Apostila - Eletrotécnica e Instalações Elétricas V 1 0

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CIRCUITOS RESISTIVOS E CIRCUITOS RLC 
 
Objetivos: conceituar tópicos importantes sobre eletricidade e eletrotécnica. 
1 Estrutura da Matéria 
A molécula é a menor porção em que um material pode ser dividido sem que 
venha a sofrer alterações em suas propriedades (figura 01). 
Se a molécula for dividida, chegaremos ao átomo que não mais conserva as 
propriedades do material original. 
O homem até bem pouco tempo atrás, início do século XX, acreditava ser o átomo 
a menor partícula existente no universo. 
 
Figura 01 - Molécula de Água 
 
O átomo é o elemento químico que compõe a molécula, formado por partículas 
denominadas elétrons, prótons e nêutrons. 
Os prótons e nêutrons formam o núcleo, os prótons tem carga elétrica positiva e 
os nêutrons não tem carga elétrica. 
Já os elétrons possuem carga elétrica negativa e, giram ao redor do núcleo em 
órbitas concêntricas (figura 02). 
 
 
Figura 02 - Estrutura do Átomo 
 
As órbitas dos átomos correspondem a sete diferentes níveis de energia em torno 
do núcleo, também chamadas de eletrosfera ou camadas orbitais. Estas possuem as 
seguintes denominações: K, L, M, N, O, P e Q, sendo a orbita K a mais interna (próxima 
ao núcleo) e a Q a mais externa. 
 
Figura 03 - Total de órbitas de um átomo 
Cada órbita pode conter um número máximo de elétrons, conforme a tabela 
abaixo: 
Órbita Número Máximo de elétrons 
K 02 
L 08 
M 18 
N 32 
O 32 
P 18 
Q 08 
 
Os elementos químicos presentes na natureza ou obtidos através de reações 
químicas, se distinguem pelo número total de elétrons que possuem distribuídos em suas 
órbitas. 
A última órbita que contém elétrons é denominada órbita de valência, pois é ela 
que irá ceder ou receber elétrons. 
Sendo assim, esses elétrons de valência são os responsáveis pela condição de um 
átomo participar de fenômenos químicos e elétricos. 
Num átomo em equilíbrio, o número de elétrons em órbita é igual ao número de 
prótons no núcleo. 
Esta estabilidade na maioria das vezes é obtida quando sua última camada orbital 
contém oito elétrons. 
Na natureza apenas os gases nobres possuem esta característica. 
Verificou-se que entre o núcleo e o elétron em órbita, existe uma força atrativa, 
que é menor quanto mais distante estiver o elétron do núcleo. Assim chegou-se a seguinte 
conclusão: 
Corpos bons condutores (Condutores): são aqueles formados por átomos cujos 
elétrons mais externos, mediante um estímulo apropriado, (atrito, contato, campo 
magnético), podem ser retirados dos átomos com mais facilidade. 
Assim, sob a ação de uma diferença de potencial (d.d.p), os elétrons livres passam 
a se locomover facilmente no interior do material condutor. 
Como exemplo podemos citar a platina, a prata, o cobre e o alumínio. 
Corpos maus condutores (Isolantes): são aqueles formados por átomos cujos 
elétrons da órbita de valência estão fortemente ligados ao núcleo, de modo que a 
temperatura ambiente não tem energia suficiente para retirá-lo da órbita. 
Assim a ação de uma d.d.p não provoca fluxo de elétrons no interior do material 
isolante. 
Como exemplo podemos citar a borracha, a mica, o vidro e a porcelana. 
1.1 Carga Elétrica 
Conforme foi exposto, o elétron e o próton são cargas elementares e componentes 
do átomo. 
Por convenção estabeleceu-se que a carga do elétron seria a negativa e a do próton 
a positiva, ou seja, cargas de polaridades opostas. 
Aproximando as cargas de polaridades opostas, verifica-se uma força atrativa 
entre elas, quando se aproxima cargas de mesma polaridade verifica-se que há uma força 
de repulsão entre elas. Portanto, cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais 
opostos se atraem. 
Assim, experimentalmente estabeleceu-se uma unidade para medir a carga 
elétrica, esta unidade chamou-se “coulomb”. 
Como a carga de 01 (um) elétron é igual a 1,60217662 x 10-19 coulombs, para se 
formar 01 (um) coulomb são necessários 6,28 x 1018 elétrons. 
Dizemos então que um corpo está eletrizado quando estiver com excesso ou falta 
de elétrons, pois os prótons não podem ser retirados do núcleo. 
Portanto, quando um elétron é retirado de um átomo, dizemos que este átomo está 
eletrizado positivamente (cátion), pois há mais elementos positivos no núcleo (prótons) 
do que elétrons em órbita. 
Um corpo está eletrizado negativamente (ânion) quando está em excesso de cargas 
elétricas negativas, ou seja, elétrons. 
2 Força Eletromotriz (f.e.m) 
O conceito de força eletromotriz (f.e.m) é muito importante para o entendimento 
de certos fenômenos elétricos. 
Pode ser definida como a energia não elétrica transformada em energia elétrica ou 
vice-versa, por unidade de carga. 
Por exemplo, se temos um gerador movido por energia hidráulica com valor de 
1.000 joules e dando origem ao deslocamento de 10 coulombs de carga elétrica a força 
eletromotriz será: 
𝐟. 𝐞. 𝐦 =
𝟏.𝟎𝟎𝟎 𝐣𝐨𝐮𝐥𝐞
𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛𝐬
= 𝟏𝟎𝟎 𝐣𝐨𝐮𝐥𝐞𝐬/𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛𝐬. 
Assim podemos generalizar que: 
 
𝛆 =
𝒅𝑾
𝒅𝒒
, onde: 
ε = f.e.m (volt) (V); 
dW = energia aplicada (joule) (J); 
dq = energia deslocada (coulombs) (C). 
 
A relação J/C foi denominada de Volt, em homenagem a Alexandro Volt, inventor 
da pilha elétrica. 
Numa bateria de automóvel ou acumulador, a energia química de seus 
componentes se transformará em energia elétrica, sendo então a bateria um gerador de 
f.e.m (energia não elétrica transformada em energia elétrica). 
No caso oposto, ou seja, uma bateria submetida à carga de um gerador de corrente 
contínua, a energia elétrica do gerador transforma-se em energia química na bateria. 
Veremos mais adiante que a f.e.m e a d.d.p são expressas pela mesma unidade, o 
Volt (V), por isso não muitas vezes confundidas, embora seus conceitos sejam totalmente 
diferentes. 
No gerador a f.e.m de origem mecânica provoca uma d.d.p nos seus terminais. 
No motor elétrico a d.d.p provoca uma f.e.m de sentido contrário a d.d.p, motivo 
pelo qual é chamado de “gerador” de força contra-eletromotriz. 
Na bateria fornecendo carga, a f.e.m de origem química provoca a d.d.p entre os 
terminais + e -. 
Já na bateria recebendo carga, a f.e.m do dínamo provoca uma d.d.p nos seus 
terminais que irá acumular na bateria na forma de energia química. 
2.1 Fontes de Força Eletromotriz 
A eletricidade é o resultado da ação de elétrons que foram extraídos das órbitas 
dos átomos. Para que isto ocorra é necessário que alguma forma de energia seja fornecida 
ao átomo. 
Tal energia é oriunda da f.e.m. Há 07 processos principais de geração de f.e.m: 
1º Atrito: Gerador de Van de Graff; 
2º Químico: Baterias e pilhas; 
3º Luz: Célula fotovoltaica; 
4º Calor: Termopar; 
5º Pressão: Microfone de cristal piezoelétrico; 
6º Combinação de Hidrogênio e Oxigênio: Células de combustível; e 
7º Indução: Gerador (alternador). 
3 Diferença de Potencial (d.d.p) 
Como já foi visto anteriormente, toda a matéria é constituída por átomos e portanto 
pode-se tornar carregada eletricamente, positiva ou negativa, dependendo da quantidade 
de elétrons e prótons que possui. 
Considerando a figura 04, apresentada logo abaixo, onde podemos notar dois 
corpos eletrizados, sendo um positivamente e outro negativamente. Se ligarmos estes dois 
corpos através de um condutor, iremos notar o deslocamento de cargas elétricas de um 
corpo para outro, até que ocorra o equilíbrio. 
 
