Parametrização de Curvas

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Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciên
ias Te
nológi
as - CCT
Departamento de Matemáti
a
1 Parametrização de 
urvas
Representação paramétri
a:


x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
sendo t o parâmetro
Equação vetorial: ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, a ≤ t ≤ b
x
y
z
x(t)
y(t)
z(t)
~r(
t)
Curvas planas são 
urvas 
ontidas em um plano
Curvas reversas são 
urvas que não estão 
ontidas em um plano
2 Parametrização de uma reta
b
A
P
~b
~a
~r(t)
a1
a2
a3
x
y
z
b
Ponto 
onhe
ido: A(a1, a2, a3)
Vetor posição: ~a = (a1, a2, a3)
Vetor diretor:
~b = (b1, b2, b3)
Ponto arbitrário: P (x, y, z)
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k
Equação vetorial: ~r(t) = ~a+ t~b
~r(t) = (a1 + tb1)~i+ (a2 + tb2)~j + (a3 + tb3)~k
Equações paramétri
as:


x(t) = a1 + t b1
y(t) = a2 + t b2
z(t) = a3 + t b3
2
3 Parametrização de uma 
ir
unferên
ia
3.1 Cir
unferên
ia de raio a 
entrada na origem
b
o
P
ax
y
x
y
t
~r(
t)
Vetor posição: ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j
Triângulo retângulo:


cos t = x
a
sen t = y
a
Equações paramétri
as:


x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
Equação vetorial: ~r(t) = a cos t~i+ a sen t~j 
om t ∈ [0, 2π]
3.2 Cir
unferên
ia de raio a não 
entrada na origem
b
b
t
x x0
y0
y
x
y
P
c
o
~r0
~r1(t)
~r
(t
)
~r0 = x0~i+ y0~j
~r1(t) = a cos t~i+ a sen t~j
Soma geométri
a de vetores:
~r(t) = ~r0 + ~r1(t)
Equação vetorial: ~r(t) = (x0 + a cos t)~i+ (y0 + a sen t)~j 
om t ∈ [0, 2π]
Equações paramétri
as:
{
x(t) = x0 + a cos t
y(t) = y0 + a sen t
3
4 Parametrização de uma elipse
4.1 Elipse 
entrada na origem
b
x
y
P
x
y
a
b
o
~r(t
) ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j
Representamos ar
os de 
ir
unferên
ia de raios a e b.
b
x
y
P
x
y
t
a
b
o
Triângulo maior: x = a cos t
Triângulo menor: y = b sen t
Equação vetorial: ~r(t) = a cos t~i+ b sen t~j 
om t ∈ [0, 2π]
Equações paramétri
as:
{
x(t) = a cos t
y(t) = b sen t
4.2 Elipse não 
entrada na origem
b
b
x x0
y0
y
x
y
P
c
o
~r0
~r1(t)
~r
(t
)
~r0 = x0~i+ y0~j
~r1(t) = a cos t~i+ b sen t~j
Soma geométri
a de vetores:
~r(t) = ~r0 + ~r1(t)
4
Equação vetorial: ~r(t) = (x0 + a cos t)~i+ (y0 + b sen t)~j 
om t ∈ [0, 2π]
Equações paramétri
as:
{
x(t) = x0 + a cos t
y(t) = y0 + b sen t
5 Parametrização de uma héli
e 
ir
ular
É uma 
urva reversa que se desenvolve sobre a superfí
ie 
ilíndri
a x2 + y2 = a2
b
y
z
x t
P
Q
x y
z
N
M
θ
A
B
C
~r(t)
a
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k −→


x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
z(t) = PQ = MN
tan θ = MN
AN
=⇒ MN = AN tan θ =
⌢
AQ tan θ = a t tan θ
Se tan θ = m =⇒ z(t) = am t
Equações paramétri
as:


