Circuitos Elétricos I livro

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Prof. Me. André Juárez Jaime Duarte
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CIRCUITOS ELÉTRICOS I
PROF. ME. ANDRÉ JUÁREZ JAIME DUARTE
1° edição
Ipatinga, MG
Editora Prominas
2025
3
© 2025, Editora Prominas.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Elislaine Santos
Revisão Técnica: Prof.ª. Ma. Sofia Maria Amorim Falco 
Rodrigues
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes
Lorena Oliveira Silva Portugal
Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva
Élen Cristina Teixeira Oliveira
Cristiano Soares Andrade
Guilherme Mateus do Carmo
Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
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LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
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virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de múltipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
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FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
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ANDRÉ JUÁREZ JAIME DUARTE
Graduado em Engenharia Elétrica 
(Opção Eletrônica) pela Universidade 
Federal da Bahia (2008) e Bacharel em 
Matemática pela Universidade Estácio 
de Sá (2022). Mestre em Engenharia 
Elétrica pela Universidade Federal da 
Bahia (2022), na área de Automação e 
Controle. Possui também Especialização 
em Sistemas Elétricos de Potência pelo 
SENAI CIMATEC. Atua há mais de 15 anos 
na área de Automação, Instrumentação 
e Elétrica Industrial, aplicada à geração 
de energia elétrica e processamento de 
gás natural. Também possui experiência 
em ensino para turmas de nível técnico e 
de graduação em Engenharia.
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SUMÁRIO
 UNIDADE 1
 CONCEITOS BÁSICOS...................................................................................10
1. Sistema de Unidades....................................................................................................................................12
2. Grandezas Em Circuitos Elétricos.........................................................................................................13
 2.1 Corrente Elétrica.............................................................................................................................................13
 2.2 Tensão Elétrica................................................................................................................................................13
 2.3 Potência E Energia........................................................................................................................................14
 2.4 Exemplo De Aplicação 1............................................................................................................................15
 2.5 Exemplo De Aplicação 2...........................................................................................................................15
3. Elementos de Circuito....................................................................................................................................16
 FIXANDO O CONTEÚDO..............................................................................................................19
 UNIDADE 2
 LEIS BÁSICAS E TÉCNICAS DE ANÁLISE.......................................................................21
1. Lei de Ohm...........................................................................................................................................................22
 1.1 Curto-Circuito E Circuito Aberto.........................................................................................................26
 1.2. Condutância De Um Material.............................................................................................................26
 1.3. Potência Dissipada Por Um Resistor...............................................................................................26
 1.4. Exemplo De Aplicação 1...........................................................................................................................27
2. Leis de Kirchhoff...............................................................................................................................................27
 2.1. Exemplo De Aplicação 2.........................................................................................................................30
3. Circuitos com Resistores em Série e em Paralelo...................................................................32
 3.1. Circuitos com Resistores em Série..................................................................................................32
 3.2. Exemplo De Aplicação 3.........................................................................................................................33
 3.3. Circuitos Com Resistores Em Paralelo.........................................................................................33
 3.4. Exemplo De Aplicação 4.......................................................................................................................35
 3.5. Exemplo De Aplicação 5........................................................................................................................36
4. Análise Nodal.....................................................................................................................................................37
 4.1. Análise Nodal Com Fontes De Tensão Independente........................................................39
 4.2. Análise Nodal Com Fontes De Tensão Dependente.........................................................40
5. Análise De Malhas...........................................................................................................................................41
 5.1 Análise De Malha Com Fonte De Corrente Independente...............................................42
 5.2. Análise De Malha Com Fontes Dependentes.........................................................................45
6. Circuitos Com Amplificadores Operacionais.............................................................................46
 6.1. Amplificador Tipo Inversor....................................................................................................................47
 6.2 Amplificador Tipo Somador.................................................................................................................48
 6.2 Amplificador Tipo Não Inversor.........................................................................................................48
 6.4. Amplificador Diferencial.......................................................................................................................49
 FIXANDO O CONTEÚDO..............................................................................................................51
7
 UNIDADE 3 
 TEOREMAS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS.......................................................................55
1. Linearidade E Superposição...................................................................................................................56
 1.1. Linearidade.......................................................................................................................................................56
 1.2. Superposição.................................................................................................................................................56de malha i3:
 Substituindo o valor de i1 nas equações acima, obtém-se i2=4 A e i3=1 A. Este sistema 
também poderia ser resolvido pela aplicação da análise nodal para, por exemplo, 
43
encontrar as correntes que atravessam os resistores. Entretanto, devido à disposição 
dos elementos e suas interconexões (nós), é possível que se tenha um sistema com 
pelo menos três variáveis (correntes nodais), a depender da escolha do nó de terra 
(GND). Assim, em circuitos que contenham fontes de corrente, as equações associadas 
à análise de malha em geral são mais simples, permitindo uma resolução mais ágil.
Figura 24 – Análise de malha com fonte independente de corrente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Na Figura 25 é apresentado um circuito que possui uma fonte de corrente 
independente, no qual é solicitado definir primeiramente as correntes de malha i1, i2 
e i3. Observando este circuito, nota-se que é possível definir 3 correntes de malha (i1, 
i2 e i3) para mapear as quedas de tensão individuais e compõem cada equação de 
malha. Além disso, como haverá um ramo que contém uma fonte de corrente, deve-se 
a princípio definir uma tensão vx para este elemento para permitir a operacionalização 
do método. Dessa forma, para cada corrente de malha, tem-se que:
Figura 25 – Circuito para análise de malha com fontes de corrente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Além das equações apresentadas, há também uma equação que advém da 
restrição imposta pela fonte de corrente e que envolve as correntes de malha:
 Isto permite ter, para o circuito apresentado, 4 equações linearmente 
independentes e 4 variáveis a serem determinadas: i1, i2, i3 e vx. Como a tensão sobre 
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a fonte de corrente não pode ser expressa em termos do produto da corrente pela 
resistência ou ser diretamente representada por uma fonte de tensão, então, somando-
se as equações da malha i2 e da malha i3, obtém-se:
R3 i2+R2 (i2-i1 )+R4 i3+vb=0
 Daí, obtém-se um novo sistema de equações, conforme descrito a seguir:
{-va+R1 i1+R2 (i1-i2 )=0 i3-i2=is R3 i2+R2 (i2-i1)+R4 i3+vb=0 
 e que contém as correntes a serem determinadas i1, i2, i3. Na última equação, nota-
se que ela é obtida, de forma equivalente, ao se desconsiderar a fonte de corrente e, 
conforme ilustra a Figura 26, traçando-se uma malha que inclui os resistores R2, R3, R4 
e a fonte vb, mantendo-se as correntes de malha anteriormente definidas. Esta malha 
auxiliar formada, em virtude da presença da fonte de corrente compartilhando mais de 
uma corrente de malha independente, é denominada de supermalha e está ilustrada 
em verde na Figura 26.
Figura 26 – Circuito para análise de malha com uma supermalha 
Fonte: elaborado pelo autor
 O conceito de supermalha é fundamental na análise de malhas, pois permite 
direcionar o equacionamento a ser montado diretamente para as principais variáveis 
do sistema, o qual são as próprias correntes de malha i1, i2, i3. A partir delas é possível, por 
exemplo, calcular as tensões e potências fornecidas ou consumidas por cada elemento 
do circuito. Por exemplo, considerando que R1=R3=2 Ω, R2=R4=4 Ω, va=32 V, vb=6 V e is=4 
A, as equações do sistema ficam conforme a seguir:
{-32+2i1+4(i1-i2 )=0 i3-i2=4 2i2+4(i2-i1 )+4i3+6=0 
 Colocando o sistema acima na forma A×i=v, tem-se que:
[6 -4 0 0 -1 1 -4 6 4 ]×[i1 i2 i3]=[32 4 -6 ]
 Aplicando a regra de Cramer para determinar as correntes de malha i1, i2, i3, o 
determinante da matriz A será:
Δ=det A =det[6 -4 0 0 -1 1 -4 6 4 ]=-44
 e os determinantes Δ1, Δ2 e Δ3 associados à regra serão:
 Δ1=det[32 -4 0 4 -1 1 -6 6 4 ]=-232; Δ2=det[6 32 0 0 4 1 -4 -6 4 ]=4 
45
 e
Δ3=det[6 -4 32 0 -1 4 -4 6 -6 ]=-172
Assim, .
 5.2. Análise De Malha Com Fontes Dependentes
 Os mesmos conceitos e métodos apresentados para a análise de malha com 
fontes independentes de corrente serão válidos também para o cálculo das correntes 
de malha com fontes dependentes de tensão e/ou de corrente. Para tal, na Figura 27 é 
ilustrado um circuito com uma fonte de corrente dependente de tensão, no qual solicita 
determinar a tensão va.
Figura 27 – Circuito com fonte dependente de corrente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Para montar as equações necessárias para o cálculo das correntes de malha 
i1 e i2, observa-se que haverá uma supermalha em virtude do fato de que a fonte de 
corrente estabelece uma restrição em função de i1 e i2. Dessa forma, é possível montar 
a equação associada à supermalha:
 