 
Figura 04 - Deslocamento de carga elétricas entre dois corpos 
 
A esta transferência de cargas elétricas de um corpo para outro, chamamos de 
(d.d.p) diferença de potencial. 
Para que estes elétrons se movimentem de forma ordenada nos condutores é 
necessário ter uma força que o empurre. 
A esta força chamamos de tensão elétrica ou d.d.p e sua unidade é o volt (V). 
A diferença de potencial entre dois pontos de um campo eletrostático é de 01 (um) 
volt, quando o trabalho para deslocar uma carga entre esses dois pontos é de 01 (um) 
joule/coulomb. 
Então:1 Volt = 1 joule/1 coulomb 
4 Corrente Elétrica 
Podemos descrever a tensão como sendo a força que impulsiona os elétrons nos 
condutores. E sua unidade é o volt (V). 
Dentro de um condutor qualquer, temos um número enorme de elétrons que são 
denominados de nuvem eletrônica. Estes elétrons estão em constante movimento 
desordenado no interior do condutor. 
Quando proporcionamos uma d.d.p nos terminais deste condutor, verificamos que 
o movimento desordenado de elétrons passa a ser ordenado. Este movimento ordenado 
de elétrons no condutor provocado pela tensão em seus terminais, forma então uma 
corrente de elétrons. A esta corrente de elétrons chamamos de corrente elétrica (I) e sua 
unidade é o ampère (A), em homenagem ao físico francês André Marie Ampère. 
A intensidade de corrente elétrica é a razão entre a quantidade de cargas elétricas 
que passam por uma determinada secção transversal de um condutor, num certo intervalo 
de tempo. 
𝐈 =
𝒅𝒒
𝒅𝒕
 , onde: 
I = corrente elétrica (A); 
dq = carga elétrica (C); 
dt = intervalo de tempo(s). 
 
 𝟏𝐀 =
𝟏 𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛
𝟏 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨
 
4.1 Efeitos da Corrente Elétrica 
Quando provocamos o aparecimento de uma corrente elétrica, fazemos a fim de 
utilizarmos de um de seus diversos efeitos. 
Efeito Magnético 
A corrente elétrica ao atravessar qualquer condutor proporciona ao seu redor o 
aparecimento de um campo magnético, cuja intensidade depende diretamente da 
intensidade da corrente. 
Efeito Térmico 
Certos materiais ao serem percorridos por uma corrente elétrica tem a propriedade 
de se aquecerem. A este fenômeno dá-se o nome de efeito joule. 
Efeito Luminoso 
Toda vez que uma corrente elétrica atravessa certos tipos de gases rarefeitos, ela 
emite uma energia radiante, geralmente invisível e que se transforma em luz visível, assim 
que atravessa certos materiais fluorescentes. 
4.2 Corrente Contínua e Corrente Alternada 
Há dois tipos de corrente ou tensão elétrica de aplicação generalizada: corrente 
contínua e corrente alternada. 
4.2.1 Corrente Contínua (DC ou CC) 
Corrente ou tensão contínua é aquela que, cujo valor e direção não se alteram ao 
longo do tempo. 
A figura 05 mostra uma representação gráfica do comportamento da tensão 
contínua em relação ao tempo. 
 
Figura 05 - Tensão de uma bateria de automóvel de 12V 
 
Vemos representado no eixo horizontal os tempos e no eixo vertical a amplitude 
das tensões. 
4.2.2 Corrente Alternada (CA ou AC) 
Corrente ou tensão alternada é uma corrente oscilatória que cresce de amplitude 
em relação ao tempo, segundo uma lei definida. 
Pode-se dizer que a corrente alternada é oriunda de uma fonte de tensão que varia 
seu valor em relação ao tempo. 
Esta tensão variável tem sua polaridade invertida um certo número de vezes por 
segundo. A tensão de energia elétrica de nossas residências é alternada e varia 60 vezes 
por segundo de forma senoidal. Essa variação que a corrente faz recebe o nome de 
frequência e sua unidade é o Hertz (Hz). 
01 (um) Hertz corresponde a um ciclo completo de variação da tensão, dai ser 
comum a expressão “ciclo por segundo” ao invés do Hz. 
Na figura 06 podemos visualizar um exemplo gráfico do comportamento da 
corrente alternada em relação ao tempo, sendo que, nota-se a tensão variando de -120V 
até 0V e de 0V até + 120V conforme apresentado pelo gráfico senoidal de tensão. 
 
Figura 06 - Gráfico de uma tensão alternada 
 
Conforme podemos visualizar na figura 06, o período é o tempo necessário para a 
realização de um ciclo completo e pode ser expresso pela equação representada a seguir: 
𝐓 =
𝟐𝛑
𝛚
 , onde: 
T = período; 
π = 3,14159; 
ω = radianos por segundo (velocidade angular). 
Já a frequência, que é equivalente ao número de ciclos que ocorre em 01 segundo, 
é o inverso do período, e pode ser representado pela equação a seguir: 
𝒇 =
𝟏
𝐓
 , onde: 
f = frequência; 
T = período. 
Substituindo esses valores na equação do Período temos: 
𝐓 =
𝟏
𝐟
 , onde: 
 
𝐓 =
𝟐𝛑
𝛚
, assim: 
 
𝟐𝛑
𝛚
 = 
𝟏
𝐟
 , resulta em: 
 
ω = 2πf 
 
Como já foi dito anteriormente que o valor da frequência da rede em nossas 
residências é de 60 Hz, então o valor da velocidade angular (ω) será: 
ω = 2πf 
ω = 2x3,14159x60 
ω = 376,991 
ω ≅ 377 radianos por segundo 
 
A frequência da corrente alternada é medida em “Hertz” (Hz). Seu valor depende 
da rotação e do número de pares de pólos do gerador e pode, ser expresso pela equação 
abaixo. 
 𝒇 = 
𝑷 𝒙 𝑽𝒔
𝟔𝟎
 , onde: 
f = frequência em Hertz (Hz); 
P = número de pares de pólos do gerador; 
Vs = velocidade de sincronismo do gerador. 
Valor Eficaz 
O valor eficaz (RMS) ou seja Root Mean Square, que nada mais é do que o valor 
médio quadrático de uma corrente alternada senoidal, pode ser obtido multiplicando-se o 
seu valor máximo por 0,707. Este seria o valor da corrente alternada que desenvolveria 
em um determinado condutor, a mesma quantidade de calor que uma corrente contínua. 
Ou seja, pela figura 07 apresentada abaixo, uma fonte de corrente alternada alimentando 
uma resistência (R) irá produzir a mesma quantidade de calor que uma corrente contínua 
alimentando a mesma resistência (R) no mesmo intervalo de tempo. 
 
 
Figura 07 - Fonte de corrente contínua e alternada alimentando uma resistência 
(R) de mesmo valor no mesmo intervalo de tempo. 
Este valor pode ser calculado pela seguinte equação: 
 
𝐕𝑹𝑴𝑺 = √
𝟏
𝐓
∫ 𝐕𝒎
𝟐. (𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕)𝟐 𝐝𝐭
𝐓
𝟎
 ou 𝐕𝑹𝑴𝑺 = √
𝟏
𝟐𝛑
∫ 𝐕𝒎
𝟐. (𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕)𝟐 𝐝𝛚𝐭
𝟐𝛑
𝟎
 
 
Que resultará na seguinte expressão: 
𝐕𝑹𝑴𝑺 =
𝟏
√𝟐
. 𝐕𝒎 
Onde: 
VRMS = tensão eficaz (V) 
Vm = tensão máxima ou tensão de pico (V) 
 
A tensão máxima ou tensão de pico (Vm) é definida como o ponto em que a espira 
da bobina do gerador de corrente alternada atravessa o campo na sua direção 
perpendicular (θ = 90o). Graficamente é representada como o ponto mais alto da curva 
senoidal. 
Tensão média (Vméd) é definida como a tensão oriunda da média aritmética dos 
valores de 01(um) semi ciclo. 
A representação gráfica de tensão máxima, tensão média e tensão RMS pode ser 
visualizada na figura abaixo. 
 
 
Figura 08 - Valores de amplitude para uma onda senoidal CA 
 
A tensão máxima é igual a 1,4142 vezes o valor da tensão RMS ou seja: 
 𝑽𝒎 = √𝟐 . 𝑽𝑹𝑴𝑺 
 
 
 
 
 
A tabela abaixo mostra os valores de conversão típicos para corrente alternada. 
 
De Para Multiplique por: 
Pico 
RMS 0,707 
Pico a Pico 2 
Médio 0,637 
RMS 
Pico 1,4142 
Médio 0,901 
Médio 
RMS 1,110 
Pico 1,570 
 
Todos os instrumentos de medição para a corrente alternada indicam o seu valor 
eficaz ou RMS. Se quisermos saber a tensão de pico ou médio devemos utilizar um 
equipamento chamado osciloscópio ou fazer a tabela mostrada acima. 
 
