Dinâmica dos Corpos e Leis de Newton

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DINÂMICA DOS CORPOS
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof.ª Eimi Veridiane Suzuki
CONVERSA INICIAL
Nesta aula, entraremos na parte da Cinética. Como vimos em momento anterior, a cinética
estuda as forças que atuam no corpo e o movimento que elas ocasionam. Aqui, diferentemente da
estática, os corpos não vão estar em equilíbrio, ou seja, teremos uma força restante atuante na
partícula, e essa força resultante pode gerar movimento; é isso que estudaremos nesta aula.
TEMA 1 – SEGUNDA LEI DE NEWTON
Segundo Beer e Johnston Júnior (2005), as leis de Newton são as seguintes.
“Primeira lei: se a intensidade da foça resultante que atua sobre um ponto material é zero, este
permanecerá em repouso (se estava originalmente em repouso) ou permanecerá em velocidade
constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento).”
“Segunda lei: se a força resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma
aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido.”
“Terceira lei: as forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma intensidade,
mesma linha de ação e sentidos opostos.”
Sobre estática, em momento anterior foram vistos vários conceitos ligados principalmente à
primeira e à terceira leis de Newton. Como a Segunda Lei trata da aceleração, ela será mais vista em
dinâmica.
A Segunda Lei de Newton é mais conhecida pela equação:
Por meio dessa equação, busca-se dizer que, se um corpo ou uma partícula está sujeita a uma
força, essa força vai gerar uma aceleração; se mudarmos o valor da força, a aceleração vai mudar
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também de forma proporcional, de modo que:
Essa constante é a massa da partícula, representada pela letra m, cuja unidade no sistema
internacional (S.I.) é kg. Lembrando que aceleração tem como unidade m/s² e que a força é dada em
N (kg·m/s²).
Outro ponto importante a se salientar é que a força e a aceleração, sendo grandezas vetoriais,
apresentam módulo, direção e sentido. Já vimos que o módulo delas sempre será proporcional. Já a
direção e o sentido sempre serão os mesmos, portanto, se uma partícula está sobre uma ação de
uma força que tem direção e sentido, eixo y e sentido positivo, a aceleração também terá seu vetor
no eixo y apontado no sentido positivo.
1.1 PESO
Figura 1 – Massa
Crédito: Rvillalon/Shutterstock.
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O peso (W) é uma força que deve ser expressa em N. Quando dizemos que uma quantidade de
arroz tem 700 g, como na Figura 1, estamos dizendo que sua massa é de 700 g. Pela Segunda Lei de
Newton, para achar o peso do arroz devemos multiplicar a massa por uma aceleração, mas qual
aceleração? A da gravidade, a qual todos estamos sujeitos no planeta Terra. Portanto:
Ou seja, no caso de arroz, para acharmos o peso dele devemos multiplicar sua massa pela
gravidade. Desse modo, teríamos:  A quantidade de arroz apresentada na
Figura 1 tem massa 0,7 kg e peso de
6,867 N.
O peso, por sempre estar relacionado com a aceleração da gravidade, também é chamado de
força da gravidade. A aceleração da gravidade tem esse valor (em média 9,81 m/s²) no planeta Terra;
em outro planeta ou na Lua, a aceleração da gravidade terá outro valor.
1.1.1 Exemplo 1 (Beer et al., 2019)
Os astronautas que aterrissaram na Lua durante as missões Apollo 15, 16 e 17 trouxeram de
volta uma grande coleção de pedras para a Terra. Sabendo que as rochas pesavam 700 N quando
estavam na Lua, determine (a) o peso das rochas na Terra, (b) a massa das rochas em kg. A aceleração
da gravidade na Lua é 1,625 m/s².
Solução: a massa das pedras será a mesma na Terra e na Lua, o que muda é o peso. Então,
acharemos a massa das pedras. Como temos o peso delas na Lua e a aceleração da gravidade na Lua,
é só substituímos na fórmula.
Como a massa não muda:
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TEMA 2 – QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
Já vimos anteriormente que:
Substituindo na fórmula da Segunda Lei de Newton:
Como a massa do corpo é constante:
Na equação,  é chamado de Quantidade de Movimento, representado por L. Como a massa é
dada em kg e a velocidade em m/s, a unidade de quantidade de movimento é kg·m/s. A quantidade
de movimento é uma grandeza vetorial.
