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Parte 2
Espac¸os vetoriais reais
Introduziremos o conceito de espac¸o vetorial real, com eˆnfase em espa-
c¸os vetoriais finitamente gerados, e estudaremos as suas propriedades. Apre-
sentaremos os conceitos de subespac¸os vetoriais, subespac¸os finitamente ge-
rados, intersec¸a˜o de subespac¸os, combinac¸a˜o linear, espac¸os vetoriais reais
finitamente gerados, conjuntos linearmente independentes ou linearmente de-
pendentes, base e dimensa˜o de espac¸os vetoriais reais finitamente gerados,
coordenadas numa base e soma e soma direta de subespac¸os vetoriais reais.
Estudaremos transformac¸o˜es lineares entre espac¸os vetoriais reais de
dimensa˜o finita, nu´cleo e imagem de transformac¸o˜es lineares, teorema do
nu´cleo e da imagem, representac¸a˜o matricial de transformac¸o˜es lineares entre
espac¸os vetoriais reais de dimensa˜o finita e suas propriedades; funcionais
lineares e suas propriedades.
Finalizaremos com a a´lgebra das transformac¸o˜es lineares em espac¸os ve-
toriais reais de dimensa˜o finita, apresentando as operac¸o˜es de adic¸a˜o, multi-
plicac¸a˜o por escalar e composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares; transformac¸o˜es
lineares invert´ıveis, isomorfismo e automorfismo de espac¸os vetoriais.
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Espac¸os vetoriais e subespac¸os
PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
Espac¸os vetoriais e subespac¸os
Terminologia:
Espac¸os vetoriais reais sa˜o
tambe´m chamados de
R-espac¸os vetoriais ou
espac¸os vetoriais sobre R.
Aqui diremos simplesmente
espac¸os vetoriais.
Definic¸a˜o 1 (Espac¸o vetorial real)
Um espac¸o vetorial real e´ um conjunto na˜o vazio V munido com operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
+ : V × V −→ V
(v,w) 7−→ v+w e · : R× V −→ V(a, v) 7−→ a · v,
tendo as seguintes propriedades, para quaisquer a, b ∈ R e u, v,w ∈ V:
A1 (Associativa): u+ (v+w) = (u+ v) = w;
A2 (Comutativa): u + v = v+ u;
A3 (Existeˆncia de elemento neutro aditivo):
Existe θ ∈ V, tal que v+ θ = v, para todo v ∈ V;
A4 (Existeˆncia de sime´trico):
Para cada v ∈ V, existe u ∈ V, tal que u+ v = θ;
Me1: 1 · v = v;
Me2 (Associativa): a · (b · v) = (a · b) · v;
AMe1 (Distributiva): a · (u+ v) = a · u+ a · v;
AMe2 (Distributiva): (a+ b) · v = a · v+ b · v.
Os elementos de V sa˜o chamados de vetores.
Exemplo 1
V = R e´ um espac¸o vetorial real com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o de nu´meros reais.
Exemplo 2
C = {a + bi ; a, b ∈ R} com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de nu´meros
complexos e a multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por um nu´mero complexo, a
saber,
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i e a · (c+ di) = (a · c) + (a · d)i,
onde a, b, c, d ∈ R, e´ um espac¸o vetorial real.
Exemplo 3
V = Mm×n(R), com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de matrizes e multi-
plicac¸a˜o de um nu´mero real por uma matriz, e´ um espac¸o vetorial real.
De fato, ja´ mostramos a validade de A1, A2, A3, Me1, Me2, AMe1 e AMe2.
So´ falta verificar A4. Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). Definindo B = (bij) por
bij = −aij, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, temos que
(A+ B)ij = aij + bij = aij + (−aij) = 0,
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A´lgebra Linear I
Espac¸os vetoriais e subespac¸os
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Logo, A+ B = 0m×n.
Verifique as oito
propriedades das operac¸o˜es.
Exemplo 4
R2 = {(x, y) ; x, y ∈ R} com as operac¸o˜es:
(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y+ y′) e a · (x, y) = (a · x, a · y),
onde x, y, x′, y′ ∈ R, e´ um espac¸o vetorial real.
Exemplo 5
R3 = {(x, y, z) ; x, y, z ∈ R}, com as operac¸o˜es:
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y+ y′, z+ z′) e
a · (x, y, z) = (a · x, a · y, a · z),
onde x, y, z, x′, y′, z′ ∈ R, e´ um espac¸o vetorial real.
Verifique as oito
propriedades das operac¸o˜es.
Exemplo 6
Inspirados nos Exemplos 1, 4 e 5, para cada natural n ≥ 1, vamos mostrar
que
Rn = {(x1, . . . , xn) ; x1, . . . , xn ∈ R},
munido com as operac¸o˜es:
A adic¸a˜o e´ feita coordenada
a coordenada e a
multiplicac¸a˜o por escalar e´
feita em cada coordenada.
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e
a · (x1, . . . , xn) = (a · x1, . . . , a · xn),
para quaisquer x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, a ∈ R, e´ um espac¸o vetorial.
De fato, sejam u = (x1, . . . , xn), v = (y1, . . . , yn) e w = (z1, . . . , zn) e
a, b ∈ R, enta˜o:
A1 (Associativa):Em (1) usamos a definic¸a˜o
da adic¸a˜o de v+w; em (2),
a definic¸a˜o da adic¸a˜o de u e
v+w; em (3), em cada
coordenada, a
associatividade da adic¸a˜o em
R; em (4) e (5), a definic¸a˜o
da adic¸a˜o no Rn .
u+ (v+w)
(1)
= u+ (y1 + z1, . . . , yn + zn)
(2)
=
(
x1 + (y1 + z1), . . . , xn + (yn + zn)
)
(3)
=
(
(x1 + y1) + z1, . . . , (xn + yn) + zn
)
(4)
= (x1 + y1, . . . , xn + yn) + (z1, . . . , zn)
(5)
= (u+ v) +w
A2 (Comutativa):
Em (1) e (3) usamos a
definic¸a˜o da adic¸a˜o no Rn e
em (2), em cada coordenada,
a comutatividade da adic¸a˜o
em R.
u+ v
(1)
= (x1 + y1, . . . , xn + yn)
(2)
= (y1 + x1, . . . , yn + xn)
(3)
= v+w
A3 (Existeˆncia de elemento neutro aditivo): A n-upla o = (0, . . . , 0) e´ o
elemento neutro, pois para todo u = (x1, . . . , xn) temos que
0 e´ elemento neutro da
adic¸a˜o em R.
u+ o = (x1 + 0, . . . , xn + 0) = (x1, . . . , xn) = u.
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Espac¸os vetoriais e subespac¸os
PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
A4 (Existeˆncia de sime´trico): O sime´trico de u = (x1, . . . , xn) e´ o elemento
v = (−x1, . . . ,−xn), pois
O sime´trico de x∈ R e´ −x,
pois x+(−x) = 0.
u+ v = (x1 + (−x1), . . . , xn + (−xn)) = (0, . . . , 0) = o.
Me2 (Associativa): Em (1) usamos a definic¸a˜o
de b · v; em (2), a definic¸a˜o
da multiplicac¸a˜o pelo escalar
a; em (3), em cada
coordenada, a
associatividade da
multiplicac¸a˜o em R ; em (4),
a definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o
pelo escalar a · b; em (5), a
definic¸a˜o de v.
a · (b · v)
(1)
= a · (b · y1, . . . , b · yn)
(2)
=
(
a · (b · y1), . . . , a · (b · yn)
)
(3)
=
(
(a · b) · y1, . . . , (a · b) · yn
)
(4)
= (a · b) · (y1, . . . , yn)
(5)
= (a · b) · v
AMe1 (Distributiva):
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de adic¸a˜o no Rn ; em (2), a
definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o
por escalar no Rn ; em (3),
em cada coordenada a
distributividade em R; em
(4), a definic¸a˜o de adic¸a˜o no
Rn ; em (5), novamente, a
definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o
por escalar no Rn .
a · (u+ v)
(1)
= a · (x1 + y1, . . . , xn+ yn)
(2)
=
(
a · (x1 + y1), . . . , a · (xn + yn)
)
(3)
= (a · x1 + a · y1, . . . , a · xn + a · yn)
(4)
= (a · x1, . . . , a · xn) + (a · y1, . . . , a · yn)
(5)
= a · u+ a · v
Deixamos como Exerc´ıcio mostrar:
Me1: 1 · v = v e
AMe2 (Distributiva): (a+ b) · v = a · v+ b · v.
Antes de darmos outros Exemplos de espac¸os vetoriais reais vamos mos-
trar mais algumas propriedades importantes.
Proposic¸a˜o 1 (Propriedades adicionais)
Seja V um espac¸o vetorial real. Valem as seguintes propriedades:
(a) o elemento neutro e´ u´nico.
(b) o sime´trico e´ u´nico.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Sejam θ e θ′ em V elementos neutros da adic¸a˜o. Enta˜o, Em (1) usamos que θ′ e´
elemento neutro e em (2),
que θ e´ elemento neutro.θ
(1)
= θ + θ′
(2)
= θ′.
(b) Sejam u, u′ ∈ V sime´tricos de v ∈ V. Enta˜o, u+ v = 0, u′ + v = 0 e
u = 0+ u = (u′ + v) + u = u′ + (v+ u) = u′ + 0 = u′.
Daqui por diante, denotamos o elemento neutro aditivo de um espac¸o
vetorial V por 0V e o sime´trico de v por −v.
Exemplo 7
Seja n ∈ N fixado e t uma indeterminada. Definimos
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Espac¸os vetoriais e subespac¸os
Pn(R) = {f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ ant
n ; aj ∈ R, para cada j = 0, . . . , n}.
Para f(t)= a0 + a1t+ · · ·+ ant
n e g(t) = b0 + b1t+ · · ·+ bnt
n em Pn(R)
e k ∈ R definimos
f(t) + g(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)t
n e
k · f(t) = (k · a0) + (k · a1)t+ · · ·+ (k · an)t
n.
Com essas operac¸o˜es, Pn(R) e´ um espac¸o vetorial.
Exemplo 8
Seja t uma indeterminada. Definimos o conjunto dos polinoˆmios com coefi-
cientes reais como
P(R) = {a0 + a1t+ · · ·+ ant
n ; n ∈ N e aj ∈ R, para cada j = 0, . . . , n}.
P(R) e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de polinoˆmios
e multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por um polinoˆmio.
Observamos que P(R) =
⋃
n≥0
Pn(R), ale´m disso, P0(R) = R e
P0(R) ⊂ P1(R) ⊂ · · · ⊂ Pn(R) ⊂ Pn+1(R) ⊂ · · · .
Exemplo 9
Seja I ⊂ R um intervalo. Definimos
F(I) = {f : I −→ R ; f e´ func¸a˜o }.
F(I) e´ um espac¸o vetorial, com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o
por um nu´mero real, a saber, para f, g ∈ F(I) e k ∈ R,
(f+ g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ I e
(k · f)(x) = k · f(x), para todo x ∈ I.
De fato, para quaisquer f, g, h ∈ F(I) e k, ℓ ∈ R, temos:
A1 (Associativa): Para todo x ∈ I,
Em (1), (2), (4) e (5) usamos
a definic¸a˜o de adic¸a˜o de
func¸o˜es e em (3), a
associatividade da adic¸a˜o em
R.
(f+ (g+ h))(x)
(1)
= f(x) + (g+ h)(x)
(2)
= f(x) + (g(x) + h(x))
(3)
= (f(x) + g(x)) + h(x)
(4)
= (f+ g)(x) + h(x)
(5)
= ((f+ g) + h)(x),
logo f+ (g+ h) = (f+ g) + h.
A2 (Comutativa): Para todo x ∈ R, temos
(f+ g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+ f)(x).
Logo, f+ g = g+ f.
A3 (Existeˆncia de elemento neutro aditivo): A func¸a˜o o : I −→ R definida
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PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
por o(x) = 0, para todo x ∈ R, e´ o elemento neutro, pois o + f = f, para
todo f ∈ F(I).
A4 (Existeˆncia de sime´trico): Dada f ∈ F(I) tomamos g : I −→ R definida
