Logica P classica

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Lógica proposicional 
clássica
Em discussão
Lógica proposicional
Permite determinar a validade de alguns argumentos 
(dedutivos), mediante o uso de uma linguagem formal.
Como podemos pensar e expressar o nosso 
pensamento de modo válido?
Proposições e operadores 
proposicionais
1
Simples
Proposições
São proposições em que não 
estão presentes quaisquer 
operadores proposicionais, não se 
podendo decompor noutras 
proposições.
Complexas
São proposições em que está 
presente um operador 
proposicional ou mais do que um, 
podendo decompor-se noutras 
proposições. 
João joga futebol. 
Maria lê o jornal. 
O Universo é finito. 
Deus é omnipotente. 
João joga futebol e Maria lê o 
jornal. 
Se o Universo é finito, então Deus 
não é omnipotente. 
João pensa que Maria lê o jornal. 
Exemplos
 Operadores proposicionais
Palavras ou expressões que, sendo ligadas 
a determinadas proposições, permitem 
formar novas proposições.
Verofuncionais Não-verofuncionais
Permitem determinar, 
apenas com base nos 
valores de verdade das 
proposições simples, o 
valor de verdade da 
proposição complexa 
resultante.
Não permitem 
determinar o valor de 
verdade da proposição 
complexa unicamente 
com base nos valores 
de verdade das 
proposições simples.
 
Operadores verofuncionais 
(operadores lógicos, conectores ou 
conectivas proposicionais) 
A proposição complexa é uma função de verdade 
das proposições simples ou elementares.
 O valor de verdade das proposições simples depende do facto de 
elas estarem ou não de acordo com a realidade; o valor de verdade 
das proposições complexas depende exclusivamente do valor de 
verdade das proposições simples e dos operadores utilizados.
Dicionário (interpretação)
Variáveis proposicionais: P, Q, R, etc.
P: Paulo é livre. 
Q: Paulo é feliz.
Forma lógica do argumento
Se P, então Q. 
Não-Q. 
Logo, não-P.
Argumento
Se Paulo é livre, então Paulo é feliz. 
Paulo não é feliz. 
Logo, Paulo não é livre.
Argumento válido: é impossível que 
as premissas sejam verdadeiras e a 
conclusão seja falsa.
Operadores proposicionais 
verofuncionais
2
Designação Símbolo
Operadores verofuncionais
Leitura Forma lógica Exemplo
Negação ¬ “não” Não-P 
¬P Júlia não é pintora.
Conjunção ∧ “e” P e Q 
P ∧ Q
Júlia é pintora e Ana é 
escritora.
Disjunção
∨ “ou” P ou Q 
P ∨ Q
Júlia é pintora ou Ana é 
escritora.
∨ “ou… ou” Ou P ou Q 
P ∨ Q
Ou Júlia é pintora ou 
Ana é escritora (mas 
não ambas as coisas).
Condicional ⟶ “se... então” Se P, então Q 
P ⟶ Q
Se Júlia é pintora, então 
Ana é escritora.
Bicondicional ⟷ “se, e só se” P se, e só se, Q 
P ⟷ Q
Júlia é pintora se, e só 
se, Ana é escritora.
Inclusiva
Exclusiva
V 
F 
P
F 
V
¬P
Negação Tabela de verdade 
da negação
A negação de uma proposição P é uma proposição com a forma “Não-P”, 
formalizando-se por ¬P. Se P é verdadeira, ¬P é falsa; se P é falsa, ¬P é 
verdadeira. A negação de uma negação equivale a uma afirmação. 
O operador “não” é o único operador unário (os restantes são binários).
É falso que Alberta seja pintora. 
É errado afirmar que Alberta é pintora. 
Não se dá o caso de Alberta ser pintora.
Outras expressões
P Alberta é pintora.
¬P Alberta não é pintora. 
Ou: 
Não é verdadeiro que Alberta seja pintora. 
 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
P Q
V 
F 
F 
F 
P ∧ Q
Conjunção
Tabela de verdade 
da conjunção
A conjunção – “P e Q” (P ∧ Q) – é verdadeira se, e só se, ambas as 
proposições conectadas – proposições conjuntas – forem verdadeiras 
(é falsa se pelo menos uma dessas proposições for falsa).
Joaquina trabalha, mas Paula descansa. 
Não só Joaquina trabalha, como Paula descansa. 
Joaquina trabalha, apesar de Paula descansar.
Outras expressões
P Joaquina trabalha.
P ∧ Q Joaquina trabalha e Paula descansa. 
 
