Econometria (UniFCV)

Prévia do material em texto

Econometria
Professor Dr. Vinícius Borba da Costa
Reitor 
Prof. Me. José Carlos Barbieri
Vice-Reitor
Prof. Dr. Hamilton Luiz Favaro
Pró-Reitora Acadêmica
Prof. Ma. Margareth Soares 
Galvão
Diretor de Operações 
Comerciais
Prof. Me. José Plínio Vicentini
Diretor de Graduação
Prof. Me. Alexsandro Cordeiro
Alves da Silva
Diretor de Pós-Graduação e 
Extensão
Prof. Ma. Marcela Bortoti Favero
Diretor de Regulamentação 
e Normas
Prof.. Me. Lincoln Villas Boas Macena
Diretor de Operações EAD
Prof. Me. Cleber José Semensate 
dos Santos 
2021 by Editora Edufatecie
Copyright do Texto C 2021 Os autores
Copyright C Edição 2021 Editora Edufatecie
O conteúdo dos artigos e seus dados em sua forma, correçao e confiabilidade são de responsabilidade 
exclusiva dos autores e não representam necessariamente a posição oficial da Editora Edufatecie. Permi-
tidoo download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos aos autores, mas sem 
a possibilidade de alterá-la de nenhuma forma ou utilizá-la para fins comerciais.
 
 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP 
 
C837i Costa, Vinicius Borba da 
 Econometria / Vinicius Borba da Costa. Paranavaí: 
 EduFatecie, 2021. 
 120 p. : il. Color. 
 
 
 
1. Economia matemática. 2. Econometria. Centro 
 Universitário UniFatecie. II. Núcleo de Educação a Distância. 
 III. Título. 
 
 CDD : 23 ed.330.015195 
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577 
 
 
UNIFCV CAMPUS SEDE
Avenida Advogado 
Horácio Raccanello Filho, 
5950, Novo Centro - 
Maringá - PR
CEP: 87.020-035
UNIFCV SEDE 
ADMINISTRATIVA
Avenida Advogado 
Horácio Raccanello Filho, 
5410, Maringá - PR
CEP: 87.020-035
(44) 3028-4416
www.unifcv.edu.br/
As imagens utilizadas neste
livro foram obtidas a partir do
site Shutterstock.
3UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
AUTOR
Professor Doutor Vinicius Borba da Costa
● Doutor em Economia, na área de Desenvolvimento Econômico pela UFRGS 
(Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
● Mestre em Teoria Econômica pela UEM (Universidade Estadual de Maringá)
● Graduado em Ciências Econômicas pela UEM
● Professor em ensino superior desde 2017, tendo lecionada na UEPG (Universi-
dade Estadual de Pronta Grossa) e na UEM. 
● Lattes: http://lattes.cnpq.br/2815396821809365
Experiência como Professor de Ensino Superior, tendo lecionado diversas discipli-
nas para o curso de Economia, Ciências Contábeis, Administração, Engenharia de Software, 
dentre outras áreas. Experiência no mercado financeiro como consultor e investidor desde 
2008, tendo atuado tanto nos mercados à vista, quando em futuros e derivativos. 
4UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a) ao material de Econometria. A disciplina de econometria é 
muito interessante e, apesar de colecionar alguns alunos fãs e outros nem tanto, tem a capa-
cidade de auxiliar a compreensão de como as análises estatísticas são utilizadas dentro da 
investigação econômica. A partir dela podemos observar relações, fazer previsões, estimar 
parâmetros e testar as análises de maneira objetiva permitindo entender como uma variável é 
importante para explicar a outra e assim, permitindo identificar como as variáveis econômicas 
estão incluídas nas relações de comércio, crescimento, educação, salários e assim por diante. 
Para que a econometria seja parte da sua caixa de ferramentas como economista, 
esse material traz desde conceitos introdutórios até modelos um pouco mais avançados. 
Para isso, a unidade I, apresenta uma introdução do que é a econometria e quais são os 
aspectos básicos do modelo mais simples que podemos observar, a regressão com duas 
variáveis. Para estimá-la, a unidade também traz o tão conhecido método dos mínimos 
quadrados ordinários (MQO), que será utilizada durante toda a apostila. 
A unidade II, começa apresentando um dos procedimentos mais importantes da aná-
lise econométrica, os testes de hipóteses e a inferência estatística. Depois disso, são apre-
sentados outras formas funcionais de identificar a relação entre as variáveis além de outros 
dois modelos, a análise de regressão múltipla e o modelo com variáveis binários (dummy).
A unidade III fala um pouco sobre a aplicação da econometria e todos os percalços 
que podem ser encontrados. Nessa unidade relaxamos algumas das premissas do modelo 
de regressão linear clássico, identificando problemas como heterocedasticidade, autocorre-
lação e erros de especificação, além de observar como corrigir cada um desses problemas 
e diagnosticar uma modelagem econométrica bem estimada. 
Por fim, na última unidade (IV) falamos sobre alguns modelos mais avançados e 
seus usos. Falaremos sobre os modelos de escolha quantitativa, modelos de equações 
simultâneas e sobre as especificidades da econometria de séries temporais. Além disso, 
observamos um passo a passo de como calcular e estimar uma regressão através de sof-
twares estatísticos, o que facilita o trabalho, traz rapidez e eficiência à sua análise. 
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Introdução ao Estudo da Econometria
UNIDADE II ................................................................................................... 33
Modelos
UNIDADE III .................................................................................................. 64
Econometria Aplicada
UNIDADE IV .................................................................................................. 91
Usos e Atribuições Práticas
3
Plano de Estudo:
● Introdução e conceitos básicos;
● Análise de Regressão com duas variáveis;
● Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO);
● Intervalo de Confiança.
Objetivos da Aprendizagem:
● Introduzir as características e o método econométrico;
● Demonstrar os cálculos e o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO);
● Apresentar a definição dos intervalos de confiança.
UNIDADE I
Introdução ao Estudo 
da Econometria
Professor Dr. Vinicius Borba da Costa
4UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
INTRODUÇÃO
Sempre que imaginamos algum acontecimento, fenômeno ou fato da nossa vida 
cotidiana, imediatamente iniciamos uma investigação científica em nossa mente. O que 
levou esse fenômeno a acontecer? Qual a relação dele com os outros acontecimentos 
desse momento? Será esse um fenômeno isolado ou ocorre com frequência? 
A econometria nos ajuda na resolução de algumas das hipóteses que formalizamos 
nesse processo. Nos auxilia na investigação científica dos fatos e das características do 
mundo em que vivemos. 
Utilizada em diversas áreas e diferentes propósitos, como na tentativa da erradica-
ção da pobreza através de políticas econômicas mais efetivas e focadas no problema, ou 
no uso de dados para previsão de séries financeiras para melhor alocação de recursos, ou 
ainda na estimativa da curva de demanda de uma empresa, a econometria evoluiu muito 
nas últimas décadas. 
Através de estimativas estatísticas, modelos econômicos e economia matemática 
investigamos relações, prevemos séries e inferimos se nossos resultados são estatistica-
mente significativos.
Essa unidade se propõe a auxiliar ao leitor um primeiro passo para entender sobre 
o que a econometria se preocupa. Estudamos aqui alguns dos seus aspectos mais básicos, 
mas também extremamente importantes para a solidificação da teoria econométrica. Para 
isso, o primeiro tópico traz algumas introduções e conceitos básicos. O segundo tópico 
fala sobre a análise de regressão com duas variáveis, abrindo caminho para o método dos 
mínimos quadrados ordinários, explicados no tópico três. Finalmente, no tópico quatro, 
tratamos da estimação dos intervalosPara elaborar o modelo log-linear e estudar as elasticidades, Gujarati et.al (2011) 
apresentam o seguinte modelo conhecido como modelo de regressão exponencial:
Segundo os autores, esse modelo também pode ser expresso como:
Em que ln é o logaritmo natural, isto é, logaritmo com base e (2.718) . 
47UNIDADE II Modelos
Se substituirmos ln ln β1 por α temos que:
ln ln Yi = α+β2 ln ln Xi + ui
Perceba que esse modelo é linear nos parâmetros, linear nos logaritmos das variá-
veis Y e X , sendo possível estimá-lo por uma regressão de MQO.
Esse modelo pode ser denominado como log-log, duplo-log ou log-linear.
Estimado por MQO o modelo:
Yi
* = α + β2 Xi
* + ui
Temos então que o β2 mede a elasticidade de Y em relação a X, ou seja, mede a 
variação percentual em Y para dada variação percentual (pequena) em X.
Para provar essas relações, Gujarati e Porter (2011) partem da seguinte equação:
ln ln Y = α + βln ln X
A partir dela, os autores derivam ambos os lados em relação a X: 
Perceba, portanto, que o parâmetro tem as mesmas relações que a fórmula da 
elasticidade demonstrada anteriormente. 
Gujarati e Porter (2011) ressaltam dois aspectos especiais do modelo log-linear. O 
primeiro é que o modelo pressupõe que o coeficiente de elasticidade entre a variável depen-
dente (Y), a explicativa (X) e o coeficiente de inclinação (β2), permaneçam constantes. Além 
disso, o segundo aspecto apresenta que embora α e β̂ sejam estimativas não tendenciosas 
dos parâmetros da população, quando se estima o estimados intercepto como antilog de 
α, ele passa a ser tendencioso. No entanto, o intercepto na análise de elasticidade não é 
essencial. 
48UNIDADE II Modelos
4. ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA
Até então trabalhamos com um modelo de regressão com duas variáveis, também 
conhecido como modelo de regressão simples, um modelo que analisava a relação entre 
a variável Y e X, onde investigamos como a variável X poderia explicar a variável Y. No 
entanto, esse modelo pode não ser adequado. 
Imagine, por exemplo, que queremos estudar o que determina consumo de frango. 
Imediatamente imaginaríamos que a primeira variável explicativa seria o preço do produto. 
No entanto, diversas outras variáveis podem ser determinantes para o consumo do frango 
em certa localidade, como por exemplo, o preço do bem substituto (carne de boi), os cos-
tumes locais, o preço de bens complementares, etc.
Portanto, ao invés de escolher somente uma variável e deixar que o termo de erro 
carregue as informações de todos os outros fatores que poderiam explicar o consumo do 
frango, utilizamos um modelo com mais variáveis, o modelo de regressão múltipla.
Os modelos de regressão múltipla são modelos com 3 ou mais variáveis. O modelo 
abaixo, por exemplo, possui uma variável dependente e duas variáveis explicativas:
Yi = β1 + β2 X2 + β3 X3+ui
Onde:
Yi é a variável dependente;
X1 e X2 são as variáveis explicativas;
ui é o termo de erro estocástico;
i refere-se a i-ésima observação (utilizado para séries temporais);
β1 é o intercepto;
β2 e β3 são os coeficientes parciais de regressão.
49UNIDADE II Modelos
Observe portanto que a noção é a mesma da análise com suas variáveis, com 
exceção do fato de que aqui temos mais variáveis para explicar Y e, portanto, cada uma 
delas tem um coeficiente angular, um β . 
Segundo Gujarati e Porter (2011), a análise de regressão múltipla está condicionada 
aos valores fixados dos regressores. O que obtemos, a partir da regressão, é o valor médio 
de Y, ou seja, a resposta média para os valores dados dos regressores. 
Isso quer dizer que, para interpretarmos, entendemos que β2 mede a variação no 
valor médio de Y, E(Y), por unidade de variação na variável X2, quando X3 se mantém 
constante. Isto é, β2 representa o efeito de X2 líquido do efeito de X3. 
Da mesma forma, β3 mede a variação do valor médio de Y, por unidade de variação 
de X3, quando mantemos o valor de X2 constante, ou seja, nos apresenta o efeito de X3 
líquido do efeito de X2. 
Na regressão múltipla também temos premissas que devem ser respeitadas. São elas:
1. O termo de erro ui tem valor médio de zero;
2. Ausência de correlação serial;
3. Dispersão positiva e constante do termo de erro (homocedasticidade);
4. Covariância igual a zero entre ui e cada variável X;
5. Ausência de tendência de especificação;
6. Inexistência de colinearidade exata entre as variáveis X;
7. Linearidade nos parâmetros;
8. valores dos regressores fixados em amostras repetidas;
9. variabilidade nos valores dos regressores.
4.1 Estimação dos Coeficientes Parciais
A estimação na regressão múltipla também pode ser realizada por Mínimos Qua-
drados Ordinários (MQO). Segundo Gujarati e Porter (2011), através do método, é possível 
escolher os parâmetros desconhecidos de forma que a soma do quadrado dos resíduos 
seja o menor possível, ou seja: 
A partir dessa minimização, Gujarati e Porter (2011) obtém as seguintes fórmulas 
da estimação: 
50UNIDADE II Modelos
Onde a barra acima de cada variável significa que utilizamos a média dessa variável 
no cálculo. Assim: Y = média das observações de Y. 
Ainda: 
e
Onde yi = Yi - Y e xi = Xi X
Além disso, os autores apresentam as seguintes equações para as variâncias e 
covariâncias. 
e 
E a covariância: 
Para encontrar as variâncias, no entanto, precisamos de , (onde k é o número 
de estimadores (β), que no caso da regressão apresentada antes eram 3 [ β1, β2, β3 ]. Além de 
 .
Para a covariância precisamos de .
51UNIDADE II Modelos
4.2 O Coeficiente de determinação múltipla: o R2 
Como observamos na unidade anterior, o r2, mostrava como o modelo de regressão 
ajustava bem os dados. Quando tratamos de regressão múltipla utilizamos o R2, que tam-
bém é um coeficiente de determinação múltipla. 
Segundo Gujarati e Porter (2011), esse coeficiente mostra da variação de Y que é 
explicada, conjuntamente, pelas variáveis X2 e X3.
Para encontrá-lo, temos que:
Assim, se R2 = 1, as variações de Xi explicam 100% das variações de Y; e se R2 = 
0, as variações de Xi não explicam nada das variações de Y. Para qualidade do ajustamento 
é mais desejável, então, que R2 seja mais próximo de 1.
4.3 Exemplo de interpretação
Para exemplificar a interpretação5, Gujarati e Porter (2011) nos apresenta um 
exemplo de estudo sobre a relação da mortalidade infantil (MI, mortes/1000 nascimentos) e 
algumas variáveis explicativas, como o PNB per capita (PNBpc, dólar) e a taxa de alfabeti-
zação feminina (TAF, em porcentagem). 
Temos então, pelo modelo apresentado que:
Através dos dados e de um software, chegamos a: 
Onde, os números abaixo do resultado dos parâmetros são seus erros-padrão. 
O primeiro passo para analisar os resultados dessa regressão é observar se os 
sinais dos parâmetros fazem sentido econômico. Nesse caso, como os sinais de ambos 
são negativos, o modelo mostra que o aumento do PNBpc e da taxa de alfabetização 
feminina levam a uma redução da mortalidade infantil, o que faz sentido econômico. 
Podemos então analisar os coeficientes parciais de regressão (cada um dos β). 
5 Entender como calcular os estimadores é importante, no entanto, ainda mais importante é entender 
como se dá a interpretação dos resultados, uma vez que na imensa maioria das vezes os estudos econométricos 
são feitos através dos softwares econométricos. 
52UNIDADE II Modelos
Temos, portanto, que, como o coeficiente parcial de regressão do PNBpc é igual a 
-0,0056, mantendo TAF constante, quando há aumento de 1 dólar no PNBpc, a mortalidade 
infantil cai, em média, 0,0056 mortes/mil nascimentos. 
Além disso, como o coeficiente parcial de regressão da TAF é de -2,2316: Mantido 
o PBN constante, com o aumento de 1 ponto percentual na TAF há uma redução média de 
2,23 mortes a cada mil nascimentos. 
Ainda, sendo o β1 = 236,6416, dizemos que se PNB e TAF forem iguais a 0, a mor-
talidade infantil média seria de cerca de 264 óbitos /1000 nascimentos.
O resultadodo R2 mostra que aproximadamente 70,77% da variação da mortalida-
de infantil pode ser explicada por PNB e TAF.
4.4 A inferência em Regressões múltiplas
Assim como na regressão simples, na regressão múltipla também devemos fazer 
inferência para identificar se os parâmetros são estatisticamente significativos e, portanto, 
podem ser utilizados para explicar as relações. 
Gujarati e Porter (2011) nos recordam que o modelo de regressão linear clássico 
exige que o valor médio do erro aleatório seja igual a zero e que a variância seja positiva e 
constante. No entanto, os autores destacam que para que se possa realizar uma análise infe-
rencial, faz-se necessário pressupor que os erros sigam distribuição normal de probabilidade. 
Isso quer dizer que o erro populacional é independente das variáveis explicativa e 
normalmente distribuído, com média zero e variância σ2, ou seja u ~ Normal (0,σ2), 
Pelo teorema do limite central, qualquer função linear que tenha variáveis com 
distribuição normal é também naturalmente distribuída. Assim, como no método do MQO 
os parâmetros estimados são funções lineares dos erro aleatório, se u ~ Normal (0,σ2) , 
então, os parâmetros estimados também serão. 
Portanto, ao respeitar a hipótese da normalidade, Gujarati e Porter (2011) afirma 
que é possível fazer a inferência estatística pelos testes t, F e χ 2 (chi-quadrado). 
Para tal, temos que o teste t para a regressão múltipla que observamos, pode ser 
calculado através do confronto entre o t tabelado e o t calculado através de:
O procedimento é o mesmo que realizamos no início da unidade. O β̂2 é coeficiente 
estimado (obtido através das fórmulas ou do software), o β2 é o valor que estamos testando 
53UNIDADE II Modelos
na hipótese nula (a maioria das vezes será zero, já que estamos testando se o parâmetro 
é igual ou diferente de zero). Depois de calcular o t, procura-se os t críticos na tabela t de 
student e se coloca na distribuição normal (nas duas caudas para o bicaudal e em uma das 
causas para o monocaudal). Se o t tabelado estiver dentro do intervalo do t crítico, na área 
de aceitação (não rejeição), não se rejeita a hipótese nula. Se ela estiver dentro ou fora da 
área de aceitação, rejeita-se a hipótese.
No entanto, assim como no teste de hipóteses no segundo tópico desta unidade, se 
tivermos o valor p calculado pelo software, podemos utilizá-lo para inferir sobre os parâme-
tros. Lembre-se que o valor p é o menor nível de significância no qual a hipótese nula pode 
ser rejeitada, assim, podemos utilizá-lo para realizar o teste de cada parâmetro (valor p do 
teste t) ou para os parâmetros em conjunto (valor p do teste F). 
4.5 Exemplo de interpretação e inferência de saída de software
Voltemos ao exemplo da saída do software Gretl do primeiro tópico:
FIGURA 5: REGRESSÃO MÚLTIPLA, SAÍDA DO SOFTWARE GRETL
Fonte: saída do software Gretl.
Esses resultados correspondem ao seguinte modelo:
Mort = β0 +β1INCC +β2POV +β3ALCC +β4TOBC
onde:
MORT: mortalidade por 100 mil habitantes
INCC: Renda per capita em dólares
POV: Famílias vivendo abaixo da linha da pobreza (mil famílias)
ALCC: Consumo per capita de álcool (por litro)
TOBC: Consumo per capita de cigarro (maços)
54UNIDADE II Modelos
Inicialmente identificamos os sinais dos parâmetros, para analisar se há sentido eco-
nômico ou intuitivo. Percebemos que as variáveis INCC, POV e TOBC estão positivamente 
relacionadas com a mortalidade. Ou seja, se aumentarmos esses índices, a mortalidade 
aumenta. Os sinais de POV e TOBC fazem sentido intuitivamente, pois se aumentarmos 
as famílias abaixo da linha da pobreza aumentamos a mortalidade e se o uso de cigarros 
aumenta, a mortalidade também aumenta, o que é do conhecimento geral. A renda per 
capita, no entanto, não teve um resultado esperado. O sinal revela que se aumentarmos a 
renda, a mortalidade aumenta, o que é contra intuitivo. Isso também acontece com o álcool, 
que está negativamente relacionado com a mortalidade. 
Partimos então para a interpretação e inferência dos parâmetros (considere que a 
hipótese nula é que o parâmetro é igual a zero e a alternativa diferente de zero). 
