Exercício Paramagnetismo Quântico

Química

Outros

Thamara Santos

em 18/07/2026

Questões resolvidas

Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).
a) Mostre que o volume do espaço de fase acessível Γ é proporcional a V^N E^{3N/2}.

Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).
c) Deduza a equação de estado P V = N k_B T a partir da entropia.

Considere um sistema de N osciladores harmônicos unidimensionais clássicos e independentes em equilíbrio térmico à temperatura T. O Hamiltoniano de um oscilador é H = p^2/(2m) + (1/2) m ω^2 x^2.
a) Calcule a função de partição de um único oscilador z_1 e para N osciladores.

Para osciladores independentes, a energia interna média pode ser determinada utilizando a função de partição canônica e verificando o Teorema da Equipartição da Energia. A função de partição para um oscilador clássico é dada por integrais gaussianas sobre as variáveis de momento e posição, levando a expressões envolvendo parâmetros como massa, frequência e temperatura.
b) Determine a energia interna média e verifique o Teorema da Equipartição da Energia.

A função de partição canônica para os osciladores quânticos foi obtida como \( z_1 = \frac{e^{-\beta \hbar \omega / 2}}{1 - e^{-\beta \hbar \omega}} \).
b) Obtenha a energia livre de Helmholtz \( F \).

A energia média total \( U \) pode ser obtida a partir da função de partição e deve se reduzir ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.
c) Calcule a energia média total \( U \) e mostre que ela se reduz ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.

A capacidade térmica \( C_V \) é dada pela derivada da energia interna em relação à temperatura. O comportamento de \( C_V \) no limite de temperaturas baixas e altas é de interesse para o sistema de osciladores quânticos.
d) Calcule a capacidade térmica \( C_V \) e discuta seu comportamento no limite \( T \rightarrow 0 \).

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2) Faça a aplicação das portas de 1 q-bit a abaixo sobre os estados quanticos mencionados: a) Aplique a porta X sobre 0 estado quântico|1) b) Aplique

Quais são os principais tipos de magnetismo observados em materiais magnéticos em nanoescala? a) Ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo. ...

Quando analisamos o efeito dos campos elétricos nos materiais, verificamos que eles reagem de forma diferente, dependendo de sua composição atômica...

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Questões resolvidas

Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).
a) Mostre que o volume do espaço de fase acessível Γ é proporcional a V^N E^{3N/2}.

Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).
c) Deduza a equação de estado P V = N k_B T a partir da entropia.

Considere um sistema de N osciladores harmônicos unidimensionais clássicos e independentes em equilíbrio térmico à temperatura T. O Hamiltoniano de um oscilador é H = p^2/(2m) + (1/2) m ω^2 x^2.
a) Calcule a função de partição de um único oscilador z_1 e para N osciladores.

Para osciladores independentes, a energia interna média pode ser determinada utilizando a função de partição canônica e verificando o Teorema da Equipartição da Energia. A função de partição para um oscilador clássico é dada por integrais gaussianas sobre as variáveis de momento e posição, levando a expressões envolvendo parâmetros como massa, frequência e temperatura.
b) Determine a energia interna média e verifique o Teorema da Equipartição da Energia.

A função de partição canônica para os osciladores quânticos foi obtida como \( z_1 = \frac{e^{-\beta \hbar \omega / 2}}{1 - e^{-\beta \hbar \omega}} \).
b) Obtenha a energia livre de Helmholtz \( F \).

A energia média total \( U \) pode ser obtida a partir da função de partição e deve se reduzir ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.
c) Calcule a energia média total \( U \) e mostre que ela se reduz ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.

A capacidade térmica \( C_V \) é dada pela derivada da energia interna em relação à temperatura. O comportamento de \( C_V \) no limite de temperaturas baixas e altas é de interesse para o sistema de osciladores quânticos.
d) Calcule a capacidade térmica \( C_V \) e discuta seu comportamento no limite \( T \rightarrow 0 \).

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Quais são os principais tipos de magnetismo observados em materiais magnéticos em nanoescala? a) Ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo. ...

Quando analisamos o efeito dos campos elétricos nos materiais, verificamos que eles reagem de forma diferente, dependendo de sua composição atômica...

