Lista de exs 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Cálculo II - 2013/2 - Lista 1
Professora Talita Mello
1. Nos problemas abaixo veri�que que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t, y2(t) = et.
(b) ty′ − y = t2; y = 3t+ t2.
(c) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t 12 , y2(t) = t−2 ln t.
(d) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t−2, y2(t) = t−2 ln t.
2. Determine o valor de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
y = ert.
(a) y′ + 2y = 0
(b) y′′ − y = 0
(c) y′′ + y′ − 6y = 0
3. Uma população é modelada pela equação diferencial
dP
dt
= 1, 2P
(
1− P
4200
)
(a) Para quais valores de P a população está aumentando?
(b) Para quais valores de P a população está diminuindo?
(c) Quais são as soluções de equilíbrio?
4. Nos problemas abaixo resolva a equação diferencial dada.
(a) y′ = x
2
y
(b) y′ = x
2
y(1+x3)
(c) y′ + y2senx = 0
(d) y′ = 3x
2−1
3+2y
(e) xy′ = (1− y2) 12
(f)
dy
dx =
x−e−x
y+ey
(g)
dy
dx =
x2
1+y2
5. Resolva o problema de valor inicial
y′ = 2y2 + xy2
y(0) = 1
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.
1
6. Resolva o problema de valor inicial
y′ =
2− ex
3 + 2y
y(0) = 0
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.
7. Ache a solução de
y′ =
2 cos 2x
3 + 2y
que passa pelo ponto (0,−1) e determine seu valor máximo.
8. A representação geométrica da solução geral de uma EDO é uma família in�nita de curvas,
chamadas de curvas integrais. Cada curva integral está associada a uma constante particular
e é o grá�co da solução corresponte àquela constante. Satisfazer uma condição inicial signi�ca
identi�car a curva integral que contém o ponto inicial dado. Para cada EDO abaixo ache a
solução geral. Resolva o PVI encontrando assim uma solução particular e faça um grá�co
das curvas integrais indicando qual o grá�co da solução particular obtida.
(a) y′ = ex−1, y(1) = 0
(b) y′ = sin(2x), y(pi2 ) = 1
(c) y′ = 2x+ 1, y(0) = 0
9. Descreva um método geral para resolver EDO's do tipo y′ = f(x), onde f é uma função
conhecida.
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