Exemplo: Calcular o valor da tensão de pico, pico a pico e médio da tensão obtida 
de leitura feita por um voltímetro na tomada de uma residência, sendo obtido no 
voltímetro o valor de 220 V. 
Vpico ou Vmáximo = √𝟐 . VRMS = 1,4142 x 220V 
Vmáximo = 311,13V 
 
Vpico a pico = Vmáximo x 2 
Vpico a pico = 311,13 x 2 
Vpico a pico = 622,26V 
 
Vmédio = Vpico x 0,637 
Vmédio = 198,19V 
4.2.3 Corrente Alternada Trifásica 
Para se gerar corrente alternada trifásica, o rotor de um gerador é dotado de 03 
(três) enrolamentos (bobinas) que estão estrategicamente orientados em defasagem de 
120o um em relação ao outro, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 09 - Gerador trifásico elementar 
 
A corrente trifásica origina-se de três correntes monofásicas, que estão defasadas 
entre si de 1/3 de período, ou seja, 1200. 
 
Figura 10 - As três fases de um gerador trifásico elementar 
 4.3 Sentido da Corrente Elétrica 
Existem dois tipos de sentido da corrente elétrica utilizado, um muito antigo que 
chamamos de convencional e o outro atual e correto que é o sentido eletrônico. 
a) Sentido convencional:bastante utilizado antigamente por desconhecimento de 
teorias atômicas, neste sentido a corrente parte do polo + em direção do pólo -. 
b) Sentido eletrônico: estudos modernos da estrutura do átomo provaram ser o 
sentido da corrente elétrica partindo do polo - em direção ao +, pois quando um condutor 
é ligado a uma fonte, o polo + que está com falta de elétrons atrai elétrons para próximo 
de si, assim este átomo que era neutro perde um elétron, e fica + e deste modo atrai um 
elétron do próximo átomo, tornando-o positivo (+) e assim sucessivamente. 
5 Corrente Elétrica 
Chamamos de resistência elétrica a oposição que qualquer material condutor 
oferece a circulação de uma determinada corrente elétrica em seu corpo. 
Devido a este fenômeno, que determinado corpo ou materiais maus condutores 
tem dificuldade em transportar elétrons, ou seja, possuem “resistência elevada”. 
Já os bons condutores, que não oferecem resistência a passagem de elétrons 
possuem menor resistência. 
Este fenômeno é devido as forças que mantém os elétrons livres agregados ao 
núcleo do material. 
A grande maioria dos materiais condutores são formados por átomos cujos 
elétrons da órbita de valência estão fracamente ligados ao núcleo, de modo que a 
temperatura ambiente tem energia suficiente para serem arrancados da órbita, tornando-
se livres. 
Assim sob a ação de uma d.d.p, os elétrons livres passam a se locomoverem 
facilmente no interior do material condutor. Ex.: cobre, prata, ouro, alumínio, etc... 
Materiais isolantes ou mau condutores possuem em sua constituição, átomos cujos 
elétrons da órbita de valência estão fortemente ligados ao núcleo, de modo que em 
temperatura ambiente não possuem energia suficiente arrancá-los da orbita, sendo assim 
a ação de uma d.d.p não provoca fluxo de elétrons. Ex.: borracha, mica, porcelana, e etc... 
Foi o cientista alemão George Simeon Ohm (1789 - 1854) que estabeleceu a lei 
que inter-relaciona as grandezas d.d.p, corrente e resistência. 
U = R.I, 
Onde: 
U =d.d.p (V); 
R = resistência elétrica (Ω); 
I = intensidade de corrente elétrica. 
A resistência elétrica é dependente da constituição do condutor, do 
comprimento, da secção transversal e da temperatura. 
Cada material possui sua resistência específica própria, ou seja, a sua 
resistividade (ρ). Então a expressão da resistência em função dos dados relativos ao 
condutor é: 
𝐑 = 𝝆
𝐋
𝐀
 
Onde: 
 R= resistência em ohms (Ω); 
 ρ= resistividade do material em ( 
Ω.mm2
𝑚
 ); 
 L= comprimento em metros (m); 
A= área da secção reta do condutor (mm2). 
 
 Alguns exemplos de valores de resistividade: 
Cobre (ρ= 0,0178Ω x mm2 a 15ºC) 
Alumínio (ρ= 0,028Ω x mm2 a 15ºC) 
A resistência também é influenciada em função da temperatura ambiente. 
5.1 Diferença entre f.e.m e d.d.p 
Todo o gerador elétrico ou fonte de f.e.m, mesmo que seja uma pilha ou bateria, 
possui uma resistência elétrica devido aos seus materiais não serem condutores perfeitos. 
Sabendo-se disto, quando estes forem percorridos por uma corrente elétrica, 
haverá uma queda de tensão e o resultado desta queda é a transformação da energia 
elétrica em calor (efeito joule). 
Podemos dizer que a f.e.m é a tensão produzida por um gerador, quando este 
estiver sem carga, e esta tensão representaremos pela letra (ε). 
Já a d.d.p dizemos que é a tensão que o gerador fornecerá quando ligado a uma 
carga, esta tensão será representada pela letra (U). 
Sendo assim podemos dizer que a d.d.p será sempre menor que a f.e.m e, esta 
diferença é devido as perdas que ocorrem no interior do gerador. 
5.2 Queda de tensão na fonte geradora 
No interior da fonte geradora (máquina ou bateria) é gerado uma tensão original 
(f.e.m). 
No interior da máquina ou bateria ocorre uma queda de tensão, resultante 
principalmente da resistência interna dos enrolamentos (bobinas) ou constituintes da 
bateria, vindo a provocar uma ligeira queda de tensão em seus terminais quando ligados 
a uma carga através de um circuito, a (d.d.p) é reduzida. A expressão abaixo demonstra 
esta queda de tensão. 
ε= R.I+ΔV 
ΔV= queda de tensão interna na fonte geradora (f.e.m) 
ΔV= I.r 
 
Substituindo na equação temos: 
 ε= (R.I) + I.R 
ε= I(R+r) ou Ε= U+I.rε 
5.3 Queda de tensão nos condutores 
A queda de tensão nos condutores também é indicada por ΔV, e depende da 
resistência do condutor (Rc). 
 
ΔV = I . Rc 
6 Potência Elétrica 
A potência elétrica é definida como sendo o trabalho executado por unidade de 
tempo. A potência elétrica é obtida pelo produto da tensão pela corrente. 
Já vimos anteriormente que: 
 
𝛆 =
𝒅𝑾
𝒅𝒒
 ou 𝒅𝑾 = 𝛆. 𝒅𝒒 
 
Sendo que: 
 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
= 𝐈 e 
𝒅𝑾
𝒅𝒕
= 𝐏 
 
Se referirmos ao tempo dt, teremos: 
 
𝒅𝑾
𝒅𝒕
= 𝛆.
𝒅𝒒
𝒅𝒕
 
 
Substituindo na equação 
 
𝐏 = 𝛆. 𝐈 ou 𝐏 = 𝐔. 𝐈 
 
Ou seja: 
 
𝐏 = (
𝐣𝐨𝐮𝐥𝐞
𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛
) . (
𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛
𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨
) 
 
𝐏 = (
𝐣𝐨𝐮𝐥𝐞
𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨
) = 𝐖𝐚𝐭𝐭 
 
Então: 
 
𝐖𝐚𝐭𝐭 = 𝐕𝐨𝐥𝐭 𝐱 𝐀𝐦𝐩é𝐫𝐞 ⇒ 𝐏 = 𝐔. 𝐈 
 
Como: 
 
𝐔 = 𝐑. 𝐈 
Então: 
 
