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Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 16 
 
III – A linha de transmissão 
As linhas de transmissão são os equipamentos empregados para transportar grandes blocos de energia por 
grandes distâncias, entre os centros consumidores e os centros geradores. No Brasil, em função do parque 
gerador ser baseado na energia hidrelétrica, o sistema de transmissão desempenha um papel muito 
importante pois as distâncias entre os centros consumidores e geradores são elevadas. 
 
Os dados do setor elétrico brasileiro podem ser obtidos nos boletins do Sistema de Informações Empresariais 
do Setor de Energia Elétrica (SIESE) que é parte do Sistema Integrado de Informações Energéticas (SIE) da 
Secretaria Geral do Ministério das Minas e Energia (MME). Um extrato do relatório, referente às linhas de 
transmissão encontra-se no Quadro III.1. 
 
Quadro III.1 – Extensão das linhas de transmissão do setor elétrico brasileiro. 
 
EXTENSÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO - km
 Em 31.12 2001 
 1999 2000 2001 Entradas Retiradas
69 kV 40.023,0 39.973,0 39.973,0 0,0 0,0
88 kV 3.290,7 3.290,7 3.290,7 0,0 0,0
138 kV 55.723,2 56.080,1 56.080,1 0,0 0,0
230 kV 33.869,9 34.040,7 34.072,7 32,0 0,0
345 kV 8.952,3 8.952,3 8.952,3 0,0 0,0
440 kV 6.384,4 6.497,6 7.002,6 505,0 0,0
500 kV 16.952,7 18.617,2 18.721,5 104,3 0,0
600 kV (corrente contínua) 1.612,0 1.612,0 1.612,0 0,0 0,0
750 kV 2.114,0 2.379,0 2.683,0 304,0 0,0
 Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/). 
 
Uma linha de transmissão de energia elétrica possui quatro parâmetros básicos: resistência série, indutância 
série, capacitância em derivação e condutância em derivação. Estes parâmetros influem diretamente no seu 
comportamento como componente de um sistema de energia elétrica mas, a condutância em derivação 
(utilizada para representar a fuga pelos isoladores e corona de linhas aéreas ou isolação dos cabos 
subterrâneos) geralmente é desprezada por ser muito pequena. 
 
Assim, para a análise do regime permanente de uma linha de transmissão serão considerados apenas três 
parâmetros: resistência série, indutância série e capacitância em derivação. 
 
III.1 – Tipos de condutores 
Na construção de linhas de transmissão são empregados largamente os condutores de alumínio devido aos 
seguintes fatores: 
• Menor custo e peso; 
• Maior diâmetro que equivalente em cobre (portanto menor densidade de fluxo elétrico na superfície 
proporcionando um menor gradiente de potencial e menor tendência à ionização do ar – efeito corona). 
 
Os tipos mais comuns de condutores de alumínio são: 
CA Condutor de Alumínio ≡ AAC All Aluminium Conductor 
CAA Condutor de Alumínio com alma de Aço ≡ ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforced 
 
Os nomes código dos cabos CA são nomes de flores (por exemplo: 4 AWG Rose; 266,8 MCM Daisy; 636 
Orchid) e dos cabos CAA são nomes de aves (por exemplo: 1 AWG Robin; 636 MCM Grosbeak; 1590 
Falcon). 
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III.2 – Resistência série 
A resistência série é a principal causa das perdas de energia nas linhas de transmissão. 
 
Em corrente contínua (CC) a resistência de um condutor é dada por: 
 
A
lRCC ρ= [Ω] (III.1) 
onde: 
ρ 
– Resistividade do condutor1 [Ωm] 
l – Comprimento [m] 
A – Área da seção transversal [m2] 
 
Na determinação da resistência dos condutores devem ser levados em conta os seguintes aspectos: 
• Para a faixa normal de operação, a variação da resistência de um condutor metálico é praticamente 
linear, ou seja: 
 
10
20
12 TT
TT
RR
+
+
= (III.2) 
onde: 
1R – Resistência à temperatura 1T [Ω] 
2R – Resistência à temperatura 2T [Ω] 
0T – Constante do material
2
 [o C] 
 
• Em cabos encordoados, o comprimento dos fios periféricos é maior que o comprimento do cabo (devido 
ao encordoamento helicoidal). Isto acresce à resistência efetiva em 1 a 2%. 
 
