Trabalho de Cálculo - Atividades Computacionais - Parte 2 final

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EUDES APARECIDO ROLA 
MARCELO JOSÉ PARIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Atividades computacionais – Parte 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015
EUDES APARECIDO ROLA 
MARCELO JOSÉ PARIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Atividades computacionais – Parte 2 
 
 
 
Trabalho apresentado à Disciplina de Cálculo 
Diferencial E Integral II do Curso de Engenharia 
Elétrica – UNEMAT, Campus Universitário de 
Sinop para a obtenção de nota na disciplina. 
 
 
 
Professora: 
Dr.ª Vera Lúcia Vieira de Camargo 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CURSO DE ENGENHARIA ELETRICA 
 
INTRODUÇÃO 
 
Em nosso cotidiano podemos observar vários tipos de formas e superfícies de 
revolução oriundas da geometria e descritas por funções matemáticas 
parametrizadas, como por exemplo frascos de garrafas, latas de uso geral, coberturas 
de edificações, são utilizados até mesmo em produções cinematográficas. 
O objetivo desse trabalho é estudar, descrever, interpretar e expressar funções 
de superfícies parametrizadas, sólidos de revolução e sólidos oriundos da intersecção 
de outros sólidos ou superfícies. Busca-se expressar de forma mais clara possível, 
descrevendo os recursos utilizados, o passo a passo a ser seguido e também a 
exibição de figuras que facilitem a interpretação. 
Esse trabalho está organizado em tópicos e subtópicos, de acordo com o 
questionário dado pela professora Dr.ª Vera Lucia Vieira de Camargo, foram utilizados 
os softwares matemáticos gráficos Winplot e wxMaxima, para calcular e plotar os 
gráficos necessários. 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CURSO DE ENGENHARIA ELETRICA 
 
DESENVOLVIMENTO 
 
Questão 1 - Superfície de revolução 
 
a) Escolher um objeto que possa ser descrito como superfície de revolução. 
 
Escolheu-se uma garrafa simples de vidro, da 
qual já se tinha em mãos para criar o solido de 
revolução. A garrafa é uma embalagem de cerveja. Veja 
a imagem: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Modelar objeto utilizando um arame e desenhar em uma folha milimetrada. 
 
Utilizou-se um arame de cobre fino para modelar a “silhueta” da garrafa e então 
desenhou-se a curva gerada pelo arame em uma folha de papel milimetrada para 
obter assim as coordenadas dos pontos de referência da curva geradora. 
c) Descrever a curva geradora através de funções de segundo grau. 
 
Para descrever-se a curva geradora através de funções de segundo grau, 
montou-se uma tabela (x,y) no Microsoft Office Excel, utilizando os pontos de 
referência obtidos através das coordenadas encontradas no papel milimetrado, então 
criou-se gráficos de dispersão utilizando pequenos “pedaços” da curva, ativando a 
linha de tendência como polinômio de segundo grau obteve-se as equações que mais 
se aproximavam desses pequenos intervalos. 
d) Curva geradora 
 
Com os dados obtidos 
em c), montou-se a curva 
geradora utilizando o software 
Winplot. Veja o resultado 
obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: The Bear Brew Pub. 
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e) Rotacionar a curva geradora em torno do eixo de simetria e simular o sólido. 
 
Para rotacionar a 
curva geradora, seguiu-
se os procedimentos da 
imagem ao lado, 
rotacionando equação 
por equação em seus 
devidos intervalos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado: 
 
 
 
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f) Estratégia para estimar o volume e a área da superfície. 
 
