente, 
para a variando de zero à 1,0. 
 
 A corrente eficaz no diodo D1 pode ser determinada a partir da equação 
(3.40). 
 
 ( )i T
C
L
dtD
t
t
r
r
ef1
2
22
0
2
1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
¢òD
D
sen t + Iow (3.40) 
 
 Solucionando-se a equação (3.40) encontra-se: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 145 
 
 
( )( )i I
f
f
D
o o
ef1
2 2 21
2
1
2
1 2 3
1
1
æ
è
ç
ö
ø
÷ = æ
èç
ö
ø÷
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ - -
æ
èç
ö
ø÷
-
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þïp a
p a
a
 sen-1 (3.41) 
 
 Representando graficamente esta equação, para vários valores de carga 
(a), obtém-se as curvas da figura 1.44. 
 
Figura 3.13 - Corrente eficaz, parametrizada, no diodo D1, para a família de 
conversores Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional em corrente, 
para a variando de zero à 1,0. 
 
3.2.2.3.1.3. Diodo de Roda Livre Do 
 
 A corrente que circula pelo diodo de roda livre (Do) é diferente de zero na 
primeira e na quarta etapa de funcionamento. 
 Assim o valor médio da corrente no diodo de roda livre (Do) pode ser 
representado pela equação (3.42). 
 
 i
T
I dt
V
L
t dtD o
o
t
v
r o
t
o
t
omed
= -
ì
í
î
ü
ý
þò ò ò
1 1 1 4D D D
 dt + Io (3.42) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 146 
 
 
 Solucionando-se a equação (3.42) obtém-se a equação (3.43), cuja 
representação gráfica para vários valores de carga (a) é mostrada na figura 3.14. 
 
( )D
I
f
f
omed
o o
= - + - æ
èç
ö
ø÷
- + -
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-1
1
2 2
1 1
1 2
2
1
p
a
a a
p asen (3.43) 
 
Figura 3.14 - Corrente média, parametrizada, no diodo de roda livre (Do), 
para a família de conversores Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor 
bidirecional em corrente, para a variando de zero à 1,0. 
 
 A corrente eficaz no diodo Do pode ser expressa pela equação (3.44). 
 
 ( )i T I
V
L
t dt I dtD
o
t
v
r o
t
oef
2
2
21 1 4= -
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
ò ò
D D
 (3.44) 
 
 Solucionando-se a equação (3.44) encontra-se: 
 
( )
i
I
f
f
D
o o
oef
æ
è
ç
ö
ø
÷ = - + - æ
èç
ö
ø÷
- + -
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-
2 2
11
1
2
2
3
1 1
1 2
p
a
a a
p asen (3.45) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 147 
 
 
 A representação gráfica desta equação para vários valores de carga 
(a) dá origem às curvas da figura 3.15. 
 
Figura 3.15 - Corrente eficaz, parametrizada, no diodo de roda livre (Do), para 
a família de conversores Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional em 
corrente, para a variando de zero à 1,0. 
 
 Neste item, além das expressões do ganho de tensão do conversor e do 
tempo disponível para abertura da chave principal suavemente, várias equações 
de correntes, também, foram obtidas. Tais equações são importantes para 
dimensionamento dos semicondutores em termos de correntes médias e eficaz. 
 O dimensionamento dos semicondutores em termos de tensão e corrente 
de pico e o dimensionamento dos elementos ressonantes podem ser realizados a 
partir de uma observação criteriosa das formas de ondas da figura 3.6, do plano 
de fases da figura 3.7 e dos circuitos equivalentes das figuras 3.2 a 3.5. 
 
3.2.3. Conversores Buck Quase-Ressonantes ZCS Controlados por 
Freqüência e com Chaves Unidirecionais em Corrente 
 
 Para transformar os conversores da figura 1.2 em conversores 
unidirecionais emcorrente basta mudar a ligação do diodo D1 de antiparalelo 
para série como mostrado na figura 3.16. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 148 
 
 
 Tendo em vista a similaridade entre estes conversores e aqueles da figura 
1.2, não é necessário analisá-lo a passo a passo como foi feito anteriormente. 
Isto se deve ao fato de que as etapas de funcionamento são similares àquelas, 
sendo, portanto, fácil de se conseguir consegui-las apenas observando as do 
conversor anterior. 
 
Figura 3.16 - Família de conversores Buck QRC-ZCS-FM, utilizando 
interruptor unidirecional em corrente. 
 
 Para se obter as formas de ondas do conversor unidirecional, basta cortar a 
parte negativa da corrente iLr e aumentar a parte linear de vcr e vT1 como 
mostrado na figura 3.17. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 149 
 
 
 
Figura 3.17 - Formas de ondas para o conversor (a) da figura 3.16. 
 
O ganho do conversores da figura 3.16 pode ser expresso pela equação 
(3.46). 
 ( )V
V
f
f
o
i o
= + + æ
èç
ö
ø÷
- + +
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-1
2 2
1 1
1
2
1
p
a
a a
p asen (3.46) 
 Uma representação gráfica deste ganho para várias condições de carga, é 
mostrada na figura 3.18. 
 
Figura 3.18 - Ganho estático para a família de conversores Buck-QRC-ZCS-
FM com interruptor unidirecional em corrente. 
 
 Observando-se a figura 3.18, nota-se que, para a família de conversores 
Buck-QRC-ZCS-FM com interruptor unidirecional em corrente, o ganho 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 150 
 
 
estático é extremamente sensível à variação da carga (a). O que é um contraste 
com a invariância que existe para a família de conversores Buck-QRC-ZCS-FM 
com interruptor bidirecional em corrente. Então, no presente caso, o controle de 
tensão é mais difícil de ser implementado que no caso anterior. 
 Utilizando um procedimento similar ao usado para o conversor 
bidirecional, pode-se dimensionar todos os componentes do conversor 
unidirecional. 
 
3.2.4. Conversores Boost Quase-Ressonantes ZCS Controlado por 
Freqüência, Usando Chave Bidirecional em Corrente. 
 
 Observando a dualidade existente entre os conversores Buck e os 
conversores Boost, pode-se obter os conversores Boost representados na figura 
3.19, os quais são correspondentes aqueles conversores do tipo Buck da figura 
3.1. 
 
Figura 3.19 - Família de conversores Boost quase-ressonantes ZCS e 
modulação em freqüência (Boost-QRC-ZCS-FM), com interruptor 
bidirecional em corrente. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 151 
 
 
 Todos os conversores Boost da figura 3.19 possuem características 
semelhantes. Em vista disto será analisado apenas o conversor (c ). 
 
3.2.4.1. Etapas de Funcionamento 
 
Estes conversores, funcionando em regime permanente, possuem em seu 
ciclo de funcionamento quatro etapas de funcionamento. Estas etapas são 
descritas a seguir. 
 
1a Etapa [to , t1] Dt1 (etapa linear para iLr) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando o transistor T1 é colocado 
em condução e tem fim quando iLr se anula. 
 Durante esta etapa de funcionamento a corrente no indutor de ressonância 
(iLr) decresce linearmente. 
 
Figura 3.20 - Conversor Boost-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional 
em corrente, na primeira etapa de funcionamento. 
 
2a Etapa [t1 , t2] Dt2 (etapa ressonante) 
 
 Esta etapa de funcionamento é iniciada quando iLr se anula e é finalizada 
quando iLr fica igual à Ii pela segunda vez. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 152 
 
 
 Durante esta etapa de funcionamento o circuito ressonante oscila e (iLr) 
decresce, passa por um mínimo, cresce, se anula continua crescendo, passa por 
máximo e decresce, senoidalmente, até atingir o valor Ii. Enquanto isto, a tensão 
no capacitor de ressonância (vcr) cresce, passa por um máximo e decresce 
cossenoidalmente até o final desta etapa de funcionamento. 
 
Figura 3.21 - Conversor Boost-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional 
em corrente, na segunda etapa de funcionamento. 
 
 
3a Etapa [t2 , t3] Dt3 (etapa linear para vcr) 
 
 Esta etapa tem início quando iLr = I e tem fim quando vcr = Vi. 
 Durante esta etapa de funcionamento o capacitor de ressonância (Cr) se 
carrega linearmente. 
 
Figura 3.22 - Conversor Boost-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional 
em corrente, na terceira etapa de funcionamento. 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 153 
 
 
4ª Etapa [t3 , t4] Dt4 (etapa de transferência da energia) 
 
Esta etapa de funcionamento é iniciada quando vcr = Vo e é finalizada 
quando o transistor T1 é colocado em condução, dando início à primeira etapa de 
funcionamento do próximo ciclo. 
 Durante esta etapa de funcionamento a fonte de corrente Ii fornece 
energia para a carga (Vo). 
 
Figura 3.23 - Conversor Boost-QRC-ZCS-FM com interruptor bidirecional 
em corrente, na quarta etapa de funcionamento. 
3.2.4.2. Formas de Onda e Plano de Fase 
 
 As principais formas de onda e o plano de fase do conversor Boost 
em estudo são mostradas respectivamente nas figuras 3.24 e 3.25. 
 
Figura 3.24 - Principais formas de ondas para o conversor Boost-QRC-ZCS-
FM. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 154 
 
 
 
 
Figura 3.25 - Plano de fase do conversor Boost-QRC-ZCS-FM. 
 
 Comparando respectivamente as figuras 3.6 e 3.7 com as figuras 3.24 e 
3.25, nota-se que as formas de onda, assim como os planos fases, dos 
conversores Buck e Boost são semelhantes na forma. Baseados nisto não é 
difícil aceitar que o comportamento dos dois conversores estão relacionados de 
alguma forma. 
 
 Realizando um tratamento matemático similar àquele feito para o 
conversor Buck, pode-se obter o ganho de conversor Boost dado pela equação 
(3.47). 
 
 
( )
V
V f
f
o
i
o
=
- + - æ
èç
ö
ø÷
- + -
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
-
1
1 1
2 2
1 1 1 2
2
1
p
a
a a
p asen
 (3.47) 
 
 Observando esta equação nota-se que o denominador do seu segundo 
membro é igual a 1 (um) menos o ganho do conversor Buck, o que está de 
acordo com a equação (1.46), confirmando o relacionamento dos dois 
conversores referido anteriormente. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 155 
 
 
 A figura 3.26 mostra que o ganho do conversor Boost-QRC-ZVS-FM com 
chave bidirecional também é independente da carga. 
 
Figura 3.26 - Ganho estático do conversor Boost-QRC-ZCS-FM com 
interruptor bidirecional em corrente, para a variando de zero à 1,0. 
 
 As correntes médias e eficazes que circulam pelos semicondutores T1, D1 
e Do, sãoas mesmas obtidas para conversor Buck-QRC-ZCS-FM com 
interruptor bidirecional em corrente (item 3.2.2.3.1). 
 As mesmas relações observadas entre os conversores Buck e Boost com 
chave bidirecional são válidas também para estes dois conversores com chave 
unidirecional. Além disso este relacionamento pode ser estendido para os 
conversores Buck-Boost, Cuk, SEPIC e ZETA. 
 
3.3. Conversores Quase-Ressonantes do Tipo ZVS-FM 
 
3.3.1. Conversores Buck Quase-Ressonantes, com Comutação à 
Tensão Nula e Modulação em Freqüência, com Interruptor 
Bidirecional em Tensão 
 
 Para se obter os conversores Buck quase-ressonantes, com 
comutação à tensão nula e modulação em freqüência (Buck-QRC-ZVS-FM), 
com interruptor bidirecional em tensão, como mostrado na figura 3.27, deve-se 
substituir, no circuito da figura 1.2, a chave S por células quase-ressonantes 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 156 
 
 
ZVS bidirecional em tensão do tipo daquele encontradas na tabela 3.1. 
Considerando que todos conversores da figura 3.27 possuem características 
semelhantes, será analisado apenas o conversor (c). 
 
 
Figura 3.27 - Família de conversores Buck quase-ressonantes, com 
comutação à tensão nula, modulação em freqüência (Buck-QRC-ZVS-FM) e 
interruptor bidirecional em tensão. 
 
 
3.3.1.1. Etapas de Funcionamento 
 
Estes conversores, funcionando em regime permanente, possuem em seu 
ciclo de funcionamento quatro etapas de funcionamento. Estas etapas são 
descritas a seguir. 
 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 157 
 
 
1a Etapa [to , t1] Dt1 (etapa linear para vcr) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando o transistor T1 é desligado 
e tem fim quando vcr se anula. 
 Durante esta etapa de funcionamento o capacitor de ressonância (Cr) se 
descarrega linearmente. 
 
Figura 3.28 - Conversor Buck-QRC-ZVS-FM com chave bidirecional em 
tensão, na primeira etapa de funcionamento. 
 
 Observa-se que a análise deste conversor ZVS está sendo iniciada pela 
abertura da chave e não pelo fechamento como na análise dos conversores ZCS. 
Esta é uma prática comum que é seguinte pela maioria dos estudiosos do 
assunto. 
 
2a Etapa [t1 , t2] Dt2 (etapa ressonante) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando vcr se anula e se finda 
quando atinge o valor Vi pela segunda vez. 
 Durante esta etapa de funcionamento a tensão no capacitor de ressonância 
decresce, passa por um mínimo, cresce, se anula, continua crescendo, passa por 
um máximo e decresce senoidalmente até atingir o valor Vi. Enquanto isto, a 
corrente no indutor de ressonância (iLr) decresce, passa por um mínimo e cresce, 
cossenoidalmente, como mostra a figura 3.32. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 158 
 
 
 
Figura 3.29 - Conversor Buck-QRC-ZVS-FM com chave bidirecional em 
tensão, na segunda etapa de funcionamento. 
 
3a Etapa [t2 , t3] Dt3 (etapa linear para icr) 
 
 Esta etapa de funcionamento inicia-se quando vcr atinge Vi e se finda 
quando iLr atinge o valor Io. 
 Durante esta etapa de funcionamento a corrente no indutor de ressonância 
(iLr) cresce linearmente. 
 
Figura 3.30 - Conversor Buck-QRC-ZVS-FM com chave bidirecional em 
tensão, na terceira etapa de funcionamento. 
 
4a Etapa [t3 , t4] Dt4 (etapa de transferência de energia) 
 
 Esta etapa de funcionamento se inicia quando iLr se torne igual a Io e se 
finda quando o transistor T1 é desligado dando início à primeira etapa de 
funcionamento do próximo ciclo. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 159 
 
 
 Durante esta etapa de funcionamento a fonte de tensão Vi fornece energia 
para a carga (Io). 
 
Figura 3.31 - Conversor Buck-QRC-ZVS-FM com chave bidirecional em 
tensão na quarta etapa de funcionamento. 
 
3.3.1.2. Formas de Ondas e Plano de Fase 
 
 As principais formas de ondas e o plano de fase do conversor Buck-QRC-
ZVS-FM com interruptor bidirecional em tensão, são mostradas respectivamente 
nas figuras 3.32 e 3.33. 
 
 
Figura 3.32 - Principais formas de ondas para o conversor buck_QRC-ZVS-
FM da figura 3.27 (c ). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 160 
 
 
 
Figura 3.33 - Plano de fase do conversor buck-QRC-ZVS-FM da figura 3.27 
(c ). 
 
3.3.1.3. Ganho Estático e Dimensionamento 
 
 De forma semelhante ao que foi feito para os ZCS, através de equações 
escritas para todas as etapas de funcionamento dos conversores ZVS, pode-se 
determinar o ganho estático, como expresso pela equação (3.48) para o 
conversor da figura 3.27 (c ). 
 
 
V
V
f
f
I
v o
= - + - - + - æ
èç
ö
ø÷
ì
í
î
ü
ý
þ
-1
1
2
1
2
1 2
12 1
p a
a a p
a
sen (3.48) 
 
 Esta equação está representada graficamente na figura 3.34. 
 
Figura 3.34 - Ganho estático do conversor Buck-QRC-ZVS-FM com 
interruptor bidirecional em tensão, para a variando de 1.0 à 10,0. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 161 
 
 
 Da mesma forma que foi observado para os conversores ZCS, o ganho dos 
conversores ZVS com chave bidirecional em tensão é independente da carga, se 
tornando dependente para os conversores com chaves unidirecionais. 
 Para dimensionar os componentes dos conversores ZVS, deve-se proceder 
de forma semelhante àquela vista para os conversores ZCS. 
 Os ganhos e as principais características dos outros conversores Boost, 
Buck-Boost, etc. do tipo ZVS podem ser obtidas a partir dos dados encontrados 
para o conversor Buck. 
 