por g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. Enta˜o, f+ g = o.
Me2 (Associativa): Para todo x ∈ I, temos
Em (1), (2) e (4) usamos a
definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o de
uma func¸a˜o por um nu´mero
real e em (3), a
associatividade da
multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais.
(k · (ℓ · f))(x)
(1)
= k · (ℓ · f)(x)
(2)
= k · (ℓ · f(x))
(3)
= (k · ℓ) · f(x)
(4)
= ((k · ℓ) · f)(x),
logo, k · (ℓ · f) = (k · ℓ) · f.
Deixamos as propriedades Me1, AMe1 e AMe2 como exerc´ıcio.
Os subconjuntos de um espac¸o vetorial que interessam sa˜o os subespa-
c¸os vetoriais.
Definic¸a˜o 2 (Subespac¸o vetorial)
Seja V um espac¸o vetorial real. Um subconjunto na˜o vazioW de V e´ chamado
um subespac¸o vetorial de V se, e somente se, W e´ um espac¸o vetorial com as
operac¸o˜es de V.
Exemplo 10
{0V} e V sa˜o subespac¸os de V, chamados de subespac¸os triviais.
Quais condic¸o˜es W ⊂ V deve satisfazer para ser um subespac¸o? A
resposta esta´ a seguir.
Proposic¸a˜o 2
Seja V um espac¸o vetorial. Um subconjunto na˜o vazio W de V e´ um su-
bespac¸o de V se, e somente se,
(a) 0V ∈W;
(b) se u,w ∈W, enta˜o u+w ∈W;
(c) se w ∈W e k ∈ R, enta˜o k ·w ∈W.
Demonstrac¸a˜o:
Fez o Exerc´ıcio 1b?
(=⇒:) Suponhamos que W 6= ∅ seja um subespac¸o de V. Enta˜o, pela de-
finic¸a˜o de subespac¸o, W esta´ munido com as operac¸o˜es de V e valem (b) e
(c). Como existe w ∈W e −w = (−1) ·w ∈W, logo 0v = w+ (−w) ∈W.
(:⇐=) Suponhamos que W ⊂ V tenha as propriedades (a), (b) e (c). De (a)
segue que W 6= ∅. De (b) e (c) segue que as operac¸o˜es de V esta˜o fechadas
em W. As propriedades A1, A2, Me1, AMe1, AMe2 valem em W pois valem
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Espac¸os vetoriais e subespac¸os
em qualquer subconjunto de V. Vale A3, pois 0V ∈ W e´ o elemento neutro
da adic¸a˜o. Para cada w ∈ W, −w = (−1) ·w ∈ W, valendo A4. Portanto,
W e´ um espac¸o vetorial. �
Geometricamente, planos
que passam pela origem sa˜o
subespac¸os vetoriais do R3.
Exemplo 11
W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y+ 3z = 0} e´ um subespac¸o do R3.
De fato:
(a) 0− 2 · 0+ 3 · 0 = 0, logo, (0, 0, 0) ∈W.
(b) Sejam u = (x, y, z), w = (x′, y′, z′) em W. Enta˜o, x − 2y + 3z = 0,
x′ − 2y′ + 3z′ = 0. Como u+w = (x + x′, y+ y′, z+ z′), temos
Em (1) usamos a
distributividade em R; em
(2), a comutatividade e
associatividade da adic¸a˜o em
R e em (3), que u,w∈W.
(x+ x′) − 2(y+ y′) + 3(z+ z′)
(1)
= x + x′ − 2y − 2y′ + 3z+ 3z′
(2)
= (x− 2y+ 3z) + (x′ − 2y′ + 3z′)
(3)
= 0+ 0 = 0,
logo u+w ∈W.
(c) Sejam u = (x, y, z) ∈W e a ∈ R.Em (4) usamos a
comutatividade da
multiplicac¸a˜o e a
distributividade em R e em
(5), que u∈W.
Enta˜o, x − 2y+ 3z = 0, a · u = (a · x, a · y, a · z) e
(a · x) − 2(a · y) + 3(a · z)
(4)
= a · (x− 2y+ 3z)
(5)
= a · 0 = 0.
Logo, a · u ∈W.
Geometricamente, retas no
plano que na˜o passam pela
origem na˜o sa˜o subespac¸os
do R2 , enquanto retas no
plano passando pela origem
sa˜o subespac¸os do R2.
Exemplo 12
U = {(x, y) ∈ R2 ; 2x− y = 3} na˜o e´ subespac¸o do R2, pois (0, 0) 6∈ U.
W = {(x, y) ∈ R2 ; 2x− y = 0} e´ subespac¸o do R2.
Exemplo 13
Vamos mostrar que W e´ um subespac¸o de M2×2(R), onde
W =
{(
a b
c d
)
∈M2×2(R) ; a+ b+ c = 0 e 2a− b+ d = 0
}
.
Primeiramente, escrevemos A ∈W como A =
(
a b
−a− b −2a+ b
)
, onde
a, b ∈ R.
(a) E´ claro que tomando a = b = 0, temos
(
0 0
0 0
)
∈W.
(b) Sejam A =
(
a b
−a− b −2a+ b
)
e A′ =
(
a′ b′
−a′ − b′ −2a′ + b′
)
em
W. Enta˜o,
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PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
A+A′ =
(
a+ a′ b+ b′
(−a− b) + (−a′ − b′) −2a+ b+ (−2a′ + b′)
)
=
(
a+ a′ b+ b′
−(a+ a′) − (b+ b′) −2(a+ a′) + (b+ b′)
)
=
(
a′′ b′′
−a′′ − b′′ −2a′′ + b′′
)
∈W, onde tomamos a′′ = a+ a′
e b′′ = b+ b′.
(c) Seja k ∈ R e A como em (b). Enta˜o,
Usamos a distributividade e
a comutatividade da
multiplicac¸a˜o em R.
k ·A =
(
k · a k · b
k · (−a− b) k · (−2a+ b)
)
=
(
k · a k · b
−(k · a) − (k · b) −2(k · a) + (k · b)
)
=
(
a′ b′
−a′ − b′ −2a′ + b′
)
esta´ em W, onde
tomamos a′ = k · a e b′ = k · b.
Exerc´ıcios
1. Seja V um espac¸o vetorial real. Mostre que:
(a) Para todo v ∈ V, temos 0 · v = 0V.
(b) Para cada v ∈ V, o sime´trico de v e´ (−1) · v.
2. Mostre que os seguintes conjuntos sa˜o espac¸os vetoriais reais, com as
operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um nu´mero real:
(a) R2 = {(x, y) ; x, y ∈ R}.
(b) R3 = {(x, y, z) ; x, y, z ∈ R}.
(c) M2×2(R).
(d) Pn(R), onde n ∈ N.
(e) P(R).
3. Seja V = {x ∈ R ; x > 0}. Para x, y ∈ V e k ∈ R, definimos:
x⊕ y = x · y, onde · e´ a multiplicac¸a˜o de nu´meros reais, e
k⊙ x = xk, a k-e´sima poteˆncia de x.
Mostre que V e´ um espac¸o vetorial real com as operac¸o˜es ⊕ e ⊙.
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Espac¸os vetoriais e subespac¸os
4. Determine, em cada item, se o subconjunto W de V e´ um subespac¸o
vetorial de V:
(a) V = R2 e W = { (x, y) ∈ R2 ; x − 3y = 1 }.
(b) V = R2 e W = { (x, y) ∈ R2 ; x − 3y = 0 }.
(c) V = R3 e W = { (x, 2x,−3x) ; x ∈ R }.
(d) V = R3 e W = { (x, y, z) ∈ R3 ; 2x+ y− z = 2 }.
(e) V = R3 e W = { (x, y, z) ∈ R3 ; 2x+ y− z = 0 }.
(f) V = P2(R) e W = {a+ bt+ ct
2 ∈ P2(R) ; 2a+ b− c = 0 }.
(g) V = F(R) = {f : R −→ R ; f e´ func¸a˜o } e
W = {f ∈ V ; f e´ func¸a˜o ı´mpar }.
(h) V = F(R) e W = {f ∈ V ; f e´ func¸a˜o par }.
(i) V = F(R) e W = C(R) = {f ∈ V ; f e´ cont´ınua }.
(j) V = F(R) e W = D(R) = {f ∈ V ; f e´ deriva´vel }.
(k) V = R4 e W = { (x, y, z,w) ∈ R4 ; 2x− y+ 3z−w = 0 }.
(l) V = Mn×1(R) e W = {X ∈ V ; AX = 0 }, onde A ∈ Mm×n(R) e´
uma matriz dada.
(m) V = M2×2(R) e W =
{ (
a b
c d
)
∈ V ; a + d = 0, b− 2d = 0
}
.
W e´ chamado um hiperplano
do Rn .
(n) V = Rn e W = { (x1, . . . , xn) ∈ R
n ; a1x1+ · · ·+anxn = 0 },onde
a1, . . . , an sa˜o nu´meros reais fixados nem todos nulos, isto e´, tais
que (a1, . . . , an) 6= (0, . . . , 0).
(o) V = Mn×n(R) e W = {A ∈ V ; A
t = −A}.
(p) V = Mn×n(R) e W = {A ∈ V ; A
t = A}.
5. Sejam V um espac¸o vetorial e U e W subespac¸os de V. Mostre que:
(a) U ∩W e´ um subespac¸o de V;
(b) U∪W e´ um subespac¸o de V se, e somente se, U ⊂W ou W ⊂ U;
(c) U+W = {u+w ; u ∈ U,w ∈W} e´ um subespac¸o de V.
6. Determine U ∩W e interprete geometricamente U, W e U ∩W, onde
U = { (x, y, z) ∈ R3 ; 2x+ y− z = 0 } e
W = { (x, y, z) ∈ R3 ; x+ y+ 2z = 0 }.
7. Determine U ∩W, onde U = { (x, y, z,w) ∈ R4 ; x −w = 0 } e
W = { (x, y, z,w) ∈ R4 ; x + y+ z = 0, y−w = 0 }.
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e
independeˆncia linear
Vamos aprender a construir subespac¸os de um espac¸o vetorial real. Para
isto introduzimos o seguinte conceito.
Definic¸a˜o 3 (Combinac¸a˜o linear)
Seja V um espac¸o vetorial. Sejam v1, . . . , vm em V e a1, . . . , am em R.
Dizemos que v = a1v1+ · · ·+amvm e´ uma combinac¸a˜o linear de v1, . . . , vm.
Exemplo 14
Se V = R e v1 = 1, enta˜o para todo v = a ∈ R temos v = a · 1 = av1 e´
combinac¸a˜o linear de v1.
Exemplo 15
V = R2, v1 = (1, 1) e v = (3, 3) = 3v1 e´ uma combinac¸a˜o linear de v1.
Exemplo 16
Sejam v1 = (1, 1) e v2 = (1,−1) em R
2. Observamos que dado (x, y) ∈ R2
existem a, b ∈ R tais que
(x, y) = av1+bv2 = a(1, 1)+b(1,−1) = (a+b, a−b), pois
{
a+ b = x
a− b = y
e´ um sistema poss´ıvel e determinado, cujas soluc¸o˜es sa˜o a = x+y
2
e b = x−y
2
.
Portanto, qualquer vetor do R2 e´ combinac¸a˜o linear de v1 e v2, a saber,
(x, y) = x+y
2
(1, 1) + x−y
2
(1,−1).
Exemplo 17
Sejam e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Para todo (x, y, z) ∈ R
3,
temos
(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)
= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
= xe1 + ye2 + ze3.
Exemplo 18
Sejam e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) em R
n
Para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ R
n, temos
(x1, x2, . . . , xn) = (x1, 0 . . . , 0) + (0, x2, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , 0, xn)
= x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, 0 . . . , 0) + · · ·+ xn(0, 0, . . . , 1)
= x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.
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A´lgebra Linear I
Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
Definic¸a˜o 4 (Subespac¸o gerado)
Seja V um espac¸o vetorial real e sejam v1, . . . , vm em V. O conjunto W de
todas as combinac¸o˜es lineares de v1, . . . , vm e´ um subespac¸o de V chamado de
subespac¸o gerado por v1, . . . , vm e e´ denotado por W = [ v1, . . . , vm ]. Assim,
W = [ v1, . . . , vm ]
= {a1v1 + · · ·+ amvm ; a1, . . . , am ∈ R},
e dizemos que v1, . . . , vm sa˜o geradores ou geram W.
Precisamos mostrar que, efetivamente, W = [ v1, . . . , vm ] e´ um su-
bespac¸o de V. De fato,
(a) Tomando a1 = · · · = am = 0 ∈ R, temos 0V = 0v1+ · · ·+0vm ∈W.
(b) Sejam u = a1v1 + · · · + amvm e w = b1v1 + · · · + bmvm em W.
Enta˜o,
Em (1) usamos a
comutatividade e
associatividade da adic¸a˜o em
V e em (2), a
distributividade da
multiplicac¸a˜o por escalar em
V.
u+w = (a1v1 + · · ·+ amvm) + (b1v1 + · · ·+ bmvm)
(1)
= (a1v1 + b1v1) + · · ·+ (amvm+ bmvm)
(2)
= (a1 + b1) · v1 + · · ·+ (am+ bm) · vm ∈W,
pois aj + bj ∈ R, para todo j = 1, . . . , n.
(c) Sejam u = a1v1+ · · ·+ amvm em W e k ∈ R. Enta˜o, da distributi-
vidade e da associatividade da multiplicac¸a˜o por escalar, temos
k · u = k · (a1v1 + · · ·+ amvm) = (k · a1)v1 + · · ·+ (k · am)vm ∈W,
pois k · aj ∈ R, para todo j = 1, . . . , n.
Exemplo 19
Seja v1 = (1, 1) ∈ R
2. Enta˜o,
[ v1 ] = {a(1, 1) ; a ∈ R}
= {(a, a) ; a ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2 ; x = y}.
Exemplo 20
Vamos determinar o subespac¸o W do R3 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0),
v2 = (1, 0,−1) e v3 = (−1, 2,−1).
v ∈W = [ v1, v2, v3 ] se, e somente se, existem a1, a2, a3 ∈ R tais que
v = a1v1 + a2v2 + a3v3. Assim,
v = (x, y, z) = a1(1,−1, 0) + a2(1, 0,−1) + a3(−1, 2,−1)
= (a1+ a2 − a3,−a1+ 2a3,−a2− a3)
Determinar o subespac¸o W e´ equivalente a determinar quais as condic¸o˜es
sobre x, y, z para que o sistema
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2