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UFPEL - DEPARTAMENTO DE FÍSICA - IFM - Lista 4 - Disciplina: Mec. Estatística 
Discente: Thamara Aquino dos Santos 
 
1 Ensemble Microcanônico (E, V, N) 
Exercício 1: Sistema de Dois Estados (Paramagnetismo Quântico) Considere um 
sistema de partículas independentes e fixas em uma rede, cada uma com um momento 
magnético . Na presença de um campo magnético , cada partícula pode estar no estado 
de energia (alinhada) ou (anti-alinhada). Seja o número de partículas no 
estado de maior energia. 
a) Determine o número de microestados para uma energia total . 
Contagem de microestados 
A energia total do sistema é: 
 
Distribuindo: 
 
 
Logo: 
 
O número de microestados é o número de maneiras de escolher partículas dentre 
: 
 
b) Utilizando a aproximação de Stirling , calcule a entropia 
. 
Entropia usando Stirling 
A entropia microcanônica é: 
 
Substituindo: 
 
Usando: 
 
Temos: 
 
Os termos lineares cancelam: 
 
Portanto: 
 
c) Encontre a temperatura do sistema através da relação 
Temperatura do sistema 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cmu#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=-%5Cmu%20H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%2B%5Cmu%20H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5COmega%20(E%2CN)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E%3Dn(%2B%5Cmu%20H)%2B(N-n)(-%5Cmu%20H)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E%3Dn%5Cmu%20H-N%5Cmu%20H%2Bn%5Cmu%20H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E%3D(2n-N)%5Cmu%20H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n%3D%5Cfrac%7BE%2BN%5Cmu%20H%7D%7B2%5Cmu%20H%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5COmega(E%2CN)%3D%5Cfrac%7BN!%7D%7Bn!(N-n)!%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(%5Cln%20N!%20%5Capprox%20N%20%5Cln%20N%20-%20N)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S(E%2C%20N)%20%3D%20k_B%20%5Cln%20%5COmega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S%3Dk_B%5Cln%5COmega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S(E%2CN)%3Dk_B%5Cln%5COmega(E%2CN)%3Dk_B%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7BN!%7D%7Bn!(N-n)!%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20N!%5Capprox%20N%5Cln%20N-N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%5COmega%3DN%5Cln%20N-N-n%5Cln%20n%2Bn-(N-n)%5Cln(N-n)%2B(N-n)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%5COmega%3DN%5Cln%20N-n%5Cln%20n-(N-n)%5Cln(N-n)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S(E%2CN)%3Dk_B%5Cleft%5BN%5Cln%20N-n%5Cln%20n-(N-n)%5Cln(N-n)%5Cright%5D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%20%7B1%7D%7BT%7D%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%5Cright)_%7BV%2CN%7D.#0
Como está expressa em termos de , que por sua vez depende de . Utilizando a 
regra da cadeia temos: 
 
Cálculo de 
Partindo de: 
 
Diferenciando em relação a (tratando como constante) e lembrando que 
: 
 
 
 
 
Cálculo de 
Da relação 
 
temos 
 
 
Aplicando a regra da cadeia: 
 
. 
Pelo postulado termodinâmico, 
, 
logo 
 
Daí isolando obtemos (expressão em função de ): 
 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bdn%7D%7BdE%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S(n)%3Dk_B%5Cleft%5BN%5Cln%20N-n%5Cln%20n-(N-n)%5Cln(N-n)%5Cright%5D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdn%7D(n%5Cln%20n)%3D%5Cln%20n%2B1#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D%5C%5C%5C%5C%20%3D%5C%5C%5C%5C%20k_B%5C%5C%5C%5C%20%5Cleft%5B%5C%5C%5C%5C%20-(%5Cln%20n%2B1)%5C%5C%5C%5C%20-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdn%7D%5CBig((N-n)%5Cln(N-n)%5CBig)%5C%5C%5C%5C%20%5Cright%5D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D%5C%5C%5C%5C%20%3D%5C%5C%5C%5C%20k_B%5C%5C%5C%5C%20%5CBig%5B%5C%5C%5C%5C%20-(%5Cln%20n%2B1)%5C%5C%5C%5C%20-%5Cbig(-%5Cln(N-n)-1%5Cbig)%5C%5C%5C%5C%20%5CBig%5D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D%5C%5C%5C%5C%20%3D%5C%5C%5C%5C%20k_B%5C%5C%5C%5C%20%5CBig%5B%5C%5C%5C%5C%20%5Cln(N-n)-%5Cln%20n%5C%5C%5C%5C%20%5CBig%5D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D%5C%5C%5C%5C%20%3D%5C%5C%5C%5C%20k_B%5C%5C%5C%5C%20%5Cln%5Cleft(%5C%5C%5C%5C%20%5Cfrac%7BN-n%7D%7Bn%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bdn%7D%7BdE%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E%3D(2n-N)%5Cmu%20H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n(E)%3D%5Cfrac%7BE%7D%7B2%5Cmu%20H%7D%2B%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7Bdn%7D%7BdE%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cmu%20H%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bdn%7D%7BdE%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%3Dk_B%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7BN-n%7D%7Bn%7D%5Cright)%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cmu%20H%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%5Cright)_%7BV%2CN%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%5Cright)_%7BV%2CN%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T%3D%5Cfrac%7B2%5Cmu%20H%7D%7Bk_B%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7BN-n%7D%7Bn%7D%5Cright)%7D#0
Exercício 2: Gás Ideal Clássico Considere um gás ideal clássico de partículas de 
massa contidas num volume . A energia total é puramente cinética: 
. 
a) Mostre que o volume do espaço de fase acessível é proporcional a 
. 
 