Podemos dizer então que:
2.1 EXEMPLO 1 (BEER ET AL., 2019)
Um satélite de 400 kg é posto em uma orbita circular a 1.500 km acima da superfície da Terra. A
aceleração da gravidade nessa elevação é 6,43 m/s². Determine a quantidade de movimento linear do
satélite, sabendo que sua velocidade orbital é de 25,6 · 10³ km/h.
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Solução: quantidade de movimento é a massa multiplicada pela velocidade. Temos esses dois
dados, mas a velocidade deve estar em m/s. Para fazer a transformação, dividimos a velocidade por
3,6:
Agora aplicamos a fórmula de quantidade de movimento:
TEMA 3 – EQUAÇÃO DE MOVIMENTO
A equação mostrada anteriormente, relacionada à Segunda Lei de Newton, é aplicada quando
temos apenas uma força atuando sobre o corpo. Mas e quando temos mais de uma força atuante
(Figura 2)? Nessa situação, deve-se achar a força resultante, somando-se os vetores. Então, a equação
pode ser colocada como:
Figura 2 – Segunda Lei de Newton
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Crédito: Designua/Shutterstock.
Portanto, se temos a situação mostrada na Figura 2, para se obter a direção e o sentido do vetor
m·a é preciso achar o vetor resultante entre F1 e F2.
Figura 3 – Vetor resultante entre F1 e F2
Crédito: Beer et al., 2019.
3.1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE E DIAGRAMA CINÉTICO
Em estática, foi muito usado o diagrama de corpo livre para o início da resolução de um
problema. Aqui apresentamos o diagrama cinético, como mostrado na Figura 4.
Figura 4 – Diagrama cinético
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Crédito: Beer et al., 2019.
O diagrama de corpo livre ainda será usado em dinâmica para representar as forças que atuam
sobre o corpo. Então, inicialmente devemos identificar o corpo, e, em seguida, definir um sistema de
coordenadas em que é o eixo x positivo e negativo e em que fica o eixo y positivo e negativo.
Um terceiro passo é identificar as forças que já atuam sobre o corpo, que aparecem no
problema. Logo, posteriormente, devemos identificar as forças que atuam sobre o corpo, mas não
estão identificadas, como as reações de apoio, o peso, a força de atrito. Por último, devemos colocar
as dimensões e ângulos que serão necessários para a resolução do problema.
Se o diagrama de corpo livre representa o somatório das forças (∑F) que atuam sobre o corpo, o
diagrama cinético representa o m·a, ou seja, é ele que deve ser representado nesse diagrama, de
forma que os dois diagramas se completem, pois ∑F = m·a. Caso não saibamos qual é a direção e
sentido do m·a, devemos colocá-lo de forma arbitrária.
Como o diagrama cinético envolve movimento, não podemos nos esquecer de que o movimento
sempre é relativo a um referencial, então devemos levar isso em conta quando formos desenhar um
diagrama cinético.
3.1.1 Exemplo 1 (Hibbeler, 2011)
O trem de 160 Mg parte do repouso e começa a subir o aclive, como mostrado a seguir (Figura
5). Se o motor exerce uma força de tração F de 1/8 do peso do trem, determine a velocidade do trem
quando ele tiver avançado uma distância de 1 km aclive acima. Despreze a resistência do rolamento.
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Figura 5 – Exemplo 1
Crédito: Hibbeler, 2011.
Solução: a primeira coisa a ser feita são os diagramas de corpo livre e o diagramacinético com
um sistema de coordenadas. No primeiro, temos a força de tração, o peso e anormal; no segundo
temos o m·a.
Figura 6 – Solução: força de tração
Crédito: Hibbeler, 2011.
Figura 7 – Solução: m·a
Crédito: Hibbeler, 2011.
Agora, vamos achar o valor de W e de F, que é .
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O ângulo do aclive é:
Aplicando a Segunda Lei de Newton:
Agora, voltando para o conteúdo visto anteriormente, sabemos que a velocidade inicial era zero.
Temos o deslocamento e a aceleração, como estamos procurando a velocidade, usamos a seguinte
equação:
3.1.2 Exemplo 2 (Beer et al., 2019)
Os coeficientes de atrito entre a carga e o reboque de piso plano mostrados na Figura 8 a seguir
são μe = 0,40 e μc = 0,30. Sabendo que velocidade escalar do equipamento é 72 km/h, determine a
menor distância na qual o equipamento pode ser parado se a carga não pode se movimentar.
Figura 8 – Exemplo 2
Crédito: Beer et al., 2019.
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Solução: vamos aplicar inicialmente o diagrama. Analisando a carga, como ela não pode se
mexer, podemos dizer que ela está na eminência do movimento. Portanto, a força que tenta
movimentar a carga tem que ser igual à força de atrito.