Q Paula descansa.
V V 
V F 
F V 
F F 
 
P Q
V 
V 
V 
F 
P ∨ Q
Disjunção inclusiva
Tabela de verdade 
da disjunção 
inclusiva
A disjunção inclusiva – “P ou Q” (P ∨ Q) – é sempre 
verdadeira, exceto quando P e Q são ambas falsas.
P Ricardo é futebolista.
P ∨ Q Ricardo é futebolista ou António é aluno. 
 
Q António é aluno.
V V 
V F 
F V 
F F 
 
P Q
F 
V 
V 
F 
P ∨ Q
Disjunção exclusiva
Tabela de verdade 
da disjunção 
exclusiva
A disjunção exclusiva – “Ou P ou Q”, 
mas não ambas (P ∨ Q) – é verdadeira 
quando P e Q possuem valores de 
verdade distintos e falsa quando P e Q 
possuem o mesmo valor de verdade.
P Manuel nasceu em Lisboa.
P ∨ Q Ou Manuel nasceu em Lisboa ou Manuel 
nasceu no Porto. 
Q Manuel nasceu no Porto.
V V 
V F 
F V 
F F 
 
P Q
V 
F 
V 
V 
P ⟶ Q
Condicional
Tabela de verdade 
da condicional
A condicional – “Se P, então Q” (P ⟶ Q) – só é falsa se P (o antecedente) 
for verdadeira e Q (o consequente) for falsa. Nas restantes situações, a 
condicional é verdadeira.
P O Universo é finito.
P ⟶ Q Se o Universo é finito, então Deus existe. 
Q Deus existe.
Caso o Universo seja finito, Deus existe. 
Deus existir é condição necessária para o Universo ser finito. 
O Universo ser finito é condição suficiente para Deus existir. 
O Universo é finito apenas se Deus existir.
Outras expressões
 O antecedente (P) é uma condição suficiente para o 
consequente. O consequente (Q) é uma condição 
necessária para o antecedente.
P Q
V 
F 
F 
V 
P ⟷ Q
Bicondicional
Tabela de verdade 
da bicondicional
A bicondicional – “P se, e só se, Q” (P ⟷ Q) – é verdadeira se as 
proposições conectadas tiverem o mesmo valor de verdade e falsa se essas 
proposições tiverem valores de verdade distintos.
P Albano é católico.
P ⟷ Q Albano é católico se, e só se, Albano vai à 
missa.
Q Albano vai à missa.
Albano é católico se, e apenas se, Albano vai à missa. 
Albano ser católico é uma condição suficiente e necessária para Albano ir à missa. 
Se Albano é católico, então vai à missa, e vice-versa.
Outras expressões
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Negação de condicionais
Ter-se-á de mostrar que o 
antecedente não é uma 
condição suficiente para o 
consequente.
Se pensas, então és livre. 
Negação: 
Pensas, mas não és livre. 
Exemplo
Negação de 
bicondicionais
Ter-se-á de mostrar que as 
duas proposições em causa 
não constituem condições 
necessárias e suficientes 
uma para a outra.
Pensas se, e só se, és livre. 
Negação: 
Pensas e não és livre, ou és 
livre e não pensas. 
Exemplo
Âmbito dos operadores e 
formalização das proposições
3
Âmbito de um operador
Proposição ou proposições que 
esse operador afeta. 
P ⟶ ¬Q
Dicionário:
P: Deus existe. 
Q: O mal existe. 
Se Deus existe, então o mal não existe. Operador principal: 
condicional 
¬(P ⟶ ¬Q)Não é verdadeiro que se Deus existe 
então o mal não existe. 
Operador principal: 
negação 
 O operador principal é o de maior âmbito. É aquele que se aplica a toda a fórmula 
proposicional. 
Formalização de proposições 
Colocar as proposições na sua expressão canónica. 
Isolar as proposições simples que as constituem e atribuir variáveis 
proposicionais a cada uma (dicionário). 
Simbolizar ou formalizar, com linguagem lógica, a proposição complexa.
Se a dor é um mal ou o desejo não é um bem, então 
Felismino não tem razão.
Expressão 
canónica
P: A dor é um mal. 
Q: O desejo é um bem. 
R: Felismino tem razão.
Dicionário
(P ∨ ¬Q) ⟶ ¬RFormalização
 Felismino não tem razão, se a dor é um mal ou o 
desejo não é um bem.
Exemplo
Tabelas de verdade: avaliação 
de formas proposicionais
4
Expressão canónica Dicionário
 P: Paulo escreve 
Q: Júlia é feliz.
Formalização
O método das tabelas de verdade
Não é verdadeiro que 
se Paulo escreve então 
Júlia é feliz.
¬(P ⟶ R)
 