a1 + a2 − a3 = x
−a1 + 2a3 = y
−a2 − a3 = z
tenha soluc¸a˜o.
Reduzindo por linhas a matriz ampliada associada ao sistema, obtemos:

1 1 −1 x
−1 0 2 y
0 −1 −1 z

 ∼1


1 1 −1 x
0 1 1 x+ y
0 −1 −1 z

 ∼2


1 1 −1 x
0 1 1 x+ y
0 0 0 x+ y+ z


Fizemos a seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2→ L2 + L1;
em ∼2: L3→ L3 + L2.
O sistema tem soluc¸a˜o se, e somente se, x + y + z = 0. Logo,
W = [ v1, v2, v3 ] = {(x, y, z) ∈ R
3 ; x + y + z = 0}.
Exemplo 21
Vamos determinar equac¸o˜es para o subespac¸o W de M2×2(R) gerado por
v1 =
(
1 1
1 1
)
, v2 =
(
1 1
0 1
)
e v3 =
(
1 1
0 0
)
.
Temos que v =
(
x y
z w
)
∈ W se, e somente se, existem a, b, c ∈ R tais
que v = av1 + bv2 + cv3. Assim,(
x y
z w
)
= a
(
1 1
1 1
)
+ b
(
1 1
1 0
)
+ c
(
1 1
0 0
)
=
(
a+ b+ c a+ b+ c
a+ b a
)
.
Logo, v =
(
x y
z w
)
∈W se, e somente se, o sistema


a+ b+ c = x
a+ b+ c = y
a+ b = z
a = w
tem soluc¸a˜o.
Reduzindo por linhas a matriz ampliada associada ao sistema, obtemos

1 1 1 x
1 1 1 y
1 1 0 z
1 0 0 w

 ∼1


1 1 1 x
0 0 0 y− x
1 1 0 z
1 0 0 w

 ∼2


0 0 1 x − z
0 0 0 y− x
0 1 0 z−w
1 0 0 w

 .
Fizemos a seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2→ L2 − L1; e em ∼2: L1→ L1− L3; L3→ L3 − L4.
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
Portanto,
W =
{(
x y
z w
)
∈M2×2(R) ; y − x = 0
}
=
{(
x x
z w
)
; x, z,w ∈ R
}
=
{
x
(
1 1
0 0
)
+ z
(
0 0
1 0
)
+w
(
0 0
0 1
)
; x, z,w ∈ R
}
.
Exemplo 22
Vamos determinar equac¸o˜es para W = [ (1, 1, 1, 1), (2, 1, 0, 0), (3, 2, 1, 1) ],
subespac¸o do R4. Temos que
(x, y, z,w) = a(1, 1, 1, 1) + b(2, 1, 0, 0) + c(3, 2, 1, 1),

x
y
z
w

 = a


1
1
1
1

+ b


2
1
0
0

+ c


3
2
1
1

 =


1 2 3
1 1 2
1 0 1
1 0 1




a
b
c

.
Reduzindo por linhas a matriz ampliada associada ao sistema, obtemos:

1 2 3 x
1 1 2 y
1 0 1 z
1 0 1 w

 ∼


1 2 3 x
0 −1 −1 y− x
0 −2 −2 z− x
0 −2 −2 w− x

 ∼


1 2 3 x
0 −1 −1 y− x
0 0 0 z− 2y + x
0 0 0 w − 2y + x


Logo, W = {(x, y, z,w) ∈ R4 ; x− 2y+ z = 0 e x − 2y+w = 0}.
Definic¸a˜o 5 (Vetores linearmente independentes ou dependentes)
Seja V um espac¸o vetorial real. Dizemos que os vetores v1, . . . , vn em V sa˜o
linearmente independentes se, e somente se,
se a1v1 + · · ·+ anvn = 0V, enta˜o a1 = · · · = an = 0.
Caso contra´rio, existem a1, . . . , an em R, nem todos nulos, tais que
a1v1+ · · ·+anvn = 0V e dizemos que v1, . . . , vn sa˜o linearmente dependentes.
Exemplo 23
0V e´ linearmente dependente em qualquer espac¸o vetorial V, pois 1 ·0V = 0V.
Exemplo 24
0V, v1, . . . , vn sa˜o linearmente dependentes em qualquer espac¸o vetorial V,
pois 1 · 0V + 0 · v1 + · · ·+ 0 · vn = 0V.
Exemplo 25
Se v 6= 0V, enta˜o v e´ linearmente independente.
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Combinac¸a˜o linear,dependeˆncia e independeˆncia linear
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
De fato, suponhamos por absurdo que exista a ∈ R, a 6= 0 tal que a ·v = 0V.
Enta˜o,
0V = a
−1 · 0V = a
−1(a · v) = (a−1 · a) · v = 1 · v = v,
contradizendo o fato de v 6= 0V.
Exemplo 26
Os vetores v1 = (1, 2) e v2 = (2, 4) em R
2 sa˜o linearmente dependentes, pois
como v2 = 2v1, temos 2 · v1 − 1 · v2 = (0, 0).
Proposic¸a˜o 3
Seja V um espac¸o vetorial real. Os vetores v1, . . . , vn em V, com n > 1, sa˜o
linearmente dependentes se, e somente se, um deles e´ combinac¸a˜o linear dos
outros. Equivalentemente, os vetores v1, . . . , vn em V, com n > 1, sa˜o line-
armente independentes se, e somente se, nenhum deles e´ combinac¸a˜o linear
dos outros.
Demonstrac¸a˜o: Faremos a demonstrac¸a˜o da primeira afirmac¸a˜o.
(=⇒:) Suponhamos que v1, . . . , vn sa˜o linearmente dependentes. Enta˜o, exis-
tem a1, . . . , an em R nem todos nulos, tais que a1v1+a2v2+ · · ·+anvn = 0V.
Sem perda de generalidade, podemos supor que a1 6= 0. Logo, Caso necessa´rio,
reenumeramos os vetores.
a1v1 = −a2v2 − · · ·− anvn,
v1 = −(a1
−1 · a2)v2 − · · · − (a1
−1 · an)vn e v1 e´ combinac¸a˜o linear de
v2, . . . , vn.
(⇐=:) Suponhamos, sem perda de generalidade, que v1 seja combinac¸a˜o
linear de v2, . . . , vn. Enta˜o, existem a2, . . . , an ∈ R, tais que v1 = a2v2 +
· · · + anvn. Logo, 1 · v1 − a2v2 − · · · − anvn = 0V e´ uma combinc¸a˜o linear
nula com nem todos os coeficientes nulos. Portanto, os vetores v1, . . . , vn sa˜o
linearmente dependentes. �
Exemplo 27
Dados dois vetores em qualquer espac¸o vetorial, para determinar se sa˜o li-
nearmente independentes ou dependentes na˜o e´ preciso fazer ca´lculos, basta
olhar para os vetores.
v1 = (1, 2, 3) e v2 = (1, 1,−1) sa˜o linearmente independentes no R
3.
f1(t) = 1 e f2(t) = 1+ t sa˜o linearmente independentes em P1(R).
A1 =
(
1 0
2 1
)
e A2 =
(
3 0
6 3
)
sa˜o linearmente dependentes emM2×2(R).
Exemplo 28
Vamos verificar se v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2, 1), v3 = (3, 3, 4, 3), v4 =
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
(−1, 1,−1, 1) e v5 = (−1, 3, 0, 3) sa˜o linearmente dependentes ou indepen-
dentes. Sejam a1, a2, a3, a4, a5 ∈ R tais que a1v1+a2v2+a3v3+a4v4+a5v5 =
(0, 0, 0, 0). Enta˜o,

0
0
0
0

 = a1


1
1
1
1

+ a2


1
1
2
1

+ a3


3
3
4
3

+ a4


−1
1
−1
1

+ a5


−1
3
0
3


=


1 1 3 −1 −1
1 1 3 1 3
1 2 4 −1 0
1 1 3 1 3




a1
a2
a3
a4
a5


Vemos que obtemos um sistema linear homogeˆneo de m = 4 equac¸o˜es com
n = 5 inco´gnitas. Logo, o nu´mero r de linhas na˜o nulas da reduzida por
linhas da matriz associada ao sistema tem a propriedade
Veja no Exerc´ıcio 8 uma
generalizac¸a˜o desse
resultado.
r ≤ m = 4 < 5 = n.
Portanto, esse sistema tem soluc¸a˜o na˜o nula. Assim, os vetores sa˜o linear-
mente dependentes.
Exemplo 29
Os polinoˆmios f1(t) = 1 + t, f2(t) = t e f3(t) = 1 + t + t
2 sa˜o linearmente
dependentes ou independentes em P2(R)?
Fazemos a combinac¸a˜o linear nula a1f1(t) + a2f2(t) + a3f3(t) = 0. Assim,
0 = a1(1 + t) + a2t + a3(1 + t + t
2) = (a1 + a3) + (a1 + a2 + a3)t + a3t
2.
Logo,