3.4. Conversores Quase-Ressonantes ZCS com Modulação por Largura 
de Pulso 
 
 A interdependência de funcionamento vista para os Conversores Quase-
Ressonantes modulados (controlados) em freqüência, também se aplica para os 
Conversores Quase-Ressonantes modulados por Largura de Pulso (PWM). 
 
Figura 3.35 - Família de conversores Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor 
bidirecional em corrente. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 162 
 
 
 Desta forma, a título de exemplo, será analisado apenas um dos 
conversores da figura 3.35, os quais foram obtidos por intermédio da introdução 
de uma chave em série com o capacitor ressonante dos conversores mostrados 
na figura 3.1. 
 A presença desta chave, torna possível realizar o controle da tensão de 
saída através de variação da largura do pulso da tensão de saída no diodo Do, 
mantendo a freqüência de chaveamento constante. 
 
3.4.1.1.Etapas de Funcionamento 
 
 Considerando o conversor (a) da figura 3.35 como objeto de análise, o seu 
ciclo de funcionamento, em regime permanente pode ser dividido em seis etapas 
distintas que são descritas a seguir. 
 
1a Etapa [to , t1] Dt1 (etapa linear para iLr) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando o transistor T1 é ligadoe 
tem fim quando iLr se torna igual à corrente de carga (Io). 
 Durante esta etapa de funcionamento a corrente no indutor de ressonância 
(iLr) cresce linearmente, enquanto a tensão no capacitor de ressonância (vcr) é 
mantida constante no valor igual a zero. 
 
Figura 3.36 - Conversor Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor bidirecional 
em corrente na configuração da primeira etapa de funcionamento. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 163 
 
 
 
2a Etapa [t1 , t2] Dt2 (1ª etapa ressonante) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando iLr = Io, e tem fim quando 
iLr = Io novamente. 
 Durante esta etapa o circuito ressonante oscila. A corrente no indutor de 
ressonância (iLr) cresce, passa por um máximo e decresce até se tornar igual à 
corrente de carga (Io). Enquanto isto, a tensão no capacitor de ressonância (vcr) 
cresce, cossenoidalmente, até atingir o seu valor máximo, o que acontece no 
final desta etapa. 
 
Figura 3.37 - Conversor Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor bidirecional 
em corrente na configuração da segunda etapa de funcionamento. 
 
3a Etapa [t2 , t3] Dt3 (etapa PWMr) 
 
 Esta etapa de funcionamento é iniciada quando iLr = Io, e é terminada 
quando o transistor T2 é colocado em condução para propiciar o bloqueio de T1 
com corrente nula (ZCS). 
 Durante esta etapa o circuito ressonante fica inativo. A corrente no indutor 
de ressonância (iLr) permanece constante e igual à corrente de carga (Io). 
Enquanto isto, a tensão no capacitor de ressonância (vcr) fica constante e igual ao 
seu valor máximo, que foi atingido no final da etapa anterior. Neste estágio a 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 164 
 
 
fonte de entrada está fornecendo energia para a carga. A duração deste estágio é 
determinada pelo circuito de controle, conforme a necessidade de energia que a 
carga tem. Este estágio é responsável pelas características PWM do 
funcionamento deste conversor. 
 
Figura 3.38 - Conversor Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor bidirecional 
em corrente na configuração da terceira etapa de funcionamento. 
 
4a Etapa [t3 , t4] Dt4 (2ª etapa ressonante) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando o transistor T2 é colocado 
em condução e tem fim quando iLr = 0. 
 Durante esta etapa o circuito ressonante oscila novamente. A 
corrente no indutor de ressonância (iLr) decresce, se anula, passa por um mínimo 
e cresce até se tornar nula. Enquanto isto, a tensão no capacitor de ressonância 
(vcr) decresce, cossenoidalmente, até o final desta etapa. 
 
Figura 3.39 - Conversor Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor bidirecional 
em corrente na configuração da quarta etapa de funcionamento. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 165 
 
 
 
5a Etapa [t4 , t5] Dt5 (etapa linear para vcr) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando iLr = 0 e tem fim quando 
vcr = 0. 
 Durante esta etapa de funcionamento o capacitor de ressonância (Cr) é 
descarregado, linearmente, pela corrente de carga (Io). 
 
 
Figura 3.40 - Conversor Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor bidirecional 
em corrente na configuração da quinta etapa de funcionamento. 
 
6a Etapa [t5 , t6] Dt6 (etapa de roda livre) 
 
 Esta etapa de funcionamento tem início quando vcr = 0 e tem fim quando o 
transistor T1 é colocado em condução, dando início à primeira etapa de 
funcionamento do próximo ciclo de funcionamento do conversor. 
 Durante esta etapa de funcionamento o diodo Do conduz a corrente de 
carga I, colocando-a em roda livre. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 166 
 
 
 
Figura 3.41 - Conversor Buck-QRC-ZCS-PWM com interruptor bidirecional 
em corrente na configuração da sexta etapa de funcionamento. 
 
As principais formas de ondas são mostradas na figura 3.42. 
 
Figura 3.42 - Formas de onda do conversor da figura 3.35(a). 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 167 
 
 
 Comparando as figuras 3.6 e 3.42, nota-se que graças a chave T2, a 
ressonância entre Cr e Lr foi interrompida, possibilitando controlar o tempo de 
condução da chave T1, mantendo o chaveamento suave na abertura da mesma. 
 A figura 3.43 mostra o plano do conversor Buck da figura 3.35 (a). 
Nota-se que se a corrente de carga for maior que a amplitude máxima da 
corrente oscilante, este conversor não poderá trabalhar mais com chaveamento 
suave na abertura da chave. Isto limita a potência da carga da mesma forma que 
acontece nos conversores com controle em freqüência. 
 Felizmente existem outros conversores mais recentes que não 
apresentam este tipo de limitação de carga. Tais conversores não serão tratados 
neste trabalho. 
 
Figura 3.43 - Plano de fase do conversor buck-QRC-ZCS-PWM da figura 
1.66 (a). 
 
 O ganho de tensão do conversor Buck da figura 3.35 (a) pode ser 
determinado pela expressão (3.49), cuja representação gráfica é mostrada na 
figura 3.44. 
 
 ( )V
V
f
f
t
T
I
v o
= + - æ
èç
ö
ø÷
- + -
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
+-
1
2 2
1 1
1 2
2
1 3
p
a
a a
p asen
D
 (3.49) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 3 - Conversores CC/CC - 168 
 
 
 Observa-se que neste conversor a variável de controle é a largura de 
pulso Dt3, o que é vantajoso em relação a variação de freqüência. 
 
 
Figura 3.49 - Ganho estático para o conversor Buck-QRC-ZCS-PWM da 
figura 3.35 (a). 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 169 
 
 
 
4. CONVERSORES CC/CA (INVERSORES) 
 
 
 
4.1. Introdução 
 
 
 Os conversores CC/CA são comumente chamados de inversores, apesar 
disto não ser intuitivamente e gramaticalmente muito adequado. Estes 
conversores podem ser classificados fundamentalmente em inversores 
autônomos e não autônomos. Os inversores autônomos também são chamados 
de inversores de freqüência e, dependendo de suas constituições básicas, são 
capazes de fornecer tensões alternadas de diversas formas com ajuste 
independente de freqüência e amplitude (valor eficaz). Devido a tais 
características estes inversores são adequados para aplicações tais como 
acionamento de motores de indução, filtros ativos e sistemas de alimentação 
ininterrupto de energia elétrica. 
 A tensão de saída dos inversores não autônomos depende da carga, como 
no caso dos inversores destinados a aquecimento de indução, ou segue uma 
tensão alternada já existente no local de implementação do mesmo, como no 
caso de inversores de saída de uma linha de transmissão em corrente contínua. 
 Tendo em vista que este último tipo de inversor não autônomo é 
basicamente um retificador convencional funcionando com ângulo de disparo 
elevado, ele será abordado junto com os retificadores. Em seguida serão tratados 
os inversores autônomos.Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 170 
 
 
4.2. Inversores Monofásicos 
 
4.2.1. Inversores Alimentados em Tensão 
 
 A figura 4.1 mostra as configurações básicas de inversores monofásicos 
alimentados em tensão onde as chaves de S1 a S4 são genéricas. Na figura 4.1(a) 
tem-se uma configuração em ponte completa e na figura 4.1(b) uma 
configuração em meia ponte 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 4.1 - Inversores monofásicos (a) em ponte completa (b) em meia ponte. 
 
4.2.1.1. Formas de Ondas de Tensão para Carga Resistiva 
 
 Considerando inversão a plena tensão tem-se a forma de onda va de saída 
(na carga) mostrada na figura 4.2. Para obtenção desta forma de onda, as chaves 
S1 ou S1,4 são fechadas durante o semiciclo positivo e as chaves S2 ou S2,3 são 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 171 
 
 
fechadas durante o semiciclo negativo. Para evitar componente contínua na 
carga é necessário que as durações dos dois semiciclos sejam iguais. 
 
 
Figura 4.2 - forma de onda de tensão para inversão a plena tensão. 
 
 Usando a definição do valor eficaz para a forma de onda da figura 4.2 
encontra-se: 
 
 v Va ef( ) = (4.1). 
 
Observe-se que a tensão da saída é igual à tensão de entrada independente 
da freqüência, a qual pode ser teoricamente de qualquer valor de acordo com os 
pulsos de disparo (de comando) das chaves. Para se obter uma tensão de saída 
controlada também em amplitude a forma de onda mostrada na figura 4.3 pode 
ser usada. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 172 
 
 
 
Figura 4.3 - forma de onda de tensão com controle de amplitude (valor 
eficaz). 
 
Neste caso o valor eficaz de va é dado pela equação 4.2. 
 
 v Va ef( ) = -1
2d
p
 (4.2) 
 
Observe-se que valor de va, neste caso, depende do ângulo d que é a 
variável de controle. 
 
4.2.1.2. Formas de Onda para Carga R-L 
 
 
Figura 4.4 - Formas de onda para carga R-L. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 173 
 
 
 A figura 4.4 mostra as formas de onda de tensão e a fundamental de 
corrente numa carga R-L para o inversor representado na figura 4.1. 
 Considerando L/R > p/w, a componente de terceira harmônica da corrente 
é da ordem de 10% da fundamental, permitindo a aproximação apresentada na 
equação 4.3. 
 
 i I ta@ -1 sen( )w f (4.3) 
 
Onde: 
 
 f
w
=
æ
è
ç
ö
ø
÷arctg
t
R
 (4.4) 
 
( )
I
V
L R
a
a
1
1
2 2
=
+w
 (4.5) 
 
 Segundo a análise de Fourier Va1 é dado pela expressão 4.6. 
 
 V
V
td t
V
a1
2 4
= =
-ò
p
w w
p
d
d
p d
sen ( ) cos (4.6) 
 
 A potência ativa consumida por R é dada pela equação 4.7. 
 
 P I V
I V
a ef a ef
a a= =1 1
1 1
2( ) ( )
cos cosf f (4.7) 
 
 Substituindo (4.5) e (4.6) em (4.7) encontra-se 
 
 P
V
t R
=
+
8 2
2 2 2
2
p w
d f
( )
cos cos (4.8) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 174 
 
 
 Analisando a equação (4.8) observa se que para uma alimentação 
constante a única variável de controle de potência na carga é o ângulo d, uma 
vez que R, L e f são parâmetros de carga. 
 Observando a figura 4.1 percebe-se que as chaves de S1 a S4 não 
necessitam de ter capacidade de bloqueio reverso, podendo ser unidirecionais 
em tensão tanto para carga resistiva quanto para carga R-L. Em relação à 
corrente não se pode dizer o mesmo quando a carga for R-L. Neste caso, nos 
intervalos em que tensão e corrente têm sinais opostos as chaves devem 
conduzir corrente em sentido contrário, necessitando ser bidirecionais em 
corrente. 
 
4.2.2. Inversores Alimentados em Corrente 
 
 A figura 4.5 mostra um inversor monofásico alimentado em corrente. 
 
Figura 4.5 – Inversor monofásico em ponte alimentado em corrente. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 175 
 
 
 
Figura 4.6 - Formas de onda para um inversor alimentado em corrente. 
 
 Considerando uma carga atrasada e tomando a fundamental de tensão 
como referência pode-se obter as formas de onda indicadas na figura 4.6 quando 
se deseja corrente controlada na carga. 
 De acordo com a série de Fourier a fundamental de corrente é dada por: 
 
 I
I
td t
I
a
cc cc
1
2 4
= =
+ò
p
w w
p
d
d
p d
sen ( ) cos (4.9). 
 
 Desprezando os harmônicas de tensão (va @ va1), tem-se: 
 
 P
V Ia a= 1
2
cosf (4.10) 
Ou: 
 P
V Ia cc=
2
p
d fcos cos (4.11) 
 
 De forma similar ao que foi visto para inversores alimentados em tensão, 
a variável de controle da potência dada pela equação (4.11) é também d para 
uma corrente de alimentação constante. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 176 
 
 
 Ao contrário do inversor alimentado em tensão o inversor alimentado em 
corrente necessita de chaves bidirecionais em tensão para carga R-L. 
 
4.2.3. Redução de Harmônicas 
 
 A redução de harmônicas numa forma de onda alternada não senoidal 
pode ser feita de duas maneiras básicas, por eliminação ou por cancelamento. 
 
4.2.3.1. Eliminação de Harmônicas 
 
 No processo de eliminação de harmônicas, através de técnicas específicas, 
a onda já é gerada sem a presença das harmônicas de baixa ordem determinadas 
por tais técnicas. 
 Para eliminar uma harmônica (3a, 5a, ou .....) da forma de onda mostrada 
na figura 4.7, basta determinar um d específico para cada harmônica a ser 
eliminada. 
 
Figura 4.7 - Onda sem a presença de uma harmônica e seus múltiplos. 
 
Desejando eliminar a 3a (terceira) harmônica por exemplo, escreve-se a 
expressão de Fourier de tal harmônica como indicado na equação (4.12) e 
determina o ângulo d que torna nula esta harmônica específica, que neste 
exemplo é d = 90o / 3 = 30o. 
 V
V
td t
V
a 3
2
3
4
3
3= =
+ò
p
w w
p
d
d
p d
sen ( ) cos (4.12) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 177 
 
 
 É fácil perceber que ao escolher d = 30 o todas as harmônicas múltiplas de 
3 (três), que estariam presentes na forma de onda da figura 4.7, também serão 
eliminadas. 
 
 
Figura 4.8 – Onda sem a presença de mais de uma harmônica. 
 
 Por analogia pode-se extrapolar esta metodologia de eliminação de uma 
harmônica para qualquer harmônica que se deseja eliminar. Por exemplo para 
eliminar a 5a harmônica e seus múltiplos basta fazer d = 90o / 5 = 18o. 
 Desejando eliminar duas ou mais harmônicas de baixa ordem, é 
necessário introduzir patamares nulos em cada semiciclo como indicado na 
figura 4.8. 
 Tendo em vista que a determinação do número de patamares nulos por 
semiciclo e a duração dos mesmos para eliminar n > 1 harmônicos de baixaordem não é uma tarefa muito simples e ainda que o processo PWM, que será 
visto mais tarde elimina automaticamente os harmônicos de baixa ordem, este 
assunto não será tratado com mais profundidade nesta fase. 
 
4.2.3.2. Cancelamento 
 
 O processo de cancelamento de harmônicas de baixa ordem consiste 
basicamente da soma de duas ondas com uma certa harmônica presente para 
obter uma onda resultante sem a presença de tal harmônica. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 178 
 
 
 A figura 4.9 ilustra este processo para o cancelamento da 3a harmônica de 
ondas quadradas. 
 
Figura 4.9 - Ilustração do processo de cancelamento da 3a harmônica. 
 
 Para se efetuar o cancelamento de uma harmônica pode-se usar o circuito 
mostrado na figura 4.10, o qual exige duas fontes independente. 
 
Figura 4.10 - Circuitos inversores com fontes independentes. 
 
Não dispondo de fontes independente ou simplesmente desejando usar a 
mesma fonte o circuito mostrado na figura 4.11 pode ser usado para se cancelar 
uma determinada harmônica. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 179 
 
 
 
 
Figura 4.11-Circuito para cancelamento de uma harmônica com fonte 
comum. 
 
