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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Engenharia de Biossistemas
Curso de Circuitos Elétricos I
Capacitores e Indutores
Objetivos: Entender a construção básica de capacitores e indutores e com os fatores que afetam a sua capacidade de armazenar carga nas placas de um capacitor e com os fatores que afetam a intensidade do campo elétrico estabelecido pelo indutor. Ser capaz de determinar a resposta transitória (que varia no tempo) de um circuitos capacitivos e indutivos. Compreender o impacto da combinação em série e em paralelo
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Introdução
Até então – Circuitos resistivos
Iniciaremos os estudos de dois novos e importantes elementos de circuitos:
Capacitores
Indutores
 Características
Elementos de circuitos lineares passivos
Não dissipam, mas armazenam energia
Por essa razão, são chamados elementos de armazenamento
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Considere a figura abaixo:
Em todos os sentidos da definição, há um circuito aberto entre as placas do capacitor.
Capacitores
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Capacitância
É uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas placas, ou seja, é sua capacidade de armazenamento
Quanto mais alta a capacitância de um capacitor, maior a quantidade de carga armazenada nas placas para a mesma tensão aplicada
Em particular:
Se uma carga de 1 C (6,242 × 1018 elétrons) for depositada nas placas de um capacitor por uma ddp de 1 volt entre elas, sua capacitância será de 1 farad
Em aplicações práticas, é mais comum o microfarad (μF - 10–6), o nanofarad (nF – 10-9) ou o picofarad (pF - 10–12)
A relação que envolve tensão, carga e capacitância é dada por:
Capacitores
 (2)
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Exemplo:
Se elétrons são depositados sobre a placa negativa de um capacitor por uma tensão aplicada de 60 V, calcule:
A capacitância do capacitor e;
Se 40 V são aplicados através de um capacitor de , calcule a carga nas placas.
Capacitores
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Símbolos gráficos de circuito
Os capacitores que satisfazem a equação (1) são chamados de capacitores lineares
Para os capacitores descritos até então, a carga total dentro do dispositivo é zero
As cargas que deixam um terminal, entram no outro terminal, o que atende à exigência de que a corrente que entra em um terminal, precisa sair pelo outro (bipolos)
Capacitores
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O capacitor exibe suas características somente quando ocorre uma mudança na tensão ou na corrente do circuito.
A corrente é proporcional à taxa de variação temporal da tensão no capacitor. Matematicamente, temos:
Que é a relação tensão-corrente em um capacitor
Capacitores
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Duas importantes observações em relação à Eq. (3):
A tensão não pode variar instantaneamente nos terminais de um capacitor. Isso produziria uma corrente infinita, o que é fisicamente impossível.
Se a tensão nos terminais for constante, a corrente no capacitor é igual a zero. A razão é que uma corrente de condução não pode ser estabelecida no material dielétrico do capacitor.
Somente uma tensão que varie com o tempo pode produzir uma corrente de deslocamento
Assim, o capacitor comporta-se como uma malha aberta na presença de uma tensão constante.
Capacitores
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Para encontrar em função de , integramos ambos os lados da eq. (3) entre os intervalos t0 e t, obtendo-se:
Na equação, o que a integral representa? E quem é v(t0)?
Em que é a tensão no capacitor C no tempo t0.
Já a tensão v(-), é considerada zero. Assim, uma forma alternativa da eq. (4) é:
Capacitores
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A tensão através dos terminais de um capacitor é acompanhada pela separação das cargas elétricas entre suas placas
Estas cargas têm forças elétricas atuando sobre elas
Energia Armazenada em Capacitores
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Um campo elétrico, é definido como a força atuando sobre uma unidade de carga positiva
Então, as forças que atuam nas cargas dentro do capacitor podem ser consideradas como resultantes de um campo elétrico
Por esta razão, a energia armazenada ou acumulada em um capacitor é dita armazenada em um campo elétrico
A energia armazenada em um capacitor, é dada por
Energia Armazenada em Capacitores
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Vimos dos circuitos resistivos, que a associação série-paralelo é uma ferramenta útil para redução de circuitos
A técnica pode ser estendida para ligações série-paralelo de capacitores que são encontradas algumas vezes
Para o circuito da figura abaixo, qual a capacitância equivalente?
Aplicando a LKC, temos: 
A capacitância equivalente de N capacitores ligados em paralelo é a soma de suas capacitâncias individuais.
Capacitores em série e em paralelo
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Observamos que os capacitores em paralelo se associam da mesma forma que os resistores em série
Obtenhamos agora a Ceq de N capacitores ligados em série
Perceba que a mesma corrente i passa (e, consequentemente, a mesma carga) pelos capacitores. Aplicando a LKT ao laço da Figura à esquerda, temos:
Mas 
Capacitores em série e em paralelo
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Exercícios
Calcule a carga armazenada em um capacitor de 3 pF com 20 V entre seus terminais. Determine a energia armazenada no capacitor.