P Q
 
¬(P ⟶ Q)1.º
Desenhar a 
tabela, 
colocando aí as 
letras 
proposicionais e 
a proposição 
complexa.
P Q
 
¬(P ⟶ Q)2.º
Colocar na 
tabela os 
valores de 
verdade das 
proposições 
simples, 
esgotando as 
possibilidades.
V V 
V F 
F V 
F F 
 
P Q
 V 
 F 
 V 
 V¬(P ⟶ Q)3.º
Calcular os 
valores de 
verdade das 
proposições, 
excetuando os 
do operador 
principal.
P Q
 F V 
 V F 
 F V 
 F V 
¬(P ⟶ Q)4.º
Calcular os 
valores de 
verdade do 
operador 
principal.
V V 
V F 
F V 
F F 
 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
P Q R 
 V V V 
 V V F 
 V F V 
 V F F 
 F V V 
 F V F 
 F F V 
 F F F 
 
¬[(P ∧ Q) ∨ (R ⟷ ¬P)] 
 F V V V F F 
 F V V F V F 
 V F F V F F 
 F F V F V F 
 F F V V V V 
 V F F F F V 
 F F V V V V 
 V F F F F V 
 
Devemos começar pelos 
operadores de menor âmbito e 
ir avançando para os de âmbito 
maior. Os valores de verdade 
do operador principal são, por 
isso, determinados em último 
lugar.
1.º
Podemos 
transcrever os 
valores de 
verdade de R 
para facilitar a 
visualização.
2.º 2.º3.º4.º Ordem do cálculo
Para duas 
variáveis, são 
necessárias 4 
linhas; para três, 
8; para quatro, 
16, etc. 
Proposição Dicionário
P: O sol brilha. 
Q: Pedro corre.
Formalização
Tautologias 
Se o sol brilha e Pedro 
corre, então Pedro 
corre ou o sol brilha.
(P ∧ Q) ⟶ (Q ∨ P) 
P Q
 V V V 
 F V V 
 F V V 
 F V F 
(P ∧ Q) ⟶ (Q ∨ P) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
As tautologias, ou verdades lógicas, designam as proposições complexas 
que são sempre verdadeiras (são verdadeiras em todas as possíveis 
combinações de valores de verdade).
Proposição Dicionário
P: Lídia sorri. 
Q: Fialho escreve.
Formalização
Contradições 
Lídia sorri e Fialho escreve 
se, e só se, Fialho não 
escreve ou Lídia não sorri.
(P ∧ Q) ⟷ (¬Q ∨ ¬P) 
P Q
 V F F F F 
 F F V V F 
 F F F V V 
 F F V V V
(P ∧ Q) ⟷ (¬Q ∨ ¬P) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
As contradições, ou falsidades lógicas, são as proposições complexas que 
são sempre falsas (são falsas em todas as circunstâncias possíveis).
Proposição Dicionário
P: Há nuvens. 
Q: Há chuva.
Formalização
Contingências 
Se há nuvens e chuva, 
então não há chuva e há 
nuvens.
(P ∧ Q) ⟶ (¬Q ∧ P)
P Q
 V F F F V 
 F V V V V 
 F V F F F 
 F V V F F
(P ∧ Q) ⟶ (¬Q ∧ P)
V V 
V F 
F V 
F F 
 
As contingências, ou proposições indeterminadas, são proposições 
complexas que tanto podem ser verdadeiras como falsas.
Inspetores de circunstâncias: 
avaliação de formas 
argumentativas
5
Sequências de tabelas de verdade usadas 
para a(s) premissa(s) e para a conclusão.
Inspetores de circunstâncias
Num inspetor de circunstâncias, um 
argumento válido é aquele em que cada 
linha que torne todas as premissas 
verdadeiras é uma linha em que a 
conclusão é verdadeira; não existe 
nenhuma linha que torne as premissas 
verdadeiras e a conclusão falsa. Se 
existir uma linha assim, o argumento é 
formalmente inválido.
P Q 
 