Para se estimar o volume da garrafa utilizou-se o Princípio de Arquimedes, cujo 
pode-se descobrir o volume de um objeto submergindo-o totalmente em um recipiente 
com água, onde o volume do objeto submerso é igual ao volume de agua deslocado. 
Primeiramente pegou-se um balde de aproximadamente 5 litros, completou-se 
o mesmo com uma quantia de agua que fosse suficiente para cobrir a garrafa, anotou-
se então o nível inicial da agua, logo após submergiu-se a garrafa, de modo que “a 
boca” da garrafa ficasse o mais próximo possível do nível da água, mas que não 
entrasse água dentro da garrafa, anotou-se novamente o nível da água, retirou-se 
então a garrafa, como era esperado, a agua voltou ao nível inicial, em seguida 
utilizando um copo volumétrico de uso doméstico, completou-se a quantidade de água 
do balde, de modo que atingisse o nível marcado quando a garrafa estava submersa. 
A quantidade de água necessária para completar o nível do balde foi de 
aproximadamente 450 mililitros, deduz-se então que o volume da garrafa seja de 
aproximadamente 450 mililitros ou 450 cm³. 
Para se estimar a área da superfície lateral da garrafa (sem contar com o 
fundo), utilizou-se de pequenos pedaços retangulares de papel alumínio doméstico, 
moldando-os sobre a garrafa e marcando a superfície preenchida pelos mesmos, 
foram necessários aproximadamente 8 pedaços de diferentes dimensões, variando 
de 1𝑐𝑚 × 7𝑐𝑚 até 10𝑐𝑚 × 20𝑐𝑚, nesse procedimento obteve-se que a área da 
superfície lateral da garrafa é de aproximadamente 350cm². 
 
g) Utilizar o wxMaxima para determinar o volume do sólido de revolução, o 
comprimento da curva geradora, e a área da superfície lateral. 
 
Volume: 
Para se calcular o volume do sólido de revolução, utilizou-se a integral 
𝑉 = ∫ 𝜋[𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, onde a função 𝑓(𝑥) e o intervalo [𝑎, 𝑏] foram obtidos em c). 
Script de entrada do wxMaxima: 
%v1:integrate(%pi*(-2.88021*x^2 + 1.8000*x + 1.1216)^2,x,0,0.5),numer; 
%v2:integrate(%pi*(2*x^2-2.7*x + 2.15)^2,x,0.5,1),numer; 
%v3:integrate(%pi*(-1.6*x^2 + 3.6*x - 0.55)^2,x,1,1.325),numer; 
%v4:integrate(%pi*(1.9496*x^2 - 6.1361*x + 6.1176)^2,x,1.325,1.750),numer; 
%v5:integrate(%pi*(-0.0207*x^2 + 0.261*x + 0.9598)^2,x,1.750,7.6),numer; 
%v6:integrate(%pi*(0.0469*x^2 - 0.8352*x + 5.3835)^2,x,7.6,9.75),numer; 
%v7:integrate(%pi*(0.12*x^2 - 2.026*x + 10.049)^2,x,9.75,10.5),numer; 
%v8:integrate(%pi*(-0.0976*x^2 + 2.741*x - 16.023)^2,x,10.5,12.4),numer; 
%v9:integrate(%pi*(-0.0823*x^2 + 2.1655*x - 11.248)^2,x,12.4,13.25),numer; 
%v10:integrate(%pi*(3)^2,x,13.25,23.11),numer; 
%v11:integrate(%pi*(-0.0257*x^2 + 1.1201*x - 9.1615)^2,x,23.11,24.25),numer; 
%v12:integrate(%pi*(-45*x^2 + 2182.5*x - 26459.93)^2,x,24.25,24.3),numer; 
%v13:integrate(%pi*(-439.05*x^2 + 21358*x - 259741.98)^2,x,24.24,24.3),numer; 
""; 
"Volume do sólido (cm^3)"; 
%v1+%v2+%v3+%v4+%v5+%v6+%v7+%v8+%v9+%v10+%v11+%v12-%v13; 
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Resultado: 
(%o15) Volume do sólido (cm^3) 
(%o16) 461.7817940031463 
 
