matemática semana 6

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Pergunta 1
 Um agricultor está planejando a plantação de duas espécies diferentes de árvores em sua fazenda. Ele sabe que o produto da área ocupada por uma árvore da primeira espécie pela área ocupada por uma árvore da segunda espécie é igual a 36 metros quadrados. Além disso, o agricultor também sabe que a área ocupada por uma árvore da primeira espécie é 5 metros quadrados maior que a área ocupada por uma árvore da segunda espécie. Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta a área ocupada por cada espécie de árvore. a. 14 m squared e 8 m squared. b. 18 m squared e 12 m squared. c. 2 m squared e 1 m squared. d. 9 m squared e 4 m squared. e. 6 m squared e 1 m squared. 
Pergunta 2
 Durante o desenvolvimento de um novo material resistente à compressão, um engenheiro de materiais se depara com duas equações que modelam o comportamento estrutural desse material. Essas equações precisam ser resolvidas para determinar os pontos críticos de tensão. Embora à primeira vista pareçam equações mais complexas, ele percebe que ambas podem ser reduzidas a equações de segundo grau por meio de substituições adequadas. As equações são: x to the power of 4 minus 8 x squared plus 16 equals 0 x to the power of 4 minus 10 x squared plus 9 equals 0 O engenheiro deve analisar essas equações para encontrar as soluções reais que indicam os pontos de falha do material. Com base na situação apresentada, avalie as afirmativas a seguir: I. A equação 1 pode ser reduzida a y squared minus 8 y plus 16 equals 0, onde y equals x squared. II. A equação 2 pode ser reduzida a y squared minus 5 y squared plus 9 equals 0, onde y equals x squared. III. A equação 1 possui apenas as raízes reais x equals 2 e x equals negative 2. IV. A equação 2 possui apenas as raízes reais x equals 1 e x equals 3​. Está correto o que afirma em: a. I e III, apenas. b. I, apenas. c. I e IV, apenas. d. I, III e IV, apenas. e. I, II e IV, apenas.
 Pergunta 3
 A compreensão das raízes de uma equação de segundo grau envolve a análise do discriminante, que permite determinar se as raízes são reais e distintas, reais e iguais, ou imaginárias. Os erros na interpretação do discriminante podem levar a conclusões incorretas sobre a natureza das raízes e o comportamento da função quadrática. Abaixo estão algumas equações de segundo grau para serem associadas às suas respectivas características de raiz. Com base nos conceitos de equações de segundo grau, identifique e associe corretamente cada equação com a descrição correspondente das suas raízes. Considere que nem todos os itens das colunas podem possuir associação ou podem possuir mais de uma correlação. Equações Descrição I. x squared minus 4 x plus 4 equals 0 A. Possui duas raízes reais e distintas. II. x squared minus 2 x plus 5 equals 0 B. Possui duas raízes reais e iguais. III. x squared minus 5 x plus 6 equals 0 C. Possui duas raízes imaginárias. IV. x squared plus 6 x plus 9 equals 0 D. Possui uma raiz real e outra imaginária. Assinale a alternativa que contém a associação correta. a. I-C; II-A; III-B; IV-A b. I-B; II-C; III-A; IV-B c. I-B; II-C; III-A; IV-C d. I-A; II-B; III-C; IV-B e. I-A; II-D; III-B; IV-C
 Pergunta 4
 Um arquiteto está projetando a fachada de um edifício e precisa calcular o valor de x, que representa a medida de uma janela em metros. O cálculo envolve a solução de uma equação que surge ao considerar as proporções estéticas do edifício. A equação que ele utiliza é 2 left parenthesis x plus 3 right parenthesis minus 4 left parenthesis x plus 2 right parenthesis equals x plus 10 minus 5 x. O arquiteto precisa garantir que a solução dessa equação seja precisa para que as medidas da janela fiquem dentro dos padrões exigidos. Com base na situação apresentada, analise as afirmativas a seguir: I. A equação possui uma única solução real. II. A solução da equação é x=6. III. A equação não possui raiz real. IV. A equação dada não tem grau definido. Está correto o que afirma em: a. IV, apenas. b. I e III, apenas. c. I e II, apenas. d. I, apenas. e. I, e IV, apenas.