-12+2i1+1i2+vk=0
 e a expressão associada à fonte de corrente dependente:
i2-i1=2vk
 Entretanto, sendo vk=3i2 e substituindo na última equação, tem-se que:
i2-i1=6i2 ⟹i1=-5i2 
 Substituindo a expressão de i1 em função de i2 encontrada anteriormente e a 
relação vk=3i2 na equação de supermalha, obtém-se:
-12-10i2+1i2+3i2=0⟹i2=-2 A e va=(-2 A)×3 Ω=-6 V
46
6. Circuitos Com Amplificadores Operacionais
 Os amplificadores operacionais (AMPOPs) são circuitos cujo objetivo é implementar 
operações matemáticas, tais como a adição, subtração, multiplicação, integração e 
diferenciação. Este circuito é composto por dezenas de transistores e resistores em 
tamanho microscópico e encapsulados na forma de um circuito integrado (CI). Esses 
dispositivos são encontrados comercialmente em encapsulamentos tipo DIP (dual 
in-line package) de 8 pinos e em encapsulamento tipo SMD (surface mount device). 
Neste texto, não serão abordados de forma detalhada a construção microeletrônica 
deste componente, mas sim a modelagem em termos de circuito elétrico e algumas 
funcionalidades elementares. Na Figura 28, encontra-se à esquerda ilustrada a 
simbologia padrão para representação do AMPOP em um circuito e à esquerda, para 
efeitos de informação, a função dos pinos de um AMPOP comercial bastante utilizado 
em circuitos eletrônicos, o modelo LM741.
Figura 28 – Simbologia padrão do AMPOP e pinagem do AMPOP CI LM741 
Disponível em: https://shre.ink/t0sU. Acesso em: 02 abr. 2025
 Um AMPOP é considerado como uma fonte de tensão controlada por tensão, pois, 
a partir das entradas de tensão inversora (simbolizada com um sinal “menos” na Figura 
2.28, pino 2) e da não inversora (sinal “mais”, pino 3 na Figura 28), ele estabelece uma 
tensão de saída (pino 6 na Figura 28). Os pinos 4 e 7 correspondem aos terminais de 
alimentação do dispositivo, em tensão contínua CC e os pinos 1 e 5 são disponibilizados 
para ajuste do efeito de offset (deslocamento de nível CC) sobre o sinal de saída.
 Em termos de representação funcional, têm-se dois tipos de amplificadores 
operacionais: o AMPOP real e o AMPOP ideal, ambos representados na Figura 29(a) 
e 29(b), respectivamente. Para estudo de circuitos com estes elementos, utiliza-se o 
segundo modelo. No AMPOP real, Ri é a resistência de entrada e Ro é a resistência de 
saída, sendo vd a tensão diferencial em relação à terra entre a entrada não inversora e a 
inversora e A o ganho em malha aberta do dispositivo. Assim, a tensão de saída vo fica:
 vo=A×(v2-v1)
 demonstrando a dependência da tensão de saída com a tensão diferencial de 
entrada. Os valores típicos das resistências e do ganho de malha aberta encontram-se 
descritos na Figura F.
(20)
47
Figura 29 – Representações do (a) AMPOP real e (b) AMPOP ideal 
Fonte: elaborado pelo autor
Parâmetro Faixa de valores Valores ideais
Ganho de malha aberta (A) 105 para108 ∞
Resistência de entrada (Ri) 105 para1013Ω ∞ Ω
Resistência de saída (Ro) 10 para 100 0 Ω
Tensão de alimentação (VCC) 5 para 24 V -
Tabela 2 – Faixas de valores para o AMPOP real e ideal (Sadiku, 2013). 
Fonte: elaborado pelo autor
 No AMPOP ideal, ilustrado na Figura 29(b), são realizadas as seguintes 
considerações, em virtude dos valores reais: (i) o ganho de malha A é considerado infinito; 
(ii) a resistência de entrada Ri é infinita e (iii) a resistência de saída Ro é considerada nula. 
Com estas definições, as correntes nas entradas do AMPOP serão nulas, fazendo com 
que exista um curto-circuito virtual entre os terminais positivo e negativo doAMPOP, 
isto é, v2=v1. Estas simplificações apresentadas simplificam consideravelmente os 
cálculos nos circuitos com amplificadores operacionais. Convém destacar que o sinal 
de tensão de saída no AMPOP fica limitado pelo valor de Vcc (na excursão positiva do 
sinal) e -Vee(na excursão negativa do sinal). Salvo situações excepcionais, os circuitos 
com AMPOPs operam dentro da região linear, dentro da faixa -Veedemonstrar que pode haver uma relação 
linear entre tensão-corrente em um elemento de circuito. A relação mais comum é a 
tensão-corrente envolvendo um resistor ou uma associação destes, dada por:
 v(t)=R×i(t)
Para haver a linearidade, exige-se que haja tanto a aditividade quanto a homogeneidade. 
Relativo à aditividade, para o caso de um resistor, se uma corrente elétrica i1(t) for 
aplicada, a tensão sobre o resistor será v1(t)=R×i1 (t). Aplicando-se uma corrente i2 (t), 
tem-se que v2 (t)=R×i2 (t). Assim, se i1 (t)+ i2 (t) forem aplicadas ao mesmo resistor, a 
tensão será:
v1 (t)+v2 (t)=R×i1 (t)+R×i2 (t)=R×[i1 (t)+i2 (t)]
 demonstrando a propriedade aditiva. Relativo à homogeneidade em um circuito 
linear, se a corrente i1 (t) for multiplicada, em um circuito resistivo, por uma constante K, 
então:
K×v1 (t)=K×R×i1 (t)
 Convém destacar as seguintes observações: (i) as relações descritas nas 
equações (2) e (3) são válidas quando há relação diretamente proporcional entre 
tensões e correntes, sejam elas por fontes independentes ou mesmo com circuitos 
fontes dependentes lineares. Conforme descrito em Irwin (2023), quando, na análise de 
circuitos, houver uma relação entre potência e tensão ou potência e corrente, ocorre 
uma não linearidade (potência se relaciona com o quadrado da tensão ou da corrente) 
e, por tanto, a propriedade da linearidade não se aplica.
(1)
(2)
(3)
FIQUE ATENTO
É importante destacar que um circuito linear é aquele cuja saída possui uma relação 
linear ou diretamente proporcional à sua entrada. 
 1.2. Superposição
 De uma maneira geral, o conceito de superposição está associado a circuitos que 
possuem mais de uma fonte independente, no qual é possível definir as contribuições, 
para cada fonte de tensão ou corrente, das tensões e correntes sobre os elementos 
de circuito. Este conceito guarda uma relação conceitual direta com o conceito de 
57
linearidade.
 O princípio da superposição é adequado para calcular, de forma independente, o 
quanto cada fonte de tensão ou corrente contribui de forma isolada para, por exemplo, 
para tensões e correntes sobre um resistor ou associação de resistores. Em termos 
práticos, para operacionalizar este conceito, executam-se as seguintes etapas: 
(i) Mantém-se uma fonte independente ligada e desliga-se as demais (para fontes de 
tensão independentes, a tensão será nula, sendo representada por um curto-circuito, e 
para fontes de corrente independentes a corrente será nula, sendo representada por um 
circuito aberto) e com isto calculam-se as tensões e correntes no circuito em análise;
(ii) As fontes dependentes não são modificadas; 
(iii) Realiza-se o descrito em a) para as demais fontes independentes.
(iv) Somam-se as contribuições obtidas de cada fonte de tensão ou corrente, obtendo-
se assim a contribuição total.
FIQUE ATENTO
A depender do tipo de circuito em análise, o método da superposição pode se tornar 
vantajoso em termos de cálculo de tensões e correntes num circuito. Entretanto, esta 
observação não é válida para todos os circuitos, já que pode haver situações, por exem-
plo, com 4 fontes independentes, em que seja necessário calcular n sistemas de equa-
ções lineares.
 Como exemplo de aplicação deste conceito, considere o circuito ilustrado na 
Figura 1, onde é necessário calcular Vo usando o princípio da superposição. Neste caso, 
têm-se 2 fontes independentes (1 de tensão e 1 de corrente) e ambas contribuem para 
os valores de tensão e corrente ao longo do circuito.
Figura 1 – Circuito exemplo para superposição de fontes 
Fonte: elaborado pelo autor
 Primeiramente, pode-se considerar somente o efeito da fonte de tensão de 20 V 
sobre o circuito. Nesta situação, a fonte de corrente é desligada, resultando no circuito 
ilustrado na Figura 2. A contribuição desta fonte de tensão na saída Vo será definida 
como Vo'. Analisando este circuito, verifica-se que Vo' é obtido de um divisor de tensão 
resistivo, conforme cálculo a seguir:
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Figura 2 – Circuito para determinação de Vo' 
Fonte: elaborado pelo autor
 Para calcular a contribuição da fonte de corrente Vo'', desliga-se a fonte de tensão 
de 20 V, obtendo os circuitos ilustrados na Figura 3. Para encontrar Vo'', pode-se aplicar 
a lei dos nós no nó Vx e obter as correntes I1 e I2. Nota-se que Vo''=2 Ω×I2. Assim:
Figura 3 – Circuito para determinação de Vo'' 
Fonte: elaborado pelo autor
I1+I2=3 A
Logo:
 Portanto:
Vo= Vo'+ Vo''=4,0 V+ 1,2 V=5,2 V
2. Transformação De Fontes
 De uma forma geral, o objetivo principal da transformação é permitir que uma 
fonte de tensão independente em série com um resistor seja substituída por uma fonte 
de corrente independente em paralelo com o mesmo resistor e vice-versa, conforme 
ilustra a Figura 4.
Figura 4 – Transformação de fontes independentes 
Fonte: elaborado pelo autor
59
 Ambos os circuitos da Figura 4 são equivalentes desde que possuam a mesma 
relação tensão-corrente. Para tal, primeiramente verifica-se que a resistência 
equivalente entre os terminais A e B quando se desativam as fontes é igual a R., além 
disso, aplicando um curto-circuito nos terminais A e B de ambas representações, verifica-
se que a corrente na representação com fonte de tensão é , que é a mesma na 
representação por fonte de corrente. Logo, há a equivalência entre os circuitos.
FIQUE ATENTO
Durante as transformações, é importante verificar o sentido da corrente ou das polari-
dades da tensão da fonte que se deseja realizar a conversão. Por exemplo, na Figura 3.4, 
nota-se que a seta da corrente fica voltada para a polaridade (+) na fonte de tensão. 
Além disso, a transformação de fontes também se aplica a fontes dependentes, desde 
que sejam mantidas as relações com as variáveis.
VAMOS PENSAR?
E se fossem consideradas fontes de tensão ou corrente não ideais, com resistências in-
ternas, os conceitos aqui apresentados também seriam válidos?
3. Teorema De Thévenin
 Na análise e síntese de redes e circuitos elétricos, pode existir a necessidade de se 
representar um circuito elétrico com muitos componentes (diversas fontes de tensão, 
fontes de corrente, resistores em associações mistas) por um único resistor e uma 
única fonte de tensão. Esta técnica permite analisar o comportamento de circuitos e 
redes de componentes fixos quando as cargas forem variáveis no tempo. Dessa forma, 
um circuito linear pode ser substituído por um circuito com uma fonte de tensão VTH 
independente em série com um resistor RTH, conforme pode ser visto na Figura 5.
Figura 5 – Circuito equivalente de Thévenin para um circuito elétrico conectado a uma carga 
Fonte: elaborado pelo autor
 De acordo com Irwin (2023), o Teorema de Thévenin define que é possível substituir 
toda a rede ou circuito elétrico de dois terminais, com exceção da carga, por um circuito 
equivalente que contenha somente uma fonte de tensão independente em série com 
um resistor de modo tal que a relação corrente-tensão na carga não seja alterada, no 
qual VTH é a tensão de circuito aberto nos terminais e RTH é a resistência de entrada ou 
equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem desativadas.
 Para determinar VTH e RTH, considere os dois circuitos ilustrados na Figura 6, onde, 
para serem equivalentes, as relações tensão-corrente em seus terminais precisam 
60
ser iguais. Considere que agora seja necessário analisar o comportamento do circuito 
linear original, neste caso, abrindo-se os terminais A e B onde encontra-se conectada 
uma carga. Logo, os terminais A e B formam um circuito aberto (sem a carga), não 
havendo, portanto, circulação de corrente elétrica. Assim, a tensão nos terminais A e B 
será igual a VTH, conforme mostra a Figura 6 Para fins de explicação, define-se VTH= vo.
Figura 6 – Análise do Teorema de Thévenin para obtenção de VTH e RTH 
Fonte: elaborado pelo autor
FIQUE ATENTO
Uma fonte independente de tensão desligada traduz-se, do ponto de vista funcional, 
como uma tensão nula nos seus terminais(um curto-circuito em seus terminais). Por 
outro lado, uma fonte independente de corrente desligada implica que não há corrente 
sendo fornecida, isto é, a corrente é igual a zero (circuito aberto). Dessa forma, é impor-
tante atentar a estes conceitos, para não haver erros de cálculo na obtenção do circuito 
equivalente de Thévenin.
 Para a determinação de RTH, a regra geral é desligar as fontes independentes do 
circuito em estudo e, caso haja fontes dependentes, estas não podem ser desligadas, 
já que são associadas matematicamente por outra variável no mesmo circuito. Dessa 
forma, pode-se definir dois cenários para encontrar o valor de RTH: (i) em havendo 
somente fontes independentes, desligam-se tais fontes e RTH será a resistência 
equivalente olhando-se dos terminais A e B; (ii) Com fontes dependentes, mantém-se 
estas e desligam-se as fontes independentes, aplicando-se uma tensão vt nos terminais 
A e B do circuito (em avaliação) para obter-se uma corrente it ou aplicando-se uma 
corrente it nos terminais A e B do circuito (em avaliação) para obter-se uma tensão vt, 
conforme ilustra a Figura 7. Com isto, obtém-se . Neste método, podem ser 
considerados, por exemplo, valores constantes para vt ou it, dependendo da estratégia 
escolhida.
Figura 7 – Circuitos equivalentes para cálculo de RTH na presença de fontes dependentes 
Fonte: elaborado pelo autor
61
FIQUE ATENTO
Para simplificação dos circuitos sob análise do teorema de Thévenin para obtenção de 
RTH, podem ser utilizadas as mesmas regras de cálculo de associações série, paralelo e 
mistas de resistores. 
 Um resultado importante que pode ser obtido diretamente do Teorema de 
Thévenin é a obtenção da corrente elétrica a ser fornecida para uma carga RL, conforme 
ilustra a Figura 8. Neste caso, o circuito ou rede linear é substituído por uma tensão VTH e 
uma resistência RTH. Assim, a corrente IL será dada por:
(4)
Figura 8 – Circuito equivalente de Thévenin para cálculo da corrente de uma carga 
Fonte: elaborado pelo autor
 Esse resultado demonstra diretamente que a tensão sobre a carga é um divisor 
de tensão resistivo.
FIQUE ATENTO
Para uma mesma rede ou circuito elétrico, é possível ter diversas representações equi-
valentes de Thévenin. Isto se deve ao fato de a análise a ser efetuada, com base nesse 
Teorema, ser dependente do local ou ponto no qual se deseja analisar a influência desse 
circuito sobre uma carga elétrica, ou seja, para cada par de terminais A e B escolhidos, 
teremos um VTH e um RTH específico para a análise.
VAMOS PENSAR?
Os conceitos associados à linearidade e superposição também podem ser utilizados 
visando auxiliar nos cálculos da tensão e da resistência equivalentes de Thévenin? As 
técnicas de análise nodal e de malhas também podem ser aplicadas como ferramentas 
auxiliares?
62
 3.1. Exemplo De Aplicação 1
 Como exemplo para a aplicação do teorema de Thévenin, considere o circuito 
ilustrado na Figura 9, no qual se pede determinar VTH e RTH vistos dos terminais A e B.
Figura 9 – Circuito elétrico para o exemplo de aplicação I 
Fonte: elaborado pelo autor
 O primeiro passo é determinar RTH. Como somente há uma fonte independente 
de tensão, então esta será substituída por um curto-circuito, restando, a partir dos 
terminais A e B, a seguinte resistência equivalente Req:
Req=6 Ω+ 3 Ω∕∕3 Ω= 7,5 Ω
 Logo, a resistência Req encontrada será a resistência equivalente de Thévenin RTH 
a partir dos terminais A e B. 
 Para encontrar VTH, que corresponde à tensão nos terminais A e B, observar que 
os resistores 3 Ω formam um divisor resistivo de tensão e que não há passagem de 
corrente pelo resistor de 6 Ω. Dessa forma, como a tensão da fonte é 12 V, então tem-se 
que VTH=6 V. O equivalente de Thévenin encontra-se ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – Equivalente de Thévenin para o exemplo de aplicação I 
Fonte: elaborado pelo autor
63
Existem diversos simuladores de circuitos elétricos e eletrônicos que po-
dem ser utilizados por estudantes, para, por exemplo, aprofundamento 
dos conceitos estudados. No site existe um roteiro explicativo com diver-
sos simuladores gratuitos ou pagos, pontuando acerca dos principais 
recursos e características de uso e interface.
Disponível em: https://shre.ink/t0Jw. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
4. Teorema De Norton
 O Teorema de Norton, desenvolvido pelo engenheiro norte-americano E. L. Norton, 
é um tipo de representação similar ao apresentado para o Teorema de Thévenin. 
Conforme Sadiku (2013), o Teorema de Norton afirma que é possível substituir uma rede 
ou circuito elétrico, com exceção da carga, por um circuito equivalente formado por 
uma fonte de corrente IN em paralelo com um resistor RN, conforme representado na 
Figura 11. Assim, IN é a corrente de curto-circuito nos terminais do circuito em avaliação 
e RN a resistência equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem 
desativadas.
Figura 11 – Circuito equivalente de Norton 
Fonte: elaborado pelo autor
 De uma forma geral, para se obter RN, procede-se da mesma forma ora proposta 
para obtenção do RTH, implicando que RN=RTH. Para o cálculo da corrente IN, é preciso 
determinar a corrente de curto-circuito iCC, entre os terminais A e B da figura 11. Este 
conceito encontra-se ilustrado na Figura 12. No teorema de Norton, as fontes dependentes 
possuem o mesmo tratamento dado no teorema de Thévenin (IRWIN, 2023).
64
Figura 12 – Circuito para determinação de IN 
Fonte: elaborado pelo autor
FIQUE ATENTO
Para um dado circuito elétrico no qual exista uma representação equivalente por Thé-
venin, é possível obter uma representação por Norton aplicando os conceitos de trans-
formação de fontes e vice-versa, conforme figura 13.
Figura 13 – Equivalência conceitual entre as representações de Thévenin e de Norton 
Fonte: elaborado pelo autor
VAMOS PENSAR?
O sentido da corrente iCC utilizada no método para determinar o equivalente de Norton 
pode influenciar no resultado? Neste caso, a corrente IN encontrada seria diferente em 
relação ao que é definido originalmente no método?
 4.1. Exemplo De Aplicação 2
 Como exemplo de aplicação do teorema de Norton, considere o circuito ilustrado 
na Figura 14, no qual pede-se determinar o equivalente de Norton IN e RN vistos dos 
terminais A e B.
Figura 14 – Circuito elétrico para o exemplo de aplicação 2 
Fonte: elaborado pelo autor
65
 O primeiro passo é determinar RN. Como há 2 fontes independentes, sendo 1 de 
corrente e 1 de tensão, desligam-se tais fontes, obtendo-se a seguinte resistência 
equivalente Req:
Req=(2 Ω+2 Ω)∕∕4 Ω= 2 Ω
 Logo, a resistência Req encontrada será a resistência equivalente de Norton RN a 
partir dos terminais A e B. Para encontrar IN, aplica-se um curto-circuito nos terminais A 
e B e a corrente Isc será a corrente que representará a corrente do equivalente de Norton. 
Para tanto, conforme mostra a figura 15, o resistor 4 Ω encontra-se curto-circuitado.
Figura 15 – Circuito elétrico para obtenção da corrente de Norton 
Fonte: elaborado pelo autor
 Dessa forma, é possível montar o circuito intermediário da Figura 16, no qual, 
aplicando-se a lei dos nós no nó central e denominando a tensão neste ponto igual a 
Vx, o somatório de correntes será dado por:
I1+I2=2
Figura 16 – Circuito elétrico intermediário para obtenção da corrente de Norton 
Fonte: elaborado pelo autor
 Então a corrente de Norton Isc=IN será o resultado do cálculo da corrente 
A representação equivalente de Norton encontra-se ilustrada na Figura 17.
66
Figura 17 – Representação equivalente de Norton para o exemplo II 
Fonte: elaborado pelo autor
No dia a dia, fontes de corrente contínua podem ser representada por 
equipamentos conhecidos por fontes de tensão e corrente ajustáveis. 
Nestes equipamentos, é possível ajustar os valores de corrente a serem 
fornecidas para uma carga em teste. No vídeo háuma explicação de 
como funcionam estas fontes.
Disponível em: https://shre.ink/t0Yg. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
5. Máxima Transferência De Potência
 No estudo de circuitos elétricos, pode ser necessário determinar o quanto de 
potência elétrica pode ser disponibilizada para uma dada carga RL. Conforme Irwin 
(2023), através do Teorema de Thévenin, é possível avaliar duas situações: (i) a máxima 
potência que um circuito consegue disponibilizar a uma carga fixa e (ii) o quanto 
devemos variar uma carga para se conseguir uma máxima transferência de potência. 
Para fins de demonstração, considere o circuito ilustrado na Figura 4. A potência PL 
fornecida para a carga RL será dada por:
2
 Para encontrar o valor de RL que maximize PL, é necessário diferenciar a expressão 
(5) em função de RL e igualar a zero:
 De (6), é possível obter que RL=RTH. Dessa forma, é possível obter a máxima 
transferência de potência quando a resistência da carga é igual à resistência de 
Thévenin.
 De uma forma geral, com base nos resultados das expressões (5) e (6), é possível 
definir que a potência máxima Pmax a ser transferida para carga RL em função de VTH e 
RTH é dada por (7):
(5)
2
4 (6)
67
 5.1 Exemplo De Aplicação 3.
 Neste exemplo, o objetivo será determinar, com base no circuito ilustrado na 
Figura 18, para qual carga RL ocorre a máxima transferência de potência e qual o valor 
desta potência, em W.
Figura 18 – Circuito do exemplo de aplicação III 
Fonte: elaborado pelo autor
 O primeiro passo é determinar RTH. Como há 2 fontes independentes, sendo 1 
de corrente e 1 de tensão, desligam-se tais fontes, obtendo-se a seguinte resistência 
equivalente Req:
 Logo, a resistência Req encontrada será a resistência equivalente de Thévenin RTH a 
partir dos terminais A e B. Para encontrar VTH, que corresponde à tensão nos terminais A 
e B, será necessário aplicar a transformação de fontes, convertendo a fonte de corrente 
de 1A e o resistor de 6 Ω para uma fonte de tensão de 6 V em série com o mesmo 
resistor, conforme ilustra a Figura 19. Aplica então uma nova transformação de fontes 
ao mesmo tempo, em que se calcula uma nova , obtendo-se o circuito 
final mais à direita da Figura H. Dessa forma, a tensão equivalente de Thévenin VTH=4 V. 
Assim, o valor RL que permite a máxima transferência de potência é RTH= 10 Ω. A potência 
máxima será:
Figura 19 – Circuitos intermediários para análise do exemplo III 
Fonte: elaborado pelo autor
68
Ao longo das demonstrações, foi abordado o conceito de resistência 
variável para ajuste da máxima transferência de potência. Mas o que 
seriam estes resistores variáveis? No vídeo há uma explicação de como 
funcionam estas fontes.
Disponível em: https://shre.ink/tJHk. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
69
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CONCURSO MPMS - FGV) Na figura a seguir apresenta um circuito de corrente 
contínua, composto de uma fonte e três resistores. O circuito equivalente de Thévenin, 
visto pelo resistor R (entre os pontos A e B), é composto por:
a. uma fonte de 36 V e um resistor de 50 Ω.
b. uma fonte de 36 V e um resistor de 12 Ω.
c. uma fonte de 60 V e um resistor de 12 Ω.
d. uma fonte de 60 V e um resistor de 30 Ω.
e. uma fonte de 40 V e um resistor de 30 Ω.
2. (CONCURSO MPMS - FGV) Um equivalente de Thèvenin composto por uma fonte de 
50 V em série com um resistor de 10 Ω pode ser substituído por uma fonte de corrente 
de:
a. 5 A em série com uma resistência de 10 Ω.
b. 5 A em paralelo com uma resistência de 10 Ω.
c. 10 A em série com uma resistência de 5 Ω.
d. 10 A em paralelo com uma resistência de 5 Ω.
e. 10 A em série com uma resistência de 10 Ω.
3. (CONCURSO TRF3 - FCC) Considere o circuito abaixo:
O equivalente de Norton desse circuito é:
a. Uma fonte de tensão de 40 V em paralelo com uma resistência de 2.4 Ω.
b. Uma fonte de tensão de 28.8 V em série com uma resistência de 4.8 Ω.
c. Uma fonte de corrente de 6 A em paralelo com uma resistência de 4.8 Ω.
d. Uma fonte de corrente de 4 A em série com uma resistência de 2.4 Ω.
e. Uma fonte de corrente de 4 A em paralelo com uma resistência de 4.8 Ω.
70
4. (CONCURSO PMSJ - VUNESP) O teorema de Thevénin estabelece que um circuito linear, 
responsável pela alimentação de uma determinada carga, pode ser representado por 
uma fonte de tensão ideal em série com uma impedância, ambas conectadas a essa 
carga. No contexto mostrado, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o 
equivalente de Thévenin visto pelos pontos A e B da figura.
a. 3 V e 5 Ω.
b. 6 V e 5 Ω.
c. 3 V e 10 Ω.
d. 6 V e 10 Ω.
e. 12 V e 12 Ω.
5. (CONCURSO TRF4 - FCC) Considere o circuito abaixo.
Com objetivo de obter o gerador equivalente de Thévenin, referente ao lado esquerdo 
do circuito e limitado nos pontos A e B, os valores RTH e ETH, que constituem o gerador 
equivalente de Thévenin são, respectivamente:
a. 20 Ω e 60 V.
b. 10 Ω e 80 V.
c. 20 Ω e 40 V.
d. 10 Ω e 60 V.
e. 50 Ω e 30 V.
6. No circuito abaixo, para qual valor da carga RL ocorre a máxima transferência de 
potência e qual a potência máxima dissipada por essa carga, respectivamente?
71
a. 6 Ω e 12 W.
b. 3 Ω e 5.44 W.
c. 2 Ω e 8 W. 
d. 3 Ω e 24.5 W.
e. 2 Ω e 12.5 W.
7. Considere um circuito composto por 10 fontes independentes e lineares de tensão 
em série, sendo 5 delas iguais a 5 V e as demais iguais a 10 V, que por sua vez estão em 
série com 10 resistores de 7.5 Ω. Estes componentes em série estão conectados em série 
a um resistor de carga de valor RL. Para qual valor de RL ocorre a máxima transferência 
de potência?
a. 20 Ω.
b. 15 Ω.
c. 18.75 Ω. 
d. 17.5 Ω.
e. 35 Ω.
8. Considere as seguintes afirmações, para um circuito composto por 2 fontes de tensão 
independentes em série com 2 resistores lineares:
I – É possível analisar a linearidade de um circuito elétrico somente avaliando a 
homogeneidade deste circuito.
II – A propriedade da aditividade requer que a resposta para a soma das entradas seja 
a multiplicação das respostas a cada entrada aplicada de forma individual.
III – Se as fontes de tensão citadas fossem substituídas por fontes de tensão dependentes, 
então os princípios da aditividade e linearidade não seriam aplicáveis. 
Qual (is) dela(s) não é (são) correta(s):
a. Somente I.
b. Somente II.
c. Somente III.
d. Somente I e III.
e. I, II e III.
72
CIRCUITOS COM CAPACITORES 
E INDUTORES
73
 Neste capítulo serão tratados os aspectos referentes a dois importantes 
elementos presentes em circuitos elétricos: capacitores e indutores. Serão vistas as suas 
características principais, equacionamento de tensões e correntes elétricas sobre eles, 
além da análise dinâmica dos circuitos contendo resistores e capacitores (circuitos 
RC), resistores e indutores (circuitos RL) e circuitos tipo RLC.
 De uma forma geral, ambos elementos também são classificados como passivos. 
No entanto, há uma diferença relevante em relação ao resistor. Conforme Irwin (2023), 
enquanto este dissipa energia, transformando-a em calor, tal como ocorre no chuveiro 
elétrico, aquecedores elétricos, entre outros, no capacitor e no indutor é possível 
armazenar energia na forma de campo elétrico (capacitor) ou de campo magnético 
(indutor), para posteriormente ser fornecida em um circuito.
 A inserção de um capacitor e/ou indutor em um circuito elétrico puramente 
resistivo com fontes de tensão e/ou correntes, independentes ou não, irá provocar 
uma mudança significativa no equacionamento até então visto, já que tais elementos 
definem uma evolução dinâmica no modo pelo qual tensões e correntes irão se 
comportar num circuito. Diferente dos resistores, no qual a corrente que o atravessa 
varia de forma instantânea com a fonte de tensão ou corrente o, qual alimenta, será 
visto que em um circuito contendo resistores, capacitor e/ou indutores, tais variações 
deixam de ser instantâneas e passam a ser limitadas por uma inércia associada à 
criação e estabelecimento de campos elétricos e magnéticos nesses componentes.No item a seguir, serão apresentados os conceitos de capacitores, capacitância 
e a formulação para associação de capacitores.
1. Capacitores E Associação Em Série E Paralelo
 Pode-se definir um capacitor como um elemento de circuito elétrico passivo 
composto por duas placas condutoras paralelas de área A entre si e separadas por uma 
distância d, com um material do tipo isolante (dielétrico) entre elas, conforme mostra 
a Figura 1. Às placas dá-se comumente o nome de armaduras. No experimento ideal 
da Figura 1, ao se aplicar uma diferença de potencial ou tensão V nos seus terminais, 
ocorre um acúmulo de cargas positivas na placa que está conectada ao terminal 
positivo da fonte, bem como um acúmulo de cargas negativas no outro terminal. A 
carga armazenada por um capacitor é definida por:
q = C×V
 no qual C é a capacitância de um capacitor, em farad (F), V é a tensão (volt) e 
q é a carga elétrica (coloumb). A nomenclatura associada à unidade de capacitância 
é em homenagem ao físico inglês Michael Faraday. Dessa forma, conforme é definido 
em Sadiku (2013), a capacitância é a razão entre a carga elétrica armazenada em um 
capacitor e a tensão aplicada sobre este, dada em Coloumb/volt. As simbologias mais 
usuais do capacitor estão ilustradas na Figura 2.
(1)
74
Figura 1 – Princípio de funcionamento de um capacitor 
Fonte: Arquivo Pessoal do Autor
 De uma forma geral, baseada na geometria das placas e no dielétrico existente 
entre elas, a capacitância de um capacitor de placas retangulares paralelas, um dos 
tipos construtivos mais usuais para capacitores, é definida por:
 onde ε é a permissividade do material dielétrico entre as placas, com A e d já 
anteriormente definidos. Este tipo de capacitor, pela simplicidade da formulação, 
permite uma ampla customização no seu projeto. Por exemplo, quanto menor a área, 
mantida a distância constante, menor será a capacitância. Por outro lado, quanto 
menor a distância, para uma mesma área, maior é o valor de capacitância obtido.
Figura 2 – Simbologias usuais para capacitores 
Disponível em: https://shre.ink/tJQu. Acesso em: 11 de abril de 2025.
(2)
 Em termos de aplicação comercial, os capacitores são fabricados para serem 
utilizados em uma ampla faixa de capacitâncias, que podem variar de picofarads (pF) 
a milifarads (mF), a depender do tipo de capacitor. Em aplicações de telecomunicações 
e informática, por exemplo, os capacitores não polarizados dos tipos cerâmicos, de 
mica e de poliéster são os mais utilizados, pois permitem alcançar baixos valores de 
capacitância necessários para circuitos de alta frequência, operando geralmente 
com algumas dezenas de volts. Por fim, em aplicações de eletrônica de potência e em 
circuitos sinais retificados, por exemplo, costumam-se utilizar capacitores eletrolíticos, 
que, além de permitir o armazenamento de cargas com capacitâncias na casa de mF, 
permitem operar sob tensões na ordem de centenas de volts e em baixas e médias 
frequências. Os principais tipos de capacitores estão ilustrados na Figura 3.
75
No vídeo existente encontra-se uma explicação mais detalhada sobre 
capacitores eletrolíticos.
Disponível em: https://shre.ink/tJQM. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
Figura 3 – Tipos de capacitores comercializados 
Disponível em: https://shre.ink/tJQl. Acesso em: 11 de abril de 2025.
 De forma similar ao estudado anteriormente para os resistores, é necessário definir 
o comportamento de tensões e correntes para um capacitor. Dessa forma, considere 
que a corrente, em função da carga, é dada por:
 e sabendo que q= C×v, então a corrente será:
(3)
(4)
FIQUE ATENTO
Observando a expressão (4), caso não haja variação de tensão no capacitor este irá se 
comportar como um circuito aberto.
 A expressão (4) para a tensão variante no tempo nos terminais de um capacitor, 
considerando que o capacitor sempre possuirá um valor inicial de carga disponível em 
um tempo inicial t_0, pode ser derivada da expressão (4):
76
 sendo a condição inicial de carga no capacitor.
 A partir do equacionamento anterior, a energia acumulada em um capacitor 
pode ser definida com base na potência instantânea fornecida a ele. A potência é dada 
por:
 e a energia w(t) será:
 no qual considera que, em t=-∞ a tensão é igual a zero (capacitor descarregado).
 A formulação apresentada será fundamental para demonstração das associações 
em série e em paralelo de capacitores.
 1.1. Associação Em Série De Capacitores
 Considere o circuito da Figura 4.4(a), onde há n capacitores associados em série 
e cada um dos capacitores possui uma tensão v associada. Aplicando a lei das malhas 
a esse circuito, tem-se que:
v(t)=v1 (t)+v2 (t)+⋯+vn (t)
 Utilizando a expressão (5) e substituindo em (8), resulta em:
 sendo que a expressão para cálculo da capacitância em série equivalente, 
representada no circuito equivalente da Figura 4(b), para n capacitores, é dada por:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Figura 4 – (a) associação em série de capacitores e (b) associação equivalente 
Fonte: elaborada pelo autor
77
 1.2. Associação Em Paralelo De Capacitores
 Considere o circuito da Figura 5(a), onde há n capacitores associados em paralelo 
e cada um dos capacitores possui uma corrente i associada. Aplicando a lei dos nós a 
esse circuito, tem-se que:
 i(t)=i1 (t)+i2 (t)+⋯+in (t) 
 A partir da expressão (4), tem-se que:
 sendo que a expressão para cálculo da capacitância em paralelo equivalente, 
representada no circuito equivalente da Figura 5(b), para n capacitores, é dada por:
(11)
(12)
(13)
Figura 5 – (a) associação em paralelo de capacitores e (b) associação equivalente 
Fonte: elaborada pelo autor
1.3. Exemplo De Aplicação 1
 Considere o circuito da Figura 6 composto por uma associação mista de 
capacitores dispostos em série e em paralelo, todos com capacitância igual a 5µF. 
Determine: (i) a capacitância equivalente Ceq entre os terminais “a” e “b”; (ii) a carga 
elétrica que esta associação poderá armazenar, considerando uma tensão de 50 volts 
aplicada nos terminais “a” e “b”.
Figura 6 – Circuito para o exemplo de aplicação 1 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Observando o circuito da Figura 6, é necessário calcular primeiramente a 
capacitância equivalente da associação mista dos capacitores C2,C3, C4,C5 e C6. Neste 
caso, verifica-se que os capacitores C6 e C7 estão em série, resultando em:
78
 Além disso, C3 e C4 estão em paralelo entre si, resultando numa capacitância 
equivalente de 10 µF. Esta capacitância está em série com C2, obtendo-se:
 A Ceq1 e Ceq2 estão em série, obtendo-se a seguinte capacitância equivalente Ceq3:
 A capacitância Ceq3 está em paralelo com C7, resultando em uma capacitância 
equivalente Ceq4 de . Esta capacitância está em série com C1, de onde se obtém a 
capacitância equivalente Ceq vista pelos terminais “a” e “b”:
 A carga na qual poderá ser armazenada é dada por:
2. Indutores E Associação Em Série E Paralelo
 Pode-se definir, conforme abordagem teórica em Irwin (2023), que um indutor 
é um elemento de circuito elétrico passivo composto por uma bobina de fio condutor 
em formato cilíndrico com N espiras e área de seção transversal A e comprimento de 
bobina l, podendo possuir no seu núcleo um material do tipo magnético, conforme 
mostra a Figura 7. Este elemento é projetado para armazenar energia em seu campo 
magnético (Sadiku, 2013). Ao se aplicar uma corrente em um indutor, uma diferença de 
potencial ou tensão V nos seus terminais é gerada, sendo proporcional à variação de 
corrente, conforme a expressão (14):
Figura 7 – Forma construtiva de um indutor (SADIKU, 2013) 
Fonte: elaborada pelo autor
 A indutância L, cuja unidade é o Henry (H), em homenagem ao físico norte-
americano Joseph Henry, representa o elemento que relaciona diretamente a variação 
de corrente com a tensão aplicada em um indutor. As simbologias mais utilizadasencontram-se na Figura 8.
(14)
79
FIQUE ATENTO
Caso não haja variação de corrente em um indutor, a tensão gerada será nula e o indu-
tor se comporta como um circuito fechado ou curto-circuito.
 A indutância, de forma similar à resistência e capacitância, também depende 
das características geométricas e formas construtivas. Por exemplo, considerando o 
indutor da Figura 7, a indutância é dada por:
 onde N é o número de espiras da bobina, A é a área da secção transversal, l é 
comprimento da bobina e µ é a permeabilidade magnética do núcleo.
(15)
Figura 8 – Tipos e simbologias usuais para indutores. 
Disponível em: https://shre.ink/tOHa. Acesso em: 13 de abril de 2025.
 Em termos de aplicação comercial, os indutores são fabricados para serem 
utilizados em uma ampla faixa de capacitâncias, que podem variar de microhenrys 
(µF), como em aplicações para eletrônica de média e alta frequência, a dezenas de 
henrys (H) em aplicações de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. 
Alguns tipos de indutores estão ilustrados na Figura 9, no qual tanto a geometria, núcleo 
e arranjo do bobinamento são escolhidos de forma, por exemplo, a se encontrar um 
valor de indutância necessário para uma determinada aplicação.
Figura 9 – Tipos construtivos de indutores para aplicações práticas. 
Disponível em: https://shre.ink/tOlY. Acesso em: 13 de abril de 2025.
 De forma similar ao estudado anteriormente para os capacitores, é necessário 
definir o comportamento de tensões e correntes para um indutor. A expressão para a 
corrente variante no tempo nos terminais de um indutor, considerando que o indutor 
80
sempre possuirá um valor inicial de corrente disponível em um tempo inicial t0, pode ser 
derivada da expressão (14):
 sendo i(t0) a condição inicial de corrente no indutor.
 A partir do equacionamento anterior, a energia acumulada em um indutor pode 
ser definida com base na potência instantânea fornecida a ele. A potência é dada por:
 e a energia w(t) será:
 no qual considera que, em t=-∞, a corrente é igual a zero (indutor descarregado).
 A formulação apresentada será fundamental para demonstração das associações 
em série e em paralelo de indutores.
 2.1. Associação Em Série De Indutores
 Considere o circuito da Figura 10(a), onde há n indutores associados em série, 
submetidos a uma tensão de entrada v, no qual cada um dos indutores possui uma 
corrente i associada. Aplicando a lei das malhas a esse circuito, tem-se que:
v(t)=v1 (t)+v2 (t)+⋯+vn (t)
 A partir da expressão (14), tem-se que:
 sendo que a expressão para cálculo da indutância em série equivalente, 
representada no circuito equivalente da Figura 10(b), para n indutores, é dada por:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Figura 10 – (a) associação em série de indutores e (b) associação equivalente 
Fonte: elaborada pelo autor
81
 2.2. Associação Em Paralelo De Indutores
 Considere o circuito da Figura 11(a), onde há n indutores associados em paralelo e 
cada um dos indutores possui uma corrente i associada. Aplicando a Lei dos Nós a esse 
circuito, tem-se que:
i(t)=i1 (t)+i2 (t)+⋯+in (t)
 Utilizando a expressão (4) e substituindo em (22), resulta em:
 sendo que a expressão para cálculo da indutância em paralelo equivalente, 
representada no circuito equivalente da Figura 4(b), para n indutores, é dada por:
(22)
(23)
(24)
Figura 11 – (a) associação em paralelo de indutores e (b) associação equivalente 
Fonte: elaborada pelo autor
 2.3. Exemplo De Aplicação 2
 