Vimos que o coeficiente parcial da regressão do INCC é aproximadamente 0,0168, ou 
seja, mantido as outras variáveis explicativas constantes, um aumento de um dólar de renda 
per capita está associado com um aumento, em média, de 0,0165 na mortalidade por 100 mil 
habitantes. No entanto, pelo p-valor do teste t, o menor nível de significância o qual podemos 
rejeitar a hipótese nula é de 18,06%. Como, na prática, rejeitamos a hipótese com no máximo 
10% de significância. Nesse caso não rejeitamos a hipótese nula e, portanto, inferimos que o 
parâmetro não tem significância estatística (há grande chance de ele ser igual a zero). 
O coeficiente de POV é igual a 1227,76, ou seja, mantendo o resto constante, se 
1000 famílias a mais ficarem abaixo da linha de pobreza, a mortalidade aumenta em 1127,76 
por cem mil habitantes. A partir do p valor (0,08) do teste t, podemos rejeitar a hipótese nula 
com 10% de significância, tendo então que o parâmetro é estatisticamente significativo. 
No que se refere ao Consumo de álcool (ALCC), temos que, um aumento de um 
litro no consumo de álcool, reduz a mortalidade em média em 53 pessoas por 100 mil 
habitantes. Apesar de ser contra intuitivo, pelo valor p, percebemos que o coeficiente é 
estatisticamente significativo ao nível de 10% de significância. 
Além disso, se aumentarmos o consumo per capita de cigarros em um maço, há 
um aumento, em média, de aproximadamente 2,11 pessoas falecidas a cada 100 mil ha-
bitantes. Nesse caso podemos rejeitar a hipótese nula com 5% de significância (valor p = 
0,0188) e definir que o parâmetro é estatisticamente significativo. 
Quando analisamos os coeficientes em conjunto (teste F), temos que, em conjunto 
eles são estatisticamente significativo ao nível de confiança de 5% (valor p do teste F: 0,0322). 
Por último, pelo resultado do R2, temos que 20,10% das variações da mortalidade 
podem ser explicadas pelas variações das variáveis explicativas. 
55UNIDADE II Modelos
5. VARIÁVEIS BINÁRIAS
Quando analisamos uma regressão, percebemos que a variável dependente usual-
mente não depende somente de fatores quantitativos ou proporcionais, como preço, litros, 
custos, etc., mas também de fatores que tem natureza essencialmente qualitativa, como 
sexo, religião, raça, região, etc. 
Como essas variáveis indicam algum atributo, ou qualidade (embora em alguns 
casos o nome qualidade não seja adequado, por não definirmos melhor ou pior), Gujarati e 
Porter (2011) explica que uma maneira de “quantificar” essas variáveis é formular variáveis 
alternativas que assumam os valores 1 ou 0, em que 1 identifica a presença do atributo (ou 
qualidade) e 0 a ausência desse atributo. Essas variáveis são conhecidas como variáveis 
binárias ou dummies. Os modelos que estudam esses regressores qualitativos são conhe-
cidos como Modelos de análise de variância, ou ANOVA. 
Gujarati (2004) exemplifica o uso de variáveis binárias através do exemplo de um 
modelo que se baseia em dados referentes ao salário médio dos professores das escolas 
públicas de 50 estados e do distrito da Columbia para o ano de 1986.
São 51 áreas que estão divididas em três regiões geográficas:
● Nordeste e Centro-Norte – 21 Estados;
● Sul – 17 estados; e,
● Oeste – 13 estados.
56UNIDADE II Modelos
A tabela abaixo apresenta os dados:
TABELA 1: SALÁRIO MÉDIO DOS PROFESSORES DA ESCOLA PÚBLICA, POR ESTADO, 1986
Fonte: Tradução de Gujarati (2004).
Se observarmos as médias aritmética simples dos salários nestas regiões temos que: 
1. Nordeste e Centro-Norte – Salário médio: US$ 24.424,14;
2. Sul – Salário médio: US$ 22.894; e,
3. Oeste – Salário médio: US$ 26.158,62.
É fácil perceber que esses números são diferentes e, que a região oeste tem um 
salário médio maior do que as outras regiões. No entanto, somente pela análise damédia 
aritmética não conseguimos identificar se eles são diferentes sob o aspecto estocástico. 
Para verificar, Gujarati (2004) considera o seguinte modelo:
Yi = β1 + β2 D2i + β3 D3i + ui
Onde:
57UNIDADE II Modelos
Yi - salário médio dos professores das escolas públicas;
D2i = 1 para os estados das regiões nordeste e centro-norte e 0 para as demais regiões
D3i = 1 para estados da região sul e 0 para as demais regiões.
Observe que o modelo se assemelha aos modelos de regressão múltipla vistos até aqui, 
exceto que, em lugar de regressores quantitativos, só há regressores qualitativos ou binários.
Supondo que o termo de erro satisfaça as premissas do método dos MQO de praxe, 
tomando as esperanças de ambos os lados, obtemos:
● Salário médio dos professores do nordeste e Centro-Norte:
E(D2i = 1,D3i = 0) = β1 + B2
● Salário médio do Sul:
E(D2i = 0,D3i = 1) = β1 + B3
● Salário médio do Oeste:
E(D2i = 0,D3i = 0) = β1
Assim, o salário médio dos professores da região Oeste é dado pelo intercepto β1, 
os coeficientes angulares β2 e β3 nos mostram qual a diferença dos salários dos professo-
res das regiões nordeste e centro-norte e da região sul, respectivamente, em relação aos 
professores do oeste. No entanto, temos que identificar se essas diferenças são estatistica-
mente significativas (GUJARATI, 2004). 
Para os dados apresentados, a regressão estimada foi:
FIGURA 6: SAÍDA DO MODELO ANOVA
Fonte: saída do Gretl com os dados de Gujarati (2004)
58UNIDADE II Modelos
Pelo modelo, esses resultados mostram que o salário médio dos professores do 
Oeste é de cerca de US$ 26.158,6. Enquanto isso, o salário médio dos professores do 
nordeste e centro-norte está abaixo desse valor em cerca de US$ 1.734,47; e, o salário 
médio dos professores do sul são menores em cerca de US$ 3.264,32.
Ou, de outra forma, 
● o Salário médio dos professores do nordeste e Centro-Norte: 
β1+β2 = US$ 24.424,127
● Salário médio do Sul:
β1+β3 =US$ 22.894,28
● Salário médio do Oeste:
β1 = US$ 26.158,62
Como podemos verificar, o β̂2 não é estatisticamente significativo (valor p de 0,23). 
Como vimos, supondo que a hipótese nula seja de que β2 = 0, não podemos rejeitá-la. As-
sim, a conclusão exposta por Gujarati (2004) é a de que os salários médios dos professores 
das escolas públicas do oeste e das regiões nordeste e centro-norte são muito similares, 
no entanto, os salários dos professores do sul são estatisticamente mais baixos em cerca 
de US$ 3.264,32.
No entanto, Gujarati (2004) expõe que precisamos ter cautela no uso das variáveis 
binárias. Os autores listam os seguintes pontos:
1. Segundo eles, o primeiro ponto é que não devemos usar três binárias para 
distinguir as três regiões a serem estudadas. Se o fizermos, não há como cal-
cular a regressão, pois, ao incluir uma variável binária para cada categoria ou 
grupo e também um intercepto nos deparamos com o caso de colinearidade 
perfeita, isto é, uma relação linear exata entre as variáveis. Então, se existem 
m categorias, só podemos introduzir (m-1) variáveis binárias.
2. Além disso, a categoria para a qual não é atribuída uma binária é conhecida 
como categoria base, de referência, de controle, de comparação ou omitida. 
Assim, todas as comparações serão feitas em relação a ela. 
3. O valor do intercepto representa o valor médio da categoria de referência.
4. Os coeficientes das variáveis binárias são conhecidos como coeficientes diferenciais 
de intercepto porque mostram de quanto o valor do intercepto difere do coeficiente 
da categoria. Sendo assim, β̂2 = - 1.734,47 nos diz que o salário da região nordeste 
e centro-norte é cerca de US$ 1.734,47 inferior ao da região oeste, categoria de 
referência.
5. A escolha da categoria de referência depende apenas do pesquisador.
6. Podemos escolher binárias para todas as categorias se excluirmos o intercepto. 
59UNIDADE II Modelos
Segundo Gujarati e Porter (2011), de modo geral, para a maioria dos estudos eco-
nômicos um modelo de regressão contém algumas variáveis explanatórias quantitativas e 
outras qualitativas. Os modelos de regressão onde se misturam as variáveis quantitativas e 
qualitativas são chamados de modelos de análise de covariância (ANCOVA).
Eles são uma extensão dos modelos ANOVA no sentido de que fornecem um método 
de controle estatístico dos efeitos de regressores quantitativos, chamados covariáveis ou variá-
veis de controle, em um modelo que inclui tanto regressores quantitativos quanto qualitativos.
Se observarmos o mesmo exemplo anterior, no entanto, adicionando a variável 
gastos com educação público, teremos:
Yi = β1 + β2 D2i + β3 D3i + β4 Xi + ui
Onde: Xi - gastos com o ensino público em US$ por aluno.
Os resultados são apresentados pela figura a seguir:
FIGURA 7: SAÍDA DO MODELO ANCOVA
Fonte: saída do Gretl com os dados de Gujarati. (2004).
Com tudo o mais mantido constante, quando os gastos públicos aumentam um 
dólar, os salários dos professores aumentam, em média, US$ 3,29. Levando em conta 
os gastos com o ensino, verificamos agora que o coeficiente de intercepto diferencial é 
significativo para as regiões nordeste e centro-norte, mas não para o sul. Esse resultado 
é natural já que no primeiro modelo não foram consideradas as diferenças da covariável 
gastos com educação. 
60UNIDADE II Modelos
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nessa unidade aproximamos os modelos econométricos de aplicações mais reais. 
Para isso, a unidade começa mostrando alguns conceitos básicos dos modelos economé-
tricos e apresentando algo que o pesquisador que utiliza o método econométrico utilizará 
diversas vezes, a saída de um modelo “rodado” em um programa econométrico. 
Esses conceitos são essenciais para a econometria e nos permitem avançar nos 
modelos mais elaborados. No entanto, para isso, apresentamos no segundo tópico a o 
método para se fazer inferências estatísticas, ou seja, para identificar se os resultados são 
verdadeiros ou significativos, em termos estatísticos. 
A partir de então estudamos 4 diferentes modelos. O primeiro se refere a uma forma 
funcional da regressão que permite analisar elasticidade. O quarto tópico apresenta o segun-
do modelo e talvez o mais importante da unidade, o modelo de regressão múltipla, no qual 
podemos analisar como a variável dependente pode ser explicada por mais de um regressor. 
No último tópico observamos os dois modelos com variáveis binárias. O modelo 
ANOVA utiliza apenas modelos com variáveis qualitativas, onde se observam como os 
atributos influenciam no intercepto. O outro modelo com variáveis binárias é o modelo AN-
COVA, que utiliza variáveis qualitativas e quantitativas em sua análise. 
Na próxima unidade verificaremos o que acontece quando relaxamos algumas das 
premissas do modelo de regressão linear. 
61UNIDADE II Modelos
LEITURA COMPLEMENTAR 
Softwares econométricos
Em suas pesquisas, trabalhos e papers, os economistas, ou qualquer interessado 
em calcular relações econômicas, não utilizará as fórmulas e os cálculos manuais para 
encontrar os parâmetros, os valores dos testes de inferências, ou então para apresentar os 
resultados. Para isso foram criados diferentes softwares que permitem a análise rápida e 
completa dos modelos econométricos. 
Durante muito tempo, os principais programas utilizados foram o STATA e o 
EVIEWS. O primeiro é o favorito para os econometristas que se habituaram ao seu layout. 
O Stata tem a caraterística de ser um pouco mais difícil de utilizar por funcionar a partir 
de comandos de programação próprios. No entanto, a partir do momento que o usuário 
conhece esses comandos ou aprende a utilizar a funcionalidade de ajuda, seu uso ocorre 
de maneira mais fluida. 
O Eviews, por sua vez, apesar de ser considerado menos elaborado e completo 
pelos econometristas, tem a funcionalidade mais simples e, a partir do menu superior, 
quase todas as funcionalidades podem ser utilizadas de maneira simples. 
Dois softwares muito comuns paraa didática com iniciantes e alunos de econome-
tria são o Gretl e o próprio Excel. O primeiro tem a grande vantagem de ser um software 
livre e, assim, de fácil acesso para iniciantes. Além disso, assim como o Eviews, os passos 
são mais acessíveis e intuitivos. O Excel também é bastante simples de se utilizar, no 
entanto, tem menos funcionalidades e capacidade de análise. 
Ainda, está cada vez mais comum o uso de linguagens de programação e esta-
tísticas para analisar relações econométricas. É o exemplo do uso da linguagem R e da 
linguagem Python. Ambas são linguagens de programação que permitem, dentre outras 
coisas, a análise e estudo científico de dados, simulações e trabalhos de inteligência artifi-
cial e machine learning. 
Fonte: elaboração própria
62UNIDADE II Modelos
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Econometria na Prática
Autor: Gisele Ferreira Tiryaki
Editora: Alta Books
Sinopse: A utilização de métodos econométricos têm se expandido 
para várias áreas do conhecimento, indicando o reconhecimento 
de sua importância para uma análise empírica robusta, em que o 
pesquisador pode inferir sugestões de políticas públicas ou estra-
tégias individuais com maior grau de confiabilidade. A evolução 
da econometria veio acompanhada de uma crescente sofisticação 
matemática e estatística dos modelos estimados, tornando desa-
fiante a identificação e apresentação dos conceitos econométri-
cos, particularmente no ensino da graduação de economia e para 
outras áreas do conhecimento que fazem uso do instrumental 
econométrico.
FILME/VÍDEO
Título: O QUE É REGRESSÃO?
Ano: 2018
Sinopse: Você está tentando por que as vendas de um produto 
subiram. Vários elementos podem ter tido um impacto nas vendas. 
Como entender quais variáveis são importantes? O professora 
Carlos Eduardo, o Dudu, do Por Quê?, explica o que é regressão. 
Vem ver!
Link: https://www.youtube.com/watch?v=9BjLLEpxKfI
63UNIDADE II Modelos
WEB 
• Apresentação do link: O link leva ao site do Software Gretl. Esse software, como 
já apresentado, é livre e permite download. A visita ao site vai permitir que o aluno se 
familiarize com as funcionalidades e a ideia central do programa. 
• Link do site: http://gretl.sourceforge.net/pt.html
64
Plano de Estudo:
● Heterocedasticidade;
● Autocorrelação;
● Especificação;
● Diagnóstico da modelagem econométrica. 
Objetivos da Aprendizagem:
● Aprender a diagnosticar e resolver os problemas de 
heterocedasticidade e autocorrelação;
● Entender a importância da especificação correta do modelo;
● Conhecer as ferramentas para análise da especificação do modelo.
UNIDADE III
Econometria Aplicada
Professor Dr. Vinicius Borba da Costa
65UNIDADE III Econometria Aplicada
INTRODUÇÃO
Os modelos de regressão são ferramentas muito importantes e úteis na análise 
da economia na prática. No entanto, quando aplicamos esses modelos, não encontramos 
todas as características necessárias para que, segundo a teoria econométrica, tenhamos 
os melhores estimadores, resultados e confiabilidade estatística. 
Diversas vezes, após uma análise inicial, encontramos dados que não atendem as 
premissas do modelo de regressão linear clássica. Por isso, precisamos entender primeira-
mente o que essa situação acarreta na nossa análise e como poderíamos resolvê-la. 
Nessa unidade falaremos um pouco sobre isso. Inicialmente falaremos um pouco 
sobre a heterocedasticidade, um problema relacionado às diferentes variâncias dos termo 
de erro. O segundo problema observado é a autocorrelação, uma situação que fere a pre-
missa de ausência de correlação entre os integrantes da regressão. Passamos então, no 
terceiro tópico a entender a importância de se especificar bem um modelo e as consequên-
cias de um modelo incorretamente especificado. E, por último, finalizamos o capítulo com 
os diagnósticos da especificação e mostrando instrumentos para esse diagnóstico. 
66UNIDADE III Econometria Aplicada
1. HETEROCEDASTICIDADE
O modelo clássico linear tem algumas hipóteses para que ele produza os melhores resul-
tados, ou os estimadores BLUE. Dentre essas hipóteses, que observamos na unidade I deste ma-
terial, está a de que os termos de erro tenham a mesma variância, ou seja, sejam homocidásticos. 
Os termos de erro com a mesma variância, ou homocedásticos, podem serem 
representados na figura abaixo: 
FIGURA 1: TERMO DE ERRO HOMOCEDÁSTICO
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
67UNIDADE III Econometria Aplicada
A figura mostra uma regressão linear da relação entre poupança e renda, além de 
um terceiro eixo com a densidade de probabilidade. Perceba que a distribuição de probabi-
lidade dos dados é igual ao longo da curva, o que nos mostra que a variância da diferença 
entre o a observação e a reta estimada, ou seja, o erro aleatório, é homocedástico. 
A figura 2, por outro lado, mostra como essa mesma relação se apresenta quando 
há heterocedasticidade:
FIGURA 2: TERMO DE ERRO HETEROCEDÁSTICO
Fonte: Gujarati e Porter (2011).
Perceba que, agora, as distribuições de probabilidade (representadas pelos sinos), são 
diferentes. Alguns são mais achatados, mostrando que as observações são mais espalhadas 
em uma área maior em torno da reta de regressão, enquanto a primeira é menos achatada, 
mostrando que a maioria das observações se encontram muito próxima a reta de regressão. 
Segundo Gujarati e Porter (2011), diversas podem ser as causas da presença de hetero-
cedasticidade. Podem estar relacionadas às técnicas de coleta, ao comportamento dos agentes 
em cada modelo econômico, dados discrepantes, erros de digitação, dentre outras coisas. 
Faz-se importante, no entanto, observar o que ocorre com o método dos Mínimos 
Quadrados Ordinários (MQO), se introduzirmos a heterocedasticidade. Voltemos a estima-
ção de duas variáveis:
Yi = β1 + β2 Xi+ui
68UNIDADE III Econometria Aplicada
O estimador habitual de mínimos quadrados é:
Quando observamos esse modelo com heterocedasticidade, ou seja, se introduzir-
mos E(ui
2 ) = σi
2 , o estimador de MQO, não muda, ou seja, ainda podemos usar a equação 
acima para estimar o parâmetro. No entanto, segundo Gujarati et.al (2011), a variância se 
altera, sendo representada pela equação a seguir: 
Gujarati et. al (2011) explicam ainda que, apesar de com heterocedasticidade o es-
timador continuar linear e não tendencioso, ele não é eficiente e nem o melhor estimados, 
ou seja, não é mais BLUE. Para que essas características sejam atingidas, há outro método 
que pode ser utilizado, apresentado no subtópico que segue. 
1.1 Método dos Mínimos Quadrados Generalizados. 
O método dos MQG leva em conta a variabilidade explícita e gera estimadores BLUE.
Voltando ao exemplo de duas variáveis:
Yi = β1 + β2 Xi + ui
Se considerarmos que X0
i = 1, para cada i, então temos que:
Yi = β1 X0i + β2 Xi + ui
Considerando, como em Gujarati et. al (2011), que as variâncias heterocedásticas 
σi
2 sejam conhecidas, temos: 
Ou, com variáveis transformadas:
Com essa transformação, Gujarati e Porter (2011) explicam que a variância dos 
erros é constante e igual a 1, ou seja, é homocedástica. Mantendo as outras premissas 
verdadeiras, temos novamente um estimador BLUE. Os mínimos quadrados generalizados 
são, portanto, os MQO estimados com variáveis transformadas de maneira a satisfazer a 
premissa de homocedasticidade. 
69UNIDADE III Econometria Aplicada
A mecânica para estimação do MQG é um pouco diferente. Gujarati e Porter (2011) 
apresenta as seguintes equações para estimá-lo:
e
Em que: 
1.2 Detecção da Heterocedasticidade`
Para detectarmos e concluirmos que há heterocedasticidade em um conjunto de 
observações temos uma dificuldade. Só podemos conhecer a σi
2 se tivermos toda a popu-
lação Y correspondentes aos X selecionados. Assim, Gujarati e Porter (2011) destacam que 
na maioria dos casos de pesquisas econométricas, a heterocedasticidade é um caso de 
intuição, de palpites baseados nas informações disponíveis, em experiênciasobtidas pelo 
pesquisador ou mesmo por pura especulação. 