 Pergunta 5
 Durante o planejamento de um projeto de engenharia, uma equipe de especialistas se deparou com uma equação de segundo grau que modela o comportamento estrutural de um componente crítico. A equação fornecida para análise é x squared minus 7 x plus 12 equals 0. Para garantir que o componente funcione de forma segura e eficiente, é essencial que os engenheiros compreendam as raízes dessa equação. Embora possam usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes, os engenheiros também sabem que podem calcular diretamente a soma e o produto das raízes usando as relações estabelecidas entre os coeficientes da equação. Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta a soma e o produto das raízes dessa equação. a. Soma = -7; Produto = -12 b. Soma = 7; Produto = 12 c. Soma = -7; Produto = 12 d. Soma = 7; Produto = -12 e. Soma = 12; Produto = 7
 Pergunta 6 
Um engenheiro está projetando uma pista de corrida e precisa calcular as dimensões de uma curva específica da pista. Para isso, ele utiliza a equação x squared minus 4 x minus 5 equals 0 para determinar os pontos em que a pista precisa ser ajustada, sendo possível utilizar a fórmula de Bhaskara ou outro método para encontrar as raízes da equação e, assim, determinar esses pontos. Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta as raízes da equação. a. -5 e 4 b. 2 e -2 c. -5 e 1 d. 5 e 1 e. 5 e -1 
Pergunta 7 
Em uma empresa de logística, o gestor de operações está analisando a rota de entrega de dois veículos que transportam mercadorias para diferentes regiões da cidade. O primeiro veículo, ao seguir sua rota, deve atender a um único cliente específico em um determinado ponto de entrega, enquanto o segundo veículo percorre uma rota que permite a entrega de mercadorias a vários clientes em diferentes localidades. Para otimizar as rotas e garantir a eficiência nas entregas, o gestor precisa entender a natureza das equações que modelam os trajetos de cada veículo. Ele se depara com duas equações de primeiro grau que representam os caminhos seguidos pelos veículos, conforme descrito a seguir: x minus 2 left parenthesis x plus 1 right parenthesis equals negative 3 5 x minus 2 y equals 105 Com base nas equações apresentadas, assinale a alternativa correta que recorda a natureza das soluções dessas equações. a. Ambas são equações possíveis e indeterminadas, pois ambas admitem infinitas soluções. b. Ambas são equações possíveis e determinadas, pois cada uma admite exatamente uma solução. c. A primeira equação é possível e determinada, enquanto a segunda é possível e indeterminada. d. A primeira equação é possível e indeterminada, enquanto a segunda é possível e determinada. e. Ambas as equações apresentadas são consideradas impossíveis, pois não possuem soluções válidas. 
O ChatGPT disse:
ChatGPT
Resolução e respostas:
Pergunta 1
Temos duas áreas xxx e yyy (em m2m^2m2) relacionadas por:
x⋅y=36ex=y+5x \cdot y = 36 \quad \text{e} \quad x = y + 5x⋅y=36ex=y+5
Substituindo x=y+5x = y + 5x=y+5 na primeira equação:
(y+5)⋅y=36⇒y2+5y−36=0(y + 5) \cdot y = 36 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 5y - 36 = 0(y+5)⋅y=36⇒y2+5y−36=0
Resolvendo por Bhaskara:
Δ=52−4(1)(−36)=25+144=169⇒y=−5±1692=−5±132\Delta = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2}Δ=52−4(1)(−36)=25+144=169⇒y=2−5±169​​=2−5±13​
As soluções são:
y=4ouy=−9 (descartada por ser negativa)y = 4 \quad \text{ou} \quad y = -9 \, (\text{descartada por ser negativa})y=4ouy=−9(descartada por ser negativa)
Logo:
y=4ex=y+5=9y = 4 \quad \text{e} \quad x = y + 5 = 9y=4ex=y+5=9
Resposta: d. 9 m2m^2m2 e 4 m2m^2m2.
Pergunta 2
Equação 1: x4−8x2+16=0x^4 - 8x^2 + 16 = 0x4−8x2+16=0