 V V 
 V F 
 F V 
 F F 
 
 P ⟶ ¬Q, Q ∴ ¬P
 
 V F F V F 
 V V V F F 
 F V F V V 
 F V V F V 
 
 
Argumento Dicionário
P: Há átomos. 
Q: Existe uma matéria 
subtil.
Formalização
Se há átomos, então não existe uma matéria subtil. 
Existe uma matéria subtil. 
Logo, não há átomos. 
P ⟶ ¬Q 
Q 
∴ ¬P
P ⟶ ¬Q 
Q 
 ¬P
P ⟶ ¬Q, Q ∴ ¬Pou ou
Premissa 1 Premissa 
2 Conclusão
Avaliação de formas argumentativas – Exemplo 1
⊨
A terceira linha exprime a 
única circunstância em que 
ambas as premissas são 
verdadeiras. Ora, dado que 
tal circunstância também 
torna a conclusão verdadeira, 
o argumento é considerado 
válido.
Argumento Dicionário
P: Platão é racionalista. 
Q: Kant é empirista. 
R: Kant é utilitarista.
Formalização
Platão é racionalista, ou Kant é empirista e utilitarista. 
Não é verdadeiro que Kant seja empirista e utilitarista. 
Logo, Platão é racionalista.
P ∨ (Q ∧ R) 
¬(Q ∧ R) 
∴ P 
Avaliação de formas argumentativas – Exemplo 2
P Q R 
 V V V 
 V V F 
 V F V 
 V F F 
 F V V 
 F V F 
 F F V 
 F F F 
 
 P ∨ (Q ∧ R), ¬(Q ∧ R) ∴ P 
 V V V F V V 
 V V F V F V 
 V V F V F V 
 V V F V F V 
 F V V F V F 
 F F F V F F 
 F F F V F F 
 F F F V F F 
 
Estamos perante um argumento 
válido, pois, nas circunstâncias em 
que as premissas são 
verdadeiras, a conclusão também 
o é.
Argumento Dicionário
P: Há segurança. 
Q: Há liberdade. 
R: O mundo é cruel.
Formalização
Se há segurança e não há liberdade, então o mundo é 
cruel. 
O mundo é cruel. 
Logo, há segurança e não há liberdade. 
(P ∧ ¬Q) ⟶ R 
R 
∴ P ∧ ¬Q
Avaliação de formas argumentativas – Exemplo 3
P Q R 
 V V V 
 V V F 
 V F V 
 V F F 
 F V V 
 F V F 
 F F V 
 F F F 
 
(P ∧ ¬Q) ⟶ R, R ∴ P ∧ ¬Q 
 V F F V V V V F F 
 V F F V F F V F F 
 V V V V V V V V V 
 V V V F F F V V V 
 F F F V V V F F F 
 F F F V F F F F F 
 F F V V V V F F V 
 F F V V F F F F V 
 