Em corrente alternada (CA), devido ao efeito pelicular (skin), a corrente tende a concentrar-se na superfície 
do condutor. Isto provoca um acréscimo na resistência efetiva (proporcional à freqüência) observável a 60 
Hz (em torno de 3%). 
 
 
Exemplo III.1 – Para o cabo de alumínio Marigold 1113 MCM ( mm 432,361× ), a resistência em CC a 
20oC é igual a 0,05112 Ω/km e a resistência CA-60 Hz a 50oC é 0,05940 Ω/km. Determinar: 
a) O acréscimo percentual na resistência devido ao encordoamento. 
b) O acréscimo percentual na resistência devido ao efeito pelicular. 
 
Solução Exemplo III.1: 
a) A área da seção transversal do condutor é: 
 
24
23
2 m 10643,5
2
10432,361 −
−
×=




 ×
== pipirNA 
Utilizando a expressão (III.1), tem-se: 
 km24
km
m8
 05015,0
m10643,5
1000
m1083,2 Ω
−
−
=
×
Ω×==
A
lRCC ρ 
Portanto, o acréscimo devido ao encordoamento , enc∆ , é: 
 % 9,1019,1
 05015,0
 05112,0
enc
km
km
=∆⇒==
Ω
Ω
CC
ef
CC
R
R
 
 
1
 Para o alumínio têmpera dura a 20o C, m 1083,2 8 Ω×= −ρ . 
2
 Para o alumínio têmpera dura a 20o C, C 2280
o
=T . 
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Solução Exemplo III.1 (continuação): 
 
b) Utilizando a expressão (III.2), tem-se: 
 km
0
02050
 05730,0
20228
5022805112,0
20
50 Ω
=
+
+
=
+
+
=
T
T
RR CCCC 
Portanto, o acréscimo devido ao efeito pelicular, pel∆ , é: 
 % 7,3037,1
05730,0
05940,0
pel50
50
=∆⇒==
CC
CA
R
R
 
 
III.3 – Indutância série 
Um condutor constituído de dois ou mais elementos ou fios em paralelo é chamado condutor composto – 
observar que isto inclui os condutores encordoados e também os feixes (bundles) de condutores. 
 
Sejam os dois condutores compostos arranjados conforme a Figura III.1. O condutor x é formado por n fios 
cilíndricos idênticos, cada um transportando a corrente nI e o condutor de retorno Y é formado por M fios 
cilíndricos idênticos, cada um transportando a corrente MI . 
 
a 
Condutor x
 
b 
c 
n 
A B 
C 
M 
Condutor Y
 
bnD bC
D
 
Figura III.1 – Seção transversal de uma linha monofásica constituída por dois condutores compostos. 
 
Considerando as distâncias indicadas na Figura III.1, a indutância dos fios a e b que fazem parte do condutor 
x são dadas por: 
 
n
anacaba
M
aMaCaBaA
a DDDr
DDDD
nL
L
L
′
= ln
2pi
µ
 [H/m] 
 
n
bnbcbab
M
bMbCbBbA
b DDDr
DDDD
nL
L
L
′
= ln
2pi
µ
 [H/m] 
onde: 
0µµµ r= – Permeabilidade do meio3 (para o vácuo, kmH4mH70 104 104 −− == pipiµ ) [H/m] 
αβD – Distância entre os fios α e β [m] 
αr ′ – Raio de um condutor fictício (sem fluxo interno) porém com a mesma indutância que o 
condutor α, cujo raio é αr (para condutores cilíndricos, 4
1−
⋅=′ err αα ) [m] 
 
Nas expressões anteriores, é imprescindível que αβD e αr ′ estejam na mesma unidade (em metros, por 
exemplo). 
 
 
3
 Geralmente é utilizada a permeabilidade do vácuo pois, para o ar, a permeabilidade relativa é unitária: 1≈rµ . 
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A indutância do condutor composto x é igual ao valor médio da indutância dos fios dividido pelo número de 
fios (associação em paralelo), ou seja:2
médio 
n
LLLL
n
n
LLLL
n
L
L ncba
ncba
x
x
++++
=
++++
==
K
K
 [H/m] 
Segue daí que: 
 