Considere o circuito da Figura 12, composto por uma associação mista de indutores, 
todos com o mesmo valor de indutância, e uma chave ch1. Determine: (i) o valor das 
indutâncias La, Lb e Lc, sabendo-se que o valor total da indutância, em mH, visto dos 
terminais “a” e “b” com a chave aberta, é igual a 30 mH; (ii) o valor total da indutância 
do circuito quando a chave é fechada.
Figura 12 – Circuito com indutores para o exemplo de aplicação 2 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Observando o circuito da Figura 6, como a chave ch1 está aberta, então somente 
La, Lb e Lc estarão submetidos a uma tensão ou corrente de entrada. Assim, a indutância 
82
de um dos três componentes La, Lb e Lc será:
Leq1=La+Lb+Lc=30 mH⟹ La=Lb=Lc=10 mH
 Para calcular o valor total da indutância do circuito com a chave ch1 fechada, 
será necessário calcular as associações parciais em série e em paralelo. Dessa forma, 
da esquerda para direita em direção aos terminais “a” e “b” na Figura 12, L3 e L4 estão em 
série, resultando em uma indutância equivalente Leq2=20 mH. Por sua vez, Leq2 está em 
série com L2 e L5, resultando em uma associação equivalente Leq3=Leq2+L2+L5=40 mH. A 
associação Leq3 está em paralelo com L1. Assim:
 A associação anterior está em paralelo com Lb, o que resulta em:
 A indutância final equivalente Leq será a associação série de Leq5 com La e Lc:
3. Circuitos RC
 Até o momento, foram abordados diversos conceitos e formulações referentes 
a circuitos elétricos somente com um tipo de elemento passivo (resistor, capacitor 
ou indutor). O objetivo principal desta metodologia foi apresentar como as tensões e 
correntes se comportam nestes tipos mais elementares de circuitos, bem como estudar 
as associações série, paralelo e mista destes elementos.
 Neste tópico serão apresentados os conceitos relativos a circuitos que combinam 
tanto resistores como capacitores, no sentido de se observar o comportamento dinâmico 
de tensões e correntes na energização e em regime permanente destes circuitos.
 Conforme visto nos tópicos anteriores deste capítulo, as tensões e correntes em 
um capacitor possuem em suas formulações derivadas de primeira ordem e integrais, 
isto é, basta, por exemplo, aplicar a derivada no tempo uma só vez na tensão para 
obter a corrente que atravessa um capacitor. Diferente do comportamento dinâmico 
em um resistor, em um capacitor haverá uma dinâmica de primeira ordem que será 
representada por uma equação diferencial linear em função do tempo. Nos tópicos 
a seguir, este conceito será importante para melhor compreender a modelagem e o 
comportamento dinâmico de um circuito RC.
 3.1. Circuito RC Sem Fonte De Entrada
 Um circuito RC sem fonte de entrada é composto por uma associação série entre 
um resistor R e um capacitor C inicialmente carregado, conforme ilustra a Figura 12. Para 
este circuito funcionar, considera-se que anteriormente este circuito estava conectado 
a uma fonte de tensão e que, num instante qualquer, ocorreu a desconexão dessa fonte, 
permitindo que o capacitor ficasse carregado com uma carga q e disponibilizando uma 
tensão inicial v(0)=V0.
83
Figura 13 – (a) Circuito RC sem fontes e (b) gráfico da tensão em função do tempo 
Fonte: elaborada pelo autor
 Aplicando a lei dos nós no circuito da Figura 13(a), tem-se que:
 Reorganização a equação (25), obtém-se uma equação diferencial de primeira 
ordem com coeficientes constantes, sendo a tensão v a variável a ser encontrada, 
conforme (26):
 Rearranjando (26) em termos da derivada da tensão v e integrando ambos os 
lados da equação, obtém-se:
 sendo K a constante de integração a ser determinada em função das condições 
iniciais do circuito. Reorganizando os termos da equação (27), tem-se que a função 
obtida da resolução da equação diferencial da tensão v será:
 O termo K é obtido fazendo-se t=0 na equação (28), que representa a solução 
geral da equação diferencial (26), na qual se obtém v(0)=K=V0. Portanto:
 O que claramente demonstra que a tensão num circuito com somente resistor 
e capacitor, dada uma condição inicial de tensão no capacitor V0, apresenta um 
comportamento exponencial decrescente com o tempo, conforme ilustra a Figura 13(b). 
Conforme discutido em Boylestad (2012), este tipo de resposta temporal é definido como 
a resposta natural de um sistema, sendo aquela que depende somente das condições 
iniciais dos elementos que a compõem.
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
84
FIQUE ATENTO
Na demonstração realizada neste tópico,considera-se, por questões didáticas apenas 
um resistor e um capacitor para demonstrar o comportamento dinâmico do circuito 
RC sem fontes de entrada. Entretanto, tal circuito poderá possuir qualquer quantidade 
de capacitores e resistores, de forma que tais conjuntos possam ser representados por 
uma associação equivalente de resistores e de capacitores e que também seja definido 
qual a tensão inicial que tal circuito apresenta. Logo, para os resistores, deverá ser ob-
tida, a partir dos terminais do capacitor, a resistência equivalente de Thévenin para um 
circuito em análise.
 Para o circuito RC apresentado, analisando a equação (29) e o gráfico da Figura 
13(b), observa-se que quanto menor o termo RC associado ao expoente, mais rápido a 
tensão irá decrescer e vice-versa. A este termo denomina-se constante de tempo de 
um circuito RC, representada pela letra grega tau:
 τ=RC
 Tal constante representa o tempo necessário para que a resposta decaia a um 
valor igual a 1/e ou 0.368 de seu valor inicial e está ilustrada na Figura 13(b). Em termos 
desta constante de tempo, a tensão no circuito e a corrente que atravessa o resistor, 
ambas podem ser expressas, respectivamente, pelas equações (30) e (31) a seguir:
 e
 3.2. Exemplo De Aplicação 3
 Considere o circuito ilustrado na Figura 14(a), no qual a chave ch1 vem operando 
por um tempo bastante longo, para permitir o carregamento total do capacitor de 20uF. 
Calcular a expressão da tensão no capacitor e no resistor de 20kΩ, em função do tempo, 
para t > 0 e após a abertura da chave ch1 em t = 0.
(29)
(30)
(31)
Figura 14 – (a) Circuito RC do exemplo 3 e (b) Circuito após a abertura da chave 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Quando o circuito da Figura 14(a) opera sob a condição apresentada, o capacitor 
é carregado com uma carga q e fica submetida a uma tensão V constante. Como não 
85
há variação de tensão sobre ele, o capacitor se comporta como um circuito aberto. 
Assim, a tensão no capacitor no tempo imediatamente anterior à abertura da chave 
será a tensão obtida a partir do divisor de tensão resistivo:
 Assim que a chave é aberta e, por consequência, a fonte de entrada desconectada 
do restante do circuito, em t = 0, inicia-se o descarregamento do capacitor. Assim, neste 
transiente de abertura da chave, a tensão vc (t=0-)=vc (t=0+)=12 V, sendo a condição inicial 
que irá compor as equações das tensões ora solicitadas, ficando o circuito conforme 
apresentado na Figura 14(b). Sabendo-se que a expressão geral da tensão em um 
circuito RC é dada por (30), então faz-se necessário calcular a resistência equivalente 
vista dos terminais do capacitor, ou a resistência de Thévenin, que irá compor o cálculo 
de τ=RC. Assim:
Rth=20kΩ+40kΩ=60kΩ⟹τ=RC=60kΩ×20μF=1,2 s
 no qual a tensão sobre o capacitor, em função do tempo, será: 
 e sobre o resistor de 20kΩ será:
 3.3.Circuito Rc Com Entrada Tipo Degrau
 Um sinal de tipo degrau é uma função no tempo que apresenta uma 
descontinuidade oriunda de uma comutação ou variação brusca na amplitude de um 
sinal constante no tempo. Este sinal é representado pelo gráfico da Figura 15(a) e é 
matematicamente descrito pela expressão (32):
u(t)={0, se t 0
 Uma característica interessante é que esta função apresenta uma indefinição 
no tempo t = 0, no momento da rápida mudança deste sinal. Se o sinal ocorrer em um 
tempo t0>0, essa função assume a forma gráfica apresentada na Figura 15(b), sendo 
matematicamente expressa por:
u(t-t0)={0, se t t0
 Esta função é essencial para representar variações de amplitude dos sinais 
associados às fontes de tensão e de corrente nos circuitos, em qualquer tempo t0>0. Se 
o tempo em que ocorrer a variação da tensão ou corrente de entrada em um circuito 
for em um tempo t0-t0
(32)
(33)
(34)
86
Figura 15 – (a) Função degrau unitário. (b) Degrau unitário para t0>0 e (c) para t00. 
Fonte: elaborada pelo autor
 Um circuito RC com fonte de tensão ou corrente de entrada do tipo degrau é 
composto por uma fonte de tensão ou corrente em associação série com um resistor 
R e um capacitor C inicialmente carregado, conforme ilustra a Figura 4.16(a), no qual a 
chave representa o efeito da variação do sinal de corrente ou tensão sobre o circuito, 
simulando uma função do tipo degrau acionada em um instante t=t0. Para efeitos 
didáticos, considera-se uma fonte de tensão de entrada constante Vf e que o capacitor 
se encontrava anteriormente carregado, apresentando uma tensão vc (t=0-)=vc 
(t=0+)=V0 em seus terminais. Aplicando a lei das malhas, tem-se que:
87
 sendo u(t) a função degrau unitário. No momento t=0^+ imediatamente após o 
fechamento da chave, a função degrau unitário é igual a 1. Dessa forma, reorganizando 
os termos em função de v, tem-se que:
 Aplicando a integral em ambos os lados da equação (38), obtém-se:
 Aplicando a exponencial e em ambos os lados de (39), obtém-se, considerando 
τ=RC:
 e a expressão da tensão v(t) sobre o capacitor será:
 cuja curva encontra-se representada na Figura 16(b). Analisando (41) e a 
respectiva curva no tempo, nota-se que, para t = 0, o valor inicial da tensão é a que se 
encontra no capacitor antes da chave ser fechada, isto é, v(t)=V0. Dessa forma, uma 
forma alternativa de representar (41) será:
 v(t)={V0, se t 0
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
Figura 17 – (a) Circuito RC com fonte de entrada tipo degrau. (b) Resposta do circuito RC com fonte e capacitor 
inicialmente carregado. 
Fonte: elaborada pelo autor
 Da segunda expressão que compõe (42), verifica-se que esta pode ser 
desmembrada por dois termos. O primeiro deles ocorre quando se considera somente 
a resposta transiente, ou seja, que decai à medida em que o tempo aumenta: 
 
 A segunda parte é referente à resposta em regime estacionário, que ocorre 
quando o tempo tende ao infinito, isto é,
(43)
88
vss (t)=Vf (44)
FIQUE ATENTO
Uma outra forma de se interpretar a resposta temporal do circuito RC com fonte de 
entrada é dividindo a solução temporal representada na equação (41) por um termo 
denominado de resposta natural e outro denominado de resposta forçada. O primeiro 
está associado à energia armazenada no capacitor, isto é, em função de , obtendo-se . 
O segundo termo está ligado à resposta temporal do circuito sob a influência direta da 
fonte externa.
 Analisando o gráfico da Figura 17(b) e a expressão (41), verifica-se que o termo 
V0 ocorre quando treescrever a expressão (41), para t > 0, 
como sendo:
FIQUE ATENTO
A resistência a ser utilizada no equacionamento apresentado e que define a constante 
de tempo é a resistência equivalente vista dos terminais do capacitor, isto é, será con-
ceitualmente igual à resistência de Thévenin a partir desses terminais. Neste caso, as 
regras já apresentadas para a obtenção do circuito auxiliar que permite calcular são 
também válidas (fontes de tensão independentes são substituídas por curto-circuito e 
fontes de corrente independentes por circuitos abertos).
 3.4. Exemplo De Aplicação 4
 Considere o circuito da Figura 18, no qual se encontrava em regime estacionário 
com a chave ch1 fechada, no momento em que no tempo t = 0 ocorre a abertura da 
chave. Calcular v(t) para t > 0.
Figura 18 – Circuito RC para o exemplo 4 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Quando o circuito da Figura 18 opera sob a condição apresentada, o capacitor 
é carregado com uma carga q e fica submetido a uma tensão V constante. Para 
determinar a tensão sobre o capacitor para t 0, baseada nas condições iniciais anteriores e em regime 
permanente do circuito, é igual a:
v(t)=20-2,5×e-9tV
4. Circuitos RL
 De forma similar ao estudado para o circuito RC, neste tópico serão apresentados 
os conceitos relativos a circuitos que combinam resistores e indutores, no sentido de 
se observar o comportamento dinâmico de tensões e correntes na energização e em 
regime permanente destes circuitos.
 Conforme visto nos tópicos anteriores deste capítulo, as tensões e correntes em 
um indutor também possuem em suas formulações derivadas de primeira ordem e 
integrais, isto é, basta, por exemplo, aplicar a derivada no tempo uma só vez na corrente 
que atravessa um indutor para obter a tensão sobre este elemento. Diferente do 
comportamento dinâmico em um resistor, em um indutor haverá uma dinâmica de 
primeira ordem que será representada por uma equação diferencial linear em função 
do tempo. Nos tópicos a seguir, este conceito será importante para melhor compreender 
a modelagem e o comportamento dinâmico de um circuito RL.
 4.1. Circuito Rl Sem Fonte De Entrada
 Um circuito RL sem fonte de entrada é composto por uma associação série entre 
um resistor R e um indutor L com uma corrente inicial i, conforme ilustra a Figura 12. Para 
este circuito funcionar, considera-se que anteriormente este circuito estava conectado a 
uma fonte de tensão ou de corrente e que, num instante qualquer, ocorreu a desconexão 
dessa fonte, permitindo que o indutor ficasse operando com uma corrente inicial i(0)=I0.
(44)
90
Figura 20 – (a) Circuito RL sem fontes e (b) gráfico da corrente em função do tempo 
Fonte: elaborada pelo autor
 Aplicando a lei das malhas no circuito da Figura 20(a), tem-se que: 
 Reorganização a equação (45), obtém-se uma equação diferencial de primeira 
ordem com coeficientes constantes, sendo a tensão i a variável a ser encontrada, 
conforme (46):
 Rearranjando (46) em termos da derivada da tensão i e integrando ambos os 
lados da equação, obtém-se:
 sendo K a constante de integração a ser determinada em função das condições 
iniciais do circuito, isto é, K=I0. Reorganizando os termos da equação (47), tem-se que a 
função obtida da resolução da equação diferencial da tensão i será:
 o que claramente demonstra que a corrente num circuito com somente com 
resistor e indutor, dada uma condição inicial de corrente no indutor I0, apresenta um 
comportamento exponencial decrescente com o tempo, conforme ilustra a Figura 20(b), 
sendo a resposta natural de um sistema e depende somente das condições iniciais dos 
elementos que a compõem.
 De forma similar ao analisado para um circuito RC, observa-se que quanto menor 
o valor do termo L/R associado ao expoente, mais rápido a corrente irá decrescer e vice-
versa. A este termo denomina-se constante de tempo de um circuito RL, em segundos, 
representada pela letra grega tau:
 
