EXERCICIOS RESOLVIDOS DE CFVVOC

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CFVVOC – Prof. MACHADO – 2010/1 
 
1. Determine os domínios das seguintes funções: 
 a) f(x; y) = 
1x
1yx
−
++
 e calcule f(2; 1) 
 Condições existenciais: 
 I) No numerador devemos ter: x + y + 1 ≥ 0 
 II) No denominador devemos ter: x – 1 ≠ 0 x ≠ 1 
 
 Logo, D(f) = {(x; y) ε IR2 | x + y + 1 ≥ 0 e x ≠ 1} 
 
 f(2; 1) = 
12
112
−
++
= 
1
4
 = 2 
 Gráfico do domínio de f: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) f(x; y) = x. ln (y2 – x) e calcule f(3; 2) 
 C. E. : y2 – x > 0 x < y2 
 Logo, D(f) = {(x; y) ε IR2 | x < y2} 
 f(3; 2) = 3 . ln (22 – 3) = 3 . ln 1 = 3 . 0 = 0 
 Gráfico do domínio de f: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2. Determine o domínio e a imagem das funções: 
 a) g(x; y) = 22 yx9 −− 
 C.E.: 9 – x2 – y2 ≥ 0 x2 + y2 ≤ 9 
 Logo, D(g) = {(x; y) ε IR2 | x2 + y2 ≤ 9} 
 
 A imagem g é: Im(g) = {z ε IR+ | z =
22 yx9 −− , (x; y) ε D(g)} 
 Como z é raiz quadrada positiva, z ≥ 0, então: 9 – x2 – y2 ≤ 9 22 yx9 −− ≤ 3 
x 
y 
0 
x = y2 
x 
y 
–1 
–1 
1 0 
x = 1 x + y + 1 = 0 
2 
 Assim, a imagem de g é: Im(g) = {z ε IR| 0 ≤ z ≤ 3} = [ 0; 3 ] 
 
 O gráfico do domínio de g é um círculo de centro na origem e raio R = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O gráfico da função g(x; y) = z = 22 yx9 −− , com Im(g) = [0; 3] é a metade 
 superior de uma esfera (hemisfério superior da esfera) de equação: 
 (z)2 = ( 22 yx9 −− )2 z2 = 9 – x2 – y2 x2 + y2 + z2 = 32 
 que tem o centro na origem do sistema e raio R = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) h(x; y) = 
1yx
y.x
22 −+
 
 C.E.: x2 + y2 – 1 ≠ 0 x2 + y2 ≠ 1 
 Logo, D(h) = {(x; y) ε IR2 | x2 + y2 ≠ 1}, que corresponde à região do plano que 
 não contempla a circunferência x2 + y2 = 1, com centro na origem e raio R = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
3 
–3 
–3 
x 
y 
x2 + y2 = 9 
0 
(0; 0; 3) 
(0; 3; 0) 
(3; 0; 0) 
z 
y 
x 
0 
x 
y 
1 0 
1 
–1 
–1 
3 
 c) f(x; y) = 
4yx
x
22 −+
 
 C.E.: x2 + y2 – 4 > 0 x2 + y2 > 4 
 Logo, D(f) = {(x; y) ε IR2 | x2 + y2 > 4}, que corresponde à região exterior da 
 circunferência x2 + y2 = 22, que tem o centro na origem do sistema e raio R = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) f(x; y) = 
22 yx
1
+
 
 C. E.: x2 + y2 ≠ 0 
 Logo, D(f) = {(x; y) ε IR2 | x2 + y2 ≠ 0} = IR2 – {(0; 0)} . Seu gráfico é a região do 
 plano com exceção do ponto (0; 0), ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e) f(x; y) = ln (x2 + y) 
 C.E.: x2 + y > 0 y > – x2 
 Logo, D(f) = {(x; y) ε IR2 | y > – x2}. Sue gráfico é a região: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
2 
2 
–2 
–2 
0 
x 
y 
0 
y = –x2 
x 
y 
0 
• 
4 
3. Represente o gráfico das funções: 
 
 a) z = 1 b) z = x2 
 
 
 
 
 
 
 
 c) z = y2 d) z = x2 + y2 , sendo x ≥ 0 e y ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcule as derivadas parciais de ordem 1 das funções: 
 a) z = 2x + y – 1 b) z = 3x c) z = 3 
 I) 
x
z
∂
∂
= fx = 2 I) fx = 3 I) fx = 0 
 II) 
y
z
∂
∂
= fy = 1 II) fy = 0 II) fy = 0 
 
 d) z = 3x2 + 2y + 4 e) z = 4xy f) z = 3x3 – 4xy + y4 
 I) fx = 6x I) fx = 4y I) fx = 9x
2 – 4y 
 II) fy = 2 II) fy = 4x II) fy = – 4x + 4y
3 
 
 
 g) z = 3x.ey h) z = ex + y + 1 i) z = ln(x + y) 
 I) fx = 3.e
y I) fx = e
x + y + 1 I) fx = 
yx
1
+
 