 Quando se deseja o cancelamento de mais de uma harmônica não múltipla 
de uma outra é necessário efetuar operações como aquelas ilustradas na figura 
4.9 tantas vezes quantas forem o número de harmônicas a serem canceladas. 
 Para cancelar por exemplo a 3a e 5a harmônicas, primeiro deve ser 
realizada a operação indicada na figura 4.9 e em seguida realizar a operação 
ilustrada na figura 4.12 usando um dos circuitos das figuras 4.10 ou 4.11. 
 
 
Figura 4.12 - Ilustração do processo de cancelamento da 5a harmônica. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 180 
 
 
 
Foi visto que é também possível cancelar mais de uma harmônica através 
da utilização de patamares nulos em cada semiciclo, como indicado na figura 
4.8, entretanto é fácil perceber que o conteúdo harmônico de uma forma de onda 
deste tipo, sem a presença de algumas harmônicas de baixa ordem, é muito 
maior que aquele de uma onda do tipo daquela va mostrada na figura 4.12 sem a 
presença das mesmas harmônicas de baixa ordem. 
 Baseado no exposto não é difícil concluir que os processos de redução de 
harmônicas apresentados não são muito adequados para aplicações onde se 
deseja a redução de várias harmônicas de baixa ordem. Contudo quando se usa o 
processo PWM com alta freqüência de chaveamento, para obtenção de formas 
de ondas na saída de circuitos inversores, as harmônicas de baixa ordem são 
automaticamente eliminadas. Este tipo de inversão é assunto do próximo item. 
 
4.2.4. Inversores PWM 
 
 Para ilustrar o princípio de funcionamento do processo PWM (Pulse 
Width Modulation), o inversor mostrado na figura 4.13 será usado. Neste 
circuito, os diodos foram ligados em antiparalelo com os transistores para 
satisfazer a necessidade de chaves bidirecionais em corrente neste tipo de 
inversor. 
 
Figura 4.13 - Inversor a transistor alimentado em tensão. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 181 
 
 
 
4.2.4.1.Exemplo de Formas de Ondas para va 
 
 Um exemplo de forma de onda va em dois níveis, na saída deste inversor, 
é ilustrada na figura 4.14. 
 
 
 
Figura 4.14 - exemplo de forma de onda PWM em dois níveis. 
 
 Para se obter a parte positiva desta forma de onda as chaves S1 e S4 (S1,4) 
devem ser fechadas, enquanto a parte negativa é obtida com o fechamento das 
chaves S2 e S3 (S2,3) como indicado na figura 4.14. Durante o semiciclo positivo 
de va as chaves S1 e S4 são fechadas durante intervalos de tempos maiores que 
aqueles das chaves S2 e S3 e durante o semiciclo negativo acontece o contrário. 
 Observe que neste caso de inversão a dois níveis, as quatro chaves 
trabalham em alta freqüência, constituindo uma desvantagem deste tipo de 
inversão. 
 Um outro exemplo de forma de onda de tensão va para o circuito da figura 
4.13 é mostrado na figura 4.15. Diferentemente daquela mostrada na figura 4.14, 
esta forma de onda possui três níveis. Para obtê-la a chave S4 deve conduzir 
durante todo o semiciclo positivo enquanto a chaves S1,2 são moduladas, ou seja, 
S1,4 conduzem fornecendo um nível positivo para va e S2,4 conduzem anulando o 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 182 
 
 
valor de va. Durante o semiciclo negativo a chave S3 deve permanecer fechada 
enquanto as chaves S1,2 são moduladas. Neste semiciclo S2,3 conduzem, fazendo 
va negativo e S1,3 conduzem para anular a tensão na carga. 
 
 
 
Figura 4.15 - Exemplo de forma de onda PWM em três níveis. 
 
 Observe-se que nesta inversão em três níveis apenas as chaves S1 e S2 
trabalham em alta freqüência, o que resulta num maior rendimento para a 
estrutura inversora quando comparado com a inversão em dois níveis. 
 
4.2.4.2. Princípio de Geração de PWM 
 
 Um dos processos PWM mais indicados para os sistemas estáticos de 
conversão de corrente contínua em corrente alternada, é o PWM senoidal. Este 
processo consiste fundamentalmente da comparação de um onda triangular de 
amplitude At e de alta freqüência com uma onda senoidal de amplitude As e de 
baixa freqüência. A onda triangular é chamada de portadora e determina a 
freqüência de chaveamento e a senoidal é chamada de modulante e determina a 
freqüência da tensão na carga. a relação de amplitude das duas ondas, como 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 183 
 
 
indicado na equação (4.13), é chamada de índice de modulação e determina o 
valor eficaz da tenção na carga. 
 
 I
A
AM
s
t
= (4.13) 
 
 O princípio ilustrado na figura 4.16 pode ser usado no processo de 
inversão a dois níveis. 
O sinal Sc, que é o sinal de saída de um comparador tendo a portadora em 
sua entrada inversora e a modulante na entrada não inversora, após a retificação, 
amplificação e isolação, pode ser usado diretamente para comandar as chaves 
S1e S4 do circuito da figura 4.13. De forma análoga, o sinal resultante da 
comparação da portadora com o sinal inverso da moduladora pode ser usado 
como origem do sinal de comando das chaves S2 e S3. 
 
 
Figura 4.16 - Ilustração do processo de geração de PWM para inversão a dois 
níveis. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 184 
 
 
 Para o processo de inversão a três níveis, o princípio de geração de PWM 
ilustrado na figura 4.17 pode ser utilizado. 
 
 
Figura 4.17- Ilustração do princípio de geração PWM para inversão a três 
níveis. 
 
 O sinal Sc é resultante da comparação da portadora com a modulante 
retificada e o sinal Sq é o resultado da comparação da modulante com o nível 
zero. Estes dois sinais, processados adequadamente, podemdar origem aos 
pulsos de disparo das chaves de S1 a S4 do circuito mostrado na figura 4.13. 
 
 
4.3. Inversores Trifásicos 
 
 A figura 4.18 mostra um circuito inversor trifásico em ponte completa 
com chaves e carga genéricas. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 185 
 
 
 
Figura 4.18 - Inversor trifásico genérico. 
 
 O processo de obtenção das formas de onda na carga de um inversor 
trifásico consiste basicamente na composição de ondas para inversores 
monofásicos. Para ilustrar este processo de composição de ondas monofásicas 
para obtenção de ondas trifásicas, será considerado inversão a plena tensão 
independente para cada uma das três fases A, B e C. O terminal negativo da 
fonte de alimentação será adotado como referência para as tensão nos pontos A, 
B e C. 
 Considerando que cada chave do inversor da figura 4.18 conduz por um 
tempo correspondente a um ângulo de 180o, como indicado na figura 4.19 para 
uma carga resistiva em estrela, o processo de inversão a plena tensão é chamado 
de inversão com modulação do tipo 180o. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 186 
 
 
 
Figura 4.19 - Inversão a plena tensão do tipo 180o. 
 
 Fechando a chave S1 o ponto A adquire um potencial V e fechando a 
chave S4, o potencial do ponto A passa a ser zero. 
 Considerando sistema trifásico equilibrado, a tensão vbo está atrasada de 
120o de vao e adiantada de 120
o de vco. As tensões fase-fase (de linha) são obtidas 
através de somas das tensões de fase em relação ao ponto “O”. 
 Observe-se que neste tipo de inversão três chaves sempre conduzem aos 
mesmo tempo durante um intervalo correspondente a 60o. Nos primeiros 60o, 
por exemplo, estão conduzindo as chaves S1, S3 e S5, fazendo com que as 
correntes que entram pelas fases A e C retornem, pela fase B. Neste caso, 
considerando carga equilibrada, é fácil perceber que a queda de tensão da fase A 
(tensão van) é um terço da tensão de alimentação (V/3). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 187 
 
 
 Nos próximos 60o a tensão van é 2V/3 e assim por diante, como pode ser 
visto na figura 4.19. 
 As tensões vbn e vcn têm a mesma forma de van e estão atrasadas desta de 
120o e 240o, respectivamente. 
 Devido ao fato das ondas de tensão fase-neutro serem formadas de seis 
patamares diferentes, este tipo de inversor é chamado de inversor de seis pulsos. 
 Formas de onda próximas àquelas mostradas na figura 4.19 são obtidas 
também quando as chaves conduzem por intervalos correspondentes a um 
ângulo de 120o em cada ciclo de funcionamento. Nesta situação tem-se o 
inversor funcionando com modulação em 120o e as tensões fase-fase têm a 
mesma forma daquelas fase-neutro do tipo 180o, mas com patamares de V/2 e V 
ao invés de V/3 e 2V/3, respectivamente. 
 O processo de obtenção de formas de onda num inversor trifásico, como 
mostrado na figura 4.19 para inversão a plena tensão, pode ser usado também 
quando se trabalha com inversão PWM. 
 
4.4. Inversores a SCR 
 
 Quando as chaves num circuito inversor são totalmente controladas como 
no caso de transistor bipolar, MOSFET, IGBT, etc. o circuito de potência é 
simples como aquele mostrado na figura 4.13 e os pulsos de disparo são 
próximos das formas de onda de saída. Entretanto quando se usa SCRs são 
observadas situações bem mais complexas como será visto nas próximas seções 
 Em instalações de alta potência, principalmente as mais antigas, ainda se 
usa SCRs como dispositivos de chaveamento em circuitos inversores. Como tais 
dispositivos não são controlados na abertura, surge a necessidade de circuitos 
adicionais para providenciar o apagamento dos mesmos de forma semelhante 
àquela usada para os circuitos “choppers”. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 188 
 
 
 Os circuitos de comutação mais comuns para as configurações inversoras 
são o do tipo Mc Murray e o do tipo Mc Murray-Bedford. Estes circuitos serão 
analisados nos próximos itens. 
 
4.4.1. Inversor tipo Mc Murray 
 
 A figura 4.20 mostra uma configuração trifásica de um inversor do tipo 
Mc Murray, onde os semicondutores numerados de 1 a 6 formam as chaves 
principais que são bidirecionais em corrente e responsáveis, fundamentalmente, 
pela condução da corrente de carga e as numeradas de A1 a A6 são chaves 
auxiliares que conduzem basicamente a corrente de comutação. Observe-se que 
os elementos ressonantes LR e CR, por exemplo são comuns para as duas chaves 
do mesmo braço inversor. 
 
 
Figura 4.20 - configuração trifásica do inversor Mc Murray. 
 
 
 A figura 4.21 mostra uma configuração monofásica, em meia ponte, de 
um inversor tipo Mc Murray. Esta configuração será usada para ilustrar o 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 189 
 
 
princípio de funcionamento do inversor tipo Mc Murray a plena tensão com 
carga solicitando corrente atrasada. 
 
 
 
Figura 4.21 – Inversor tipo Mc Murray monofásico em meia ponte. 
 
 Nesta análise será considerado que a corrente ic varia muito mais 
rapidamente que a corrente i, de tal forma que a variação de i seja desprezível 
durante um semiciclo de ic. 
 Inicialmente, considera-se T1 conduzindo e o capacitor C carregado com a 
polaridade indicada. 
 Um ciclo de funcionamento deste conversor pode ser dividido em 10 (dez) 
estágios. Estes estágios serão analisados a seguir e os seus circuitos 
equivalentes estão representados nas figuras de 4.22 a 4.31. 
 
1o Estágio [t0,t1] 
 
 Este estágio começa quando o tiristor TA1 é disparado com o objetivo de 
apagar o tiristor T1. A corrente ic cresce senoidalmente até atingir a corrente de 
carga i enquanto a tensão vc cresce de -V0 para um valor negativo tal que -V0 < 
vc < 0 (veja figura 4.32). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 190 
 
 
 
Figura 4.22 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da primeira etapa de funcionamento. 
 
2o Estágio [t1, t2] 
 
 Após ic atingir i, T1 para de conduzir, D1 entra em condução e sua corrente 
passa a ser (ic - i) até que esta diferença se anule em t2. 
 
Figura 4.23 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da segunda etapa de funcionamento. 
 
3o Estágio [t2, t3] 
 
 Quando ic fica menor que i, o diodo D2 entra em condução e sua corrente 
passa a ser (i-ic) até ic se anular no instante t3. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 191 
 
 
 
Figura 4.24 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da terceira etapa de funcionamento. 
 
4o Estágio [t3, t4] 
 
Após a corrente ic se anular, TA1 para de conduzir e apenas o diodo D2 
conduz a corrente de carga até que a mesma se anule no instante t4. 
 
Figura 4.25 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray naconfiguração da quarta etapa de funcionamento. 
 
5o Estágio [t4, t5] 
 
 Após a corrente de carga atingir zero, termina a condução de D2 e o 
tiristor T2 deve ser disparado para conduzir a corrente de carga no sentido 
negativo. No instante t5 TA2 é disparado para dar início ao processo de 
apagamento do tiristor T2. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 192 
 
 
 
Figura 4.26 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da quinta etapa de funcionamento. 
 
6o Estágio [t5, t6] 
 
 Após o tiristor TA2 ser disparado no instante t5, a corrente ic começa a 
crescer senoidalmente no sentido negativo até atingir o valor da corrente de 
carga. 
 
Figura 4.27 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da sexta etapa de funcionamento. 
 
7o Estágio [t6, t7] 
 
 Quando a corrente ic atinge o valor da corrente de carga, o tiristor T2 para 
de conduzir, o diodo D2 entra em condução e sua corrente é a diferença (i - ic). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 193 
 
 
 
Figura 4.28 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da sétima etapa de funcionamento. 
 
8o Estágio [t7, t8] 
 
 No instante em que a diferença (i - ic) se anula o diodo D2 para de 
conduzir e o diodo D1 entra em condução e sua corrente é (ic - i). 
 
Figura 4.29 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da oitava etapa de funcionamento. 
 
9o Estágio [t8, t9] 
 
 Após a corrente ic ter ser valor anulado, apenas o diodo D1 conduz a 
corrente de carga até que a mesma se anule no instante t9. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 194 
 
 
 
Figura 4.30 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da nona etapa de funcionamento. 
 
10o Estágio [t9, t10] 
 
 O tiristor T1 entra em condução e inicia-se o último estágio que termina 
com um novo disparo de tA1. Então tudo se repete. 
 
Figura 4.31 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray na 
configuração da décima etapa de funcionamento. 
 
 As formas de onda mostradas na figura 4.32 fornecem uma ilustração 
adicional do princípio de funcionamento do inversor tipo Mc Murray a plena 
tensão. 
 Observe-se que para esta situação de carga atrasada é necessário que os 
pulsos de disparo dos tiristores principais sejam aplicados logo após a inversão 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 195 
 
 
de tensão e sejam mantidos até a corrente começar inverter. Esta manutenção 
dos pulsos é obrigatória para que o inversor funcione adequadamente. 
 
 
Figura 4.32 - Formas de onda do inversor tipo Mc Murray funcionando a 
plena tensão. 
 
 Embora o funcionamento varie com o tipo de carga e com o tipo de 
modulação, o que foi descrito para carga atrasada e inversão a plena tensão dá 
uma boa indicação dos princípios de funcionamento do inversor tipo Mc 
Murray. 
 
4.4.2. Inversor tipo Mc Murray-Bedford 
 
 A figura 4.33 mostra uma configuração trifásica de um inversor do tipo 
Mc Murray - Bedford. Neste inversor cada um dos tiristores ora trabalha como 
chave principal ora como chave auxiliar. Os indutores de comutação de um 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 196 
 
 
mesmo braço inversor estão acoplados magneticamente, funcionando com uma 
razão de transformação de 1:1, ou seja, a tensão que aparece em um indutor 
também aparece no outro do mesmo braço. 
 
 
Figura 4.33 - Inversor tipo Mc Murray - Bedford trifásico. 
 
 O princípio de funcionamento deste inversor será analisado considerando 
o circuito monofásico em meia ponte mostrado na figura 4.34, funcionando a 
plena tensão e com corrente atrasada. 
 
Figura 4.34 – Inversor tipo Mc Murray - Bedford monofásico em meia ponte. 
 
 Um ciclo de funcionamento deste inversor pode ser dividido em 8 (oito) 
estágios cujos circuitos equivalentes estão indicados nas figuras de 4.35 a 4.42. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 197 
 
 
As formas de onda mostrando cada um destes estágio de funcionamento são 
mostradas na figura 4.43. 
 