Substituindo y=x2y = x^2y=x2:
y2−8y+16=0⇒(y−4)2=0⇒y=4y^2 - 8y + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 4y2−8y+16=0⇒(y−4)2=0⇒y=4
Logo:
x2=4⇒x=±2x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2x2=4⇒x=±2Equação 2: x4−10x2+9=0x^4 - 10x^2 + 9 = 0x4−10x2+9=0
Substituindo y=x2y = x^2y=x2:
y2−10y+9=0y^2 - 10y + 9 = 0y2−10y+9=0
Pelo método de Bhaskara:
Δ=102−4(1)(9)=100−36=64⇒y=10±642=10±82\Delta = 10^2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}Δ=102−4(1)(9)=100−36=64⇒y=210±64​​=210±8​
Soluções:
y=9ouy=1y = 9 \quad \text{ou} \quad y = 1y=9ouy=1
Logo:
x2=9⇒x=±3ex2=1⇒x=±1x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \quad \text{e} \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1x2=9⇒x=±3ex2=1⇒x=±1
Análise das afirmativas:
· I: Verdadeira. Equação 1 é reduzida corretamente.
· II: Falsa. A redução correta seria y2−10y+9=0y^2 - 10y + 9 = 0y2−10y+9=0.
· III: Verdadeira. Raízes reais da equação 1 são x=±2x = \pm 2x=±2.
· IV: Verdadeira. Raízes reais da equação 2 são x=±1x = \pm 1x=±1 e x=±3x = \pm 3x=±3.
Resposta: d. I, III e IV, apenas.
Pergunta 3
Calculamos o discriminante (Δ\DeltaΔ) de cada equação:
1. x2−4x+4=0Δ=42−4(1)(4)=16−16=0x^2 - 4x + 4 = 0 \quad \Delta = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0x2−4x+4=0Δ=42−4(1)(4)=16−16=0
Raízes reais e iguais. I→BI \to BI→B.
2. x2−2x+5=0Δ=(−2)2−4(1)(5)=4−20=−16x^2 - 2x + 5 = 0 \quad \Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16x2−2x+5=0Δ=(−2)2−4(1)(5)=4−20=−16
Raízes imaginárias. II→CII \to CII→C.
3. x2−5x+6=0Δ=(−5)2−4(1)(6)=25−24=1x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1x2−5x+6=0Δ=(−5)2−4(1)(6)=25−24=1
Raízes reais e distintas. III→AIII \to AIII→A.
4. x2+6x+9=0Δ=62−4(1)(9)=36−36=0x^2 + 6x + 9 = 0 \quad \Delta = 6^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0x2+6x+9=0Δ=62−4(1)(9)=36−36=0
Raízes reais e iguais. IV→BIV \to BIV→B.
Resposta: b. I-B; II-C; III-A; IV-B.
Pergunta 4
Resolvemos a equação:
2(x+3)−4(x+2)=x+10−5x2(x + 3) - 4(x + 2) = x + 10 - 5x2(x+3)−4(x+2)=x+10−5x
Expansão:
2x+6−4x−8=x+10−5x⇒−2x−2=−4x+102x + 6 - 4x - 8 = x + 10 - 5x \quad \Rightarrow \quad -2x - 2 = -4x + 102x+6−4x−8=x+10−5x⇒−2x−2=−4x+10
Simplificando:
2x=12⇒x=62x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 62x=12⇒x=6
Análise das afirmativas:
· I: Verdadeira. A equação possui solução única.
· II: Verdadeira. A solução encontrada é x=6x = 6x=6.
· III: Falsa. A equação tem solução real.
· IV: Falsa. A equação é de primeiro grau, com grau bem definido.
Resposta: c. I e II, apenas.
Pergunta 5
Equação: x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0x2−7x+12=0
Usamos as relações de soma e produto:
Soma das raıˊzes=−ba=−−71=7,Produto das raıˊzes=ca=121=12\text{Soma das raízes} = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7, \quad \text{Produto das raízes} = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12Soma das raıˊzes=−ab​=−1−7​=7,Produto das raıˊzes=ac​=112​=12
Resposta: b. Soma = 7; Produto = 12.
Pergunta 6
Equação: x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0x2−4x−5=0
Pelo método de Bhaskara:
Δ=(−4)2−4(1)(−5)=16+20=36⇒x=−(−4)±362=4±62\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}Δ=(−4)2−4(1)(−5)=16+20=36⇒x=2−(−4)±36​​=24±6​
Soluções:
x=4+62=5,x=4−62=−1x = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x = \frac{4 - 6}{2} = -1x=24+6​=5,x=24−6​=−1
Resposta: e. 5 e -1.
Pergunta 7
1. x−2(x+1)=−3⇒x−2x−2=−3⇒−x=−1⇒x=1x - 2(x + 1) = -3 \quad \Rightarrow \quad x - 2x - 2 = -3 \quad \Rightarrow \quad -x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 1x−2(x+1)=−3⇒x−2x−2=−3⇒−x=−1⇒x=1.
Equação possível e determinada.
2. 5x−2y=1055x - 2y = 1055x−2y=105: É uma equação linear com duas variáveis, que admite infinitas soluções (possível e indeterminada).
Resposta: c. A primeira equação é possível e determinada, enquanto a segunda é possível e indeterminada.
· Pergunta 1
1,45 em 1,45 pontos
	
