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Análise Combinatória, Probabilidades e Aplicações
Curso de Verão 2024 - IME/USP
Somatórios e Produtórios
Somatórios
Para uma sequência ou função a indexada por i, definimos a soma:
k∑
i=j
ai := aj + aj+1 + ...+ ak
• ai representa a sequência de termos/função que determina cada parcela da soma
• i é um ı́ndice que varia de 1 em 1 desde i = j até i = k
Exemplos:
1. A soma da ráız quadrada de todos os números naturais de 1 a 100:
100∑
i=1
√
i =
√
1 +
√
2 + ...+
√
100
2. A soma das 5 primeiras potências de 2:
5∑
i=1
2i = 21 + 22 + 23 + 24 + 25
3. A soma dos pares entre 1 e 10:
5∑
i=1
2i = 2 + 4 + 6 + 8 + 10
4. A soma infinita dos termos de uma P.G. cujo termo inicial é 1 e a razão é 1
2 :
∞∑
i=1
1
2i−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ...
Soma sobre um conjunto de ı́ndices
É posśıvel realizar somas com o ı́ndice variando de acordo com os elementos de um conjunto contável1.
Exemplos:
• A = {2, 5,
√
13} ∑
i∈A
i2 = 22 + 52 + 13
• Escrevendo a mesma soma da P.G. anterior de outra maneira: B = {x|x = 2k para algum k ∈
{0, 1, 2, 3, ...}} ∑
i∈B
1
i
=
∞∑
i=1
1
2i−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ...
1Não entraremos em detalhes do que é um conjunto contável, vamos apenas dizer que conjuntos finitos e subconjuntos
dos inteiros são contáveis
1
Propriedades do somatório
Para quaisquer sequências (xi)i∈Z e (yi)i∈Z e constantes a ∈ R, j, k ∈ Z, valem as propriedades:
1.
k∑
i=j
axi = a
k∑
i=j
xi
k∑
i=j
axi = axj + axj+1 + ...+ axk
= a(xj + xj+1 + ...+ xk)
= a
k∑
i=j
xi
2.
k∑
i=j
(xi + yi) =
k∑
i=j
xi +
k∑
i=j
yi
k∑
i=j
(xi + yi) = (xj + yj) + (xj+1 + yj+1) + ...+ (xk + yk)
= (xj + xj+1 + ...+ xk) + (yj + yj+1 + ...+ yk)
=
k∑
i=j
xi +
k∑
i=j
yi
3.
k∑
i=j
xi =
m∑
i=j
xi +
k∑
i=m+1
xi para qualquer m ∈ Z tal que j ≤ m