( )( ) ( )
( )( ) ( )2ln2 n nnnbnabnbbbaanabaa
Mn
nMnBnAbMbBbAaMaBaA
x DDDDDDDDD
DDDDDDDDD
L
LLLL
LLLL
pi
µ
= [H/m] (III.3) 
onde ααα rD ′= . O numerador da expressão (III.3) é chamado de Distância Média Geométrica (DMG) e é 
notado por mD ; o denominador é chamado de Raio Médio Geométrico (RMG) e é notado por sD . Assim, 
 
s
m
x D
DL ln
2pi
µ
= [H/m] (III.4) 
com: 
mD – Distância Média Geométrica (DMG): ( )( ) ( )Mn nMnBnAbMbBbAaMaBaAm DDDDDDDDDD LLLL= [m] 
sD – Raio Médio Geométrico (RMG): ( )( ) ( )2n nnnbnabnbbbaanabaas DDDDDDDDDD LLLL= [m] 
 
Sendo f a freqüência de operação da linha, a reatância indutiva é dada por: 
 xL fLX pi2= [Ω/m] 
Em uma linha trifásica, com espaçamento assimétrico, a indutância das fases é diferente e o circuito é 
desequilibrado. Por intermédio da transposição da linha, é possível restaurar o equilíbrio das fases, do ponto 
de vista dos terminais da linha. A transposição consiste em fazer com que cada fase ocupe cada uma das 
posições nas torres por igual distância (para uma linha trifásica, três são as posições possíveis e deve-se fazer 
com que cada fase ocupe 1/3 do comprimento da linha em cada uma das três posições). 
 
Considere a linha trifásica transposta com espaçamento assimétrico mostrada na Figura III.2. 
 
 
3 
1 
2 
Condutor A 
13D
12D
23D
Condutor A 
Condutor A
 
Condutor B
 
Condutor C 
Condutor C 
Condutor B 
Condutor C
 
Condutor B Posição 1 
Posição 2 
Posição 3 
1/3 comprimento 1/3 comprimento 1/3 comprimento 
Tr
an
sp
o
siç
ão
 
Tr
an
sp
o
siç
ão
 
 
Figura III.2 – Linha trifásica com um ciclo de transposição. 
 
Para a linha da Figura III.2, a indutância média por fase é dada por: 
 
s
eq
D
D
L ln
2pi
µ
= [H/m] (III.5) 
onde: 
eqD – Distância média geométrica entre condutores 3 312312 DDDDeq = [m] 
sD – Raio médio geométrico do condutor [m] 
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Observar a semelhança entre as expressões (III.4) e (III.5). Em linhas constituídas por mais de um condutor 
por fase, o raio médio geométrico deve ser calculado como anteriormente, ou seja: 
( )( ) ( )2n nnnbnabnbbbaanabaas DDDDDDDDDD LLLL= 
e os termos empregados no cálculo da distância média geométrica ( )312312 e , DDD correspondem às 
distâncias médias geométricas entre cada uma das combinações das fases, ou seja, xYD é dado por: 
( )( ) ( )Mn nMnBnAbMbBbAaMaBaAmxY DDDDDDDDDDD LLLL==
 
Os valores do raio médio geométrico de cada condutor (Daa, Dbb, etc.) podem ser obtidos diretamente nas 
tabelas dos fabricantes, juntamente com os demais dados dos cabos (nome código, seção transversal, 
formação, número de camadas, diâmetro externo e resistência elétrica), ou podem ser determinados por 
intermédio da seguinte expressão: 
gKDD ×= ααα 5,0 
onde αD é o diâmetro externo do condutor α e Kg uma constante que depende de sua formação (quantidade 
e tipo de fios), cujos valores encontram-se no Quadro III.2. 
 
Quadro III.2 – Valores de Kg para a determinação do raio médio geométrico de um cabo. 
 
Formação 
(número de fios) 
Fator de formação 
(Kg) 
7 0,7256 
19 0,7577 
37 0,7678 
61 0,7722 
Condutor de Alumínio 
(CA) 
91 0,7743 
Formação 
(fios alumínio/aço) 
Fator de formação 
(Kg) 
22/7 0,7949 
26/7 0,8116 
30/7 0,8250 
45/7 0,7939 
54/7 0,8099 
Condutor de Alumínio com 
alma de Aço 
(CAA) 
54/19 0,8099 
Fonte: Overhead, Pirelli Technical Manuals 
(disponível em http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf) 
 
Para condutores de alumínio, observar que à medida que o número de fios aumenta o fator de formação (Kg) 
se aproxima do valor determinado para condutores cilíndricos maciços, que corresponde a 7788,04
1
=
−
e . 
 