 Tal constante representa o tempo necessário para que a resposta decaia a um 
valor igual a 1/e ou 0.368 de seu valor inicial e está ilustrada na Figura 20(b). Em termos 
desta constante de tempo, a corrente que atravessa o indutor e a tensão sobre este, 
ambas podem ser expressas, respectivamente, pelas equações (50) e (51) a seguir:
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
91
i(t)=I0×e-t/τ
 e
v(t)=Ri(t)=R×I0×e-t/τ
 4.2. Circuito Rl Com Entrada Tipo Degrau
 Um circuito RL com fonte de tensão ou corrente de entrada do tipo degrau é 
composto por uma fonte de tensão ou corrente em associação série com um resistor 
R e um indutor L com uma corrente inicial I0, conforme ilustra a Figura 21(a), no qual a 
chave representa o efeito da variação do sinal de corrente ou tensão sobre o circuito, 
simulando uma função do tipo degrau acionada em um instante t=t0. Para efeitos 
didáticos, considera-se uma fonte de tensão de entrada constante Vf e que o indutor 
possui uma corrente inicial i(t=0-)=i(t=0+)=I0. Aplicando a lei das malhas, tem-se que:
 sendo u(t) a função degrau unitário. No momento t=0+ imediatamente após o 
fechamento da chave, a função degrau unitário é igual a 1. Dessa forma, reorganizando 
os termos em função de i, tem-se que:
 Aplicando a integral em ambos os lados da equação (53), obtém-se:
 Aplicando a exponencial e em ambos os lados de (54), obtém-se, considerando 
τ=L/R:
(R×i-Vf)=(R×I0-Vf)×e-tR/L
 e a expressão da corrente i(t) será:
 A curva encontra-se representada na Figura 21(b). Analisando (56) e a respectiva 
curva no tempo, nota-se que, para t = 0, o valor inicial da corrente é que circula no 
indutor antes da chave ser fechada, isto é, i(t)=I0. Dessa forma, uma forma alternativa 
de representar (56) será:
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
92
Figura 21 – (a) Circuito RL com fonte de entrada tipo degrau. (b) Resposta do circuito RL com fonte e indutor com 
corrente inicial 
Fonte: elaborada pelo autor
 Da segunda expressão que compõe (57), verifica-se que esta pode ser 
desmembrada por dois termos. O primeiro deles ocorre quando se considera somente 
a resposta transiente, ou seja, que decai à medida que o tempo aumenta:
 A segunda parte é referente à resposta em regime estacionário, que ocorre 
quando o tempo tende ao infinito, isto é,
 De forma similar ao circuito RC, analisando o gráfico da Figura 4.20(b) e a 
expressão (56), verifica-se que o termo I0 ocorre quando tde 12 V. No instante t = 0, as chaves ch1 e ch2 comutam, 
respectivamente, para as posições aberta e fechada, ficando o indutor energizado pela 
fonte de 6 V em série com um resistor de 1Ω. Calcular i(t) para t > 0 e o valor aproximado 
de i em t = 10 segundos.
93
Figura 22 – (Circuito RL para o exemplo 5 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Quando o circuito da Figura 22 opera com a chave ch1 e a ch2 aberta, a tensão 
de entrada do circuito RL será a de 12 V. Aplicando a lei dos nós nesse circuito a partir do 
ponto a, obtém-se:
 e a corrente que atravessa o indutor em t 0. A Figura 23(b) é uma situação particular do circuito 
RLC com fonte de entrada, na qual a resposta do sistema será somente em função das 
condições iniciais do indutor e capacitor.
Figura 23 – Circuitos RLC paralelo: (a) com fonte de entrada e (b) sem fonte de entrada. 
Fonte: elaborada pelo autor
 Aplicando a lei dos nós no circuito da Figura 23(a), tem-se que:
 Derivando a equação (61), obtém-se:
 Para o circuito RLC paralelo sem fonte de entrada, na Figura 23(b), a equação (62) 
fica igual a:
 Pelo equacionamento apresentado em (62) e (63), o circuito RLC paralelo é 
representado por uma equação diferencial de segunda ordem a coeficientes constantes.
(61)
(62)
(63)
Figura 24 – Circuitos RLC série: (a) com fonte de entrada e (b) sem fonte de entrada. 
Fonte: elaborada pelo autor
 De forma similar ao circuito RLC paralelo, para o circuito RLC série com fonte de 
entrada ilustrado na Figura 24(a), aplicando-se a lei das malhas, obtém-se:
95
 Derivando a equação (64), tem-se que:
 O que também demonstra que o circuito RLC série é descrito por uma equação 
diferencial de segunda ordem. O conjunto de soluções gerais serão apresentados no 
subitem a seguir.
 5.1. Solução Geral Das Equações Diferenciais Do Circuito RLC
 Os circuitos RLC são descritos por equações diferenciais de segunda ordem 
autônomas do tipo:
 sendo x(0)=x0 e as condições iniciais do sistema e os coeficientes 
constantes α>0 e ω0>0. O parâmetro α é denominado de coeficiente de amortecimento 
exponencial e ω0 é a frequência de ressonância ou natural não amortecida (IRWIN, 2023). 
Da fundamentação teórica de equações diferenciais de segunda ordem, uma solução 
a ser adotada é a do tipo:
x(t)=K×eλt
 com K≠0 e λ≠0 a serem determinados. Substituindo (67) na equação (66), obtém-
se:
 (λ²+2αλ+ω0
2)×Keλt=0
 no qual se obtém a seguinte equação característica:
λ²+2αλ+ω0
2=0
 sendo as raízes dessa equação:
 que podem ser reais ou complexas a depender dos valores de α e de ω0. Dessa 
forma, existirão 3 casos que conduzirão a diferentes comportamentos dinâmicos:
 Caso 1 (α > ω0): o sistema é denominado de sobreamortecido e as raízes λ1 e λ2 
serão reais e distintas. A solução será da forma:
 no qual x(t) tenderá a zero, obedecendo a uma função exponencial decrescente. 
A curva de resposta encontra-se ilustrada na Figura 25(a).
(65)
(66)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
96
 Caso 2 (α ω0, α=ω0 e α ω0). As raízes serão reais e negativas, sendo a 
resposta no tempo igual a:
 Circuito criticamente amortecido (α = ω0). As raízes serão reais e iguais, sendo a 
resposta no tempo igual a:
v(t)=K1 e-αt+K2te-αt
 Circuito subamortecido (α2. Transformação De Fontes........................................................................................................................58
3. Teorema De Thévenin...................................................................................................................................59
 3.1. Exemplo De Aplicação 1.........................................................................................................................62
4. Teorema De Norton.......................................................................................................................................63
 4.1. Exemplo De Aplicação 2.........................................................................................................................64
5. Máxima Transferência De Potência...................................................................................................66
 5.1 Exemplo De Aplicação 3..........................................................................................................................67
 FIXANDO O CONTEÚDO.............................................................................................................69
 UNIDADE 4 
 CIRCUITOS COM CAPACITORES E INDUTORES......................................................72
1. Capacitores E Associação Em Série E Paralelo..........................................................................73
 1.1. Associação Em Série De Capacitores............................................................................................76
 1.2. Associação Em Paralelo De Capacitores....................................................................................77
 1.3. Exemplo De Aplicação 1...........................................................................................................................77
2. Indutores E Associação Em Série E Paralelo.................................................................................78
 2.1. Associação Em Série De Indutores.................................................................................................80
 2.2. Associação Em Paralelo De Indutores..........................................................................................81
 2.3. Exemplo De Aplicação 2........................................................................................................................81
3. Circuitos RC........................................................................................................................................................82
 3.1. Circuito RC Sem Fonte De Entrada..................................................................................................82
 3.2. Exemplo De Aplicação 3.......................................................................................................................84
 3.3.Circuito Rc Com Entrada Tipo Degrau..........................................................................................85
 3.4. Exemplo De Aplicação 4.......................................................................................................................88
4. Circuitos RL..........................................................................................................................................................89
 4.1. Circuito Rl Sem Fonte De Entrada...................................................................................................89
 4.2. Circuito Rl Com Entrada Tipo Degrau..........................................................................................91
 4.3. Exemplo De Aplicação 5.......................................................................................................................92
5. Circuitos RLC......................................................................................................................................................93
 5.1. Solução Geral Das Equações Diferenciais Do Circuito RLC...........................................95
 5.2. Circuito RLC Paralelo Sem Fonte......................................................................................................97
 5.3. Resposta Ao Degrau Para O Circuito RLC Paralelo............................................................98
 5.4. Exemplo De Aplicação 7........................................................................................................................98
 5.5. Circuito RLC Série Sem Fonte.............................................................................................................99
 5.6. Resposta Ao Degrau Para O Circuito RLC Série...................................................................100
 5.7. Exemplo De Aplicação 8.......................................................................................................................101
 FIXANDO O CONTEÚDO...........................................................................................................103
8
 UNIDADE 5
 FUNÇÕES SENOIDAIS E CIRCUITOS CA................................................................................106
1. Introdução.........................................................................................................................................................107
 1.1. Números Complexos E Propriedades............................................................................................107
2. Senoides E Fasores........................................................................................................................................110
 2.1. Senoides...........................................................................................................................................................110
 2.2. Conceito Sobre Fasores.......................................................................................................................112
 2.3. Relações Fasoriais Envolvendo Resistores................................................................................112
 2.4. Relações Fasoriais Envolvendo Indutores.................................................................................113
 2.4. Relações Fasoriais Envolvendo Capacitores..........................................................................114
3. Impedância E Admitância.......................................................................................................................116
 3.1. Impedância Em Um Circuito Elétrico.............................................................................................116
 3.2. Admitância Em Um Circuito Elétrico.............................................................................................117
 3.3. Exemplo De Aplicação 1.........................................................................................................................118
4. Análise Nodal E De Malhas Em Circuitos CA................................................................................118
 4.1. Exemplo De Aplicação 2........................................................................................................................119
 4.2. Exemplo De Aplicação 3......................................................................................................................120
 4.3. Exemplo De Aplicação 4......................................................................................................................121
 4.3. Exemplo De Aplicação 5.....................................................................................................................122
5. Circuitos RC E RL Em Corrente Alternada.....................................................................................123
 5.1. Circuitos RL....................................................................................................................................................123
 5.2. Circuitos RC.................................................................................................................................................123e 
o fechamento da ch2, assim permanecendo. Qual o valor aproximado da corrente i no 
instante de tempo t = 10 segundos? Considere e≅2,78. 
a. 0,5 A 
b. 0,3 A 
c. 0,88 A 
d. 0,63 A 
e. 1,3 A 
106
FUNÇÕES SENOIDAIS E 
CIRCUITOS CA
107
 Neste capítulo, serão tratados os aspectos referentes a circuitos elétricos 
compostos por resistores, indutores e capacitores que operam sob tensões e correntes 
que variam de forma periódica no tempo. Serão abordados conceitos referentes a 
circuitos em corrente alternada, notação fasorial, impedância e admitância e resolução 
de circuitos por análise nodal e de malha.
1. Introdução
 De forma complementar ao apresentado nas unidades anteriores acerca da 
análise de circuitos elétricos em corrente contínua, nesta Unidade será apresentado 
um ferramental essencial para análise de circuitos elétricos que possuem fontes 
de tensão e de corrente alternadas no tempo. De uma maneira geral, o conceito de 
circuitos elétricos em corrente alternada envolvem a representação de sinais de tensão 
e corrente elétrica que variam de forma alternada e periódica no domínio do tempo e 
podem ser representadas por funções trigonométricas senoidais e cossenoidais do tipo 
x(ωt)=AM sen(ωt±θ) ou x(ωt)=AM cos(ωt±θ), onde AM é a amplitude da grandeza elétrica 
(tensão, corrente ou potência), ω a frequência angular (em rad/s), θ o ângulo de fase 
inicial da senoide ou cossenoide variante no tempo.
 Em circuitos com corrente alternada (CA), conforme será visto nesta Unidade, 
os indutores e capacitores apresentam um funcionamento distinto em relação aos 
circuitos com corrente contínua, já que haverá associado a esses componentes um 
fator dependente da frequência angular de operação. Isto é, para cada frequência 
associada a fonte de tensão ou corrente alternada, a variação, em regime permanente, 
da tensão sobre o capacitor ou da corrente sobre o indutor será também alternada, ao 
invés de se comportarem como um circuito aberto (no caso do capacitor) ou como um 
circuito (no caso do indutor). No caso dos resistores, não há dependência de operação 
em função da frequência de entrada.
 Para os cálculos de parâmetros em circuitos elétricos em CA, será necessária 
uma compreensão prévia das propriedades de números complexos, conforme subitem 
a seguir, já que um sinal senoidal pode ser representado em função de exponenciais 
complexas, reduzindo o esforço nos cálculos em circuitos elétricos.
 1.1. Números Complexos E Propriedades
 Conhecido também por conjunto dos números imaginários, o conjunto dos 
números complexos contém o conjunto dos números reais e irracionais, conforme 
ilustrado na Figura 1. 
Figura 1 – Conjunto dos números complexos. 
Fonte: elaborada pelo autor
108
 Números complexos podem ser tipicamente representados de três formas: 
retangular, trigonométrica ou polar. Na forma retangular, um número complexo é 
representado conforme Equação (1):
z=x+jy 
 sendo o operador imaginário, x é a parte real de z ou x=Re(z) e y 
é a parte imaginária de z ou y=Im(z). É possível representar graficamente o número 
complexo z conforme Figura 2 através do plano de Argand-Gauss, onde se nota que P 
representa unicamente um ponto no plano complexo denominado de afixo. Assim, para 
sua representação gráfica, tem-se, no eixo das abscissas, a representação da parte 
real e no eixo das ordenadas, a parte imaginária.
(1)
Figura 2 – Representação no plano complexo. 
Fonte: elaborada pelo autor
 Ainda na Figura 2, é possível definir o e o módulo de um número complexo z, dado 
por , e o argumento θ (pertencente ao intervalo [0,2π]) de um número 
complexo z, que corresponde ao ângulo entre a parte real e a reta que contém a origem 
e o ponto P. A representação que utiliza o módulo |z| e o argumento θ é denominada 
forma trigonométrica ou polar, sendo z reescrito conforme Equação (2).
z=|z|∠θ
 Na forma polar, z pode ser reescrito conforme Equação 3:
 z=|z| ejθ
 sendo o termo exponencial ejθ a identidade de Euler, representada pela Equação 
(4):
ejθ=□cos cos (θ) +jsen(θ)
 Com base na Figura 2 e na identidade de Euler, é possível obter uma equivalência 
entre as formas trigonométrica e polar de z, que pode ser reescrita conforme Equação 
(5):
 z=|z|ejθ=|z|cos cos (θ) +j|z|sen(θ)
 sendo que é também possível obter as seguintes relações, comparando-se com 
a forma retangular: x=|z| cos cos (θ) , y=|z|sen(θ) e θ=arctan . A Tabela 1 resume as 
três representações aqui descritas para o número complexo não nulo z.
(2)
(3)
(4)
(5)
109
Retangular Trigonométrica Polar
Tabela 1 – Representação no plano complexo. 
Fonte: elaborada pelo autor
 A seguir serão apresentadas as principais operações e propriedades matemáticas 
envolvendo números complexos.
 a)Igualdade de números complexos
 Dois números complexos z1 e z2, definidos como:
 são iguais se e somente se x1=x2 e y1=y2 ou |z1 |=|z2 | e θ1=θ2±360∘ n, com n ∈ N.
 b)Conjugado de um número complexo.
 O conjugado de um número complexo z=x+jy é definido pela Equação (6):
z*=x-jy
 isto é, z e z* são complexos conjugados se possuem partes reais iguais e partes 
imaginárias com sinais opostos ou simétricas. É possível notar que z e z* possuem o 
mesmo módulo |z| e, em termos de representação polar e exponencial, os ângulos são 
opostos, o que permite escrever:
 z*=x-jy=|z|[∠(-θ)]=|z|e-jθ
 c)Adição e Subtrção Dição e Subtração entre números complexos
 A soma de dois números complexos z1=x1+jy1 e z2=x2+jy2 é dada pela adição 
individual das partes reais e das partes imaginárias de cada número representado em 
sua forma retangular, conforme representado pela Equação (8):
z1+z2=x1+jy1+x2+jy2 =(x1+x2)+j(y1+y2)
 
 A subtração de dois números complexos é realizada de maneira conceitualmente 
similar, subtraindo-se individualmente as partes reais e as partes imaginárias dos 
números complexos representados em sua forma retangular e envolvidos na operação, 
conforme apresentado na Equação (9):
z1-z2=(x1+jy1 )-(x2+jy2 )=(x1-x2)+j(y1-y2)
(6)
(7)
(8)
(9)
110
 Ressalta-se que as operações adição e subtração nas formas polar e exponencial 
são simples se os números estiverem expressos na forma retangular. Além disso, a soma e 
a subtração de um número complexo com o seu conjugado resultam, respectivamente, 
num número real e num número imaginário.
 d) Multiplicação E Divisão Entre Números Complexos.
 Dados dois números complexos representados na forma retangular, a 
multiplicação entre eles é representada pela Equação (10):
z1×z2=(x1+jy1 )×(x2+jy2 )=(x1 x2-y1 y2)+j(x1 y2+x2 y1)
 Nas formas polar e exponencial, a multiplicação é representada conforme 
Equação (11):
 Dessa forma, verifica-se que a multiplicação nas formas polar e exponencial é 
realizada multiplicando-se os módulos de cada número complexo e somando-se seus 
respectivos ângulos. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um 
número real, já que z×z*=|z||z|∠(θ-θ)=z2.
 A divisão entre dois números complexos representados na forma retangular é 
dada pela Equação (11), onde o denominador é racionalizado para remover a parte 
complexa. Este procedimento é realizado multiplicando-se o numerador e denominador 
pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador da divisão.
 A divisão nas formas polar e exponencial é dada pela Equação (13), de onde se 
conclui que basta dividir as magnitudes e subtrair os ângulos dos números complexos 
envolvidos na operação. Esta operação é muito utilizada nos cálculos em circuitos 
elétricos, conforme será ilustrado ao longo do texto deste trabalho.
(10)
(11)
(12)
(13)
2. Senoides E Fasores
 Neste item também serão apresentados os conceitos principais referentes a 
senoides e à representação fasorial para elementos de circuitos elétricos (resistor, 
indutor e capacitor), demonstrando como ocorre a relação de fasores de tensões e 
correntes elétricas nestes elementos. A utilização dos conceitos e formulações a serem 
apresentados neste item serão extensivamente utilizados ao longo dosassuntos.
 2.1. Senoides 
 Uma senoide é uma função matemática da forma:
111
 x(ωt)=AM sen(ωt)
 onde AM é a amplitude da grandeza elétrica (tensão, corrente ou potência, por 
exemplo) e ω a frequência angular (em rad/s). Uma senoide é uma função periódica e 
se repete a cada período T (em unidade de tempo), conforme Figura 5.3(a), ou a cada 
2π radianos, conforme ilustra a Figura 3(b), isto é, x[ω(t+T)]=x(ωt). Observando a Figura 
5.3(a), tal repetição ocorre a cada período de T segundos, sendo o número de ciclos por 
segundo igual à frequência f, cuja unidade é o Hertz:
 Como no gráfico da Figura3(b) a senoide se repete a cada ωt=2π ciclo, então a 
frequência angular ω pode ser expressa por:
(14)
(15)
(16)
Figura 3 – (a) Senoide em função de t e (b) em função de ωt 
Fonte: elaborada pelo autor
 A forma geral de representar uma função senoidal é dada por:
x(t)=A_M sen(ωt+θ)
 onde AM é a amplitude da grandeza elétrica (tensão, corrente ou potência), ω 
a frequência angular (em rad/s), θ o ângulo de fase inicial da senoide ou cossenoide 
variante no tempo e ωt+θ o argumento da função. Devido ao ângulo de fase, uma senoide 
estará defasada de θ radianos ou graus em relação à função AM sen(ωt). Considerando 
a expressão (14), se o ângulo θ>0, então a função AM sen(ωt+θ) encontra-se adiantada 
em relação AM sen(ωt). Caso θelétrico em corrente alternada. Destaca-se que as relações fasoriais obtidas no 
item 2 para o resistor, indutor e capacitor correspondem às impedâncias dos circuitos 
das Figuras 5, 7 e 9, isto é, às relações entre tensão e corrente conforme Equação (39).
Elemento Impedâncias
Resistor Z=R
Indutor Z=jωL=jXL e XL=ωL a reatância indutiva
Capacitor a reatância capacitiva
Tabela 2 – Impedâncias de elementos passivos. 
Fonte: elaborada pelo autor
117
 Igualando as Equações (40) e (41), obtém-se a forma retangular da impedância:
Z∠θz=R+jX
 no qual , , e 
 Na associação de impedâncias, é possível demonstrar, conforme descrito em Sadiku 
(2013), que as leis dos nós e das malhas de Kirchhoff são aplicáveis às representações 
de tensões e correntes no domínio da frequência. Assim sendo, considerando uma 
fonte de tensão na entrada de um circuito composto por n impedâncias em série, a 
associação equivalente Zeq em série dessas impedâncias será:
Zeq=Z1+Z2+⋯+Zn
 Caso as n impedâncias estejam associadas em paralelo, a impedância equivalente 
será dada por:
 3.2. Admitância Em Um Circuito Elétrico
 A admitância em um circuito elétrico, cuja unidade de medida é o Siemens (S), 
corresponde à representação recíproca da impedância (Irwin, 2023), isto é:
 Que guarda relação direta com a condutância em circuitos puramente resistivos 
(inverso da resistência). A representação complexa da admitância Y é dada por:
Y=Y∠θY=G+jB
 Onde G e B são chamados de condutância e susceptância, respectivamente. 
Reescrevendo (45) em função de R e X, tem-se que:
 Com . A Tabela 3 descreve as admitâncias dos 
elementos resistivos, capacitivos e indutivos de um circuito elétrico.
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
Elemento Admitâncias
Resistor YR=1/R=G (condutância)
Indutor e (susceptância indutiva)
Capacitor e (susceptância capacitiva)
Tabela 3 – Admitância de elementos passivos. 
Fonte: elaborada pelo autor
118
 De forma similar ao adotado para a associação de impedâncias, a admitância 
equivalente de n elementos associados em paralelo e representados por admitâncias 
Y1, Y2 a Yn será:
Yeq=Y1+Y2+⋯+Yn
 A admitância equivalente em série de n elementos será dada por:
VAMOS PENSAR?
É possível combinar em um mesmo circuito os conceitos de impedância e admitância 
para simplificação dos cálculos de impedância ou admitância equivalente? Quais se-
riam as regras e conceitos a serem adotados e quais as restrições a serem impostas?
 3.3. Exemplo De Aplicação 1
 Em um dado circuito, a impedância equivalente vista dos terminais de uma fonte 
de tensão alternada é Z=20∠-30°. Determine: (i) a resistência e a reatância associada a 
esta impedância; (ii) a admitância equivalente.
 Resolução:
 Convertendo a impedância Z na forma retangular, tem-se que:
20∠-30°=20×cos(-30°)+j20×sen(-30°)=17,32-j10 Ω
 Então R=17,32 Ω e XC=10 Ω. Note que, como Xigual a:
 Assim, conectada ao ramo que contém a reatância capacitiva de -j4 Ω com o 
resistor de 4 Ω, tem-se a fonte de corrente iS com a impedância ZS. Entretanto, ainda é 
possível aplicar novamente uma transformação de fontes envolvendo iS e ZS, de forma 
que resulte numa nova fonte de tensão VS2 em série com ZS e com a reatância capacitiva 
122
de -j4 Ω e com o resistor de 4 Ω. Logo, VS2 será igual a:
VS2=(5∠30°) A ×(1.8+j0.4) Ω=9.2119∠42.5°
 Assim, obtém-se um circuito final com a fonte VS2 em série com ZS e com uma 
impedância equivalente de (4 -j6) Ω. A tensão Vx sobre o resistor de 4 Ω pode ser obtida 
do divisor da tensão VS2, da seguinte forma:
 4.3. Exemplo De Aplicação 5
 Com base no circuito da Figura 15, calcule o equivalente de Thévenin e de Norton 
em relação aos terminais “a” e “b”.
Figura 15 – Circuito para o exemplo de aplicação 5 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Em circuitos puramente resistivos em corrente contínua, o circuito equivalente 
de Thévenin é dado por uma tensão equivalente VTh e uma resistência equivalente RTh, 
ambos em série. Já para o equivalente de Norton, o circuito equivalente é uma fonte 
de corrente IN em paralelo com um resistor RN. Tais representações são equivalentes se 
RTh=RN e . 
 Para circuitos contendo resistores, capacitores e indutores operando com fontes 
de tensão e/ou corrente alternadas no tempo, as representações de Thévenin e de 
Norton serão dadas de forma similar ao apresentado anteriormente, sendo que agora 
existirá uma impedância equivalente ZTh=ZN, que agora considera tanto a resistência 
como a reatância, ilustrando que o visto nas Unidades anteriores correspondia a um 
caso particular, isto é, somente contendo resistências. Dessa forma, analisando o 
circuito da Figura 15, entre os pontos “a” e “b”, a impedância de Thévenin será igual a 
uma associação mista dada por:
ZTh=[(5 -j10)Ω∥j5 Ω] + 10Ω + 10Ω = 22.5+j7.5 Ω
 Para calcular VTh, deve-se observar que: (i) como entre os pontos “a” e “b” existe 
um circuito aberto, então a corrente que circula nos 2 resistores de 10Ω é nula. Assim, a 
tensão de VTh será a obtida considerando que há um divisor de tensão por impedância 
associada à reatância indutiva de j5 Ω. Assim:
123
 Logo, o equivalente de Norton será dado por:
 e ZN=ZTh=22.5+j7.5 Ω.
5. Circuitos RC E RL Em Corrente Alternada
Neste item serão apresentadas as equações de correntes e tensões em função do 
tempo para os circuitos RL e RC ilustrados na Figura 16, nas quais serão obtidas a partir 
de representação fasorial. O objetivo principal é ilustrar que é possível obter uma 
formulação geral no tempo a partir utilização de fasores.
Figura 16 – (a) Circuito RL e (b) circuito RC 
Fonte: elaborada pelo autor
 5.1. Circuitos RL
Considere o circuito da Figura 16(a). A equação diferencial deste circuito é dada por:
 Conforme visto anteriormente, das expressões (27), (32) e considerando que a 
tensão de entrada alternada pode ser representada fasorialmente por V=VM∠0°, então 
(48) pode ser reescrita como:
jωLI+RI=V
então, aplicando a representação retangular para números complexos, é possível obter:
 que representa a equação i(t) na forma fasorial. Isto demonstra que, a partir da 
equação diferencial no tempo que representa o funcionamento do circuito RL série, é 
possível obter sua solução em representação fasorial.
 5.2. Circuitos RC
 Considere o circuito da Figura 16(b). A equação diferencial deste circuito é dada 
(48)
(49)
(50)
124
por:
 Conforme visto anteriormente, das expressões (27), (37) e considerando que a 
corrente de entrada alternada pode ser representada fasorialmente por I=IM∠0°, então 
(51) pode ser reescrita como:
 então, aplicando a representação retangular para números complexos, é possível 
obter:
 que representa a equação v(t) na forma fasorial. Isto demonstra que, a partir da 
equação diferencial no tempo que representa o funcionamento do circuito RC paralelo, 
é possível obter sua solução em representação fasorial.
(51)
(52)
(53)
Resistores, indutores e capacitores, em conjunto com componentes se-
micondutores (diodos e transistores) podem ser associados para com-
por circuitos responsáveis para ajuste, em valores pré-determinados, de 
tensão contínua, a exemplo das fontes tipo buck (abaixadora de ten-
são). No vídeo é explicado como indutores e capacitores se comportam 
em função do tempo para executar a função ora descrita.
Disponível em: https://shre.ink/tR4g. Acesso em: 01 abr. 2025.
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125
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CM-SP) Uma fonte senoidal de 200V alimenta a associação de um resistor de 40Ω 
em série com um capacitor de 100µF. Sabendo-se que a corrente elétrica do circuito é 
de 4A, a frequência da fonte é de:
a. 250/3π Hz
b. 500/3π Hz
c. 750/3π Hz
d. 900/3π Hz
e. 950/3π Hz
2. (CM-SP) Um circuito composto por um resistor R, um capacitor C de 25µF e um indutor 
L de 10mH ligados em paralelo é superamortecido para o resistor R de:
a. 100 Ω.
b. 70 Ω.
c. 55 Ω.
d. 19 Ω.
e. 7 Ω.
3. (TRANSPETRO) Fasores são elementos complexos, bastante empregados na solução 
de circuitos em corrente alternada, em seu estado estacionário senoidal. A Figura abaixo 
mostra o diagrama fasorial de uma fonte de tensão monofásica E alimentando uma 
carga com tensão terminal VT, conectadas por meio de um cabo, cuja impedância é 
Z=R+jX.
Analisando-se o diagrama fasorial, conclui-se que a
a. tensão E está em fase com a queda de tensão na resistência da linha.
b. tensão E está atrasada em relação à tensão terminal VT de um ângulo δ
c. carga alimentada pelo gerador tem fator de potência indutivo.
d. regulação de tensão do gerador é negativa, uma vez que |E|função da diferença de fases das ondas de tensão e de corrente, e outro dependente 
do tempo. Para obter a potência média PM, integra-se a expressão p(t) em um intervalo 
de tempo entre t0 e t0+T, sendo o período das ondas de tensão e corrente. Como 
a integral definida para o termo cos(2ωt+θv+θi) sobre um período completo é igual a 
zero, então a potência média será obtida a partir do termo cos(θv-θi), resultando em:
 