Sendo a energia total: 
 
O volume acessível é: 
 
Como cada partícula pode ocupar qualquer ponto do volume: 
 
A energia define: 
 
Isso representa uma esfera -dimensional de raio: 
 
O volume de uma esfera -dimensional é proporcional a: 
 
Logo: 
 
Portanto: 
 
b) Determine a entropia. 
Sendo a entropia: 
 
Logo: 
 
Aplicando logaritmos: 
 
c) Deduza a equação de estado a partir da entropia. 
Utilizando: 
 
Da expressão da entropia: 
 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=m#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B3N%7D%5Cfrac%7Bp_i%5E2%7D%7B2m%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CGamma(E%2CV%2CN)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V%5EN%20E%5E%5Cfrac%7B3N%7D%7B2%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B3N%7D%5Cfrac%7Bp_i%5E2%7D%7B2m%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CGamma(E%2CV%2CN)%3D%5Cint%20d%5E%7B3N%7Dq%5C%2Cd%5E%7B3N%7Dp#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cint%20d%5E%7B3N%7Dq%3DV%5EN#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B3N%7Dp_i%5E2%5Cleq%202mE#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=3N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=R%3D%5Csqrt%7B2mE%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=d#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=R%5Ed#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CGamma_p%5Cpropto%20(2mE)%5E%7B3N%2F2%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5CGamma(E%2CV%2CN)%5Cpropto%20V%5EN%20E%5E%7B3N%2F2%7D#0https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S%3Dk_B%5Cln%5CGamma#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S%3Dk_B%5Cln%5Cleft(V%5EN%20E%5E%7B3N%2F2%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=S%3DNk_B%5Cln%20V%2B%5Cfrac%7B3N%7D%7B2%7Dk_B%5Cln%20E%2B%5Ctext%7Bconstante%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P%20V%20%3D%20N%20k_B%20T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7BP%7D%7BT%7D%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20V%7D%5Cright)_%7BE%2CN%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20V%7D%3D%5Cfrac%7BNk_B%7D%7BV%7D#0
Então: 
 
Multiplicando por : 
 
 
2 Ensemble Canônico 
Exercício 3: Osciladores Harmônicos Clássicos Considere um sistema de N osciladores 
harmônicos unidimensionais clássicos e independentes em equilíbrio térmico à temperatura 
. O Hamiltoniano de um oscilador é . 
a) Calcule a função de partição de um único oscilador E para 
 osciladores. 
Função de partição 
Para um oscilador: 
 
Substituindo : 
 
Integral em 
Usando a gaussiana: 
 
com 
 
Então: 
 
 
Integral em 
Agora 
 
Logo: 
 