 
Exemplo III.2 – Determinar o raio médio geométrico do condutor de alumínio com alma de aço Pheasant 
1272 MCM, formado por 54 fios de alumínio e 19 de aço (54/19) que possui um diâmetro externo de 
3,5103 cm. 
 
Solução Exemplo III.2: Do Quadro III.2, tem-se que o fator de formação correspondente (54/19) é dado 
por Kg =0,8099. Substituindo na expressão, tem-se: 
cm4215,18099,0cm5103,35,05,0 =××=×= gKDD ααα 
Observar que um valor equivalente pode ser encontrado na tabela do fabricante. 
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III.4 – Capacitância em derivação 
Para uma linha de transmissão monofásica formada por condutores de raio r, conforme a mostra Figura III.3, 
a capacitância entre os dois fios desta linha é dada por: 
 
r
D
kCab
ln
pi
=
 [F/m] 
onde k é a permissividade do meio ( kmF9mF120 1085,8 1085,8 −− ×=×=k , é a permissividade do vácuo, 
geralmente empregada no cálculo de linhas aéreas). 
 
 
a b 
D 
 
Figura III.3 – Seção transversal de uma linha monofásica. 
 
 
Assim, a capacitância de qualquer um dos fios ao neutro corresponde ao dobro do valor determinado pela 
expressão anterior (associação série de capacitores), conforme ilustra a Figura III.4. 
 
 
a 
Capacitância linha/linha
 
b 
abC a 
Capacitância linha/neutro
 
b 
aNC bNC
N 
abbNaN CCC 2==
 
Figura III.4 – Capacitâncias linha/linha e linha neutro. 
 
 
Desta forma, a expressão da capacitância entre linha/neutro, para uma linha monofásica é dada por: 
 
r
D
kCN
ln
2pi
= [F/m] (III.6) 
Para uma linha de transmissão trifásica espaçada igualmente e formada por condutores de raio r, conforme 
mostra a Figura III.5, a capacitância entre linha/neutro de qualquer uma das fases pode ser obtida, também, 
pela expressão (III.6). 
 
D D 
D 
a 
b 
c 
 
Figura III.5 – Seção transversal de uma linha trifásica. 
 
Observar que na expressão (III.5) não foi contemplada a existência da terra que causa uma descontinuidade 
no meio dielétrico (passa de isolante para condutivo). Embora a consideração do efeito da terra, geralmente, 
não provoque alterações significativas no valor da capacitância (em outras palavras, a capacitância entre as 
fases é muito maior do que a capacitância entre as fases e a terra), é possível determinar esta componente 
aplicando-se o método das imagens. 
 
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Considerando os condutores fase e as imagens, mostrados na Figura III.6, a capacitância média com relação 
ao neutro é dada por4: 
 








+
=








−
=
3
3
3
3
lnln
2
lnln
2
αχβ
χβα
χβα
αχβ
pipi
cba
cbaeq
cba
cbaeq
N
DDD
DDD
r
D
k
DDD
DDD
r
D
kC [F/m] (III.7) 
sendo 3 cabaabeq DDDD = a distância média geométrica entre condutores. Observar a semelhança entre as 
expressões (III.6) e (III.7). Como os condutores das linhas de transmissão são suspensos e adquirem a forma 
de uma catenária, a altura adotada no cálculo da capacitância é diferente da altura de suspensão (H), pois o 
cabo apresenta uma flecha f, sendo sua altura média é inferior. Usualmente, a altura empregada no cálculo, h, 
é dada por: fHh 7,0−= . 
 
abD
a 
b 
c 
α
 
β
 
χ
 
bcD
βaD χbD
αaD βbD χcD
caD
αcD
Condutores 
Imagens 
Superfície do solo 
 
FiguraIII.6 – Seção transversal de uma linha trifásica assimétrica e sua imagem. 
 
Sendo f a freqüência de operação da linha e NC a capacitância linha/neutro, determinada pelas expressões 
(III.6) e (III.7), a reatância capacitiva dos condutores em relação ao neutro é dada por: 
 
N
C fCX pi2
1
=
 [Ωm] 
Observar que a unidade de LX é diferente da unidade de CX , enquanto o primeiro é dado em 
Ω/m (pois a 
reatância é diretamente proporcional à indutância que é dada em H/m), o segundo é dado em Ωm (pois a 
reatância é inversamente proporcional à capacitância que é dada em F/m). 
 