1o Estágio [t0, t1] 
 
 Pode-se considerar como início de um ciclo de funcionamento em regime 
permanente, o disparo do tiristor T2 que dá início ao processo de apagamento do 
tiristor T1. Após este disparo a tensão do capacitor C2 é aplicada ao indutor L2 
diretamente e ao indutor L1 por ação do acoplamento magnético entre L1 e L2. 
Com isto o potencial do ponto X (cátodo de T1) em relação à referência da 
alimentação, passa a ser 2V, polarizando T1 reversamente. A corrente de T1 é 
anulada instantaneamente e, para manter o fluxo em L1 e L2, o ramo L2 e T2 
assume a corrente da carga que circulava por L1 e T1. Durante este estágio a 
corrente iT2 cresce senoidalmente enquanto o potencial vx decresce até atingir o 
valor zero. 
 
Figura 4.35 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da primeira etapa de funcionamento. 
 
 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 198 
 
 
2o Estágio [t1, t2] 
 
 No instante em que a tensão vc2 começa a se inverter, o diodo D2 entra em 
condução e a energia armazenada em L2 é dissipada na malha L2, T2, e D2. 
Como a resistência total desta malha é baixa o tempo de descarga de L2 é 
relativamente grande o que constitui um fator limitante da máxima freqüência de 
funcionamento deste inversor. 
 
Figura 4.36 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da segunda etapa de funcionamento. 
 
3o Estágio [t2, t3] 
 
 Após o término da descarga de L2, apenas o diodo D2 conduz a corrente 
de carga até que esta se anule. 
 
Figura 4.37 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da terceira etapa de funcionamento. 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 199 
 
 
4o Estágio [t3, t4] 
 
 O tiristor T2 entra em condução novamente no instante t3, como tiristor 
principal, para conduzir a corrente de carga no sentido negativo. Considerando 
que a derivada da corrente de carga é baixa e que o valor da indutância L2 é 
pequeno, a queda de tensão em L2 e T2 é desprezível e a tensão na carga se 
aproxima de V/2. 
 
Figura 4.38 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da quarta etapa de funcionamento. 
 
5o Estágio [t4, t5] 
 
 No instante t4 o tiristor T1 é disparado como tiristor auxiliar, dando início 
ao processo de apagamento do tiristor T2. Após este disparo a tensão do 
capacitor C1 é aplicada ao indutor L1 diretamente e ao indutor L2 por ação de 
acoplamento magnético entre L1 e L2. Isto leva o potencialdo ponto Z para (-V) 
em relação a referência da alimentação, polarizando T2 reversamente. Assim, 
ressonância entre C1, C2 e L1 ocorre até o capacitor C1 se descarregar. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 200 
 
 
 
Figura 4.39 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da quinta etapa de funcionamento. 
 
6o Estágio [t5, t6] 
 
 Quando a tensão do capacitor começa a se inverter o diodo D1 entra em 
condução e o indutor L1 se descarrega na malha L1, D1 e T1. De forma 
semelhante ao que acontece no segundo estágio, o tempo de descarga do indutor 
L1 é relativamente grande e também limita a máxima freqüência de operação do 
inversor. 
 
Figura 4.40 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da sexta etapa de funcionamento. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 201 
 
 
7o Estágio [t6, t7] 
 
 Durante este estágio apenas o diodo D1 conduz a corrente de carga até que 
mesma se anule. 
 
Figura 4.41 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da sétima etapa de funcionamento. 
 
8o Estágio [t7, t8] 
 
 Após o anulamento da corrente de carga o tiristor T1 entra em condução 
como tiristor principal para conduzir a corrente de carga no sentido positivo até 
que o tiristor T2 seja disparado, iniciando um novo ciclo de funcionamento. 
 
Figura 4.42 - Circuito equivalente do inversor tipo Mc Murray – Bedford na 
configuração da oitava etapa de funcionamento. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 202 
 
 
 
 
Figura 4.43 - Formas de ondas para o inversor tipo Mc Murray - Bedford com 
inversão a plena tensão e carga com corrente atrasada. 
 
4.4.3. Inversor Comutado a Capacitor Ligado à Carga 
 
 Diferentemente dos inversores vistos até agora os quais possuem um 
amplo espectro de aplicações, inversores comutados a capacitor ligados à carga 
tem como uma de suas aplicações básicas o aquecimento por indução onde a 
carga é fundamentalmente um indutor cujo núcleo é o material a ser aquecido, 
são aplicados também no acionamento de motores de indução assim como para 
outros tipos de carga onde a alimentação em corrente alternada, com freqüência 
controlada, melhora as características de funcionamento. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 203 
 
 
 
4.4.3.1. Inversor a Capacitor Paralelo 
 
 Como mostrado na figura 4.44, os inversores a SCR comutados a 
capacitor paralelo, necessitam ser alimentados em corrente. Para tanto é 
necessário que Ls seja grande o suficiente para fazer a corrente is ser 
aproximadamente constante. 
 
 
Figura 4.44 - Inversor a capacitor paralelo. 
 
 Tendo em vista que a diferença entre os valores de uma mesma resistência 
em corrente contínua ou em corrente alternada de baixa freqüência é 
desprezível, não faz muito sentido utilizar um circuito inversor para alimentar 
carga resistiva. Apesar disto será considerado, inicialmente, carga resistiva para 
o circuito mostrado na figura 4.44. 
 Neste caso, considerando que a corrente i tem uma forma quadrada, como 
mostrada na figura 4.45, a tensão v na carga para o semiciclo positivo de i pode 
ser expressa pela equação (4.14). 
 
 ( )v R i R i V e
t
RC= - +
-
0 (4.14) 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 204 
 
 
 
Figura 4.45 - Formas de ondas de um inversor a capacitor paralelo com carga 
resistiva. 
 
Esta tensão v (equação 4.14) está representada graficamente na figura 
4.45. Observe que o par de tiristores T1,4 conduz durante o semiciclo positivo de 
i e o par T2,3 conduz durante o semiciclo negativo da mesma corrente. A tensão 
V0 indicada é a tensão inicial do capacitor quando o par de tiristores T2,3 está 
conduzindo. Nesta situação o simples fato de disparar os tiristores T1 e T4 
produz uma polarização reversa dos tiristores T2 e T3, durante o tempo tq 
indicado na figura 4.45. Este tempo deve ser maior que o tempo de recuperação 
da capacidade de bloqueio direto dos tiristores. Isto pode ser garantido por um 
dimensionamento adequado da capacitância C através da equação (4.14), usando 
a condição (v = 0 para t = tq). 
 Dependendo da carga e da freqüência de chaveamento a forma de onda da 
tensão v pode ser bem diferente daquela mostrada na figura 4.45 inclusive muito 
próxima de uma senóide. 
 Considerando um forno (aquecedor) de indução que é, fundamentalmente, 
um indutor contendo inerentemente uma baixa resistência, constituindo uma 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 205 
 
 
carga R-L, a forma de onda da tensão v, dependendo da freqüência de 
chaveamento e dos parâmetros R e L, pode ser aquela mostrada na figura 4.46. 
 
Figura 4.46 - Ondas para um inversor a capacitor paralelo com carga R-L. 
 
 A tensão v na carga, tanto para carga resistiva quanto para carga R-L, é 
muito dependente da carga. Isto significa que este tipo de inversor não é 
indicado para alimentar cargas variáveis, uma vez que o mesmo possui uma 
regulação de tensão muito pobre. 
 
4.4.3.2. Inversor a Capacitor Série 
 
Os inversores a capacitor série, de acordo com seu próprio nome, possuem 
um capacitor em série com a carga como mostrado na figura 4.47. Observa-se 
que este inversor é alimentado em tensão, necessitando de chaves bidirecionais 
em corrente. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 206 
 
 
 
Figura 4.47 - Inversor a capacitor série. 
 
 Diferentemente do inversor a capacitor paralelo, o inversor a capacitor 
série só pode funcionar se a carga for indutiva e ainda se a corrente estiver 
adiantada de v, ou seja se a reatância XC for maior que a reatância indutiva XL, 
isto acontece, normalmente, quando este inversor funciona com uma freqüência 
de funcionamento menor que a freqüência de ressonância. Atualmente uma 
grande aplicação deste tipo de inversor é em reatores eletrônicos para 
acionamento de lâmpadas fluorescente e lâmpadas compactas (nestes casos 
utilizando transistores como chaves). 
 A tensão v no conjunto carga mais capacitor é uma onda 
aproximadamente quadrada como mostra a figura 4.48. Como em cada 
semiciclo tem-se uma tensão constante alimentando uma carga R-L, a forma de 
onda de corrente i é um arco de senóide amortecida para cada semiciclo. A 
menos que o valor de R seja muito grande este amortecimento pode ser 
desprezado tendo em vista que a cada semiciclo tem-se uma nova senóide. 
Assim a onda resultante para a corrente i se aproxima de uma senóide como 
mostra a figura 4.48. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 4 - Conversores CC/CA - 207 
 
 
 
Figura 4.48 - Formas de onda paraum inversor a capacitor série. 
 
 O funcionamento deste inversor, como mostrado na figura 4.48, só é 
possível se a corrente de alimentação puder ser invertida e se tq for maior que o 
tempo de recuperação de bloqueio direto dos tiristores. Quando esta corrente de 
alimentação não puder ser invertida, os diodos não conduzirão e a corrente de 
carga permanecerá nula durante o intervalo de tempo entre o instante em que a 
corrente é anulada e o instante em que o mesmo acontece com a tensão. 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 208 
 
 
 
5. CONVERSORES CA/CC PWM 
 
5.1. Introdução 
 
 Sabe-se que os conversores CA/CC, convencionais, controlados ou não, 
independentemente da carga no lado CC, poluem o sistema de alimentação em 
termos de reativos, os quais são causados por deslocamento da corrente e pela 
injeção de harmônicas de corrente. 
 Na tentativa de amenizar este desconforto causados pelos retificadores 
convencionais, os estudiosos do assunto desenvolveram várias técnicas de 
correção entre elas estão os retificadores PWM, os quais constituirão 
basicamente o conteúdo desta parte do trabalho. 
 Tendo em vista que a matéria que trata dos conversores CA/CC 
convencionais já foi bem explorada na literatura especializada, a mesma não 
será efetivamente objeto de estudo deste trabalho. Entretanto, a título de 
ilustração dos principais problemas causados pelos retificadores convencionais, 
será feita uma revisão simplificada de alguns destes conversores. 
 
5.2. Revisão Simplificada de Retificadores Convencionais 
 
5.2.1. Retificador Monofásico Controlado de Meia Onda 
 
 A figura 5.1 mostra o circuito e as principais forma de ondas de um 
retificador controlado monofásico de meia onda alimentado uma carga resistiva. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 209 
 
 
 
Figura 5.1 - Circuito e formas de onda para um retificador controlado 
monofásico de meia onda. 
 
 Observa-se que a ondulação (ripple) de tensão é muito grande e a corrente 
de entrada além de possuir um conteúdo harmônico muito grande possui uma 
componente CC. Isto limita o uso deste tipo de retificador que fica restrito à 
algumas aplicações de baixíssima potência. 
 A tensão média na carga (Vo), normalizada em relação ao seu máximo 
valor possível, é dada pela equação (5.1). 
 
 
p a V
V
o
s
= +1
2
cos (5.1) 
 
 A representação gráfica desta equação é mostrada na figura 5.2. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 210 
 
 
 
Figura 5.2 - Tensão média em função do ângulo de disparo para retificador 
da figura 5.1. 
 
5.2.2. Retificador Controlado Monofásico de Onda Completa em Ponte 
 
 A figura 5.3 mostra o circuito e as formas de onda de um retificador 
controlado monofásico de onda completa. 
 
Figura 5.3 - Circuito e formas de onda de um retificador controlado 
monofásico de onda completa. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 211 
 
 
 
 Considerando uma carga muito indutiva de tal forma que a variação 
da corrente io possa ser desprezível, a corrente na alimentação é 
aproximadamente quadrada e a tensão na carga pode ser expressa pela equação 
(5.2). 
 
 ( )V Vo s= =
+
ò1 2p w w p aa
p a
 sen t d t
 Vs cos (5.2) 
 A representação gráfica de Vo normalizado é mostrada na figura 
5.4. 
 
Figura 5.4 - Tensão média em função do ângulo de disparo para o conversor 
da figura 5.3. 
 
 Observa-se que para a variando de 0 a p/2 a tensão média é positiva e o 
conversor trabalha como retificador. Entretanto para a variando de p/2 a p a 
tensão média é negativa e conversor funciona como inversor. 
 Observando a figura 5.3 nota-se que a corrente de alimentação 
aproximadamente quadrada está atrasado de um ângulo q igual ao ângulo de 
disparo a, assim o fator de potência Kp pode ser escrito como. 
 K K K
I
Ip d
ef
s ef
= = = =q q
p
a a1
4 2
0 9( )
( )
cos
/
cos ,
 I 
I
 coso
o
 (5.3) 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 212 
 
 
 Através desta equação vê-se que o fator de potência é variável com o 
ângulo de disparo, podendo assumir valores de (+0,9) a (0,9) quando a varia de 
0 a 180o. 
 
5.2.3. Retificador Trifásico Controlado 
 
 O circuito e as formas de onda de um retificador trifásico controlado são 
mostrados na figura 3.5. 
 
Figura 5.5 - Formas de ondas e circuito de um retificador trifásico controlado. 
 
 Para se obter a forma de onda da corrente de alimentação da fase “a” 
mostrada na figura 5.5, considera-se que a corrente de carga é constante. Nesta 
situação e em regime permanente não haveria necessidade de se manter as 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 213 
 
 
correntes de gatilho como mostradas na figura 5.5. Entretanto no início do 
funcionamento e em condução contínua é necessário manter a corrente de 
gatilho para cada tiristor, como indicado ou repetir o pulso após 60o do ângulo 
de disparo. 
 Da mesma forma que foi observado no retificador monofásico, a 
fundamental da corrente de alimentação está deslocada (atrasada) de um ângulo 
q igual ao ângulo de disparo a. Como a onda real de corrente da alimentação 
não é senoidal o fator de potência, além deste ângulo de deslocamento, depende 
também da distorção harmônica. 
 A tensão média na carga pode ser determinada pela equação (5.4). 
 Vo =
3 Vs
p
acos (5.4) 
 Nota-se que a tensão média depende do ângulo de disparo a, sendo 
negativa para a maior que 90o, onde o conversor trabalha como inversor como 
no caso do retificador monofásico. 
 
5.2.4. Retificador Monofásico não Controlado com Filtro Capacitivo. 
 
 Em algumas aplicações, onde o controle da tensão de saída não é 
necessário ou é feito após o estágio de retificação, o retificador monofásico de 
onda completa a diodo com filtro capacitivo é bastante utilizado. 
 Como mostrado na figura 5.6, a corrente de alimentação é composta de 
pulsos que aparecem nos instantes próximos àqueles dos valores de picos da 
tensão de alimentação, criando problemas de reativos e de harmônicos ao 
sistema de alimentação semelhantes àqueles observados nos retificadores 
controlados. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 214 
 
 
 
 
Figura 5.6 - Circuito e formas de onda de um retificador monofásico com 
filtro capacitivo. 
 
 Visando amenizar estes problemas de distorção harmônica e consumo de 
reativos dos retificadores convencionais surgiram várias propostas de correção 
utilizando técnicas passivas e ativas, entre elas os retificadores PWM como pode 
ser visto a seguir. Antes de abordar diretamente os retificadores PWM é 
importante fazer um estudo rápido sobre algumas possibilidades para atenuar 
estes problemas. 
 