Resultado final 
Multiplicando 
 
 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%7BP%7D%7BT%7D%3D%5Cfrac%7BNk_B%7D%7BV%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=VT#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=PV%3DNk_BT#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=(T%2C%20V%2C%20N)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=H%3D%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B2m%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint%20%5Cint%20e%5E%7B-%5Cbeta%20H%7D%5C%2Cdp%5C%2Cdx.#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cbeta%20H%7D%5C%2Cdp%5C%2Cdx#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=H#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint%20e%5E%7B-%5Cbeta%20p%5E2%2F2m%7D%5C%2Cdp%5Cint%20e%5E%7B-%5Cbeta%20m%5Comega%5E2x%5E2%2F2%7D%5C%2Cdx#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=p#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cint%20e%5E%7B-ap%5E2%7D%5C%2Cdp%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a%3D%5Cfrac%20%7B%5Cbeta%7D%7B2m%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cint%20e%5E%5Cfrac%20%7B-%5Cbeta%20p%5E2%7D%7B2m%7D%5C%2Cdp%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20m%7D%7B%5Cbeta%7D%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=a%3D%5Cfrac%20%7B%5Cbeta%20m%20%5Comega%5E2%7D%7B2%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cint%20e%5E%5Cfrac%20%7B-%5Cbeta%20m%20%5Comega%5E2%20x%5E2%7D%7B2%7D%5C%2Cdx%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Cbeta%20m%20%5Comega%5E2%7D%7D#0
 
 
Como 
 
temos: 
 
Para osciladores independentes: 
 
b) Determine a energia interna média e verifique o Teorema da Equipartição da 
Energia. 
 
Energia interna média 
Utilizando: 
 
Como: 
 
e 
 
então: 
 
Logo: 
 
Derivando: 
 
 
como: 
 
Obtemos: 
 
Equipartição 
Como cada oscilador possui: 
● energia cinética média: 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m%7D%7B%5Cbeta%7D%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Cbeta%20m%5Comega%5E2%7D%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7Bh%5Cbeta%5Comega%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cbeta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_BT%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20k_BT%7D%7Bh%5Comega%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Z_N%3D(z_1)%5EN#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%5Cbeta%7D%5Cln%20Z_N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20Z_N%3DN%5Cln%20z_1#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%20%7B2%20%5Cpi%7D%7Bh%20%5Cbeta%20%5Comega%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20z_1%3D%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7Bh%5Comega%7D%5Cright)-%5Cln%5Cbeta#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20Z_N%3DN%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7Bh%5Comega%7D%5Cright)-N%5Cln%5Cbeta#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3D-%5Cfrac%20%7B-N%7D%7B%5Cbeta%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3D%5Cfrac%7BN%7D%7B%5Cbeta%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cbeta%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_B%20T%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3DNk_BT#0
 
● energia potencial média: 
 
Logo: 
 
 
 
confirmando o Teorema da Equipartição. 
c) Calcule a capacidade térmica . 
 
Utilizando a definição: 
 
Como: 
 
temos: 
 
Exercício 4: Sólido de Einstein (Osciladores Quânticos) Considere o mesmo sistema do 
exercício anterior, mas agora com osciladores quânticos cujos níveis de energia são 
, onde 
a) Calcule a função de partição canônica . Considere o limite 
termodinâmico. 
Sendo os níveis de energia: 
 
A função de partição para um oscilador é: 
 
Separando: 
 
Usando a soma geométrica: 
 
com: 
 
obtemos: 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%20k_B%20T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%20k_B%20T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cleft%5Clangle%20%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B2m%7D%5Cright%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dk_BT#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cleft%5Clangle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2%5Cright%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dk_BT#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Clangle%20H%5Crangle%3Dk_BT#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20T%7D%5Cright)_V#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3DNk_B%20T#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V%3DNk_B#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cepsilon_n%3D%5Cleft(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Chbar%5Comega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=n%3D0%2C%201%2C%202%2C...#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Z_N%20%3D%20(z_1)%5EN#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cepsilon_n%3D%5Cleft(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Chbar%5Comega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cbeta%5Cleft(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Chbar%5Comega%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3De%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%2F2%7D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-n%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5En%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x%3De%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D#0
 
Portanto: 
 
b) Obtenha a energia livre de Helmholtz . 
Como: 
 
temos: 
 
Logo: 
 
Como: 
 
obtemos: 
 
c) Calcule a energia média total e mostre que ela se reduz ao resultado clássico no 
limite de altas temperaturas . 
Utilizando: 
 
Temos: 
 
Derivando: 
 
Simplificando: 
 
Limite clássico 
Quando: 
 
então: 
 
e 
 
Logo: 
 
