Perelman e a Conjectura de Poincaré

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Perelman e a Conjectura de Poincaré
			Grigori Perelman
O Congresso Internacional dos Matemáticos 2006, que decorreu em Agosto em Madrid, foi largamente dominado pela polémica em torno de Grigori Perelman, o matemático russo que recentemente resolveu a Conjectura de Poincaré, um dos mais famosos problemas matemáticos do século XX. Pela importância do seu trabalho o congresso atribuiu a Perelman uma medalha Fields, o mais prestigiado prémio do mundo da matemática, distinguindo ao mesmo tempo três outros matemáticos --- um alemão, um australiano e um segundo russo. Ao contrário dos outros, porém, Perelman não compareceu à cerimónia e recusou o galardão, o que aconteceu pela primeira vez na história da medalha Fields. Numa entrevista dada posteriormente à revista «New Yorker», Perelman justificou-se dizendo que o prémio «era completamente irrelevante» para ele. «Todos perceberam que se a demonstração está correcta não é necessário nenhum outro tributo».
* Recém-doutorado em matemática em Cambridge.
	
	Uma foto de Poincaré em família
Muito para além destas polémicas, contudo, a fama de Perelman vem merecidamente da qualidade e importância histórica do seu trabalho. A Conjectura de Poincaré foi formulada no ano de 1904 pelo grande matemático francês Henri Poincaré, e desde essa data que permanecia sem solução. Durante cem anos ninguém conseguiu decidir se a conjectura era verdadeira ou falsa, e isto apesar dos esforços de gerações de matemáticos para chegar a uma resposta. Perelman demonstrou em 2002/2003 que a conjectura é verdadeira, no que foi provavelmente o primeiro grande acontecimento na matemática do século XXI. Embora dificilmente venha a ter algum impacto na vida dos contribuintes, e por agora mesmo nas outras ciências mais teóricas, a repercussão desta solução no meio matemático é enorme, alargando o conhecimento actual sobre espaços e geometrias de dimensão três. No mínimo, e como frequentemente sucede com problemas desta envergadura (relembre-se o caso de Andrew Wiles e do último teorema de Fermat, nos anos 90), a própria história da busca da solução é interessante. 
Uma estrela reclusa 
Grigori Perelman, de 40 anos, é um matemático recluso e misterioso que até Dezembro de 2005, altura em que se demitiu, trabalhava no Instituto Steklov de Matemática, em São Petersburgo. Apesar da atenção que sobre ele tem recaído desde que apresentou a sua solução, quase sempre recusa as entrevistas e só muito raramente fala em público. Há cerca de dez anos, no seu início de carreira, teve posições de visitante em várias universidades americanas, onde desenvolveu algum trabalho reputado de «brilhante» por colegas. Depois voltou para a Rússia e desapareceu. Durante oito longos anos Perelman permaneceu silencioso em São Petersburgo, sem publicar artigos e sem que se soubesse em que trabalhava. O seu nome caiu no esquecimento. 
Em Novembro de 2002, porém, o «iceberg» veio à superfície, quando Perelman publicou num arquivo científico da internet um primeiro artigo sobre o seu trabalho. Neste artigo Perelman desenvolvia uma estratégia de ataque ao problema originalmente proposta pelo matemático americano Richard Hamilton. Começou a correr na comunidade matemática que, com estes novos resultados, Perelman estava perigosamente próximo de provar a inatingível Conjectura de Poincaré. Desde então o trabalho de Perelman --- aquele artigo de 2002 e outros dois que publicou em Abril de 2003 --- tem sido sujeito a um escrutínio intenso. Ao longo dos últimos quatro anos matemáticos de todo o mundo, peritos nas técnicas e dificuldades da Conjectura de Poincaré, esforçaram-se arduamente por perceber os elaborados métodos de Perelman, examinaram em detalhe os seus argumentos, procuraram falhas nos seus raciocínios. No fim de contas ficaram satisfeitos, as dificuldades foram sempre ultrapassadas e as dúvidas esclarecidas. Foi portanto assim, gradualmente, que a solução de Perelman foi aceite pela comunidade matemática, e foi também assim que, passados cem anos, a Conjectura de Poincaré passou à categoria de teorema, que significa «afirmação demonstrada». 