4
 As duas expressões a seguir são idênticas, apenas diferem com relação ao sinal e a expressão do 2o termo do 
denominador – lembrar que ( ) ( )abba lnln −= . Observar que o termo 3 αχβ cba DDD (diagonais) sempre é maior que 
3
χβα cba DDD (verticais), motivo pelo qual o segundo termo sempre reduz o valor do denominador, ou seja, a 
consideração do efeito da terra aumenta a capacitância com relação à terra. 
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Exemplo III.3 – Para as duas configurações abaixo (vertical e horizontal), determinar a indutância série e a 
capacitância em derivação por unidade de comprimento (km). Considerar que ambas as linhas são 
transpostas. 
 
D
a 
b 
c 
a b c 
H
Vertical 
Horizontal 
Superfície do solo 
D
D
H
D
m 20
m 0,7
(RMG) cm 021,1
cm 257,1
Grosbeak MCM 636 Cabo
 1085,8
 104
km
F9
0
km
H4
0
=
=
=
=
×==
==
−
−
H
D
D
r
kk
s
piµµ
 
 
Solução Exemplo III.3: Para ambas as configurações, têm-se: 
 m 82,826,122 3333 312312 =≈=⋅⋅=== DDDDDDDDDDDD cabcabeq 
logo, pela expressão (III.5): 
 km
H3km
H4
0
 1035,1
m 0,01021
m 82,8ln
2
104ln
2
−
−
×===
pi
pi
pi
µ
s
eq
D
D
L 
Para a configuração vertical, tem-se: 
 
( )( )( ) m 70,5315481822232 333 ≈=+++= DHDHDHDDD cba αχβ 
 
( )( ) m 76,5214688022242 333 ≈=++= HDHDHDDD cba χβα 
logo, pela expressão (III.7), tem-se: 
 km
F9km
F9
3
3
 1051,8
m 52,76
m 70,53ln
m 0,01257
m 82,8ln
 1085,82
lnln
2
−
−
×=
−
×
≈








−
=
pipi
χβα
αχβ
cba
cbaeq
N
DDD
DDD
r
D
kC 
Negligenciando o efeito do solo, observar que a capacitância das configurações vertical e horizontal seria 
igual a: 
 km
F9km
F9
 1048,8
m 0,01257
m 82,8ln
 1085,82
ln
2
−
−
×=
×
==′
pipi
r
D
kC
eq
N 
Neste caso, a capacitância com relação ao neutro sem considerar o solo, NC ′ , corresponde a 99,6% de NC
5
. 
Para a configuração horizontal, tem-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) m 19,4137,698832222 33 2222223 ≈=+++= DHDHDHDDD cba αχβ 
 m 00,40222233 ==⋅⋅= HHHHDDD cba χβα 
logo, pela expressão (III.7), tem-se: 
 km
F9km
F9
3
3
 1052,8
m 40,00
m 18,41ln
m 0,01257
m 82,8ln
 1085,82
lnln
2
−
−
×=
−
×
≈








−
=
pipi
χβα
αχβ
cba
cbaeq
N
DDD
DDD
r
D
kC 
Neste caso, a capacitância com relação ao neutro sem considerar o solo, NC ′ , corresponde a 99,5% de NC . 
 
5
 Isto explica porque o efeito da terra é muitas vezes desprezado no cálculo da capacitância das linhas de transmissão. 
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Exemplo III.4 (Provão 2002) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase 
Eletrotécnica). 
 
 
 
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Média (escala de 0 a 100) % escolha 
Brasil Região Sul Instituição Brasil Região sul Instituição 
8,0 8,1 16,8 17,7 
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Exercício III.1 – Descrever e demonstrar com exemplo as alterações necessárias na disposição dos cabos 
(altura, arranjo das fases, arranjo do bundle, etc.) para: 
a) Reduzir a indutância série de uma linha de transmissão. 
b) Aumentar a capacitância em derivação de uma linha de transmissão. 
 
III.5 – O modelo da linha de transmissão 
As linhas de transmissão são classificadas de acordo com seu comprimento: 
• Linhas curtas: até 80 km. 
• Linhas médias: até 240 km. 
• Linhas longas: mais de 240 km 
 
Embora as linhas nem sempre possuam espaçamento eqüilátero e sejam plenamente transpostas, a assimetria 
resultante em sistemas de alta e extra-alta tensão é pequena e as fases podem, geralmente, ser consideradas 
equilibradas (via de regra, a carga é bastante equilibrada). 
 