Comparando o resultado aqui obtido com o resultado obtido em f), nota-se 
que os mesmos estão bem próximos, dentro de uma margem aceitável, uma vez 
que (
461,78−450
461,78
) ∗ 100% = 2,6% de erro. 
Comprimento da curva geradora: 
Para se calcular o comprimento da curva geradora do solido de revolução, 
utilizou-se a integral 𝑆 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, onde a função 𝑓(𝑥) e o intervalo [𝑎, 𝑏] 
foram obtidosem c). 
Script de entrada do wxMaxima: 
%L1:integrate(sqrt(1+(diff(-2.88021*x^2+1.8000*x+1.1216,x))^2),x,0,0.5),numer; 
%L2:integrate(sqrt(1+(diff(2*x^2-2.7*x + 2.15,x))^2),x,0.5,1),numer; 
%L3:integrate(sqrt(1+(diff(-1.6*x^2 + 3.6*x - 0.55,x))^2),x,1,1.325),numer; 
%L4:integrate(sqrt(1+(diff(1.9496*x^2 - 6.1361*x + 
6.1176,x))^2),x,1.325,1.750),numer; 
%L5:integrate(sqrt(1+(diff(-0.0207*x^2 + 0.261*x + 
0.9598,x))^2),x,1.750,7.6),numer; 
%L6:integrate(sqrt(1+(diff(0.0469*x^2 - 0.8352*x + 5.3835,x))^2),x,7.6,9.75),numer; 
%L7:integrate(sqrt(1+(diff(0.12*x^2 - 2.026*x + 10.049,x))^2),x,9.75,10.5),numer; 
%L8:integrate(sqrt(1+(diff(-0.0976*x^2 + 2.741*x - 16.023,x))^2),x,10.5,12.4),numer; 
%L9:integrate(sqrt(1+(diff(-0.0823*x^2 + 2.1655*x - 
11.248,x))^2),x,12.4,13.25),numer; 
%L10:integrate(sqrt(1+(diff(3,x))^2),x,13.25,23.11),numer; 
%L11:integrate(sqrt(1+(diff(-0.0257*x^2 + 1.1201*x - 
9.1615,x))^2),x,23.11,24.25),numer; 
%L12:integrate(sqrt(1+(diff(-45*x^2 + 2182.5*x - 
26459.93,x))^2),x,24.25,24.3),numer; 
%L13:integrate(sqrt(1+(diff(-439.05*x^2 + 21358*x - 
259741.98,x))^2),x,24.24,24.3),numer; 
""; 
"Comprimento da Curva Geradora (cm)"; 
%L1+%L2+%L3+%L4+%L5+%L6+%L7+%L8+%L9+%L10+%L11+%L12+%L13; 
Resultado: 
(%o15) Comprimento da Curva Geradora (cm) 
(%o16) 27.81685940779191 
 
Área da superfície lateral: 
Para se calcular o comprimento da curva geradora do solido de revolução, 
utilizou-se a integral 𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, onde a função 𝑓(𝑥) e o intervalo 
[𝑎, 𝑏] foram obtidos em c). 
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Script de entrada do wxMaxima: 
%a1:integrate((-2.88021*x^2+1.8000*x+1.1216)*sqrt(1+(diff(-
2.88021*x^2+1.8000*x+1.1216,x))^2),x,0,0.5)*2*%pi,numer; 
%a2:integrate((2*x^2-2.7*x + 2.15)*sqrt(1+(diff(2*x^2-2.7*x + 
2.15,x))^2),x,0.5,1)*2*%pi,numer; 
%a3:integrate((-1.6*x^2 + 3.6*x - 0.55)*sqrt(1+(diff(-1.6*x^2 + 3.6*x - 
0.55,x))^2),x,1,1.325)*2*%pi,numer; 
%a4:integrate((1.9496*x^2 - 6.1361*x + 6.1176)*sqrt(1+(diff(1.9496*x^2 - 6.1361*x 
+ 6.1176,x))^2),x,1.325,1.750)*2*%pi,numer; 
%a5:integrate((-0.0207*x^2 + 0.261*x + 0.9598)*sqrt(1+(diff(-0.0207*x^2 + 0.261*x 
+ 0.9598,x))^2),x,1.750,7.6)*2*%pi,numer; 
%a6:integrate((0.0469*x^2 - 0.8352*x + 5.3835)*sqrt(1+(diff(0.0469*x^2 - 0.8352*x 
+ 5.3835,x))^2),x,7.6,9.75)*2*%pi,numer; 
%a7:integrate((0.12*x^2 - 2.026*x + 10.049)*sqrt(1+(diff(0.12*x^2 - 2.026*x + 
10.049,x))^2),x,9.75,10.5)*2*%pi,numer; 
%a8:integrate((-0.0976*x^2 + 2.741*x - 16.023)*sqrt(1+(diff(-0.0976*x^2 + 2.741*x - 
16.023,x))^2),x,10.5,12.4)*2*%pi,numer; 
%a9:integrate((-0.0823*x^2 + 2.1655*x - 11.248)*sqrt(1+(diff(-0.0823*x^2 + 
2.1655*x - 11.248,x))^2),x,12.4,13.25)*2*%pi,numer; 
%a10:integrate(3*sqrt(1+(diff(3,x))^2),x,13.25,23.11)*2*%pi,numer; 
%a11:integrate((-0.0257*x^2 + 1.1201*x - 9.1615)*sqrt(1+(diff(-0.0257*x^2 + 
1.1201*x - 9.1615,x))^2),x,23.11,24.25)*2*%pi,numer; 
%a12:integrate((-45*x^2 + 2182.5*x - 26459.93)*sqrt(1+(diff(-45*x^2 + 2182.5*x - 
26459.93,x))^2),x,24.25,24.3)*2*%pi,numer; 
""; 
"Area Lateral total (cm^2"; 
%a1+%a2+%a3+%a4+%a5+%a6+%a7+%a8+%a9+%a10+%a11+%a12; 
Resultado: 
(%o14) Area Lateral total (cm^2) 
(%o15) 370.3238953975385 
 