a1 + a3 = 0
a1 + a2+ a3 = 0
a3 = 0
Resolvendo o sistema, obtemos a3 = 0, a1 = −a3 = 0 e a2 = −a1 − a3 = 0.
Portanto, os polinoˆmios sa˜o linearmente independentes.
Proposic¸a˜o 4 (Propriedade da independeˆncia linear)
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, . . . , vm vetores em V linearmente indepen-
dentes. Enta˜o, cada v ∈ [ v1, . . . , vm ] se escreve de uma u´nica maneira como
combinac¸a˜o linear de v1, . . . , vm.
Demonstrac¸a˜o: Sejam a1, . . . , am e b1, . . . , bm em R, tais que
a1v1 + · · ·+ amvm = b1v1 + · · ·+ bmvm.
Enta˜o, (a1− b1)v1+ · · ·+ (am− bm)vm = 0V. Como esses vetores sa˜o
linearmente independentes, temos que aj − bj = 0, para todo j = 1, . . . ,m.
Portanto, aj = bj, para todo j = 1, . . . ,m. �
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Mais uma propriedade interessante.
Proposic¸a˜o 5
Seja V um espac¸o vetorial real e sejam v1, . . . , vm vetores em V tais que
vm = a1v1 + · · ·+ am−1vm−1. Enta˜o, [v1, . . . , vm−1 ] = [v1, . . . , vm].
Demonstrac¸a˜o:
Essa inclusa˜o independe do
vetor vm .
(⊂:) Como b1v1 + · · · + bm−1vm−1 = b1v1 + · · · + bm−1vm−1 + 0vm, para
quaisquer b1, . . . , bm ∈ R, segue que [v1, . . . , vm−1 ] ⊂ [v1, . . . , vm].
(⊃:) Seja v ∈ [v1, . . . , vm]. Enta˜o, existem nu´meros reais b1, . . . , bm, tais que
v = b1v1+· · ·+bm−1vm−1+bmvm. Substituindo vm = a1v1+· · ·+am−1vm−1,
obtemos:
v = b1v1 + · · ·+ bm−1vm−1 + bm(a1v1 + · · ·+ am−1vm−1)
= (b1+ bma1)v1 + · · ·+ (bm−1 + bmam−1)vm−1.
Logo, v ∈ [v1, . . . , vm]. Portanto, [v1, . . . , vm] ⊂ [v1, . . . , vm−1 ]. �
Usando os nossos conhecimentos de vetores no plano e no espac¸o, vamos
determinar os subespac¸os do R2 e do R3.
Exemplo 30
Vamos mostrar que os subespac¸os do R2 sa˜o {(0, 0)}, retas que passam pela
origem ou R2.
De fato, e´ claro que {(0, 0)} e´ um subespac¸o do R2.
Seja W 6= {(0, 0)} um subespac¸o do R2. Enta˜o, existe v1 6= (0, 0), tal que
v1 ∈ W. Assim, [v1] = {kv1 ; k ∈ R} ⊂ W. Se W = [v1], enta˜o W e´ a reta
que passa pela origem O na direc¸a˜o de v1.
q
O
�
�
��
v1
[v1] =W
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Caso contra´rio, [v1] (W e existe v2 ∈ W tal que v2 6∈ [v1]. Nesse caso, v1 e
v2 sa˜o linearmente independentes e [v1, v2] ⊂W.
Cada v ∈ R2 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de v1 e v2. Por queˆ?
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
q
O
�
�
��
v1
[v1]
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
-�
�
�
�
�
�
�
a2v2
v=a1v1 +a2v2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��3
v2 6∈ [v1]
-�
�
�
�
�
�
��
a1v1
Dado v ∈ R2, a reta paralela a v1 passando pelo ponto v intersecta a reta
passando pela origem O paralela a v2 no ponto a2v2; assim como, a reta
paralela a v2 passando pelo ponto v intersecta a reta passando pela origem O
paralela a v1 no ponto a1v1. Pela regra do paralelogramo, v = a1v1 + a2v2.
Assim, R2 = [v1, v2] ⊂W. Logo, W = R
2.
Exemplo 31
Vamos mostrar que os subespac¸os do R3 sa˜o {(0, 0, 0)}, retas que passam pela
origem, panos que passam pela origem ou R3.
De fato, e´ claro que {(0, 0, 0)} e´ um subespac¸o do R3.
Seja W 6= {(0, 0, 0)} um subespac¸o do R3. Enta˜o, existe v1 6= (0, 0, 0), tal que
v1 ∈ W. Assim, [v1] = {kv1 ; k ∈ R} ⊂ W. Se W = [v1], enta˜o W e´ a reta
que passa pela origem O na direc¸a˜o de v1.
q
O
�
�
��
v1
[ v1 ] =W
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Caso contra´rio, [v1] ( W e existe v2 ∈W tal que v2 6∈ [v1]. Nesse caso, v1 e
v2 sa˜o linearmente independentes e [v1, v2] ⊂W.
Se W = [v1, v2], enta˜o W e´ o plano Π que passa pela origem O paralelo a`s
direc¸o˜es de v1 e v2.
��
��
��
���1
�
�
�
�
�
��
v1
�
�
��a1v1
�
�
�
a1v1 +a2v2
-
O v2 6∈ [v1]
-
a2v2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Π= [v1,v2] =W
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Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Caso contra´rio, Π = [v1, v2] ( W e existe v3 ∈ W tal que v3 6∈ [v1, v2] e,
nesse caso, [v1, v2, v3] ⊂W.
Cada v ∈ R3 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de v1, v2, v3.
Por queˆ?
��
��
��
���1
�
�
�
�
�
��
v1
�
�
��a1v1
�
�
�
6
6
v=a1v1 +a2v2+a3v3
u=a1v1 +a2v2
a3v3
-
O
v2 6∈ [v1]
-
a2v2
v3 6∈ [v1,v2]
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��7
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Π= [v1,v2](W
A reta paralela a v3 passando por v intersecta o plano Π = [v1, v2] no ponto
u. Assim, v− u = a3v3, para algum a3 ∈ R. Como u = a1v1 + a2v2, enta˜o
v = a1v1 + a2v2 + a3v3.
Portanto, R3 = [v1, v2, v3] ⊂W, logo W = R
3.
Exerc´ıcios
1. Escreva (1, 1, 2) como combinac¸a˜o linear de v1 = (1, 0, 1) e v2 =
(0, 1, 1).
2. Escreva (1, 2, 3, 4) como combinac¸a˜o linear de v1 = (1, 1, 1, 1), v2 =
(1, 1, 1, 0), v3 = (1, 1, 0, 0) e v4 = (1, 0, 0, 0).
Mostre que todo v ∈ R4 se escreve de uma u´nica maneira como com-
binac¸a˜o linear de v1, v2, v3, v4.
3. Mostre que
{ (
1 1
1 1
)
,
(
1 −1
1 1
)
,
(
1 1
0 0
) (
1 0
0 0
) }
e´ line-
armente dependente.
4. Mostre que {1, 1+ t, (1+ t)2} e´ linearmente independente em P2(R).
5. Mostre que {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1,−1)} gera R3.
6. Sejam u, v,w vetores na˜o-nulos de um espac¸o vetorial real V.
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55 UFF
A´lgebra Linear I
Combinac¸a˜o linear, dependeˆncia e independeˆncia linear
(a) Mostre que {u, v } e´ linearmente dependente se, e somente se, u =
av, para algum a ∈ R e a 6= 0.
(b) Mostre que se {u, v } e´ linearmente independente e {u, v,w } e´
linearmente dependente, enta˜o w e´ combinac¸a˜o linear de u, v.
7. Seja V um espac¸o vetorial real e v1, . . . , vm vetores de V. Mostre que:
(a) Se v1, . . . , vm sa˜o linearmente independentes e v 6∈ [v1, . . . , vm],
enta˜o v1, . . . , vm, v sa˜o linearmente independentes.
(b) Se vm e´ uma combinac¸a˜o linear de v1, . . . , vm−1, enta˜o temos que
[v1, . . . , vm−1] = [v1, . . . , vm].
8. Mostre que qualquer subconjunto do Rm com v1, . . . , vn vetores tal
que n > m e´ linearmente dependente.
Generalizac¸a˜o do Exemplo
28.
9. Determine equac¸o˜es paraW = [v1, v2, v3, v4], onde v1 = (1, 1, 1, 1), v2 =
(1, 1,−1, 1), v3 = (1, 1, 0, 1) e v4 = (1,−1, 2, 1).
10. Determine equac¸o˜es para W = [v1, v2, v3], onde v1 = (1, 0, 1), v2 =
(0, 1, 1) e v3 = (2,−1, 1).
11. Mostre que em F(R) :
(a) {sen x, cos x} e´ linearmente independente;
(b) {1, sen2x, cos2x} e´ linearmente dependente;
(c) {ex, e2x, e3x} e´ linearmente independente.
12. Mostre que {2, tg2x, sec2x} e´ linearmente dependente em F
(
−π
2
, π
2
)
.
13. Encontre um sistema linear homogeˆneo cujo conjunto das soluc¸o˜es W
seja gerado por (1,−2, 0, 3), (1,−1,−1, 4) e (1, 0,−2, 5).
M.L.T.Villela
UFF 56
Base e dimensa˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
Base e dimensa˜o
Vamos estudar mais detalhadamente apenas os espac¸os vetoriais finita-
mente gerados.
Definic¸a˜o 6 (Espac¸o vetorial finitamente gerado)
Dizemos que um espac¸o vetorial real V e´ finitamente gerado se, e somente se,
existem v1, . . . , vm em V tais que V = [v1, . . . , vm].
Exemplo 32
Rn e´ espac¸o vetorial finitamente gerado, pois Rn = [e1, . . . , en].
Exemplo 33
Para cada n ≥ 0, Pn(R) e´ espac¸o vetorial finitamente gerado, pois
f(t) ∈ Pn(R) se, e somente se, f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ ant
n,
para a0, . . . , an ∈ R. Logo, f(t) e´ uma combinac¸a˜o linear de 1, t, . . . , t
n e
assim, Pn(R) = [1, t, . . . , t
n].
Exemplo 34
O espac¸o vetorial P(R) de todos os polinoˆmios com coeficientes reais na˜o e´
finitamente gerado. Na˜o ha´ subconjunto finito de polinoˆmios com coeficientes
reais que gere P(R). Um poss´ıvel conjunto de geradores e´ 1, t, . . . , tn, . . .,
para todo n ≥ 0.
Definic¸a˜o 7 (Base)
Seja V 6= {0} um espac¸o vetorial real finitamente gerado. Um subconjunto
α = {v1, . . . , vn} ⊂ V e´ chamado uma base de V se, e somente se,
(i) V = [v1, . . . , vn];
(ii) {v1, . . . , vn} e´ linearmente independente.
A propriedade (i) significa que α gera V, assim cada elemento v ∈ V e´
uma combinac¸a˜o linear dos vetores de α. A propriedade (ii) significa que a
combinac¸a˜o linear e´ u´nica.
α e´ chamada de base
canoˆnica do Rn .
Exemplo 35
α = {e1, . . . , en} e´ uma base do R
n. Com efeito, ja´ mostramos que
v = (x1, . . . , xn) = x1e1 + · · ·+ xnen,
logo α gera Rn.
Falta verificar que α e´ linearmente independente.
De fato, (0, . . . , 0) = x1e1 + · · · + xnen = (x1, . . . , xn) se, e somente se,
x1 = · · · = xn = 0.
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A´lgebra Linear I
Base e dimensa˜o
Exemplo 36
α = {1, t, . . . , tn} e´ uma base de Pn(R). Ja´ mostramos que α gera Pn(R).
Agora,
α e´ chamada de base
canoˆnica de Pn(R).
0 = a0 + a1t+ · · ·+ ant
n se, e somente se, a0 = a1 = · · · = an = 0,
mostrando que α e´ linearmente independente.
Proposic¸a˜o 6
Todo espac¸o vetorial V 6= {0} finitamente gerado tem uma base.
Demonstrac¸a˜o: Como V e´ finitamente gerado existe um conjunto finito de
geradores para V. Entre todos os conjuntos finitos de geradores consideremos
um que tenha o menor nu´mero de geradores, digamos α = {v1, . . . , vn} ⊂ V.
Enta˜o, V = [v1, . . . , vn]. Afirmamos que α e´ linearmente independente.
De fato, se n = 1, enta˜o V = [v1] 6= {0}, logo v1 6= 0 e α = {v1}
e´ linearmente independente. Podemos supor que n ≥ 2. Suponhamos,
por absurdo, que α seja linearmente dependente. Pela Proposic¸a˜o 3, um
dos vetores de α e´ combinac¸a˜o linear dos outros. Sem perda de generali-
dade, podemos supor que vn = a1v1 + · · · + an−1vn−1. Pela Proposic¸a˜o 5,
[v1, . . . , vn−1] = [v1, . . . , vn] = V, contradizendo o fato de o nu´mero mı´nimo
de geradores ser n. Portanto, α e´ uma base de V. �
Observac¸a˜o: Outra demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o acima pode ser feita. Como
V 6= {0}, todo conjunto com um vetor na˜o nulo e´ linearmente independente.
Escolhemos entre todos os subconjuntos finitos linearmente independentes
um que tenha o maior nu´mero de elementos. Basta mostrar agora que esse
conjunto, forc¸osamente, gera V.
Portanto, uma base de um espac¸o vetorial na˜o nulo finitamente gerado
tem o mı´nimo de geradores e o ma´ximo de vetores linearmente independentes.
Teorema 1
Seja V 6= {0} um espac¸o vetorial real finitamente gerado. Enta˜o, todas as
bases de V teˆm o mesmo nu´mero de elementos.
Demonstrac¸a˜o: Sejam α e β bases de V com, respectivamente, m e n ele-
mentos. Como α e´ base V e β gera V, enta˜o m = mı´nimo de geradores ≤ n.
Como α e´ base V e β e´ linearmente independente, enta˜o m = ma´ximo de
vetores li ≥ n. Portanto, m = n. �
E´ claro que V = {0} e´ um
espac¸o vetorial real
finitamente gerado.
Definic¸a˜o 8 (Dimensa˜o)
Seja V 6= {0} um espac¸o vetorial real finitamente gerado. Chamamos de
dimensa˜o de V ao nu´mero de elementos de uma base de V e denotamos por
dimR(V). Quando V = {0} definimos dimR(V) = 0.
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Base e dimensa˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
Exemplo 37
dimR(R
n) = n, pois {e1, . . . , en} e´ uma base do R
n.
Exemplo 38
dimR(Pn(R)) = n + 1, pois {1, t . . . , t
n} e´ uma base de Pn(R).
Exemplo 39
Seja V um espac¸o vetorial real com dimR(V) = n ≥ 1. Todo subespac¸o W
de V e´ finitamente gerado e dimR(W) ≤ n. Vale que:
W = V ⇐⇒ dimR(W) = dimR(V)
W ( V ⇐⇒ dimR(W) < dimR(V)
Exemplo 40
Seja W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ y− 2z = 0 e 2x− y+ 2z = 0}.
W e´ um subespac¸o do R3. Vamos determinar a dimensa˜o de W. Para isto,
vamos determinar uma base de W. Reduzindo por linhas a matriz associada
ao sistema homogeˆneo, obtemos:
Fizemos a sequeˆncia de
operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2 → L2 −2L1 ;
em ∼2: L2 → −13L2 e
em ∼3: L1 → L1 −L2 .
(
1 1 −2
2 −1 2
)
∼1
(
1 1 −2
0 −3 6
)
∼2
(
1 1 −2
0 1 −2
)
∼3
(
1 0 0
0 1 −2
)
.
Temos n = 3 inco´gnitas e posto r = 2. Logo, o grau de liberdade e´ n − r =
3− 2 = 1. As inco´gnitas x e y podem ser dadas em func¸a˜oda inco´gnita z.
Logo, x = 0 e y − 2z = 0. Portanto,
Geometricamente, W e´ a
reta de intersec¸a˜o de dois
planos que passam pela
origem.
W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e y− 2z = 0}
= {(0, 2z, z) ; z ∈ R}
= {(0, 2, 1)z ; z ∈ R}, mostrando que W = [(0, 2, 1)]
Como {(0, 2, 1)} e´ l.i., enta˜o e´ uma base de W e dimR(W) = 1.
Exemplo 41
Seja f(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ P3(R). Definimos o subespac¸o W por
W =
{
f(t) ∈ P3(R) ; a0 − a1 + a2 − a3 = 0, a0+ a1 + 3a2 − 3a3 = 0,
3a0 + a1 + 7a2− 7a3 = 0
}
.
Vamos determinar a dimensa˜o de W.
Reduzindo por linhas a matriz associada ao sistema linear homogeˆneo nas
inco´gnitas a0, a1, a2, a3, temos:
Fizemos a sequeˆncia de
operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2 → L2 −2L1 ,
L3 → L3 −3L1 ;
em ∼2: L2 → 12L2 ;
em ∼3: L1 → L1 +L2 ,
L3 → L3 −4L2 .