5.3. Correção de fator de potênciaA correção do fator de potência se torna a cada dia mais necessário devido 
o aumento incessante de utilização de cargas não lineares. Isto se deve à 
substituição, cada vez maior, das cargas convencionais (iluminação 
incandescente, aquecimento, motores, iluminação fluorescente com reatores 
convencionais, etc.) por cargas ditas econômicas (lâmpadas econômicas (PL), 
iluminação fluorescente com reatores eletrônicos, etc.) e também com o 
crescimento de utilização das cargas eletrônicas (televisores, vídeos, fornos de 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 215 
 
 
microondas, fotocopiadoras, aparelhos de fax, microcomputadores, impressoras, 
videogames, etc.). 
Todas estas cargas possuem em comum o fato de possuírem circuitos 
eletrônicos que necessitam ser alimentados em corrente contínua. Como a 
geração e a distribuição de energia elétrica é feita em corrente alternada em 
todas estas cargas existe um estágio de conversão CA/CC (retificador). 
Tradicionalmente esta conversão é realizada por um retificador não controlado 
com um capacitor colocado em sua saída (figura 5.6). Como pode ser visto nesta 
mesma figura a corrente gerada é extremamente distante de uma senóide, com 
forte presença dos harmônicos de ordem 3, 9 e 15. Isto pode causar 
sobreaquecimento nos transformadores, geradores e aumento de ruído na faixa 
audível da freqüência. 
Devido a estes motivos várias normas foram desenvolvidas ao longo dos 
últimos anos principalmente pelo CISPR (Comitê Internacional Especial das 
Perturbações Radioelétricas) e pela IEC (Comissão Eletrotécnica Internacional) 
que fez as normas IEC555 (atualmente IEC 61000) e do IEEE (Instituto dos 
Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos) que fez as normas IEEE 519 – 1981. 
Existem normas para baixa freqüência que dizem respeito a harmônicos 
com freqüência de até 40 vezes a freqüência industrial (2.400 Hz no Brasil) e 
aquelas para alta freqüência (acima de 10 kHz). Os de alta freqüência estão no 
âmbito da compatibilidade eletromagnética (EMC). 
A norma IEC 61000 é, atualmente, tida como referência. Ela se refere a 
equipamentos com absorção de corrente de até 16 A por fase. 
Nesta norma os equipamentos são divididos em quatro classes (de A à D), 
conforme fluxograma abaixo. 
 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 216 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7 – Fluxograma de classificação dos equipamentos segundo a sua 
classe. 
 
 
 
 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 217 
 
 
Classe A B C D 
Ordem do 
Harmônico 
(Ampères) (Ampères) % da 
fundamental 
da cor. de ent. 
mA / W 
Ímpares 
3 2,30 3,45 30 x F. de Pot. 3,4 
5 1,14 1,71 10 1,9 
7 0,77 1,155 7 1,0 
9 0,40 0,60 5 0,5 
11 0,33 0,495 3 0,35 
13 0,21 0,315 3 0,296 
15 < n < 39 2,25/n 3,375/n 3 3,85/n 
Pares 
2 1,08 1,62 2 - 
4 0,43 0,645 - - 
6 0,30 0,45 - - 
8 < n < 40 1,84/n 2,76/n - - 
 
Tabela 5.1 – Limites para Harmônicas de Corrente 
 
Para tensões menores é recomendável usar a expressão abaixo, a qual 
permite encontrar o novo valor dos limites de harmônicas [24]: 
Vx
230
In)x(In = (5.5) 
Onde: 
In = Harmônica de ordem n definida na norma; 
In(x) = Harmônica calculada para a nova tensão Vx; 
Vx = Valor da tensão para a qual a harmônica está sendo calculada. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 218 
 
 
Neste trabalho a fonte de tensão estudada se enquadra dentro da classe A. A 
Tabela 5.1 fornece os valores de correntes admissíveis para equipamento da 
classe A na Europa que se situa entre os limites de 220 V e 240 V. Na terceira 
coluna tem-se os limites percentuais dos harmônicos relativos à corrente 
máxima, 16 ampères. 
 
5.3.1. Circuitos para reduzir as harmônicas de corrente de baixa 
freqüência 
 
As normas referem ao conteúdo harmônico e não ao fator de potência. 
Para melhor entendimento os circuitos devem atender aos 2 critérios 
seguintes: 
1. Utilização ou não de dispositivos eletrônicos para obtenção de um conteúdo 
harmônico que se enquadre nas normas. Assim denomina-se “soluções 
passivas” quando somente elementos reativos/passivos, são utilizados para 
este fim, e denomina-se “soluções ativas” quando além de elementos 
passivos são utilizados circuitos ou parte de circuitos em que existam 
elementos ativos (chaves); 
2. Qual a finalidade do circuito utilizado. Desta forma tem-se circuitos com os 
quais se altera a “corrente de entrada senoidal” (ou quase senoidal) e outros 
em que ter-se-á um conteúdo harmônico limitado, com o único objetivo de 
atender as normas. Combinando estes dois critérios obtém-se a tabela 5.2. 
 
Soluções passivas de corrente senoidal Soluções ativas de corrente senoidal 
Soluções passivas de conteúdo 
harmônico limitado 
Soluções ativas de conteúdo 
harmônico limitado 
Tabela 5.2 – Possibilidades de correção da corrente de entrada em 
retificadores não controlados com filtro capacitivo. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 219 
 
 
Fazendo-se uma comparação entre soluções passivas e soluções ativas 
observa-se que as primeiras possuem como vantagens o custo, a robustez e a 
ausência de geração de harmônicos de alta freqüência. As segundas são 
vantajosas em tamanho, peso e saída regulada frente à variações de tensão de 
entrada e de carga. Em geral as soluções ativas são melhores para obtenção de 
correntes senoidais ou quase senoidais enquanto que as passivas são melhores na 
limitação do conteúdo harmônicos. 
 
5.3.1.1. Soluções passivas para obtenção de corrente senoidal 
 
Uma proposta interessante para a solução passiva que fornece corrente de 
entrada aproximadamente senoidal, é apresentada na figura 5.8. 
 
Figura 5.8 – Solução passiva utilizando filtro passivo série de entrada. 
 
Utilizando-se circuitos ressonantes com sua freqüência natural igual à de 
rede consegue-se retificadores monofásicos com corrente de entrada senoidal ou 
quase senoidal. 
O problema desta solução não é a ressonância entre Lr e Cr, que deve 
ocorrer, mas o valor de Lr que deve ser suficientemente alto para que os diodos, 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 220 
 
 
de ponte retificadora, fiquem em condução pelo maior espaço de tempo 
possível. Na prática isto torne inviável sua aplicação em circuitos trabalhando na 
freqüência industrial (50 – 60 Hz). Porém é uma solução interessante em 
freqüências mais elevadas (20 kHz – aplicações industriais). 
 
5.3.1.2. Soluções passivas para conteúdo harmônico limitado 
 
Um circuito capaz de realizar esta tarefa é o apresentado na figura 5.9. 
 
 
Figura 5.9 – Solução passiva utilizando filtro passivo série-paralelo de 
entrada. 
 
Este tipo de circuito se torna prático para aplicações na freqüência 
industrial (50–60 Hz) se tivermos o objetivo apenas de limitar o conteúdo 
harmônico fazendo com que o conversor fique dentro das limitaçõesimpostas 
pelas normas. 
Estudos encontrados na literatura demonstram que o valor de LF é menor 
se o conversor for projetado para se enquadrar na classe D. É possível projetá-lo 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 221 
 
 
de modo a se enquadrar na classe A porém isto aumenta o valor de LF. Quando 
ele se enquadra na classe D o fator de potência é ligeiramente maior que 0,7 e a 
distorção harmônica total (THD) é de ordem de 60%. Por razões de tamanho e 
peso esta solução se aplica, normalmente, para conversores de até 300 W. 
Por outro lado, em determinados circuitos é mais interessante forçar que 
eles sempre se enquadrem na classe A, em qualquer regime de funcionamento. 
Os limites da classe A são mais fáceis de serem obedecidos se as potências 
envolvidas forem pequenas. Um circuito que faz esta função é apresentado na 
figura 5.10. 
 
Figura 5.10 – Solução passiva utilizando filtro passivo série-paralelo, em 
formato pi, de entrada. 
 
Este circuito se aplica bem para potências de até 200 W. O fator de 
potência fica na ordem de 0,85 e a taxa de distorção harmônica total (THD) de 
50%. 
Em geral se pode dizer que as soluções passivas são aplicadas 
basicamente em produtos onde o custo é a variável fundamental e com potências 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 222 
 
 
de até 200 ou 300 W. Suas principais vantagens são: custo, robustez e o fato de 
não gerarem harmônicos de alta freqüência. 
Uma boa alternativa é o circuito chamado Valley – Fill, que é mostrado 
nas figuras 5.11 e 5.12. Este circuito é barato e possibilita um ganho 
significativo em relação aos anteriores, em termos de FP e THD. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.11 – a) Circuito Valley-Fill básico; b) Fomas de onda para o circuito 
Valley-Fill básico. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 223 
 
 
O FP e a THD, para esta solução podem ficar em torno de 0,90 e 50%, 
respectivamente. 
 
 
 
 (a) 
 
(b) 
Figura 5.12 – a) Circuito Valley-Fill modificado; b) Fomas de onda para o 
circuito Valley-Fill modificado. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 224 
 
 
O FP e a THD obtidos com esta solução ficam na faixa de 0,98 e 21%, 
respectivamente. 
 
5.3.1.3. Soluções Ativas de Correntes Senoidais 
 
Estes tipos de soluções permitem obter os melhores resultados no que se 
refere à qualidade da corrente de entrada, em contrapartida custam mais caro e 
são menos robustos que as soluções passivas. O princípio básico destes tipos de 
soluções é o conceito do emulador de resistência (ER). 
 
5.3.1.3.1. Princípios básicos do emulador de resistências (ER) 
 
No conversor CA, da figura 5.13, foi colocado um conversor CC-CC entre 
a saída de ponte de diodos e o capacitor de filtro. 
 
 
Figura 5.12 – Conceito do emulador de resistências. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 225 
 
 
 
 A função deste emulador de resistências é fazer com que o sistema CA 
veja o filtro capacitivo mais a carga como se fosse uma resistência ôhmica, 
obtendo desta forma um alto fator de potência. 
Este conversor CC/CC deve ser projetado de modo que a ponte de diodo o 
veja como uma carga resistiva, por isto é chamado emulador de resistências. 
O emulador de resistências apresenta algumas características interessantes, 
que são as seguintes: 
1. É um conversor chaveado, portanto, em condições ideais, não apresenta 
perdas; 
2. Sua freqüência de funcionamento é muito superior à freqüência industrial; 
3. Os elementos reativos (capacitores, indutores, etc.) são calculados em função 
da freqüência de chaveamento do emulador de resistências e não a industrial. 
Portanto eles armazenam energia apenas durante com ciclo de chaveamento e 
não durante um ciclo da rede de alimentação. 
 
Assim sendo a potência instantânea, na entrada do conversor emulador de 
resistências será uma função do seno elevado ao quadrado, ou seja o mesmo que 
a potência de saída. Como o objeto final é a obtenção de um barramento de 
corrente contínua, deve-se acrescentar um novo elemento que possibilite isto. 
Este novo elemento é o capacitor CB que será denominado “capacitor de 
armazenamento”. Admitindo-se que o valor deste capacitor é suficientemente 
elevado de modo a manter a tensão de saída praticamente constante, pode-se 
dizer que toda a corrente alternada, presente na saída do emulador de resistência, 
circulará apenas por ele enquanto que a carga recebe somente a componente 
contínua desta corrente. 
Então a resistência de saída, vista pelo emulador de resistências será dada 
pela equação 5.6. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 226 
 
 
 
)t(sen2
R
)t(r
2
0
w
=w (5.6) 
 
Onde: 
R0 Þ resistência de carga 
R0 = 
0
0
I
V Þ se a carga for outro conversor. 
 
Por esta equação observa-se que o emulador de resistências vê, em sua 
saída, uma resistência diferente de R0. Esta resistência é variável e fica entre os 
seguintes valores: 
 
R0/2 < r(wt) £ ¥ (5.7) 
 
Por outro lado o ganho do emulador de resistência (m(w t)) é definido 
como a relação entre a tensão de saída V0 (constante) e a tensão de entrada 
vg(w t) (variável): 
 
( ) ( ) tsen
M
tvg
V
tm 0
w
=
w
=w (5.8) 
 
Onde: 
max
0
vg
V
M = (5.9) 
 
Esta equação mostra que o ganho é muito variável situando-se entre os 
seguintes valores: 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 227 
 
 
M < m(w t) < ¥ (5.10) 
 
Estas duas equações (5.9 e 5.10) conseguem descrever todo o 
comportamento do emulador de resistências. Qualquer conversor CC-CC, que 
obedeça a elas pode ser utilizado como um emulador de resistências. 
 
5.3.1.3.2. Malhas de controle de um emulador de resistências 
 
O controle de um emulador de resistências deve satisfazer as seguintes 
exigências: 
1. Fazer com que a tensão de saída assuma o valor desejado. Isto é obtido 
através de realimentação da tensão de saída, fazendo com que o controle a 
mantenha constante; 
2. Fazer com que a corrente de entrada do emulador de resistências seja uma 
senóide retificada. Isto pode ser conseguido de duas formas distintas: 
2.a) Com a implementação de uma malha de realimentação de corrente de 
entrada tendo como referência uma senóide retificada. Neste caso não há 
exigência de nenhum conversor CC-CC em particular; 
2.b) Em determinadas topologias de conversores CC-CC funcionando em modos 
específicos (por exemplo em condução descontínua) é possível conseguir 
que a corrente de entrada do emulador de resistências tenha a mesma forma 
(ou quase) da onda de tensão de entrada. Como esta tensão de entrada é 
uma senóide retificada a corrente também será, sem necessidade de malha 
de realimentação. 
 
Então existem duas formasde se realizar o controle de um emulador de 
resistência: 
1. Controle com malha de corrente e malha de tensão, também chamado de 
“controle com multiplicador”; 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 228 
 
 
2. Controle com malha de tensão e modo de funcionamento especial, também 
chamado de “controle como seguidor de tensão”. 
 
5.3.1.3.2.1. Controle com Multiplicador 
 
O esquema básico deste tipo de controle é apresentado na figura 5.13. 
 
 
Figura 5.13 – Controle com multiplicador. 
 
Como pode ser visto ele possui uma malha de controle de corrente que faz 
com que a corrente de entrada siga a referência Vri. Esta referência é obtida 
através de multiplicação de um sinal senoidal retificado (vg(w t)) e um sinal 
contínuo Ve. Então a corrente de entrada é uma senóide retificada com o seu 
valor dependendo de Ve. Assim sendo Ve determina a potência que é fornecida 
pela rede de alimentação e consequentemente a potência fornecida à carga, já 
que o emulador de resistências é um elemento não dissipativo. Desta forma 
pode-se dizer que, para uma determinada carga, Ve determina a tensão aplicada 
sobre ela. Então se dispõe-se de uma malha de realimentação de tensão de saída, 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 229 
 
 
cujo sinal de erro seja Ve, pode-se fazer com que a tensão de saída seja mantida 
constante. 
É preciso observar que o sinal Ve deve ser absolutamente contínuo, ou 
seja sem ondulações. Porque se ele não tiver esta característica a corrente de 
entrada do emulador de resistências deixará de ser uma senóide retificada e 
consequentemente a corrente de entrada perderá a forma senoidal. Para se obter 
Ve contínuo, sem ondulações, é que se utiliza o filtro passa baixas na malha de 
tensão. Este filtro faz com que esta malha seja lenta. 
 
5.3.1.3.2.2. Controle como seguidor de tensão 
 
Certas topologias de conversores CC-CC apresentam uma propriedade 
interessante: quando trabalham em modo de condução descontínua (MCD), ou 
na fronteira entre os modos de condução descontínua (MCD) e de condução 
contínua (MCC). Nestes casos o valor médio da corrente de entrada é 
proporcional à tensão, desde que se mantenha o tempo de condução, da(s) 
chave(s), constante. Exemplos típicos destes conversores são os Buck-Boost 
(abaixadores elevadores), Flybacks (abaixadores elevadores isolados), SEPIC e 
de CUK, todos em modo de condução descontínua (MCD) e os conversores 
Boost (elevador) tanto em MCD como na fronteira de ambos os modos (neste 
último caso, na maioria das vezes, a freqüência de funcionamento deste 
conversor se vê obrigada a variar ao longo de um semiperíodo da rede de 
alimentação CA). 
Esta propriedade faz com que estes conversores sejam “emuladores 
naturais de resistências”. Ou seja, se a tensão de entrada varia como uma 
senóide retificada a corrente de entrada, seguirá esta mesma forma de onda 
(neste caso é necessário se acrescentar um filtro (CF), na freqüência de 
chaveamento, para se obter o valor médio desta corrente). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 230 
 
 
Desta forma é evidente que obter um “emulador de resistências” com um 
destes conversores é muito conveniente. A figura 5.14 mostra um esquema 
completo de um “emulador de resistências” utilizando um destes conversores. 
 