 O argumento pode ser positivo (com θv-θi>0), negativo (com θv-θie a potência 
reativa, que pode ser diretamente obtida do triângulo de potências: 
Q=P×tan(θZ)
 sendo bastante aplicada em cálculos envolvendo a correção de fator de potência 
de uma instalação elétrica.
 3.2. Correção Do Fator De Potência
 O fator de potência indica o quanto da potência total fornecida (VA ou volt-
ampère) é efetivamente utilizada como potência ativa (W), quantificando a eficiência 
de utilização da energia elétrica pelo equipamento ou instalação. Valores de fator de 
potência próximos do valor unitário indicam uso eficiente de energia elétrica, enquanto 
baixos valores evidenciam mau aproveitamento, além de sobrecarregar o sistema 
elétrico.
 É comum a necessidade de ajuste do fator de potência de uma rede elétrica, no 
qual geralmente predominam cargas compostas por motores de indução, visando a 
redução das perdas de energia elétrica e aumento da eficiência de uma instalação 
elétrica (residencial, comercial ou industrial). Dessa forma, considere o circuito 
ilustrado na Figura 2, composto por uma carga com um determinado fator de potência 
e, em paralelo, um capacitor cujo valor será determinado para correção do fator de 
potência. A potência complexa original é dada por:
Satual=Patual+jQatual=|Satual |∠θatual
 Quando da inserção do capacitor C, a nova potência complexa será dada por:
Snova=Pnova+jQnova=|Snova |∠θnova
 A diferença entre as potências complexas resultará na potência complexa 
necessária para definir o valor do capacitor (em situações reais, de um banco de 
capacitores), através da seguinte expressão:
SC=Snova-Satual=+jQC=-jωCV²RMS
(20)
(21)
(22)
134
Figura 2 – Circuito para correção de fator de potência 
Fonte: elaborada pelo autor
 O exemplo a ser apresentado no subitem a seguir é uma aplicação prática que 
visa determinar o valor de um grupo de capacitores que irá aumentar o fator de potência 
de uma instalação.
3.3. Exemplo De Aplicação 1
 Considere a situação descrita a seguir: uma carga industrial consiste de um grupo 
de motores elétricos (carga indutiva) e consome uma potência ativa de 100 kW com um 
fator de potência (FP) de 0.8 em atraso, alimentados por uma tensão de 220 V (com fase 
igual a 0^°), em 60 Hz. O objetivo é aumentar a eficiência da instalação, incrementando o 
fator de potência para 0.95 em atraso através de um banco de capacitores em paralelo 
com o grupo de motores. Na Figura 3 é ilustrado o circuito do exemplo em epígrafe, 
sendo IA a corrente total fornecida pela rede elétrica, IL a corrente consumida pela carga 
industrial e IC a corrente a ser consumida pelo capacitor a ser instalado após o cálculo 
da correção do fator de potência.
Figura 3 – Circuito para correção de fator de potência 
Fonte: elaborada pelo autor
 Resolução:
 Sendo o FP igual a 0.8, o ângulo será θatual=cos-1(0.8)=36.87°. Assim, a potência reativa 
atual da carga sem correção do FP, baseado no triângulo das potências, será igual a:
Qatual=Patual tan tan (θatual)=100×103×0.75=75 kVAr
 Assim, a potência complexa atual será dada por:
135
Satual=Patual+jQatual=100000+j75000 VA
 Como o FP exigido será de 0.95 em atraso, então a nova potência complexa será 
igual a:
Snova=Pnova+jQnova=Pnova+j[Pnova tan tan ( θnova)]=
=100000+j[100000*tan tan (cos-1 (0.95) ]=100000+j32868 VA
 Logo, a potência reativa a ser compensada pelo capacitor será:
SC=Snova-Satual=32868-75000=-j42132 VA
 Assim, o banco de capacitores a ser instalado terá o seguinte valor:
 Importante destacar que a potência ativa e as especificações da carga industrial 
permaneceram inalteradas durante o processo de determinação do capacitor para 
correção do FP. Observa-se também que, pela natureza da aplicação, predominou a 
utilização dos números complexos na forma retangular. A representação do triângulo 
das potências no plano complexo, para o exemplo realizado, encontra-se ilustrada na 
Figura 4.
Figura 4 – Representação gráfica da correção do fator de potência 
Fonte: elaborada pelo autor
4. Circuitos Trifásicos Com Cargas Em Equilíbrio
 As tensões trifásicas são produzidas a partir de um gerador trifásico em corrente 
alternada, sendo mais vantajoso economicamente gerar e transmitir energia no modo 
polifásico, em comparação a sistemas monofásicos. Os circuitos trifásicos são aqueles 
em que tipicamente as fontes de tensão possuem a mesma magnitude e apresentam-
se defasadas em 120° entre si, conforme ilustra a Figura 5, no qual Van, Vbn e Vcn são 
as tensões de fase entre as linhas a, b e c e ou neutro, respectivamente. Se também 
as correntes elétricas também estiverem em equilíbrio, atribui-se o termo circuitos 
trifásicos em equilíbrio.
136
Figura 5 – Sinais de tensão trifásicos equilibrados 
Fonte: elaborada pelo autor
 Como pode ser visto na Figura 6, as fontes de tensão trifásicas, sejam elas em 
equilíbrio ou não, podem ser associadas em estrela (ou em Y) ou em triângulo (ou 
delta). Na configuração em estrela, ainda na Figura 6(a), nota-se que existe um ponto 
de conexão em comum entre as tensões monofásicas denominado de neutro. Este tipo 
de arranjo é bastante presente em instalações elétricas de média e baixa tensão, pois 
permite a distribuição de ramais de alimentação elétrica tanto trifásicas como também 
bifásicas e monofásicas.
Figura 6 – Fontes de tensão trifásica (a) em estrela ou Y e (b) em triângulo ou delta 
Fonte: elaborada pelo autor
Nas instalações elétricas residenciais e comerciais, a distribuição de cir-
cuitos elétricos pode ser realizada nas formas trifásica, bifásica e mo-
nofásica. Isto permite uma alimentação elétrica adequada aos diver-
sos tipos de cargas a serem supridas, tais como chuveiros, sistemas de 
refrigeração, entre outros. No vídeo existente no link, encontra-se uma 
explicação sobre os arranjos mais comuns de distribuição de energia 
elétrica. 
Disponível em: https://shre.ink/tzIg. Acesso em: 10 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
137
 Por conta da defasagem inerente às fontes trifásicas de tensão equilibradas, 
existirão duas situações possíveis para representar a amplitude e fase de Van, Vbn e Vcn. 
A primeira delas é ilustrada no diagrama fasorial da Figura 7(a) e é expressa por:
{Van=Vp∠0° Vbn=Vp∠-120° Vcn=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 onde Vp é o valor RMS ou eficaz da respectiva tensão de fase. Neste diagrama, 
diz-se que as tensões estão em sequência positiva ou sequência abc, estando, por 
exemplo, Vbn atrasada em 120° em relação a Van e Vcn atrasada em 120° em relação a 
Vbn. A segunda possibilidade é ilustrada na Figura 7(b) e é expressa por:
{Van=Vp∠0° Vcn=Vp∠-120° Vbn=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 e é denominada de sequência negativa ou sequência acb. Independentemente 
do tipo de sequência, a seguinte relação é válida:
Van+Vbn+Vcn=0
(23)
(23)
(24)
Figura 7 – Sequências de fases (a) positiva e (b) negativa 
Fonte: elaborada pelo autor
 De forma similar às ligações possíveis para fontes trifásicas, uma carga trifásica 
também pode ser ligada em estrela ou delta, conforme ilustra a Figura 6.8(a) e 6.8(b), 
respectivamente. As cargas em estrela ou em delta são consideradas em desequilíbrio 
se as impedâncias por fase não forem iguais em magnitude ou fase. Para uma carga 
equilibrada em delta, vale a seguinte relação:
 Za=Zb=Zc=ZΔ 
 e para uma carga em estrela equilibrada:
Z1=Z2=Z3=ZY
 Conforme demonstrado em Irwin (2023) e em Sadiku (2013), a expressão que 
relaciona a transformação entre cargas dispostas em estrela e em delta é expressa por:
(25)
(26)
138
 ZΔ=3×ZY
 o que permite realizar uma conversão direta entre as representações estrela e 
triângulo, podendo simplificar os cálculos quando conectadas às fontes de tensão em 
estrela ou triângulo.
Figura 8 – Cargas trifásicas em (a) estrela ou Y e em (b) delta ou triângulo 
Fonte: elaborada pelo autor
 Como pode ser visto, existem diversas possibilidades de arranjos entre fontes e 
cargas trifásicas e que serão apresentadas nos itens a seguir.
 4.1. Conexão Estrela-Estrela
 Considereo circuito ilustrado na Figura 9, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
e uma carga trifásica também equilibrada, ambas do tipo estrela. Nesta situação, tem-
se um circuito fonte-carga trifásico com conexão estrela-estrela, cujas tensões fase-
neutro, em sequência positiva, são dadas por:
{Van=Vp∠0° Vbn=Vp∠-120° Vcn=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 Duas variáveis muito utilizadas na análise de circuitos elétricos trifásicos são: (i) a 
tensão de linha ou tensão fase-fase e (ii) a corrente de linha. Para o arranjo em epígrafe, 
a tensão de linha é dada pela diferença algébrica entre tensões de fase. Assim, para a 
tensão entre a fase a e a fase b, tem-se que:
 
 O mesmo procedimento algébrico pode ser aplicado para calcular Vbc e Vca, 
obtendo-se:
(27)
(28)
(29)
139
Figura 9 – Conexão estrela-estrela trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Das expressões obtidas, verifica-se um importante resultado: a amplitude da 
tensão de linha é igual a √3 da amplitude da tensão de fase. A corrente de cada linha 
(Ia,Ib e Ic) será dada por:
 Neste tipo de conexão, as correntes de linha IL que fluirão em cada impedância ZY 
serão iguais às correntes que saem de cada fase da fonte trifásica, isto é:
IL=IY 
 
 A corrente de neutro In, considerando que o circuito é equilibrado, é dada por:
In=Ia+Ib+Ic=0
 isto é, a soma algébrica das correntes em cada carga e que são as mesmas que 
saem de cada fonte é nula. Este resultado é esperado, pois se há equilíbrio entre as 
cargas os neutros não terão tensões diferentes.
(30)
(31)
FIQUE ATENTO
Em cálculos envolvendo correntes e tensões em sistemas trifásicos equilibrados, é pos-
sível somente analisar o circuito somente considerando uma fase e usar a sequência 
de fase para se obter os demais fasores de tensão e corrente, simplificando os cálculos. 
Destaca-se que isto não deve ser aplicado para circuitos em desequilíbrio.
 4.2. Conexão Estrela-Delta
 Considere o circuito ilustrado na Figura 10, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
do tipo estrela e uma carga trifásica também equilibrada, do tipo delta. Nesta situação, 
(32)
140
as tensões fase-neutro, em sequência positiva, são dadas por:
{Van=Vp∠0° Vbn=Vp∠-120° Vcn=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 e as tensões fase-fase (de linha) dadas por:
{Vab=√3 Vp∠30° Vbc=√3 Vp∠-90° Vca=√3 Vp∠-210° 
(33)
(34)
Figura 10 – Conexão estrela-delta trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Ainda na Figura 10, verifica-se que as correntes de fase em cada carga não são 
iguais às correntes de linha advindas da fonte em estrela, já que, nos terminais de cada 
carga, são aplicadas as tensões de fase da fonte. Dessa forma, considerando que a 
representação fasorial de Z∆ é Z∆∠θ, as correntes de fase serão dadas por:
 