 1 −1 1 −11 1 3 −3
3 1 7 −7

 ∼1

 1 −1 1 −10 2 2 −2
0 4 4 −4

 ∼2

 1 −1 1 −10 1 1 −1
0 4 4 −4

 ∼3

 1 0 2 −20 1 1 −1
0 0 0 0

.
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Base e dimensa˜o
Temos n = 4 inco´gnitas e posto r = 2. Logo, o grau de liberdade e´ n − r =
4 − 2 = 2. As inco´gnitas a0 e a1 podem ser dadas em func¸a˜o das r = 2
inco´gnitas a2 e a3. Temos que
f(t) ∈W ⇐⇒ a0 + 2a2− 2a3 = 0 e a1 + a2 − a3 = 0⇐⇒ a0 = −2a2 + 2a3 e a1 = −a2 + a3.
Logo, f(t) ∈W se, e somente se,
f(t) = (−2a2 + 2a3) + (−a2 + a3)t+ a2t
2 + a3t
3
= (−2a2 − a2t+ a2t
2) + (2a3 + a3t+ a3t
3)
= a2(−2− t+ t
2) + a3(2+ t+ t
3),
Leia de tra´s para a frente as
igualdades acima e fac¸a
f(t) = 0.
mostrando que {−2 − t + t2, 2 + t + t3} gera W. Esse conjunto e´ linear-
mente independente, pois fazendo a sua combinac¸a˜o linear igual a 0, com os
coeficientes a2, a3 ∈ R, obtemos
0 = a2(−2− t+ t
2) + a3(2+ t+ t
3)
= (−2a2 + 2a3) + (−a2 + a3)t+ a2t
2 + a3t
3
logo, a2 = 0 e a3 = 0.
Exemplo 42
Vamos determinar uma base e a dimensa˜o de
W = {(x, y, z,w) ∈ R4; x− y+ z−w = 0 e − 2x+ 3y+ 4z−w = 0}.
Reduzindo por linhas a matriz associada ao sistema, obtemos:
Fizemos a seguinte sequeˆncia
de operac¸o˜es elementares:
em ∼1 : L2 → L2 +2L1 e
em ∼2: L1 → L1 +L2.
(
1 −1 1 −1
−2 3 4 −1
)
∼1
(
1 −1 1 −1
0 1 6 −3
)
∼2
(
1 0 7 −4
0 1 6 −3
)
.
Logo, x + 7z− 4w = 0 e y+ 6z− 3w = 0.
Portanto, v = (x, y, z,w) ∈W se, e somente se,
v = (−7z+ 4w,−6z+ 3w, z,w)
= (−7z,−6z, z, 0) + (4w, 3w, 0,w)
= z(−7,−6, 1, 0) +w(4, 3, 0, 1),
mostrando que {v1 = (−7,−6, 1, 0), v2 = (4, 3, 0, 1)} gera W. Esse conjunto
e´ linearmente independente, pois
(0, 0, 0, 0) = zv1 +wv2 = (−7z+ 4w,−6z+ 3w, z,w) ⇐⇒ z = w = 0.
Portanto, {v1, v2} e´ uma base W e a dimensa˜o de W e´ 2.
Proposic¸a˜o 7
Todo subconjunto de vetores linearmente independentes de um espac¸o ve-
torial real V de dimensa˜o finita n ≥ 1 pode ser completado a uma base de
V.
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Base e dimensa˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
Demonstrac¸a˜o: Sejam dimR(V) = n ≥ 1 e α = {v1, . . . , vr} ⊂ V um conjunto
linearmente independente com r ≤ n. Seja W = [v1, . . . , vr]. Se W = V,
enta˜o α e´ uma base de V, r = n e nada ha´ a fazer. Suponhamos que
W ( V. Enta˜o, r = dimR(W) < dimR(V) = n e existe vr+1 ∈ V tal que
vr+1 6∈ [v1, . . . , vr]. Portanto, {v1, . . . , vr, vr+1} e´ linearmente independente.
Se V = [v1, . . . , vr+1] acabamos. Caso contra´rio, existe vr+2 ∈ V tal que
vr+2 6∈ [v1, . . . , vr+1]. Continuando, esse processo tem de parar, pois na˜o
podemos ter mais de n vetores linearmente independentes. �
Exemplo 43
Determine uma base de W que contenha v1 = (0, 1,−1,−1), onde
W = {(x, y, z,w) ∈ R4 ; x + 2y− z+ 3w = 0}.
Como W e´ o espac¸o das soluc¸o˜es de um sistema linear homogeˆneo de posto
r = 1 com n = 4 inco´gnitas, enta˜o o grau de liberdade e´ n − r = 4− 1 = 3.
Portanto, dimR(W) = 3.
Logo, uma base de W tem treˆs vetores de W linearmente independentes.
Vamos escolher v2 ∈W tal que v2 6∈ [v1] = {a(0, 1,−1,−1) ; a ∈ R}. Assim,
{v1, v2} e´ linearmente independente. Por exemplo, v2 = (0, 3, 0,−2).
Dando valores a` primeira,
segunda e terceira
coordenadas, obtemos a
quarta coordenada dos
vetores de W.Agora, devemos selecionar v3 ∈W tal que v3 6∈ [v1, v2]. Temos que
[v1, v2] = {av1 + bv2 = (0, a+ 3b,−a,−a− 2b) ; a, b ∈ R}.
Tomamos x= 1, y= 1 e
z= 0. Logo, w= −1.
Como toda combinac¸a˜o linear de v1 e v2 tem a primeira coordenada nula,
escolhemos v3 = (1, 1, 0,−1). Portanto, α = {v1, v2, v3} ⊂ W e´ linearmente
independente e e´ uma base de W.
Definic¸a˜o 9 (Vetor coordenada)
Sejam V um espac¸o vetorial real de dimensa˜o n ≥ 1 e α = {v1, . . . , vn}
uma base de V. Para cada v ∈ V, existem a1, . . . , an em R unicamente
determinados tais que v = a1v1 + · · ·+ anvn. O vetor coordenada de v na
base α, denotado por v]α, e´ a matriz Mn×1(R) definida por
v]α =


a1
...
an

.
Daqui por diante, as bases sera˜o bases ordenadas, com a ordem em que
escrevemos os vetores da base. Por exemplo, na base α = {v1, v2, . . . , vn}, v1
e´ o primeiro elemento, v2, o segundo, . . . , vn, o n-e´simo.
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Base e dimensa˜o
Exemplo 44
Sejam V = Rn e α = {e1, . . . , en} a base canoˆnica. Enta˜o, para cada vetor
v = (x1, . . . , xn) temos que v]α =


x1
...
xn

.
Exemplo 45
Sejam V = P3(R) e α = {1, t, t
2, t3} a base canoˆnica.
Dados f(t) = 2+ 3t− t2 + t3 e g(t) = −1+ t2 − 2t3, temos que
f(t)]α =


2
3
−1
1

 e g(t)]α =


−1
0
1
−2

.
Exemplo 46
Vamos determinar o vetor coordenada de v = (x, y, z) ∈ R3 na seguinte base
α = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)} do R
3.
Escrevendo v como combinac¸a˜o linear de v1, v2, v3, temos:
(x, y, z) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (a+ b+ c, b+ c, c),
logo


a+ b+ c = x
b+ c = y
c = z
Reduzindo por linhas a matriz ampliada associada ao sistema, obtemos:
Fizemos a sequeˆncia de
operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L1 → L1 −L2;
em ∼2: L2 → L2 −L3.