𝐏 = (𝐑. 𝐈). 𝐈 ⇒ 𝐏 = 𝐑. 𝐈𝟐 
 
Esta definição de potência elétrica sendo igual a (𝐏 = 𝐑. 𝐈𝟐) ou 𝐏 = 𝐔. 𝐈 só é 
verdadeira, somente quando a tensão e a corrente se encontram em fase, ou seja, 
apresentam para o mesmo intervalo de tempo, mesmos valores máximos e mínimos, 
quando se trata de potência elétrica em corrente alternada. Em circuitos alimentados por 
corrente contínua a expressão 𝐏 = 𝐔. 𝐈 e (𝐏 = 𝐑. 𝐈𝟐) é verdadeira, pois a tensão e a 
corrente encontram-se em fase. Em circuitos de corrente contínua somente opõem-se ao 
deslocamento das cargas elétricas a resistência ôhmica dos condutores. 
Em circuitos de corrente alternada pelo fato de haver oscilação nos valores de 
corrente e tensão, ocorre uma oposição ao deslocamento de cargas chamadas de 
impedância, que é o valor resultante da soma vetorial da reatância capacitiva com a 
reatância indutiva. 
Circuitos em corrente alternada puramente resistivos, ou seja, compostos apenas 
por cargas resistivas, não haverá a ocorrência de reatâncias, consequentemente não 
teremos impedância. Assim podemos dizer que a tensão e a corrente estão em igualdade 
de fases, sendo que a expressão 𝐏 = 𝐔. 𝐈. para estes tipos de circuitos é verdadeira. 
A potência em circuitos trifásicos de corrente alternada que possuem impedância 
é obtida pela expressão: 𝐏 = √𝟑. 𝐔. 𝐈. 𝐜𝐨𝐬 𝛉 onde, √3 é resultante da decomposição das 
três fases, o cosθ é o fator de potência da carga. Sobre este assunto falaremos mais adiante 
após comentarmos sobre circuitos resistivos, capacitivos e indutivos e seus 
comportamentos quando alimentados por corrente alternada (CA). 
6.1 Circuitos contendo somente carga resistiva 
Quando se liga uma fonte de corrente alternada (CA) a um resistor (ex.: uma 
lâmpada incandescente), a tensão irá variar senoidalmente da mesma forma como a tensão 
original gerada pelo gerador responsável pela fonte de corrente alternada. Sendo o valor 
da tensão num determinado instante igual a zero, então neste instante não haverá 
circulação de corrente. Quando a tensão alcança seu valor máximo, o mesmo estará 
acontecendo com a corrente. 
Ou seja, por definição podemos dizer que a tensão e corrente de circuitos resistivos 
alimentados por corrente alternada estão em igualdade de fase. 
Este conceito poderá ser melhor visualizado na figura a seguir. 
 
 
 
 
Figura 11 - Diagrama de fases de um circuito puramente resistivo 
Quando a carga é resistiva, a corrente e a tensão decrescem simultaneamente, ou 
seja, neste caso o ângulo 𝛉 é igual a 0 ou seja cos 00 é igual a 1, então 𝐏 = 𝐔. 𝐈. 𝐜𝐨𝐬𝛉 
resultará em 𝐏 = 𝐔. 𝐈. 𝟏, então 𝐏 = 𝐔. 𝐈 (circuito puramente resistivo). 
b) Representação senoidal da 
tensão e corrente alternada 
a) Circuito Resistivo c) Representação vetorial da 
tensão e corrente alternada 
6.2 Circuitoscontendo cargas indutivas 
Quando se liga uma carga indutiva uma fonte de corrente alternada (CA), 
aparecerá uma diferença entre a tensão e a corrente, ou seja a tensão e a corrente não mais 
estarão em fase como no caso de circuitos puramente resistivos (como visto 
anteriormente). Neste caso a corrente sofre um atraso no seu deslocamento, devido a ação 
da auto-indução. 
Essa diferença ou atraso é indicado em ângulo (graus). 
Quando a carga é puramente indutiva a diferença em graus entre a corrente e a 
tensão é de 900 em atraso. Logo a corrente está atrasada em relação a tensão em 1/4 do 
período, e θ = +900. 
Este conceito poderá ser melhor visualizado na figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 12 - Diagrama de fases de um circuito contendo somente carga indutiva 
6.3 Circuitos contendo somente cargas capacitivas 
Quando se liga uma carga capacitiva a uma fonte de corrente alternada (CA), 
ocorre um defasamento entre a tensão e a corrente no sentido oposto ao que ocorre em 
circuitos indutivo em (CA). Ou seja, somente quando a tensão atinge seu valor nulo o 
capacitor “se carrega” ao seu valor de tensão máximo. 
A corrente em um circuito com presença de reatância capacitiva está adiantada em 
relação a tensão em 900 ou 1/4 de periodo, θ = -900. 
Este conceito poderá ser melhor visualizado na figura 13. 
 
 
 
 
Figura 13 - Diagrama de fases de um circuito contendo somente capacitor 
 VL, IL 
 
 --------------- 
b) Senoidal a) Circuito Indutivo c) Vetorial 
 
 
 
 
 ------------------ 
 VC, IC 
 
 
 
 
b) Senoidal a) Circuito Capacitivo c) Vetorial 
6.4 Impedância (Z) 
A impedância de um circuito elétrico é conceituada como sendo a oposição ao 
deslocamento das cargas elétricas resultantes da ação da resistência, da reatância indutiva 
e capacitiva existente no circuito. 
Anteriormente verificamos que capacitores e indutores se comportam de maneira 
diferente em relação a corrente alternada, ocorrendo diferença em relação a corrente e a 
tensão (atraso ou adiantamento), a esta oposição à passagem de corrente elétrica 
chamamos de reatância indutiva (bobina) ou reatância capacitiva (capacitores). A soma 
vetorial em ângulo de 900 das reatâncias capacitivas com a indutância denomina-se 
“Impedância (Z)”. 
Assim temos: 
Resistência - R 
Reatância Indutiva – XL 
Reatância Capacitiva – XC 
Impedância - Z 
A reatância capacitiva opõe-se a indutiva. Assim, a reatância total do circuito (X) 
é dada pela diferença entre XL e XC (o maior destes valores determina se um circuito é 
indutivo ou capacitivo). 
Então: 
X = XL – XC; 
XC > XL, logo circuito capacitivo (predomínio de reatância capacitiva sobre a 
indutiva); e 
XL > XC, logo circuito indutivo (predomínio de reatância indutiva sobre a 
capacitiva). Os valores da resistência, da reatância e da impedância podem ser 
representados graficamente através de um triângulo retângulo. 
 
 
Figura 14 - Representação gráfica da impedância (Z) de um circuito 
 
Nota-se de acordo com a figura 14 que quanto maior o valor da reatância total (X), 
maior será o valor da impedância total do circuito. Quando a reatância é nula (circuitos 
puramente resistivos), o circuito não apresentará impedância, ou seja, se X = 0, o cós = 
00 equivale a 1, consequentemente só ocorrerá no circuito a oposição ao deslocamento de 
cargas resultante da resistência ôhmica de R. A impedância total do circuito poderá ser 
obtida pela aplicação do Teorema de Pitágoras. 
Onde: 
 𝐳 = √(𝐑𝟐) + (𝐗𝟐) 
6.5 Reatância Indutiva (XL) 
Uma bobina oferece uma resistência maior a passagem de corrente alternada (CA) 
do que ofereceria a passagem de corrente contínua (CC). 
Z= Impedância 
R= Resistência 
X =Reatância Total 
Isto ocorre devido a resistência ôhmica do material da bobina ser acrescido de um 
valor de resistência chamado de reatância indutiva (XL). 
Esta reatância indutiva ocorre devido a corrente alternada (CA), originar na bobina 
uma tensão de autoindução que atua no sentido contrário da tensão de alimentação (fonte 
de corrente alternada, CA). 
A autoindução pode ter seus efeitos amplificados se dotarmos as bobinas de um 
núcleo de ferro. 
Exemplos de cargas indutivas: motores elétricos, transformadores, reatores, 
bobinas, e etc... 
O valor de reatância indutiva (XL), depende da frequência (f) da fonte de corrente 
alternada (CA), e da indutância da bobina (L). Assim temos: 
 𝐗𝑳 = 𝛚. 𝐋 
Onde: 
XL = reatância indutiva (Ω) 
ω = 2.π.f (velocidade angular rad./s) 
L = indutância (henry (H)) 
6.6 Reatância Capacitiva (XC) 
Quando submetemos um capacitor invertido em um circuito alimentado por 
corrente contínua (CC), verificamos que o mesmo não permite a circulação de corrente 
contínua pelos seus terminais. Entretanto quando fazemos circular por este mesmo 
circuito uma corrente alternada (CA), aparecerá uma corrente circulando pelos terminais 
do capacitor. 
Pode-se então afirmar que quanto maior o valor da capacitância do capacitor, 
maior será a corrente alternada (CA) circulante pelos seus terminais, quando estes são 
alimentados por corrente alternada. 
Já quando se liga um capacitor a uma fonte de corrente contínua (CC) ele “se 
carrega” instantaneamente atingindo o mesmo potencial da fonte. 
Então a capacitância de um capacitor alimentado por corrente alternada (CA) dará 
origem a uma corrente (I) que influirá sobre a resistência total deste circuito. Cada vez 
que a polaridade da corrente alternada se inverte, o capacitor também sofre inversão de 
carga, ficando nesse “vai e vem” permanentemente num circuito de corrente de carga. 
Este efeito resistivo produzido por esta corrente oriunda do capacitor chamamos 
de Reatância Capacitiva (XC). Assim temos: 
𝐗𝑪 =
𝟏
𝛚.𝐂
 
