2EE_2024 2_gabarito

Prévia do material em texto

Fundamentos do Eletromagnetismo
Profs. Augusto Otávio, Fábio Rodrigo,Irami Buarque,José Roberto.
Nome:
CPF: Turma:
Gabarito do segundo Exercício Escolar de 2024.2
Orientações:
• Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova.
• Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta.
• Todos os cálculos devem ser explicados e justificados passo a passo.
• É permitido o uso de calculadora.
• dado: µ0 = 4π · 10−7(T · m/A)
1º) (2,50 pontos) Uma bobina quadrada com 10 espiras (figura 1) e comprimento lateral de 50, 0cm, conduz uma
corrente de 2, 0A. Ela está no plano z = 0, como mostrado, em um campo magnético uniforme B⃗ = 0, 2Tî + 0, 3Tk̂.
A corrente está no sentido anti-horário quando vista de um ponto no eixo z positivo. Determine:
a) (0,5 ponto) o momento magnético da bobina;
b) (1,00 ponto) o torque exercido na bobina;
c) (1,00 ponto) a energia potencial da bobina.
Resolução da 1ª) questão
N = 10 (Número de espiras).
L = 50x10−2m (comprimento do fio)
i = 2A(corrente do fio)
B⃗ = 0, 2Tî + 0, 3Tk̂ (campo magnético)
a)
µ⃗ = NiAk̂ = 10x2x(50x10−2)2k̂
µ⃗ = 5, 0Am2k̂
b)
τ⃗ = µ⃗xB⃗ =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
0 0 5, 00
0, 2 0 0, 3
∣∣∣∣∣∣∣ = i ĵ
τ⃗ = 1, 0N · mĵ
c)
U = −µ⃗ · B⃗ = 5k̂ · 1 ĵ
U = −5, 0m2 · Ak̂ · (0, 2Tî + 0, 3Tk̂).
U = −1, 5J
2º) (2,50 pontos) Um fio reto e longo, isto é, fino com raio muito menor que seu comprimento (a a) do fio.
b) (0,50 ponto) esboce o campo magnético em função da distância.
c) (1,00 ponto) a força por unidade de comprimento (F/l) entre este e outro fio idêntico, colocado paralelamente ao
primeiro a uma distância 4a, percorrido por uma corrente I2 = 2I0, no mesmo sentido.
Page 2
Resolução da 2ª) questão
Usaremos a lei circular de Ampère
∮
B⃗ · d⃗s = µ0ienv
a) Cálculo de B(r):
*percurso circular dentro do fio (ra): I = (
I0
πa2 ) · πa2 → I = I0 e a lei de Ampère nos dá: B(2πr) = µo · I0.
Logo, fora do fio:B(r) = (
µ0 I0
2π
) · 1
r
ou B(r) = 2 · 10−7 · I0
1
r
.
(b) os resultados para B(r) são esboçados no gráfico a seguir:
(c) força entre dois fios paralelos, distantes r = 4a, percorridos por correntes I1 = I0 e I2 = 2I0
F12
l
=
F21
l
=
F
l
=
µ0 · I1 · I2
2π · r
→ F
l
=
µ0 · I0 · 2 · I0
8πa
→ F
l
=
µ0 · I2
0
4πa
F
l
= (
4π · 10−7 · I2
0
4πa
) → F
l
= (
I0
2
a
) · 10−7
3º) (2,50 pontos) A corrente em um circuito RL aumenta para um quarto de seu valor final em 4 s. Sendo R = 5Ω e
E = 20V, determine para t = 0, 2s;
a) (1,00 ponto) A potência fornecida pela bateria.
b) (1,00 ponto) A d.d.p no resistor e no indutor.
c) (0,50 ponto) A energia armazenada no indutor.
Page 3
Resolução da 3ª) questão
a) a corrente é dada por :
I(t) =
E
R
(1 − e−t/τL)
onde
E
R
é a corrente final. Substituindo a condição dada na equação da corrente
1
4
· E
R
=
E
R
(1 − e
t
τ )
0, 25 = 1 − e−
t
τ
0, 75 = e−
t
τ
tomando o logaritmo de ambos os lados os membros
ln
(
e−
t
τ
)
= ln(0, 75)
−t
τ
= ln(0, 75)
τ = − t
ln 0, 75
Substituindo o valor de t
τ =
−4
−0, 29
τ = 13, 79s
τ =
L
R
→ L = Rτ
L = 68, 96H
Substituindo t=0,2s na equação da corrente, teremos
I(t = 0, 2s) =
20
5
(1 − e−
0,2
13,79 )
I(t = 0, 2s) = 4(1 − e−0,014)
I = 0, 056A = 56mA
A potência é
P = E · I
P = 20x56x10−3W
P = 1120mW
b)
VR = RI
VR = 5 · 56 · 10−3
VR = 280mV
VL = L · dI
dt
.