Comparando o resultado aqui obtido com o resultado obtido em f), nota-se 
que os mesmos estão bem próximos, dentro de uma margem aceitável, uma vez 
que (
370,32−350
370,32
) ∗ 100% = 5,5% de erro. 
 
Questão 2 - Equações paramétricas 
 
a) Equação paramétrica de uma circunferência de raio 2. 
 
Para parametrizar um circulo de raio 2, deve-se usar coordenadas polares, tal 
que 𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡) e 𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡), onde 𝑟 é o raio da circunferência e 𝑡 é a variação 
do ângulo. Temos então que a equação paramétrica de um círculo de raio 2 com 
centro na origem é dada por: 
𝑓(𝑡) = [2𝑐𝑜𝑠(𝑡), 2𝑠𝑒𝑛(𝑡)] 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
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b) Equação paramétrica de uma circunferência de raio 2 com a região interna 
preenchida e plotar usando software gráfico. 
 
Assim como feito em a), para preencher o centro de um círculo parametrizado, 
basta variar 𝑟, tendo então a equação dada por: 
𝑓(𝑢, 𝑣) = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣)] 0 ≤ 𝑢 ≤ 2; 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋 
 
Gráfico plotado 
utilizando o software 
Winplot, utilizando a 
equação dada acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Devido as limitações do software, esse gráfico foi plotado no sistema de 3 
dimensões, porém 𝑧 foi definido como 0. 
 
c) Plotar um cilindro parametrizado de altura 3, juntamente plotar círculos 
fechados em cada uma das extremidades. 
 
Equação paramétrica de um cilindro de raio 1 com centro na origem e altura 3: 
𝑓(𝑢, 𝑣) = [1𝑐𝑜𝑠(𝑢), 1𝑠𝑒𝑛(𝑢), 𝑣] 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑣 ≤ 3 
 
Gráfico plotado utilizando o 
software Winplot, utilizando a 
equação dada acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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d) Equação paramétrica do paraboloide elíptico 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e plotar usando 
software gráfico. 
 
Assim como feito em a), 𝑥 foi definido como 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡), e 𝑦 como sendo 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡), logo, 
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, temos que: 𝑧 = (𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡))
2
+ (𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡))
2
 , ficando então 𝑧 = 𝑟2, portanto a 
equação paramétrica do paraboloide elíptico 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 é dada por: 
𝑓(𝑢, 𝑣) = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣), 𝑢2] 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 
 
Gráfico plotado utilizando 
o software Winplot, 
utilizando a equação dada 
acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Equação paramétrica de uma esfera de raio 2 centrada na origem e plotar 
usando software gráfico. 
 