 Para determinar as correntes de linha fornecidas pela fonte, aplica-se a lei dos 
nós em cada terminal A, B e C. Por exemplo, para a corrente Ia, tem-se que:
Ia=IAB-ICA
 É possível adotar o mesmo método aplicado para o cálculo das tensões linha-
linha para o circuito estrela-estrela. Assim, é possível obter, para Ia:
Ia=√3 IAB∠-30° 
 demonstrando que a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase em cada 
carga ZΔ.
 4.3. Conexão Delta-Delta
 Considere o circuito ilustrado na Figura 11, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
e uma carga trifásica também equilibrada, ambas do tipo delta. Nesta situação, as 
tensões de fase são dadas por:
(35)
(36)
141
{Vab=Vp∠0° Vbc=Vp∠-120° Vca=Vp∠-240°=Vp∠+120° (37)
Figura 11 – Conexão delta-delta trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Nesta configuração, as tensões sobre os terminais de cada carga são as mesmas 
tensões de fase da fonte, que por sua vez são também as tensões de linha, isto é: V_
ab=VAB,Vbc=VBC,Vca=VCA. Com isto, é possível definir, com base na formulação obtida nas 
conexões anteriores, quais as serão as correntes de linha e em cada carga. As correntes 
de fase nas cargas serão:
 e as correntes em cada linha:
{Ia=IAB-ICA=Ia=√3 IAB∠-30° Ib=IBC-IAB=Ia=√3 IAB∠-150° Ic=ICA-IBC=Ia=√3 IAB∠-270°
 Neste circuito, nota-se também que a magnitude da corrente de linha é √3 vezes 
a corrente de fase em cada carga ZΔ.
 4.4. Conexão Delta-Estrela
 Considere o circuito ilustrado na Figura 11, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
em delta e uma carga trifásica equilibrada em estrela. Nesta situação, as tensões de 
fase são dadas por:
{Vab=Vp∠0° Vbc=Vp∠-120° Vca=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 É possível demonstrar, conforme descrito em Sadiku (2013), que a corrente de 
linha I_a, com base na aplicação da lei das malhas, é dada por:
 e as correntes Ib e Ic, baseada na sequência de fases positiva, serão: Ib=Ia∠-120° e 
Ic=Ia∠-240°. As correntes de linha são iguais às correntes de fase nas cargas ZY.
(38)
(39)
(40)
(41)
142
Figura 12 – Conexão delta-estrela trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Para obter as tensões em cada fase da carga (VAN,VBN e VCN), aplica-se a lei de 
Ohm diretamente sobre cada impedância ZY:
(42)
FIQUE ATENTO
De uma forma geral, para os circuitos que possuam conexão do tipo delta-estrela ou 
estrela-delta, é possível aplicar as conversões delta-estrela e vice-versa para as fontes 
e cargas, de forma a simplificar os cálculos das tensões e correntes. Por exemplo, em um 
circuito delta-estrela, pode-se converter a fonte em delta para uma fonte equivalente 
em estrela e calcular as tensões e correntes solicitadas.
 4.5. Exemplo De Aplicação 2
 Uma carga trifásica conectada em estrela é alimentada por uma fonte de tensão 
trifásica também em estrela e com uma tensão de fase de 170 Volts (pico), ângulo inicial 
em 0°. A impedância da carga ZY é igual a 10+j10 Ω. Calcule as correntes de linha.
 Resolução:
 Como a tensão fornecida foi em pico, isto é, em amplitude máxima, será necessário 
primeiramente converter este valor em RMS. Dessa forma:
 As tensões de fase na fonte serão:
{Van=120∠0° Vbn=120∠-120° Vcn=120∠-240° 
 Como o circuito é estrela-estrela, a mesma corrente que sai da fonte será a que 
atravessa a carga. Assim, a corrente de linha para a fase “a” será:
143
 Como o circuito é equilibrado, então:
Ib=8,48∠-165°A e
Ic=8,48∠-285°A
5. Circuitos Trifásicos Com Cargas Em Desequilíbrio
 De uma forma geral, os circuitos elétricos trifásicos que operam nas instalações 
comerciais e industriais são concebidos e dimensionados para funcionarem com tensões 
e correntes as mais próximas do equilíbrio. Por exemplo, os enrolamentos de motores 
elétricos trifásicos são projetados e fabricados para possuírem uma igual impedância 
(em magnitude e ângulo) em cada fase. Em circuitos de geração e transmissão de 
energia, as tensões geradas são controladas de forma automática para se manterem 
dentro de uma tolerância máxima de desvio de amplitude, frequência e fase. 
 Entretanto, devido a defeitos na rede elétrica, seja na fonte ou na carga ou ainda 
em ambos, podem ocorrer situações em que haja um desequilíbrio nas tensões (seja 
somente em amplitude ou em fase) ou nas impedâncias em uma ou mais fases. Nestas 
situações, define-se que um circuito elétrico trifásico se encontra em desequilíbrio. 
 Neste cenário, para efeitos práticos e de simplificação, considere o circuito 
ilustrado na Figura 13, no qual considera-se uma fonte de tensão trifásica equilibrada 
conectada a uma carga em Y em desequilíbrio (Z1≠Z2≠Z3). Para determinar as tensões 
e correntes circulantes em cada fase, pode-se aplicar diretamente as leis das malhas, 
obtendo-se:
 Como o somatório das correntes será diferente de zero, então haverá uma corrente 
de neutro. Aplicando a lei dos nós, obtém-se:
 In=-(Ia+Ib+Ic)
 As tensões e correntes em outras configurações, tais como cargas em delta, 
também podem ser obtidas, no qual irá se verificar que Ia+Ib+Ic será diferente de zero.
(43)
(44)
Figura 13 – Carga elétrica em estrela e em desequilíbrio conectada a uma fonte trifásica 
Fonte: elaborada pelo autor
144
6. Potência Em SistemasTrifásicos
 Considere uma carga conectada em estrela, cujas tensões de fase são dadas 
por:
{vAN=√2 Vp cos(ωt) vBN=√2 Vp cos(ωt-120°) vCN=√2 Vp cos(ωt-240°)
 Sendo a impedância por fase igual a ZY=Z∠θ, as correntes de fase serão:
{ia=√2 Ip cos(ωt-θ) ib=√2 Ip cos(ωt-120°-θ) ic=√2 Ip cos(ωt-240°-θ)
 A potência instantânea total na carga é a soma das potências instantâneas nas 
três fases:
 p(t)=pa (t)+pb (t)+pc (t)=vAN ia+vBN ib+vCN ic
 Com base nas expressões anteriores e utilizando identidades trigonométricas, 
é possível demonstrar matematicamente (IRWIN, 2023) que a potência instantânea é 
dada por:
p=3×Vp×Ip×cosθ
 Este resultado demonstra que a potência instantânea para um sistema trifásico 
é constante no tempo, independente da variação das potências em cada fase, sendo 
um importante aspecto para geração e transmissão de energia neste modo. Com base 
em (46), se a carga estiver em delta ou em estrela, a potência ativa por fase será:
Pp=Vp×IL×cosθ 
 onde θ é o ângulo entre a tensão de fase Vp e a corrente de linha IL. A potência 
reativa por fase será:
Qp=Vp×IL×senθ
 Se a carga estiver em delta, VL=Vp e IL=√3 Ip, enquanto que, para uma carga em 
estrela, VL=√3 Vp e IL=Ip. Dessa forma, a potência ativa total será:
P=3×Vp×IL×cosθ= √3× VL×IL×cosθ
 e a potência reativa total será:
Q=3×V_p×I_L×senθ= √3× V_L×I_L×senθ
 Dessa forma, com base em (51) e (52), obtém-se a potência complexa total:
S=P+jQ=√3 VL IL∠θ
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
145
VAMOS PENSAR?
A medição de potência ativa e reativa em sistemas trifásicos é um item fundamental em 
equipamentos elétricos de médio e grande, já que permite monitorar o consumo e ge-
ração de energia elétrica dos equipamentos em tempo real. Como seria realizada esta 
medição, isto é, quais variáveis precisam ser obtidas e por quais instrumentos isto seria 
realizado?
 6.1. Exemplo De Aplicação 3
 Um circuito trifásico equilibrado em estrela-delta possui uma tensão de linha de 
381 Volts RMS. A potência ativa consumida pela carga é de 3kW e o ângulo do fator de 
potência da carga é de 25° (em atraso). Determine a corrente de linha e a impedância 
da carga.
 Resolução:
 Através da potência ativa total consumida, é possível obter a corrente de linha, 
conforme descrito a seguir:
 Para determinar a impedância da carga, é necessário obter a corrente de fase na 
carga em delta. Logo:
 A impedância será dada por:
 e em coordenadas retangulares:
ZΔ=119,47+j55,71 Ω
GLOSSÁRIO
FP: fator de potência de uma instalação elétrica.
RMS: root-mean square (valor quadrático médio de uma onda periódica)
VA: volt-ampere (unidade de potência aparente)
VAr: volt-ampere reativo (unidade de potência reativa)
146
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (DATAPREV) Considere uma carga de 20 kVA com fator de potência de 0,6 atrasado. 
Para que o fator de potência seja 0,8 adiantado, o valor da potência reativa, em KVAr, a 
ser instalada em paralelo com a carga vale:
a. 10
b. 15
c. 20
d. 25
e. 30
2.(TRF4) Analise o circuito abaixo.
Sobre os valores das potências envolvidas no circuito é correto afirmar que a potência
a. reativa é, aproximadamente, duas vezes menor que a potência ativa.
b. ativa é igual à potência reativa.
c. aparente é quatro vezes maior que a potência ativa.
d. aparente é igual à potência reativa.
e. ativa é nula.
3. (ALESP) Duas resistências R1 = 120 Ω e R2 = 60 Ω estão ligadas em série. A tensão de 
pico em R2 é de 120 V e sua expressão é dada por v2 = 120.cos377t. A tensão eficaz do 
gerador e a potência média dissipada por R1, nessa ordem, valem, aproximadamente,
a. 120 V e 240 W
b. 180 V e 140 W
c. 180 V e 240 W
d. 254 V e 140 W
e. 254 V e 240 W
4. (TRF4) Uma carga trifásica em configuração triângulo é composta de três 
impedâncias iguais a (30 + j40) Ω e é alimentada por uma tensão de linha de 240 V − 60 
Hz. A intensidade da corrente em cada impedância vale, aproximadamente,
a. 2,8 A.
b. 4,8 A.
c. 10,5 A.
147
d. 8,3 A.
e. 6,0 A.
5.(MPU) Tem-se um circuito trifásico simétrico e equilibrado composto de um gerador 
em estrela com tensão de fase 100∠0° V(RMS) e sequência de fase positiva e uma carga 
reativa em triângulo em que cada impedância vale (9-j12) Ω. Os módulos da tensão e 
da corrente eficazes de linha valem, respectivamente,
a. 100 V e 5 A.
b. 100 V e 35 A.
c. 100 V e 320 A.
d. 3100 V e 20 A.
e. 3100 V e 320 A.
6. (MPU) Um gerador monofásico de 200 V(rms) alimenta duas cargas reativas ligadas 
em série, sendo uma impedância capacitiva pura Zc =-jXc e uma impedância indutiva 
ZL =R+jXL. A carga capacitiva consome 6 kVAr, enquanto que a carga indutiva consome 
4 kW e 3 kVAr. O módulo da corrente fornecida pelo gerador e o fator de potência total 
visto por ele valem, respectivamente:
a. 25 A e 0,8
b. 25 A e 0,2
c. 15 A e 0,6
d. 10 A e 1,5
e. 5 A e 0,8
7. (DATAPREV) As Cargas A e B da figura a seguir são submetidas à mesma fonte de 
alimentação trifásica e equilibrada.
Com relação à potência dissipada nas cargas A e B, pode-se afirmar que a potência 
dissipada na carga B é:
a. 3 vezes a potência dissipada na carga A;
b. igual à potência dissipada na carga A;
c. √2 vezes a potência dissipada na carga A;
d. √3 vezes a potência dissipada na carga A;
e. 2 vezes a potência dissipada na carga A.
148
8. (TJ-BA) Considerando um sistema elétrico trifásico do tipo estrela-estrela a três fios, 
composto por uma fonte simétrica e uma carga desequilibrada, é correto afirmar que:
a. as tensões de fase da carga são iguais às tensões de fase da fonte;
b. a diferença de potencial entre os neutros da fonte e da carga é igual a zero;
c. o módulo da potência complexa na carga é maior que a sua potência ativa;
d. o somatório das correntes de fase da carga é igual a zero;
e. as tensões de fase da carga são simétricas.
149
GABARITO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 D
150
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011. E-book. 
Disponível em: https://shre.ink/tFpT. Acesso em: 09 abr. 2025.
IRWIN, J D.; NELMS, R M. Análise Básica de Circuitos para Engenharia. 12. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2023. E-book. p.Capa. ISBN 9788521638636. Disponível em: https://shre.ink/tFfD. Acesso 
em: 09 abr. 2025.
JR., William H H.; KEMMERLY, Jack E.; DURBIN, Steven M. Análise de circuitos em engenharia. 
8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014. E-book. p.211. ISBN 9788580553840. Disponível em: https://
shre.ink/tFfU. Acesso em: 09 abr. 2025.
MARKUS, Otávio. Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada. 9. ed. Rio 
de Janeiro: Érica, 2009. E-book. p.12. ISBN 9788536518237. Disponível em: https://shre.ink/
tFIE. Acesso em: 09 abr. 2025.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2016. E-book. 
Disponível em: https://shre.ink/tFIX. Acesso em: 09 abr. 2025.
SADIKU, M. N. O.; ALEXANDER, C. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. ed. – Dados 
eletrônicos. – Porto Alegre: AMGH, 2013. Disponível em: . Acesso em: 
.
SVOBODA, James A. Introdução aos circuitos elétricos – 9. ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
Disponível em: . Acesso em: .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
151FIXANDO O CONTEÚDO...........................................................................................................125
 UNIDADE 6 
 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS EM REGIME PERMANENTE....................128
1. Potência Instantânea E Média.............................................................................................................129
2. Valor RMS Ou Eficaz.....................................................................................................................................129
3. Potência Aparente E Fator De Potência..........................................................................................131
 3.1 Potência Complexa....................................................................................................................................131
 3.2. Correção Do Fator De Potência.......................................................................................................133
 3.3. Exemplo De Aplicação 1.......................................................................................................................134
4. Circuitos Trifásicos Com Cargas Em Equilíbrio........................................................................135
 4.1. Conexão Estrela-Estrela.......................................................................................................................138
 4.2. Conexão Estrela-Delta.........................................................................................................................139
 4.3. Conexão Delta-Delta............................................................................................................................140
 4.4. Conexão Delta-Estrela..........................................................................................................................141
 4.5. Exemplo De Aplicação 2......................................................................................................................142
5. Circuitos Trifásicos Com Cargas Em Desequilíbrio...............................................................143
6. Potência Em Sistemas Trifásicos.......................................................................................................144
 6.1. Exemplo De Aplicação 3......................................................................................................................145
 FIXANDO O CONTEÚDO...........................................................................................................146
 GABARITO...................................................................................................................................149
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................150
9
C
O
NF
IR
A 
NO
 LI
VR
O
UNIDADE 1
A unidade 1 apresenta alguns conceitos elementares que irão permitir uma 
compreensão do conteúdo apresentado ao longo deste material, no que concerne 
à interpretação, análise e cálculo de parâmetros e grandezas físicas presentes em 
circuitos elétricos.
UNIDADE 2
Neste capítulo, serão abordados diversos fundamentais para a análise de circuitos 
elétricos, tais como fundamentais leis de Ohm e de Kirchhoff e suas aplicações 
conceituais diretas na avaliação de circuitos resistivos. Além disso, serão 
apresentadas as técnicas de análise nodal e de malhas e conceitos relativos a 
circuitos com amplificadores operacionais.
UNIDADE 3
Neste capítulo, serão abordados diversos conceitos e teoremas associados à análise 
de circuitos elétricos, tais como os teoremas de Thévenin e Norton, transformação de 
fontes, linearidade e superposição em circuitos elétricos e a formulação e conceito 
associado à máxima transferência de potência.
UNIDADE 4
Neste capítulo, serão tratados os aspectos referentes a dois importantes elementos 
presentes em circuitos elétricos: capacitores e indutores. Serão vistas as suas 
características principais, equacionamento de tensões e correntes elétricas sobre 
eles, além da análise dinâmica dos circuitos contendo resistores e capacitores.
UNIDADE 5
A unidade 5 apresenta os aspectos referentes a circuitos elétricos compostos por 
resistores, indutores e capacitores e operam sob tensões e correntes que variam 
de forma periódica no tempo. Serão abordados conceitos referentes a circuitos 
em corrente alternada, notação fasorial, impedância e admitância e resolução de 
circuitos por análise nodal e de malha.
UNIDADE 6
A Unidade 6 traz os conceitos referentes à análise de potência em circuitos em 
corrente alternada e em regime permanente. Serão apresentados os conceitos 
referentes à potência instantânea e média, valor eficaz (RMS), fator de potência e 
conceitos referentes à análise de circuitos trifásicos.
10
CONCEITOS BÁSICOS
11
 É vasta e de fácil visualização no cotidiano as inúmeras aplicações da eletricidade. 
Na engenharia elétrica, as principais teorias que descrevem o funcionamento de 
sistemas elétricos de uma forma geral, tais como os eletroeletrônicos, de geração de 
energia, de telecomunicações e transmissão de informação, eletromagnéticos e suas 
aplicações embarcadas em sistemas e equipamentos multidisciplinares, são as de 
circuitos elétricos e a do eletromagnetismo. 
 É importante destacar que, em equipamentos que envolvem o uso da eletricidade 
combinada ou não com grandezas físicas relacionadas à dinâmica - tais como a 
força, velocidade, torque e aceleração – ou com, por exemplo, fenômenos ópticos ou 
termodinâmicos, sempre há a transferência e conversão de energia de uma forma 
para outra. Por exemplo, uma resistência de um chuveiro residencial se utiliza da 
corrente elétrica atravessando um elemento denominado resistor, que, por se opor 
à passagem dessa corrente elétrica, gera calor e, por efeito Joule, aquece a água 
passante. Um arranjo de ímãs com fios condutores engenhosamente fixados por meio de 
bobinamento representa um motor ou gerador elétrico, que permite produzir movimento 
rotativo, convertendo energia elétrica em energia mecânica. Milhões de transistores 
e componentes passivos (resistores, capacitores e indutores) podem ser associados 
em um único circuito utilizando materiais semicondutores visando a construção de 
um circuito integrado de uma placa de vídeo ou mesmo um processador comumente 
encontrado em computadores residenciais, ou mesmo nos celulares da atualidade, em 
escalas nanométricas (um bilhão de vezes menor que o metro). Na Figura abaixo, por 
exemplo, é ilustrada uma contendo diversos circuitos eletrônicos, com componentes 
discretos (resistores, capacitores, conectores) e circuitos integrados.
Figura 1 – Foto de uma placa eletrônica. Disponível em: https://shre.ink/t4oY . 
Acesso em 31 de março de 2025.
 A modelagem dos sistemas que utilizam a eletricidade como principal ente 
motriz permite um entendimento quantitativo e obtenção de resultados analíticos e 
aprofundados do funcionamento desses sistemas. Assim, é de suma importância o 
estudo e aplicação de circuitos elétricos, visto que permitem uma plena compreensão 
de como a carga elétrica, tensão, potência, que são grandezas físicas e inerentes do 
estudo da eletricidade, se comportam através da transferência e conversão de energia 
dos componentes que os compõem.
12
 De uma forma geral, o sistema de unidades mais utilizado nos estudos dos 
circuitos elétricos é o definido em 1960 pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, o 
chamado Sistema Internacional de Unidades (SI). O novo SI entrou em vigor em maio 
de 2019, definindo as grandezas descritas na Tabela 1.
1. Sistema de Unidades
Grandeza de base Símbolo Unidade de base Símbolo
comprimento l, h, r, x metro m
massa m quilograma kg
tempo T segundo s
corrente elétrica I, i ampere A
temperatura 
termodinâmica
T kelvin K
quantidade de 
substância
n mol mol
intensidade luminosa IV candela cd
Tabela 1 - Grandezas de base e unidades de base do SI.
Disponível em: https://shre.ink/t4qx. Acesso em 31 de março de 2025.
 Destaca-se que, dentre as grandezas de base associadas a circuitos, tem-se 
a corrente elétrica e, indiretamente associada, a intensidade luminosa. Esta última é 
também aplicada dentro da eletricidade, quando é estudada a normatização técnica 
para dimensionamento de sistemas de iluminação residencial e urbana. Além disso, 
uma grandeza derivada e relevante no estudo de circuitos elétricos é a carga elétrica, 
cuja unidade SI é o Coloumb (C), que, em grandezas primárias, corresponde a A.s.
 Os prefixos padronizados empregados no SI estão descritos na Tabela 2, no qual 
são utilizados para expressar múltiplos e submúltiplos de uma mesma grandeza. Por 
exemplo, é usual em sistemas eletrônicos portáteis valores de corrente na ordem de 
103 a 10-6 A, enquanto as tensões elétricas geradas na saída de um gerador de uma 
usina hidrelétrica, por exemplo, alcancem patamares de centenas de quilovolts, isto 
é, 103 V. Nota-se, portanto, que nos cálculos desenvolvidos na análise de circuitos, a 
utilização de prefixos de variadas magnitudes estará presente. No item a seguir, serão 
apresentadas as grandezas elétricas fundamentais: corrente elétrica, tensão, potência 
e energia elétrica.
Fator Nome Símbolo Fator Nome Símbolo
101 deca da 10-1 deci d
102 hecto h 10-2 centi c
103 quilo k 10-3 mili m
106 mega M 10-6 micro µ
109 giga G 10-9 nano n
1012 tera T 10-12 Pico p
Tabela 2 - Múltiplos e submúltiplos do SI.
Fonte: autoria própria.
13
2. Grandezas Em Circuitos Elétricos
 2.1 Corrente Elétrica
 A quantidade mais elementar na análise de um circuito elétrico é a carga elétrica, 
já definida de forma prévia no item anterior. Quando esta carga se move em um meio 
condutor, ocorre a transferência de energia de um ponto a outro de um circuito, sendo 
este um caminho que promove este movimento de elétrons. Dessa forma, a variação 
temporal de carga pode ser definida como a corrente elétrica em um meio condutor, 
expressa por:
𝑖 𝑡 = 𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡 ⟹ 𝑞 𝑡 = ∫𝑡
0 𝑖 𝑡 𝑑𝑡
 isto é, é o fluxo de cargas por unidade de tempo, medido em ampères (A). 
 Verifica-se que o equacionamento descrito na expressão (1) permite que 
sejam utilizadas expressões para correntes constantes ou variantes no tempo. Isto é 
fundamental, pois existem, nas aplicações práticas, basicamente 2 tipos de correntes: a 
corrente contínua (CC) e a corrente alternada (CA). A corrente contínua é comumente 
encontrada no fornecimento de corrente por uma bateria de automóvel ou mesmo na 
saída de um carregador de celular, ou em retificadores de corrente em aplicações de 
natureza industrial. Já a corrente alternada é a base de fornecimento de energia elétrica 
nas residências e em instalações comerciais, por exemplo, sendo a forma mais usual de 
geração de energia. Na Figura 2(a) representa-se um exemplo de corrente alternada 
no tempo e na Figura 2(b) a representação da corrente contínua no tempo.
(1)
Figura 2 – Comparativo entre corrente contínua e alternada 
Fonte: elaborado pelo autor
 Outro aspecto muito utilizado é o referente ao sentido da corrente elétrica. Quando 
se trata de variação de fluxo de elétrons, conforme equação (1), geralmente se adota 
o sentido de movimento de cargas positivas, demonstrando a importância de não 
somente descrever a magnitude da corrente, mas também sua direção.
 2.2 Tensão Elétrica
 A tensão elétrica ou diferença de potencial representa o trabalho necessário para 
promover a transferência de energia através do fluxo de elétrons em um condutor elétrico. 
Este trabalho é executado por uma força eletromotriz (FEM), também conhecida como 
tensão ou diferença de potencial (ddp) entre dois pontos quaisquer A e B, denominada 
14
como Vab. A tensão Vab, cuja unidade de medida é o volt (V), em homenagem ao físico 
italiano Alessandro Volta, é definida como a variação de energia para deslocamento de 
carga elétrica de valor unitário, conforme expressão (2):
𝑉𝑎𝑏 𝑡 =
𝑑𝑤 𝑡
𝑑𝑞
(2)
 no qual w é a energia (em Joules) e a carga q dado em Coloumb. Em função da 
definição baseada na diferença entre valores, atribuem-se polaridades para a tensão, 
sendo o ponto de maior potencial representado pelo sinal (+) e o de menor potencial 
pelo sinal (-). Conforme pode ser visto na Figura 3(a), se Vab é positiva, então a tensão 
em Va é maior que Vb, representando, em termos práticos, uma queda de tensão. Na 
Figura 3(b), o potencial em B é maior do que em A, obtendo-se então, de A para B, -Vab 
ou elevação de tensão. Neste último caso, a ddp também poderia ser reescrita como 
Vba.
Figura 3 – Representações equivalentes para uma tensão Vab 
Fonte: elaborado pelo autor
 Similar à corrente elétrica, a tensão pode também variar sua amplitude de forma 
periódica no tempo, obtendo-se daí uma tensão alternada ou tensão CA. Caso ela seja 
constante no tempo, similar ao gráfico da Figura 1.2(b), tem-se uma tensão contínua ou 
tensão CC.
 2.3 Potência E Energia
 A potência em um componente elétrico é a taxa de variação na qual se fornece 
ou se consome energia elétrica, conforme expressa a equação (3):
𝑃𝑜𝑡 =
𝑑𝑤 𝑡
𝑑𝑡 (3)
 sendo Pot dada em watts (W) e w é a energia (em Joules). A partir das equações 
(1) e (2), é possível reescrever (3) da seguinte forma:
15
𝑃𝑜𝑡 =
𝑑𝑤 𝑡
𝑑𝑞 × 
𝑑𝑞
𝑑𝑡 = 𝑉 × 𝑖
(4)
 Sendo a potência, analisada a equação (4), um valor instantâneo, já que 
representa uma taxa de variação de energia no tempo.
 Nota-se também que o sinal da tensão e da corrente impactam diretamente no 
cálculo da potência. Por exemplo, se o sinal da potência for positivo, então a corrente, 
por convenção, entrará no terminal positivo de um elemento ou componente. Caso 
a corrente esteja entrando pelo terminal negativo, ter-se-á, também por convenção, 
uma potência com sinal negativo. Estas convenções são fundamentais para identificar 
e definir quando um elemento estará consumindo ou fornecendo potência. Da equação 
(4), a energia fornecida ou absorvida por um elemento será dada por:
𝑤 𝑡 = �
𝑡2
𝑡1
𝑃𝑜𝑡𝑑𝑡 = �
𝑡2
𝑡1
𝑉. 𝑖𝑑𝑡
(5)
 Sua unidade é em watts-hora ou Wh. Caso a tensão e a corrente forem constantes 
no tempo, então a energia fornecida será w(t)=V.i.t.
 