 II) fy = 3x.e
y II) fy = e
x + y + 1 II) fy = 
yx
1
+
 
 
 j) f(x; y) = (x2 – 1).(y + 2) 
 1º modo: desenvolver a função dada e depois derivar: 
 f(x; y) = x2y + 2x2 – y – 2 
 I) fx = 2xy + 4x e II) fy = x
2 – 1 
 
 2º modo: aplicar a regra do produto para derivar: 
 I) fx = D(u . v) = u’x.v + v’x.u 
 u = x2 – 1 u’x = 2x fx = 2x .(y + 2) + 0 . (x
2 – 1) = 2xy + 4x 
 v = y + 2 v’x = 0 
x 
y 
z 
1 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
5 
 II) fx = D(u . v) = u’y.v + v’y.u 
 u = x2 – 1 u’y = 0 fy = 0 .(y + 2) + 1 . (x
2 – 1) = x2 – 1 
 v = y + 2 v’y = 1 
 
 k) f(x; y) = 
1xy
yx
−
+
 
 I) fx = D 2
xx
v
u.'vv.'u
v
u −
=




 = 
2)1xy(
)yx.(y)1xy.(1
−
+−−
 = 
2
2
)1xy(
yxy1xy
−
−−−
 =
2
2
)1xy(
1y
−
−−
 
 u = x + y u’x = 1 
 v = xy – 1 v’x = y 
 
 II) fy = D 2
yy
v
u.'vv.'u
v
u −
=




 = 
2)1xy(
)yx.(x)1xy.(1
−
+−−
 = 
2
2
)1xy(
xyx1xy
−
−−−
 =
2
2
)1xy(
1x
−
−−
 
 u = x + y u’y = 1 
 v = xy – 1 v’y = x 
 
 
 L) f(x; y) = (xy – 1)2 
 I) fx = D(u
n) = n . un – 1 . u’x = 2.(xy – 1).y = 2y(xy – 1) 
 n = 2 
 u = xy – 1 u’x = y 
 
 II) fy = D(u
n) = n . un – 1 . u’y = 2.(xy – 1).x = 2x(xy – 1) 
 n = 2 
 u = xy – 1 u’y = x 
 
 m) f(x; y) = sen2(x – 3y) Obs.: sen2(x – 3y) = [sen (x – 3y)]2 
 I) fx = D(u
n) = n . un – 1 . u’x 
 n = 2 
 u = sen(x – 3y) u’x = D(sen w) = w’x.cos w = 1.cos(x – 3y) = cos(x – 3y) 
 w = x – 3y w’x = 1 
 fx = 2.sen(x – 3y).cos(x – 3y) 
 
 II) fy = D(u
n) = n . un – 1 . u’y 
 n = 2 
 u = sen(x – 3y) u’y = D(sen w) = w’y.cos w = –3.cos(x – 3y) 
 w = x – 3y w’y = –3 
 fy = 2.sen(x – 3y).(–3).cos(x – 3y) = – 6.sen(x – 3y).cos(x – 3y) 
 
 n) f(x; y) = exy . ln y 
 I) fx = D(u . v) = u’x.v + v’x.u 
 u = exy u’x = D(e
w) = w’x . e
w u’x = y.e
xy 
 w = xy w’x = y 
 v = ln y v’x = 0 
 
 fx = y.e
xy . lny + 0 . exy = y.exy.lny 
 
 
 
6 
 II) fy = D(u . v) = u’y.v + v’y.u 
 u = exy u’y = D(e
w) = w’y . e
w u’y = x.e
xy 
 w = xy w’y = x 
 v = ln y v’y = 
y
1
 
 
 fy = x.e
xy . lny + 
y
1
 . exy 
 
5. Encontre fx , fy e fz na funções: 
 a) f(x; y; z) = 1 + xy2 – 2z2 b) f(x; y; z) = xy + yz + xz 
 I) fx = y
2 I) fx = y + z 
 II) fy = 2xy II) fy = x +z 
 III) fz = – 4z III) fz = y + x 
 
 c) f(x; y; z) = ln(x + 2y + 3z) d) f(x; y; z) = )zyx(
222
e ++− 
 I) fx = D(ln u) = 
u
'u x = 
z3y2x
1
++
 I) fx = D(e
u) = u’x.e
u = –2x. )zyx(
222
e ++− 
 II) fy = D(ln u) = 
u
'u y = 
z3y2x
2
++
 II) fy = D(e
u) = u’y.e
u = –2y. )zyx(
222
e ++− 
 III) fz = D(ln u) = 
u
'u z = 
z3y2x
3
++
 III) fz = D(e
u) = u’z.e
u = –2z. )zyx(
222
e ++−