 
Figura 5.14 – Controle como seguidor de tensão. 
 
Nesta figura existe apenas a malha de controle de tensão de saída. Esta 
malha pode utilizar qualquer dos tipos de controles conhecidos, PWM, 
freqüência variável, bang-bang, etc. 
O nome de controle como seguidor de tensão foi dado porque a corrente 
de entrada segue a tensão de entrada. 
Este tipo de controle possui vantagens e desvantagens. As vantagens mais 
significativas são: 
1. Simplicidade do controle; 
2. Possibilidade de utilização em circuitos de freqüências mais elevadas (por 
exemplo nos circuitos utilizados nos aviões (400 Hz)); 
3. Menor custo. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 231 
 
 
As desvantagens mais significativas são devido o modo de condução dos 
conversores e são as seguintes: 
1. Picos de corrente de valores elevados; 
2. Perdas elevadas na saída de condução do transistor e na entrada em condução 
do diodo; 
3. Necessidade de filtros na entrada (em alguns casos com valores altos de 
capacitores e/ou indutores); 
4. No caso do conversor elevador (Boost), trabalhando na fronteira, a variação 
da freqüência de funcionamento é outro agravante. 
 
5.3.1.3.3. Topologias de Potência 
 
Qualquer conversor que seja capaz de seguir as equações de r(w t) e m(w t) 
pode ser utilizado como um emulador de resistência. Por exemplo: os 
conversores abaixador (Buck) ou abaixador isolado (Forward) não conseguem 
obedecer a equação m(w t) e portanto não são adequados para trabalhar como 
emuladores de resistência ideais. 
Na realidade a relação de transformação, de um emulador de resistências 
ideal, deve ser capaz de crescer indefinidamente nas proximidades de tensão de 
entrada nula. Somente desta forma ele consegue continuar fornecendo energia 
para a saída. Isto implica que o conversor utilizado deve ter o ganho estático 
capaz de variar até estes valores e isto não acontece nem no Buck nem no 
Forward. 
 
5.3.1.3.3.1. Topologias básicas de emuladores de resistência com um 
único transistor 
 
Nas figuras 5.15 e 5.16 são apresentadas topologias básicas de emuladores 
de resistências. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 232 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.15 - Topologias de Conversores, com apenas um transistor, sem 
transformador de isolamento: (a) conversor elevador (Boost); (b) conversor 
abaixador-elevador (Buck-Boost); (c) SEPIC e (d) conversor de Cúk. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 233 
 
 
 
 (a) 
 
 
(b) 
 
 
 (c) 
 
Figura 5.16 - Topologias de conversores, com apenas um interruptor, com 
transformador de isolamento. (a) conversor abaixador-elevador isolado 
(Flyback); (b) abaixador-elevador e (c) conversor de cúk. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 234 
 
 
As propriedades mais importantes destes conversores estão resumidas na 
tabela abaixo. 
 
 
 Esforços 
semicond. 
Indut. 
Entrada 
Interlig. À 
massa 
Tensão de 
saída 
Pos. Is. Proteção 
Elevador Baixos Sim Sim Alta Não Não 
Redutor 
elevador 
Altas Não Não Alta/Baix
a 
Sim Sim 
SEPIC e 
Cúk 
Altas Sim Sim Alta/Baix
a 
Sim Sim 
 
 
Quando se necessita de isolamento galvânico as topologias Flyback, SEPIC e 
de Cúk são bem indicadas. Além do que elas trabalham como seguidores de 
tensão. 
 
 
5.3.1.3.3.2. Topologias com mais de um transistor 
 
 
Na figura 5.17 são apresentadas duas dessas topologias de conversores.Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 235 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.17 - Topologias com mais de um interruptor. (a) conexão em 
cascata dos conversores abaixador (Buck) e elevador (Boost); (b) conversor 
simétrico alimentado em corrente. 
 
Na topologia da Figura 5.17a os transistores trabalham em situações 
distintas em relação às tensões de entrada e saída. Sempre que a tensão de 
entrada seja maior que a de saída o transistor S1 e o diodo D1 estarão em 
operação, permanecendo o transistor S2 sempre aberto e o diodo D2 em 
condução. Nestes instantes a topologia estará funcionando como um conversor 
abaixador (Buck). Porém quando a tensão de entrada for menor que a de saída o 
transistor S1 ficará constantemente em condução e o diodo D1 bloqueado 
enquanto o transistor S2 e o diodo D2 estarão em funcionamento normal. Desta 
forma, neste intervalo de tempo, a topologia funcionará como um conversor 
elevador (Boost). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 236 
 
 
Outras alternativas possíveis são a utilização de topologias típicas de 
inversores, porém alimentadas com uma fonte de corrente. Na figura 5.17b é 
apresentada a topologia conversora simétrica Push-Pull alimentada em corrente. 
Como o comportamento deste conversor é semelhante ao de um conversor 
elevador com transformador ele é normalmente denominado de “conversor 
elevador (Boost) isolado”. 
 
5.3.1.3.3.3. Topologias com comutação suave 
 
Algumas topologias tradicionalmente utilizadas como inversoras foram 
adaptadas para serem utilizadas como conversores CC/CC e também na correção 
de fator de potência. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.18 - Conversores ressonantes. (a) conversor ressonante paralelo; (b) 
conversor SEPIC quase ressonante com comutação à corrente nula e chave 
unidirecional em corrente. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 237 
 
 
O conversor ressonante paralelo (PRC) (fig. 5.18a) apresenta excelentes 
características para este função. A característica intrinsecamente elevadora desta 
estrutura, faz com que sejam obtidos altos fatores de fator de potência (maiores 
que 0,9) sem necessidade da malha de realimentação da corrente de entrada. 
Também os conversores quase ressonantes podem ser utilizados como 
“emuladores de resistência”. Isto é possível porque estes conversores são 
derivados dos convencionais. A figura 5.18b apresenta um conversor SEPIC 
quase ressonante com comutação à corrente nula (ZCS) com chave unidirecional 
em corrente. Estes dois conversores, apresentados, são indicados para trabalhar 
como seguidores de tensão. 
Na próxima figura são apresentadas duas topologias que trabalham com 
comutação suave e são indicadas para o controle com multiplicador. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.19 - Conversores à comutação suave. (a) Conversor elevador (Boost) 
com comutações à tensão nula; (b) conversor simétrico (Push-Pull) 
alimentado em corrente com dois IGBT’s comutados à tensão nula com o 
auxílio de um MOS-FET. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 238 
 
 
 
O primeiro dos conversores, da figura 5.19a, é o conversor elevador 
(Boost) PWM com transições à tensão nula (ZVT-PWM). Neste circuito as 
comutações do transistor e diodo principais são suaves, com tensão nula, 
aproveitando-se as capacitâncias parasitas (CP) de ambos como parte do circuito 
ressonante. 
O segundo circuito , figura 5.19b, é um conversor simétrico (Push-Pull) 
alimentado em corrente com um elemento adicional S1. Este circuito exige que 
esta chave seja muito rápida, normalmente um MOS-FET. As chaves S2 e S3 são 
chaves robustas e com baixas perdas em condução, tipicamente IGBT’s. O 
transistor S1 é comandado para conduzir apenas nas transições das chaves S2 e 
S3, fazendo com que estas tenham comutação suave com tensão nula. Como a 
chave S1 é muito rápida as perdas em suas comutações são, normalmente, 
desprezíveis. 
 
5.3.1.3.4. O problema dinâmico dos emuladores de resistências 
 
Assim como já foi dito, a presença de um filtro passa baixa na malha de 
realimentação de tensão faz com que a resposta dinâmica dos “emuladores de 
resistência” seja ruim. É possível melhorar esta resposta aumentando-se a 
freqüência de corte deste filho e aceitando um certo grau de distorção na 
corrente de entrada. Mas os resultados obtidos com esta solução não são 
suficientemente bons para aceitá-la como a melhor. 
Assim sendo uma solução é a utilização de dois conversores em cascata 
(um “emulador de resistências” mais um conversor CC/CC), o primeiro fazendo 
o controle do fator de potência e o segundo o controle de tensão de saída. 
Mas esta solução traz consigo um custo elevado o que o torna viável 
apenas para potências mais elevadas (acima de 500 W). Diagramas 
representativos desta solução são apresentadas na figura 5.20. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 239 
 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.20 - Duplo processamento de energia: (a) com duas etapas em 
cascata e (b) com as duas etapas integradas. 
 
Quando se utiliza a estrutura da figura 5.20a é normal utilizar um 
“emulador de resistências” elevador e um conversor CC/CC de comutação suave 
(normalmente o conversor em Ponte completa com controle por variação de fase 
(Phase-Shift Control)). 
Para potências menores esta solução apresenta um custo muito elevado, 
sendo portanto de difícil aplicação. Por isto novas topologias de conversores 
foram desenvolvidas em duas linhas distintas: 
1. Conversores com as duas etapas integradas; 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 240 
 
 
2. Conversores com a energia processada total menor que o dobro de 
energia de saída. 
 
5.3.1.3.4.1. Conversores com as duas etapas integradas 
 
A idéia básica é aquela apresentada na figura 5.20b, ou seja, apenas um 
conversor faz o controle do fator de potência e da tensão de saída. Este 
conversor normalmente utiliza apenas uma chave ativa. Neste caso o emulador 
de resistências é desenvolvido no modo “seguidor de tensão” ou seja em modo 
de condução descontínua (MCD). Estas topologias carregam um capacitor CB de 
onde é retirada a energia para a outra parte de estrutura que trabalha como 
conversor CC-CC. A tensão de saída é a que realimenta a malha de controle e, 
portanto, determina o tempo de condução de chave (duty cycle) do conversor. 
Este tempo varia continuamente já que sempre existira uma ondulação de 100-
120 Hz, (depende apenas da freqüência industrial que está sendo utilizada), na 
tensão do capacitor CB. Estas variações introduzem uma pequena distorção na 
forma de onda de corrente na entrada do “emulador de resistências”, já que este 
e o conversor CC-CC compartilham o mesmo interruptor. 
Este tipo de circuito apresenta as vantagens de simplicidade e de custo baixo. 
Porém são indicados apenas para pequenas potências, considerando-se as 
solicitações elevadas (stress) a que o interruptor é submetido. Estas solicitações 
normalmente acontecem devido os seguintes fatores: 
1. A potência total do conversor é processada duas vezes;2. Ao não se fazer a realimentação de tensão do conversor CB, a tensão sobre 
ele flutua em uma grande faixa, fazendo com que surjam grandes tensões 
sobre o interruptor; 
3. Para se diminuir as flutuações de tensão sobre CB costuma-se projetar o 
conversor CC-CC para trabalhar em modo de condução descontínua (MCD). 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 241 
 
 
Assim sendo tanto o “emulador de resistências” quanto o conversor CC-CC 
trabalham em MCD o que faz com que o pico de corrente no interruptor seja 
bastante elevado. 
A figura 5.21 apresenta uma implementação desta idéia onde o emulador de 
resistências é um conversor elevador (Boost) e o conversor CC-CC é um 
conversor abaixador-elevador isolado (Flyback). Outros possíveis de utilização 
seriam os conversores SEPIC e de Cúk. 
 
 
Figura 5.21 - Proposta para um conversor com as duas etapas integradas 
utilizando conversores Boost e Flyback. 
 
Para melhorar o problema da sobretensão excessiva sobre o capacitor CB 
este circuito foi modificado e adquiriu a forma apresentada na figura 5.22. 
 
Figura 5.22 - Melhoria de solução anterior. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 242 
 
 
 
Esta filosofia, de duas etapas integradas, pode também ser utilizada nos 
conversores CA-CA, tais como os utilizados nos reatores eletrônicos para 
lâmpadas fluorescentes (ballasts eletrônicos). 
 
 
 
Figura 5.23 - Reator eletrônico para lâmpadas fluorescentes com as duas 
etapas integradas. 
 
5.3.1.3.4.2. Conversores processando uma energia menor que o dobro 
daquela de carga 
 
As soluções baseadas em duas etapas integradas são interessantes para 
equipamentos de baixo custo e de pouca potência, porém quando o rendimento 
passa a ser fator importante elas são desaconselhadas. Objetivando a obtenção 
de bons rendimentos foram desenvolvidas várias topologias de conversores, 
todas elas mais complexas do que as apresentadas anteriormente. Estas 
topologias foram desenvolvidas com o objetivo principal de processar menos do 
que o dobro da energia enviada à carga, como as que foram estudadas até o 
momento. Porém devem conservar as características de corrente senoidal na 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 243 
 
 
entrada e resposta dinâmica rápida na saída. Nesta linha de desenvolvimento 
existem pelo menos três tipos de soluções: 
1. Circuitos baseados na “bomba de carga controlada; 
2. Circuitos com “processamento em paralelo”; 
3. Circuitos baseados em “pós-reguladores de alto rendimento”. 
 
5.3.1.3.4.2.1 Circuitos baseados na “bomba de carga controlada” 
 
A figura 5.24 mostra a idéia básica de um circuito deste tipo. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.24 - Circuitos baseados na bomba de carga controlada: (a) Energia 
processada e (b) Implementação geral. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 244 
 
 
Na figura 5.24 observa-se que o conversor CC-CC ou CC-CA que é 
alimentado à partir do capacitor de armazenamento (CB) gera duas tensões de 
saída distintas. Estas saídas são, teoricamente, controladas por dois parâmetros 
de controle distintos do conversor (por exemplo o tempo de condução (de 
algum) do(s) interruptor(es) do conversor e a freqüência de comutação dos 
mesmos). Uma saída é controlada para que sua tensão seja contínua e constante 
(é a saída que deve fornecer CC à carga), enquanto a outra é controlada de 
maneira a gerar uma tensão para que os diodos da ponte retificadora de entrada 
conduzam pelo maior tempo possível, fazendo com que a corrente de entrada 
seja o mais próximo de uma senóide possível. 
Nos casos ideais a tensão no capacitor de armazenamento CB pode ser 
igual à tensão de pico na entrada. Desta forma as formas de onda de VR, |ig(w t)| 
e Vi são aquelas apresentadas na figura 5.24. 
A figura 5.25 mostra a implementação prática de um circuito deste tipo. 
 
 
Figura 5.25 - Circuito do tipo “bomba de carga controlada” baseado em um 
conversor duplo Forward-Flyback. 
 
Outra solução, agora com comutações suaves, é apresentada na figura 
5.26. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 245 
 
 
 
 
Figura 5.26 - Circuito do tipo “bomba de carga controlada”, baseado em um 
conversor duplo Meia Ponte – Ponte Completa. 
 
5.3.1.3.4.2.2 Circuitos com processamento em paralelo 
 
A idéia básica deste circuito é aquela apresentada na figura 5.27. 
 
 
 
Figura 5.27 - Evolução de potência nos circuitos com processamento em 
paralelo. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 246 
 
 
A potência instantânea de entrada varia de acordo com uma função 
senoidal elevada ao quadrado, isto se deve ao fato do circuito estar trabalhando 
como um "emulador de resistências”. Por outro lado a potência de saída é 
constante devido a carga não sofrer variações. Então em determinados instantes 
a potência na entrada é maior que a de saída e em outros momentos é menor. 
Quando a potência de entrada é maior que a de saída, apenas o valor da potência 
de saída passa pelo conversor sofrendo uma única transformação. A parte 
restante sofre uma outra conversão sendo armazenada no capacitor de 
armazenamento CB. Esta energia será utilizada quando a potência na entrada for 
menor que a de saída, de modo a se conseguir fornecer a potência necessária à 
saída. Desta maneira apenas a parte da energia que excede à carga sofre duplo 
processamento (em torno de 32%) enquanto que a maior parte é processada 
apenas uma vez (em torno de 68%). Com esta filosofia foram pesquisadas várias 
estruturas e em todas elas o rendimento é bom, porém são estruturas complexas 
com muitos interruptores e de controle complicado. Por isto estas topologias 
somente serão interessantes para potências mais elevadas. A figura 5.28 
apresenta dois exemplos destas topologias. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 247 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.28 - Topologias de conversores que implementam a filosofia dos 
circuitos com processamento de energia em paralelo. 
 