Podemos, no entanto, realizar alguns testes formais e informais para tentar detectar 
o problema. 
Os métodos informais são:
Natureza do problema: por vezes a natureza do problema já sugere que pode haver 
heterocedasticidade. 
Método gráfico: Nesse método estima se o MQO supondo homocedasticidade e 
depois se examina visualmente os padrões gráficos dos resíduos de ûi
2
 .
A heterocedasticidade também pode ser testadas através dos métodos formais, 
como o Teste de Goldfeld-Quandt e o Teste de White1. 
O teste de Goldfeld-Quandt é um método aplicável quando se pressupõe que a 
variância heterocedástica, σi
2, se relaciona de modo positivo a um das variáveis indepen-
dentes do modelo de regressão (Gujarati e Porter, 2011):
Yi = β1 + β2 Xi + ui
1 Gujarati e Porter (2011) demonstram outros testes formais que podem ser utilizados. Para eles, veja 
a seção 11.5. 
70UNIDADE III Econometria Aplicada
Suponha que σi
2 se relaciona de maneira positiva com Xi da forma que segue: 
σi
2 = Xi σ
2
Para aplicar o teste, seus idealizadores sugerem as seguintes etapas: 
Ordene e classifique as observações de acordo com os valores de Xi (ordem crescente);
Omita c observações centrais e divida as observações restante em dois grupos;
Ajuste a regressão por MQO e obtenha as SQR.
Calcule a razão:
A regra de decisão é: Se F(λ) calculado for maior que o tabelado – rejeita-se a 
hipótese nula de Homocedasticidade, ou seja, os resíduos são heterocedásticos.
Ao contrário do teste exposto acima, o teste de White não exige reordenamento 
das observações sendo, assim, de fácil implementação. Para implementá-lo, considere o 
seguinte modelo: 
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
A partir dele estime a regressão e obtenha os resíduos, ûi . Calcule então a seguinte 
regressão auxiliar: 
ûi
2 = α1 + α2 X2i + α3 X3i + α4 X2i
2 + α5 X3i
2 + α6 X2i X3i+vi
Gujarati e Porter (2011) explicam que sob a hipótese nula de que não há heteroce-
dasticidade, pode-se demonstrar que o tamanho da amostra n quando multiplicado por R2 
(coeficiente de determinação) segue assintoticamente a distribuição de qui-quadrado com 
graus de liberdade iguais ao número de regressores (quando exclui-se a constante) da 
regressão auxiliar. Se o valor obtido por essa multiplicação exceder o valor do qui-quadrado 
tabelado (crítico), conclui-se que há heterocedasticidade. 
Quando detectada a heterocedasticidade, Gujarati e Porter (2011) apresentam duas 
maneiras de corrigi-la. a primeira delas se refere à situação onde σi
2 é conhecida. Nesse caso po-
demos utilizar o método dos mínimos quadrados generalizados (MQG) e ter estimadores BLUE. 
No entanto, quando σi
2 é desconhecido, se a amostra for grande é possível aplicar 
os testes de erro-padrão consistente para heterocedasticidade de White aos estimadores 
de MQO e conduzir a inferência sob esses erros-padrão. Caso contrário, é possível dar 
palpites baseados em informações quanto à heterocedasticidade, com base nos resíduos 
de MQO, e transformar os originais de tal forma que a heterocedasticidade seja eliminada 
(Gujarati e Porter, 2011). 
71UNIDADE III Econometria Aplicada
2. AUTOCORRELAÇÃO
Na análise empírica vimos que há três tipos de dados disponíveis, as séries de 
tempo, os cortes transversais e os dados combinados (ou dados em painel), que são com-
binações de séries temporais e corte transversal. 
Gujarati e Porter (2011) explicam que em estudos de corte transversal os dados 
são frequentemente coletados através de amostras aleatórias de unidades, tais como do-
micílios ou empresas. Assim, não há razões a priori para considerar que o termo de erro 
que pertence a um grupo (id) seja correlacionado com o termo de erro de outro. Se essa 
correlação for encontrada é chamada de auto-correlação espacial.
Quando lidamos com séries temporais, as observações seguem uma ordem natural 
ao longo do tempo dessa série. Por isso, essas observações tendem a apresentar inter-
correlações, principalmente se o período se caracteriza por intervalos curtos (dia, semana). 
Nesses casos a premissa de ausência de autocorrelação ou correlação serial nos termos de 
erro exigida no modelo de regressão linear clássico não é respeitada. (Gujarati e Porter 2011) 
Assim como no caso da heterocedasticidade, os estimadores de MQO embora 
lineares, não tendenciosos e assintoticamente distribuídos de modo normal, não mais apre-
sentam variância mínima, ou seja, deixam de ser eficientes. Em consequência, os testes t, 
F e χ 2 podem não ser válidos. (Gujarati e Porter 2011)
72UNIDADE III Econometria Aplicada
2.1 A Natureza da Autocorrelação 
Kendal e Buckland (1971 apud Gujarati e Porter, 2011, p. 416) definem a correlação 
como “correlação entre integrantes de séries de observações ordenadas no tempo [séries 
temporais] ou no espaço [cortes transversais]”. Ou seja, o problema ocorre quando o erro 
de um período tem correlação com o outro, de forma que:
E (u_i u_j ) ≠ 0 i ≠ j
Os gráficos abaixo mostram alguns padrões plausíveis de presença e ausência de 
autocorrelação.
FIGURA 3: PADRÕES DE PRESENÇA OU NÃO DE AUTOCORRELAÇÃO SERIAL
Fonte: Baseado em Gujarati e Porter (2011).
O primeiro gráfico mostra um padrão cíclico, o segundo e o terceiro tendências 
lineares (ascendente e descendente), o quarto indica a presença de tendência linear e 
quadrática nos termos de erro e o último gráfico indica ausência de correlação.
Gujarati e Porter (2011) apresentam algumas explicações para a presença de au-
tocorrelação serial: 
● Inércia: Quando se tem início uma recuperação econômica, após uma reces-
são ter atingido o seu fundo (pior estágio) a maioria das séries começam a se 
mover em sentido ascendente, de recuperação. As séries então evoluem de 
tal forma que o valor subsequente é maior do que o anterior, com impulso que 
continua que predomina até que uma força contrária o impeça. Ou seja, em 
séries temporais, há uma interdependência entre as observações, cada uma 
segue o padrão que está em voga no momento, uma inércia. 
73UNIDADE III Econometria Aplicada
● Viés de especificação: o caso das variáveis excluídas. O pesquisador pode, 
para atender suas hipóteses, alterar seu modelo de forma que encontre os 
resultados desejados. Por exemplo, ele pode fazer um gráfico dos resíduos es-
timados e observar se eles apresentam algum padrão. Se isto acontecer, indica 
que eles estão representando alguma variável que deveria ter sido incluída no 
modelo, mas não foi.
● Defasagens: Em uma regressão de despesas de consumo sobre a renda na 
qual os dados são de séries temporais, as despesas usualmente dependem das 
despesas do período anterior. Isto é:
Consumot = β1 + β2 rendat + β3 consumot-1 + ui
De fato, os consumidores não costumam alterar seu padrão de consumo de um 
período para o outro. Isso é estabelecido por seus hábitos e instituições. No 
entanto, se não utilizarmos o termo defasado (t-1), ele estará incluído no termo 
de erro, que refletirá esse padrão sistêmico. 
● Manipulação dos dados: Muitas vezes, na análise econômica, os dados são 
manipulados para serem colocados no modelo. Um exemplo é quando calcula-
mos um modelo com séries mensais, porém uma variável só tem dados trimes-
trais disponíveis. Assim, uma opção é dividir essa série em três. A desvantagem 
é que dentro desse trimestre pode ter havido flutuações que essa manipulação 
não captou. Portanto, a representação gráfica dos dados trimestrais é muito 
menos irregular que a dos dados mensais. Assim, essa regularidade pode gerar 
padrões sistemáticos nos termos de erro, incorrendo em auto-correlação. 
● Ausência de estacionariedade: Uma série é estacionária se suas caracte-
rísticas (como média, variância e covariância) não variam ao longo do tempo. 
Então, se as variáveis dependentes e independentes forem não estacionárias 
o termo de erro também poderá ser. Assim, neste caso, o termo de erro será 
autocorrelacionado.2.2 Teste e Correção da Autocorrelação 
Assim como no caso da heterocedasticidade, temos métodos formais e informais 
para detecção da autocorrelação serial. 
Gujarati e Porter (2011) mostram que, pelo método gráfico, podemos ter uma ideia 
sobre uma provável presença de autocorrelação. Há várias formas de examiná-los, uma de-
las é plotar (inserir em um gráfico) contra o tempo. Além disso, podemos plotar os resíduos 
74UNIDADE III Econometria Aplicada
estimados padronizados que são, simplesmente, os resíduos divididos pelo erro-padrão da 
regressão. Uma terceira forma de analisar o gráfico é colocar o valor do resíduo estimado 
no período t contra seu valor no período t-1, como apresentado abaixo: 
FIGURA 4: RESÍDUOS X RESÍDUOS DEFESADOS
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
Repare que a maioria dos resíduos se encontram em dois quadrantes, o II e o IV. 
Isso é um forte sinal de correlação positiva dos resíduos. 
Os exames formais podem ser feitos através de diferentes testes. Apresentamos 
aqui o teste de Durbin-Watson, o mais conhecido teste de autocorrelação, e o teste Breus-
ch-Godfrey. 
O teste de Durbin-Watson é extensivamente utilizado. No entanto, Gujarati e Porter 
(2011) explicam que é necessário ficar atento às premissas do teste: 
I. O modelo de regressão incluir o intercepto;
II. As variáveis explanatórias são não estocásticas ou fixadas em amostras repe-
tidas;
III. Os termos de erro são gerados pelo processo auto-regressivo de ordem um. 
Portanto, não pode ser implementado para detectar esquemas auto-regressivos 
de ordem maior;
IV. Pressupõe que o termo de erro seja normalmente distribuído;
75UNIDADE III Econometria Aplicada
V. O modelo de regressão não inclui os valores defasados da variável dependente 
como uma das variáveis explanatórias;
VI. Não há falta de observação nos dados.
Para realizar o teste, calcula-se o d de Durbin-Watson através da fórmula abaixo:
ou seja, 
Em que, segundo Gujarati e Porter (2011), o d está entre um limite de 0 e 4.
A partir do cálculo de d, utilizamos as áreas da figura abaixo para tomada de decisão:
FIGURA 5: ESTATÍSTICA D DE DURBIN-WATSON 
Fonte: Baseado em Gujarati e Porter (2011).
Temos então que se d ficar em torno de 2 não há correlação serial. Quanto mais 
próximo de 0, maior a evidência de correlação serial positiva e, quanto mais próximo de 4, 
maior a evidência de correlação serial negativa.
76UNIDADE III Econometria Aplicada
De forma mais precisa, podemos observar os limites inferiores e superiores em uma 
tabela estatística de d de Durbin-Watson, que relacionada esses valores para diferentes 
tamanhos de amostra (n) e números de variáveis explicativas menos a constante (k’).2 
Gujarati e Porter (2011) destacam, no entanto, que o teste d se tornou tão utilizado 
que seus usuários muitas vezes esquecem das premissas. Porém, se alguma delas for 
violada a estatística d ficará em torno de 2 erroneamente. Assim, teremos um viés embutido 
nesses modelos que impede a detecção da autocorrelação pelo teste de Durbin-Watson.
Para evitar esse erro, pode-se utilizar os testes de Breusch-Godfrey (BG), que é 
mais geral pois: (i) tem regressores não estocásticos; (ii) tem esquemas auto-regressivos 
de ordem mais elevada; (iii) tem médias móveis simples ou de ordem mais elevada em 
termos de ruído branco (Gujarati e Porter, 2011). 
O teste de BG também é conhecido como teste LM. Suponha a seguinte regressão: 
Yt = β1 + β2 Xt + ut
Além disso, suponha que o termo de erro siga uma esquema auto-regressivo de 
ordem p, ou seja:
ut = ρ1 ut-1 + ρ2 ut-2 + ...+ρp ut-p + εt
Nesse teste a hipótese nula a ser testada é de que os pi são iguais entre si e iguais 
a zero, ou seja:
H0 = ρ1 = ρ2 = ... = ρp = 0
Observe, portanto, que não há correlação serial de qualquer ordem. 
As etapas para a elaboração do teste é:
Estime a regressão por Mínimos quadrados e obtenha os resíduos estimados;
Faça a regressão dos resíduos estimados contra as variáveis explanatórias e con-
tra os resíduos defasados encontrados na etapa 1. Assim, encontramos o coeficiente de 
determinação desta regressão.
Se o tamanho da amostra for grande, demonstra-se que:
(n-p) R2 ~ χp
2
Regra de decisão: Se o valor encontrado for maior que o tabelado, rejeitamos a 
hipótese nula de ausência de correlação, ou seja, os resíduos são autocorrelacionados. 
(Gujarati e Porter, 2011).
Se a autocorrelação for identificada, Gujarati e Porter (2011) apresentam quatro 
opções: (i) verificar se é m casa de autocorrelação pura e não um erro de especificação 
do modelo; (ii) Utilizar o MQG, assim como na heterocedasticidade; (iii) Utilizar o método 
Newey-West, que é uma extensão do método de erros padrão consistente de White; (iv) ou 
continuar usando o MQO (quando o coeficiente de autocorrelação for baixo). 
2 Essa tabela pode ser encontrada em Gujarati et. al (2011) ou em outros livros e sites de estatística e 
econometria. 
77UNIDADE III Econometria Aplicada
3. ESPECIFICAÇÃO
Apesar de a econometria ser um instrumento para pesquisa empírica e científica, 
não se pode utilizá-la como um instrumento direto e automático, com uma mecânica total-
mente objetiva. É necessário entender seus processos e os modelos econômicos de modo 
a compreender o que se está fazendo e avaliar cada etapa do processo. 
Uma das hipóteses do modelo clássico linear, que vimos nas apostilas anteriores, 
era a de que o modelo seja especificado corretamente. Se isso não ocorrer, podemos ter 
problemas de viés ou erro de especificação. 
Os modelos que escolhermos para investigar empiricamente uma relação, devem 
seguir alguns critérios. O primeiro deles é ser confirmado pelos dados , ou seja, as previsões 
feitas por ele devem ser logicamente possíveis, algo consistente com uma hipótese ou com 
o que se entende como possível. Além disso, o modelo também deve ser consistente com 
a teoria e ter sentido econômico. (Gujarati e Porter, 2011) 
O modelo deve ainda ter regressores fracamente exógenos, o que indica que as 
variáveis dependentes não são correlacionadas com o termo de erro, e ter constância dos 
parâmetros, ou seja, parâmetros estáveis. 
Gujarati e Porter (2011) indicam ainda que o modelo deve mostrar consistência com 
os dados e ser abrangente, o que significa incluir todos os modelos concorrentes de modo 
a explicar seus resultados. 
78UNIDADE III Econometria Aplicada
Tendo em vista a dificuldade de se ter todas essas características não é incomum, 
é provável que algum erro de especificação ocorra no desenvolvimento dos modelos eco-
nométricos. 
Alguns desses erros, segundo Gujarati e Porter (2011) são: 
1. Omissão de uma ou mais variáveis relevantes;
2. Inclusão de uma ou mais variáveis desnecessárias;
3. Adoção da forma funcional errada;
4. Erros de medida;
5. Especificação incorreta do termo de erro estocástico.
6. Pressuposição de que o termo de erro tem distribuição normal.
 
Perceba que os quatros primeiros erros estão relacionados à própria especificação 
do modelo, na sua idealização, enquanto os dois últimos estão relacionados ao fato de não 
sabermos qual é o verdadeiro modelo. 
REFLITA
Não se pode aplicar os conceitos de econometria de um modo mecânico; é preciso com-
preensão, intuição e habilidade.” 
(CUTHBERTSON, HALL e TAYLOR, 1992, apud Gujarati e Porter, 2011.p. 466).
Falaremos aqui nesse subtópico sobre os dois primeiros erros. No próximo subtópi-
co avançamos abrangendo também os testes e diagnóstico de especificação. 
3.1 Omissão de Uma ou Mais Variáveis Relevantes
Para entender esse tipo de erro de especificação suponha que o verdadeiro modelo seja:
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
No entanto, por alguma razão especificamos o modelo erroneamente de modo que 
se apresenta da seguinte forma:
 Yi = α1 + α2 X2i + vi
79UNIDADE III Econometria Aplicada
Perceba que a diferença entre esses modelos é que no primeiro utilizamos duas 
variáveis explicativas para a variável dependente Y. Já no segundo,omitimos a variável X3. As 
consequências de omitir essa variável são, segundo Gujarati e Porter (2011), as seguintes:
1. Se a variável omitida, X3 , for correlacionada com a incluída o coeficiente de 
correlação entre as duas variáveis não será zero e os parâmetros α1 e α2 serão 
tendenciosos e inconsistentes.
2. Se ambas as variáveis explicativas não forem correlacionados, α1 se torna ten-
dencioso, mesmo que α1 não seja.
3. A variância do erro, σ2 , é estimada incorretamente.
4. Por isso, a variância dos estimadores é tendenciosa.
5. Pelas consequências anteriores, a inferência estatística pode levar a conclusões 
equivocadas. 
6. Além de gerar previsões não confiáveis.
Gujarati e Porter (2011) ilustram um exemplo desse problema de especificação a 
partir do modelo de regressão da mortalidade infantil que já observamos em outras unida-
des. Esse modelo tinha como variável dependente a MORT e como variáveis explicativas 
o PNB per capita (PNBpc) e a taxa de alfabetização feminina (TAF), e obtinha os seguintes 
resultados:
Onde o coeficiente de determinação (R2) é igual a 0,7077 e o coeficiente de deter-
minação ajustado3 (R2). 
Quando o modelo foi estimado sem a taxa de alfabetização feminina:
sendo o coeficiente de determinação4 (r2) é de 0,1662.
Se considerarmos o primeiro modelo for o correto, então o modelo que não possui 
a variável explicativa TAF será um modelo com especificação equivocada, pois omite uma 
variável relevante.
3 O coeficiente de determinação ajustado é um coeficiente de determinação com algumas alterações 
que nos mostram se a inclusão ou exclusão de algumas variáveis são boas ou ruins para o modelo. Nesse 
sentido, ele aumenta se adicionarmos uma variável explicativa que melhora a estimação do modelo e diminui 
se ela não melhora. 
4 Lembre-se que nesse caso o r2 é expresso em letra minúscula por ser uma regressão simples. 
80UNIDADE III Econometria Aplicada
No primeiro modelo, o que consideramos correto, o coeficiente da variável PNBpc 
era -0,0056, enquanto no segundo foi de -0,0114. Em termos absolutos, agora o PNBpc tem 
um impacto maior na mortalidade infantil quando comparado ao modelo correto, mas, se 
efetuamos a regressão na qual a TAF seja a variável dependente e p PNB seja a explicativa, 
temos, segundo Gujarati e Porter (2011) :
Ou seja, a regressão da variável excluída contra a incluída, o coeficiente de PNB 
será 0,00256. Isso sugere que, quando o PNBpc aumenta em uma unidade, em média, a 
TAF sobe 0,00256 unidades. Mas se a TAF subir nessa magnitude, seu efeito na MI será:
(-2,2316)(0,00256)=β3 b_32=-0,00543
em que b32 é o coeficiente angular na regressão da variável excluída X3 contra a 
variável incluída X2 .Portanto, temos que:
Que é coeficiente obtido no modelo incorreto.
Em resumo, como ilustra esse exemplo, o verdadeiro impacto do PNBpc sobre a 
MI é muito menor (-0,0056) do que o sugerido pelo modelo incorreto (-0,0114). O que nos 
leva a conclusão de que se o modelo é baseado em uma teoria relevante, não é prudente 
excluir uma variável do modelo. (Gujarati e Porter, 2011)
3.2 Inclusão de Uma Variável Irrelevante (Sobre-Especificação)
Agora vamos supor que o modelo abaixo seja o modelo correto:
Yi = β1 + β2 X2i + ui
No entanto, o ajustamos da seguinte maneira:
Yi = α1 + α2 X2i + α3 X3i + vi
Ou seja, incluímos uma variável explicativa a mais (X3). Nesse caso, Gujarati e 
Porter (2011) explicam que as consequências são: 
1. Os parâmetros do MQO são tendenciosos e consistentes;
2. A variância do erro é estimada corretamente.
3. A inferência estatística permanece válida.
4. Entretanto, os coeficientes estimados serão ineficientes e suas variâncias maio-
res do que as dos coeficientes do modelo correto.
