CAP 8_2

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ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Capítulo 8
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
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Modelo CÁLCULOS COM DN
Este modelo estatístico Cálculos DN é equivalente ao Modelo DN, porém incluindo os valores de Z e o gráfico da distribuição que mostra as áreas sob a curva que estão sendo utilizadas no cálculo requerido. 
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No modelo:
As células do intervalo C3:C6 aceitam somente dados. 
Nas células D4 e D5 são selecionados os tipos de limite do intervalo para cálculo da probabilidade desejada. Os dados registrados no intervalo C5:C6 são utilizados para definir os limites nas duas caixas de combinações.
Na caixa de combinação da célula D5 é possível escolher os limites ≤ e ≥, e na caixa de combinação da célula D6 os limites ≤, ≥ e Não. 
Nas células do intervalo F5:F6 são registrados os valores de Z correspondentes aos limites registrados em C5:C6. 
No intervalo B7:E7 é registrado o resultado informando o texto da probabilidade calculada.
O gráfico da distribuição normal mostra a(s) área(s) sob a curva que está(ão) sendo utilizada(s) no cálculo requerido. 
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OUTROS CÁLCULOS COM a DN
O objetivo dos exemplos de distribuição normal apresentados até este momento foi o cálculo da probabilidade de que ocorra um determinado evento sendo conhecidos os parâmetros da distribuição normal, a média e o desvio padrão.
Há outros problemas com a distribuição normal, por exemplo, o cálculo inverso e a determinação dos parâmetros da distribuição normal a partir de constatações práticas.
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Exemplo 8.11
Jota afirma que está entre os 5% maiores vendedores da empresa, pois seu total de vendas no ano passado foi de $1.350.000. Considerando que as vendas de todos os vendedores têm a distribuição normal N($1.250000, $100.000), verificar se a afirmação do vendedor Jota é correta.
5% maiores vendedores
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Solução
Os 5% maiores vendedores da empresa estão localizados no final da cauda superior da distribuição normalizada. 
Qual o valor Z1 que verifica a relação P(ZZ1)=5%? Como a tabela não tem registrada essa parte da área da curva, deveremos procurar a probabilidade complementar 0,95 obtida como resultado da diferença (1-0,05).
Procurando no miolo da Tabela Z verificamos que o valor 0,95 não coincide com nenhum dos valores registrados na Tabela Z, portanto, será necessário realizar uma interpolação.
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Como o valor 0,95 situa-se entre 0,9495 (Z=1,64) e 0,9505 (Z=1,65), interpolando entre esses valores obtém-se Z=1,645, que corresponde à probabilidade P(Z1,645)=0,05. 
Com os dados disponíveis, a N($1.250000, $100.000) e o valor Z=1,645, calculamos o valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores, utilizando a fórmula do desvio padrão normalizado Z:
O valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores é x=$1.414.500, com a fórmula:
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Concluindo, para pertencer ao grupo dos 5% maiores vendedores da empresa, seria necessário vender pelo menos $1.414.500. Como o vendedor Jota vendeu $1.350.000, ele não pertence ao grupo dos 5% maiores vendedores.
Como exercício adicional, verifique que o salário de Jota está no grupo dos 15,87% maiores vendedores da empresa, resultado obtido pelo cálculo direto da probabilidade a partir do valor de vendas anuais, P(X1.350.000)=0,1587.
Como ajuda, o valor de vendas de Jota está a um desvio padrão da média da distribuição.
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Função do Excel
INV.NORM(probabilidade; média; desv_padrão)
A função INV.NORM retorna o valor de x correspondente aos argumentos probabilidade, média e desv_padrão. A função INV.NORM é a inversa da função DIST.NORM, com argumento cumulativo VERDADEIRO. Para calcular o valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores, numa célula da planilha Excel registramos =INV.NORM(0,95;1250000;100000). Essa fórmula retorna o resultado $1.414.485, resultado um pouco diferente do obtido da Tabela Z com valores arredondados.
No cálculo de x, o Excel utiliza um procedimento iterativo até alcançar um erro de 310-7. Entretanto, se até 100 iterações não for possível encontrar o resultado, a função INV.NORM retornará o resultado #N/A.
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Função do Excel
INV.NORMP(probabilidade)
A função INV.NORMP retorna o valor Z da probabilidade informada, valor entre zero e um. A função DIST.NORMP considera que a probabilidade informada se refere à probabilidade acumulada de menos infinito até Z, pois essa função é a inversa da função DIST.NORMP. Para calcular o valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores, registramos a fórmula =INV.NORMP(0,95)*100000+1250000, retornando $1.414.485, o mesmo resultado obtido com a função INV.NORM.
No cálculo de Z o Excel utiliza um procedimento iterativo até alcançar um erro de 310-7. Entretanto, se até 100 iterações não for possível encontrar o resultado, a função DIST.NORMP retornará o resultado #N/A. 
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Outra forma de resolver o Exemplo 8.11 é utilizando a planilha Cálculo Inverso incluída na pasta Capítulo 8, como mostra a Figura 8.14.
Esse modelo é parecido com os anteriores, porém foi adaptado para retornar o valor de x nas duas possíveis respostas selecionadas na caixa de combinação da célula D6.
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Exemplo 8.12
Os registros históricos da loja mostram que a demanda mensal do sabonete especial Alfa tem distribuição normal com média 2.400 e desvio padrão 230. 
Como o valor médio do ticket de compra desses compradores é o mais alto da loja, o gerente quer garantir que 99% dessas vendas sejam atendidas. 
Calcular o estoque que a loja deve ter no início de cada mês.