5.3.1.3.4.2.3 Circuitos baseados em pós-reguladores de alto rendimento 
 
A idéia básica é colocar em cascata um emulador de resistências e um 
conversor CC-CC, que atue como um pós-regulador, com alto rendimento (96 a 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 248 
 
 
98%). Para se obter este rendimento elevado é necessário que o pós-regulador 
processe apenas uma parte da energia que será entregue à carga conforme pode 
ser visto na figura 5.29. 
 
Figura 5.29 - Evolução da potência nos circuitos com pós-reguladores de alto 
rendimento. 
 
Este tipo de circuito pode ser implementado utilizando-se um pós-
regulador de duas entradas, comopode ser visto na figura 5.30. 
 
Figura 5.30 - Implementação de um circuito baseado em pós-reguladores de 
alto rendimento. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 249 
 
 
 
Como pode ser visto, na figura 5.30, se as tensões em ambas as entradas 
são bastante próximas então a maior parte de potência de saída não sofre 
transformação. Porém ambas as tensões devem ser suficientemente separadas 
para o bom funcionamento, já que a tensão de saída assume um valor entre os 
valores das duas. 
A máxima tensão aplicada nos semicondutores, é a diferença entre as 
tensões das duas entradas o que minimiza suas perdas. 
Na prática, com as especificações dinâmicas habituais nos sistemas de 
alimentação, a diferença entre as duas tensões de entrada pode ser de ordem de 
20 e 30% da tensão de saída o que implica que entre 85 e 90% da potência que 
passa pelo pós-regulador não sofre nenhuma conversão energética, enquanto que 
a porcentagem restante será tratada em um conversor do tipo abaixador (Buck). 
 
5.3.1.4. Soluções ativas de conteúdo harmônico limitado 
 
Neste caso o objetivo é conseguir-se satisfazer as normas sobre conteúdo 
harmônico de baixa freqüência utilizando-se as topologias clássicas das fontes 
de alimentação chaveadas, onde são realizadas algumas modificações. 
Estas modificações podem ser de diferentes filosofias. Uma possibilidade 
é a utilização de bomba de carga sem realimentação de modo apenas a se 
aumentar o ângulo de condução dos diodos de ponte retificadora. Normalmente 
a tensão VR (bomba de carga) é obtida através de um enrolamento adicional do 
transformador principal. Esta saída normalmente funciona no modo de condução 
descontínua. Ela pode ser feita na configuração de um conversor Fosward, de 
um conversor Flyback, ou de outras topologias cujas características se adeqüem 
a este uso. 
Neste tipo de circuitos é necessário que haja um compromisso entre 
rendimento e conteúdo harmônico. Quanto mais energia é fornecida para VR 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 250 
 
 
maiores serão os tempos de condução dos diodos de ponte retificadora e 
portanto o conteúdo harmônico será menor. Porém esta energia é reciclada pelo 
conversor diminuindo assim o seu rendimento. Portanto é interessante 
estabelecer uma solução que tenha um compromisso entre rendimento e 
conteúdo harmônico, em função de potência fornecida pelo conversor, de modo 
que ele fique dentro dos limites estabelecidos nas normas com uma diminuição 
de rendimento mínimo. A figura 5.31 apresenta um exemplo destes circuitos. 
 
 
Figura 5.31 - Circuito de um conversor implementando uma solução ativa de 
conteúdo harmônico limitado. 
 
5.4. Retificadores PWM 
 
5.4.1. Princípios de Funcionamento do Retificador do Tipo Boost 
 
 A figura 5.32 mostra um retificador PWM básico do tipo Boost. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 251 
 
 
 
Figura 5.32 - Retificador PWM do tipo Boost. 
 
 Neste tipo de conversores o indutor L é considerado grande o suficiente 
para que a ponte retificadora em série com ele se aproxime de uma fonte de 
corrente. Assim este conversor pode ser tratado como um conversor Boost 
convencional onde Vo é aproximadamente constante com um valor maior que a 
amplitude máxima da senóide de alimentação. 
 A tensão vr na saída do retificador é uma senóide retificada com uma 
ondulação em baixa freqüência igual a duas vezes a freqüência da alimentação. 
Considerando que a freqüência de chaveamento da chave S é muito maior que 
esta freqüência de ondulação, vr pode ser considerado constante durante cada 
ciclo de chaveamento. Com isto a tensão vL será aproximadamente constante, 
resultando numa variação linear para a corrente iL e, consequentemente, para is, 
como mostra a figura 5.33. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 252 
 
 
 
 
Figura 5.33 - Formas de onda de um retificador Boost PWM. 
 
 Nota-se que, no semiciclo positivo, quando a chave S está fechada a 
tensão que aparece no indutor L é a tensão retificada vr, provocando um 
crescimento aproximadamente linear de is. Entretanto quando a chave S está 
aberta a tensão vL é a diferença vs - Vo que é negativa, acarretando uma redução 
da corrente is. O semiciclo negativo de is é simétrico ao semiciclo positivo como 
pode ser visto através da figura 5.33. 
 Observa-se que, como mostrado nesta figura, a corrente is varia mais 
quando a amplitude da tensão de alimentação é menor isto só é possível se a 
razão cíclica for variável ao longo de cada semiciclo de vs sendo bem maior para 
amplitudes menores de vs. 
 Na realidade, se a razão cíclica for constante acontece o contrário daquilo 
que está indicado na figura 5.33, isto é, is cresce menos quando a amplitude de vs 
é menor. Esta situação pode fornecer o modo de condução descontínuo para is 
como mostra a figura 5.34. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 253 
 
 
 
 
Figura 5.34 - Ilustração de descontinuidade da corrente is. 
 
 Esta figura mostra que a descontinuidade da corrente is que pode ocorrer 
para baixas amplitudes de vs pode desaparecer quando a amplitude de vs 
aumenta. 
 Dependendo da freqüência e da lei de controle do chaveamento da chave 
S, a corrente is pode apresentar descontinuidade ao longo de todos os semiciclos. 
Assim tanto a freqüência quanto o princípio de controle do chaveamento são 
importantes para determinar a forma e o conteúdo harmônico da corrente is. 
Alguns dos principais métodos de controle para este tipo de conversor serão 
abordados a seguir. 
 
5.4.2. Princípio de Controle de um Retificador Boost 
 
5.4.2.1. PWM Senoidal 
 
 Um dos mais comuns, entre os métodos de controle de um retificador 
Boost, é o método PWM senoidal. Neste método de controle, os pulsos de 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 254 
 
 
comando da chave S são gerados a partir da comparação de uma onda triangular 
de alta freqüência com uma amostra da tensão de entrada retificada, como 
mostra a figura 5.35. A onda triangular chamada de portadora determina a 
freqüência de funcionamento da chave S e a senoidal retificada determina a 
razão cíclica da chave a cada período de chaveamento. Observa-se que a razão 
cíclica (largura do pulso de comando) varia proporcionalmente com a variação 
da amplitude da senóide vs, proporcionando condições favoráveis para que a 
corrente is siga a tensão vs. 
 
 
Figura 5.35 - Geração do sinal de chaveamento. 
 
 A figura 5.35 ilustra o processo de geração dos pulsos de comando da 
chave S para controlar a corrente de entrada. Entretanto em algumas aplicações 
é necessário fazer o controle da tensão de saída Vo. Neste caso, desejando-se, 
por exemplo aumentar Vo, o circuito de controle deve atuar no sentido aumentar 
a razão cíclica da chave em cada período de chaveamento, aumentando, para 
tanto, a amplitude da amostra retificada de vs. 
 
5.4.2.2. Controlepor Limites de Corrente 
 
 Uma outra maneira básica de fazer a corrente de entrada is seguir de perto 
a tensão de alimentação vs, é efetuar chaveamento nos instantes em que a 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 255 
 
 
corrente de entrada atinja valores limites como mostrado na figura 5.36. 
Observa-se que a chave deve ser fechada quando a corrente de entrada atinge o 
limite inferior e deve ser aberta quando is atinge o limite superior. 
 
 
 
Figura 5.36 - Ilustração do método de controle por limites de corrente. 
 
 Os limites superior e inferior indicados nesta figura são amostras de 
tensão vs retificada com valores próximo àqueles desejados para a corrente de 
alimentação, assim is segue uma senóide em fase com a tensão de alimentação e 
com uma amplitude desejada. Amplitude esta que é determinada pela malha de 
controle da tensão de saída. 
 Neste tipo de controle tanto a razão cíclica quanto a freqüência de 
chaveamento são variáveis ao longo de um mesmo semiciclo de vs. 
 
5.4.2.3. Controle por um Limite de Corrente e Freqüência Fixa 
 
 O método de controle utilizando um limite de corrente superior ou inferior 
a freqüência de chaveamento fixa pode ser considerado como um dos métodos 
básicos. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 256 
 
 
 Neste método, quando se usa um limite superior por exemplo, a chave S é 
fechada no início de cada período de chaveamento e é aberta quando a corrente 
de alimentação retificada atinge um limite superior, como mostra a figura 5.37. 
 
 
 
Figura 5.37 - Ilustração do método de controle por um limite superior a 
freqüência constante. 
 
 Tal limite superior é uma amostra da tensão vs retificada com uma 
amplitude próxima àquela desejada para a corrente de alimentação que é 
determinada pela malha de controle da tensão de saída Vo. 
 Como pode ser visto da figura 5.37 a corrente de entrada segue de perto 
uma senóide em fase com a tensão de alimentação. 
 Embora a freqüência de chaveamento seja constante, neste tipo de 
controle, a razão cíclica é variável ao longo de um mesmo semiciclo de tensão 
de alimentação. 
 Ao invés de limite superior indicado na figura 5.37, pode-se usar um 
limite inferior neste método de controle. Neste caso a chave S é aberta no início 
de cada período de chaveamento e fechada quando a corrente de entrada atinge o 
limite inferior. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 257 
 
 
5.4.2.4. Controle pela Corrente Média 
 
 No rol dos métodos básicos de controle de um retificador Boost pode ser 
incluído aquele que se baseia na corrente média. 
 Neste método, em intervalos de tempos predeterminados, a corrente de 
entrada é comparada com uma referência, a qual é uma amostra de vs cuja 
amplitude depende do controle de Vo. Se no instante da comparação is for maior 
que a referência a chave será aberta se acontecer o contrário ela será fechada, 
como mostra a figura 5.38 para comparações feitas em intervalos de tempos 
iguais. 
 
 
Figura 5.38 - Ilustração do método de controle pela corrente média. 
 
 Esta figura mostra que a cada chaveamento a corrente de entrada cruza a 
referência. Na prática isto nem sempre é verdadeiro, podendo necessitar mais de 
um intervalo para que tal cruzamento ocorra. 
 Embora existam outros métodos de controle, os mesmos não serão partes 
integrantes deste trabalho uma vez que os métodos apresentados fornecem uma 
idéia razoável sobre o assunto, cumprindo os principais objetivos de forma 
satisfatória. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 258 
 
 
5.4.3. Configurações Básicas de Retificadores Boost 
 
 Além da configuração mostrada na figura 5.32 existem outras 
configurações básicas que podem ser utilizadas. A seguir serão abordadas 
algumas destas configurações. 
 
5.4.3.1. Retificador Boost com uma Chave e Indutor no Lado CA 
 
 A figura 5.39 mostra um retificador monofásico pré-regulador, do fator de 
potência, do tipo Boost onde o indutor é colocado no lado CA ao invés do lado 
CC como no conversor da figura 5.32. 
 
Figura 5.39 - Pré-regulador do tipo Boost com indutor de lado CA. 
 
 Analisando o circuito da figura 5.39 nota-se que seu princípio de 
funcionamento e suas características diferem muito pouco daquilo que foi 
observado para o conversor da figura 5.32, dispensando qualquer abordagem 
mais elaborada. 
 
5.4.3.2. Pré-Regulador Boost com duas Chaves Ativas 
 
 Um dos circuitos monofásicos pré-reguladores, do fator de potência, do 
tipo Boost, usando duas chaves ativas é mostrado na figura 5.40. 
 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 259 
 
 
 
 
Figura 5.40 - Pré-regulador Boost monofásico com duas chaves ativas. 
 
 Nota-se que neste tipo de conversor com duas chaves ativas é necessário 
que o indutor de Boost L seja colocado apenas no lado CA. No semiciclo 
positivo da tensão de alimentação vs, a chave S3 executa a função de S dos 
circuitos das figuras 5.32 e 5.39 e no semiciclo negativo esta função é 
desempenhada pela chave S4. 
 As características funcionais do pré-regulador com duas chaves ativas são 
muito próximas daquelas dos pré-reguladores com uma chave, dispensando 
maiores comentários. 
 Esta configuração apresenta algumas nuanças interessantes tais como: 1) 
Menores perdas devido a presença de chaves e diodos, observando-se os 
circuitos das figuras 5.32, 5.39 e 5.40, nota-se que no último sempre haverá um 
semicondutor a menos no caminho da corrente de carga, ou seja no circuito da 
figura 5.40 sempre haverá dois semicondutores no caminho desta corrente 
enquanto que nos circuitos das figuras 5.32 e 5.39 sempre haverá três 
semicondutores neste caminho. Consequentemente deve-se esperar um 
rendimento melhor na estrutura apresentada na figura 5.40, em relação às 
proposições anteriores; 2) Uma maior complexidade do circuito da figura 5.40, 
em relação aos das figuras 5.32 e 5.39, porque neste último encontra-se duas 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 260 
 
 
chaves controladas. Consequentemente necessita-se de dois circuitos distintos de 
disparo destas chaves, enquanto que naqueles das figuras 5.32 e 5.39 necessita-
se apenas de um destes circuitos. Portanto o circuito da figura 5.40 deve ter um 
custo superior aos das figuras 5.32 e 5.39. Portanto por estas observações pode-
se perceber que este último circuito de conversor Boost tem como objetivo com 
potências mais elevadas onde o rendimento se torna mais importante e justifica-
se um investimento um pouco mais elevado, enquanto que os outros dois são 
mais indicados para potências menores onde o custo torna-se mais importante do 
que um acréscimo no rendimento da estrutura. 
 
5.4.3.3. Pré-Regulador Boost Trifásico 
 
 Além dos pré-reguladores, do fator de potência, do tipo Boost 
monofásico existem também pré-reguladores trifásicos e uma das configurações 
básicas deste tipo de conversoré mostrada na figura 5.41. 
 
Figura 5.41 - Pré-regulador Boost Trifásico. 
 
 Como no conversor da figura 5.40, o indutor Boost deve ser colocado no 
lado CA de cada fase de alimentação do pré-regulador trifásico da figura 5.41. 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 261 
 
 
 Embora o pré-regulador trifásico apresente algumas particularidade 
adicionais em relação aos pré-reguladores monofásicos, os mesmos não fazem 
parte dos objetivos deste trabalho. 
 