A Conjectura de Poincaré 
Mas afinal, qual é o conteúdo da Conjectura de Poincaré ? Em primeiro lugar, para responder a esta pergunta, comece-se por dizer que a conjectura é uma questão sobre topologia, o ramo da matemática que estuda as propriedades geométricas de superfícies e espaços que não se alteram quando estes espaços são deformados de forma progressiva. Isto quer dizer, por exemplo, que aos olhos da topologia as superfícies de uma bola de futebol e de uma bola de râguebi são indistintas, pois são superfícies de dimensão 2 que podem ser obtidas uma da outra por deformação. Ao invés, a superfície de um donut já é distinta das anteriores, pois apesar de ter também 2 dimensões, já tem um buraco no meio, e por muito que a superfície seja deformada (sem rasgar, partir ou colar), não se consegue transformá-la na superfície de uma bola, pois o buraco permanecerá sempre lá. 
Uma outra propriedade que distingue a superfície de uma bola da de um donut é a seguinte: imagine-se que se desenha um contorno fechado na superfície da bola; então este contorno fechado pode sempre ser progressivamente encolhido até ficar um só ponto; na superfície do donut já não é assim, pois se o contorno for desenhado de forma a dar a volta ao buraco central, então é impossível encolher o contorno para além do tamanho do buraco, e portanto não é possível reduzi-lo a um só ponto. De facto, pode-se demonstrar matematicamente que a superfície de uma bola, ou esfera, é a única superfície fechada de dimensão 2 na qual todos os contornos ou caminhos desenhados podem ser encolhidos até ficarem um só ponto. 
A Conjectura de Poincaré é exactamente esta mesma questão, mas para superfícies e espaços de dimensão 3 (que já são mais difíceis de visualizar, mas ainda fazem sentido matematicamente): «Será que a superfície a 3 dimensões de uma esfera é o único espaço fechado de dimensão 3 no qual todos os contornos ou caminhos podem ser encolhidos até chegarem a um simples ponto ?». Este é, grosso modo, o aparentemente simples conteúdo da conjectura, e foi a esta questão que Perelman respondeu agora afirmativamente, demonstrando porquê. Claro que toda a dificuldade do assunto está nesta última parte, no demonstrar porquê. Com efeito, já antes do trabalho de Perelman, quase todos os peritos na Conjectura estavam convencidos que a resposta era sim, só que não conseguiam prová-lo. Numerosas falsas demonstrações foram aparecendo ao longo dos anos, apenas para logo depois se verificar estarem incompletas ou erradas. Daqui se compreende toda a demora e cuidado postos na verificação da solução de Perelman. 
Um aspecto curioso desta história é que, em todas as dimensões diferentes de 3, há já muito tempo que os resultados análogos à Conjectura de Poincaré tinham sido demonstrados. De facto, os resultados em dimensão 2 descritos atrás são clássicos, já conhecidos na época de Henri Poicaré; em 1960 o americano Stephen Smale demonstrou a conjectura para espaços de dimensão maior ou igual a 7, e mais tarde para maior ou igual a 5; finalmente em 1982 o caso da dimensão 4 foi resolvido por Michael Freedman, e requereu uma solução de longe mais complicada que todas as anteriores. A dimensão 3, no entanto, a dimensão que tinha sido originalmente estudada por Poincaré, permanecia inexpugnável. Este facto levou o «Clay Mathematics Institute», EUA, a eleger no ano 2000 a Conjectura de Poincaré como um dos sete problemas matemáticos mais importantes por resolver, e a instituir um prémio de um milhão de dólares para quem encontrasse uma solução. Tudo indica o prémio seja agora oferecido a Perelman (provavelmente em parceria com Hamilton), apesar de ele até agora não ter demonstrado qualquer intenção de o reclamar. 
Por fim, no que é talvez o aspecto mais extraordinário desta história, o trabalho que Perelman apresentou em 2002/2003 vai muito para além da demonstração da Conjecturade Poincaré. De facto os métodos de Perelman permitem provar um resultado muito mais geral e poderoso, designado por Conjectura de Geometrização. Esta conjectura foi formulada no fim dos anos 70 pelo matemático americano W. Thurston, e propõe um esquema mais ou menos completo de classificação de todos os espaços de 3 dimensões. Em relação a este resultado mais geral, o problema da esfera aparece como apenas um caso particular, pelo que ao demonstrar a Conjectura de Geometrização Perelman prova automaticamente a Conjectura de Poincaré. O avanço da matemática contido nos trabalhos de Perelman é, portanto, gigante. 