Onde: 
XC = reatância capacitiva (Ω) 
C = capacitância (F) 
ω = 2.π.f (velocidade angular rad/s) 
 
7 Potência Aparente, ativa e reativa 
O conceito físico de potência ativa, aparente e reativa pode ser definido como, 
qualquer equipamento que transforma energia elétrica diretamente em outra forma de 
energia útil, como exemplos podemos citar a energia térmica e a luminosa, sem a 
necessidade de uma transformação em uma outra forma de energia intermediária, 
podemos afirmar que este equipamento é um consumidor de energia ativa. 
Qualquer equipamento que necessite de energia magnetizante como intermediária 
na utilização de energia ativa, é um consumidor de energia ativa e reativa. 
A energia reativa é uma energia trocada entre o gerador e o receptor, não sendo 
propriamente consumida como energia ativa. 
Potência Aparente 
Chamamos de potência aparente (S), a soma vetorial da potência ativa com a 
potência reativa. Em função dessa potência são dimensionados os equipamentos, como 
transformadores, entre outros. 
A potência aparente em corrente alternada é representada pelas seguintes 
equações: 
Circuito monofásico, S = U . I, unidade (VA); 
Circuito trifásico, S = √𝟑 . U . I, unidade (VA). 
Obs.: √3 ou 1,73, resultante da decomposição vetorial das três fazes, com tensões 
de linha em módulos iguais e defazados 1200 entre si. 
(VL = √3 . VF), onde VL (FF, fase-fase) e VF (FN, fase-neutro) 
Potência Ativa 
É a transformação da energia elétrica em qualquer forma energia útil, por exemplo 
a luminosa e a térmica, sem a necessidade de uma transformação intermediária de energia. 
Podemos afirmar que a potência Ativa (P) é a que realmente é transformada em 
trabalho. 
A potência ativa em corrente alternada é dada pelas seguintes equações: 
Circuito monofásico, P = U . I . cos𝛉, unidade (W); 
Circuito trifásico, P = √𝟑 . U . I . cos𝛉, unidade (W). 
Esta é a potência indicada pelo wattímetro. 
Cosθ é chamado de fator de potência (FP) e é expresso pela relação entre potência 
ativa e a potência aparente. 
 𝐜𝐨𝐬𝛉 = 𝐅𝐏 =
𝐏
𝐒
 
Onde: 
Cosθ = fator de potência(adimensional) 
P = Potência ativa (W) 
S = Potência aparente (VA) 
Potência Reativa 
É a energia intermediária necessária para o equipamento entrar em funcionamento 
e se manter funcionando. Essa energia, apesar de existir no circuito, não sofre 
transformações, nem executa trabalho, sua finalidade é a de constituir o campo elétrico 
nos capacitores e o circuito magnético nas bobinas. 
Está presente em motores de indução, transformadores, máquinas de solda, 
reatores de lâmpadas, etc... 
Ela é indispensável para que esses equipamentos possam excitar o seu campo 
magnético ou elétrico, tornando possível o uso da energia que realmente é transformada 
em trabalho, a energia ativa (potência ativa) (P). A potência reativa é trocada entre o 
gerador e a carga não sendo consumida efetivamente. 
A potência reativa em corrente alternada é representada pelas seguintes equações: 
 
 
Circuito monofásico, Q = U . I . sen𝛉, unidade (VAr); 
Circuito trifásico, Q = √𝟑 . U . I . sen𝛉, unidade (VAr). 
8 Triângulo das potências 
Assim como já foi feito para representar a impedância (Z) de um circuito, 
podemos pegar as três potências e construir um triângulo com seus valores, ou seja: 
Este triângulo é chamado de “triângulo das potências”, onde o ângulo θ é o ângulo 
do fator de potência (cosθ = FP). 
Sendo assim podemos fazer uma representação gráfica das potências no chamado 
triângulo das potências, representado na figura 15. 
 
 
Figura 15 - Representação gráfica do triângulo das potências 
Partindo do triângulo das potências e utilizando-se do teorema de Pitágoras, pode-
se obter as seguintes expressões: 
𝐒𝟐 = 𝐏𝟐 + 𝐐𝟐 sen 𝛉 = 
𝐐
𝐒
 Q = S . sen𝛉 
 
S = √𝐐𝟐 + 𝐏𝟐 cos 𝛉 = 
𝐏
𝐒
 S = 
𝐏
𝐜𝐨𝐬 𝛉
 
 
Q = √𝐒𝟐 − 𝐏𝟐 Tg 𝛉 = 
𝐐
𝐏
 S = 
𝐐
𝐓𝐠 𝛉
 
 
P = √𝐐𝟐 − 𝐒𝟐 Fp = cos 𝛉 
𝐏
𝐒
 
9 Fator de Potência 
Se o ângulo θ é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente de um circuito, 
o fator de potência do mesmo circuito é definido como sendo: 
Fp = cos 𝛉 
Por este motivo, o ângulo θ é chamado ângulo do fator de potência. 
Quando falamos que um equipamento tem característica indutiva, diz-se que o seu 
fator de potência é indutivo ou em atraso pois neste caso a corrente está atrasada em 
relação a tensão. 
Já os equipamentos com características capacitivas, muito raramente encontrados 
em instalações elétricas, pois o predomínio é de equipamentos indutivos e resistivos, tem 
o fator de potência capacitivo ou em avanço, pois neste caso a corrente está adiantada em 
relação a tensão. 
Dispositivos puramente resistivos tem o fator de potência unitário, pois a corrente 
está em fase com a tensão, sendo o ângulo θ igual a 0, cos 00 = 1, então FP = 1, ou seja: 
P = U.I . cos 𝛉 
P = U.I . 1 
P = U.I 
S = U.I 
Então: S = P 
Podemos fazer uma analogia entre um copo de chopp e o conceito de fator de 
potência. 
Observando a figura 16, veremos que num copo de chopp temos uma parte 
ocupada só pelo líquido e outra ocupada só pela espuma. 
 
 
 
Figura 16 - Analogia entre um copo de chopp e o conceito de fator de potência 
 
Se quisermos aumentar a quantidade de líquido teremos que diminuir a quantidade 
de espuma. Assim de maneira semelhante ao copo de chopp, a potência elétrica solicitada 
por exemplo, por um motor de indução é composta de potência ativa (P) que corresponde 
ao líquido, e de potência reativa (Q) que corresponde a espuma. A soma vetorial destas 
potências resultará na potência aparente (S), ou seja, a soma do líquido mais a espuma. 
Assim como o volume do copo é limitado, a capacidade em (VA) de um circuito 
elétrico (fiação, transformadores, etc...) é limitada de tal forma que se quisermos aumentar 
a potência ativa (P) em um circuito teremos que reduzir a potência reativa (Q) do mesmo. 
Para representarmos a importância do (FP) em um dimensionamento de uma 
instalação elétrica, vejamos o seguinte exemplo: 
 
Qual a potência do transformador necessária para alimentar um motor de 10 
kW com FP = cos 𝛉 = 0,50 e a corrente que circulará pelo circuito para a tensão de 
220 Volts. Fazer os cálculos um FP = 0,92 
 
1º caso, para FP = 0,50 
 
 𝑺 =
𝑷
𝒄𝒐𝒔 𝜽
 𝑺 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑾
𝟎,𝟓𝟎
 𝑺 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑽𝑨 𝒐𝒖 𝟐𝟎 𝒌𝑽𝑨 
 
𝑰 =
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑽𝑨
𝟐𝟐𝟎 𝑽
 𝑰 = 𝟗𝟎, 𝟗𝟏 𝑨 
 
 
2º caso, para FP = 0,92 
 
 𝑺 =
𝑷
𝒄𝒐𝒔 𝜽
 𝑺 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑾
𝟎,𝟗𝟐
 𝑺 = 𝟏𝟎𝟖𝟕𝟎 𝑽𝑨 𝒐𝒖 𝟏𝟎, 𝟗 𝒌𝑽𝑨 
 