Os parâmetros utilizados nos estudos de fluxo de carga para representar linhas curtas e médias podem ser 
obtidos diretamente das expressões anteriores – basta multiplicá-los pelo comprimento da linha de 
transmissão. Para linhas longas é necessário fazer uma correção para considerar que os parâmetros são 
distribuídos. 
 
Qualquer linha de transmissão pode ser representada de modo exato, a partir dos seus terminais, por um 
circuito pi equivalente, como mostrado na Figura III.7, onde: 
kmZ – Impedância série total da linha de transmissão [Ω] 
kmY – Admitância em derivação (linha/neutro) total da linha de transmissão [S] 
γ 
– Constante de propagação da linha: yzj ⋅=+= βαγ [1/km] 
z – Impedância série por unidade de comprimento [Ω/km] 
y – Admitância em derivação (linha/neutro) por unidade de comprimento [S/km] 
α – Constante de atenuação [neper/km] β – Constante de fase [rad/km] 
l – Comprimento da linha [km] 
 
k l
lZZ kmkm
⋅
⋅
=
′
γ
γsenh
2
kmY
′
m 
2
2
tanh
22 l
l
YY kmkm
⋅
⋅
=
′
γ
γ
 
Figura III.7 – Circuito pi equivalente de uma linha de transmissão. 
 
Para linhas de transmissão médias, tem-se que: 
 1senh ≈
⋅
⋅
l
l
γ
γ
 e 1
tanh
2
2
≈
⋅
⋅
l
l
γ
γ
 
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A linha de transmissão – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 12 de 16 
 
Logo, para linhas de transmissão médias, pode-se utilizar diretamente a impedância série total da linha (pois 
kmkm ZZ =
′ ) e a metade da admitância em derivação total (pois 22 kmkm ZY =′ ), resultando no chamado 
circuito pi nominal. 
 
Para linhas de transmissão curtas, pode-se desprezar a admitância em derivação e utilizar-se somente a 
impedância série total da linha. 
 
Observar que, geralmente, a condutância em derivação é insignificante, ou seja, a admitância em derivação é 
composta apenas pela susceptância em derivação shunt 
 
Exercício III.2 – Para a configuração vertical do Exemplo III.2, determinar o circuito equivalente, 
considerando a resistência em corrente alternada por unidade de comprimento igual a km 10054,0 Ω=r , 60 
Hz, e que o comprimento da linha é: 
a) 500 km (linha longa) 
b) 150 km (linha média) 
c) 50 km (linha curta). 
 
 
Após realizadas as correções necessárias para levar em conta o comprimento, a representação das linhas de 
transmissão no fluxo de carga é realizada pelo seu equivalente pi, mostrado na Figura III.8 que é definido por 
três parâmetros: a resistência série kmr ; a reatância série kmx e a susceptância em derivação (shunt) shkmb . 
 
k 
kmI km
r kmjx
sh
kmjb shkmjb
m 
mkII
kkk VV θ=mmm VV θ=
 
Figura III.8 – Modelo equivalente pi de uma linha de transmissão. 
 
A impedância e admitância do elemento série são dadas por: 
 kmkmkm jxrZ += 
 2222
1
kmkm
km
kmkm
km
kmkm
kmkmkm
xr
xj
xr
r
jxrjbgY +
−
+
+
=
+
=+= 
Para uma linha de transmissão, kmr e kmx são positivos (portanto, kmg é positivo e kmb é negativo) e o 
elemento em derivação, shkmb , também é positivo em função de representar a capacitância linha/neutro da 
linha de transmissão. 
 