Page 4
Substituindo os valores na equação da corrente
I =
E
R
(1 − e
−t
τL )
Derivando
dI
dt
=
E
R
· R
L
· e−
t
τ
dI
dt
=
E
L
· e
−t
τL
dI
dt
=
20
68, 96
e
−0,2
13,79
dI
dt
= 0, 286A/s
Assim , VL = L · dI
dt
= 68, 96 · 0, 286 = 19, 72V.
c) A energia é dada por E =
1
2
LI2. Substituindo os valores
E =
1
2
· 68, 96 · (56 · 10−3)2
E = 108129, 28 · 10−6 J
E = 108, 12mJ
Page 5
4ª) (2,50 pontos) O circuito RLC em série da figura 3 , alimentado por uma tensão alternada E(t) gerada por um
gerador de frequência (G), está sendo excitado com uma frequência ωd = ω0, onde ω0 é a frequência de ressonância
do circuito. A amplitude da corrente no circuito na ressonância é igual a Imax = 250mA. Sendo L = 120mH,
R = 100Ω e C = 5uF, obtenha:
a) (1,00 ponto) as funções que descrevem a f.e.m nos terminais do gerador (E (t)) e a corrente no circuito (i(t)) em
função do tempo nesta condição de ressonância(ωd = ω0);
b) (0,75 ponto) os diagramas fasoriais de E (t) e de i(t) quando o circuito estiver sendo excitado com uma frequência
ωd tal que : (i) ωd w0;
c) (0,75 ponto) a taxa média com que a energia é dissipada no resistor quando ωd = 2ω0. Por que a taxa obtida é
menor da que seria obtida na condição ωd = ω0? Haveria alguma frequência de excitação ωd que daria uma taxa
maior do que a taxa obtida na ressonância ? Justifique sua resposta
Page 6
Resolução da 4ª) questão
a) A força eletromotriz E(t) e a corrente I(t) serão dadas pelas funções E(t) = Emsen(ωdt) e I(t) =
Isen(ωdt − ϕ) respectivamente. Na ressonância temos que
ωd = ω0 =
1√
LC
∼ 1, 3 · 103rad/s
f0 =
ω0
2π
∼ 205, 5Hz → (frequência de ressonância em Hz)
ω0 = 2π · f0 = 411πrad/s
Na ressonância temos que XL = XC. Segue que
tan ϕ =
XL − XC
R
= 0,
e assim, constante de fase ϕ = 0. Sendo Imax = 250mA , Em = Imax · Z. Como XL = XC, a impedância do
circuito será igual ao valor da própria resistência R, ou seja , Z = 100 Ω. Assim,
Em = Imax · Z = 0, 25 · 100 = 25, 0 V
e portanto
E(t) = 25 · sen(411πt)
I(t) = 0, 25 · sen(411πt)
b) Diagramas fasoriais:
(i) ωd XL, e portanto
ϕ ω0: temos que XL > XC, e portanto
ϕ > 0. A corrente i(t) está atrasada em relação
a força eletromotriz E(t) e assim , o fasor que
representa a corrente i(t) estará atrasado em re-
lação ao fasor que representa E(t).
Page 7
Continuação da resolução da 4ª) questão
c) Sabemos que Pmed = I2
rms · R =
I2
2
· R. A amplitude I da corrente para uma dada frequência ωd será
I = Em/Z = Em/
√
R2 + (ωdL − 1/ωdC)2. Portanto, a taxa média com que a energia será dissipada no
resistor, para frequência de excitação ωd será
Pmed(ωd) =
E2
m · R
2 · (R2 + (ωdL − 1/ωdC)2)
Para ωd = 2ω0 = 411π rad/s segue
Pmed(2ω0) =
E2
m · R
2 · (R2 + (2ω0L − 1/2ω0C)2)
Pmed(2ω0) =
(25)2 · 100
2 · ((100)2 + [2 · 411π · 120 · 10−3 − 1/(2 · 411π · 5 · 10−6)]2)
Pmed(2ω0) = 0, 48W
Na frequência de ressonância ω0L = 1/ω0C. Logo,
Pmed(ω0) =
E2
m
2 · R
=
(25)2
2 · 100
= 3, 13W,
o que confirma o enunciado da questão (Pmed(2ω0)