Tensões Principais na Mecânica

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Tensões Principais
1
Ler o Cap. 9.3 do livro do Hibbeler
Mecânica dos Materiais II
Referência: Hibbeler, R. C.
"Mecânica dos Materiais", 7ª edição,
2010, Pearson.
Tensões Principais
80
50
25
xx
yy
xy
MPa
MPa
MPa



= −
=
= −
2
σx'x' = -28.5 MPa
σy'y' = -4.15 MPa
τx'y' = -68.8 MPa
x
y
θ =30º
• Observando o exemplo da aula anterior, vimos que ao rotacionar o plano de estudo em 30º,
todas as componentes de tensão tiveram seus valores alterados, tanto as normais como as de
cisalhamento. A componente σy'y' por exemplo, passou de positiva (tração), para negativa
(compressão).
• Isso ocorre pois todas as componentes (σx'x', σy'y', τx'y') são funções senoidais (em função
senos e cossenos). Desta forma, se são funções suaves e com comportamento senoidal,
apresentarão em um dado ângulo, valores de máximo e mínimo.
Tensões Principais
( )' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
   
    
+ −
= + +
80
50
25
xx
yy
xy
MPa
MPa
MPa



= −
=
= −
3
Por exemplo: vamos pegar os dados do exemplo da aula anterior e substituir na fórmula da σx' e 
"plotar" o gráfico desta tensão normal em função de θ, variando de 0º a 360º. 
Tensões Principais
4
Podemos observar que a σx' começa em -80MPa (que é o valor para θ = 0º), pouco depois atinge
um valor mínimo (negativo) e a medida que vamos aumentando o θ, ele atinge um valor máximo
(positivo).
σ normal mínima
σ normal máxima
Essas tensões normais máximas e mínimas são chamadas de TENSÕES PRINCIPAIS. Muitos
critérios de falhas se baseiam nelas para determinar a tensão máxima que um componente pode
ser submetido, bem como a orientação (ângulo) em que a falha irá ocorrer.
( )'
2sin 2 2cos 2 0
2
x yx
xy
  
  

−
= − + =

( )' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
   
    
+ −
= + +
p( )tan 2
2
xy
p
x y


 
=
− 
 
 
Tensões Principais Representam a tensão normal máxima e a tensão
normal mínima em um determinado ponto
• ÂNGULO PRINCIPAL
ou 
• plano principal onde ocorrem as tensões 
máxima ou mínima
5
• Uma das formas de determinar "onde" (em qual
ângulo θ) ocorrerá estas tensões principais
(máxima ou mínima), é derivando a equação de
σx' em relação a θ e igualar a zero:
6
7
( )' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
   
    
+ −
= + +( )tan 2
2
xy
p
x y


 
=
− 
 
 
• Se substituirmos a equação de θP na equação de σx', pode-se determinar os valores das
tensões principais:
Tensões Principais
8
2
2
1
2 2
x y x y
xy
   
 
+ − 
= + + 
 
2
2
2
2 2
x y x y
xy
   
 
+ − 
= − + 
 
Tensão principal máxima
Tensão principal mínima
• Fazendo as devidas manipulações algébricas, chega-se nas expressões para a tensão
principal máxima no plano (σ1) e tensão principal mínima no plano (σ2):
2
x y
m
 

+
=onde:
Por convenção, SEMPRE σ1
será a tensão máxima e σ2 a 
mínima, ou seja:
1 2 
Tensão média
( )' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
 
    
− 
= − + 
 
Tensões Principais
9
80
50
25
xx
yy
xy
MPa
MPa
MPa



= −
=
= −
• Voltando ao exemplo anterior, agora usando a equação da tensão de cisalhamento τx'y' vamos
plotar o gráfico desta tensão em função de θ:
• Teremos o gráfico ao lado (linha
vermelha). Observe que, "plotando" junto
com o gráfico das tensões normais (linha
azul), os valores máximos e mínimos são
diferentes, bem como os ângulos em que
eles se encontram.
Tensões Principais
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➢ Pode-se observar nos gráficos que, SEMPRE que estamos em um ângulo de tensão normal
principal (seja máxima ou mínima), a tensão de cisalhamento é nula (zero)!!!
➢ Já o oposto nem sempre ocorre (ou seja, quando estamos em um ângulo de tensão de
cisalhamento máximo, a tensão normal raramente é nula)
( )' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
 
    
− 
= − + 
 
( )' '
0
x y 


=

( )
2
tan 2
x y
s
xy
 


− 
 
 = − s Ângulo de cisalhamento máximo
11
• Da mesma forma que foi feito para determinar o ângulo principal θP e as tensões principais,
para determinar a tensão máxima de cisalhamento no plano, basta derivar a equação de τx'y':
Tensões Principais
• Chegando à expressão:
12
13
2
2
max
2
x y
xy
 