5.4.4. Considerações Finais 
 
 Baseado no exposto, nota-se que um aumento na freqüência de 
chaveamento, além de proporcionar uma redução do volume e do peso dos 
elementos de filtros, também propicia uma redução da distorção harmônica da 
corrente de alimentação. Porque este aumento diminui os tempos de variação da 
corrente em relação à referência fazendo com que o resultado obtido seja mais 
fiel a esta. Desta forma a onda de corrente obtida fica mais próxima de uma 
senóide que é o objetivo final de alguns destes conversores. 
 Desta forma existe uma tendência de se usar altas freqüências de 
chaveamento, comprometendo o rendimento da estrutura e causando 
interferências eletromagnéticas. Para amenizar estes problemas tem sido 
utilizado conversores com chaveamento suave através de várias células de 
comutação originárias daquelas quase-ressonantes vistas no capítulo 3. 
 Observa-se também que, em determinados casos torna-se interessante 
estudar a possibilidade de implementação da melhoria do fator de potência 
utilizando-se soluções passivas que podem ser mais baratas e com a eficiência 
necessária para a obtenção da aprovação das fontes porque as coloca em 
parâmetros compatíveis com as normas. 
 Também deve-se considerar possibilidades do controle como seguidor 
onde este caso se torne interessante pela relação custo/benefício. 
 Então como pode ser observado não existe uma solução universal. Cada 
caso deve ser estudado considerando-se as suas particularidades e utilizando a 
 Eletrônica de Potência 
Cap. 5 - Conversores CA/CC - 262 
 
 
solução mais adequada ao que se pretende tornando assim a solução viável do 
ponto de vista técnico e econômico. 
Transformada de Laplace 
1 função impulso unitário 
função degrau-unitário 
função rampa unitária t
e��t
te��t
11 � at2e�ats1s � a22
1
a2
c t � 2
a
� at � 2
a
b e�at d1
s21s � a22
1
a2
 1at � 1 � e�at21
s21s � a2
1
a2
 11 � e�at � ate�at21
s1s � a22
1
a
 11 � e�at21
s1s � a2
1
b � a
 1be�bt � ae�at2 1a � b2s1s � a2 1s � b2
1
b � a
 1e�at � e�bt2 1a � b211s � a2 1s � b2
tne�at 1n � inteiro positivo 2n!1s � a2n�1
1
1s � a22
1
s � a
tn 1n � inteiro positivo 2n!
s n�1
1
s2
us1t21
s
d1t2
f 1t 2
A.1 Tranformada de Laplace
Tranfomada de Laplace F(s) função de tempo f(t)
sin �nt
cos �nt
1 � cos �nt
t �
2z
vn
�
1
vn21 � z2 e�zvnt sin 1vn21 � z2 t � u2
where u � cos�112z2 � 12 1z 6 12
v2n
s2 1s2 � 2zvns � v2n 2
vn Ba2 � 2azvn � v2n1 � z2 e�zvn t sin 1vn21 � z2 t � u2
where u � tan�1 
vn21 � z2
a � zvn
 1z � 12
v2n1s � a2
s2 � 2zvns � v2n
�v2n21 � z2 e�zvnt sin 1vn21 � z2 t � u2
where u � cos�1 z 1z 6 12
sv2n
s2 � 2zvns � v2n
1 �
121 � z2 e�zvn t sin 1vn21 � z2 t � u2
where u � cos�1 z 1z 6 12
v2n
s1s2 � 2zvns � v2n2
vn21 � z2 e�zvn t sin vn21 � z2 t 1z 6 12v2ns2 � 2zvns � v2n
vn
a2 � v2n
 
e�at �
12a2 � v2n sin 1vnt � u2
where u � tan�11vn�a2
vn
1s � a2 1s2 � v2n2
vn2a2 � v2n sin 1vnt � u2
where u � tan�11vn�a2
v2n1s � a2
s2 � v2n
v2n
s1s2 � v2n2
s
s2 � v2n
vn
s2 � v2n
A.2 Propriedades da Transformada de Laplace
Operação f(t) F(s)
Adição (t))( 21 ftf + )()( 21 sFsF +
Produto escalar )(tkf )(skF
Derivada no tempo
dt
df
)0()( fssF -
2
2
dt
fd
)0()0()(2 fsfsFs ¢--
3
3
dt
fd
)0()0()0()( 23 ffsfssFs ¢¢-¢--
Integração no tempo ò
t
dttf
0
)( )(
1
sF
s
ò ¥-
t
dttf )( ò ¥-+
0
)(
1
)(
1
dttf
s
sF
s
Deslocamento no tempo ) ()( 00 ttuttf -- 0)(
stesF - , 00 ³t
Desloc. em Frequência tsetf 0)( )( 0ssF -
Derivada em Frequência )(ttf-
ds
sdF )(
Integração em Frequência
t
tf )(
ò
¥
s
dssF )(
Escala ),( ³ 0aatf ÷
ø
ö
ç
è
æ
a
s
F
a
1
Convolução no tempo ()( 21 t)ftf * )()( 21 sFsF
Convolução em freq. )()( 21 tftf )()(2
1
21 sFsFj
*
p
Valor inicial )0(f )(lim ssF
s ¥®
Valor final )(¥f )(lim
0
ssF
s®
 (polos de sF(s) em LHP)
 
 
 
 Conversion tables for units 
 
The table below gives conversion factors from a variety of units to the corresponding SI unit. 
Examples of the use of this table have already been given in the preceding section. For each 
physical quantity the name is given, followed by the recommended symbol(s). The SI unit is 
given, followed by the esu, emu, Gaussian unit (Gau), atomic unit (au), and other units in 
common use, with their conversion factors to SI. The constant ζ which occurs in some of the 
electromagnetic conversiton factors is the (exact) pure number 2.997 924 58×1010 = c0/(cm s-1). 
 
The inclusion of non-SI units in this table should not be taken to imply that their use is to be 
encouraged. With some exceptions, SI units are always to be preferred to non-SI units. 
However, since may of the units below are to be found in the scientific literature, it is 
convenient to tabulate their relation to the SI. 
 
For convenience units in the esu and Gaussian systems are quoted in terms of the four 
dimensions length, mass, time, and electric charge, by including the franklin (Fr) as an 
abbreviation for the electrostatic unit of charge and 4πε0 as a constant with dimensions 
(charge)2/(energy×length). This gives each physical quantity the same dimensions in all 
systems, so that all conversion factors are pure numbers. The factors 4πε0 and the Fr may be 
eliminated by writing Fr = esu of charge = erg½ cm½ = cm3/2 g½ s-1, and 4πε0 = εir) = 1 Fr2 erg-1 
cm-1 = 1, to recover esu expressions in terms of three base units (see section 7.3 below). The 
symbol Fr should be regarded as a compact representation of (esu of charge). 
 
Conversion factors are either given exactly (when the = sign is used), or they are given to the 
approximation that the corresponding physical constants are known (when the ≈ sign is used). In 
the latter case the uncertainty is always less than ±5 in the last digit quoted. 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
 
length, l 
 metre (SI unit) m 
 centimetre (cgs unit) cm = 10-2 m 
 ångström Å = 10-10 m 
 micron µ = µm = 10-6 m 
 millimicron mµ = nm = 10-9 m 
 x unit X ≈ 1.002×10-13 m 
 fermi f, fm = fm = 10-15 m 
 inch in = 2.54×10-2 m 
 foot ft = 12 in = 0.3048 m 
 yard yd = 3 ft = 0.9144 m 
 mile mi = 1760 yd = 1609.344 m 
 nautical mile = 1852 m 
 astronomical unit AU = 1.496 00×1011 m 
 parsec pc ≈ 3.085 68×1016 m 
 light year l.y. ≈ 9.460 528×1015 m 
 light second = 299 792 458 m 
area, A 
 square metre (SI unit) m2 
 barn b = 10-28 m2 
 acre ≈ 4046.856 m2 
 are a = 100 m2 
 hectare ha = 104 m2 
volume, V 
 cubic metre (SI unit) m3 
 litre l, L = dm3 = 10-3 m3 
 lambda λ = µl = 10-6 dm3 
 barrel (US) ≈ 158.987 dm3gallon (US) gal (US) = 3.785 41 dm3 
 gallon (UK) gal (UK) = 4.546 09 dm3 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
mass, m 
 kilogram (SI unit) kg 
 gram (cgs unit) g = 10-3 kg 
 electron mass (au) me ≈ 9.109 39×10-31 kg 
 unified atomic mass u, Da = ma(12C)/12 ≈ 1.660 540×10-27 kg 
 unit, daltonS 
 gamma γ = µg 
 tonne t = Mg = 103 kg 
 pound (avoirdupois) lb = 0.453 592 37 kg 
 ounce (avoirdupois) oz ≈ 28.3495 g 
 ounce (troy) oz (trou) ≈ 31.1035 g 
 grain gr = 64.798 91 mg 
time, t 
 second (SI, cgs unit) s 
 au of time h/Eh ≈ 2.418 88×10-17 s 
 minute min = 60 s 
 hour h = 3600 s 
 day1 d = 86 400 s 
 year2 a ≈ 31 556 952 s 
 svedberg Sv = 10-13 s 
 
(1) Note that the day is not exactly in terms of the second since so-called leap-seconds are 
added or subtracted from the day semiannually in order to keep the annual average 
occurrence of midnight at 24:00 on the clock. 
(2) The year is not commensurable with the day and not a constant. Prior to 1967, when the 
atomic standard was introduced, the tropical year 1900 served as the basis for the 
definition of the second. For the epoch 1900.0. it amounted to 365.242 198 79 d ≈ 31 
556 925.975 s and it decreases by 0.530 seconds per century. The calendar years are 
exactly defined in terms of the day: 
 Julian year = 365.25 d 
 Gregorian year = 365.2425 d. 
 The definition in the table corresponds to the Gregorian year. This is an average based 
on a year of length 365 days, with leap years of 366 days; leap years are taken either 
when the year is divisible by 4 but is not divisible by 100, or when the year is divisible 
by 400. Whether the year 3200 should be a leap year is still open, but this does not have 
to be resolved until sometime in the middle of the 32nd century. 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
acceleration, a 
 SI unit m s-2 
 standard acceleration of gn = 9.806 65 m s-2 
 free fall 
 gal, galileo Gal = 10-2 m s-2 
force, F 
 newton (SI unit)3 N = kg m s-2 
 dyne (cgs unit) dyn = g cm s-2 = 10-5 N 
 au of force Eh/a0 ≈ 8.238 73×10-8 N 
 kilogram-force kgf = 9.806 65 N 
 
energy, U 
 joule (SI unit) J = kg m2 s-2 
 erg (cgs unit) erg = g cm2 s-2 = 10-7 J 
 rydberg Ry = Eh/2 ≈ 2.179 87×10-18 J 
 electronvolt eV = e×V ≈ 1.602 18×10-19 J 
 calorie, thermochemical calth = 4.184 J 
 calorie, international calIT = 4.1868 J 
 15 °C calorie cal15 ≈ 4.1855 J 
 litre atmosphere l atm = 101.325 J 
 British thermal unit Btu = 1055.06 J 
pressure, p 
 pascal (SI unit) Pa = N m-2 = kg m-1 s-2 
 atmosphere atm = 101 325 Pa 
 bar bar = 105 Pa 
 torr Torr = (101 325/760) Pa ≈ 133.322 Pa 
 millimetre of mercury mmHg = 13.5951×980.665×10-2 Pa ≈ 133.322 Pa 
 (conventional) 
 pounds per squere inch psi ≈ 6.894 757×103 Pa 
 
power, P 
 watt (SI unit) W = kg m2 s-3 
 horse power hp = 745.7 W 
 
(3) 1 N is approximately the force exerted by the earth upon an apple. 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
action, L, J (angular momentum) 
 SI unit J S = kg m2 s-1 
 cgs unit erg s = 10-7 J s 
 au of action 2π/h=h ≈ 1.054 57×10-34 J s 
 
dynamic viscosity, η 
 SI unit Pa s = kg m-1 s-1 
 poise P = 10-1 Pa s 
 centipoise cP = mPa s 
kinematic viscosity, v 
 SI unit m2 s-1 
 stokes St = 10-4 m2 s-1 
thermodynamic temperature, T 
 kelvin (SI unit) K 
 degree Rankine4 °R = (5/9) K 
entropy, S 
heat capacity, C 
 SI unit J K-1 
 clausius Cl = calth/K = 4.184 J K-1 
molar entropy, Sm 
molar heat capacity, Cm 
 SI unit J K-1 mol-1 
 entropy unit e.u. = calth K-1 mol-1 = 4.184 J K-1 mol-1 
 
(4) T/°R = (9/5) T/K. Also, Celsius temperature θ is related to thermodynamic temperature 
T by equation 
 θ/°C = T/K - 273.15 
 
 Similarly Fahrenheit temperature θF is related to Celsius temperature θ by the equation 
 θF/°F = (9/5) (θ/°C) + 32 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
molar volume, Vm 
 SI unit m3 mol-1 
 amagat amagat = Vm of real gas at 1 atm and 273.15 K 
 ≈ 22.4×10-3 m3 mol-1 
plane angle, α 
 radian (SI unit) rad 
 degree ° = rad×2π/360 ≈ (1/57.295 78) rad 
 minute ′ = degree/60 
 second ″ = degree/3600 
 grade grad = rad×2π/400 ≈ (1/63.661 98) rad 
radioactivity, A 
 becquerel (SI unit) Bq = s-1 
 curie Ci = 3.7×1010 Bq 
 
absorbed dose of radiation5 
 gray (SI unit) Gy = J kg-1 
 rad rad = 0.01 Gy 
dose equialent 
 sievert (SI unit) Sv = J kg-1 
 rem rem ≈ 0.01 Sv 
 
(5) The unit röntgen, employed to express exposure to X or γ radiation, is equal to: R = 
2.58 x 10-4 C kg-1 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
electric current, I 
 ampere (SI unit) A 
 esu, Gau (10/ζ)A ≈ 3.335 64×10-10 A 
 biot (emu) Bi = 10 A 
electric charge, Q 
 coulomb (SI unit) C = A s 
 franklin (esu, Gau) Fr = (10/ζ)C ≈3.335 64×10-10 C 
 emu (abcoulomb) = 10 C 
 proton charge (au) e ≈ 1.602 18×10-19 C ≈ 4.803 21×10-10 Fr 
charge density, ρ 
 SI unit C m-3 
 esu, Gau Fr cm-3 = 107 ζ-1 C m-3 ≈ 3.335 64×10-4 C m-3 
electrical potential, V, φ 
 volt (SI unit) V = J C-1 = J A-1 s-1 
 esu, Gau erg Fr-1 = Fr cm-1/4πε0 = 299.792 458 V 
 mean international volt = 1.00034 V 
 US international volt = 1.000 330 V 
electric resistance, R 
 ohm (SI unit) Ω = V A-1 = m2 kg s-3 A-2 
 mean international ohm = 1.000 49 Ω 
 US international ohm = 1.000 495 Ω 
electric field, E 
 SI unit V m-1 = J C-1 m-1 
 esu, Gau Fr cm-2/4πε0 = 2.997 924 58×104 V m-1 
electric field gradient, Eβ, qαβ 
 SI unit V m-2 = J C-1 m-2 
 esu, Gau Fr cm-3/4πε0 = 2.997 924 58×106 V m-2 
electric dipol moment, p, µ 
 SI unit C m 
 esu, Gau Fr cm ≈ 3.335 64×10-12 C m 
 debye D = 10-18 Fr cm ≈ 3.335 64×10-30 C m 
 
 
 
Name Symbol Relation to SI 
 
electric quadrupole moment, 
Qαβ, Θαβ, eQ 
 SI unit C m2 
 esu, Gau Fr cm2 ≈ 3.335 64×10-14 C m-2 
magnetic flux density, B 
 (magnetic field) 
 tesla (SI unit) T = J A-1 m-2 = V s m-2 = Wb m-2 
 gauss (emu, Gau) G = 10-4 T 
magnetic flux, Φ 
 weber (SI unit) Wb = J A-1 = V s 
 maxwell (emu, Gau) Mx = G cm-2 = 10-8 Wb 
magnetic field, H 
(volume) magnetization, M 
 SI unit A m-1 = C s-1 m-1 
 oersted (emu, Gau) Oe = 103 A m-1 
 [But note: in practice the oersted, Oe, is only used as a unit for H(ir) = 4πH; thus when 
H(ir) = 1 Oe, H = (103/4π) A m-1.] 
magnetic dipole moment, m, µ 
 SI unit A m2 = J T-1 
 emu, Gau erg G -1 = 10 A cm2 =10-3 J T-1 
 Bohr magneton6 µB = eh/2me ≈ 9.274 02×10-24 J T-1 
 nuclear magneton µN = (me/mp)µB ≈ 5.050 79×10-27 J T-1 
magnetizability, ξ 
 SI unit J T-2 = C2 m2 kg-1 
 
(6) The Bohr magneton µB is sometimes denoted BM (or B.M.), but this is not 
recommended. 
 
 
 
Chapter 1 - 9
Name Symbol Relation to SI 
 
magnetic susceptibility, χ, κ 
 SI unit 1 
 emu, Gau 1 
 [But note: in practice susceptibilities quoted in the context of emu or Gaussian units are 
always values for χ(ir) = χ/4π; thus when χ(ir) = 10-6, χ = 4π×10-6.] 
molar magnetic susceptibility, χm 
 SI unit m3 mol-1 
 emu, Gau cm3 mol-1 = 10-6 m3 mol-1 
 [But note: in practice the units cm3 mol-1 usually imply that the irrational molar 
susceptibility isbeing quoted, χm(ir) = χm/4π; thus, for example if χm(ir) = -15×10-6 cm3 
mol-1, which is often written as '-15 cgs ppm', then χm = -1.88×10-10 m3 mol-1.]