 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=z_1%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%2F2%7D%7D%7B1-e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Z_N%3D(z_1)%5EN#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=F%20%3D%20-k_B%20T%20%5Cln%20Z_N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20Z_N%3DN%5Cln%20z_1#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20z_1%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D-%5Cln%5Cleft(1-e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=F%3DNk_BT%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%2B%5Cln%5Cleft(1-e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%5Cright)%5Cright%5D#0https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k_B%20T%20%5Cbeta%3D1#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=F%3DN%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%2BNk_BT%5Cln%5Cleft(1-e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k_BT%5Cgg%5Chbar%5Comega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%5Cbeta%7D%5Cln%20Z_N#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cln%20Z_N%3D-N%5Cfrac%7B%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D-N%5Cln%5Cleft(1-e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3DN%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%2BN%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%20e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%7D%20%7B1-e%5E%7B-%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3DN%5Chbar%5Comega%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D-1%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k_BT%5Cgg%5Chbar%5Comega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cbeta%5Chbar%5Comega%5Cll%201#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=e%5E%7B%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D-1%5Capprox%5Cbeta%5Chbar%5Comega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%5Capprox%20N%5Chbar%5Comega%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta%5Chbar%5Comega%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%5Capprox%20N%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B2%7D%2BNk_BT#0
Para temperaturas altas, o termo de ponto zero é desprezível: 
 
que é exatamente o resultado clássico. 
d) Calcule a capacidade térmica e discuta seu comportamento no limite 
Capacidade térmica: 
 
Definindo: 
 
 
A energia fica: 
 
Derivando: 
 
Limite 
Quando: 
 
Consequentemente: 
 
Então: 
 
e: 
 
Portanto: 
 
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%5Capprox%20Nk_BT#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T%5Crightarrow%200#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20U%7D%7B%5Cpartial%20T%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x%3D%5Cbeta%5Chbar%5Comega#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7Bk_BT%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=U%3DN%5Chbar%5Comega%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5Ex-1%7D%5Cright)#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V%3DNk_B%5Cfrac%7Bx%5E2e%5Ex%7D%7B(e%5Ex-1)%5E2%7D#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T%5Crightarrow%200#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=T%5Crightarrow%200#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x%5Crightarrow%5Cinfty#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=e%5Ex%5Cgg%201#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=C_V%5Crightarrow%200#0
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Clim_%7BT%5Crightarrow%200%7D%20C_V%20%3D%200#0
	1 Ensemble Microcanônico (E, V, N) 
	2 Ensemble Canônico

Exercício Paramagnetismo Quântico

Química

Outros

Ferramentas de estudo

Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).a) Mostre que o volume do espaço de fase acessível Γ é proporcional a V^N E^{3N/2}.

Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).c) Deduza a equação de estado P V = N k_B T a partir da entropia.

Considere um sistema de N osciladores harmônicos unidimensionais clássicos e independentes em equilíbrio térmico à temperatura T. O Hamiltoniano de um oscilador é H = p^2/(2m) + (1/2) m ω^2 x^2.a) Calcule a função de partição de um único oscilador z_1 e para N osciladores.

A função de partição canônica para os osciladores quânticos foi obtida como \( z_1 = \frac{e^{-\beta \hbar \omega / 2}}{1 - e^{-\beta \hbar \omega}} \).b) Obtenha a energia livre de Helmholtz \( F \).

A energia média total \( U \) pode ser obtida a partir da função de partição e deve se reduzir ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.c) Calcule a energia média total \( U \) e mostre que ela se reduz ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.

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Considere um gás ideal clássico de partículas de massa m contidas num volume V. A energia total é puramente cinética: E = Σ p_i^2/(2m).
c) Deduza a equação de estado P V = N k_B T a partir da entropia.

Considere um sistema de N osciladores harmônicos unidimensionais clássicos e independentes em equilíbrio térmico à temperatura T. O Hamiltoniano de um oscilador é H = p^2/(2m) + (1/2) m ω^2 x^2.
a) Calcule a função de partição de um único oscilador z_1 e para N osciladores.

A função de partição canônica para os osciladores quânticos foi obtida como \( z_1 = \frac{e^{-\beta \hbar \omega / 2}}{1 - e^{-\beta \hbar \omega}} \).
b) Obtenha a energia livre de Helmholtz \( F \).

A energia média total \( U \) pode ser obtida a partir da função de partição e deve se reduzir ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.
c) Calcule a energia média total \( U \) e mostre que ela se reduz ao resultado clássico no limite de altas temperaturas.

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