Qual é a tensão entre os terminais de um capacitor de 4,5 mF se a carga em uma placa for 0,12 mC? Quanta energia é armazenada?
A tensão entre os terminais de um capacitor de 5 mF é V. Calcule a corrente que passa por este capacitor.
Se um capacitor de 10 mF for conectado a uma fonte de tensão com V, determine a corrente através do capacitor.
Determine a tensão através de um capacitor de 2 mF se a corrente através dele for mA. Suponha que a tensão inicial no capacitor seja igual a zero.
Capacitores em série e em paralelo
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Exemplos de capacitores reais de valor fixo.
Capacitores
Capacitor eletrolítico
Capacitor de poliéster
Capacitor de tântalo
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Elemento passivo projetado para armazenar energia através de seu campo magnético.
Dispositivo de dois terminais composto de um fio condutor enrolado na forma espiral.
Condutores de corrente elétrica possuem propriedades indutivas e podem ser considerados um indutor.
Indutores
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Contudo, para aumentar o efeito indutivo, um indutor usado na prática é normalmente formado em uma bobina cilíndrica com várias espiras de fio condutor.
A corrente fluindo através do dispositivo produz um fluxo magnético que forma laços fechados envolvendo a bobina e gerando o indutor
Indutores
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Para indutores de N espiras, o fluxo total , enlaçado pelas N espiras, denotado por , é:
 (1 – enlace de fluxo)
Em indutores lineares, . Portanto, podemos escrever:
 (2)
Em que L, a constante de proporcionalidade, é a indutância (em webers por ampère – 1Wb/A é a unidade de indutância henry – H)
Na equação de enlace de fluxo, um incremento em i provoca um incremento correspondente em . Este incremento em produz uma tensão na bobina de N espiras
Indutores
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A descoberta de que a tensão ocorre com a variação do fluxo magnético foi provada por Henry, o qual, entretanto, repetindo o erro de Cavendish com o resistor, não divulgou suas descobertas.
Como resultado, é creditada a Faraday a descoberta da lei de indução eletromagnética.
Esta lei estabelece que a tensão é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético total. Matematicamente:
 (3)
Substituindo (2) em (3), temos:
 (4)
Indutores
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Símbolos gráficos de circuito
Fica claro que, com o aumento de i, uma tensão é gerada através dos terminais do indutor;
A polaridade é a mostrada na figura. Esta tensão se opõe ao crescimento de i, pois se não fosse este o caso, ou seja, se a polaridade fosse invertida, a tensão induzida iria “ajudar” a corrente.
Isto não pode ser verdade fisicamente, pois a corrente cresceria indefinidamente.
Indutores
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De (4), se i é constante, então a tensão v é zero.
Portanto, um indutor atua como um curto-circuito para uma corrente contínua.
Por outro lado, quanto maior a velocidade de variação de i, maior será a tensão que aparecerá nos seus terminais.
Indutores
Uma corrente que decresce linearmente de 1 para 0 A em b-1s é do tipo:
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O cálculo de i(t) em função de v(t) é feito integrando a eq. (4) no intervalo entre t0 e t e resolvendo para i:
 (5)
Na eq. (5), a integral mostra o acumulo de i de t0 até t e i(t0) é a corrente em t0. Como i(t0) é a corrente acumulada de até t0 e , tem-se:
 (6)
Exemplo: Um indutor de 10 mH tem uma corrente de mA . Calcule sua tensão e seu enlace de fluxo.
Indutores
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Como já visto, i fluindo através de um indutor produz um enlace de fluxo λ que passa pelas espirais da bobina que constitui o dispositivo
Assim como um trabalho foi desenvolvido pelo movimento das cargas em um capacitar, um trabalho similar é necessário para estabelecer o fluxo φ no indutor
O trabalho ou energia necessário neste caso é dito armazenado no campo magnético. A energia armazenada em um indutor, é dada pelas equações de energia e tensão no indutor
Energia armazenada em Indutores
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Energia armazenada em Indutores
Exercício: Calcule a energia armazenada pelo indutor no circuito da figura abaixo, quando a corrente no circuito atinge seu valor final.
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Considere uma associação de N indutores em série, como mostrado na figura abaixo
 Aplicando a LKT, vemos que:
 
Substituindo , obtem-se:
+ +
Indutores em Série e em Paralelo
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A indutância equivalente de indutores conectados em série é a soma das indutâncias individuais.
Considere agora uma ligação em paralelo de N indutores, como mostrado abaixo:
Usando a LKC, tem-se:
 
Mas Logo:
 
Indutores em Série e em Paralelo
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Onde
A corrente inicial i(t0) através de Leq no instante t = t0 deve ser, segundo a LKC, a soma das correntes dos indutores no instante t0. Portanto:
++
Indutores em Série e em Paralelo
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Indutores em Série e em Paralelo
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Indutores em Série e em Paralelo
Exemplo 1: Determine a indutância equivalente dos circuitos das figuras abaixo:
Exemplo 2: Para o circuito da abaixo, mA. Se i2(0) = –1 mA, determine: (a) i1(0); (b) v(t), v1(t) e v2(t); (c) i1(t) e i2(t).
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