Para se parametrizar uma esfera, devemos utilizar coordenadas esféricas, 
onde 𝑥 = 𝜌 sen(∅) 𝑐𝑜𝑠(∅), 𝑦 = 𝜌sen (∅)𝑠𝑒𝑛(∅) e 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠(∅), logo a equação de uma 
esfera de raio 2 centrada na origem é dada por: 
𝑓(𝑢, 𝑣) = [2𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝑣), 2𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑣), 2cos (𝑢)] 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋 ; 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋 
 
Gráfico plotado utilizando 
o software Winplot, 
utilizando a equação 
dada acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 3 - A função 𝒇: ℝ → ℝ𝟑 definida por 𝒇(𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏 𝒕, 𝒕) tem como 
imagem uma hélice no cilindro circular reto 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 com z livre. 
 
a) Qual o domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦)? 
𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ𝟑} 
b) Denomina-se passo “b” de uma hélice a distância entre dois pontos da curva 
após sua projeção no círculo suporte dar uma volta completa. No caso dado o 
passo é 2𝜋. Como você alteraria a 𝑓(𝑥, 𝑦) para obter passo igual a 𝜋 ? e 
passo igual a 1? 
 
Primeiramente rescrevemos a 𝑓(𝑥, 𝑦) como sendo função paramétrica de u e v, 
temos então que 𝑓(𝑢, 𝑣) = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣), 𝑢]. Sabe-se que passo é a distância 
entre dois pontos da curva após sua projeção dar uma volta completa, como uma volta 
completa em radianos é dada por 2𝜋, para se ter passo igual a 𝜋, tem-se a paramétrica 
 𝑓(𝑢, 𝑣) = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣), 𝑢 2⁄ ], para se ter passo igual a 1, de modo análogo tem-
se 𝑓(𝑢, 𝑣) = [𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣), 𝑢 2𝜋⁄ ]. 
c) Quais as equações paramétricas de uma volta da espiral de seu caderno? 
Calcule o comprimento total da espiral. Construa a espiral obtida. 
 
Pode-se interpretar a espiral de um cadernocomo sendo 
uma hélice de função paramétrica 𝑓(𝑢, 𝑣) =
[𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑣), 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑣), 𝑢𝑏 2𝜋⁄ ], onde r é o raio do cilindro que comporta 
tal hélice e b é o passo. A espiral do caderno utilizado possui passo 
de 6mm e raio também de 6mm e possui 50 voltas, logo sua 
paramétrica é tida como 
𝑓(𝑢, 𝑣) = [6𝑐𝑜𝑠(𝑣), 6𝑠𝑒𝑛(𝑣), 3𝑢 𝜋⁄ ] 0 ≤ 𝑣 ≤ 100𝜋. Seu comprimento 
é dado por: 
3
𝜋
∫ √4𝜋2 + 1 𝑑𝑡
100𝜋
0
→ 300√4𝜋2 + 1 ≈ 1908,68𝑚𝑚 
 
Gráfico ao lado plotado utilizando o software Winplot, utilizando a 
equação dada acima. 
Obs.: Devido as limitações do software utilizado, foi necessário 
plotar as espiras em pequenos intervalos para se obter a 
construção completa. 
 
 
 
 
 
 
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Questão 4 - Seja a função 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟑(𝒚 − 𝟑)𝟐 + 𝟑 restrita a 
𝑪 = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐|(𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 – 𝟏)𝟐– 𝟗} 
 
a) Quais as equações paramétricas de 𝑓(𝑥, 𝑦) restrita a curva 𝐶? Esboce a 
curva gerada do gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) nestas condições. 
 
Para se restringir a 𝑓(𝑥, 𝑦) a curva 𝐶, primeiramente deve-se parametrizar a 
curva, de modo que fique em função de 𝑡. Nota-se instantaneamente que a curva 𝐶 é 
um circulo de raio 3 com centro em (−1,1), então parametrizando a mesma, tem-se 
que 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 1 e 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 1 com 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, substituindo em 𝑓(𝑥, 𝑦) obtêm-
se então 𝑧 = (3𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 1)2 + 3(3𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 2)2 + 3, que é a 𝑓(𝑥, 𝑦) restrita a curva 𝐶. 
 
Gráfico ao lado plotado utilizando o software 
wxMaxima, utilizando a equação dada acima. 
 
Comando: 
expr_1: 3*cos(t)-1$ 
expr_2: 3*sin(t)+1$ 
expr_3: (expr_1+2)^2+3*(expr_2-3)^2+3$ 
plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], [u, 0, 3], 
 [t, 0, 2*%pi], [mesh_lines_color,red], same_xyz, [grid, 
25, 25])$ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Esboce 𝑓(𝑥, 𝑦) considerando o domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦) a região interna de 𝐶. 
 