1 1 1 x
0 1 1 y
0 0 1 z

 ∼1


1 0 0 x− y
0 1 1 y
0 0 1 z

 ∼2


1 0 0 x− y
0 1 0 y− z
0 0 1 z

.
Logo, a = x− y, b = y− z e c = z e (x, y, z)]α =

 x − yy− z
z

.
Proposic¸a˜o 8 (Propriedades do vetor coordenada)
Sejam V um espac¸o vetorial real de dimensa˜o n ≥ 1 e α = {v1, . . . , vn} uma
base de V. Valem as seguintes propriedades, para quaisquer v,w ∈ V e
a ∈ R:
(a) (v+w)]α = v]α+w]α;
(b) (a · v)]α = a ·
(
v]α
)
.
Demonstrac¸a˜o: Sejam v = a1v1+ · · ·+anvn, w = b1v1+ · · ·+bnvn e a ∈ R.
Enta˜o,
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Base e dimensa˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
v+w = (a1v1 + · · ·+ anvn) + (b1v1 + · · ·+ bnvn)
= (a1 + b1)v1 + · · · (an + bn)vn
e a · v = a · (a1v1+ · · ·+anvn) = (a ·a1) · v1+ · · ·+ (a ·an) · vn. Logo,
Usamos as definic¸o˜es da
adic¸a˜o de matrizes e da
multiplicac¸a˜o de um nu´mero
real por uma matriz.
(v+w)]α =


a1 + b1
...
an + bn

 =


a1
...
an

+


b1
...
bn

 = v]α +w]α
e (a · v)]α =


a · a1
...
a · an

 = a ·


a1
...
an

 = a · (v]α). �
Exerc´ıcios
1. Encontre uma base e a dimensa˜o do espac¸o W das matrizes sime´tricas
dois por dois com coeficientes reais.
2. Encontre uma base α e deˆ a dimensa˜o do espac¸o das matrizes diagonais
treˆs por treˆs com coeficientes reais. Complete α a uma base β de
M3×3(R).
3. No Exerc´ıcio 4 da Sec¸a˜o 1 (exceto itens (g), (h), (i) e (j)) deˆ a dimensa˜o
de V e determine uma base e a dimensa˜o de cada subespac¸o W.
4. Seja W = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y − 3z = 0}. Escolhav1 ∈ W tal que
v1 6= (0, 0, 0). Determine v2 ∈ W tal que α = {v1, v2} e´ uma base de
W, justificando a sua construc¸a˜o.
5. Complete {(1, 0, 1), (1, 0, 2)} a uma base α do R3, justificando a sua
resposta.
6. Diga quais das afirmac¸o˜es sa˜o falsas ou verdadeiras, justificando a sua
resposta:
(a) W = { (x, y, z) ∈ R3 ; yz = 0 } e´ um subespac¸o do R3.
(b) (1,−1, 2) pertence ao subespac¸o gerado por u = (1, 2, 3) e v =
(3, 2, 1).
(c) W = {(x, y, z,w) ∈ R4 ; x = y} tem dimensa˜o 2.
(d) Sejam u, v,w vetores do espac¸o vetorial V. Se {u, v} e´ linearmente
independente e w 6= 0, enta˜o {u, v,w} e´ linearmente independente.
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A´lgebra Linear I
Base e dimensa˜o
(e) Sejam u, v,w vetores do espac¸o vetorial V. Se {u, v} e´ linearmente
independente e w 6∈ [u, v] enta˜o {u, v,w} e´ linearmente indepen-
dente.
(f) Se {v1, . . . , vn} ⊂ V e´ linearmente independente e dim(V) = n,
enta˜o {v1, . . . , vnw} e´ linearmente dependente, para todo w ∈ V.
7. Determine as coordenadas do vetor (4,−5, 3) ∈ R3 em relac¸a˜o a`s se-
guintes bases do R3:
(a) α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, a base canoˆnica.
(b) β = {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)}.
(c) γ = {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
8. Determine as coordenadas do polinoˆmio f(t) = 4 − 5t + 3t2 ∈ P2(R)
em relac¸a˜o a`s seguintes bases de P2(R):
(a) α = {1, t, t2}, a base canoˆnica de P2(R).
(b) β = {1+ t+ t2, 1+ 2t, 3+ t}.
(c) γ = {1+ 2t+ t2, 3t+ 2t2, 1+ t+ 4t2}.
9. Seja W = {(x, y, z,w) ∈ R4 ; 2x− y+ z+ 3w = 0}.
(a) Mostre que α = {(1, 2, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 3,−1)} e´ uma base de
W.
(b) Determine v]α, para cada v = (x, y, z,w) ∈W.
10. Seja V um R-espac¸o vetorial e α = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V.
Mostre que para todo m ≥ 1, para todo a1, . . . , am ∈ R e para todo
w1, . . . , wm ∈ V:
(a1w1 + · · ·+ amwm)]α = a1 ·
(
w1]α
)
+ · · ·+ am ·
(
wm]α
)
.
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Soma e soma direta de subespac¸os
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4
Soma e soma direta de subespac¸os
A partir de subespac¸os U e W de um espac¸o vetorial real V, podemos
construir subespac¸os de V. Por exemplo, ja´ vimos que U∩W e´ um subespac¸o,
tal que U∩W ⊂ U e U∩W ⊂W. Observamos que U∩W e´ o maior subespac¸o
de V contido em U e em W. Lembramos que a unia˜o de
subespac¸os nem sempre e´
um subespac¸o.
Fac¸a o Exerc´ıcio 1.
Agora vamos construir o menor subespac¸o de V que conte´m U ∪W.
Definic¸a˜o 10 (Soma de subespac¸os)
Sejam V um espac¸o vetorial real e U e W subespac¸os de V. A soma dos
subespac¸os U e W e´ definida por
U+W = {v ∈ V ; v = u+w, tal que u ∈ U e w ∈W}.
De fato, U+W e´ um subespac¸o de V, pois
(a) 0V ∈ U e 0v ∈W e 0V = 0V + 0V.
Usamos a comutatividade e
associatividade da adic¸a˜o em
V.
(b) Se v = u+w e v′ = u′ +w′, com u, u′ ∈ U e w,w′ ∈W, enta˜o
v+ v′ = (u+w) + (u′ + v′) = (u+ u′) + (w+w′) ∈ U+W,
em virtude de u+ u′ ∈ U e w+w′ ∈W.
(c) Se v = u+w com u ∈ U e w ∈W e a ∈ R, enta˜o
a · v = a · (u+ v) = a · u+ a ·w ∈ U +W,
pois a · u ∈ U e a ·w ∈W.
Exemplo 47
Sejam U = [(1, 1)] eW = [(1,−1)] subespac¸os do R2. Enta˜o, U∩W = {(0, 0)}
e
U+W = {a(1, 1) + b(1,−1) ; a, b ∈ R} = R2.
Exemplo 48
Sejam U = [(1, 1, 1)] e W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+y+z = 0} subespac¸os do R3.
Geometricamente, U e´ a reta pela origem ortogonal ao plano W que passa
pela origem e U ∩W = {(0, 0, 0)}.
Sabemos que dimR(W) = 2. Tomando w1 = (1,−1, 0) e w2 = (0, 1,−1) em
W temos uma base de W e u1 = (1, 1, 1) e´ uma base de U. Logo,
U+W = {a(1, 1, 1) + b(1,−1, 0) + c(0, 1,−1) ; a, b, c ∈ R} = R3,
Como a dimensa˜o do R3 e´ 3,
qualquer conjunto com treˆs
vetores linearmente
independentes do R3 e´ uma
base.
pois α = {u1, w1, w2} e´ uma base do R
3.
Exemplo 49
Sejam U = {(x, y, z) ∈ R3; x+y−z = 0} eW = {(x, y, z) ∈ R3; x+y+z = 0}.
Geometricamente, U e W sa˜o planos pela origem concorrentes, pois seus ve-
tores normais η1 = (1, 1,−1) e η2 = (1, 1, 1) sa˜o linearmente independentes.
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Soma e soma direta de subespac¸os
Nesse caso, U ∩W = [(1,−1, 0)] e´ a reta pela origem, intersec¸a˜o dos pla-
nos. Fac¸a um desenho para visualizar que a soma de quaisquer dois planos
concorrentes pela origem e´ R3. Logo, U +W = R3.
Vamos mostrar que ha´ uma relac¸a˜o entre as dimenso˜es dos subespac¸os
U, W, U ∩W e U +W, sempre que U e W teˆm dimenso˜es finitas.
Proposic¸a˜o 9
Sejam U e W subespac¸os de dimensa˜o finita de um espac¸o vetorial real V.
Enta˜o,
dimR(U+W) = dimR(U) + dimR(W) − dimR(U ∩W).
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que U ∩W 6= {0V}. Seja α = {v1, . . . , vℓ} uma
base de U ∩W. Enta˜o, α ⊂ U ∩W e´ um subconjunto linearmente indepen-
dente de U∩W, U e W. Podemos completar α a uma base β de U e a uma
base γ de W. Escolhemos {u1, . . . , ur} ⊂ U e {w1, . . . , ws} ⊂ W, tais que
β = {v1, . . . , vℓ, u1, . . . , ur} e´ uma base de U e γ = {v1, . . . , vℓ, w1, . . . , ws} e´
uma base de W.
Vamos mostrar que δ = {v1, . . . , vℓ, u1, . . . , ur, w1, . . . , ws} e´ uma base
de U +W, obtendo a fo´rmula proposta para as dimenso˜es,
dimR(U+W) = ℓ+ r+ s
= (ℓ+ r) + (ℓ+ s) − ℓ
= dimR(U) + dimR(W) − dimR(U ∩W).
(i) δ gera U+W:
Seja v = u + w, com u ∈ U e w ∈ W. Como β e´ uma base
de U e γ e´ uma base de W, enta˜o, existem a1, . . . aℓ, b1, . . . , br ∈ R e
c1, . . . , cℓ, d1, . . . , ds ∈ R tais que
u = a1v1 + · · ·+ aℓvℓ + b1u1 + · · ·+ brur e
w = c1v1 + · · ·+ cℓvℓ + d1w1 + · · ·+ dsws.
Portanto,
u+w = (a1+c1)v1+· · ·+(aℓ+cℓ)vℓ+b1u1+· · ·+brur+d1w1+· · ·+dsws.
(ii) δ e´ linearmente independente:
Sejam a1, . . . aℓ, b1, . . . , br, c1, . . . , cs ∈ R, tais que
a1v1 + · · ·+ aℓvℓ + b1u1 + · · ·+ brur + c1w1 + · · ·+ csws = 0v. (⋆)
Enta˜o,
a1v1 + · · ·+ aℓvℓ + b1u1 + · · ·+ brur = −c1w1 − · · ·− csws ∈ U ∩W.
Portanto, existem d1, . . . , dℓ ∈ R, tais que
−c1w1 − · · ·− csws = d1v1 + · · ·+ dℓvl,
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Soma e soma direta de subespac¸os
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4
logo d1v1 + · · · + dℓvl + c1w1 + · · · + csws = 0V. Como γ e´ linearmente
independente, enta˜o d1 = · · · = dℓ = c1 = · · · = cs = 0. Substituindo em
(⋆), obtemos a1v1+ · · ·+aℓvℓ+b1u1+ · · ·+brur = 0v. Como β e´ linearmente
independente conclu´ımos que a1 = · · · = aℓ = b1 = · · · = br = 0. Logo, δ e´
linearmente independente.
Quando U ∩W = {0V}, temos ℓ = dimR(U ∩W) = 0, comec¸amos com
β = {u1, . . . , ur} e γ = {w1, . . . , ws} bases de U e W, respectivamente, e
mostramos que δ = β ∪ γ e´ uma base de U +W. Nesse caso,
dimR(U+W) = dimR(U) + dimR(W). �
Definic¸a˜o 11 (Soma direta)
Sejam U e W subespac¸os do espac¸o vetorial V. Dizemos que a soma U+W
e´ uma soma direta se, e somente se, U ∩W = {0V}. Nesse caso, escrevemos
U⊕W.
Exemplo 50
Verifique que no Exemplo 47 temos U ⊕W = R2 e no Exemplo 48 temos
U⊕W = R3 pois, em ambos os casos, U ∩W = 0V. Enquanto, no Exemplo
49 a soma U+W = R3 na˜o e´ uma soma direta, pois dimR(U ∩W) = 1 6= 0.
Exemplo 51
Vamos determinar o subespac¸o U+W do R4, onde
U = [u1 = (1, 1, 2, 1), u2 = (1, 2, 1, 0)] e
W = [w1 = (1,−1, 1, 1), w2 = (1, 1, 2, 0)].
Primeiramente, observamos que
v ∈ U+W ⇐⇒ v = u+w, onde u ∈ U e w ∈W,⇐⇒ v = a1u1 + a2u2 + b1w1 + b2w2,
com a1, a2, b1, b2 ∈ R,⇐⇒ v ∈ [u1, u2, w1, w2].
Logo, U+W = [u1, u2, w1, w2].
Quando fazemos operac¸o˜es elementares nas linhas de um matriz A, na pra´tica
fazemos combinac¸o˜es lineares com as linhas de A e o espac¸o gerado pelas
linhas de A e´ o mesmo espac¸o gerado pelas linhas na˜o nulas (sa˜o linearmente
independentes) da reduzida R a` forma em escada equivalente a A.
Vamos reduzir por linhas a matriz cujas linhas sa˜o u1, u2, w1, w2.

