Transformada de Laplace

Prévia do material em texto

Circuitos Elétricos II | Material de estudo original | Exemplos didáticos 1
Transformada de Laplace
Frações parciais e transformada inversa com exemplos resolvidos.
1 Roteiro de resolução
Para inverter uma função racional F(s), simplifique fatores comuns quando isso for válido, verifique os
graus dos polinômios e fatore o denominador. Se o grau do numerador for maior ou igual ao do
denominador, faça a divisão polinomial antes da decomposição.
Tipo de fator Forma da decomposição
Polos distintos: (s+a)(s+b) A/(s+a) + B/(s+b)
Polo repetido: (s+a)² A/(s+a) + B/(s+a)²
Quadrático irredutível: s²+bs+c (As+B)/(s²+bs+c)
2 Pares úteis da transformada inversa
1/(s+a) → e-at
1/(s+a)² → t · e-at
(s+a)/[(s+a)²+b²] → e-at · cos(bt)
b/[(s+a)²+b²] → e-at · sen(bt)
Estas expressões descrevem a resposta para t ≥ 0, usando a convenção causal. A linearidade permite
inverter cada parcela separadamente.
3 Exemplo com polos distintos
F(s) = (3s+5)/[(s+1)(s+2)]
F(s) = A/(s+1) + B/(s+2)
Multiplicando pelo denominador comum: 3s+5 = A(s+2)+B(s+1). Em s=-1, temos 2=A. Em s=-2, temos
-1=-B, logo B=1.
F(s) = 2/(s+1) + 1/(s+2)
f(t) = 2e-t + e-2t
Conferência: 2(s+2)+(s+1)=3s+5, que recupera exatamente o numerador original.
Circuitos Elétricos II | Material de estudo original | Exemplos didáticos 2
Transformada de Laplace · prática
Aplicação passo a passo, exercícios e conferência dos resultados.
4 Exemplo com polo repetido
F(s) = (4s+3)/(s+2)²
F(s) = A/(s+2) + B/(s+2)²
Multiplique por (s+2)²: 4s+3=A(s+2)+B. Igualando coeficientes, A=4 e 2A+B=3, portanto B=-5.
F(s) = 4/(s+2) - 5/(s+2)²
f(t) = 4e-2t - 5t · e-2t
5 Exemplo com raízes complexas
F(s) = 6/(s²+2s+10)
s²+2s+10 = (s+1)²+3²
A forma de seno exige o valor b=3 no numerador. Escrevemos 6=2·3 e aplicamos o par da tabela.
F(s) = 2 · 3/[(s+1)²+3²]
f(t) = 2e-t · sen(3t)
6 Exercícios para praticar
A. Inverta (2s+7)/[(s+2)(s+3)].
B. Inverta (s+1)/(s+3)².
C. Inverta 8/(s²+4s+20).
Gabarito comentado
A. Os coeficientes são 3 e -1: f(t)=3e-2t-e-3t.
B. Escreva s+1=(s+3)-2. Resultado: e-3t-2t·e-3t.
C. O denominador é (s+2)²+4². Resultado: 2e-2t·sen(4t).
Como evitar erros
Inclua todos os termos de um polo repetido. Em fatores quadráticos irredutíveis, use numerador linear.
Confira sinais recompondo as frações. Para completar quadrados, lembre que s²+2as+c=(s+a)²+c-a².