Exercícios Análise Combinatória e Probabilidade Morgado

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Ceara´
Campus Quixada´
Prof. Me. Joel Castro
Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade - Cap´ıtulo 5
5.3 Espac¸o de probabilidade
1. Uma caixa conte´m 20 pec¸as em boas condic¸o˜es e 15 em ma´s condic¸o˜es. Uma amostra de 10 pec¸as e´
extra´ıda. Calcular a probabilidade de que ao menos uma pec¸a na amostra seja defeituosa.
2. (Poˆquer com dados) Cinco dados sa˜o jogados simultaneamente e os resultados sa˜o classificados em:
A1 = todos diferentes;
A2 = um par;
A3 = dois pares;
A4 = treˆs iguais;
A5 = full (treˆs iguais e dois iguais);
A6 = quatro iguais (poˆquer);
A7 = cinco iguais;
A8 = uma sequeˆncia.
Calcular as probabilidades de Ai i = 1,2,...,9.
4. Os algarismos 1,2,3,4,5 sa˜o escritos em 5 carto˜es diferentes. Estes carto˜es sa˜o escolhidos (sem reposic¸a˜o)
aleatoriamente e os algarismos que va˜o aparecendo sa˜o escritos da esquerda para a direita, formando um
nu´mero de cinco algarismos.
(a) Calcular a probabilidade de que o nu´mero escrito seja par.
(b) Se a escolha fosse com reposic¸a˜o qual seria a probabilidade?
5. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna
seja deixada desocupada.
10. Aos nu´meros inteiros entre 1 e n sa˜o designadas probabilidades aos seus valores. Calcular P (i) para 1 ≤
i ≤ n.
11. Treˆs dados sa˜o jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como soma dos resultados
dos treˆs dados.
12. Dois dados sa˜o jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 7 como soma dos resultados.
16. Uma urna conte´m 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna.
Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:
a) supondo a extrac¸a˜o com reposic¸a˜o;
b) supondo a extrac¸a˜o sem reposic¸a˜o.
18. No jogo da Loto sa˜o sorteadas 5 dezenas distintas entre as dezenas 01 - 02 - ... - 99 - 00. O apostador
escolhe 6,7,8,9 ou 10 dezenas e e´ premiado se sa˜o sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas
escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador que escolheu 10 dezenas fazer:
a) um terno;
b) uma quadra;
c) a quina.
20. Escolhem-se ao acaso duas pec¸as de um domino´. Qual e´ a probabilidade delas possu´ırem um nu´mero
comum?
Universidade Federal do Ceara´
Campus Quixada´
Prof. Me. Joel Castro
21. Ha´ 8 carros estacionados em 12 vagas em fila.
a) Qual e´ a probabilidade das vagas vazias serem consecutivas?
b) Qual e´ a probabilidade de na˜o haver duas vagas vazias consecutivas?
24. Em um arma´rio ha´ n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pe´s de sapatos desse arma´rio. Qual a
probabilidade de haver entre esses pe´s exatamente k pares de sapatos?
25. Colocam-se ao acaso n boto˜es em um tabuleiro n × n, na˜o sendo permitido haver dois boto˜es em uma
mesma casa. Qual e´ a probabilidade de na˜o haver dois boto˜es nem na mesma linha nem na mesma
coluna?
34. Joa˜o e Pedro lanc¸aram, cada um, um dado na˜o-tendencioso. Qual e´ a probabilidade do resultado de Joa˜o
ser maior ou igual ao resultado de Pedro?
37. P (A) = 13 , P (B) =
1
4 , P (C) =
1
6 , P (A ∩ B) = 16 , P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 110 , P (A ∩ B ∩ C) = 112 .
Determine a probabilidade de ocorreˆncia de:
a) Exatamente um dos eventos A,B,C;
b) Exatamente dois dos eventos A,B,C;
c) Pelo menos dois desses eventos;
d) No ma´ximo dois desses eventos;
e) No ma´ximo um desses eventos.
5.4 Probabilidades condicionais
4. Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo
que a soma dos resultados foi 7.
12. Provar que se, A,B e C sa˜o eventos independentes, enta˜o
a) A, Bc sa˜o independentes;
b) Ac, B, Cc sa˜o independentes.
Nota: Em geral, se A1,A2,...,Ar sa˜o independentes, enta˜o B1,B2,...,Br sa˜o independentes onde Bi e´ igual
a algum dos Aj ou A
c
j , i = 1,2,r.
14. Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos:
A = o resultado do 1o lanc¸amento e´ par;
B = o resultado do 2o lanc¸amento e´ par;
C = a soma dos resultados e´ par.
A e B sa˜o independentes? e A e C? e B e C? e A, B e C?
20. Um exame de laborato´rio tem eficieˆncia de 95% para detectar uma doenc¸a quando essa doenc¸a existe de
fato. Entretanto o teste aponta um resultado ”falso positivo”para 1% das pessoas sadias testadas. Se
0,5% da populac¸a˜o teˆm a doenc¸a, qual e´ a probabilidade de uma pessoa ter a doenc¸a dado que o seu
exame foi positivo?
34. Um ju´ri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um) com probabilidade p e um
terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As deciso˜es sa˜o tomadas por maioria. Outro ju´ri tem
probabilidade p de tomar uma decisa˜o correta. Qual dos ju´ris tem maior probabilidade de acerto?