Gráfico ao lado plotado utilizando o software 
wxMaxima, utilizando a equação dada acima. 
 
Comando: 
expr_1: u*cos(v)-1$ 
expr_2: u*sin(v)+1$ 
expr_3: (expr_1+2)^2+3*(expr_2-3)^2+3$ 
plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], [u, 0, 3], 
 [v, 0, 2*%pi], [mesh_lines_color,red], same_xyz, [grid, 
25, 25])$ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 - Considere o sólido delimitado pela intersecção de dois cilindros 
circulares reto de mesmo raio 𝑹 que se cruzam ortogonalmente, e 
cujos eixos de simetria coincidem com os eixos coordenados 𝒙 e 𝒚. 
 
 
 
 
 
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a) Descreva a projeção da intersecção dos cilindros no plano 𝑥𝑦. 
 
Como o plano de intersecção é o plano 
gerado pelo eixo de simetria de ambos os cilindros, 
basta que olhemos “de cima” do sólido. 
Veja ao lado a vista superior do sólido. 
Logo a projeção da intersecção do sólido com 
o plano 𝑥𝑦 é dada como um quadrado de lado 2𝑟 
sendo 𝑟 o raio de ambos os cilindros. 
 
 
 
b) Expresse como integrais iteradas o volume do sólido obtido e a área de sua 
superfície e depois calcule o seu valor. 
 
Pode-se notar explicitamente que esse se trata de um sólido simétrico, 
portanto, para calcular a área da superfície e o seu volume, podemos dividi-lo em 
partes simétricas iguais, calcular o valor de apenas uma delas e multiplicar pela 
quantidade de vezes que é repetido. Veja abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Calculo do volume: 
Para se calcular o volume 
deste sólido pode-se empregar 
integral tripla, porém precisamos 
definir os intervalos de x, y e z, para 
isso deve-se “olhar o sólido de 
diferentes posições, veja ao lado. 
Tem-se então que: 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟; 
−𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥; 
0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑟2 − 𝑥2; 
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Como o sólido é composto por 8 partes iguais a essa, pode-se então montar a 
integral para calcular o volume como sendo: 
𝑉 = 8 ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√𝑟2−𝑥2
0
𝑥
−𝑥
𝑟
0
 
Utilizou-se o wxMaxima para resolver a integral acima. 
Comando: 
integrate(integrate(integrate(1,z,0,(sqrt(r^2-x^2))),y,-x,x),x,0,r)*8; 
Resultado: 
(%o1) (16*r^3)/3 
 
Logo o volume desse sólido fica em função do raio dos cilindros e é dado por: 
𝑉 =
16𝑟3
3
 𝑢. 𝑣. 
 
Calculo da área da superfície: 
Para se calcular a área da superfície desse solido utiliza-se o mesmo principio 
utilizado para calcular o volume, porém 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑟2 − 𝑥2, tem-se então 
a integral: 
𝐴 = 8 ∫ ∫ √1 + (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑦
)
2
 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
−𝑥
𝑟
0
 
Utilizou-se o wxMaxima para resolver a integral acima. 
Comando: 
integrate(integrate(sqrt(1^2+(diff(sqrt(r^2-x^2),x))^2),y,-x,x),x,0,r)*8; 
Resultado: 
(%o119) 16*r^2 
 
Logo a área da superfície desse sólido fica em função do raio dos cilindros e é 
dada por: 
𝐴 = 16𝑟2 𝑢. 𝑎. 
c) O sólido obtido da intersecção de dois ou mais cilindros tem formas utilizadas 
em algumas edificações. Pesquise na internet alguns exemplos de construções 
famosas que apresentam formas como as resultantes da intersecção de dois 
ou mais cilindros. 
Um grande exemplo de construção 
brasileira com intersecções de cilindros é a 
Catedral Metropolitana de São Paulo (Catedral 
da Sé), veja a imagem ao lado. 
Do lado esquerdo do centro da imagem é 
possível ver a cobertura em formato de cúpula 
feita com a intersecção de 8 cilindros elípticos. 
 