𝑰 =
𝟏𝟎𝟖𝟕𝟎 𝑽𝑨
𝟐𝟐𝟎 𝑽
 𝑰 = 𝟒𝟗, 𝟒𝟏 𝑨 
 
Pelo exemplo nota-se que quanto menor o fator de potência (FP), maiores serão 
os custos de uma instalação e maior será o consumo dos equipamentos em relação a 
equipamentos com (FP) fator de potência maiores. Observe que para uma mesma potência 
ativa (10 KW) a corrente consumida quase que dobrou devido apenas a variação nos 
valores de potência (FP). É importante salientar que as companhias de distribuição de 
energia elétrica, cobram um ajuste sobre o FP, quando o mesmo é inferior a 0,92. 
As causas mais comuns de baixo FP são: 
- Nível de tensão elevado; 
- Motores operando em vazio; 
- Motores superdimensionados; 
- Grandes transformadores usados para alimentar durante longos períodos, 
pequenas cargas; 
- Transformadores ligados em vazio por longo período; 
- Uso excessivo de lâmpadas de descarga, fluorescente, vapor de mercúrio, etc..., 
com reatores de baixo fator de potência, sem a necessária correção do Fp. 
9.1 Correção do Fator de Potência 
Já vimos anteriormente que um baixo FP pode causar uma sobretaxação no valor 
da tarifa, por este motivo, muitas vezes é vantajosa a correção do FP. Existem 
basicamente duas maneiras de corrigir o baixo fator de potência (FP): 
1º Aumentar a potência ativa (P), mantendo a potência reativa (Q) 
constante. 
Se inicialmente uma carga possui potências Pi, Qi e Si, o acréscimo de carga 
puramente resistiva, (P) potência ativa, promoverá a diminuição do ângulo θ e 
consequentemente o aumento do Fp, figura 17. 
 
Figura 17 - Correção do FP pela inserção de carga resistiva 
Como pode-se visualizar, como a nova carga é puramente resistiva, não haverá 
alteração na potência reativa do sistema, isto, é Qi = Qf. 
Observe o seguinte exemplo. 
 
Uma instalação consome 5 kW a um FP = 0,75 em atraso, alimentado por 
uma tensão de 220V monofásico. Determinar: 
a) qual a corrente e a potência aparente total nesta situação? 
 
Pi = 5 kW; FPi = 0,75 atraso; U = 220V 
 
𝑺𝒊 = 
𝑷𝒊
𝑭𝑷𝒊
 𝑺𝒊 = 
𝟓 𝒌𝑾
𝟎,𝟕𝟓
 𝑺𝒊 = 𝟔, 𝟔𝟕 𝒌𝑽𝑨 
 
 𝑸𝒊 = √𝑺𝟐 − 𝑷𝟐 𝑸𝒊 = √(𝟔, 𝟔𝟕)𝟐 – (𝟓)𝟐 Qi = 4,41 kVAr ind 
 
𝑰 = 
𝑺𝒊
𝑼
 
 
I = 
𝟔,𝟔𝟕 𝒌𝑽𝑨
𝟐𝟐𝟎 𝑽
 𝑰 = 𝟑𝟎, 𝟑𝟐 𝑨 
 
b) quantos kW resistivos serão necessários para que o FP seja de 0,92 em 
atraso? 
Para FP = 0,92 em atraso, usar Qf = cos-1 𝜽, logo: Qf = cos-10,92= 23,070 
 
Sendo Qf=QI= 4,41 kVAr, então: 
 
 𝑷𝒇 = 
𝑸𝒇
𝑻𝒈𝑸𝒇
 𝑷𝒇 = 
𝟒,𝟒𝟏𝑲𝑽𝑨𝒓
𝑻𝒈𝟐𝟑,𝟎𝟕𝟎 𝑷𝒇 = 
𝟒,𝟒𝟏𝑲𝑽𝑨𝒓
𝟎,𝟒𝟐𝟓𝟗
 = 10,35KW 
 
Portanto: PR = Pf –Pi = 10,35 kW – 5 kW = 5,35kW 
 
c) qual a corrente e a potência aparente total após a correção do FP 
original. 
 
 𝑺𝒇 = √𝑷𝒇𝟐 + 𝑸𝒇𝟐 𝑺𝒇 = √(𝟏𝟎, 𝟑𝟓)𝟐 + (𝟒, 𝟒𝟏)𝟐 Sf =11,25kVA 
 
𝑰 = 
𝑺𝒇
𝑼
 𝑰 = 
𝟏𝟏,𝟐𝟓 𝒌𝑽𝑨
𝟐𝟐𝟎 𝑽
 I = 51,14 A 
 
De imediato verifica-se que esta forma de correção traz um grande problema, 
melhora o fator de potência, porém aumenta o consumo e também a corrente solicitada 
da rede elétrica, acarretando aumento no diâmetro de condutores (bitola), potência de 
transformadores e dispositivos de proteção. Devido a estes fatores, esta forma de correção 
é pouco utilizada. 
2º Diminuir a potência reativa, mantendo a potência ativa. 
A maioria das cargas encontradas em instalaçõestem característica indutiva: 
motores de indução, máquinas de solda iluminação fluorescente, etc... pode-se então 
reduzir a potência reativa total introduzindo-se capacitores em paralelo com estas cargas. 
Embora saibamos que todos os capacitores apresentam perdas, sua potência ativa pode 
ser desprezada de forma que a potência ativa da instalação permaneça inalterada ou seja 
Pi = Pf, como pode ser observado na figura 18. 
 
 
Figura 18 - Correção do FP pela inserção de capacitor 
 
Exemplo: Refazer o mesmo problema do exemplo anterior, utilizando a 
correção através de capacitores específicos, inserção de carga reativa capacitiva 
kVAr. 
 
a) qual a corrente e a potência aparente total nesta situação? 
 
Pi = 5 kW; FPi = 0,75 atraso; U = 220 V; 
 
Si = 6,67 kVA; Qi = 4,41 kVA indutivo; Ii = 30,32 A 
 
b) quantos kVAr capacitivos serão necessários para que o FP seja de 0,92 em 
atraso? 
Pf = Pi = 5 kW 
 
Para FP = 0,92 em atraso, usar Qf = cos-1 𝜽, logo: Qf = cos-10,92= 23,070 
 
Qf = Pf . TgQf Qf = 5 kW . 0,4259 Qf = 2,13 kVAr indutivo 
 
Qc = Qi – Qf Qc = 4,41 – 2,13 Qc = 2,28 kVAr capacitivo 
 
c) qual a corrente e a potência aparente total após a correção do FP original. 
 
 
𝑺𝒇 = √𝑷𝒇𝟐 + 𝑸𝒇𝟐 𝑺𝒇 = √(𝟓)𝟐 + (𝟐, 𝟏𝟑)𝟐 Sf = 5,43 kVA 
 
𝑰 = 
𝑺𝒇
𝑼
 𝑰 = 
𝟓,𝟒𝟑 𝒌𝑽𝑨
𝟐𝟐𝟎 𝑽
 I = 24,07 A 
 
Observa-se que esta forma de correção é mais adequada, pois além de melhorar o 
FP, diminui a corrente e a potência aparente exigida pela carga, o que proporciona maior 
folga ao dispositivo alimentador (transformador). Esses cálculos também podem serem 
feitos com uso de tabelas. 
10 Circuitos contendo Resistores, Capacitores e Indutores (RLC) 
Anteriormente analisamos circuitos contendo resistores, capacitores e indutores 
isoladamente. Na prática isto é muito difícil de ocorrer, a não ser em circuitos puramente 
resistivos ou indutivos, já circuitos puramente capacitivos são raros de se encontrar, 
embora possamos dizer “mas e os bancos de capacitores ou capacitor isolado usado para 
correção do fator de potência (FP)?”, neste caso os capacitores estão inseridos no circuito 
em paralelo com a carga indutiva não sendo então um circuito puramente capacitivo. 
Diante do exposto é mais provável que venhamos a encontrar circuitos onde 
ocorram uma combinação dos mesmos. A combinação de resistores, capacitores e 
indutores num único circuito leva a sua resolução a complicações, principalmente quando 
tentamos solucionar por funções “seno e cosseno”. Um modo bastante simples de 
solucionar estes circuitos é somarmos geometricamente os valores individuais das cargas 
ôhmicas, indutivas e capacitivas levando em consideração o defasamento angular 
resultante. Abaixo descrevemos alguns exemplos de solução de circuitos elétricos 
contendo resistores, indutores e capacitores. 
a) Exemplo de circuito em (CA) com resistência pura. 
Um chuveiro elétrico consome 10A quando alimentado por uma tensão de 220V 
em corrente alternada. Determine sua PRMS. 
 