Há três circunstâncias (1.ª, 5.ª e 
7.ª) em que ambas as premissas 
são verdadeiras e a conclusão é 
falsa. Logo, o argumento é 
formalmente inválido.
Formalização 
(com variáveis proposicionais)
As letras iniciais do alfabeto – A, B, C, etc. – são usadas para 
as variáveis de fórmula. Estas especificam a forma lógica de 
qualquer tipo de proposição (seja simples ou complexa).
(P ∧ ¬Q) ⟶ ¬(R ∧ S) 
¬(R ∧ S) ⟶ (T ∨ U) 
∴ (P ∧ ¬Q) ⟶ (T ∨ U)
Variáveis de fórmula
Formalização 
(com variáveis de fórmula)
A ⟶ B 
B ⟶ C 
∴ A ⟶ C
Exemplo
Dicionário
P: Há destino. 
Q: Deus existe.
Formalização
Formas de inferência válida
Se há destino, então Deus existe. 
Há destino. 
Logo, Deus existe.
P ⟶ Q 
P 
∴ Q
Modus ponens
Exemplo
Formalização
Se há destino, então Deus existe. 
Deus não existe. 
Logo, não há destino.
Modus tollens
P ⟶ Q 
¬Q 
∴ ¬P
Exemplo
Dicionário
P: Há conhecimento. 
Q: Há verdade.
Formalização
Se há conhecimento, então há verdade. 
Logo, se não há verdade, então não há conhecimento.
Contraposição
P ⟶ Q 
∴ ¬Q ⟶ ¬P 
Se não há verdade, então não há conhecimento. 
Logo, se há conhecimento, então há verdade.
¬Q ⟶ ¬P 
∴ P ⟶ Q 
Exemplo
Dicionário
P: Pedro caminha. 
Q: Pedro fala da sua vida.
Formalização
Pedro caminha ou fala da sua vida. 
Pedro não caminha. 
Logo, fala da sua vida.
Silogismo disjuntivo
P ∨ Q 
¬P 
∴ Q 
Pedro caminha ou fala da sua vida. 
Pedro não fala da sua vida. 
Logo, caminha.
P ∨ Q 
¬Q 
∴ P 
Exemplo
Dicionário
P: Carlos corre. 
Q: Joana escreve. 
R: Filipe lê.
Formalização
Se Carlos corre, então Joana escreve. 
Se Joana escreve, então Filipe lê. 
Logo, se Carlos corre, então Filipe lê. 
.
Silogismo hipotético
P ⟶ Q 
Q ⟶ R 
∴ P ⟶ R 
Exemplo
Dicionário
P: Marte é uma estrela. 
Q: Marte é um cometa.
Formalização
Não é verdadeiro que Marte é uma estrela e um cometa. 
Logo, Marte não é uma estrela ou não é um cometa.
Lei de De Morgan: negação da conjunção
¬(P ∧ Q) 
∴ ¬P ∨ ¬Q
Marte não é uma estrela ou não é um cometa. 
Logo, não é verdadeiro que Marte é uma estrela e um cometa.
¬P ∨ ¬Q 
∴ ¬(P ∧ Q) 
Exemplo
Dicionário
P: Júlio é poeta. 
Q: Júlio é arquiteto.
Formalização
Não é verdadeiro que Júlio é poeta ou arquiteto. 
Logo, Júlio não é poeta e não é arquiteto.
Lei de De Morgan: negação da disjunção
¬(P ∨ Q) 
∴ ¬P ∧ ¬Q
Júlio não é poeta e não é arquiteto. 
Logo, não é verdadeiro que Júlio é poeta ou arquiteto.
¬P ∧ ¬Q 
∴ ¬(P ∨ Q) 
Exemplo
Dicionário
P: Joana é trabalhadora.
Formalização
Não é verdadeiro que Joana não é trabalhadora. 
Logo, Joana é trabalhadora.
Negaçãodupla
¬¬P 
∴ P 
Joana é trabalhadora. 
Logo, não é verdadeiro que Joana não é trabalhadora.
P 
∴ ¬¬P
Exemplo Formalização
Se António tem uma biblioteca e uma família estruturada, 
então António é feliz e não vive aflito. 
Não é verdadeiro que António é feliz e não vive aflito. 
Logo, não é verdadeiro que António tem uma biblioteca e 
uma família estruturada.
A configuração geral das formas de inferência válida pode ser 
apresentada com recurso às variáveis de fórmula
(P ∧ Q) ⟶ (R ∧ ¬S) 
¬(R ∧ ¬S) 
∴ ¬(P ∧ Q)
Dicionário
P: António tem uma biblioteca. 
Q: António tem uma família estruturada. 
R: António é feliz. 
S: António vive aflito.
A ⟶ B 
¬B 
∴ ¬A
Modus tollens
Modus tollens
A ⟶ B 
¬B 
∴ ¬A
Formas de inferência válida
Modus ponens
A ⟶ B 
A 
∴ B
A ∨ B 
¬B 
∴ A
Silogismo disjuntivo
A ∨ B 
¬A 
∴ B
Silogismo hipotético
A ⟶ B 
B ⟶ C 
∴ A ⟶ C 
¬B ⟶ ¬A 
∴ A ⟶ B 
Contraposição
A ⟶ B 
∴ ¬B ⟶ ¬A
A ⟶ B ≡ ¬B ⟶ ¬A
A 
∴ ¬¬A
Negação dupla
¬¬A 
∴ A 
¬¬A ≡ A
¬A ∨ ¬B 
∴ ¬(A ∧ B)
Leis de De Morgan
¬(A ∧ B) 
∴ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
¬A ∧ ¬B 
∴ ¬(A ∨ B)
¬(A ∨ B) 
∴ ¬A ∧ ¬B
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Exemplo
Dicionário
P: Há destino. 
Q: Deus existe.
Formalização
Principais falácias formais
Se há destino, então Deus existe. 
Deus existe. 
Logo, há destino.
P ⟶ Q 
Q 
∴ P
 Falácia da afirmação do 
consequente
Exemplo
Dicionário
P: Há destino. 
Q: Deus existe.
Formalização
Se há destino, então Deus existe. 
Não há destino. 
Logo, Deus não existe.
P ⟶ Q 
¬P 
∴ ¬Q
 Falácia da negação do 
antecedente