 
 
 
 
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Questão 6 - Considere o sólido delimitado pelas superfícies 
 
𝑧 =
12
(3+𝑥2+𝑦2)
 e z = 3√(𝑥2 + 𝑦2) 
a) Descreva a delimitação do sólido e construa o sólido descrito acima. Comece 
determinando a projeção no plano 𝑥𝑦 da curva obtida pela intersecção das 
duas superfície. 
 
Como 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2, transformando em coordenadas cilíndricas temos: 
z = 
12
3+𝑟2
 e z = 3𝑟 
Gráfico ao lado plotado 
utilizando o software Winplot em 
coordenadas cilindricas, 
utilizando a equação dada 
acima. 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, podemos identificar a delimitação do sólido: 
𝐷 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ | 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 < 𝜃 < 2𝜋, 3𝑟 < 𝑧 <
12
3+𝑟2
 } 
b) Apresente a integral tripla para calcular o volume do sólido obtido em 
coordenadas cilíndricas e utilize o MAXIMA para realizar o cálculo. 
 
Com os dados obtidos em a) pode-se escrever a integral tripla em 
coordenadas cilíndricas como: 
∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
12
3+𝑟2
3𝑟
1
0
2𝜋
0
 
Utilizou-se o wxMaxima para resolver a integral acima. 
Comando: 
integrate(integrate(integrate(r,z,3*r,(12/(3+r^2))),r,0,1),t,0,2*%pi),numer; 
Resultado: 
(%o1) 4.562173317428427 
 
Logo o volume desse sólido é dado por: 
𝑉 ≈ 4,56 𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 
 
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Questão 7 - Utilize o Winplot para desenhar o campo vetorial F(x,y)=P(x,y) i + 
Q(x,y) j 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 〈𝑦, 𝑥〉 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑗 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝑖 + 𝑧 𝑗 + 𝑥 𝑘 
 
 
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Questão 8 - Campo gradiente e curvas de nível 
 
a) Visualize o campo vetorial gradiente da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 
 
b) Campo vetorial gradiente e função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 
 
c) Campo vetorial gradiente e função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 
 
Para se tirar as conclusões, precisa-se analisar 
antes o gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) e verificar se o campo vetorial 
gradiente obtido em a) condiz com a realidade. Observa-
se que o gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) é um paraboloide hiperbólico e 
que tem maior crescimento no eixo 𝑥, portanto como os 
vetores do campo vetorial obtido em a) apontam a direção 
de maior crescimento como sendo o eixo 𝑥, tem-se então 
que esta correta a plotagem, tanto do campo vetorial 
gradiente quanto do gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦). 
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CONCLUSÃO 
 
Atualmente temos vários tipos de programas para a representação gráfica de 
funções, sólidos, superfícies e também realizar cálculos complexos, como exemplos 
de tais programas temos os mais conhecidos, que são o Mathlab, Mathematica, 
Winplot e wxMaxima, tais programas possibilitam facilitar a maneira de moldarmos o 
mundo, ou seja, facilitar nossa vida, como pudemos ver durante o trabalho. 
Grande parte dos arquitetos utilizam de intersecções de vários sólidos para 
criar formas diferenciadas para seus projetos, utilizam de programas para a criação 
destas formas, podemos observar a utilização destas em cúpulas de igrejas, edifícios, 
ou seja, todo o tipo de edificação, todo tipo de material que utilizamos, possui algum 
tipo de forma. 
Nota-se também que cada software matemático disponível no mercado possui 
particularidades e geralmente são projetados para usos específicos, como por 
exemplo, é muito mais rápido e intuitivo plotar gráficos de funções simples utilizando 
o Winplot, do que utilizando o wxMaxima, entretanto, embora em alguns desses 
softwares possuem limitações, mesmo que sejam quase imperceptíveis para 
iniciantes, cabe então ao utilizador saber escolher e decidir corretamente qual 
ferramenta utilizar para facilitar seu trabalho. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Stewart, James, Cálculo. Vol. 2,Editora Thomson, 7ª edição, 2013. 
 
Manual do Maxima 5.35.0. Disponível em: 
<http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima.htm/>. Acesso em 01 dez. 
2015. 
 
Wolfram MathWorld. Disponível em: 
<http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html/>. Acesso em 01 dez. 2015.