P = U . I P = 220 . 10 P = 2200 W 
ou 
 
 𝑹 = 
𝑼
𝑰
 𝑹 = 
𝟐𝟐𝟎
𝟏𝟎
 R = 22 Ω 
 
P = R . I2 P = 22 . (10)2 P = 2200 W 
b) Exemplo de circuito em (CA) com indutância pura. 
Determine a corrente (I) que circulará no circuito da figura 19, sendo L = 0,04 H, 
V = 220V e f = 60 HZ. 
 
Figura 19 - Circuito indutivo 
 
𝑿𝑳 = 𝝎. 𝑳 𝑿𝑳 = 𝟐. 𝝅. 𝒇. 𝑳 𝑿𝑳 = 𝟐. 𝝅. 𝟔𝟎. 𝟎, 𝟎𝟒 𝑿𝑳 = 15,08 Ω 
 
 𝑰 = 
𝑼𝑳
𝑿𝑳
 𝑰 = 
𝟐𝟐𝟎 𝑽
𝟏𝟓,𝟎𝟖 Ω
 I = 14,59 A 
c) Exemplo de circuito em (CA) com capacitância pura. 
Um circuito alimentado por corrente alternada (CA) possui um capacitor de 5μF, 
alimentado por uma tensão de 220 V e frequência da rede igual a 60 Hz. Determine a 
corrente que irá circular por este circuito. 
𝑿𝑪 =
𝟏
𝝎.𝑪
 𝑿𝑪 =
𝟏
𝟐.𝝅.𝒇.𝑪
 𝑿𝑪 =
𝟏
𝟐.𝝅.𝟔𝟎.𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝑿𝑪 = 529,10 Ω 
 
𝑰 = 
𝑼𝑪
𝑿𝑪
 𝑰 = 
𝟐𝟐𝟎 𝑳
𝑿𝑪
 𝑰 = 
𝟐𝟐𝟎 𝑽
𝟓𝟐𝟗,𝟏𝟎 Ω
 I = 0,42 A 
d) Exemplos de circuitos em Corrente Alternada (CA) composto por 
associação de Resistores (R), Indutores (L) e Capacitores (C) associados em série. 
 Estes circuitos também são chamados de circuitos RLC. 
Exemplo: Um circuito alimentado por uma tensão de 220V (RMS) em corrente 
alternada com frequência de 60 Hz é composto por uma resistência de valor de 8 Ω ligada 
em série com uma bobina de indutância de 500mH que está ligada em série com um 
capacitor de 50 μF, Figura 20. Determine a impedância (Z) deste circuito e a corrente 
circulante por este. Esboce o diagrama fasorial de impedância do circuito e as tensões nos 
terminais de R, L e C e também a potência dissipada por este circuito juntamente com o 
esboço do diagrama fasorial de tensão neste circuito RLC. 
 
 
Fig 20 - Circuito RLC série 
 
Solução: 
 
F = 60 Hz; L = 500 mH (0,5 H; C = 50 μF(50 x 10-6F); R = 8 Ω; ω = 2.π.f 
 
Cálculo das reatâncias capacitivas e indutivas XC e XL respectivamente. 
 
𝑿𝑪 =
𝟏
𝝎.𝑪
 𝑿𝑪 =
𝟏
𝟑𝟕𝟕.𝟓𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝑿𝑪= 53,05 Ω 
 
𝑿𝑳 = 𝝎. 𝑳 𝑿𝑳 = 𝟐. 𝝅. 𝒇. 𝑳 𝑿𝑳 = 𝟑𝟕𝟕. 𝟎, 𝟓 𝑿𝑳= 188,5 Ω 
 
Cálculo da impedância (Z) do circuito RLC série. 
 
 𝒁 = √𝐑𝟐 + (𝑿𝑳– 𝑿𝑪)𝟐 
 𝒁 = √𝟖𝟐 + (𝟏𝟖𝟖, 𝟓 – 𝟓𝟑, 𝟎𝟓)𝟐 
 
Z = 135,68 Ω 
 
Cálculo do ângulo 𝛉 do circuito RLC série 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝑹
𝒁
 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝟖Ω
𝟏𝟑𝟓,𝟔𝟖 Ω
 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟗 
 
 cos-1 = 86,620 
 
Esboço do diagrama fasorial de impedância (Z) do circuito RLC. 
 
Figura 21 - Diagrama fasorial de impedância 
 
Cálculo da corrente (I) 
 
𝑰 = 
𝑼
𝒁
 𝑰 = 
𝟐𝟐𝟎 𝑽
𝟏𝟑𝟓,𝟔𝟖 Ω
 I = 1,62 A 
 
-82,620 em atraso, pois se trata de circuito indutivo (com predominância de 
reatância indutiva) 
 
I = 1,62 A (-82,620) 
 
Cálculo das tensões nos terminais da resistência (R), da bobina (L) e do 
capacitor (C). 
 
𝑼𝑹= R . I 𝑼𝑹= 8 Ω . 1,62 A 𝑼𝑹= 12,96 V 
 
(em fase com I) circuito resistivo, tensão em fase com a corrente. 
 
𝑼𝑹= 12,96 V 
 
𝑼𝑳= XL . I 
 
𝑼𝑳= 185,5 Ω . 1,62 A 𝑼𝑳= 305,37 V 
 
(adiantada 900 em relação à corrente (I)) circuito indutivo 
 
𝑼𝑳= 305,37 V (900) 
 
𝑼𝑪= 𝑿𝑪. I 
 
𝑼𝑪= 53,05 Ω . 1,62 A 𝑼𝑪= 85,94 V 
 
(atrasada -900 em relação à corrente (I)) circuito capacitivo 
 
𝑼𝑪= 85,94 V (-900) 
 
Cálculo da tensão eficaz (RMS) do circuito 
 
 𝑼 = √𝑹𝟐 + (𝑽𝑳 – 𝑽𝑪)𝟐 
 
 U= √(𝟏𝟐, 𝟗𝟔)𝟐 + (𝟑𝟎𝟓, 𝟑𝟕 – 𝟖𝟓, 𝟗𝟒)𝟐 
 
URMS = 220 V 
 
Cálculo do ângulo do circuito RLC série utilizando os valores de tensão 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝑼𝑹
𝑼
 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝟏𝟐,𝟗𝟔 𝑽
𝟐𝟐𝟎 𝑽
 
 
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟗 
 
cos-1 = 86,620 
 
Cálculo da potência dissipada no circuito RLC 
 
P = R . I2 
 
P = 8 . (1,62)2 P = 20,99 W 
 
ou 
 
P = U . I . 𝒄𝒐𝒔 𝜽 
 
 P = 220 . 1,62 . 0,0589 P = 20,99 W 
 
 
 
 
Esboço do diagrama fasorial de tensão (V) do circuito RLC 
 
 
Figura 22 - Diagrama fasorial de tensão (V) 
e) Exemplos de circuitos RLC, associados em paralelo. 
Exemplo: Um circuito alimentado por uma tensão de 440 V (RMS) em corrente 
alternada e frequência da rede de 60 Hz, composto por uma resistência (R) de valor de 8 
Ω, ligada em paralelo com uma bobina com reatância indutiva (XL) de valor 10 Ω, que 
se encontra conectada em paralelo com um capacitor que apresenta um valor de 
reatância capacitiva (XC) de 20 Ω, conforme figura 23. 
Determine a corrente circulante em R, em L e em C, a corrente total circulante 
pelo circuito. O valor da indutância (L) em Henry (H) e o valor da capacitância (C) em 
µF. Determine a potência ativa do circuito e asua impedância total (Z) e esboce o 
diagrama fasorial de corrente e impedância. 
 
 
Figura 23 - Circuito RLC paralelo 
 
Cálculo da corrente circulante em R, L e C. 
 
 𝑰𝑹 = 
𝑼
𝑹
 𝑰𝑹 = 
𝟒𝟒𝟎 𝑽
𝟖 Ω
 
 
IR = 55 A 
 
circuito puramente resistivo, I em fase com U 
IR = 55 A (00) 
𝑰𝑳 = 
𝑼
𝑿𝑳
 𝑰𝑳 = 
𝟒𝟒𝟎 𝑽
𝟏𝟎 Ω
 
 
IL = 44 A 
 
circuito indutivo atrasado 900 à corrente (I) em relação a tensão (U) 
I L= 44 A (-900) 
 
𝑰𝑪 = 
𝑼
𝑿𝑪
 𝑰𝑪 = 
𝟒𝟒𝟎 𝑽
𝟐𝟎 Ω
 
 
IC = 22 A 
 
circuito capacitivo adiantado 900 à corrente (I) em relação a tensão (U) 
I C = 22 A (+900) 
 
Cálculo da corrente total circulante pelo circuito It. 
 