 
− 
= + 
 
• Substituindo o θS na expressão de τx'y', pode-se chegar na expressão para a Tensão de
Cisalhamento Máxima no plano como:
Tensão de Cisalhamento Máxima no plano
RESUMO
14
• Principais fórmulas
2
2
1
2 2
x y x y
xy
   
 
+ − 
= + + 
 
2
2
2
2 2
x y x y
xy
   
 
+ − 
= − + 
 
2
x y
m
 

+
=
( )tan 2
2
xy
p
x y


 
=
− 
 
 
( )
2
tan 2
x y
s
xy
 


− 
 
 = −
2
2
max
2
x y
xy
 
 
− 
= + 
 
𝜎1 = 𝜎𝑚 + 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜎2 = 𝜎𝑚 − 𝜏𝑚𝑎𝑥
onde
Exemplo 2:
15
Vamos voltar ao mesmo exemplo da aula anterior, porém desta vez vamos determinar:
a) Tensões principais
b) Ângulo principal
c) Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
d) Ângulo de Cisalhamento Máximo 
x
y
Solução:
Assim como no exemplo anterior, primeiro vamos determinar as componentes da tensão no plano,
baseado no sistema de coordenada proposto(*):
* No livro, na maioria das vezes, é você que define o sistema de coordenadas. Dependendo, pode haver inversão de sinal em relação ao
solution. Mas isso não significa que o exercício está errado.
80
50
25
xx
yy
xy
MPa
MPa
MPa



= −
=
= −
Exemplo 2:
16
x
yAgora é aplicação de fórmula direto.
(a) Usando as fórmulas de tensões principais:
2
2
1
2 2
x y x y
xy
   
 
+ − 
= + + 
 
2
2
2
2 2
x y x y
xy
   
 
+ − 
= − + 
 
σ1 = 54,6MPa
σ2 = -84,,6MPa
(b) Usando a fórmula para o ângulo principal:
( )tan 2
2
xy
p
x y


 
=
− 
 
 
θP = 10,5º
O que esses resultados significam?
Exemplo 2:
17
x
y• Significa que tivemos que girar o elemento infinitesimal (ou
seja, o sistema de coordenadas) em 10,5º no sentido anti-
horário para chegar às tensões normais máximas e mínimas
naquele ponto:
θP = 10,5º
σ1 = 54,6MPa
σ2 = -84,,6MPa
• Pode-se observar que neste ângulo principal, as tensões de cisalhamento serão SEMPRE
nulas (zero).
• Observa-se também que, a σxx tornou-se a tensão mínima (σ2) e a σyy, a tensão máxima
(σ1)
Como ter certeza disso ("quem virou quem")?
Exemplo 2:
18
x
y• Basta substituir o θP nas equações de transformação σx'x' e
σy'y' :
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
   
   
+ −
= + +
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
y xy
   
   
+ −
= − −
θP = 10,5º
= -84,6MPa
= 54,6MPa
• Para comprovarmos que as tensões de cisalhamento se anulam no estado de tensões
principais, podemos substituir o θP na equação de τx'y' :
' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
 
   
− 
= − + 
 
θP = 10,5º = 0 MPa
σ2
σ1
Exemplo 2:
19
x
y
Continuando com as letras (c) e (d), basta usar as fórmulas.
( )
2
tan 2
x y
s
xy
 


− 
 
 = −
2
2
max
2
x y
xy
 
 
− 
= + 
 
τmax = 69,6MPa (*)
θS = -34,5º
(c)
(d)
• Esse resultado mostra tivemos que girar o elemento infinitesimal em 34,5º no sentido horário
(lembrando que horário é negativo!) para chegar na tensão de cisalhamento máxima no
plano.
Exemplo 2:
20
x
y
θS = -34,5º
• Observa-se, que se usarmos o θS nas equações de
transformações, chegaremos na tensão de cisalhamento
máxima no plano, e que, neste caso as tensões normais não
são nulas.
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
   
   
+ −
= + +
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
y xy
   
   
+ −
= − −
= 69,6MPa
= -15 MPa
' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
 
   
− 
= − + 
 
= -15 MPa
• Nota-se que sempre que atingimos a tensão de cisalhamento máxima no plano, as
componentes normais σxx e σyy são iguais!
τmax
*Exercícios "sugeridos" Cap 9 - Hibbeler 7ª ed
9.13, 9.14, 9.16, 9.19, 9.24, 9.26, 9.27, 9.29, 9.31, 9.34, 9.39, 9.41, 9.42, 9.43
21
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