1 1 2 1
1 2 1 0
1 −1 1 1
1 1 2 0

 ∼1


1 1 2 1
01 −1 −1
0 −2 −1 0
0 0 0 −1

 ∼2


1 0 3 2
0 1 −1 −1
0 0 −3 −2
0 0 0 −1

 ∼3
Fizemos a sequeˆncia de
operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2 → L2 −L1,
L3 → L3 −L1,L4 → L4 −L1 ;
em ∼2: L1 → L1 −L2,
L3 → L3 +2L2 ;
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Soma e soma direta de subespac¸os


1 0 3 2
0 1 −1 −1
0 0 −3 −2
0 0 0 1

 ∼4


1 0 3 0
0 1 −1 0
0 0 −3 0
0 0 0 1

 ∼5


1 0 3 0
0 1 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1

 ∼6
em ∼3 : L4 → −L4 ;
em ∼4 : L1 → L1 −2L4 ,
L2 → L2+L4,L3 → L3+2L4;
em ∼5 : L3 → −13L3 ;
em ∼6 : L2 → L2 +L3 ,
L1 → L1 −3L3 . 

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

.
Portanto, U + W = [e1, e2, e3, e4] = R
4. Como dimR(U) = 2, dimR(W) = 2
e dimR(U + W) = 4, enta˜o dimR(U ∩W) = 0, logo U ∩W = {(0, 0, 0, 0)} e
a soma e´ uma soma direta.
Exemplo 52
Vamos determinar o subespac¸o U+W de R4, onde
U = {(x, y, z,w) ; x + y− z+w = 0} e
W = [(1, 1, 0, 0), (1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 1)].
Primeiramente, determinamos geradores para U.
Temos que v = (x, y, z,w) ∈ U se, e somente se,
v = (x, y, z,w) = (−y+ z−w, y, z,w)
= y(−1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) +w(−1, 0, 0, 1).
se, e somente se, v ∈ [(−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)].
Logo, U = [(−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)].
Reduzimos por linhas a matriz cujas linhas sa˜o os geradores de U e de W.
Fizemos a seguinte sequeˆncia
de operac¸o˜es elementares:
em ∼1: L2 → L2 +L1,
L3 → L3 +L1 , L4 → L4 −L1,
L5 → L5 −L1;
em ∼2: L4 → L4 −L2,
L6 → L6 −L2;
em ∼3 : L4 → L4 +2L3,
L5 → L5 +2L3,
L6 → L6 +L3;
em ∼4: L5 → L5 −L4,
L6 → L6 −L4;
em ∼5 : L4 → 12L4;
em ∼6: L1 → L1 +L4,
L2 → L2 +L4 , L3 → L3 −L4.


1 0 1 0
−1 1 0 0
−1 0 0 1
1 1 0 0
1 0 −1 0
0 1 0 1


∼1


1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 1 −1 0
0 0 −2 0
0 1 0 1


∼2


1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 −2 0
0 0 −2 0
0 0 −1 1


∼3


1 0 0 −1
0 1 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 2
0 0 0 2
0 0 0 2


∼4


1 0 0 −1
0 1 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 2
0 0 0 0
0 0 0 0


∼5


1 0 0 −1
0 1 0 −1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0


∼6
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Soma e soma direta de subespac¸os
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0


.
Logo, U + W = [e1, e2, e3, e4] = R
4. Como dimR(U) = 3 e dimR(W) = 3,
enta˜o dimR(U ∩W) = 2. Nesse caso, a soma na˜o e´ soma direta.
Exerc´ıcios
1. Sejam V um espac¸o vetorial real e U e W subespac¸os de V.
(a) Mostre que U ∩W e´ o maior subespac¸o de V contendo U e W.
(b) Mostre U+W e´ o menor subespac¸o de V contendo U ∪W.
2. Considere os seguintes subespac¸os do R3:
U = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0},
W = {(x, y, z) ∈ R3 ; y− 2z = 0} e
V = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = y = z}.
(a) Determine uma base e a dimensa˜o de cada um dos subespac¸os
U,V,W,U∩ V,U ∩W,V ∩W,U+ V,U+W,V +W.
(b) Entre as somas de subespac¸os U + V,U + W,V + W quais sa˜o
somas diretas?
3. Seja V um espac¸o vetorial real e U e W subespac¸os de V tais que
U ∩W = {0V}. Mostre que se v = u + w = u
′ + w′, com u, u′ ∈ U e
w,w′ ∈W, enta˜o u = u′ e w = w′.
4. Considere o espac¸o vetorial real V = M2×2(R) e os subespac¸os
U =
{(
x −x
y z
)
; x, y, z ∈ R
}
e W =
{(
a b
−a c
)
;a, b, c ∈ R
}
.
(a) Determine as dimenso˜es de U, W, U ∩W e U+W.
(b) Mostre que U+W = V.
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Soma e soma direta de subespac¸os
5. Consideremos os subespac¸os de Mn×n(R),
U = {A ∈Mn×n(R) ; A
t = A} e W = {A ∈Mn×n(R) ; A
t = −A}.
(a) Mostre que U ∩W = {0}.
(b) Deˆ dimR(U), dimR(W) e dimR(U+W).
(c) Seja A ∈Mn×n(R).
i. Mostre que se A = B + C, onde B ∈ U e C ∈ W, enta˜o
At = B− C.
ii. Mostre que B = A+A
t
2
e C = A−A
t
2
.
iii. Mostre que Mn×n(R) = U⊕W.
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