 2.4 Exemplo De Aplicação 1
 Um conjunto de cargas em uma residência, alimentada com uma tensão de 110 V, 
consome uma corrente total de 10 A. Determine: (i) a potência total destas cargas, em 
kW e (ii) a energia consumida, em kWh num intervalo de 2 dias ininterruptos.
 Resolução:
 A potência é dada por:
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 × 𝑖 = 110 𝑉 × 10 𝐴 = 1100 𝑊 = 1,1 𝑘𝑊
 Para calcular a energia consumida, é necessário converter o período em horas. 
Neste caso, temos 48 horas ininterruptas de consumo. Assim:
 2.5 Exemplo De Aplicação 2
 A corrente elétrica em um componente varia conforme a função i(t)=10t2-1, com 
t em segundos. Calcule a carga elétrica variante, em C, num intervalo de tempo de 5 
segundos. 
 Resolução:
 A corrente elétrica representa a derivada no tempo de uma função de carga 
elétrica. Assim:
16
𝑞 𝑡 = ∫𝑡
0 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = ∫5
0 10𝑡2 − 1 𝑑𝑡 = 10
3 𝑡3 − 𝑡
0
5
𝑞 𝑡 =
10
3 × 53 −5 − 0 = 416,7 − 5 = 411,67 𝐶
3. Elementos de Circuito
 Conforme Sadiku (2013), é possível definir um circuito elétrico com uma 
interconexão de elementos e a análise de circuitos como o processo interativo de 
calcular tensões e correntes sobre os elementos dos circuitos. Basicamente, existem 
dois tipos de elementos de circuitos elétricos: o tipo passivo e o tipo ativo. Um elemento 
passivo é aquele que não tem capacidade de gerar ou fornecer energia, tais como 
os resistores, capacitores, fios condutores e indutores, por exemplo. Já os exemplos de 
elementos ativos seriam os geradores de diversos tipos, pilhas e baterias, entre outros.
Para o estudo de circuitos elétricos, os mais importantes elementos ativos e representam 
os entes que fornecem energia aos elementos passivos são as fontes independentes. 
Elas podem ser classificadas da seguinte forma:
 (i) Fonte detensão independente: elemento ativo de dois terminais que provê um 
nível de tensão específica, independente da corrente que a atravessa. A simbologia para 
uma fonte de tensão constante é mostrada na Figura 4(a). Na Figura 4(b) é ilustrada 
uma representação mais genérica para este elemento.
 (ii) Fonte de corrente independente: elemento ativo de dois terminais que provê um 
nível de corrente específica, independente da tensão a qual é submetida. A simbologia 
para uma fonte de tensão constante é mostrada na Figura 4(c), na qual a seta indica a 
direção da corrente, neste caso, indicando um fluxo positivo (saindo do terminal A).
Figura 4 – Simbologias para (a) fonte independente de tensão constante; (b) fonte de tensão constante ou variável 
com o tempo; (c) fonte de corrente independente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Além dos tipos de fonte independente apresentados, existem as fontes 
dependentes, que são elementos ativos no qual a tensão ou a corrente a ser fornecida, 
17
isto é, a energia a ser entregue a um circuito, é controlada por outra tensão ou corrente 
(Sadiku, 2013). Elas podem ser classificadas conforme a seguir:
 (i) Fontes de tensão controladas por corrente.
 (ii) Fontes de tensão controladas por tensão.
 (iii) Fontes de corrente controladas por corrente.
 (iv) Fontes de corrente controladas por tensão.
 A simbologia padrão para fontes de tensão e de corrente dependente encontra-
se ilustrada na Figura 5, onde é possível notar que é adotado um losango como forma 
geométrica para diferenciar das fontes independentes. Como exemplos de dispositivos 
eletrônicos reais que usam tais fontes na sua modelagem, têm-se os transistores, 
amplificadores operacionais, diodos zener. É importante frisar que os elementos de 
circuitos permitem modelar matematicamente o funcionamento de algum componente 
ou equipamento real em que precisam ser utilizados elementos ativos e passivos para 
descrever o seu funcionamento.
 Na próxima Unidade, serão abordados diversos conceitos referentes a resistores 
e leis fundamentais para análise de circuitos com estes elementos.
Figura 5 – Simbologias para (a) fonte dependente de tensão; (b) fonte dependente de corrente 
Fonte: elaborado pelo autor
FIQUE ATENTO
Nas contas de energia elétrica das residências, o principal parâmetro para faturamento 
das concessionárias de energia elétrica é o consumo de energia elétrica, geralmente 
expresso em kWh. Entretanto, o consumidor também deve atentar-se a outras informa-
ções também importantes, como taxas de serviço de iluminação, tipo de bandeira de 
custeio de energia elétrica e o próprio valor por kWh da energia consumida, expressa em 
R$/kWh. Dessa forma, a conta de energia é um exemplo em que são utilizadas grande-
zas que são derivadas das aqui apresentadas.
VAMOS PENSAR?
Em fontes reais de tensão, por exemplo, as utilizadas em bancadas de testes em labo-
ratórios ou a fonte interna de um computador residencial, há uma parte da potência 
nominal dissipada internamente. Por que isso ocorre? Quais os componentes que podem 
provocar este tipo de perda?
18
As grandezas-base do Sistema Internacional de Unidades possuem de-
finições baseadas em diversas constantes associadas diretamente a fe-
nômenos físicos na natureza. Acesse o link a seguir para verificar estes 
conceitos e melhor compreender a origem dessas grandezas-base.
Disponível em: https://shre.ink/t4qx. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
GLOSSÁRIO
CA: corrente alternada.
CC: corrente contínua.
SI: Sistema Internacional de Unidades.
Transistor: componente eletrônico ativo composto por materiais semicondutores.
19
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Um ferro de passar possui uma potência nominal de 120 W. Qual o consumo de energia 
elétrica, em kWh, se ele permanecer ligado por 180 minutos?
a. 0.18 Wh
b. 0.36 kWh
c. 36 kWh
d. 21.6 kWh
e. 18 kWh
2. Uma carga de 12000 C atravessa um condutor por um intervalo de 5 min. Qual a 
corrente elétrica, em kA, neste condutor?
a. 0.06 kA.
b. 2.4 kA.
c. 0.4 kA
d. 0.04 kA
e. 0.6 kA
3. Qual o tempo necessário, em minutos, para carregar um material dielétrico que 
possui capacidade máxima de carga de 300 C, alimentado por uma corrente elétrica 
constante de 5 mA?
a. 100.
b. 150.
c. 1000.
d. 1500.
e. 200.
4. A corrente elétrica em um circuito composto por uma fonte de tensão e um resistor, 
ambos em série, é dada por i(t)=3t2-1 A. Qual o valor de carga, em Coloumb, que 
atravessa este circuito no intervalo de 0 a 5 segundos?
a. 12 C.
b. 24 C.
c. 120 C.
d. 150 C.
e. 240 C.
4. A carga elétrica que atravessa um condutor varia conforme a função q(t)=10.sen(10t) 
mC. A corrente elétrica irá variar segundo a função:
a. i(t)=10.cos(100t) .
b. i(t)=100.sen(100t) .
c. i(t)=100.cos(10t) .
d. i(t)=20.sen(10t) .
20
e. i(t)=100.cos(20t) .
6. Um Engenheiro projetou um circuito para acendimento de lâmpadas, de forma que, 
em 4 horas, 1 C de carga elétrica seja transferido para um grupo de lâmpadas ligadas a 
uma rede elétrica residencial de uma casa, todas associadas em série, para entrarem 
em funcionamento. Todas estarão ligadas a um condutor que suporta uma corrente 
constante máxima de 0.2 A. Nesta situação, marque a alternativa correta.
a. Este circuito poderá entrar em funcionamento, já que a corrente elétrica será de 0.15 
A.
b. Este circuito não poderá entrar em funcionamento, já que a corrente elétrica será de 
0.5 A.
c. Este circuito poderá entrar em funcionamento, já que a corrente elétrica será de 0.2 
A.
d. Este circuito não poderá entrar em funcionamento, já que a corrente elétrica será de 
0.3 A.
e. Este circuito não poderá entrar em funcionamento, já que a corrente elétrica será de 
0.25 A.
7. Um estudante, ao calcular uma corrente elétrica que atravessa um determinado 
circuito elétrico, encontra a seguinte expressão numérica:
𝑖 = 10.
5.2 × 10−16 × 4.5 × 102
2500 × 15 × 10−17 𝐴
Neste caso, o valor final da corrente, em mA, a ser encontrado após a correta resolução 
da expressão acima, será:
a. 62400 mA
b. 3120 mA
c. 6240 mA
d. 321,0 mA
e. 624 mA
8. Analise as proposições a seguir e assinale a alternativa correta.
I – Uma fonte de tensão controlada por tensão é um tipo de fonte dependente.
II - Uma fonte de tensão controlada por resistência é um tipo de fonte dependente.
III - Uma fonte de corrente controlada por tensão é um tipo de fonte independente.
IV - Uma fonte de corrente controlada por corrente é um tipo de fonte dependente.
a. Somente I está correta.
b. Somente I e III estão corretas.
c. Somente II e III estão corretas.
d. Somente I, III e IV estão corretas.
e. Somente I e IV estão corretas.
21
LEIS BÁSICAS E TÉCNICAS DE 
ANÁLISE
22
 Neste capítulo, serão abordados diversos fundamentais para a análise de circuitos 
elétricos, tais como fundamentais leis de Ohm e de Kirchhoff e suas aplicações conceituais 
diretas na avaliação de circuitos resistivos. Além disso, serão apresentadas as técnicas 
de análise nodal e de malhas. Circuitos com amplificadores operacionais (AMPOPs) 
serão também ilustrados, como uma aplicação direta dos conceitos aqui a serem 
apresentados. Tais leis e teoremas são fundamentais para uma correta compressão 
de como realizar uma análise de um circuito elétrico, seja este composto somente por 
resistores ou por outros elementos passivos de circuito, como, por exemplo, capacitores 
e indutores. Por isso, é importante que como o equacionamento para cálculo dos 
parâmetros de funcionamento de um circuito elétrico, tais como tensões em terminais 
de um elemento de circuito, correntes que atravessam resistores, potência e energia 
fiquem bem fixados, pois constituem a base de aprendizado em circuitos elétricos.
 Os materiais elétricos, sejam eles com características predominantes de 
condutores, semicondutores ou isolantes, apresentam um comportamento característico 
no funcionamento de circuitos elétricos em geral: ao se aplicar uma tensão elétrica, 
há uma oposição ao fluxo de carga elétrica (Sadiku, 2013). Esta oposição representa a 
grandeza físicadenominada resistência, geralmente representada pela letra R e cuja 
unidade de medida é em Ω (ohm), em homenagem ao físico alemão Georg Simon 
Ohm, que estabeleceu a relação tensão-corrente em materiais elétricos resistivos 
(Irwin, 2023). De uma forma geral, a lei de Ohm define que a tensão em um resistor é 
diretamente proporcional à corrente que o atravessa, ou, em termos de equação:
1. Lei de Ohm
𝑉 = 𝑅 × 𝑖 (1)
 Assim, de (1) é possível definir a resistência, como sendo:
𝑅 =
𝑉
𝐼 (2)
 no qual . A Figura 2 ilustra o circuito elementar que representa a lei de 
Ohm.
Figura 1 – Circuito representativo da lei de Ohm 
Fonte: elaborado pelo autor
23
 A resistência R de qualquer material elétrico, em função do tipo de material e de 
sua geometria, conforme ilustra a Figura 2 e pode ser definida pela relação descrita na 
expressão (3):
(2)
Figura 2 – Parâmetros para definição de resistência associada a um material 
Fonte: elaborado pelo autor
 onde l é o comprimento do elemento resistivo, A é a área da seção reta transversal 
do elemento resistivo e ρ é a resistividade do material, em ohms vezes unidade de 
comprimento ou, de forma mais comum, Ω×metro. A Tabela 1 exemplifica dados de 
resistividade de alguns materiais, ilustrando, por exemplo, a alta condutividade do 
alumínio e o vidro, por exemplo, com um alto valor de resistividade (propriedade isolante). 
Materiais como silício e germânio, por serem semicondutores, podem, a depender da 
aplicação, passarem por um processo de dopagem (inserção de materiais condutores) 
para se tornarem mais ou menos condutores.
 É importante destacar que a lei de Ohm considera que os resistores são lineares, o 
que diretamente conduz a uma relação linear entre tensão e corrente, isto é, graficamente 
a resistência representa a inclinação de uma reta no gráfico V x I, conforme Figura 
3(a). Componentes eletrônicos, tais como diodos, transistores e varistores, possuem 
comportamento não linear entre tensão e corrente, conceitualmente similar ao gráfico 
da Figura 3(b). No estudo de circuitos elétricos que envolvam resistores, ao longo deste 
material, considera-se que tais componentes obedecerão à lei de Ohm.
Material Resistividade (Ω.m) Emprego
Prata 1,64×10-8 Condutor
Cobre 1,72×10-8 Condutor
Alumínio 2,8×10-8 Condutor
Ouro 2,45×10-8 Condutor
Carbono 4×10-5 Semicondutor
Germânio 47×10-2 Semicondutor
Silício 6,4×102 Semicondutor
Papel 1010 Isolante
Mica 5×1011 Isolante
Vidro 1012 Isolante
24
Teflon 3×1012 Isolante
Tabela 1 – Valores para resistividade elétrica de diversos materiais (Sadiku, 2013). 
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 3 – Parâmetros para definição de resistência associada a um material 
Fonte: elaborado pelo autor
FIQUE ATENTO
Com base na expressão (3), nota-se que a resistividade de um material é inversamente 
proporcional à área da seção transversal, isto é, quanto menor for o diâmetro de um fio 
de seção circular, dado um mesmo comprimento e tipo de material, ter-se-á uma maior 
resistência R e vice-versa.
 De uma maneira geral, os resistores são componentes passivos largamente 
utilizados em circuitos eletroeletrônicos e possuem uma grande variedade de tipos, 
tamanhos, valores de resistência, natureza do material de fabricação, tanto em 
aplicações comerciais como industriais. Esses componentes são geralmente fabricados 
com filme de carbono ou como bobinados e seu tamanho varia principalmente em 
função da potência na qual este componente irá dissipar (Irwin, 2023). A Figura 4 ilustra 
as simbologias mais comuns para resistores de valor fixo padronizados pelas normas 
IEEE e pela IEC e a Figura 5 ilustra os resistores mais utilizados em circuitos elétricos e 
eletrônicos.
Figura 4 – Símbolos mais usuais para um resistor. 
Disponível em https://shre.ink/t4E3. Acesso em 28 mar. 2025. 
25
Figura 5 – Modelos mais usuais de resistores fixos. 
Disponível em https://shre.ink/t4Es. Acesso em 28 mar. 2025.
 Outro tipo de resistor largamente aplicado é o tipo variável, que permite a variação 
do valor da resistência por meio de um terminal central que possui um contato deslizante. 
Este tipo de resistor é também comumente chamado de potenciômetro. Como pode 
ser visto na Figura 6, à esquerda é ilustrado um resistor variável com seus 3 terminais, 
sendo o terminal C o ponto que permite o ajuste de resistência e A e B os terminais fixos. 
Geralmente, em aplicações práticas, estes resistores permitem uma faixa de variação 
de resistência entre 10 a 500 kΩ. Na mesma figura, encontram-se representadas as 
simbologias mais usuais para este tipo de resistor.
Figura 6 – Simbologia e pinagem para um resistor variável. 
Disponivel em https://shre.ink/t4NO. Acesso em 28 de março de 2025.
VAMOS PENSAR?
A resistência R associada ao elemento resistor pode sofrer variações nas suas caracte-
rísticas caso as condições externas de operação e ambientais, tais como temperatura, 
por exemplo, variem de forma significativa? E como se explicaria esta modificação nas 
características de um resistor?
26
Existem resistores cujo valor de resistência pode variar em função de 
outra grandeza ou variável física, como os resistores dependentes de luz 
ou LDR (light dependente resistor), os varistores e os termistores. Consul-
te o livro de Boylestad (2011), Introdução à Análise de Circuitos, no qual 
o capítulo 3 aborda de forma detalhada as características dos tipos de 
resistores citados.
Disponível em: https://shre.ink/t4Vs. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
 1.1 Curto-Circuito E Circuito Aberto
 Relativo aos valores de resistência, é possível que R varie de zero a infinito. Neste 
caso, observando o efeito destes valores no circuito da Figura 1 e utilizando a equação 
(1), podem-se perceber as seguintes situações: 
 Se R=0, então tem-se o que se denomina como curto-circuito, isto é, quando o 
resistor é funcionalmente substituído por um fio de resistência nula, fazendo com que a 
tensão se anule e a corrente assuma qualquer valor, o que implica em V=R×i=0.
 Se R=∞, tem-se um circuito aberto, no qual a corrente tenderá a zero e a tensão 
poderá assumir qualquer valor, já que .
 Estes conceitos apresentados são úteis para análise e simplificação de circuitos 
com excesso de componentes resistivos e fontes de tensão e/ou de corrente, no qual 
diversas técnicas que serão apresentadas ao longo deste material são baseadas nestas 
definições.
 1.2. Condutância De Um Material
 Define-se a condutância de um material como o inverso da resistência, conforme 
expressão (3):
 (3)
 A unidade de medida é em Siemens (S), no qual . Ao contrário da 
resistência, esta variável indica a capacidade de um material em conduzir corrente 
elétrica (Markus, 2009). Destaca-se que, por inspeção na expressão (3), quando a 
resistência tende a zero, a condutância tenderá ao infinito e, quando a resistência tender 
ao infinito, a condutância tenderá a zero.
 1.3. Potência Dissipada Por Um Resistor
 Considerando que a potência entregue nos terminais de um resistor é consumida 
por este, isto é, diz-se que a potência é dissipada, e considerando que P=V×i, então, é 
possível escrever, com base na equação (1):
 (4)
 ou, em termos da condutância:
 (5)
27
 Destaca-se, com base nas expressões (4) e (5), que a potência será sempre 
positiva, podendo somente ser consumida pelo elemento resistivo.
 1.4. Exemplo De Aplicação 1
 Considere uma fonte de tensão independente de 15 V em série com um resistor 
fixo cuja condutância seja igual a 2 mS. Pede-se determinar a corrente fornecida para 
o resistor, em ampère, e a potência dissipada por este, em watts.
 Resolução: 
 O primeiro passo é optar por realizar os cálculoscom um conjunto de resistores também em série, conforme 
Figura 12(a).
Figura 12 – Circuitos com (a) resistores em série e com (b) resistência equivalente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Aplicando a lei de Ohm a cada resistor, tem-se que VR1=R1 i e VR2 =R2i. Aplicando a 
lei das malhas, obtém-se, do circuito da Figura 12(a):
-V+R1 i+R2 i=0 ⟹ V=(R1+R2)i
 o que implica em:
 
 Da equação (7), verifica-se que a soma dos resistores R1 e R2 pode ser substituída 
por um resistor equivalente Req. Assim:
Req=R1+R2 
 No qual conclui que a resistência equivalente de resistores ligados em série é igual 
a soma das resistências individuais, conforme ilustra a Figura 12(b). De uma maneira 
geral, é possível expressar a resistência série para N resistores a partir da expressão (10):
 Baseado na corrente i que circula nos resistores, é possível determinar a tensão 
em cada resistor. No resistor R1, tem-se que:
(7)
(8)
(9)
(10)
33
(11)
 e no resistor R2:
(12)
 Assim, é possível realizar a divisão da tensão de entrada do circuito V em cada 
um dos resistores de forma proporcional às respectivas resistências. Este é o chamado 
circuito divisor de tensão.
 Como forma de aplicar a formulação aqui desenvolvida, considere o próximo 
exemplo de aplicação.
 3.2. Exemplo De Aplicação 3
 Determine a potência dissipada pelo resistor de 2 Ω, na Figura 13.
Figura 13 – Circuito para o exemplo de aplicação 3 
Fonte: elaborado pelo autor
 Resolução: 
 Para a determinação da potência dissipada pelo resistor de 2 Ω, pode-se 
determinar qual a tensão sobre este resistor. Para tanto, é necessário reduzir o circuito 
para um circuito série entre o resistor de 2 Ω e uma resistência equivalente Req formada 
entre os demais resistores. Assim:
 Logo, o circuito da Figura 12 é simplificado para um equivalente contendo uma 
fonte de 2 resistores. Aplicando o conceito de divisão de tensão nos resistores, tem-se 
que, no resistor de 2 Ω:
 Assim, a potência dissipada será igual a:
 3.3. Circuitos Com Resistores Em Paralelo
 Também denominado de circuito de 2 nós, este circuito é composto de uma fonte 
34
de corrente em paralelo com um conjunto de resistores também em paralelo, conforme 
Figura 14.
Figura 14 – Circuitos com (a) resistores em paralelo e com (b) resistência equivalente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Pela aplicação da corrente I sobre os resistores, pela lei de Ohm, surge assim uma 
tensão V sobre os mesmos e a corrente se divide entre os resistores R1 e R2. Aplicando a 
lei dos nós, obtém-se, do circuito da Figura 14(a):
(13)
 o que implica em:
(14)
 Da equação (14), verifica-se que a soma dos inversos resistores R1 e R2 pode ser 
substituída por um resistor equivalente Req. Assim:
 No qual se conclui que a resistência equivalente de resistores ligados em paralelo 
é igual ao produto das resistências individuais dividido pela soma dessas resistências, 
conforme ilustra a Figura 14(b). De uma maneira geral, é possível expressar a resistência 
paralelo equivalente para N resistores a partir da expressão (16):
 Baseado na corrente i fornecida aos resistores, é possível determinar a corrente 
em cada resistor. No resistor R1, tem-se que:
 Substituindo V obtida da equação (14) na (17), tem-se que:
 e, de forma similar, no resistor R2:
 ou seja, é possível realizar a divisão da corrente de entrada do circuito em cada 
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
35
um dos resistores de forma inversamente proporcional às respectivas resistências. Este 
é o chamado circuito divisor de corrente. 
 Como forma de aplicar a formulação aqui desenvolvida, considere os próximos 
exemplos de aplicação.
FIQUE ATENTO
Se, num dado circuito, existem N resistores iguais e em paralelo, a resistência equivalente 
será o valor da resistência associada ao resistor dividida pela quantidade de resistores. 
De forma similar, se existem N resistores iguais e em série, a resistência equivalente será 
o valor da resistência associada ao resistor multiplicada pela quantidade de resistores.
 3.4. Exemplo De Aplicação 4
 Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito ilustrado na 
Figura 15.
Figura 15 – Circuito para o exemplo de aplicação 4 
Fonte: elaborado pelo autor
 Resolução: 
 Realizando a associação em série entre os resistores de 2 Ω e 1 Ω ligados na 
parte superior do esquema, entre os pontos C e D, o que resulta em uma resistência 
equivalente série de 4 Ω. Calculando a resistência em paralelo com o resistor de 4 Ω, 
tem-se:
Req1=(2 Ω+1 Ω+1 Ω)∥4 Ω = 1 Ω
 A resistência equivalente entre os pontos D e E resulta em:
Req2=(1 Ω+1 Ω)∥2 Ω = 1 Ω
36
Figura 16 – Circuito equivalente intermediário para o exemplo de aplicação 3 
Fonte: elaborado pelo autor
 Dessa forma, tem-se o circuito da Figura 16. Deste circuito, é possível obter a 
resistência equivalente Req solicitada no exemplo, entre os pontos A e B:
Req=[(1 Ω+1 Ω)∥6 Ω] + 1 Ω+1 Ω = Ω
 3.5. Exemplo De Aplicação 5
 Para o circuito da Figura 17, determine a potência dissipada no resistor de 10 Ω
Figura 17 – Circuito para o exemplo de aplicação 5 
Fonte: elaborado pelo autor
 Resolução:
 Para a determinação da potência dissipada pelo resistor de 10 Ω, é necessário 
calcular as correntes que atravessam os resistores de 10 Ω e de 2 Ω, ambos em série. 
Logo, este circuito pode ser reduzido para um divisor de corrente resistivo com dois 
resistores em paralelo, sendo um de 12 Ω e um de 6 Ω. Aqui cabe destacar que a corrente 
que atravessa o resistor de 10 Ω é a mesma que passa pela resistência equivalente 
calculada de 12 Ω. Assim, calculando a corrente que passa pela resistência equivalente 
de 12 Ω:
 Assim, a potência dissipada no resistor 10 Ω será igual a:
P2 Ω=10 Ω ×(2 A)²=40 W
37
4. Análise Nodal
 Até o momento, foram apresentadas a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff, 
fundamentais para o entendimento e obtenção de tensões e correntes em circuitos 
elétricos. Neste item será apresentada a técnica de análise nodal, que se baseia na 
lei de Kirchhoff para corrente (lei dos nós). Com esta técnica, é possível montar um 
sistema de equações lineares para encontrar os valores ou expressões para tensões 
e correntes. Daí, os métodos matemáticos tradicionais para resolução de sistemas 
lineares compostos por n equações são totalmente aplicáveis.
 A análise nodal utiliza tensões nodais como as variáveis de referência para 
cálculo dessas próprias tensões e obtenção posterior das correntes que atravessam 
os elementos de circuito. Para a explicação inicial da técnica, será utilizado um circuito 
ilustrado na Figura 18(a), que contém duas fontes de corrente e resistores, mas que 
não contêm fontes de tensão (independentes ou não). A técnica de análise nodal com 
circuitos envolvendo fontes de tensão será ilustrada nas subseções seguintes.
Figura 18 – Circuito para análise nodal (a) e simbologias mais comuns para o terra (GND) 
Fonte: elaborado pelo autor
 Como uma primeira definição necessária para montagem das equações que irão 
descrever em termos de tensões nodais o circuito da Figura 18(a), é necessário definir 
o nó de referência ou terra (GND, cuja sigla vem da palavra ground, em inglês), cujas 
simbologias mais usuais estão ilustradas na Figura 18(b). Assim é definido, pois, em 
equipamentos elétricos, é o ponto no qual ele é interligado eletricamente ao potencial 
nulo de terra, geralmente adotado com um valor nulo de tensão.
 Após a escolha do nó de referência de tensão, escolhem-se os outros nós que 
não são de referência como variáveis a serem calculadas. Neste caso, na Figura 18(a), 
verifica-se que existem 2 nós, “a” e “b”, cujas tensões serão definidas como v1 e v2. Além 
disso, por ser um resistor um elemento passivo, a corrente flui do terminal de maior para 
o de menor tensão. Assim, aplicando a lei dos nós a partir do ponto “a”, obtém-se.
 e para o ponto “b”:
 Agrupando os termos comuns para v1 e v2, que são as variáveis a serem 
determinadas, tem-se o seguinte sistema de equações:
38
 Dessa forma, obtém-seN-1 equações simultâneas para N nós existentes no 
circuito, neste caso, as equações estão em função de v1 e v2, sendo is conhecidas. Este 
sistema de equações lineares pode ser resolvido por substituição direta isolando-se v1 
ou v2 em uma equação e substituindo na outra. Entretanto, para sistemas com mais de 
4 nós, por exemplo, pode-se reescrever as equações na forma A×v=i, e utilizar técnicas 
matriciais de resolução de equações. No sistema obtido anteriormente, pode-se obter 
a seguinte representação do sistema em matrizes:
 A solução que pode ser obtida tanto pela A×v=i ou pela forma v=A-1×i, a depender 
da técnica utilizada, o que simplifica bastante a implementação desta solução com 
auxílio de um software matemático.
 Ainda no circuito da Figura 18(a), definindo-se R1=R2=2 Ω, R3=R4=1 Ω e is=4 A, obtém-
se o seguinte sistema matricial:
 Que pode ser solucionado por eliminação, técnica muito utilizada ao ter um 
sistema de 2 equações, ou pela regra de Cramer. Por esta regra, , no 
qual Δ é o determinante da matriz A, Δ1 é o determinante da matriz A modificada pela 
substituição da primeira coluna pelos elementos da matriz i e Δ2 é o determinante da 
matriz A modificada pela substituição da segunda coluna pelos elementos da matriz i. 
Calculando o determinante da matriz A:
 Os Δ1 e Δ2 serão iguais a:
 Logo:
No livro de Instalações Elétricas Industriais de Mamede (2023), capítulo 
11 é apresentada uma explicação detalhada da importância do aterra-
mento de equipamentos elétricos em geral.
Disponível em: https://shre.ink/t0ly. Acesso em: 01 abr. 2025.
BUSQUE POR MAIS
39
 4.1. Análise Nodal Com Fontes De Tensão Independente
 De uma forma geral, a análise nodal em circuitos que contenham fontes de tensão 
compreende os seguintes cenários: (i) quando a fonte de tensão estiver conectada 
entre o nó de referência e algum outro nó que não seja este, então uma das tensões 
do circuito já será conhecida e será igual à tensão da fonte de tensão; (ii) havendo um 
fonte de tensão conectada entre dois nós que não são os de referência, então existirá 
um supernó, sendo que, neste caso, será necessário aplicar ao mesmo tempo, a lei dos 
nós e das malhas para estabelecer o equacionamento necessário para determinas as 
tensões nos terminais da fonte que gera o supernó.
 A Figura 19 ilustra um circuito que será utilizado como exemplo de aplicação 
da análise nodal com fonte de tensão independente. Nota-se que existe uma fonte 
independente cujas tensões nos terminais são va e vb e que serão calculadas. Após o 
cálculo dessas tensões, podem também ser determinadas as correntes que passam 
pelos resistores.
Figura 19 – Circuito para análise nodal com fonte de tensão independente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Como há uma fonte de tensão cujos terminais não se encontram ligados ao 
terra, então será necessário aplicar o conceito de superno para montar as equações 
do sistema que irá determinar va e vb. Dessa forma, o supernó encontra-se ilustrado na 
Figura 20, bem como as correntes em cada resistor.
Figura 20 – Análise nodal pela lei dos nós e das malhas com fonte independente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Com base na Figura 20, aplicando a lei dos nós sobre o supernó que contém a 
fonte de 12 V, tem-se que:
 que resulta em:
40
 Aplicando a lei das malhas no supernó, tem-se que:
 Substituindo a última equação na anterior, obtém-se:
 Destaca-se que a definição do supernó proporciona mais uma equação em 
função das tensões dos nós a serem encontradas, necessária para que o sistema linear 
a ser resolvido seja linearmente independente e possua solução.
 4.2. Análise Nodal Com Fontes De Tensão Dependente
 Da mesma forma que foi desenvolvida a análise nodal para fontes independentes 
de tensão, aqui será apresentado um exemplo de circuito contendo uma fonte de 
tensão dependente de um parâmetro do próprio circuito, conforme a Figura 20. Os 
mesmos conceitos e técnicas utilizados para fontes independentes também serão aqui 
aplicados.
 No circuito, pede-se determinar a tensão vk sobre o resistor de 4 Ω. Para tanto, 
considere-se o descrito na Figura 19, no qual define-se a fonte dependente de terminais 
va e vb como um supernó. Como é necessário determinar vk, verifica-se que essa tensão 
será obtida pelo divisor de tensão resistivo cuja entrada é a tensão vb.
Figura 21 – Circuito para análise nodal com fonte de tensão dependente 
Fonte: elaborado pelo autor
Figura 22 – Análise nodal pela lei dos nós e das malhas com fonte dependente 
Fonte: elaborado pelo autor
 Considere o supernó na Figura 22, de onde se obtém a seguinte equação:
41
 que resulta em:
 Aplicando a lei das malhas no superno e considerando que , tem-se 
que:
 Substituindo a última equação na anterior, obtém-se:
 Como se tem um divisor de tensão resistivo entre os resistores de 4 Ω e 2 Ω em 
série, então:
5. Análise De Malhas
 Similar ao desenvolvido para a análise nodal, a análise de malhas permite 
também um sistema de equações lineares para encontrar os valores ou expressões 
para tensões e correntes. A análise de malhas utiliza correntes de malha como as 
variáveis de referência para cálculo das tensões no nós ou sobre elementos de circuito 
e obtenção das correntes que atravessam os elementos de circuito, isto é, aplica-se a 
lei das malhas de Kirchhoff para definição das correntes a serem calculadas. 
 Para a explicação inicial da técnica, será utilizado um circuito ilustrado na Figura 
23, que contêm duas fontes de tensão e resistores. Uma malha é definida como um laço 
que não contém nenhum outro laço em seu interior (Sadiku, 2013), sendo independente 
em relação às demais existentes. Na Figura 23, as malhas são os caminhos “abefa” 
e “bcdeb”, mas o caminho “abcdefa” não seria uma malha, pois incluiria as malhas 
anteriores que são independentes. Com base neste conceito, como uma extensão 
clara da lei das malhas de Kirchhoff, a partir da análise de malhas estabelecem-se as 
equações em função das correntes de malha i1 e i2, que, por uma questão prática, são 
inicialmente adotadas com o sentido horário. Destaca-se que as correntes i1 e i2 podem 
ser posteriormente utilizadas para, por exemplo, a partir da lei de Ohm, encontrar as 
tensões e correntes sobre cada elemento.
Figura 23 – Circuito resistivo para análise de malha 
Fonte: elaborado pelo autor
42
 Dessa forma, ainda na Figura 23, considere que o objetivo é encontrar as correntes 
de malha i1 e i2, considerando os seguintes valores para os elementos no circuito: R1=4 Ω, 
R2=1 Ω, R3=2 Ω, R4=3 Ω, R5=2 Ω, v1 e v2 constantes e iguais a 30 V e 20 V, respectivamente. 
Para a malha 1, tem-se que:
 Aplicando-se a lei das malhas para a malha 2, obtém-se:
 Este sistema de equações pode ser resolvido pela regra de Cramer ou por 
substituição de variáveis. Como se trata de um sistema com apenas 2 variáveis, isolando 
i2 na última equação e substituindo na anterior, i1 pode ser definido como segue:
 e a corrente i2:
 Em particular, para este exemplo conceitual, as correntes de malha são 
numericamente iguais (em valor e sinal). Dessa forma, por exemplo, no resistor, R3 a 
corrente resultante será nula.
 5.1 Análise De Malha Com Fonte De Corrente Independente
 Na presença de fontes de corrente independentes, existem basicamente 2 
situações que demandam diferentes análises para obtenção das correntes de malha 
e de tensões ao longo de um circuito. A primeira delas se refere ao circuito possuir uma 
fonte de corrente pertencente a apenas um laço, conforme ilustra a Figura 24. A segunda 
situação é referente à fonte de corrente pertencer a mais de uma malha, conforme 
ilustra a Figura 25 e cuja resolução será apresentada posteriormente. 
 Analisando o circuito da Figura 24, a corrente de malha i1 será a corrente de 4 A. 
Isto simplifica o equacionamento, já que reduz o sistema para duas equações lineares, 
associadas às malhas das correntes i2 e i3. Montando as equações do sistema, tem-se, 
associada à corrente de malha i2:
 e associada à correnteo circuito ilustrado na Figura 9, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
e uma carga trifásica também equilibrada, ambas do tipo estrela. Nesta situação, tem-
se um circuito fonte-carga trifásico com conexão estrela-estrela, cujas tensões fase-
neutro, em sequência positiva, são dadas por:
{Van=Vp∠0° Vbn=Vp∠-120° Vcn=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 Duas variáveis muito utilizadas na análise de circuitos elétricos trifásicos são: (i) a 
tensão de linha ou tensão fase-fase e (ii) a corrente de linha. Para o arranjo em epígrafe, 
a tensão de linha é dada pela diferença algébrica entre tensões de fase. Assim, para a 
tensão entre a fase a e a fase b, tem-se que:
 