Comentários
jhonatta, em 2010-06-21 às 01:47, disse:
o carra e genio vou aprender com ele
Carlos Cristiano Nunes, em 2010-05-25 às 11:26, disse:
Prezados(as) Senhores(as),
Em nosso mundo onde, hoje, lidamos com cifras monetárias para tudo, inclusive quando medimos a grandeza e o sucesso das pessoas, tal recusa de premiação parece-me aceitável do ponto de vista do alcance intelectual pelo qual foi merecido. Se ele, o Sr. Grigoriy Yakovlevich Perelman acredita no que eu acima escrevi, de nada adiantaria aceitar o prêmio, mesmo que para doá-lo. Se não serve para ele, não serve para outros. Dinheiro não resolve problemas. Pelo contrário, em toda a história foi até um causador deles. Até que enfim, estamos entrando, talvez, em uma nova era...
Denis Cutrim de Lima, em 2010-04-13 às 04:42, disse:
Eu acho que ele se escondeu, pois não tinha certeza de que resolveu o problema. A frustração de só ele conhecer a solução, lhe mostrou a verdade sobre a vaidade humana. Se não queria notoriedade, devia ter simplismente recebido o premio e doado para instituições de caridade ou para educar crianças em paises pobres. 10 para sua inteligencia e zero para a sua sabedoria, pois isto prova que toda a inteligencia do mundo não supera um pouquinho de sabedoria usada em beneficio dos outros. De que vale conquistar o mundo cientifico e não vencer nossos proprios problemas interiores.
Renato, em 2010-04-03 às 16:45, disse:
Penso que o Sr. Grigori deveria ter aceitado o prêmio e destinado a um País pobre.
Ser recluso e esquisitão NÃO RESOLVE NADA!
filosófo de boteco, em 2010-04-03 às 15:25, disse:
Incrivel como há pessoas que não conseguem imaginar o alcance do feito do Sr Perelman!Imaginem agora ,isso aplicado a visão do universo(forma).
O cara é o maior gênio vivo que conhecemos!
Diego Ferreira, em 2010-04-01 às 23:23, disse:
Alguns dizem que dinheiro traz reconhecimento e prestígio...Grigori Perelman provou além da conjectura de poincaré, o reconhecimento que podemos ter sem nos ater a bem materiais! Com certeza, entrou para história não só pela solução do problema do milênio e sim pela demonstração de simplicidade e que o valor de tudo isso, está na resolução do problema que estava a mais de 100 anos sem ter sido resolvida.
Walen, em 2010-03-30 às 13:18, disse:
Tratando-se da complexidade da natureza do problema e a atenção que o mesmo tem da sociedade matematica, é notório o comportamento do Matematico em questão. Brilhante pela genealidade e humildade.
Everaldo Francisco da Silva, em 2010-03-30 às 01:57, disse:
Parabens hojé a ciencias da mais um paço para desvendar novos enigmas
Edmarcos, em 2010-03-29 às 06:50, disse:
Amigo, vc não teria por aí a demonstração de Perelman? Gostaria de observar os argumentos dele. Se não, conhece algum site, ou talvez o que ele publicou, mesmo em russo, para satisfazer minha curiosidade? Sei que são demasiados complicados e difíceis, mas é fabuloso poder conhecer ao menos em que linguagem ele o fez. Aliás, parabéns pelo artigo, está claro, objetivo e direto, embora não completasse o sentido da Variabilidade, afinal se o fizesse aí é que ninguém ia entender mesmo, talvez por isso foi tão bem sucedido no artigo!
Wederson, em 2010-03-27 às 20:03, disse:
Artigo completo com explicação simplificada para quem não tem conhecimentos aprofundados de matemática. Fiquei muito satisfeito. Parabéns pelo ótimo trabalho.
adson, em 2010-03-27 às 02:20, disse:
Parece uma coisa que não tem sentido algum essse tipo de coisa. Algumas pesssoas podem perguntar pra que vai servir isto? Grandes nomes da matemática do passado(Fermat, por exemplo) se preocupavam com coisas que pareciam não ter sentido algum para aquela época, mas provaram e criaram coisas que são largamente usados hoje em nosso dia-dia. Só para citar por trás das transações com cartão de crédito existe uma matemática bastante elaborada e que em parte se deve ao grande trabalho de matemáticos, como Fermat.
antonio marcelo marques, em 2010-03-26 às 19:00, disse:
A descoberta da demonstracao da conjectura de poincaré,me deixou ainda mais fascinado pela matematica,perelmam certamente alem de um genio,demonstrou tbm a conjectura da humildade em nao qrer receber o premio,embora alguns nao entendam tal atitude,sei que o maior premio ja foi lhe concebido....sua genialidade,um dom divino atribuido a raros imortais,que por sua vez passam a ser imortalizados com suas descobertas.