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Exemplo 8.13
Como costuma ocorrer, o diretor de novos projetos necessita, para ontem, a estimativa preliminar do valor do investimento do lançamento do novo produto. 
Quando pergunta ao gerente de novos projetos da empresa, que tem muita experiência na avaliação desse tipo de projeto bastante freqüente na empresa, ele responde que a estimativa do investimento se situa entre $1.500.000 e $2.000.000, com 50% de probabilidade de acerto.
Qual o valor dos parâmetros dessa distribuição considerando que a variável investimento tem distribuição normal? 
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Exemplo 8.14
Para definir o preço unitário de um novo produto, o gerente do produto costuma analisar dois cenários, um otimista e o outro pessimista. No caso do novo detergente em cubos para máquina de lavar louças ele definiu: 
O preço do cenário otimista de $25 por pacote, considerando que a probabilidade de exceder esse valor seja de 5%.
O preço do cenário pessimista de $18 por pacote, considerando que a probabilidade de reduzir esse valor seja de 5%.
Considerando que o preço unitário tenha distribuição normal, qual o valor dos parâmetros dessa distribuição? 
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Exemplo 8.15
O produto farmacêutico líquido é enchido em frascos por uma máquina automática que pode ser ajustada em qualquer volume entre 10 e 20 centímetros cúbicos.
O volume do produto é uma variável aleatória com distribuição normal com desvio padrão 0,4 centímetros cúbicos. A especificação do controle de qualidade exige que pelo menos 98% dos frascoscontenham 16 centímetros cúbicos ou mais. 
Em que volume a máquina deve ser ajustada?
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DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição exponencial é uma distribuição contínua aplicada em muitos problemas de empresas nas áreas de serviços e manufaturas, em geral denominados problemas de fila de espera. 
Quando os serviços prestados por uma empresa para clientes externos ou internos são de duração variável, a distribuição exponencial é indicada para analisar esses experimentos; por exemplo, a duração do atendimento do caixa de um banco ou de postos de saúde, o tempo de operação sem interrupção de um equipamento etc. 
A distribuição exponencial é definida pelo único parâmetro  denominado média, que estabelece a média de chegadas por hora, por exemplo, ou de serviços por minuto ou alguma outra unidade de tempo.
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Função do Excel
DISTEXPON(x; lambda; cumulativo)
A função estatística DISTEXPON retorna a função densidade de x ou a probabilidade acumulada de zero até x, conforme o argumento cumulativo. 
Se cumulativo for FALSO, a função estatística DISTEXPON retornará a função densidade: 
Se cumulativo for VERDADEIRO, a função DISTEXPON retornará a probabilidade acumulada de zero até x, ou P(Xx), valor obtido com a fórmula: 
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Modelo Distribuição Exponencial
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DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL
A distribuição normal está presente em muitas situações. 
Por exemplo, um cabo de aço trançado utilizado num elevador, ou alguma outra aplicação de tração, é formado por muitos fios de aço que adequadamente entrelaçados conferem uma forte resistência ao cabo.
A força ou capacidade do cabo Y é a soma das capacidades individuais dos fios de aço yi:
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Se o número de fios n que formam o cabo for adequadamente grande, mesmo que a distribuição da capacidade dos fios de aço não seja normal, a distribuição da capacidade do cabo será normal, de acordo com o Teorema Central do Limite, que será apresentado no Capítulo 10. Esse exemplo mostra que uma variável aleatória Y definida como a soma de n variáveis aleatórias yi pode ser descrita com uma distribuição normal, atendendo a alguns requisitos.
Outra situação freqüente aparece no caso de uma variável aleatória X definida pelo produto de n variáveis aleatórias xi, como mostra a fórmula:
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Um exemplo prático da multiplicação de variáveis aleatórias é a determinação da taxa de retorno de um ativo durante um mês, obtido como resultado da multiplicação da variação de preços diários desse ativo. Aplicando o logaritmo natural aos dois membros dessa fórmula:
Se os termos do segundo membro cumprem com os requisitos necessários, a analogia com a soma anterior é clara, podendo-se afirmar que a variável aleatória lnX tem distribuição normal.
Se Y=lnX, pode-se dizer que a variável aleatória Y tem distribuição normal e a variável aleatória X tem distribuição lognormal.
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A distribuição lognormal é muito utilizada em engenharia de confiabilidade para descrever falhas causadas por fadiga de material, incertezas e taxas de falhas, além de uma variedade de outros fenômenos.
Ainda tem a propriedade de que se duas variáveis aleatórias têm distribuição lognormal, a função gerada pelo produto dessas duas variáveis também terá distribuição lognormal.
Também é bastante utilizada em opções de ativos da teoria moderna de finanças. Por exemplo, analisando a variável aleatória retorno de um investimento em ações:
A relação entre o resgate e a aplicação pode ser maior que um, sem nenhuma limitação até onde o próprio mercado permitir. 
Entretanto, a relação entre o resgate e a aplicação pode ser menor que um até o limite de não resgatar nada e perder a aplicação realizada, provocando uma distribuição de retornos assimétrica.
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Funções do Excel
DIST.LOGNORMAL(x; média; desv_padrão)
A função estatística DIST.LOGNORMAL retorna a probabilidade acumulada de zero até x, conhecidos os argumentos média e desv_padrão.
INVLOG(probabilidade; média; desv_padrão)
A função estatística INVLOG retorna o valor de x para o argumento probabilidade, conhecidos os argumentos média e desv_padrão.
A função INVLOG é a função inversa da função DIST.LOGNORMAL.
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