Figura 9 – Solução
Crédito: Beer et al., 2019.
O diagrama desenhado é da carga. Como ela está em equilíbrio com relação ao caminhão,
podemos usar as equações de equilíbrio.
Portanto:
Agora, para o conjunto, a desaceleração de tudo é igual a desaceleração da caixa.
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Então, usamos uma das equações da cinemática. Como é uma desaceleração, a aceleração é
negativa:
TEMA 4 – EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS
RETANGULARES
Podemos representar, caso necessário, a Segunda Lei de Newton da seguinte forma:
Ou ainda, podemos escrever:
Caso a partícula se mova somente em x e y, podemos utilizar apenas as duas primeiras
equações.
4.1 EXEMPLO 1 (BEER ET AL., 2019)
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Um bloco B de 6 kg parte do repouso e desliza sobre uma cunha A de
15 kg, que é suportada por uma superfície horizontal. Desprezando o atrito, determine (a) a
aceleração da cunha e (b) a aceleração do bloco em relação à cunha.
Figura 10 – Exemplo 1
Crédito: Beer et al., 2019.
Solução: para resolver esse exercício, devemos construir o diagrama de corpo livre e o diagrama
cinético para o bloco e a cunha, indicando um sistema de coordenadas para cada caso.
Para construir o diagrama de corpo livre da cunha, temos que observar as forças atuantes no
corpo. Temos o peso e a normal e também o peso do bloco B. Já para construir o diagrama cinético
da cunha, temos que arbitrar o sentido mais provável de m·a.
Figura 11 – Solução
Crédito: Beer et al., 2019.
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Para construir o diagrama de corpo livre do bloco, é necessário observar as forças atuantes no
corpo; temos somente o peso e a normal. Já para construir o diagrama cinético do bloco, temos que
levar em conta a sua aceleração, sendo mais provável que seja descendo pela cunha e a aceleração
da cunha. Como o bloco está sobre a cunha, essa aceleração se aplica sobre ele também (Figura 12).
Figura 12 – Diagrama de corpo livre do bloco
Crédito: Beer et al., 2019.
Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton na cunha, no sentido do movimento, ou seja, para o
eixo x.
Vamos então aplicar a Segunda Lei de Newton no bloco, que tem movimento em x e em y:
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(a) Como já temos uma equação, para N1 substituímos:
(b) Com esse resultado, podemos voltar à equação:
4.2 EXEMPLO 2 (BEER ET AL., 2019)
Os dois blocos mostrados na figura partem do repouso. Não há atrito no plano horizontal nem
na roldana e a roldana é considerada como tendo massa desprezível. Determine a aceleração de cada
bloco e a tração em cada corda.
Figura 13 – Exemplo 2
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Solução: temos três sistemas para observar: o do bloco A, bloco B e da roldana C. Vamos fazer
então os diagramas dos três sistemas (Figura 14).
Figura 14 – Diagramas dos três sistemas
Crédito: Beer et al., 2019.
No Sistema A, aplicando a Segunda Lei de Newton:
No Sistema B, aplicando a Segunda Lei de Newton:
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No Sistema C, como a roldana está parada, e não entrará em movimento:
Temos três incógnitas e três equações, então precisamos de mais uma equação. Observando os
cabos, podemos dizer que cada vez que o bloco A se move xA, o bloco B se moverá metade disso, ou
seja:
Se derivarmos duas vezes em relação a t, obtemos:
Agora temos quatro equações e quatro incógnitas:
Resolvendo o sistema:
Agora substituímos na primeira e na última equações:
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Por fim, usamos a terceira equação:
4.3 EXEMPLO 3 (HIBBELER, 2011)
O anel C de 1 kg ajusta-se livremente no eixo liso. Se a mola está livre quando x = 0 e ao anel é
dada uma velocidade de 4,5 m/s, determine a velocidade do anel quando x = 0,3 m.
Figura 15 – Exemplo 3
Crédito: Hibbeler, 2011.
Solução: inicialmente, vamos construir os diagramas de corpo livre e cinético.
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Figura 16 – Solução
Crédito: Hibbeler, 2011.
Agora precisamos da força da mola Fs.
O comprimento não deformado da mola é 0,3, e o deformado é tirado da figura com Pitágoras:
Outro dado importante é achar o ângulo θ já que FS está inclinado. Como não temos dados
suficientes para isso, vamos deixar indicado.