81UNIDADE III Econometria Aplicada
Portanto, a inclusão de uma variável irrelevante, X3 , faz com que a variância do 
estimador seja maior do que necessário e menos precisa tanto para α̂2, quanto para α̂1. 
Repare, portanto, a diferença entre esses dois problemas de estimação. Excluir 
uma variável relevante faz com que os coeficientes sejam tendenciosos e inconsistentes, 
que a variância seja estimada incorretamente e os métodos de inferências inválidos. Por 
outro lado, incluir uma variável irrelevante, apesar de nos dar estimativas não tendenciosas 
e consistentes dos coeficientes corretos e inferência estatística válida, as variâncias esti-
madas dos coeficientes aumentam e, como resultado, as inferências probabilísticas sobre 
os parâmetros são menos exatas.
Conclui-se que “a melhor abordagem é incluir apenas variáveis explanatórias que, 
em termos teóricos, influenciam diretamente a variável dependente e que não são explicadas 
pelas outras variáveis incluídas.” (INTRILIGATOR, 1978 apud Gujarati e Porter 2011, P. 588).
82UNIDADE III Econometria Aplicada
4. DIAGNÓSTICO DA MODELAGEM ECONOMÉTRICA 
Na prática nunca temos certeza de que o modelo adotado para teste aplicado é 
o verdadeiro ou real. Com base na teoria ou na introspecção e em trabalhos aplicados, 
desenvolvemos um modelo que acreditamos captar a essência do assunto estudado.
Seguindo o método econométrico, submetemos nosso modelo à aplicação empí-
rica e passamos a examinar buscando as características que vimos até aqui. Esse exame 
busca entender se o modelo escolhido é adequado. Alguns aspectos como o valor do R2, o 
teste t, os sinais dos coeficientes, o teste de Durbin-Watson e outros. Após passar por esse 
crivo, afirmamos que o modelo escolhido é uma representação adequada da realidade. 
(Gujarati e Porter 2011)
Agora, se os resultados não forem satisfatórios temos que analisar para entender 
se omitimos alguma variável importante, utilizamos a forma funcional errada ou deveríamos 
utilizar as variáveis defasadas e, assim, corrigir o modelo. Para auxiliar a determinar se 
a inadequação do modelo está relacionada a esses problemas Gujarati e Porter (2011) 
sugerem alguns métodos. 
83UNIDADE III Econometria Aplicada
4.1 Exame de Resíduos
O primeiro desses métodos é o exame dos resíduos, que pode ser utilizado para 
verificar a autocorrelação ou heterocedasticidade, como vimos nas subseções anteriores. 
Para além desses propósitos, o exame de resíduos ainda pode auxiliar na detecção 
de erros de especificação do modelo (principalmente em modelos de corte transversal), 
como da omissão de uma variável importante ou do uso de uma forma funcional incorreta, 
através dos padrões distintos dos gráficos de resíduos. 
Imagine, por exemplo, que a verdadeira função de custo total de uma firma seja 
descrita como se segue:
Yi = β1 + β2 Xi + β3 Xi
2 + β4 Xi
3 + ui
Em que: Yi – custo total; e, Xi – produção.
Ao tentar estimar uma função custo, imagine também que o pesquisador tenha 
estimado uma função quadrática e outra linear. Assim, como descrevem Gujarati e Porter 
(2011), o gráfico com os resíduos dos três modelos se dá por:
FIGURA 5: RESÍDUOS DE TRÊS FORMAS FUNCIONAIS DA FUNÇÃO CUSTO
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
A figura 5 mostra os resíduos de três formas funcionais da função custo: (a) linear; 
(b) quadrática; (c) cúbica. Perceba que os resíduos de (c) mostraram que o modelo é mais 
próximo ao verdadeiro, já que além de os resíduos serem menores, não exibem oscilações 
cíclicas, características de modelos mal ajustados. Assim, Gujarati e Porter (2011) conclui 
que examinar o gráfico dos resíduos possibilita diagnosticar erros de especificação quando 
os resíduos exibem padrões marcantes. 
84UNIDADE III Econometria Aplicada
4.2 O teste Reset de Ramsey
O teste de RESET, regression specification error test (teste de erro de especificação 
da regressão, tradução livre) é um teste geral proposto por Ramsey para detectar erros de 
especificação. Segundo Gujarati e Porter (2011), as etapas na aplicação do RESET são:
Do modelo escolhido, obtemos o Yi estimado, Yi.
Por exemplo, estimamos a função de custos linear:
Yi = φ1 + φ2 Xi + u3i
Recalculamos a equação introduzindode algum modo Yi como regressor adicional.
Por exemplo, dada a figura:
FIGURA 6: RESÍDUOS E Y EM UMA FUNÇÃO LINEAR CUSTO
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
Observamos que há uma relação curvilínea entre ûi e Yi o que sugere a introdução 
de Yi
2 e Yi
3 como regressores adicionais. A partir disso calculamos:
Yi = β1 + β2 Xi + β3 Ŷi
2 + β4 Ŷi
3 + ui
3. Se chamarmos o R2 obtido pela equação logo acima como o R2
NOVO e aquele 
obtido na primeira equação como R2
VELHO . Gujarati e Porter (2011) mostra que 
podemos usar o teste F para verificar se o aumento do coeficiente de determi-
nação da nova regressão é estatisticamente significativo pela equação abaixo: 
85UNIDADE III Econometria Aplicada
4. A partir desse teste, determinamos o nível de significância e se o valor de F for sig-
nificativo a ele, podemos aceitar a hipótese de que a especificação estava errada.
Segundo Gujarati e Porter (2011), o teste não exige a especificação de um modelo 
alternativo, tornando de fácil aplicação, uma vantagem do teste Reset. No entanto, os autores 
dizem que isso também pode ser visto como uma desvantagem já que saber que o modelo é 
mal especificado não facilita, necessariamente, na escolha de uma alternativa melhor.
4.3 Erros de Medida
Ao analisar o modelo de regressão linear, Gujarati e Porter (2011), supôs que a 
variável dependente Y e as variáveis explanatórias, os X, são medidas sem erro, variáveis 
exatas, não extrapoladas, interpoladas ou arredondadas de modo sistemático.
No entanto, os autores revelam que esse ideal não é alcançado na prática por 
diversas razões. Mas, independente delas, o erro de medição pode ser um problema já que 
não se configura como um viés de especificação. 
4.3.1 Erros de medida da variável dependente Y
Considerando o seguinte modelo:
Yi
* = α + βXi + ui
Em que Yi
* são as despesas permanentes de consumo; Xi a renda corrente; e ui
é o termo de erro estocástico. Uma vez que não podemos podemos medir Yi
* dire-
tamente, Gujarati et. al (2011) sugere usar uma variável de despesas observável Yi
 tal que:
Yi = Yi
* + εi
Em que εi são os erros de medida em Yi*. Assim, podemos estimar que:
Em que vi = ui + εi é um termo de erro comporto, contendo o termo de erro da 
população e o termo de erro de medida.
Supondo que:
• E( ui ) = E( εi ) = 0 e Cov( Xi , ui ) = 0 – ou seja, que os erros de medida em 
Yi
* não estão correlacionados com Xi .; e que
• Cov(Xi ,εi ) = 0 : o erro da equação e erro de medida não estão correlacionados.
86UNIDADE III Econometria Aplicada
Gujarati e Porter (2011) mostra que o β estimado na primeira equação ou na modi-
ficada será um estimador não tendencioso do verdadeiro β. Os erros de medida da variável 
dependente Y não destroem a propriedade de ausência de viés dos estimadores de MQO.
No entanto, as variâncias e os erros padrão de β ´s dados por essas equações 
serão diferentes:
● Primeiro modelo - 
● Segundo modelo - 
Perceba que a variância do segundo modelo é maior. Segundo Gujarati et. al (2011, 
p. 482) “embora os erros de medida na variável dependente ainda deem estimativas não 
tendenciosas dos parâmetros e suas variâncias, as variâncias estimadas agora são maiores 
que no caso em que não há tais erros de medida.”
4.3.2 Erros de medida na variável explanatória X
Gujarati e Porter (2011) supõe, agora, que tenhamos o seguinte modelo:
Yi = α + βXi
* + ui
Em que Yi são despesas atuais de consumo; é renda permanente; e é termo de 
erro (da equação).
Se, em vez de Xi
* , tivermos:
Em que wi representa erros de medida em Xi
*. Assim, calculamos:
Em que zi = ui - βwi, um composto de erros da equação e de medida.
Agora, independente que wi tenha média zero, sejam serialmente independente 
e não esteja correlacionado a ui , não é mais possível supor que o termo de erro zi seja 
independente da variável explanatória Xi :
87UNIDADE III Econometria Aplicada
Assim, a variável explanatória e o termo de erro da equação modificada estão 
correlacionados, o que, segundo Gujarati et. al (2011), viola a hipótese de que a variável 
explicativa não esteja correlacionado com o termo de erro, uma das premissas do Modelo 
de Regressão Linear Clássica, MRLC. Se essa premissa não for satisfeita, os estimadores 
de MQO não são tendenciosos, mas também inconsistentes; eles continuam tendenciosos 
mesmo que o tamanho da amostra n aumente indefinidamente. (Gujarati e Porter, 2011)
Os erros de medição se mostram problemáticos quando presentes nas variáveis ex-
plicativas, já que impossibilitam a estimação de parâmetros consistentes. No entanto, Gujarati 
e Porter (2011) explica que um erro na variável explicativa não é facilmente solucionável. 
Se supormos que σw
2 seja pequeno comparado a σX*
2, poderíamos “ignorar” o problema e 
proceder à estimação usual com MQO. No entanto, os autores destacam que não podemos 
observar ou medir as variâncias, e não há como avaliar suas magnitudes relativas.
Gujarati et al (2011) ainda sugere o uso de variáveis instrumentais ou proxy. Segun-
do eles, mesmo com a presença de correlação com as variáveis X originais, elas não são 
correlacionadas com os termos de erro da equação e de medida.
Se pudermos encontrar a proxy, obtemos estimativas consistentes dos parâmetros. 
No entanto, encontrá-las não é uma tarefa fácil. Gujarati e Porter (2011) ainda afirma que a 
literatura não tem uma resposta definitiva a esses problemas, assim, medir os dados com 
exatidão é extremamente desejável. 
4.3.3 Critérios para Seleção de Modelos
Existem alguns testes que permitem a melhor seleção de modelos. Os principais 
são R2, R2 ajustado, critério de informação de Akaike e de Schwartz. Veremos aqui alguns 
desses critérios. 
O critério R2, utiliza o coeficiente de determinação para definir o quanto bom é o 
ajustamento. Lembre-se que quanto mais próximo de 1, mais alterações da variável depen-
dente são explicadas pelas alterações das variáveis explicativas, assim, o modelo é melhor. 
No entanto, segundo Gujarati e Porter (2011) esse critério apresenta alguns proble-
mas, como os citados a seguir:
1. Ele mede a qualidade do ajustamento dentro da amostra, o que não garante que 
o modelo será capaz de prever os valores fora da amostra;
2. Na comparação de dois ou mais R2, a variável dependente, ou regressando, 
deve ser a mesma,
3. O R2 sempre aumenta com a inclusão de variáveis no modelo mas, como vimos, 
a inclusão de variáveis pode aumentar a variância do erro de previsão. 
88UNIDADE III Econometria Aplicada
O R2 ajustado, por outro lado, tenta corrigir o efeito dessa inclusão, reduzindo o coe-
ficiente se a nova variável piora o modelo. Assim, Gujarati e Porter (2011) define que,para 
fins de comparação, R2 é uma medida melhor que R2.
Outro critério que pode ser utilizado é o Critério de informação de Akaike (CIA). Esse 
instrumento permite uma medida corretiva pelo acréscimo de regressores do modelo, como 
o coeficiente de determinação ajustado. No entanto, o critério de informação de Akaike 
impõe penalidade ainda maior à essas inclusões. Como regra, o modelo com o valor mais 
baixo de CIA é preferido. (Gujarati e Porter, 2011) 
Um último critério exposto aqui é o Critério de informação de Schwarz (CIS). O 
CIS é ainda mais duro com inclusões de variáveis do que o CIA e nele a regra de decisão 
também define que, ao comparar modelos, aquele com valor mais baixo é o melhor. 
SAIBA MAIS
O Cálculo e os critérios de decisão
Não foram demonstrados aqui os cálculos dos critérios de decisão, com exceção do 
coeficiente de determinação tratado na unidade anterior. Apesar de importantes para 
entender mais profundamente esses critérios (se for interessantes, leia Gujarati e Porter, 
2011), esses cálculos são feitos rapidamente pelos softwares estatísticos e, pela faci-
lidade, permitem com que o pesquisador ajuste o modelo de maneira mais adequada, 
testando diferentes configurações até encontrar o modelo preferível. 
89UNIDADE III EconometriaAplicada
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Essa unidade nos ajudou a compreender melhor o que ocorre quando utilizamos 
a econometria na prática. Ao contrário dos modelos empíricos que encontramos nos livros 
textos e nos materiais básicos sobre econometria, os dados no mundo real não atendem 
necessariamente às premissas dos modelos econométricos, como o MQO que já estudamos 
neste material. Por isso, precisamos entender como lidar com os problemas relacionados 
ao relaxamento dessas premissas e se é possível ou desejável resolvê-los. 
Nesse sentido, essa unidade começa analisando o problema da heterocedasti-
cidade. Vimos que esse problema é referente a existência de diferentes variâncias nas 
observações ou no termo de erro. Percebemos que em sua presença, os estimadores do 
MQO não são mais considerados BLUE. Uma maneira de corrigir o problema é estimando 
a regressão através do Método dos Mínimos Quadrados Generalizados. 
O outro problema relacionado ao relaxamento das premissas é a presença de 
autocorrelação serial. Este problema está mais relacionado aos cortes transversais e que 
podem ter diversas explicações, como a inércia, o viés, a especificação da defasagem e 
assim por diante. Observamos também como operacionalizar o teste de Durbin Watson, 
um dos testes mais utilizados para identificar a autocorrelação. Além disso, concluímos que 
utilizar os MQG, também pode ser uma maneira de lidar com a autocorrelação.
Esse material também auxiliou a entender o problema da especificação, suas con-
sequências e como fazer diagnósticos que permitam com que se utilize o melhor modelo 
disponível para os dados apresentados. Observamos quatro diferentes critérios para essa 
decisão e concluímos que o coeficiente de determinação ajustado é mais adequado que 
o normal, além de que os critérios de CIS e CIA são mais rigorosos com a inclusão de 
variáveis explicativas.
90UNIDADE III Econometria Aplicada
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO(OBRIGATÓRIO)
Título: Análise de Modelos de Regressão Linear com Aplicações 
Autor:Reinaldo Charnet, Clarice Azevedo de Luna Freire, Eugênia 
M. Reginato Charnet, Heloísa Bonvino
Editora: Editora da Unicamp
Sinopse: Este livro tem por objetivo apresentar a parte da esta-
tística que trata de modelos de regressão, podendo ser utilizado 
como texto básico para disciplinas de regressão, tanto para alunos 
de graduação em estatística como para alunos de diferentes áreas 
para as quais essas disciplinas usualmente são oferecidas. Cada 
capítulo traz no final um grupo de exercícios que serve de estímulo 
ao aluno para a aplicação e a fixação de todo o material exposto.
FILME/VÍDEO (OBRIGATÓRIO)
Título: Multicolinearidade, Heterocedasticidade e Autocorrelação 
no Stata
Ano: 2011
Sinopse: Este é o sexto vídeo da série de vídeos com o teor que 
diagnosticar e corrigir problemas que violam os pressupostos dos 
modelos econométricos através do uso do STATA.
Link do vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=UOHxeacprBo
91
Plano de Estudo:
● Modelos de Escolha qualitativa;
● Modelos de Equações Simultâneas;
● Econometria de Séries Temporais;
● Sugestões práticas.
Objetivos da Aprendizagem:
● Apresentar a natureza da escolha qualitativa;
● Apresentar a natureza dos modelos de equações simultâneas e séries temporais;
● Demonstrar de maneira prática como rodar um modelo pelo Gretl.
UNIDADE IV
Usos e Atribuições Práticas
Professor Dr. Vinicius Borba da Costa
92UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
INTRODUÇÃO
A econometria é uma fantástica ferramenta para entendermos e estudarmos a 
relação entre duas ou mais variáveis. Até agora, examinamos modelos mais simples e 
os problemas que encontramos quando aplicamos esses modelos na prática. Vimos que 
nem sempre as premissas do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas e, assim, 
precisamos de mecanismos para corrigir esses erros. 
Para além desses modelos mais básicos, temos diversas evoluções teóricas e 
práticas neste instrumento. Algumas dessas evoluções são demonstradas nesta unidade. 
A unidade IV, então, se dedica a dar uma ideia geral de modelos econométricos mais avan-
çados, para responder a diferentes questões e tipos de dados. 
Para isso, inicialmente tratamos de modelos de escolha qualitativa que, diferente do 
que observamos até agora, permitem que a variável dependente tenha um caráter qualitati-
vo, de qualidade, de atributo. Esses modelos são relacionados a modelos de probabilidade. 
Passamos então a analisar modelos que tem como base equações que não são es-
tudadas de maneira individual, mas em conjunto, quando variáveis são inter-relacionadas. 
Essas equações simultâneas dificultam a análise simples dos modelos anteriores, então 
tem modelos dedicados a elas.
Além disso, analisamos também a econometria de séries temporais. Como vere-
mos, o uso de séries de tempo traz diversas peculiaridades que necessitam uma análise 
atenta aos dados. 
Para finalizar, a unidade apresenta um tutorial prático de como utilizar, ainda que de 
maneira básica, o software gretl para estudos econométricos. 
93UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
1. MODELOS DE ESCOLHA QUALITATIVA
Nos deparamos com diferentes modelos econométricos até esse ponto. Modelos 
de regressão simples, múltipla, com variáveis binárias e, apesar de a variável explicativa 
ter sido apresentada de maneira quantitativa e qualitativa (como no caso das variáveis 
binárias), a variável dependente sempre foi estimada como uma variável quantitativa. 
Nesse tópico exploraremos, ainda que de forma superficial, alguns problemas e 
modelos relacionados aos modelos de escolha (ou resposta) qualitativa, onde o regressan-
do (variável dependente) é qualitativo. 
No modelo de resposta qualitativa investigamos a probabilidade de que algo acon-
teça, de que o regressando (Y) seja relacionado a essa resposta ou a outra. Como exemplo, 
o modelo aponta a probabilidade de uma família decidir comprar uma casa ou não, de um 
eleitor votar em um candidato da esquerda ou da direita, de um jovem escolher fazer ou não 
o seguro de um carro. Todos esses são exemplos de uma escolha dicotômica. No entanto, 
os modelos de resposta qualitativa também podem ter mais respostas (tricotômica, se tiver 
3 possibilidades, policotómica se várias possibilidades). O importante é destacar o fato de 
que a variável dependente é qualitativa (Gujarati e Porter, 2011). 
94UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
1.1 O modelo de Probabilidade Linear
O primeiro modelo de resposta qualitativa apresentado aqui é mais simples e pode 
ser calculado por MQO, é o modelo de probabilidade linear (MPL). 
Para apresentá-lo, Gujarati e Porter(2011) propõem a seguinte regressão:
Yi = β1+ β2 X2 + ui
À primeira vista a regressão acima parece uma regressão linear simples, como às 
que já vimos anteriormente. O que a diferencia é o fato de que essa regressão tenta res-
ponder se uma família tem uma casa própria ou não, dependendo de sua renda. Portanto, 
Y é igual a 1 se a família possui a casa e 0 se não possui, enquanto X é a renda familiar. 
Temos então um modelo linear em que o regressando é binário, portanto, temos um modelo 
de probabilidade linear. 