x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
z(t) = amt
Equação vetorial: ~r(t) = a cos t~i+ a sen t~j + amt~k 
om t ∈ R
Temos a equação da héli
e 
ir
ular e se
m > 0, sua forma lembra um parafuso de ros
a à direita
m < 0, sua forma lembra um parafuso de ros
a à esquerda
5
6 Parametrização de uma 
i
lóide
P
a
2a
P
x
y
b C
X
Y
X
Y
O
~r(t)
Equação vetorial: ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j
Ci
lóide
P
x
y
b C
t
X
Y
T
A
O
Da �gura,
{
OT =
⌢
TP = at
CT = a
Do triângulo retângulo:
{
cos t = CA
a
=⇒ CA = a cos t
sen t = AP
a
=⇒ AP = a sen t{
x = OT −AP = at− a sen t = a(t− sen t)
y = AT = CT − CA = a− a cos t = a(1− cos t)
~r(t) = a(t− sen t)~i+ a(1− cos t)~j
6
7 Parametrização de uma hipo
i
lóide
b
b
b
b
P
P
P
P
X
Y
b
P
Hipo
i
lóide
x
y
b
x
y
T
O
b
C
P
t
b
a~r(t)
São 
onhe
idos o ângulo t e os raios a e b
Equação vetorial ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j
7
x
y
b
x
y
T
a
O
b
C
P
t
t
α
β
β
B
M
N
b
at = bα =⇒ α =
a
b
t
β = α− t =⇒ β =
a− b
b
t


cos t = OB
a−b
=⇒ OB = (a− b) cos t
sen t = BC
a−b
=⇒ BC = (a− b) sen t
cosβ = BM
b
=⇒ BM = b cosβ
senβ = NC
b
=⇒ NC = b senβ


x(t) = OM = OB +BM
x(t) = (a− b) cos t+ b cosβ
x(t) = (a− b) cos t+ b cos(a−b
b
t)


y(t) = PM = BN = BC −NC
y(t) = (a− b) sen t− b senβ
y(t) = (a− b) sen t− b sen(a−b
b
t)
7.1 CÚSPIDES
Os 
úspides o
orrem nos pontos onde o ponto de tangên
ia dos dois 
ír
ulos é o ponto P
O
orrem quando a 
ir
unferên
ia menor dá uma volta 
ompleta: α = 2π
at = bα
at = n · 2πb, n = 0, 1, 2, . . .
Número de 
úspides em uma volta 
ompleta do 
ír
ulo de raio a (t = 2π)
n =
a
b
Hipo
i
lóide (n inteiro)
7.2 Hipo
i
lóide de 4 
úspides: ASTRÓIDE
b
X
Y
b
b = a
4
x(t) = (a−
a
4
) cos t+
a
4
cos(
a− a
4
a
4
t)
x(t) =
a
4
(3 cos t+ cos 3t)
y(t) =
a
4
(3 sen t− sen 3t)
Usando as relações trigonométri
as:{
cos 3t = 4 cos3 t− 3 cos t −→ 3 cos t+ cos 3t = 4 cos3 t
sen 3t = 3 sen t− 4 sen3 t −→ 3 sen t− sen 3t = 4 sen3 t
8
Equações paramétri
as:
{
x(t) = a cos3 t
y(t) = a sen3 t
Equação vetorial: ~r(t) = a cos3 t~i+ a sen3 t~j 
om t ∈ [0, 2π]
7.2.1 Equação 
artesiana da astróide
x(t) = a cos3 t
y(t) = a sen3 t
x2/3(t) = a2/3(cos t)3·
2
3
y2/3(t) = a2/3(sen t)3·
2
3
x2/3(t) = a2/3 cos2 t
y2/3(t) = a2/3 sen2 t
Equação 
artesiana da astróide: x2/3 + y2/3 = a2/3
7.3 Outras hipo
i
lóides
Hipo
i
lóide (n ra
ional)
Hipo
i
lóide (n irra
ional)
Hipo
i
lóide (n irra
ional)
8 Parametrização de outras 
urvas
Por exemplo, o grá�
o de uma função 
ontínua y = f(x) representa uma 
urva no plano xy.
A interseção de duas superfí
ies representa uma 
urva no plano ou no espaço.
Veremos alguns exemplos agora.
	Parametrização de curvas
	Parametrização de uma reta
	Parametrização de uma circunferência
	Circunferência de raio a centrada na origem
	Circunferência de raio a não centrada na origem
	Parametrização de uma elipse
	Elipse centrada na origem
	Elipse não centrada na origem
	Parametrização de uma hélice circular
	Parametrização de uma ciclóide
	Parametrização de uma hipociclóide
	CÚSPIDES
	Hipociclóide de 4 cúspides: ASTRÓIDE
	Equação cartesiana da astróide
	Outras hipociclóides
	Parametrização de outras curvas