 O mesmo procedimento algébrico pode ser aplicado para calcular Vbc e Vca, 
obtendo-se:
(27)
(28)
(29)
139
Figura 9 – Conexão estrela-estrela trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Das expressões obtidas, verifica-se um importante resultado: a amplitude da 
tensão de linha é igual a √3 da amplitude da tensão de fase. A corrente de cada linha 
(Ia,Ib e Ic) será dada por:
 Neste tipo de conexão, as correntes de linha IL que fluirão em cada impedância ZY 
serão iguais às correntes que saem de cada fase da fonte trifásica, isto é:
IL=IY 
 
 A corrente de neutro In, considerando que o circuito é equilibrado, é dada por:
In=Ia+Ib+Ic=0
 isto é, a soma algébrica das correntes em cada carga e que são as mesmas que 
saem de cada fonte é nula. Este resultado é esperado, pois se há equilíbrio entre as 
cargas os neutros não terão tensões diferentes.
(30)
(31)
FIQUE ATENTO
Em cálculos envolvendo correntes e tensões em sistemas trifásicos equilibrados, é pos-
sível somente analisar o circuito somente considerando uma fase e usar a sequência 
de fase para se obter os demais fasores de tensão e corrente, simplificando os cálculos. 
Destaca-se que isto não deve ser aplicado para circuitos em desequilíbrio.
 4.2. Conexão Estrela-Delta
 Considere o circuito ilustrado na Figura 10, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
do tipo estrela e uma carga trifásica também equilibrada, do tipo delta. Nesta situação, 
(32)
140
as tensões fase-neutro, em sequência positiva, são dadas por:
{Van=Vp∠0° Vbn=Vp∠-120° Vcn=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 e as tensões fase-fase (de linha) dadas por:
{Vab=√3 Vp∠30° Vbc=√3 Vp∠-90° Vca=√3 Vp∠-210° 
(33)
(34)
Figura 10 – Conexão estrela-delta trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Ainda na Figura 10, verifica-se que as correntes de fase em cada carga não são 
iguais às correntes de linha advindas da fonte em estrela, já que, nos terminais de cada 
carga, são aplicadas as tensões de fase da fonte. Dessa forma, considerando que a 
representação fasorial de Z∆ é Z∆∠θ, as correntes de fase serão dadas por:
 
 Para determinar as correntes de linha fornecidas pela fonte, aplica-se a lei dos 
nós em cada terminal A, B e C. Por exemplo, para a corrente Ia, tem-se que:
Ia=IAB-ICA
 É possível adotar o mesmo método aplicado para o cálculo das tensões linha-
linha para o circuito estrela-estrela. Assim, é possível obter, para Ia:
Ia=√3 IAB∠-30° 
 demonstrando que a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase em cada 
carga ZΔ.
 4.3. Conexão Delta-Delta
 Considere o circuito ilustrado na Figura 11, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
e uma carga trifásica também equilibrada, ambas do tipo delta. Nesta situação, as 
tensões de fase são dadas por:
(35)
(36)
141
{Vab=Vp∠0° Vbc=Vp∠-120° Vca=Vp∠-240°=Vp∠+120° (37)
Figura 11 – Conexão delta-delta trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Nesta configuração, as tensões sobre os terminais de cada carga são as mesmas 
tensões de fase da fonte, que por sua vez são também as tensões de linha, isto é: V_
ab=VAB,Vbc=VBC,Vca=VCA. Com isto, é possível definir, com base na formulação obtida nas 
conexões anteriores, quais as serão as correntes de linha e em cada carga. As correntes 
de fase nas cargas serão:
 e as correntes em cada linha:
{Ia=IAB-ICA=Ia=√3 IAB∠-30° Ib=IBC-IAB=Ia=√3 IAB∠-150° Ic=ICA-IBC=Ia=√3 IAB∠-270°
 Neste circuito, nota-se também que a magnitude da corrente de linha é √3 vezes 
a corrente de fase em cada carga ZΔ.
 4.4. Conexão Delta-Estrela
 Considere o circuito ilustrado na Figura 11, contendo uma fonte trifásica equilibrada 
em delta e uma carga trifásica equilibrada em estrela. Nesta situação, as tensões de 
fase são dadas por:
{Vab=Vp∠0° Vbc=Vp∠-120° Vca=Vp∠-240°=Vp∠+120°
 É possível demonstrar, conforme descrito em Sadiku (2013), que a corrente de 
linha I_a, com base na aplicação da lei das malhas, é dada por:
 e as correntes Ib e Ic, baseada na sequência de fases positiva, serão: Ib=Ia∠-120° e 
Ic=Ia∠-240°. As correntes de linha são iguais às correntes de fase nas cargas ZY.
(38)
(39)
(40)
(41)
142
Figura 12 – Conexão delta-estrela trifásica equilibrada 
Fonte: elaborada pelo autor
 Para obter as tensões em cada fase da carga (VAN,VBN e VCN), aplica-se a lei de 
Ohm diretamente sobre cada impedância ZY:
(42)
FIQUE ATENTO
De uma forma geral, para os circuitos que possuam conexão do tipo delta-estrela ou 
estrela-delta, é possível aplicar as conversões delta-estrela e vice-versa para as fontes 
e cargas, de forma a simplificar os cálculos das tensões e correntes. Por exemplo, em um 
circuito delta-estrela, pode-se converter a fonte em delta para uma fonte equivalente 
em estrela e calcular as tensões e correntes solicitadas.
 4.5. Exemplo De Aplicação 2
 Uma carga trifásica conectada em estrela é alimentada por uma fonte de tensão 
trifásica também em estrela e com uma tensão de fase de 170 Volts (pico), ângulo inicial 
em 0°. A impedância da carga ZY é igual a 10+j10 Ω. Calcule as correntes de linha.
 Resolução:
 Como a tensão fornecida foi em pico, isto é, em amplitude máxima, será necessário 
primeiramente converter este valor em RMS. Dessa forma:
 As tensões de fase na fonte serão:
{Van=120∠0° Vbn=120∠-120° Vcn=120∠-240° 
 Como o circuito é estrela-estrela, a mesma corrente que sai da fonte será a que 
atravessa a carga. Assim, a corrente de linha para a fase “a” será:
143
 Como o circuito é equilibrado, então:
Ib=8,48∠-165°A e
Ic=8,48∠-285°A
5. Circuitos Trifásicos Com Cargas Em Desequilíbrio
 De uma forma geral, os circuitos elétricos trifásicos que operam nas instalações 
comerciais e industriais são concebidos e dimensionados para funcionarem com tensões 
e correntes as mais próximas do equilíbrio. Por exemplo, os enrolamentos de motores 
elétricos trifásicos são projetados e fabricados para possuírem uma igual impedância 
(em magnitude e ângulo) em cada fase. Em circuitos de geração e transmissão de 
energia, as tensões geradas são controladas de forma automática para se manterem 
dentro de uma tolerância máxima de desvio de amplitude, frequência e fase. 
 Entretanto, devido a defeitos na rede elétrica, seja na fonte ou na carga ou ainda 
em ambos, podem ocorrer situações em que haja um desequilíbrio nas tensões (seja 
somente em amplitude ou em fase) ou nas impedâncias em uma ou mais fases. Nestas 
situações, define-se que um circuito elétrico trifásico se encontra em desequilíbrio. 
 Neste cenário, para efeitos práticos e de simplificação, considere o circuito 
ilustrado na Figura 13, no qual considera-se uma fonte de tensão trifásica equilibrada 
conectada a uma carga em Y em desequilíbrio (Z1≠Z2≠Z3). Para determinar as tensões 
e correntes circulantes em cada fase, pode-se aplicar diretamente as leis das malhas, 
obtendo-se:
 Como o somatório das correntes será diferente de zero, então haverá uma corrente 
de neutro. Aplicando a lei dos nós, obtém-se:
 In=-(Ia+Ib+Ic)
 As tensões e correntes em outras configurações, tais como cargas em delta, 
também podem ser obtidas, no qual irá se verificar que Ia+Ib+Ic será diferente de zero.
(43)
(44)
Figura 13 – Carga elétrica em estrela e em desequilíbrio conectada a uma fonte trifásica 
Fonte: elaborada pelo autor
144
6. Potência Em SistemasTrifásicos
 Considere uma carga conectada em estrela, cujas tensões de fase são dadas 
por:
{vAN=√2 Vp cos(ωt) vBN=√2 Vp cos(ωt-120°) vCN=√2 Vp cos(ωt-240°)
 Sendo a impedância por fase igual a ZY=Z∠θ, as correntes de fase serão:
{ia=√2 Ip cos(ωt-θ) ib=√2 Ip cos(ωt-120°-θ) ic=√2 Ip cos(ωt-240°-θ)
 A potência instantânea total na carga é a soma das potências instantâneas nas 
três fases:
 p(t)=pa (t)+pb (t)+pc (t)=vAN ia+vBN ib+vCN ic
 Com base nas expressões anteriores e utilizando identidades trigonométricas, 
é possível demonstrar matematicamente (IRWIN, 2023) que a potência instantânea é 
dada por:
p=3×Vp×Ip×cosθ
 Este resultado demonstra que a potência instantânea para um sistema trifásico 
é constante no tempo, independente da variação das potências em cada fase, sendo 
um importante aspecto para geração e transmissão de energia neste modo. Com base 
em (46), se a carga estiver em delta ou em estrela, a potência ativa por fase será:
Pp=Vp×IL×cosθ 
 onde θ é o ângulo entre a tensão de fase Vp e a corrente de linha IL. A potência 
reativa por fase será:
Qp=Vp×IL×senθ
 Se a carga estiver em delta, VL=Vp e IL=√3 Ip, enquanto que, para uma carga em 
estrela, VL=√3 Vp e IL=Ip. Dessa forma, a potência ativa total será:
P=3×Vp×IL×cosθ= √3× VL×IL×cosθ
 e a potência reativa total será:
Q=3×V_p×I_L×senθ= √3× V_L×I_L×senθ
 Dessa forma, com base em (51) e (52), obtém-se a potência complexa total:
S=P+jQ=√3 VL IL∠θ
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
145
VAMOS PENSAR?
A medição de potência ativa e reativa em sistemas trifásicos é um item fundamental em 
equipamentos elétricos de médio e grande, já que permite monitorar o consumo e ge-
ração de energia elétrica dos equipamentos em tempo real. Como seria realizada esta 
medição, isto é, quais variáveis precisam ser obtidas e por quais instrumentos isto seria 
realizado?
 6.1. Exemplo De Aplicação 3
 Um circuito trifásico equilibrado em estrela-delta possui uma tensão de linha de 
381 Volts RMS. A potência ativa consumida pela carga é de 3kW e o ângulo do fator de 
potência da carga é de 25° (em atraso). Determine a corrente de linha e a impedância 
da carga.
 Resolução:
 Através da potência ativa total consumida, é possível obter a corrente de linha, 
conforme descrito a seguir:
 Para determinar a impedância da carga, é necessário obter a corrente de fase na 
carga em delta. Logo:
 A impedância será dada por:
 e em coordenadas retangulares:
ZΔ=119,47+j55,71 Ω
GLOSSÁRIO
FP: fator de potência de uma instalação elétrica.
RMS: root-mean square (valor quadrático médio de uma onda periódica)
VA: volt-ampere (unidade de potência aparente)
VAr: volt-ampere reativo (unidade de potência reativa)
146
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (DATAPREV) Considere uma carga de 20 kVA com fator de potência de 0,6 atrasado. 
Para que o fator de potência seja 0,8 adiantado, o valor da potência reativa, em KVAr, a 
ser instalada em paralelo com a carga vale:
a. 10
b. 15
c. 20
d. 25
e. 30
2.(TRF4) Analise o circuito abaixo.
Sobre os valores das potências envolvidas no circuito é correto afirmar que a potência
a. reativa é, aproximadamente, duas vezes menor que a potência ativa.
b. ativa é igual à potência reativa.
c. aparente é quatro vezes maior que a potência ativa.
d. aparente é igual à potência reativa.
e. ativa é nula.
3. (ALESP) Duas resistências R1 = 120 Ω e R2 = 60 Ω estão ligadas em série. A tensão de 
pico em R2 é de 120 V e sua expressão é dada por v2 = 120.cos377t. A tensão eficaz do 
gerador e a potência média dissipada por R1, nessa ordem, valem, aproximadamente,
a. 120 V e 240 W
b. 180 V e 140 W
c. 180 V e 240 W
d. 254 V e 140 W
e. 254 V e 240 W
4. (TRF4) Uma carga trifásica em configuração triângulo é composta de três 
impedâncias iguais a (30 + j40) Ω e é alimentada por uma tensão de linha de 240 V − 60 
Hz. A intensidade da corrente em cada impedância vale, aproximadamente,
a. 2,8 A.
b. 4,8 A.
c. 10,5 A.
147
d. 8,3 A.
e. 6,0 A.
5.(MPU) Tem-se um circuito trifásico simétrico e equilibrado composto de um gerador 
em estrela com tensão de fase 100∠0° V(RMS) e sequência de fase positiva e uma carga 
reativa em triângulo em que cada impedância vale (9-j12) Ω. Os módulos da tensão e 
da corrente eficazes de linha valem, respectivamente,
a. 100 V e 5 A.
b. 100 V e 35 A.
c. 100 V e 320 A.
d. 3100 V e 20 A.
e. 3100 V e 320 A.
6. (MPU) Um gerador monofásico de 200 V(rms) alimenta duas cargas reativas ligadas 
em série, sendo uma impedância capacitiva pura Zc =-jXc e uma impedância indutiva 
ZL =R+jXL. A carga capacitiva consome 6 kVAr, enquanto que a carga indutiva consome 
4 kW e 3 kVAr. O módulo da corrente fornecida pelo gerador e o fator de potência total 
visto por ele valem, respectivamente:
a. 25 A e 0,8
b. 25 A e 0,2
c. 15 A e 0,6
d. 10 A e 1,5
e. 5 A e 0,8
7. (DATAPREV) As Cargas A e B da figura a seguir são submetidas à mesma fonte de 
alimentação trifásica e equilibrada.
Com relação à potência dissipada nas cargas A e B, pode-se afirmar que a potência 
dissipada na carga B é:
a. 3 vezes a potência dissipada na carga A;
b. igual à potência dissipada na carga A;
c. √2 vezes a potência dissipada na carga A;
d. √3 vezes a potência dissipada na carga A;
e. 2 vezes a potência dissipada na carga A.
148
8. (TJ-BA) Considerando um sistema elétrico trifásico do tipo estrela-estrela a três fios, 
composto por uma fonte simétrica e uma carga desequilibrada, é correto afirmar que:
a. as tensões de fase da carga são iguais às tensões de fase da fonte;
b. a diferença de potencial entre os neutros da fonte e da carga é igual a zero;
c. o módulo da potência complexa na carga é maior que a sua potência ativa;
d. o somatório das correntes de fase da carga é igual a zero;
e. as tensões de fase da carga são simétricas.
149
GABARITO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 D
150
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011. E-book. 
Disponível em: https://shre.ink/tFpT. Acesso em: 09 abr. 2025.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
151