As correntes kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k e m ( kkk VV θ= e 
mmm VV θ= , respectivamente): 
 
( ) ( ) mkmkshkmkmkshkmmkkmkm VYVjbYVjbVVYI −+=+−= (III.8) 
 
( ) ( ) mshkmkmkkmmshkmkmkmmk VjbYVYVjbVVYI ++−=+−= (III.9) 
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A expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é dada por: 
 
( )[ ]
**2*****
**
mkkmk
sh
kmkmmkmk
sh
kmkmk
mkmk
sh
kmkmkkmkkmkmkm
VVYVjbYVYVjbYV
VYVjbYVIVjQPS
−




−=




−




−=
−+==+=
 
Sabendo que mkmkmk VVVV θθ −=
*
 e definindo mkkm θθθ −= , 
 
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )( )kmkmkmkmmkkshkmkmkm
kmmkkmkmk
sh
kmkmkmkm
jjbgVVVbbjg
VVjbgVbbjgS
θθ
θ
sencos2
2
+−−+−=
−−+−=
 (III.10) 
Separando as partes real e imaginária, chega-se a: 
 
 ( )kmkmkmkmmkkmkkm bgVVgVP θθ sencos2 +−= (III.11) 
 
 
( ) ( )kmkmkmkmmkshkmkmkkm bgVVbbVQ θθ cossen2 −−+−= (III.12) 
 
Analogamente, para determinar o fluxo de potência complexa da barra m para a barra k: 
 
( )[ ]
**2*****
**
kmkmm
sh
kmkmkkmm
sh
kmkmm
kkmm
sh
kmkmmmkmmkmkmk
VVYVjbYVYVjbYV
VYVjbYVIVjQPS
−




−=




−




−=
−+==+=
 
cujas partes real e imaginária são: 
 
 ( )mkkmmkkmmkkmmmk bgVVgVP θθ sencos2 +−= (III.13) 
 
 
( ) ( )mkkmmkkmmkshkmkmmmk bgVVbbVQ θθ cossen2 −−+−= (III.14) 
 
O diagrama fasorial da linha de transmissão é mostrado na Figura III.9. 
 
Ijxkm kV
mV
kmV
I
Irkm
kmθ
 
Figura III.9 – Diagrama fasorial da linha de transmissão. 
 
 
As perdas de potência ativa e reativa em uma linha de transmissão podem, então, ser determinadas somando-
se, respectivamente, as expressões (III.11) com (III.13) e (III.12) com (III.14), ou seja: 
 
 
( ) kmkmmkkmmkmkkm gVVgVVPPP θcos222perdas −+=+= 
 
( )( ) kmkmmkshkmkmmkmkkm bVVbbVVQQQ θcos222perdas +++−=+= 
 
 
Exercício III.3 – Mostrar que ( )2perdaskmmkkm IrPP =+ . 
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As expressões (III.8) e (III.9), podem ser arranjadas de outra forma, tendo em vista possibilitar a 
representação da linha de transmissão por um quadripolo, conforme mostrado na Figura III.10. 
 
kmI mkI
kkk VV θ= mmm VV θ=
+ 
 
 
– 
+ 
 
 
– 






⋅





=





km
k
mk
m
I
V
DC
BA
I
V
 
Figura III.10 – Linha de transmissão representada por um quadripolo. 
 
Isolando mV em (III.8), chega-se a: 
 ( )[ ] ( ) kmkmkshkmkmkm
km
k
km
sh
km
kmk
sh
kmkm
km
m IZVjbZI
Y
V
Y
jbIVjbY
Y
V −+=−






+=−+= 1111 (III.15) 
Em (III.9), substituindo mV , pela expressão (III.15), tem-se: 
 
( ) ( )
( ) km
km
sh
km
k
km
sh
kmsh
km
sh
km
sh
kmkm
km
sh
km
kkm
km
sh
kmsh
kmkm
sh
kmkm
kkmkm
km
sh
kmkm
k
km
sh
kmsh
kmkmkkm
V
km
km
k
km
sh
kmsh
kmkmmk
I
Y
jbV
Y
jbjbjbjbI
Y
jbVY
Y
jbjbYjbY
VYI
Y
jbYV
Y
jbjbYVYI
Y
V
Y
jbjbYI
m








+−





++=







+−





−+++=
=−
+
−







++=−








−







++=
11
111
4444 84444 76
 
 ( ) ( ) kmshkmkmkshkmkmshkmkm
km
sh
km
k
km
sh
kmsh
kmmk IjbZVjbZjbIY
jbV
Y
jbjbI +−+=






+−







+= 1212 (III.16) 
Assim, os parâmetros do quadripolo são: shkmkm jbZA +=1 kmZB −= ( )shkmkmshkm jbZjbC += 2 ( )shkmkm jbZD +−= 1 . 
 
 
Exemplo III.5 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase 
Eletrotécnica). 
 
 
 
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Média (escala de 0 a 100) % escolha 
Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição 
23,9 20,8 14,8 16,0