𝑰𝒕 = √𝑰𝑹𝟐 + (𝑰𝑳 – 𝑰𝑪)𝟐 𝑰𝒕 = √(𝟓𝟓)𝟐 + (𝟒𝟒 – 𝟐𝟐)𝟐 
 
It = 59,237 A 
 
Cálculo do ângulo θ do circuito RCL paralelo utilizando os valores de 
corrente. 
cos θ = 
𝑰𝑹
𝑰𝒕
 cos θ = 
𝟓𝟓 𝑨
𝟓𝟗,𝟐𝟑𝟕 𝑨
 cos θ = 0,9285 
 
cos-1 = 21,800 
 
 
Cálculo da potência dissipada no circuito RLC paralelo. 
 
P = U . I . cos θ P = 440 . 59,237 . 0,9285 P = 24200 W 
ou 
P = R . IR2 *atenção, I de R, não o I total* 
 
P = 8 . (55)2 P = 24200 W 
 
Cálculo dos valores de indutância e de capacitância do circuito RLC 
paralelo. 
 
𝑿𝑳= ω . L L = 
𝑿𝑳
𝝎
 L = 
𝟏𝟎 Ω
𝟐𝝅𝒇
 
 
L = 
𝟏𝟎 Ω
𝟐𝝅𝟔𝟎
 L = 
𝟏𝟎
𝟑𝟕𝟕
 L = 0,0265 H ou L = 26,5 mH 
 
 
𝑿𝑪= 
𝟏
𝝎 . 𝑪
 C = 
𝟏
𝝎 . 𝑿𝑪
 C = 
𝟏
𝟑𝟕𝟕 . 𝟐𝟎
 
 
C = 
𝟏
𝟕𝟓𝟒𝟎
 C =0,000132F ou C = 132 μF 
Esboço do diagrama fasorial de corrente (I) do circuito RLC em paralelo. 
 
 
 
Figura 24 - Diagrama fasorial de corrente (I) 
 
Cálculo da impedância (Z) do circuito RLC paralelo. 
 
 
𝟏
𝒁
 = √ 𝟏
𝑹𝟐 + (
𝟏
𝑿𝑪
 − 
𝟏
𝑿𝑳
)
𝟐
 
 
 
𝟏
𝒁
 = √ 𝟏
(𝟖)𝟐 + (
𝟏
𝟐𝟎
 − 
𝟏
𝟏𝟎
)
𝟐
 
 
 
𝟏
𝒁
 = √
𝟏
𝟔𝟒
 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 
 
 
𝟏
𝒁
 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟓 
 
 Z = 
𝟏
𝟎,𝟏𝟑𝟒𝟔𝟑
 
 
Z = 𝟕, 𝟒𝟐𝟕𝟖 Ω 
 
Esboço do diagrama fasorial de impedância (Z) do circuto RLC em 
paralelo. 
 
 
Figura 25 - Diagrama fasorial de impedância (Z) 
 
 
 
Cálculo da tensão eficaz (RMS) do circuito RLC em paralelo. 
 
U = Z . IT U = 7,4278 Ω . 59,237 A U(RMS) = 440 V 
 
Cálculo do ângulo θ do circuito RLC paralelo utilizando os valores de 
impedância. 
 
cos θ = 
𝒁
𝑹
 cos θ = 
𝟕,𝟒𝟐𝟕𝟖 Ω
𝟖 Ω
 cos θ = 0,9285 
 
cos-1 = 21,800 
11 Considerações Finais 
Um dispositivo resistivo, como por exemplo um resistor, é aquele que resiste a 
passagem da corrente, mantendo seu valor ôhmico constante tanto para a corrente 
contínua como para a corrente alternada. 
Um dispositivo reativo, ou seja, por exemplo um capacitor ou indutor, reagem as 
variações de corrente, sendo que seu valor ôhmico muda conforme a velocidade de 
variação da corrente que neles se aplicam. 
Essa reação as variações de corrente são denominadas reatância capacitiva ou 
reatância indutiva, cujas unidades de medida é o ohm (Ω) e dependem da frequência (Hz). 
No indutor, a reatância (XL) é diretamente proporcional a frequência e a indutância 
(XL = ω . L) onde ω = 2πf. 
No capacitor, a reatância (XC) é inversamente proporcional à frequência e à 
capacitância (XC= 
1
ω.c
 ) onde ω = 2πf. 
No indutor a tensão adianta 900 em relação à corrente, já no capacitor a tensão 
atrasa 900 em relação à corrente quando são alimentados por um gerador de corrente 
alternada (CA). 
As suas reatâncias possuem fases contrárias, a reatância indutiva aumenta com a 
frequência enquanto a reatância capacitiva diminui com o aumento da frequência. 
É em razão desses motivos citados anteriormente que podemos dizer que o indutor 
e o capacitor possuem comportamentos “duais”, ou seja, essa dualidade é responsável 
pela enorme quantidade de aplicações dos indutores e capacitores. 
Nos circuitos RLC série a reatância predominante é a de maior valor, ou seja, XL 
> XC = circuito indutivo, XC > XL = circuito capacitivo e XL = XC circuito resistivo = 
(ressonância) = circuito resistivo. A impedância (Z) do circuito é a soma complexa da 
resistência (R) com as reatâncias indutivas e capacitivas, onde se obtém a equação: 
𝒁 = √𝑹𝟐 + (𝑿𝑳 – 𝑿𝑪)𝟐. 
A tensão (U) no gerador de um circuito RLC série em corrente alternada (CA), é 
a soma complexa das tensões da resistência (R) com as tensões nas reatâncias XL e XC, 
onde pode-se obter a equação: 𝑼 = √ 𝑽𝑹
𝟐 + (𝑽𝑳– 𝑽𝑪)𝟐 . 
Nos circuitos RLC paralelo a reatância predominante é a de menor valor, ou seja, 
XL > XC circuito capacitivo, XC > XL = circuito indutivo e XL = XC = (ressonância) = 
circuito resistivo. A impedância (Z) do circuito é a soma complexa do inverso da 
resistência (R) com o inverso das reatâncias indutivas (XL), onde se obtém a equação: 
 
𝟏
𝒁
= √ 
𝟏
𝑹𝟐 + (
𝟏
𝑿𝑪
 − 
𝟏
𝑿𝑳
)𝟐 . 
A corrente (I) no gerador de um circuito RLC paralelo ligado em corrente 
alternada (CA), é a soma complexa das correntes na resistência (R) e nas reatâncias XL e 
XC, onde obtemos equação: 𝐈 = √ 𝐈𝐑
𝟐 + (𝐈𝐋 – 𝐈𝐂)𝟐. 
O ângulo θ de defasagem em um circuito RLC em série pode ser calculado pelas 
equações: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝑹
𝒁
 ou 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝑼𝑹
𝑼
 . 
Para circuitos RLC em paralelo o ângulo de defasagem θ pode ser calculado pelas 
equações: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝑰𝑹
𝑰
 ou 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 
𝒁
𝑹
 . 
 
12 Referências Bibliográficas 
Circuitos Elétricos, Corrente Contínua e Corrente Alternada, Otávio Markus, 
Editora Érica. São Paulo: 2004, 9ª Edição 
Circuitos Eletrônicos: Fundamentos e aplicações, Mike Tooly, Rio de Janeiro: 
Elsevier 3ª Edição, 2007 
Instalações Elétricas, Hélcio Creder, Rio de Janeiro: LTC 15ª Edição, 2007 
Eletricidade e Eletrônica Básica, Almir Wirth Lima Júnior, Rio de Janeiro: Alta 
Books 3ª Edição, 2009 
Eletrotécnica Geral, Eurico Guimarães de Castro Neves, Pelotas: Editora 
Universitária/UFPEL, 2ª Edição, 2004 
Acionamentos Elétricos, Claiton Moro Franchi, São Paulo: Editora Érica 4ª 
Edição, 2008 
Eletrônica Aplicada, Eduardo Cesar Alves Cruz e Salomão Choueri Júnior, São 
Paulo: Editora Érica 2ª Edição, 2008 
Manual Básico de Motores Elétricos, Raul Perugallo Torreira, Rio de Janeiro: 
Antena Edições Técnicas 3ª Edição, 1990