Antônio, em 2010-03-25 às 19:20, disse:
Muito bem explicado a conjectura de poincaré e parabéns a Perelman por esta demonstração.
eberte costa alves, em 2010-03-25 às 18:45, disse:
muito bom,mas o que mim surpeendeu foi a atituide do gênio grigoriy perelman,que não visa o reconhecemento no valor capital, e sim valor ético onde tem o maior respeito e não era respeitado pelo seus colegas.está ai o de não receber o prémio e sim ser reconhecido.
parabens grigoriy perelman a melhor forma que tenho para lhe pertigiar. o melhor.
Alex, em 2010-03-25 às 18:35, disse:
Sou formado em mecânica e não perderia minha vida para resolver problemas matemáticos que futuramente agilizarão os softwares "gráficos" ou o "colizor de partículas"!
ALESSANDRA, em 2010-03-25 às 17:11, disse:
É IMPRECIONANTE O TAMANHO DA INTELIGENCIA EM PARALELO COM A SIMPLICIDADE E HUMILDADE DE UM SER "BRILHANTE" TOTALMENTE DESPRENDIDO DE BENS MATERIAIS E APARENCIAS... O MUNDO EM SI DESPRESA PESSOAS COM O PERFIL DESTE HOMEM BRILHANTE.
RAY, em 2010-03-25 às 14:42, disse:
Parabéns para Grigori Perelman, e só tenho uma frase, em sua homenagem: "TODA LOUCURA, TEM SEUS MISTÉRIOS."
Luís, em 2010-03-25 às 01:49, disse:
Sem dúvidas a matemática é a mãe de todas as ciências.
junior jegue, em 2010-03-25 às 00:11, disse:
gostei muito do assnto mas nao entendo nada
Luis Otávio Cvalcanti de Melo, em 2010-03-24 às 22:34, disse:
ainda estou no ensino médio, depois de procurar por mais de três sites,esse foi o primeiro artigo no qual eu entendi
muito bom, bem abordado
natanael, em 2010-03-24 às 22:12, disse:
ficou claro para mim,que nem tudo o capitalismo é capaz de comprar,demonstração clara e plausivel já que vivemos em um mundo em que tudo tem seu preço.
silva, em 2010-03-24 às 19:46, disse:
brilhante, brilhante a natureza humana se supreende com a matemática.
Joacy de Abreu Faria, em 2010-03-24 às 18:50, disse:
A conjectura de Poincaré não estaria associada à teoria dos fractais?
Luis Tsuneyasi Yamazato, em 2010-03-24 às 15:28, disse:
Ha dez anos, eu um amante de matematica , enviei ao "ombudsman" do estadão, solução do postulado de Fermat em apenas meia pagina,seguindo orientação do proprio Fermat.Soube que ja havia sido demonstrado p/ N=10 000 eu demonstrei p/ N=infinito
Aldo Cardoso, em 2010-03-24 às 15:13, disse:
Mesmo como leigo no assunto, o artigo informa-o de um modo muito emocionante, mais parecendo o enredo de um livro ou de um filme, o que seria ideal pra se entender de forma mais clara e intensa os exemplos dados
Luis Freitas, em 2010-03-24 às 14:48, disse:
Como qualquer genio que se preze, Perelman está acima das coisas mundanas ligadas ao ego e o prazer próprio. Ele sabe que a chegada do dinheiro só lhe trará desconcentração e problemas que não os que ele gosta de resolver.
José Abilio da Silva, em 2010-03-24 às 13:22, disse:
Sem dúvida... A solução desta conjectura merece nossos aplausos. A provaque a cada século sobrepõe-se na humanidade uma inteligência magistral... e de grande humildade.
Eduardo Abreu, em 2010-03-23 às 23:54, disse:
Perelman demonstra que, além do reconhecimento da importância de sua solução, não é um maldito capitalista, este último, uma doença mundial... Parabéns
geraldo, em 2010-03-23 às 22:23, disse:
SIMPLES ASSIM - O TRIBUTO É A PRÓPRIA CRIAÇÃO DO TEOREMA PARA Conjectura de Poincaré. PRÉMIO ETERNO QUE NENHUM OUTRO O ALCANÇA. PARABENS A UM GÊNIO.
klana, em 2010-03-23 às 21:04, disse:
Seguinte: o que isso vai resolver em nossas vidas na prátrica?????? Ou para que serve????????