Como tratamos de probabilidade, suponha que Pi seja a probabilidade de que a 
família tenha a casa (que o evento ocorra, Yi=1) e que (1 - Pi), seja a probabilidade de que 
a família não tenha a casa (que o evento não ocorra, Yi=0). Assim, Gujarati e Porter (2011) 
revela que:
E( Yi ) = 0( 1-Pi ) + 1( Pi ) = Pi 
E portanto,
E( Yi | Xi ) = β1 + β2 X2 = Pi
A esperança condicional de Y dado X é igual a probabilidade de sucesso (de que o 
evento ocorra. Portanto, a regressão nos fornece tal probabilidade. 
Um exemplo para ilustrar esse modelo é apresentado pelos resultados abaixo 
(Gujarati e Porter 2011):
Ŷi = - 0,9457 + 0,1021Xi
Onde, Y corresponde a 1 se o indivíduo possui casa própria e 0 se não; e X a renda 
familiar em milhares de dólares para 40 famílias. 
A regressão mostraprimeiramente que se a família tem renda zero, a probabilidade 
de que ela tenha uma casa própria é de -94% (um dos problemas do modelo é de que os 
resultados podem ficar fora do intervalo probabilístico entre 0 e 1, como veremos a seguir). 
Esse resultado, segundo os autores, não indica que há 0% de probabilidade de possuir 
casa própria se a renda é igual a zero. O valor do coeficiente de inclinação diz que para 
cada mil dólares a mais que uma família tem de renda, a média de probabilidade dessa 
família possuir uma casa própria aumenta em 10% aproximadamente. 
Portanto, o modelo pode ser estimado por MQO, no entanto, apresenta vários problemas:
95UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
● ausência de normalidade nos termos de erro;
● variáveis heterocedásticas;
● Resultados em que a probabilidade é menor que 0 ou maior que 1. 
● r2 questionável. 
O maior desses problemas é o fato de que o MQO não garante que a probabilidade 
esteja entre 0 e 1, o que é matematicamente aceitável. Os modelos logit e probit, apresen-
tados a seguir, garantem que as probabilidades estejam nesse intervalo. 
1.2 O Modelo Logit e Probit1
O problema fundamental da MPL é que a probabilidade aumenta linearmente con-
forme aumenta-se as variáveis explicativas, ou seja, o efeito marginal permanece constante 
durante a curva. Segundo Gujarati e Porter (2011) seria desejável que o efeito marginal 
diminuísse com a evolução da série de maneira que não ultrapassasse os limites 0 e 1, 
correspondentes à lógica matemática probabilística. 
Essa qualidade é alcançada com modelos de função de distribuição acumulada 
(FDA), através dos modelos Logit e Probit.
Para entender o método logit Gujarati e Porter (2011) utiliza o mesmo exemplo da 
casa própria: 
Considerando que:
e substituindo β1 + β2 X2 por Z temos que:
Assim, a equação acima é conhecida como função de distribuição logística (acumu-
lada) e P passa a variar somente entre 0 e 1. 
Para que a equação seja linear, Gujarati e Porter (2011) ainda aplica o logaritmo 
natural e transforma as variáveis de forma que: 
onde, 
1 Os modelos são apresentados aqui somente para entender as principais características, para 
estimação e interpretação, ver Gujarati e Porter (2011)
96UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Ou seja, “L, O logaritmo da razão de chances não é apenas linear em X, mas 
também (do ponto de vista de estimação), linear nos parâmetros. L é chamado de logit [...]” 
(Gujarati e Porter, 2011, p. 552)
Os modelos probit, por outro lado, utilizam uma função de distribuição acumulada 
normal, FDA normal, e também pode ser conhecido como modelos normit. Os modelos 
probit são, esse , assim, representados por uma integral, de modo que:
Gujarati e Porter (2011) explica ainda que os modelos são bastante parecidos e 
o que os diferencia é que a distribuição do logit possuir caudas um pouco mais pesadas, 
como na figura abaixo: 
FIGURA 1: DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DO LOGIT E DO PROBIT
Fonte: Gujarati e Porter (2011, p. 568)
Isso demonstra que a probabilidade condicional de P1 se aproxima mais rapida-
mente de 1 ou 0 no probit do que no logit. 
97UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
2. MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Nessa apostila, vimos diversos tipos de modelos econométricos, de duas ou mais 
variáveis e com formas funcionais diferentes. No entanto, sempre observamos modelos 
com uma única equação, modelos nos quais tínhamos uma variável dependente e uma ou 
mais variáveis explicativas. 
Gujarati e Porter (2011) expôs que nesses modelos, destaca-se o valor médio da 
variável dependente, condicionado aos valores da variável explicativa e, portanto, a relação 
causa e efeito tem a direção da explicativa para a variável de resposta. 
No entanto, diversas relações econômicas têm relações mais complexas, de modo 
que haja uma relação de mão-dupla entre elas. Essas relações são conhecidas como si-
multâneas. Isso faz com que a relação entre Y e Xi seja duvidoso. 
Assim, Gujarati e Porter (2011, p. 665) revela que é “melhor agrupar um conjunto 
de variáveis que possam ser determinadas simultaneamente pelo conjunto restante de 
variáveis, o que é feito nos modelos de equações simultâneas”. Ou seja, há mais de uma 
equação, sendo uma para cada variável endógena.
Um exemplo de modelos de equações simultâneas é o modelo de oferta e deman-
da. Gujarati e Porter (2011) apresenta que, pela teoria econômica, o preço e a quantidade 
vendida de um produto são determinados pela interseção das curvas de oferta e demanda 
por um produto, ou seja, pelo ponto de equilíbrio onde os ofertantes e demandantes querem 
a mesma quantidade de um produto, ao mesmo preço. 
98UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Supondo que as curvas sejam lineares e acrescentando os erros estocásticos como 
em um modelo econométrico temos que: 
● Função de demanda: Qt
d = α0 + α1 Pt+u1t, α1 0
● Condição de equilíbrio: Qt
d = Qt
s
Onde Qd é a quantidade demandada e Qs a quantidade ofertada.
A figura abaixo mostra 3 diferentes gráficos, o primeiro mostra a relação de equilíbrio 
entre a oferta e a demanda. O equilíbrio é, então, dado pela igualdade entre a quantidade 
ofertada e demandada para um dado preço. A lei da demanda diz que quanto menor preço, 
maior é a quantidade demandada, por isso, a curva é inclinada para baixo e a α1de confiança, indispensáveis para a posterior inferên-
cias estatísticas. 
5UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
1. INTRODUÇÃO E CONCEITOS
A cada momento do nosso cotidiano, por termos a curiosidade como característica 
inerente, investigamos como as coisas estão relacionadas, quais seus determinantes e 
consequências. A econometria auxilia de maneira ímpar nesse sentido. 
A econometria se baseia no desenvolvimento de métodos estatísticos para me-
dição e estimação de relações existentes na economia, ou no nosso cotidiano. Através 
dela, podemos testar teorias, avaliar políticas econômicas e escolhas empresariais e então, 
tomar decisões. (WOOLDRIDGE, 2016)
Gujarati e Porter (2011, p. 25) revela que, em uma interpretação literal, econometria 
significa “medição econômica”. Ou seja, o ato de usar os dados para fazer medições e, a 
partir delas, tirar conclusões. No entanto, o autor explica a discussão econométrica é muito 
mais ampla e extensa, assim, nos traz outros conceitos comuns apresentados por autores 
econometristas importantes:
• A econometria, o resultado de certa perspectiva em relação ao papel da economia, 
é a aplicação da estatística matemática aos dados econômicos para dar apoio empírico aos 
modelos formulados pela economia matemática e obter resultados numéricos (TINTNER, 
1968, apud Gujarati e Porter, 2011).
• A econometria pode ser definida como a análise quantitativa dos fenômenos eco-
nômicos ocorridos com base no desenvolvimento corrente da teoria e das observações e 
com o uso de métodos de inferência adequados (SAMUELSON et. al. 1954, apud Gujarati 
e Porter, 2011).
6UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
• A econometria pode ser definida como a ciência social em que as ferramentas 
da teoria econômica, da matemática e da inferência estatística são aplicadas à análise de 
fenômenos econômicos (GOLDBERGER, 1964, apud Gujarati e Porter, 2011).
• A econometria se ocupa da determinação empírica das leis econômicas (Theil, 
1971, apud Gujarati e Porter, 2011).
Assim, é fácil de perceber a importância da econometria. Enquanto os campos 
teórico-econômicos, como microeconomia e macroeconomia, se preocupa observar os 
fenômenos que ocorrem nas relações humanas e, através da economia matemática cons-
troem modelos baseados em premissas pré definidas. O econometrista utiliza a coleta, 
organização e apresentação dos dados preparados pela estatística econômica para fazer a 
verificação econômica dessas teorias e modelos. 
REFLITA
“Sem dados você é apenas mais uma pessoa com uma opinião. ”
W. Edwards Deming
1.1 O método econométrico
Para cumprir com aquilo que a econometria se propõe, utiliza-se o método economé-
trico de análise tradicional que segue etapas importantes expostas por Gujarati e Porter (2011):
I. Exposição da teoria ou hipótese;
II. Especificação do modelo matemático da teoria;
III. Especificação do modelo estatístico ou econométrico;
IV. Obtenção dos dados;
V. Estimação dos parâmetros do modelo econométrico;
VI. Testes de hipóteses;
VII. Projeção ou previsão; e,
VIII. Uso do modelo com fins de controle ou de política.
Esse método, portanto, começa através da exposição de uma teoria, ou seja, ex-
plicando as noções teóricas daquilo que será testado. Para demonstrar cada um desses 
passos, Gujarati e Porter (2011) utiliza a teoria de consumo Keynesiana. 
7UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Essa teoria objetiva explicar a relação entre renda e consumo para o agente típico, 
ou seja, para a maioria dos indivíduos, para isso, Keynes declara que “os homens estão 
dispostos a aumentar o seu consumo quando o seu rendimento cresce, embora não no 
mesmo grau em que aumenta o seu rendimento” (KEYNES, 2012, p. 87). Essa teoria é 
conhecida como lei psicológica fundamental.
Portanto, a hipótese a ser testada é de que o agente consome mais se sua renda 
aumentar. No entanto, o aumento do consumo não é proporcional ao aumento da renda. A 
partir da teoria, pode-se então passar para a próxima etapa, a Especificação do modelo ma-
temático da teoria. Muitas vezes as teorias terão seu modelo matemático determinado pelo 
autor quando apresentadas, no entanto, eventualmente, as hipóteses são qualitativas ou não 
expressas de maneira matemática. Nessa casa, cabe ao Econometrista especificar o modelo. 
Para a teoria psicológica fundamental, um economista matemático pode sugerir a 
seguinte forma: 
Y = β1 + β2 X, 0com taxa de juros, Produto Interno 
Bruto (PIB), Taxa de inflação, taxa de câmbio dentre outras. 
Além disso, pode-se utilizar esse instrumento para analisar estimativas de demandas 
em negócios empresariais, implementar políticas econômicas públicas ou mesmo a ní-
veis gerenciais. 
Fonte: o autor.
101UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Primeiramente elas podem apresentar estacionaridade e autocorrelação, proble-
mas já discutidos nesta apostila. Também podem ter problemas relacionados ao R2, o 
coeficiente de determinação. Segundo Gujarati e Porter (2011) quando estimamos as 
séries de tempo relacionando-as com outras séries temporal, podemos ter um coeficiente 
de determinação muito alto, mesmo sem que as variáveis tenham qualquer relação real, 
chamamos isso de regressão espúria. 
Além disso, algumas séries de tempo, especialmente as financeiras, exibem um 
comportamento conhecido como fenômeno do passeio aleatório. Nesse fenômeno a variá-
vel em t+1, ou seja, do próximo período, é simplesmente a variável no período t (período 
corrente), mais um choque aleatório, ou seja, sem uma direção definida. Se isso ocorrer, 
tentar prever os próximos períodos seria inútil, já a série é aleatória. 
Para entendermos as séries temporais, alguns conceitos relacionados à elas têm 
que ser compreendidos. Gujarati e Porter (2011) destacam alguns conceitos que veremos 
nessa seção. 
Um passeio aleatório, ou estocástico, é um conjunto de variáveis aleatórias ordena-
das no tempo e podem ser estacionários ou não estacionários. 
Os processos estocásticos estacionários são quando sua média e variância são 
constantes ao longo da série e quando os valores da covariância entre dois períodos de 
tempo dependem da defasagem entre os dois períodos, e não do próprio tempo em que a 
covariância é calculada. Assim,
Ou seja, a série é estacionária se sua média, variância e autocovariância perma-
necem as mesmas, não variam com o tempo. Um dos tipos mais utilizados como exemplo 
é o ruído branco em que o erro é distribuído de modo independente e idêntico como uma 
distribuição normal com média zero e variância constante, ou seja, ut ~IIDN(0,σ2) . 
Já os processos estocásticos não estacionários terão média e variância variando 
ao longo do tempo, o passeio aleatório é um exemplo e pode ser dividido com ou sem 
deslocamento (Gujarati e Porter, 2011)
102UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
1. Passeio aleatório sem deslocamento
Suponha que ut é o erro de ruído branco com média 0 e variância σ2. Sendo assim, 
dizemos que a série é um passeio aleatório se 
Yt = Yt-1 + ut
Perceba valor de Y no tempo t é igual ao seu valor no tempo (t-1) mais um choque 
aleatório. Para esse modelo, a média e a variância serão:
E( Yt ) = Y0
Var ( Yt ) = tσ2
2. Passeio aleatório com deslocamento
Para esse caso considere o modelo abaixo:
Yt = δ +Yt-1 + ut
Onde δ é o parâmetro de deslocamento. Perceba que, aqui, o Yt se deslocará para 
cima ou para baixo dependendo do sinal de . Para o caso com deslocamento, a média e a 
variância serão:
E(Yt ) = Y0+tδ
Var(Yt ) = tσ2
Gujarati e Porter (2011) destaca, portanto, que o processo aleatório, com ou sem 
deslocamento, é um processo estocástico não-estacionário e ferem a premissa 
Além disso, os autores ainda destacam que o passeio aleatório é um exemplo 
muito conhecido como processo de raiz unitária. Para entendê-lo considera o modelo de 
passeio aleatório abaixo: 
Yt = ρYt-1 + ut -1 ≤ ρ ≤ 1
Se ρ = 1, estamos diante do problema de raiz unitária. Mas, se |ρ| ≤ 1, ou seja, se 
o valor absoluto de ρ é menor do que 1, a série temporal será estacionária. 
No entanto, os modelos que trabalham com séries temporais têm como premissa 
a estacionaridade, portanto, temos algumas maneiras de torná-los estacionários, como por 
exemplo quando tiramos diferenciamos a séries. 
Quando as séries são diferenciadas, elas podem se tornar estacionários e clas-
sificadas como processos estacionários em diferença. Diferenciar a série é basicamente 
transformá-la de forma a subtrair cada variável pela observação dos períodos anteriores 
(1 período para primeira diferença, dois para segunda diferença e assim por diante. Dessa 
forma, quando fazemos a primeira diferença, Yt, é transformado subtraindo o mesmo Y do 
período t-1, ou seja, estimamos a partir de (Yt – Yt-1).
103UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
O modelo de passeio aleatório é um caso específico de uma classe de processo 
estocástico conhecidos como processos integrados. O modelo de passeio aleatório sem 
deslocamento é não-estacionário, no entanto se calcularmos a primeira diferença ele passa 
a ser. Por isso, o modelo de passeio aleatório sem deslocamento é denominado integrado 
de ordem 1, que se denota como Yt ~ I (1).
De maneira geral, se é necessário diferenciar d vezes uma série para que ela se 
torne estacionária, dizemos que essa série é integrada de ordem d; Yt ~ I (d).E se a série é 
estacionária por natureza, ou seja, não precisa ser diferenciada, integrada de ordem zero; 
Yt ~ (0). Assim, uma série temporal estacionária ou integrada de ordem zero possuem o 
mesmo significado. (Gujarati e Porter, 2011)
Para verificar a estacionariedade de uma série podemos utilizar o teste de raíz uni-
tária. O ponto de partida é o processo (estocástico) de raiz unitária, como a equação abaixo. 
Yt = ρYt-1 + ut -1 ≤ ρ ≤ 1
Onde ut é um termo de erro de ruído branco. Como observamos, quando ρ=1 a 
série se torna um modelo de passeio aleatório sem deslocamento, ou seja, um processo 
estocástico não-estacionário. 
Para entender o teste, manipulamos o processo estocástico subtraindo Yt-1 de am-
bos os lados, para obter:
onde δ = ( ρ -1)
Assim, estimando ∆Yt = δYt -1 + ut , testamos a hipótese nula de que δ = 0. Se δ = 
0 então ρ = 1, ou seja, temos uma raiz unitária, indicando que a série temporal sob análise 
é não-estacionária. 
Para aplicar o teste de raiz unitária, tomamos as primeiras diferenças de Yt e roda-
mos a regressão destas em relação a Yt -1. Vemos então se o coeficiente angular estimado 
nessa regressão é igual a zero ou não. Se for igual a zero, a série Yt é não-estacionária. 
Nesse caso, sob a hipótese nula de que δ, o valor t estimado do coeficiente de Yt -1 segue 
a estatística τ (tau). Em homenagem aos autores desse modelo esse teste de raiz unitária 
ficou conhecido como teste de Dickey-Fuller.
Além desse teste, também é importante fazer um teste de cointegração. Em algu-
mas situações, a combinação linear de duas séries não-estacionárias poderá resultar numa 
série estacionária, tendo assim duas séries cointegradas. 
104UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Para testar a cointegração, Gujarati e Porter (2011) sugere o teste de Engle-Gran-
ger ou Engle-Granger aumentado. Para aplicá-lo, estimamos uma regressão como Yt = β1 
+ β2 Xt + ut , obtemos os resíduos e usamos os testes de Dickey-Fuller. 
Como os ut estimados se baseiam no parâmetro estimado β̂2, os valores críticos 
de significância do teste de Dickey-Fuller não são muito apropriados. Engle e Granger cal-
cularam esses valores e, por conta disso, esse teste de cointegração ficou então conhecido 
como teste de Engle-Granger. (Gujarati e Porter, 2011)
3.1 Previsão de séries temporais
A possibilidade de estimar previsões para as próximas variáveis é uma parte muito 
importante da econometria. Veremos aqui, de maneira introdutória, um dos métodos mais 
comuns para tal, o modelo ARIMA. 
O modelo ARIMA, também conhecido como metodologia Box-Jenkins (BJ), o mo-
delo ARIMA destaca a análise probabilística ou estocástica da própria série temporal, ou 
seja, os dados explicam a si mesmos de forma que Yt seja explicado pelos seus valores 
defasados e estocásticos (Gujarati e Porter 2011).
O nome ARIMA se refere ao processo autoregressivo (AR), com médias móveis 
(MA) e integrado (I). No entanto, dependendo da série, será utilizado somente o AR, o MA, 
o ARMAou então o ARIMA. 
O processo autoregressivo AR(1) é representado como:
( Yt - δ ) = α1 ( Yt-1 - δ ) + ut
onde δ é a média de Y e ut é o termo de ruído branco. 
O processo autorregressivo é então um modelo que informa que o valor previsto de 
Y no período t é alguma proporção α1 do período prévio mais um choque aleatório. 
De maneira mais geral podemos ter que:
(Yt- δ) = α1 (Yt-1 -δ) + α2 (Yt-2) - δ)+...+ αp (Yt-p -δ) + ut
que é chamado de AR(p).
Já o processo de média móvel (MA) considera que:
Yt = μ + β0 ut + β1 ut-1
onde μ é uma constante e u é o termo de erro de ruído branco. 
Nesse caso, Y no período t é uma constante mais uma média móvel dos termos de erro 
atuais e do passado. Esse Y segue, então, um processo de média móveis de primeira ordem. 
Também podemos observar o processo de média móvel de forma geral, onde:
 Yt = μ+ β0 ut + β1 ut-1+ β2 ut-2+...+βq ut-q
105UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Sendo esse um processo de MA(q). 
Se a variável Y possui características de AR e MA, será uma ARMA, de forma que:
Yt = θ+ α1 Yt-1 + β0 ut+ β1 ut-1
Que é considerado um ARMA(1,1). Em geral, em um processo ARMA(p,q) haverá 
termos autorregressivos p e termos de média móvel q. 
Ainda, algumas séries são não estacionárias, ou seja, integradas. Se tivermos que 
diferenciar a série de vezes para torná-la estacionária e aplicar o ARMA, dizemos que a sé-
rie original é ARIMA(p,d,q), ou seja, uma série temporal autoregressiva de médias móveis. 