Voltando para a força na mola:
Como já vimos:
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Resolvendo as integrais, temos:
TEMA 5 – EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS NORMAIS E
TANGENCIAIS
Quando um corpo está em movimento em uma curva, a equação do movimento é escrita em
duas partes, com a componente normal e com a componente tangencial. Na Figura 17 a seguir,
temos uma curva y, em vermelho, uma reta tangente à curva, em azul, e uma reta normal à curva, em
verde.
Figura 17 – Curvas
Crédito: Zizou7/Shutterstock.
Aqui chamaremos a componente tangencial de Ft e a componente normal de Fn.
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Substituindo nas equações vistas anteriormente, temos:
5.1 EXEMPLO 1 (HIBBELER, 2011)
Um carro esporte, de massa 1.700 kg, move-se horizontalmente ao longo de uma pista com
inclinação de 20°, a qual é circular e tem um raio de curvatura de ρ = 100 m. Se o coeficiente de
atrito estático entre os pneus e a estrada é de μe=0,20, determine a velocidade constante máxima na
qual o carro pode se mover sem escorregar subindo a parte inclinada. Despreze a dimensão do carro.
Figura 18 – Exemplo 1
Crédito: Hibbeler, 2011.
Solução: o primeiro passo é fazer o diagrama de corpo livre.
Figura 19 – Solução
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Crédito: Hibbeler, 2011.
Como não temos movimento em y:
Agora podemos aplicar a Segunda Lei de Newton no sentido da normal.
5.2 EXEMPLO 2 (BEER ET AL., 2019)
Uma bola de demolição B de 60 kg está presa a um cabo de aço AB de 15 m de comprimento e
oscila no arco vertical mostrado na Figura 20 a seguir. Determine a tração no cabo (a) no ponto mais
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alto C da oscilação, (b) no ponto mais baixo D da oscilação, em que a velocidade escalar de B é de 4,2
m/s.
Figura 20 – Exemplo 2
Crédito: Beer et al., 2019.
Solução: A primeira coisa a ser feita são os diagramas de corpo livre e cinético para a bola no
ponto C. Serão consideradas as direções: normal e tangencial.
Figura 21– Solução
Crédito: Beer et al., 2019.
(a) Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para a direção normal:
No entanto, se o ponto C é o mais alto da oscilação, a velocidade escalar nesse ponto é zero.
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(b) Agora, vamos olhar para o ponto D e desenhar o diagrama de copo livre e o digrama
cinético.
Figura 22 – Diagrama de copo livre e o digrama cinético
Crédito: Beer et al., 2019.
Aplicando a Segunda Lei de Newton:
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5.3 EXEMPLO 3 (HIBBELER, 2011)
Uma caixa de 2,5 kg é arremessada a uma velocidade de 6 m/s em A sobre uma pista lisa circular
vertical. Determine o ângulo θ quando a caixa deixa a pista.
Figura 23 – Exemplo 3
Crédito: Hibbeler, 2011.
Solução: vamos iniciar o exercício fazendo o diagrama de corpo livre e o diagrama cinético para
a caixa, lembrando que, como o movimento é curvo, no diagrama cinético temos a aceleração normal
e a aceleração tangencial.
Figura 24 – Solução
Crédito: Hibbeler, 2011.
Se a caixa deixa a pista, isso significa que nesse instante o valor de N será zero.
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Como:
Então:
Com o resultado da aceleração tangencial, podemos usar integração para achar a velocidade:
Utilizando a relação geométrica:
Em que:
Temos:
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Igualando as duas equações de :
FINALIZANDO
Nesta aula, trabalhamos com a segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um
corpo é igual à sua massa multiplicada pela sua aceleração. Vimos também a diferença entre massa e
peso, que geralmente é confundida na no dia a dia da maioria da população.
Depois disso, passamos a conhecer a quantidade de movimento (L), que nada mais é do que a
massa do corpo multiplicada pela sua velocidade.
no Tema 3, vimos mais algumas características da Segunda Lei de Newton e como devemos
montar um diagrama cinético. Já no Tema 4, verificamos como trabalha-se com a Segunda Lei de
Newton nas coordenadas cartesianas.
Por último, aprendemos como se usa a Segunda Lei de Newton quando temos movimentos
curvos, ou seja, as componentes normais e as componentes tangenciais.
Em todos os temas, tivemos exemplos que nos mostraram que não precisamos apenas da
Segunda Lei de Newton para resolver um problema desse tema. Precisamos conhecer sobre força
atrito, molas, cinemática para resolver problemas de Segunda Lei de Newton.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JÚNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 5. ed. rev.
São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
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BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 11 ed. Porto Alegre: AMGH,
2019.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2011.