Carlos Bifi, em 2010-03-23 às 20:40, disse:
Parabéns a esse grande matemático da nossa época. Mostrou que a humildade é maior do que qualquer riqueza. Seu nome na História não terá preço que pague. A ciência é isso, se constrói por meio dos tempos sendo alicerce da sua própria descoberta!
Prof Carlos Bifi - SP
Haroldo, em 2010-03-22 às 14:06, disse:
Richard Hamilton NÃO provou a conjectura de Poincaré. O "programa de Hamilton" tentava mostrar que variedades de 3 dimensões (para efeitos práticos, superfícies 3D) poderiam ser deformadas por um processo dinâmico ("fluxo de Ricci": equação de evolução da curvatura da variedade sob deformação). O problema é que o processo descrito por Hamilton poderia produzir singularidades ao fluxo de Ricci. 
Grigori Perelman modificou a proposta original de Hamilton para um "fluxo de Ricci com cirurgia" (isso é bem técnico). Esta forma de distorção de variedades evita a formação de regiões singulares ("corte" destas regiões de maneira controlada, por isso o nome "cirurgia"). 
O teorema de Perelman prova a "conjectura da geometrização", em que a conjectura de Poincaré é um caso particular.
Uberlan Macedo silva, em 2010-02-21 às 04:31, disse:
Este artigo mostra que a matemática e uma ciência que abraça todas as ciências.Perelman nos ensina que a matemática não é uma questão financeira e sim uma questão de amor ao pregresso da ciência.
Elisa, em 2010-02-07 às 11:55, disse:
até eu que sou uma leiga nestes assuntos, percebi alguma coisa. quanto mais não fosse a parte histórica.
José Emidio vieira, em 2009-05-17 às 18:45, disse:
Vejo com esta demonstração um novo tipo de números que podemos chamar de Números Poincaré e dai, buscar agora a unificação das forças eletromagnéticas e gravitacionais com estes números poincaré.Como: Demonstrando que "Todas as funções podem serem escrita na forma de um único termo e não em vários termos" usando como mensurador os Números de Poincaré. Daí podemos resolver esta questão que passa ser universal as leis físicas e a unificação do elomagnetismo com a força gravitacionais do universo. E com esses Números de Poincaré vai surgir apresentações de leis universais sem problemas de contorno e sem ser válida somente no intervalo [a
Antônio Félix Parente, em 2007-12-14 às 19:51, disse:
Caro Ferrer quem faz o gol(bola c/ espaço dimensional ou nao)é deverasmente quem chuta. e mais, para um observador posicionado além atmosfera a conjectura a qual refere teria dois valores ABSOLUTOS. Dois valores absolutos como? isso também é uma conjectura.
Miguel Ângelo Ferrer, em 2006-11-18 às 21:39, disse:
Gostei imenso do artigo, que esclareceu alguns pontos nublusos para mim, sobretudo no aspecto histórico. A descrição dos espaços topológicos envolvidos na conjectura está também muito clara, para leigos. Apenas refiro (sem que isto seja uma crítica) o pouco destaque dado a Hamilton - aparece referido "de passagem" por duas vezes, incluindo a possibilidade de partilhar o prémio Clay com Perelman, sem que se perceba porquê. É certo que o artigo é sobre Perelman e não sobre Hamilton, mas talvez ficasse mais completo esclarecer que foi Hamilton quem primeiro demonstrou (de forma incompleta) a conjectura, recorrendo ao Fluxo de Ricci e a teorema(s) que o próprio demonstrou previamente e que levaram o seu nome; descobriu-se depois que a demonstração falhava em situações pontuais (singularidades), como o caso dos buracos dos toros ou aneis ("donuts"), que Hamilton não logrou resolver - e que Perelman terá resolvido "por excesso" (como muito bem se diz no artigo). Com esta explicação (que espero não esteja muito longe da realidade) percebe-se que Hamilton, ao traçar a estratégia, merecerá parte do prémio e do reconhecimento, sem tirar o brilho a Perelman, que acabou a obra (e por alguns é considerado a pessoa mais inteligente viva). Acresce que foi Hamilton (face à recusa de Perelman) que, em Madrid, apresentou publica e magistralmente a demonstração. Os meus parabéns pelo artigo.