A metodologia Box-Jenkins auxilia na identificação desses níveis p, d e q. Para 
isso, utiliza-se 4 etapas. 
● Identificação: Através do método do correlograma ou do correlograma parcial3 
identificamos provisoriamente p, d e q. 
● Estimação: Nessa etapa, estima-se os parâmetros autorregressivos e os ter-
mos da média móvel do modelo (por MQO ou métodos não lineares). 
● Verificação de diagnóstico: Verifica-se se o modelo ajusta-se aos dados razoa-
velmente bem. Um teste para isso é identificar se os resíduos são ruídos brancos. 
Se não, retome o passo 1 e altere p, d e q. Se sim, pode-se ir pra próxima etapa. 
● Previsão: pode-se fazer previsões seguras, principalmente de curto-prazo.
3 esse método pode ser verificado em Gujarati e Porter (2011, cap. 22)
106UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
4. SUGESTÕES PRÁTICAS
A econometria se baseia em muitos argumentos e premissas teóricas para identifica-
ção, no mundo real, da relação entre as variáveis. Isso faz com que inevitavelmente seja uma 
teoria de complexo entendimento. No entanto, alguns exercícios práticos facilitam seu uso e, 
com a experiência do pesquisador, os procedimentos passam a ser mais intuitivos e simples. 
Nesta seção, faremos um exemplo simples, a partir de dados reais brasileiros, que 
permitiram aplicação prática de alguns dos conteúdos aqui demonstrados. 
O software utilizado para demonstrar o passo-a-passo do procedimento para rodar 
o modelo é o gretl4. O modelo exposto aqui se assemelha ao modelo de Gujarati e Porter 
(2011) de regressão múltipla, exposto nesse material na unidade II, tópico 4.3. 
O modelo busca entender a relação entre a mortalidade infantil no Brasil (por mil 
nascidos vivos) e duas variáveis explicativas, a renda da população, a qual utilizamos o sa-
lário mínimo real como sua proxy, e a taxa mulheres analfabetas5 (percentual de mulheres 
de 15 a 24 anos que não sabem ler nem escrever um bilhete simples). Os dados se referem 
a uma série temporal de 2000 a 2014. Os dados foram obtidos do site IPEADATA. 
Portanto, o modelo é representado pela equação a seguir: 
onde: 
MIi = Mortalidade infantil (por mil nascidos vivos)
SalMin = Salário Mínimo real (fim de período)
TMA = Taxa de mulheres analfabetas.
4 O gretl é um software livre que pode se baixado no link http://gretl.sourceforge.net/pt.html. 
5 Importante reparar que no modelo do Gujarati e Porter(2011) utilizou-se a taxa de alfabetização e no 
modelo aqui apresentado, estamos utilizando a taxa de analfabetas, ou seja, esperamos um resultado inverso. 
http://gretl.sourceforge.net/pt.html
107UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Apresentamos abaixo os passos necessários para “rodar” esse modelo no Gretl. 
Primeiramente, organize os dados em uma planilha de excel ou software seme-
lhante, como demonstrado na figura 3: 
FIGURA 3: DADOS NO EXCEL
Fonte: elaboração própria. 
Salve o arquivo em uma pasta de fácil localização. O próximo passo é importar 
os dados para o software. Na tela inicial do Gretl abra as seguintes abas arquivo > Abrir 
dados > Arquivos do usuário, como a figura abaixo. 
FIGURA 4: IMPORTAR DADOS
Fonte: Gretl.
108UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Na próxima tela siga os caminhos que te levarão à pasta que você escolheu para 
salvar o arquivo e garanta que o software esteja mostrando todos os arquivos (opção no 
canto inferior direito da tela, selecione a opção todos os arquivos (*.*) ). Selecione então os 
dados e clique em abrir. 
FIGURA 5: SELECIONAR ARQUIVO
Fonte: Gretl.
Quando você completar esse passo abrirá uma pequena janela na qual você 
mostrará para o programa em que células estão localizados os dados. Nesse ponto, não 
selecionaremos a coluna do período (2000, 2001, ...), portanto, preencha o espaço para 
coluna com o número 2 e a linha com 1 (para mostrar a nomenclatura das séries), como na 
figura abaixo: 
FIGURA 6: IMPORTAÇÃO DE PLANILHA
Fonte: Gretl.
109UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
O gretl então perguntará se você deseja que o programa interprete os dados como 
de série temporal ou dados de painel, clique na opção sim e, na próxima janela selecione 
Série temporal e Avançar. Como nas figuras abaixo. 
FIGURA 7: ESTRUTURA DE DADOS
Fonte: Gretl.
A partir desse passo, você deve estabelecer o período (anual), a observação inicial (2000) 
e confirmar a estrutura do conjunto de dados (aplicar), como os passos demonstrados abaixo. 
FIGURA 8: CONFIRMAR ESTRUTURA DE DADOS
Fonte: Gretl.
Pronto, com isso você importou os dados para o Gretl. A partir de agora é possível 
analisar os dados, montar gráficos, fazer modelos e testar as variáveis. O layout do seu 
programa ficará como abaixo:
110UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
FIGURA 9: LAYOUT DO GRETL APÓS IMPORTAÇÃO DE DADOS
Fonte: Gretl.
Como nosso objetivo é realizar uma regressão múltipla sob o método dos mínimos 
quadrados ordinários (MQO), abra a aba superior Modelo e selecione Mínimos Quadrados 
Ordinários, como abaixo: 
FIGURA 10: RODANDO O MODELO
Fonte: Gretl.
A próxima aba serve para definirmos nossa equação. Selecione a variável MI e 
clique na seta grande azul, para que o MI preencha a lacuna na variável dependente. 
Selecione as variáveis SalMin e TMA e clique na seta verde, para que as variáveis sejam 
os regressores (variáveis explicativas). A aba deve ficar exatamente como a figura abaixo. 
111UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
FIGURA 11: ESPECIFICANDO O MODELO
Fonte: Gretl.
Quando você clicar em OK, da figura anterior, o seu modelo já será apresentado na 
próxima tela, exatamente como observamos a “saída” de modelo nas unidades anteriores. 
Observe abaixo nosso modelo.
FIGURA 12: SAÍDA DO MODELO
Fonte:Gretl
112UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
A interpretação segue o mesmo padrão daquele observado na unidade II, sugeri-
mos que o aluno releia aquela unidade e interprete esses resultados como estudo. 
O próximo passo é fazer os testes de heterocedasticidade e autocorrelação dos resíduos. 
O testes podem ser feitos nas abas testes, como demonstrado pela figura abaixo 
(teste de White): 
FIGURA 13: ABA PARA TESTES
Fonte: Gretl.
O resultado do teste de White, por exemplo, gera a seguinte saída:
FIGURA 14: SAÍDA DO TESTE DE WHITE
Fonte: Gretl.
113UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
Como vimos, o resultado mais importante nessa saída é apresentado na última 
linha, com o p-valor (ou valor p) do teste. Como a hipótese nula do teste de White é a de que 
não há heterocedasticidadee como o p-valor é maior do que 0,10, não podemos rejeitar a 
hipótese de que não há heterocedasticidade, ou seja, há grande probabilidade de a série 
ser homocedástica. 
REFLITA
É necessária maturidade para entender que modelos econométricos devem ser usados, 
mas sem realmente acreditar neles.” 
Henry Theil.
114UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Por trás de toda a complexidade da análise econométrica, existe um objetivo muito 
simples, analisar, metrificar, concluir sobre as relações econômicas entre variáveis. 
Nesse material fizemos isso de maneiras diferentes, por diversos métodos distintos. 
Essa unidade auxiliou a ir um pouco mais longe, investigando aspectos básicos de modelos 
econométricos diferentes daqueles mais simples das unidades passadas. 
Começamos falando sobre o modelo de escolha qualitativa, em que a variável 
dependente assume valores quantitativos, de atributo, de qualidade. Assim, a análise pode 
nos demonstrar a probabilidade do agente possuir ou não aquele atributo. Observamos 
também que, o modelo apresentado, o modelo de probabilidade linear tem alguns proble-
mas matemáticos que podem ser contornados através dos métodos do Probit e Logit. 
Passamos então a analisar os modelos de equações simultâneas, quando as variáveis 
são inter-relacionadas e as relações são demonstradas por mais de uma equação. A sugestão 
para esses modelos foi o uso do método dos Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E).
E, então, apresentamos alguns aspectos introdutórios sobre a análise de séries 
temporais, tão importante para fazer previsões e análise de dados no tempo. Como vimos, 
essas análises têm peculiaridades referentes à estacionaridade e ao comportamento dos 
dados no tempo e, por isso, devemos considerar tais singularidades. 
Para finalizar, observamos como executar, na prática, um modelo de regressão 
múltipla no software estatístico gretl. 
115UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
LEITURA COMPLEMENTAR 
Controvérsias sobre o uso da econometria
O uso da econometria pode ser um poderoso aliado na análise do mundo real. No 
entanto, nem todos os economistas acreditam que as equações matemáticas conseguem 
refletir tudo que se passa nas relações humanas entre os agentes econômicos. 
Portanto, assim como na batalha metodológica entre a abstração matemática e a 
análise histórica das relações da economia (batalha conhecida como Methodenstreit der 
Nationalökonomie, travada entre os economistas austríacos e alemães, no final do século 
XIX), a econometria também enfrenta alguns opositores. 
Para esses opositores a economia não pode ser tratada como uma ciência exata 
porque depende de um mundo complexo, com diversas variáveis mudando constantemen-
te e que, assumir que qualquer uma dessas variáveis está constante enquanto a outra é 
alterada, é totalmente irreal. 
Os que defendem o instrumento, acreditam que ela tem que ser utilizada com o 
conhecimento de que se analisa relações baseadas em dados, para dar suporte ao enten-
dimento amplo da economia e, portanto, é extremamente válida no processo. 
Fonte: o autor. 
116UNIDADE IV Usos e Atribuições Práticas
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Econometria Financeira: um Curso em Séries Temporais 
Financeiras
Autor: Pedro Morettin
Editora: Blucher
Sinopse: O livro Econometria Financeira resulta da experiência vi-
venciada pelo autor, em vários anos, de ministrar cursos na área no 
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Seu conteúdo didático e prático é dirigido para alunos de pós-gra-
duação, mestrado e doutorado em áreas como Estatística, Econo-
mia, Finanças e afins. O tema da obra se destaca de forma prática 
e funcional pelo espaço dedicado a análises de séries reais, com 
uso intensivo de pacotes computacionais apropriados, fato que a 
indica como literatura obrigatória para estudantes e profissionais 
do mercado financeiro.
FILME / VÍDEO 
Título: Quants: Os alquimistas de Wall Street
Ano: 2010
Sinopse: A grande maioria das ações do mercado financeiro 
mundial são vendidas e compradas por decisões de programas 
de computador que levam milésimos de segundo. Se nem mes-
mo as maiores autoridades do mundo que já trabalharam com 
os modelos matemáticos para calcular os riscos e o valor de um 
produto financeiro acreditam nesse sistema, porque a sociedade e 
os governos deveriam?
117
REFERÊNCIAS
GUJARATI, Damodar N. Basic Econometrics. New York: The McGraw-Hill Companies, 2004
GUJARATI, Damodar N. PORTER, Dawn C.. Econometria Básica. São Paulo: AMGH Edi-
tora Ltda., 5 ed., 2011
KEYNES, John M. Teoria geral do emprego, do juro e da moeda. São Paulo: Saraiva, 2012
WOOLDRIDGE, Jeffrey M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. São Pau-
lo: Cengage Learning, 2016
118
CONCLUSÃO GERAL
Prezado(a) Aluno(a), 
Nesse material, buscamos trazer os aspectos gerais do estudo e uso da econo-
metria para alunos de economia. Para tanto, transitamos desde os pontos mais básicos 
até modelos mais complexos e avançados, para que, assim, você tenha ferramentas ne-
cessárias para dar embasamento empírico aos seus trabalhos, sejam para o curso, para 
análises no mercado de trabalho ou simplesmente para entender melhor como as relações 
econômicas funcionam. 
Para isso, destacamos inicialmente a introdução dos conceitos econométricos, no 
modelo de regressão linear simples, um modelo pouco complexo que nos permite identificar 
as principais características e absorver a ideia básica do estudo econométrico. Através des-
se modelo, percebemos também que diversas condições, premissas, devem ser atendidas 
para que tenhamos o melhor e mais eficiente estimador para a equação econométrica. 
Aprendemos também a calcular e, ainda mais importante, a interpretar os resulta-
dos do método dos mínimos quadrados ordinários, um método que minimiza o quadrado 
dos erros e nos permite observar qual a melhor linha de regressão para analisar a relação 
entre uma variável explicativa e a variável dependente. 
Após o bom entendimento desses métodos, partimos então para a análise infe-
rencial, onde detectamos que podemos confiar nos estimadores que calculamos e, como 
consequência, nas conclusões que obtivemos. Além disso, a unidade II também permitiu a 
expansão do modelo simples para o múltiplo, ampliando a capacidade de análise e aproxi-
mando-a do contexto real. 
A partir disso, observamos a aplicação real da econometria e os problemas relacio-
nados ao relaxamento das premissas antes expostas, além de identificar como resolver tais 
problemas e como diagnosticar a especificação correta. 
Por fim, na última unidade observamos alguns modelos mais avançados que per-
mitem analisar diferentes tipos de dados e situações, além de demonstrar na prática como 
se utiliza um software econométrico. 
119
A partir de agora você, como pesquisador, analista ou aluno, tem as ferramentas 
necessárias para iniciar testes empíricos sobre as relações econômicas que mais lhe 
interessam. Para isso, eventualmente você terá que voltar à essa apostila, aos livros e 
à pesquisa econométrica, mas agora com melhor entendimento de como essa fantástica 
ferramenta pode ser utilizada. 
Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!do modelo econo-
métrico. A estimação desses parâmetros depende de vários fatores e do modelo utilizado, 
conforme estudaremos. Mas, aplicando um método simples Gujarati e Porter (2011) chega 
nos seguintes valores: 
^
Yt = - 299,5913 + 0,7218Xt (3)
O acento circunflexo no Y indica que se trata de uma estimativa. A função consumo 
estimada (isto é, a linha de regressão) é:
1 Proxy é uma variável econômica escolhida para representar alguma característica esperada. Por 
exemplo, como proxy do crescimento econômico, utiliza-se a variação do PIB, ou do PIB per capita. 
10UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
FIGURA 3: RETA DE REGRESSÃO ESTIMADA
Fonte: Gujarati e Porter (2011).
Perceba como a reta de regressão está muito próxima dos dados estatísticos. Isso 
demonstra que a linha se ajusta bem aos dados. A partir da equação 3, Gujarati e Porter 
(2011, p. 29) interpreta que: “ o coeficiente angular (a PMC) era de quase 0,72, indicando 
que, no período amostrado, um aumento de um dólar na renda real levava, em média2, a 
um aumento de cerca de 72 centavos nas despesas reais de consumo. ”
A etapa subsequente testa as hipóteses do modelo. Para isso, temos de formular 
critérios formais adequados para verificar se as estimativas obtidas estão de acordo com as 
expectativas da teoria que está sendo testada.
Keynes esperava que a PMC fosse positiva, mas menor que um. No exemplo, ela é 
0,72. Porém, antes de aceitar isso (não rejeitar) é preciso perguntar se 0,72 é estatistica-
mente significativo, ou menor que um.
A confirmação ou refutação de teorias econômicas com base em evidências amos-
trais se alicerça em um ramo da teoria estatística conhecida como inferência estatística 
(ou teste de hipótese).
Se o resultado for estatisticamente significativo, é possível utilizá-lo para as etapas VII 
e VIII. A projeção ou previsão é feita ao analisar os valores futuros da variável dependente 
(Y, no nosso exemplo o Consumo) para diferentes níveis da variável explicativa (X, renda).
2 Importante destacar que o resultado se dá em média por que a relação entre as variáveis não é exata. 
11UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Além disso, também é possível analisar Modelos com fins de controle ou de 
política, no qual Gujarati e Porter (2011) explica que, nesse exemplo, o governo pode 
manejar a variável de controle X para gerar o nível desejado da variável meta Y.
O método econométrico por si só já carrega várias informações importantes e a 
noção geral do que é a econometria. No entanto, alguns conceitos são de importante en-
tendimento para avançarmos na demonstração das análises.
SAIBA MAIS
A econometria é a base de grande número de trabalhos científicos nos dias de hoje. Ela 
está presente em inúmeros papers das revistas mais importantes da academia, algumas 
das quais são exclusivas para o desenvolvimento teórico do assunto. 
No entanto, a econometria foi ainda mais central para garantir três prêmios Nobel. O pri-
meiro deles foi para o norueguês Ragnar Frisch e o holandês Jan Tinbergen, em 1969, 
considerados por muitos como os pioneiros da formulação de modelos matemáticos e 
estatísticos na economia. O segundo Nobel para desenvolvimentos nessa área foi para 
Lawrence Robert Klein, que analisou modelos empíricos de flutuação de negócios e 
criou modelos computacionais para prever tendências através da econometria. O último 
destaque é o prêmio cedido ao norueguês Trygve Haavelmo, que criou técnicas para 
prever como a mudança de um aspecto influencia em outros, na economia. 
Fonte: https://www.nobelprize.org/prizes/lists/all-prizes-in-economic-sciences/
1.2 Conceitos e definições importantes
O método econométrico por si só já carrega várias informações importantes e a 
noção geral do que é a econometria. No entanto, alguns conceitos são de importante en-
tendimento para avançarmos na demonstração das análises. Neste subtópico trataremos 
sobre alguns desses conceitos. 
A regressão é uma das ferramentas mais importantes para a análise econométri-
ca e foi, inclusive, utilizada para demonstrar o método no subtópico anterior. A origem do 
termo regressão, segundo Gujarati e Porter (2011), vem de Francis Galton, em 1886, que 
verificou a relação entre a altura dos pais e dos filhos. Galton percebeu que, apesar de 
existir uma tendência de que pais mais altos tivessem filhos mais altos, a estatura média 
das crianças tendiam a mover-se para a altura média da população como um todo, ou 
seja, voltar à mediocridade. 
12UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Mais tarde, Karl Pearson (1903 apud Gujarati e Porter, 2011), coletou mais de mil 
registros das estaturas de membros de diferentes grupos familiares e constatou que a altura 
média dos filhos de um grupo de pais altos era menor do que a de seus pais e que a altura 
média de um grupo de filhos de pais mais baixos era maior do que a de seus pais; portanto, 
filhos de pais altos e baixos “regrediam” igualmente à altura média de todos os homens.
No entanto, Gujarati e Porter (2011) argumenta que a interpretação moderna da 
regressão evoluiu e se diferenciou, para ele: 
A análise de regressão diz respeito ao estudo da dependência de uma variá-
vel, a variável dependente, em relação a uma ou mais variáveis, as variáveis 
explanatórias, visando estimar e/ou prever o valor médio (da população) da 
primeira em termos dos valores conhecidos ou fixados (em amostragens 
repetidas) das segundas.(Gujarati e Porter, 2011, p. 39)
Portanto, a variável dependente é aquela cujo valor depende das variações da 
variável independente (explanatória ou explicativa). Segundo Wooldridge (2016) os termos 
variáveis dependentes e variáveis e independentes são usados com frequência em econo-
mia, mas tem vários nomes diferentes, que são intercambiáveis.3 
Temos também diferentes tipos de dados: Séries temporais, dados em corte trans-
versal (cross-section) e dados em painel. 
Wooldridge (2016) explica que os dados de corte transversal são uma amostra de in-
divíduos, agentes, empresas, cidades, etc, tomada em um ponto do tempo. Por exemplo, para 
2020, temos um para a Argentina, uma renda, uma carga tributária, gastos do governo. Para o 
segundo país, o ID 2, Brasil, também temos as mesmas variáveis, porém também para 2020. 
No caso das séries temporais, Wooldridge (2016) explica que temos observações 
sobre uma ou várias variáveis ao longo do tempo. Portanto, para a Argentina temos renda 
e carga tributária e gastos do governo para o intervalo de tempo de 1980 a 2020. Diferente 
dos cortes transversais, nas séries de tempo, a ordem cronológica traz informações impor-
tantes para a análise. 
Os dados em painel consiste em uma série de tempo (1980 – 2020, por exemplo) 
para cada indivíduo, empresa, etc, para várias variáveis. Portanto, caracteriza-se como 
uma mistura entre os dois tipos acima (cross –section e Séries temporais). 