	
	
	Um agricultor está planejando a plantação de duas espécies diferentes de árvores em sua fazenda. Ele sabe que o produto da área ocupada por uma árvore da primeira espécie pela área ocupada por uma árvore da segunda espécie é igual a 36 metros quadrados. Além disso, o agricultor também sabe que a área ocupada por uma árvore da primeira espécie é 5 metros quadrados maior que a área ocupada por uma árvore da segunda espécie.
Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta a área ocupada por cada espécie de árvore.
	
	
	
	
		
	
	
	
· Pergunta 2
1,45 em 1,45 pontos
	
	
	
	Durante o desenvolvimento de um novo material resistente à compressão, um engenheiro de materiais se depara com duas equações que modelam o comportamento estrutural desse material. Essas equações precisam ser resolvidas para determinar os pontos críticos de tensão. Embora à primeira vista pareçam equações mais complexas, ele percebe que ambas podem ser reduzidas a equações de segundo grau por meio de substituições adequadas. As equações são:
1. 
2. 
O engenheiro deve analisar essas equações para encontrar as soluções reais que indicam os pontos de falha do material.
Com base na situação apresentada, avalie as afirmativas a seguir:
I. A equação 1 pode ser reduzida a , onde .
II. A equação 2 pode ser reduzida a , onde .
III. A equação 1 possui apenas as raízes reais  e .
IV. A equação 2 possui apenas as raízes reais  e ​.
Está correto o que afirma em:
	
	
	
	
		
	
	
	
· Pergunta 3
1,42 em 1,42 pontos
	
	
	
	Durante o planejamento de um projeto de engenharia, uma equipe de especialistas se deparou com uma equação de segundo grau que modela o comportamento estrutural de um componente crítico. A equação fornecida para análise é . Para garantir que o componente funcione de forma segura e eficiente, é essencial que os engenheiros compreendam as raízes dessa equação. Embora possam usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes, os engenheiros também sabem que podem calcular diretamente a soma e o produto das raízes usando as relações estabelecidas entre os coeficientes da equação.
Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta a soma e o produto das raízes dessa equação.
	
	
	
	
		
	
	
	
· Pergunta 4
1,42 em 1,42 pontos
	
	
	
	Um comerciante de frutas está planejando suas vendas para o próximo mês e precisa determinar o preço ideal de venda de um lote de laranjas para atingir um lucro específico. Ele sabe que o custo de aquisição de cada laranja é de R$0,50 e que ele planeja vender cada laranja por R$0,80. O comerciante estima que, após vender 200 laranjas, ele terá obtido um lucro de R$60,00. Entretanto, ele precisa ajustar o preço de venda para atingir um lucro de R$100,00, mantendo o mesmo número de laranjas vendidas.
Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta o novo preço de venda de cada laranja para que o comerciante atinja o lucro desejado.
	
	
	
	
		
	
	
	
· Pergunta 5
1,42 em 1,42 pontos
	
	
	
	Um estudante de matemática está analisando diferentes equações de segundo grau para entender a natureza de suas raízes. Ele sabe que o discriminante  é fundamental para determinar se as raízes de uma equação são reais e distintas, reais e iguais, ou imaginárias. A partir disso, ele examina uma equação , onde a, b e c são coeficientes reais, com .
Com base na situação apresentada, observe as afirmativas a seguir:
I. Se o discriminante , a equação de segundo grau possui duas raízes reais e distintas.
II. Se o discriminante , a equação de segundo grau possui duas raízes reais e iguais.
III. Se o discriminante , a equação possui duas raízes reais, uma positiva e uma negativa.
IV. Se o discriminante , a equação de segundo grau possui duas raízes imaginárias.
Está correto o que afirma em:
	
	
	
	
		
	
	
	
· Pergunta 6
1,42 em 1,42 pontos
	
	
	
	Leia o trecho a seguir:
Uma equação é dita de primeiro grau quando envolve uma incógnita elevada ao expoente 1. A forma geral de uma equação de primeiro grau na variável x pode ser expressa por , em que  e  são números reais, com   . O termo  que multiplica a incógnita é chamado de [preencher 1], enquanto o termo  que não multiplica a incógnita é conhecido como [preencher 2]. Uma solução da equação é um número que, ao ser colocado no lugar de , transforma a equação em uma sentença verdadeira e também é conhecida como [preencher 3] da equação.
Os termos [preencher1], [preencher 2] e [preencher 3] são corretamente substituídos por:
	
	
	
	
		
	
	
	
· Pergunta 7
1,42 em 1,42 pontos
	
	
	
	Um engenheiro está projetando uma pista de corrida e precisa calcular as dimensões de uma curva específica da pista. Para isso, ele utiliza a equação  para determinar os pontos em que a pista precisa ser ajustada, sendo possível utilizar a fórmula de Bhaskara ou outro método para encontrar as raízes da equação e, assim, determinar esses pontos.
Com base na equação apresentada, assinale a alternativa correta que apresenta as raízes da equação.