Portanto, a econometria é uma combinação analítica da teoria econômica, econo-
mia matemática e da estatística econômica e, a partir dela, pode-se fazer inferência sobre 
as relações entre as variáveis dependente e independente. O próximo tópico começa a 
explicar como funciona a análise de regressão com 2 variáveis. 
3 Wooldridge (2016) destaca que os nomes comumente dados à variável dependente são: variável 
explicativa, variável de resposta, variável prevista e regressando. Para a variável independente, do outro lado, 
os nomes são: variável explicativa, de controle, previsora ou regresso. 
13UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
2. ANÁLISE DE REGRESSÃO COM DUAS VARIÁVEIS
A partir dos conceitos estabelecidos no tópico passado podemos começar a obser-
var como é estimado um dos modelos mais simples da econometria, a regressão com duas 
variáveis (ou bivariada). Nesse tipo de regressão é identificada e estimada a relação entre 
somente duas variáveis, sendo elas a variável dependente e uma variável explicativa. 
2.1 A funçãode regressão populacional (FRP)
Gujarati e Porter (2011) explica que a análise de regressão se trata de uma estima-
ção ou previsão do valor médio (para a população) de uma variável dependente com base 
nos valores coletados de uma variável independente. Para exemplificar algumas ideias 
básicas desse tipo de regressão, o autor cria um exemplo hipotético, ainda analisando a lei 
psicológica fundamental keynesiana. 
Assim, divide em dez grupos de renda, 60 famílias (considerando-as à população). 
Assim, a tabela 1 demonstra os dados hipotéticos: 
TABELA 1: DESPESAS FAMILIARES E FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE
Fonte: Adaptado de Gujarati e Porter (2011, p. 60 e 61). 
14UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
A tabela mostra os dados de despesa de consumo semanal das famílias (Y, a variável 
dependente) representada pelas colunas e os dez grupos de renda (X, variável explicativa). 
Analisamos então, como a renda (que varia entre os grupos) determina o consumo. Gujarati 
e Porter (2011) destaca que, apesar da variabilidade de gastos com consumo dentro de cada 
grupo de renda, as despesas com consumo aumentam, em média, com o aumento da renda.
Se somarmos as despesas com consumo de cada faixa de renda das 60 famílias e 
dividirmos pelo total alcançamos:
7.272 = 121,60
 60
Esta é a média incondicional. É incondicional porque não levamos em consideração 
a classe de renda para chegar neste total.
Estamos interessados na média condicional. Para tanto, fazemos as probabilidades 
condicionais de cada consumo a cada nível de renda e multiplicamos pelo valor da despesa 
com consumo e, assim, encontramos a média condicional.
Se unirmos os valores médios condicionais obteremos o que é conhecido como 
linha de regressão populacional (LRP), demonstrada na figura abaixo: 
FIGURA 4: DISTRIBUIÇÃO CONDICIONAL DAS DESPESAS PARA NÍVEIS DE RENDA
Fonte: Gujarati e Porter (2011, p. 60)
15UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
De maneira mais simples, essa relação é “a regressão de Y contra X”. o qualifica-
tivo “populacional” mostra que estamos considerando toda a população de 60 famílias. Na 
realidade, uma população tem muito mais famílias. (Gujarati e Porter, 2011, p. 61)
A figura 5, abaixo, mostra em termos geométricos, que “uma curva de regressão 
populacional é apenas o local geométrico das médias condicionais da variável dependente 
para os valores fixados da variável explanatória.” (Gujarati e Porter, 2011, p. 61) Ou seja, 
é a curva que faz a conexão das médias da população de Y para cada valor da variável 
explicativa X. 
FIGURA 5: LINHA DE REGRESSÃO POPULACIONAL
Fonte: Gujarati e Porter (2011, p. 61).
Perceba como, para cada diferente faixa de renda (X), há uma população de valores 
de correspondentes às despesas de consumo (Y) que estão distribuídas em torno da média 
condicional dos vários valores de Y. (Gujarati e Porter, 2011). Ou seja, dadas as condições 
de distribuição normal que veremos mais à frente, temos uma esperança (ou expectativa) 
de Y dada as observações de X, ou ainda, de consumo dada a renda, que forma uma 
relação positivamente inclinada entre as variáveis. 
Portanto, a média condicional E (Y|X) é uma função de Xi , em que o i subscrito 
denota cada observação de X, ou seja: 
E (Xi ) = f (Xi ) (4) 
Se identificarmos que a função é linear, podemos transformar essa equação em: 
 E (Xi ) = β1 + β2 Xi (5)
16UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Assim, temos uma função de regressão populacional (FRP) linear4 onde β1 e β2 
são parâmetros que não conhecemos, mas são fixos. Chamamos o β1 de intercepto, que 
representa qual o valor da variável dependente (Y), quando a variável explicativa (X) é igual 
a zero. Para entender melhor esse conceito imagine novamente a função de consumo. 
Examinamos quanto é o nosso consumo para cada nível de renda, ou seja, quanto é Y 
para cada diferente X. Mas e se a minha renda for igual a zero, não consumirei nada? Para 
nossa subsistência, temos que consumir ao menos o que nos satisfaz fisicamente. Assim, 
mesmo quando X=0, Y > 0. Essa quantia é representada pelo β1 . O β2 por outro lado, 
é o coeficiente angular, nos mostra quanto Y varia se X variar uma unidade, definindo a 
inclinação da reta de regressão. 
Lembre-se, no entanto, que para considerarmos um modelo econométrico devemos 
considerar o distúrbio de erro, ou seja, apesar de entender pelo exemplo que o consumo 
aumenta com o aumento da renda, isso não é observado para todas as famílias. Assim, 
Gujarati e Porter (2011) mostra que: dada uma renda Xi , o consumo de uma das famílias 
da população se encontra ao redor do consumo médio dessa população, em torno de sua 
expectativa condicional. 
Assim, podemos expressar o desvio de Yi em relação ao seu valor esperado como sendo: 
ui = Yi - E(Xi ) (6)
Ou
Yi = E(Xi ) + ui (7)
em que ui é o distúrbio estocástico ou termo de erro estocástico, uma variável 
aleatória não observável que pode assumir valores negativos ou positivos.
Dada a equação se tomarmos o valor esperado nos dois lados, obteremos:
E(Xi ) = E[E(Xi )] + E(ui ) (8)
Observe que E(Xi ) é uma constante, uma vez que o valor de Xi é fixo. Além disso, 
é o mesmo que E(Xi ). Então:
E(ui ) = 0 (9)
Assim, segundo Gujarati e Porter (2011), ao supor que a reta de regressão passa pelas 
médias condicionais de Y temos que os valores médios condicionais de ui sejam iguais a zero.
4 A função de regressão pode não ser linear. Dependendo do modelo e de sua estimação podemos ter 
linearidade ou não nos parâmetros ou nas variáveis. Assim, podemos ter funções quadráticas, exponenciais, 
cúbicas, etc.
17UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
2.2 A função de regressão Amostral
Até agora analisamos as estimativas de dados que consideramos da população. 
No entanto, na maioria dos casos, os econometristas não têm acesso a todos os dados 
existentes daquele grupo área. Assim, usualmente trabalha-se com dados amostrais, uma 
pequena parcela da população. Esse tópico apresenta, portanto, estimar a função de re-
gressão embasada em informações amostrais.
No uso de dados amostrais, utilizados quando a população é desconhecida, temos 
dados amostrais selecionados aleatoriamente de valores de Y para os valores de X fixos. 
No caso das amostras, não podemos estimar exatamente a FRP devido às va-
riações amostrais. Cada amostra é diferente de outra em uma mesma população. Assim, 
Gujarati e Porter (2011) demonstra que, para a amostra, a função de regressão pode ser 
descrita por: 
^ ^ ^ 
 Yi = β1 + β2 Xi (10)
Em que:
^Y estimador de E(Xi );
^β1 estimador de β1; e,
^β2 estimador de β2 .
 
Assim, podemos estimar a função de regressão amostral (FRA) na forma estocástica:
 
Yi = β1 + β2 Xi +ui (11) 
Gujarati e Porter (2011) explica ainda que podemos encontrar um método que 
tenha a maior aproximação possível entre a FRA e a FRP. Essa tentativa e o método serão 
explorados na próxima seção. 
18UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
3. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS (MQO)
O método dos mínimos quadrados ordinários é, segundo Gujarati e Porter (2011), 
o método mais utilizado para análise de regressão e na tentativa de estimar a função de re-
gressão populacional (FRP) com base na função de regressão amostral (FRA) da maneira 
mais acurada possível.
Este método é atribuído a Carl Friedrich Gauss, um matemático alemão. Sob certas 
premissas, o método consiste da seguinte forma. Temos a FRP para duas variáveis:
Yi = β1 + β2 Xi + ui
Contudo, a FRP não pode ser observada diretamente. Temos que a estimar a partir da FRA:
Mas como estimamos a própria FRA? Primeiro expressamos:
19UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Segundo Gujarati e Porter (2011), o que objetivamos determinar a é uma FRA de tal 
forma que fique o mais próximo possívelde Yi (Y observado). Isso quer dizer que buscamos 
minimizar os erros. Para atingir esse objetivo, podemos adotar o seguinte critério: escolhe-
mos a FRA de tal forma que a soma dos resíduos ( ∑ ui=∑ (Yi-Yi ) seja a menor possível.
FIGURA 6: CRITÉRIO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
Se adotarmos o critério de minimizar a soma dos resíduos, como vemos na Figura acima, 
os resíduos û2 e û3 , bem como os resíduos û1 e û4 tem o mesmo peso na soma, mesmo que 
û2 e û3 estejam muito mais próximos da FRA. Ou seja, todos os resíduos recebem a mesma 
importância em relação à FRA, independente se estão mais próximos ou mais distantes. Uma 
consequência disso é que é bem possível que a soma algébrica dos seja pequena (ou até zero).
Para evitar esse problema Gujarati e Porter (2011) sugere a adoção do critério dos 
mínimos quadrados, segundo o qual a FRA pode ser fixada de tal modo que:
∑ ûi
2 = ∑ (Yi - Yi )
2 = ∑ (Yi - β̂1 - β̂2 Xi )
2
Seja o menor possível e que ûi
2 represente os resíduos ao quadrado. 
A intuição deste critério se inclina no fato de que, ao elevá-los ao quadrado, o 
método dá mais peso aos resíduos maiores (û1 e û4 ) do que para os menores ( û2 e û3 ).
20UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
3.1 Estimadores dos métodos dos mínimos quadrados ordinários. 
A subseção anterior demonstrou porque o método dos mínimos quadrados permite 
a melhor escolha da FRA. Demonstraremos agora como encontrar os parâmetros do mo-
delo MQO. 
Segundo Gujarati e Porter (2011), a função de regressão amostral é dada por:
Yi = β̂1 + β̂2 Xi + ûi
A equação da reta (médias incondicionais) é dada por:
Y = β̂1 + β̂2 X + 0
Subtraindo a primeira equação da segunda, alcançamos:
Yi- Y = β̂1 - β̂1+ β̂2 Xi - β̂2 X + ûi-0
Quando subtraímos do valor observado de determinada variável a sua média in-
condicional obtemos os valores centrados na média (que pode ser visto como um processo 
de padronização). Assim, a variável resultante se torna:
Yi - Y = yi
Xi - X = xi
Assim, teremos que:
Yi- Y = β̂1 - β̂1+ β̂2 Xi - β̂2 X + ûi-0
yi = β̂2 xi + ûi
ûi = yi - β̂2 xi 
Como vimos, para ponderarmos de maneira eficiente a soma dos resíduos (∑ ûi) 
utilizamos os resíduos elevados ao quadrado. Então:
Distribuindo o somatório, teremos:
Para minimizar a soma do quadrado do resíduo, fazemos a derivada parcial em 
relação a β̂2 e igualamos a zero (ponto de mínimo – inclinação da reta tangente (derivada) 
igualada a zero (inclinação zero – reta horizontal):
21UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Isolando o β̂2 encontramos o estimador pelo método dos mínimos quadrados ordi-
nários de β̂2 . Então:
 
(12) 
Para encontrar o estimador de utilizamos a equação da reta:
 (13)
Ou seja, o método dos MQO nos fornece estimadores únicos de β̂1 e β̂2 que são 
responsáveis pelo menor valor possível de .
Até aqui desenvolvemos o método dos mínimos quadrados ordinários para permitir 
um melhor entendimento do método. No entanto, não há necessidade de saber todo o 
desenvolvimento algébrico do método. As equações (12) e (13) são as mais importantes 
nesse sentido. Elas permitirão, a partir dos dados disponibilizados pelo exercício ou cole-
tados pelo pesquisador, o cálculo de intercepto estimado (β̂1) e do coeficiente angular (β̂2), 
as duas informações mais importantes para a reta de regressão. 
3.2 Exemplo numérico dos estimadores
Para entender melhor como fazer a mecânica do cálculo dos estimadores, vamos 
analisar um exemplo numérico apresentado por Gujarati e Porter (2011). 
A partir da lei psicológica fundamental de Keynes (a qual dizia que os homens 
estão dispostos em regra e na média, a aumentar seu consumo à medida que sua renda 
aumenta, mas não tanto o aumento de renda), foi obtida a amostra abaixo: 
TABELA 3: EXEMPLO HIPOTÉTICO
Y X
70 80
65 100
90 120
95 140
110 160
115 180
120 200
140 220
155 240
150 260
onde Y é o consumo e X é a renda. 
22UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
Embora Keynes não tenha especificado a forma funcional exata da relação entre 
consumo e renda, para simplificar, imaginaremos que é linear. Então, dada a amostra, 
iremos alcançar a FRA:
Vamos, então, alcançar as estimativas que acabamos de aprender: 
TABELA 4: CÁLCULOS PARA APLICAÇÃO NAS EQUAÇÕES (EXEMPLO) 
Nº de 
Obs.
Yi Xi Yi -Y = yi
Xi-X =xi xi
2 xi yi 
1 70 80 -41 -90 8.100 3.690 65,1818 4,8181 23,214
2 65 100 -46 -70 4.900 3.220 75,3636 -10,3636 107,404
3 90 120 -21 50 2.500 1.050 85,5454 4,4545 19,843
4 95 140 -16 -30 900 480 95,7272 -0,7272 0,529
5 110 160 -1 -10 100 10 105,9090 4,0909 16,735
6 115 180 4 10 100 40 116,0909 -1,0909 1,190
7 120 200 9 30 900 270 25,2727 -6,2727 39,347
8 140 220 29 50 2.500 1.450 136,4545 3,5454 12,570
9 155 240 44 70 4.900 3.080 145,6363 8,3636 69,950
10 150 260 39 90 8.100 3.510 156,8181 -6,8181 46,486
Soma 1.110 1.700 0 0 33.000 16.800 1.110 0 337,268
Média 111 170 - - - - - -
Fonte: elaboração própria
As primeiras 3 colunas se referem aos dados coletados, Consumo (Y) e Renda (X). 
Para aplicar a fórmula das equações (12) e (13), necessitamos calcular as outras colunas. 
A terceira coluna se refere à yi , que é a distância entre cada observação de Y e a média de 
Y. Assim, calcula-se primeiramente a média de Y (111) e subtrai-se cada observação de Y 
por essa média. A primeira linha, por exemplo, é dada por:
Yi - Y = yi
70 – 111 = - 41
O mesmo ocorre com a quarta coluna, mas agora para a variável X. 
Após calcular em cada coluna os componentes da equação (12) e (13), para cada 
observação, podemos aplicá-los na fórmula: 
23UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
A figura 7 demonstra os resultados estimados em um gráfico: 
FIGURA 7: LINHA DE REGRESSÃO BASEADO NO EXEMPLO DO CONSUMO KEYNESIANO
Fonte: Gujarati (2004)
Como podemos interpretar a FRA? Uma vez que a variável endógena são as des-
pesas com o consumo e a exógena a renda (considere que a unidade de medida seja reais 
brasileiros), temos que: Sendo o β̂1 o intercepto, ou seja, o valor de Y quando X é igual a zero, 
observamos que quando a renda é zero, o consumidor ainda consome em média R$ 24,45.
Temos também que, sendo o β̂2 o coeficiente angular (define a inclinação e mostra 
quanto Y varia quando X varia em uma unidade), observamos que quando a renda varia em 
1 real, o consumidor altera sua renda em R$ 0,5091.
3.3 Premissas subjacentes ao método dos MQO
Até agora examinamos como o MQO pode minimizar os erros e estimar os parâ-
metros. Se nosso objetivo fosse somente o da estimação, isso seria suficiente. No entanto, 
para entender se a estimação pode ser considerada estatisticamente significativa, temos 
que fazer inferências estatísticas e, para isso, os estimadores precisam atender algumas 
hipóteses. Gujarati e Porter (2011) apresenta as premissas do modelo como seguem:5
1. Modelo de regressão linear: o modelo é linear nos parâmetros, mas pode não 
ser linear nas variáveis
5 Por terem caráter teórico as premissas são só apresentadas nesse momento. Voltaremos a falar 
mais sobre elas quando as mesmas forem relaxadas, nas unidades posteriores. Se desejar entender melhor 
a construção dessas premissas, ler Gujarati e Porter (2011, cap. 3).
24UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
2. Os valores de X são fixos ou independentes do termo de erro.
3. Valor médio do termo de erro ui é zero:
4. Homocedasticidade ou variância constante de ui: A variância do termo de erro 
não se altera, independentemente do valor de X.
5. Não há autocorrelação entre os termos de erro.
6. O número de observações n deve ser maior que o número de parâmetros a 
serem estimados
7. Os valores de X precisam ter variabilidade
Através dessas premissas, Gujarati e Porter (2011) explica que o método do MQO 
proporciona estimadores que tem diversas propriedades estatísticas desejáveis, tais como: 
i) Os estimadores são lineares, o que facilita o entendimento da regressão;
ii) São não-viesados,ou seja, se repetirmos o método diversas vezes, na média, 
os estimadores tem valores iguais ao valores reais;
iii) os estimadores são eficientes. 
Isso faz com que os estimadores sejam o “Best linear unbiased estimator”, extensa-
mente conhecido como BLUE, ou, na tradução mais comum, “melhor estimador linear não-
-viesado”, o MELNT. Essas condições ótimas estão contidas no teorema de Gauss-Markov 
(Gujarati e Porter, 2011, p. 93).
3.4 Coeficiente de Determinação r2: a medida de qualidade do ajustamento
O coeficiente de determinação (r2) nos ajuda a mostrar se a reta de regressão é 
adequada aos dados coletados e observados. Quando tratamos de uma regressão para 
duas variáveis, como a que consideramos até aqui, usaremos a nomenclatura r2. No entan-
to, quando passarmos a tratar sobre regressões múltiplas, usaremos R2.
Gujarati e Porter (2011) simplifica a demonstração do coeficiente através da utiliza-
ção de diagramas de Venn:
FIGURA 8: DIAGRAMA DE VENN
Fonte: Gujarati e Porter (2011).
Nas figuras, o círculo Y representa a variação da variável dependente Y e o círculo X , a 
variável independente X. A área sombreada indica a medida em que a variação de Y é explicada 
25UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
pela variação de X (no caso, pela estimação dos MQO). Na figura 8(a) as variação de X em nada 
explicam as variações de Y. Nas figuras subsequentes, esse poder de explicação aumenta. 
Com o r 2 podemos descrever então, quanto às variações da variável dependente X, 
explicam a variável da variável dependente Y. Ou de outra forma, o r 2 mede a proporção ou 
percentual da variação total de Y explicada pelo modelo de regressão”. (Gujarati e Porter, 
2011, p. 97). 
Gujarati e Porter (2011) explica que o coeficiente de determinação pode ser encon-
trado por: 
 
(13) 
Utilizaremos esse coeficiente tanto para regressão quanto para a regressão 
múltipla. No entanto, antes, analisaremos a construção dos intervalos de confiança para 
inferência estatística. 
26UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
4. INTERVALO DE CONFIANÇA
Na estatística6, a confiabilidade de um estimador pontual é medida por seu erro-pa-
drão. Assim, ao invés de nos embasar apenas na estatística pontual, podemos construir um 
intervalo em torno do estimador pontual, de tal modo que esse intervalo tenha, digamos, 
95% de probabilidade de incluir o verdadeiro valor do parâmetro. Assim, podemos fazer 
inferências sobre a significância estatística da análise realizada. 
Essas inferências são feitas dentro de um intervalo de confiança, que é um intervalo 
estimado de um parâmetro populacional não conhecido. 
Para estimar esse intervalo, suponha primeiramente que queremos verificar o 
quanto β̂2 “está perto” de β2 . Para isto tentamos encontrar dois números positivos δ e α, 
sendo este último situado entre 0 e 1, tais que a probabilidade de que o intervalo aleatório 
( β̂2+δ, β̂2 -δ ) contenha o verdadeiro valor de β2 seja 1- α. (Gujarati e Porter, 2011)
temos então,
 Pr Pr (β̂2 - δ ≤ β2 ≤ β̂2 + δ) = 1 - α (14)
Tal intervalo é conhecido como intervalo de confiança:
1 - α : Coeficiente de confiança;
(α – (0esses aspectos mais básicos (e também 
mais teóricos) sobre o método econométrico e seu modelo mais simples, mas extremamen-
te poderoso, o Método dos Mínimos Quadrados ordinários. 
Pelo capítulo 3, concluímos que, se respeitadas algumas premissas e condições, o 
método do MQO pode nos apresentar como se dá a relação entre duas variáveis e assim, 
permitir análises dessas relações. 
Para dar suporte estatístico a essas análises e maior confiança aos resultados, 
precisamos ainda fazer inferências sobre as saídas dos modelos econométricos. O primeiro 
passo para tal foi dado no tópico 4, na construção do intervalo de confiança. A partir de 
então, nas próximas unidades, faremos testes de hipóteses e avançaremos para modelos 
mais complexos. 
31UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
LEITURA COMPLEMENTAR 
Em todas as Copas do Mundo aparecem maneiras novas e divertidas de tentar 
prever os resultados dos jogos e do torneio em si. Desde o gato Aquiles da Rússia, ou o 
Marcus “Místico”, porco que ficou famoso na Inglaterra, ou até mesmo o mais famoso de 
todos, o Polvo Paul, todos entendiam que essas previsões eram aleatórias e acertar era 
uma questão meramente estatística. 
No entanto, já há algum tempo, os maiores e mais conhecidos bancos de investimen-
to do mundo também tentam estimar o resultado das disputas entre as seleções nacionais. 
Entre suas exaustivas pesquisas de mercado e desenvolvimento de teses de investimento, 
os analistas de instituições como Goldman Sachs, UBS, ING e Macquarie Bank, reservam 
um tempo para montar e “rodar” modelos de previsão baseados em Econometria, Ciência 
de Dados e Machine Learning. 
O Banco Goldman Sachs, por exemplo, através de horas de organização de dados, 
mais de 200 mil árvores de probabilidade e 1 milhão de simulações, conclui (antes do 
torneio) que a final seria realizada pelas seleções do Brasil e da Alemanha e que a seleção 
canarinho seria campeã da Copa do Mundo de 2018. Segundo o jornal The Guardian (2014), 
os analistas do banco ainda garantiram o resultado dizendo que “para os que duvidam, 
este resultado final foi verificado em detalhes excruciantes pelo nosso economista-chefe 
(alemão) Jan Hatzius!” (THE GUARDIAN, 2014, tradução livre)
Aposto que a maioria dos brasileiros torceu muito para que as estimativas do banco es-
tivessem certas, inclusive para lavar a alma daqueles que viram o resultado do jogo entre essas 
duas seleções em 2014. No entanto, como sabemos, o Brasil foi desclassificado nas quartas de 
final e a Alemanha surpreendeu a todos quando foi desclassificada na fase de grupos. 
Você pode imaginar que o insucesso dessa previsão pode ser um argumento con-
trário à econometria. No entanto, é óbvio que a previsão de algo com tantas variáveis, tão 
subjetivo e qualitativo, quanto o desempenho de tantos jogadores e times, seria algo muito 
difícil de ter assertividade. 
No entanto, a capacidade de se analisar tantos cenários, realizar tantas simulações 
e previsões de maneira computadorizada, em tão pouco tempo, nos mostra como esses 
métodos estatísticos avançaram e são levados a sério. Não é por coincidência que aqueles 
que fizeram todas essas previsões utilizam os mesmos métodos para tentar fazer estimati-
vas dos resultados de investimentos para trilhões de dólares alocados de diversos fundos 
de investimentos e gestoras de recursos. 
32UNIDADE I Introdução ao Estudo da Econometria
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Estatística: O que é, para que serve, como funciona
Autor: Charles Wheelan
Editora: Zahar 
Sinopse: Um livro que nos faz entender os números por trás dos 
fatos e apreciar a força extraordinária dos dados em diversos as-
pectos do cotidiano A estatística é uma ciência que está em toda 
parte, muito embora seja considerada desinteressante e inacessí-
vel por envolver números e dados muitas vezes complexos. Útil, 
quando usada de forma correta, mas potencialmente desastrosa 
em mãos erradas, sua aplicação no mundo real é cada vez mais 
requisitada - seja em relatórios médicos, no resultado de cam-
peonatos esportivos ou em pesquisas eleitorais. O consagrado 
economista Charles Wheelan mostra que com os dados certos e 
as ferramentas estatísticas adequadas podemos responder mui-
tas perguntas, tais como: Quais substâncias ou comportamentos 
causam câncer? O que está provocando o aumento da incidência 
de autismo? Como a Netflix sabe quais filmes você gosta? Sem 
usar muita matemática, equações e gráficos, esse livro nos ajuda 
a compreender conceitos estatísticos importantes para a vida coti-
diana, como: inferência, correlação, análise de dados etc. Ao falar 
das ideias mais importantes da disciplina sem entrar em detalhes 
técnicos, o autor torna a estatística palatável não só para aqueles 
que a estudam em salas de aula, mas para qualquer um que de-
seje compreender melhor os desafios do mundo em que vivemos.
FILME/VÍDEO
Título: O Homem que Mudou o Jogo
Ano: 2011
Sinopse: Billy Beane, gerente geral do Oakland A’s, um dia tem 
uma epifania: a sabedoria convencional do beisebol está totalmente 
errada. Diante de um orçamento apertado, Beane tenta reinventar 
seu time superando os clubes de bola mais ricos. Unindo forças 
com Peter Brand, graduado da Ivy League, Beane se prepara para 
desafiar as tradições da velha escola. Ele recruta jogadores de 
barganha que os olheiros rotularam como falhos, mas que têm 
potencial para vencer o jogo.
33
Plano de Estudo:
● Conceitos Gerais;
● Teste de Hipóteses;
● Formas Funcionais alternativas;
● Análise de Regressão Múltipla;
● Modelos com variáveis binárias.
Objetivos da Aprendizagem:
● Aprender como fazer a inferência dos parâmetros dos modelos;
● Conhecer o Modelo de regressão múltipla;
● Conhecer alguns modelos com variáveis binárias.
UNIDADE II
Modelos
Professor Dr. Vinicius Borba da Costa
34UNIDADE II Modelos
INTRODUÇÃO
As relações encontradas na vida econômica, ou mesmo na natureza, nos mostram 
que vários fatores são importantes para explicar o acontecimento. Quando iniciamos os 
estudos em econometria, todas as premissas, regras, cálculos e derivações, fazem parecer 
que ela foge da realidade. 
No entanto, nessa unidade, começaremos a aprender modelos um pouco mais 
realistas e que são capazes de identificar essa relação da variável dependente com mais 
de uma variável explicativa.
Para isso, inicialmente será apresentado um complemento ao final da unidade I. Lá, 
analisamos como montar os intervalos de confiança para fazer inferências. Nesta unidade 
II, faremos esses testes que nos permitirão dizer se os modelos são estatisticamente signi-
ficativos. Além disso, o tópico dois apresenta como esses testes podem ser interpretados 
de maneira rápida e exata, através dos resultados dos cálculos computadorizados. 
Além disso, a unidade ainda mostra uma forma funcional alternativa para o modelo 
de regressão e, então, apresenta o modelo de regressão múltipla, que permite aumentar o 
número de variáveis explicativas. A unidade termina apresentando os aspectos básicos da 
análise de variáveis binárias. 
35UNIDADE II Modelos
1. CONCEITOS GERAIS
A econometria é uma ferramenta para análises econômicas e estatísticas que 
permitem fazer projeções, estimativas, análises e inferências sobre as variáveis do nosso 
dia-a-dia. Como já observado na unidade anterior, a noção principal da econometria é dada 
na análise mais simples, aquela que relaciona duas diferentes variáveis, a dependente e a 
explicativa (ou independente). 
Essa ferramenta pode ser utilizada em diversas aplicações. Podemos estudar a 
relação entre as variáveis, identificando o intercepto e o coeficiente de inclinação, como 
fizemos na unidade anterior. Além disso, podemos ainda fazer previsões sobre variáveis 
econômicas, como o PIB, a taxa de câmbio, o desemprego, a inflação, a taxa de juros e 
assim por diante. Podemos ainda avaliar as políticas econômicas, não só na sua efetividade 
em alcançar o objetivo propostocomo as consequências em outras áreas econômicas. 
Para se beneficiar dessas diferentes aplicações, devemos entender como essas 
relações são observadas na economia. A partir dessas observações podemos montar os 
modelos econômicos e econométricos. Os modelos econômicos mostram a relação obser-
vada e apresentam a hipótese que será testada. Os modelos econométricos utilizam da 
estatística para adequar os modelos econômicos à realidade, inserindo o termo de erro, 
que inclui tudo aquilo que não é observado no modelo econômico. 
A partir das características que queremos observar, dos dados que temos disponível 
e do objetivo de nossos estudos, podemos então adequar diferentes modelos e métodos 
econométricos. 
36UNIDADE II Modelos
Na primeira unidade observamos os modelos de duas variáveis através do método 
dos mínimos quadrados ordinários. Esse modelo possui algumas extensões, ou diferentes 
formas funcionais, que permitem com que as variáveis sejam observadas em outra forma. 
O modelo log-linear, por exemplo, permite entendermos como funciona a relação entre a 
variação das variáveis, permite a análise de espasticidades. 
Além disso, podemos utilizar os modelos para analisar mais de duas variáveis, 
como no modelo de regressão múltipla, por exemplo. Temos ainda modelos de variáveis 
binárias, que permitem a análise qualitativa de algumas relações, o que não seria possível 
em outro modelo.
A partir dessa unidade, partiremos para análises mais práticas dos resultados des-
ses modelos. Apesar de ainda mostrar as fórmulas e desenvolvimentos da teoria, através 
das saídas (output) dos softwares econométricos, poderemos observar o resultado mais 
facilmente e partir para o que é mais essencial, sua interpretação. 
A figura abaixo mostra um resultado de um modelo de regressão múltipla “rodado” 
no software Gretl1, voltaremos à essas saídas quando tratarmos do modelo, mas perceba 
onde os principais resultados se encontram:
FIGURA 1: EXEMPLO DE SAÍDA DE SOFTWARE ESTATÍSTICA
Fonte: saída do Gretl (destaques do autor).
Os destaques são para demonstrar os principais resultados que abordaremos nesta 
unidade. O destaque em preto demonstra o resultado para os coeficientes calculados de 
cada variável explicativa. O primeiro deles se refere à constante, ou intercepto. A partir de 
então, demonstra-se o resultado para cada variável explicativa. 
1 A seção “Leitura Complementar” fala um pouco sobre os softwares econométricos mais utilizados. 
37UNIDADE II Modelos
O destaque em verde mostra o resultado do teste t, o qual utilizaremos na próxima 
seção para fazer inferências estatísticas. Os destaques em laranja mostram o R2 e o R2 
ajustados. Lembre-se que o coeficiente de determinação mostra como as variáveis expli-
cam umas às outras. Voltaremos à ela no modelo de regressão múltipla. 
Em suma, os modelos econométricos se adequam ao objetivo da metodologia cien-
tífica empírica e nos permite uma gama de análises. O próximo tópico, no entanto, utiliza 
alguns conceitos da unidade anterior sobre intervalo de confiança para, primeiramente, 
mostrar como é feita a inferência dos resultados obtidos. 
38UNIDADE II Modelos
2. TESTES DE HIPÓTESES
Os testes de hipóteses são fundamentais para a inferência estatística. As hipóteses 
estatísticas são afirmativas a respeito de um parâmetro de uma distribuição de probabilidade. 
Por exemplo, se observamos a produção de uma máquina industrial podemos formular a 
hipótese de que a máquina fábrica 5 peças por hora. Formalmente, isso pode ser escrito por: 
A primeira. H0, é a hipótese nula que geralmente é uma igualdade, ou seja, su-
põe-se que determinado parâmetro seja igual a um número. Nesse caso, a hipótese nula 
é a de que a máquina fabrica em média 2,5 peças por hora. A segunda, H1 é a hipótese 
alternativa (também representada por HA), que contradiz a hipótese nula, e portanto, é uma 
desigualdade (diferente, maior ou menor).
Na aplicação econométrica frequentemente testaremos os parâmetros, por exemplo, 
β1 ou βn . A teoria do teste de hipóteses cuida da formulação de regras ou procedimentos a 
serem adotados para decidir se a hipótese nula deve ser aceita (não rejeitada) ou rejeitada. 
Há duas abordagens mutuamente complementares para a elaboração dessas regras: o 
intervalo de confiança e o teste de significância.
39UNIDADE II Modelos
2.1 A Abordagem Intervalo de Confiança
A abordagem do intervalo de confiança utiliza as noções que observamos no final 
da unidade anterior. Se usarmos novamente o exemplo da lei psicológica fundamental 
keynesiana – o modelo no qual relacionamos os gastos com consumo e a renda de um 
indivíduo que conclui que se a renda aumenta, o consumo aumenta em uma proporção 
menor – temos que a propensão marginal a consumir (PMC) era de 0,5091. 
Gujarati e Porter (2011) supõem os seguintes postulados. 
H0: β2 = 0,3
H1: β2 ≠ 0,3
Ou seja, apresenta a hipótese nula de que a PMC verdadeira seja de 0,3. Sendo 
assim, a hipótese que contradiz a hipótese nula, ou seja, a hipótese alternativa diz que a PMC 
é diferente de 0,3. Podendo assim ser maior ou menor do que o valor da hipótese nula. 
A hipótese nula é uma hipótese simples e a alternativa é composta, o que é conhe-
cido como uma hipótese bilateral2. 
Nesse sentido, devemos identificar se o β̂2 , o parâmetro estimado, é compatível 
com a hipótese nula. Para testá-lo voltaremos ao intervalo de confiança já calculado.
Sabemos que Pr Pr (0,4268 ≤ β2 ≤ 0,5914) =0,95, ou seja, no longo prazo, interva-
los como [0,4268;0,5914] conterão, com 95% de probabilidade, o verdadeiro valor de β2 . 
Consequentemente, esses intervalos nos propiciam faixas ou limites dentro dos quais o 
verdadeiro valor de β2 pode estar com um coeficiente de confiança de 95%. O intervalo de 
confiança nos fornece um conjunto de H0 plausíveis. A regra de decisão, portanto, é a que 
se parâmetro que estamos testando sob a hipótese nula cai no intervalo de confiança de 
100(1 - α)% não rejeitamos H0 ; se, por outro lado, ele estiver fora deste intervalo podemos 
rejeitá-la (Gujarati e Porter, 2011).
A regra de decisão pode ser ilustrada pela figura a seguir: 
2 Se a hipótese nula ou alternativa fosse representada por maior (>) ou menor (temos que, ao reorganizar a equação acima temos que:
O IC de 100(1 - α)% é conhecido como região de aceitação da hipótese nula e as 
regiões fora do IC são chamadas de região de rejeição de H0 ou região crítica. Comparando 
as abordagens de IC e de teste de significância para o teste hipóteses, temos que:
No procedimento do intervalo de confiança tentamos estabelecer uma faixa 
ou intervalo com certa probabilidade de incluir o valor verdadeiro, mas desco-
nhecido, de β2 , enquanto, na abordagem do teste de significância, supusemos 
o valor de β2 e tentamos ver se o β̂2 calculado está dentro de limites razoáveis 
(confiáveis) em torno desse valor hipotético. (Gujarati e Porter, 2011, p. 136).
Aplicando para o exemplo que utilizamos anteriormente, temos que:
 (Definido a partir da tabela t, para 8 gl e 2,5%, por ser bicaudal) 
Assim:
A figura 3 mostra as regiões de aceitação do teste t:
3 A tabela t refere-se a tabela de distribuição de t de student, uma distribuição de probabilidade similar 
à distribuição normal. Para entender melhor a leitura dessa tabela observe o apêndice de revisão estatística 
de Gujarati e Porter(2011). Para efeitos práticos, no entanto, quando observarmos as saídas dos modelos nos 
softwares, teremos o p-valor como ferramenta para inferências mais práticas. 
42UNIDADE II Modelos
FIGURA 3: REGIÃO DE ACEITAÇÃO DO TESTE t PARA O EXEMPLO
Fonte: Elaboração própria. 
A conclusão é de que, como o parâmetro estimado, β̂2 , está fora da região de 
aceitação (está na região crítica), podemos rejeitar a hipótese nula de que o verdadeiro 
valor de o β̂2 é 0,3 com 95% de confiança. 
No entanto, na prática não precisamos estimar explicitamente o intervalo de con-
fiança. Gujarati e Porter (2011) explica que podemos calcular o valor t no meio de dupla 
desigualdade e ver se ele se situa entre os valores críticos de t ou fora deles. 
Para isso aplicamos a fórmula:
Perceba então o β̂2 é o coeficiente que conseguimos pelo MQO, β2 é a hipótese nula 
que estamos testando e ep é o erro padrão que calculamos na unidade anterior. Então:
Como já observado anteriormente, os t tabelados são definidos pela tabela t de 
student, para 8 graus de liberdade e 2,5% de probabilidade, assim temos que o t crítico são 
-2,306 e +2,306, montamos a distribuição com região de aceitação como segue na figura 4: 
43UNIDADE II Modelos
FIGURA 4: REGIÕES DE ACEITAÇÃO TESTE t:
Fonte: elaboração própria a partir de Gujarati e Porter (2011)
 
Como temos que tcalculado = 5,86, que está na região crítica, rejeitamos H0 com 95% 
de confiança. Desse maneira, podemos rejeitar a hipótese nula de que o verdadeiro valor 
de o β̂2 é 0,3 com 95% de confiança. 
Diferente do exemplo que vimos acima, Gujarati e Porter (2011) mostrem que a 
hipótese nula mais testada é se o coeficiente (de intercepto ou angular) é igual a zero. 
Assim, H0: β2 = 0
H1: β2 ≠ 0
Isto é, o coeficiente angular é igual à zero. 
Esta hipótese nula “zero” tem o objetivo de descobrir se Y está relacionada de algu-
ma forma a X, a variável explanatória. Se não conseguirmos rejeitar a hipótese nula, quer 
dizer que o coeficiente é estatisticamente igual a zero e, portanto, não podemos afirmar que 
existe relação entre a variável dependente e a variável explicativa. 
2.3 O nível de significância exato: o valor p
O teste de hipótese tem um problema muito mencionado que, segundo Gujarati e 
Porter (2011) é a arbitrariedade da seleção do α (nível de significância). Esse problema é 
resolvido pelo valor p (valor da probabilidade), que é o menor nível de significância na qual 
a Ho pode ser rejeitada. 
44UNIDADE II Modelos
Se estivermos testando uma hipótese nula de que o verdadeiro valor de β2 é igual à 
zero, queremos que o nível de significância seja o menor possível. Se observarmos na tabela 
t escolheremos entre 1%, 5% ou 10%. No entanto, utilizando os softwares econométricos 
alcançamos que valor p para β̂2 é igual a (0,000000289). Ou seja, é menor que o nível de 
significância de 1%. Assim, a interpretação será: nossas estimativas são estatisticamente 
significativas com mais de 99% de confiança. 
Portanto, de maneira prática, quando observamos as saídas do software, como 
aquela mostrada na figura 1, definimos as seguintes regras de decisão:
● Se p value (valor p) 0,10: não podemos rejeitar a hipótese nula de que o 
parâmetro é igual a 0 com 10% de significância, portanto, nossa variável é não 
é estatisticamente significativa.
Alguns softwares apresentam ainda os asteriscos (*) ao lado do valor p, para facilitar a 
inferência. Três asterisco (***) significa valor p