Resolução de Exercícios de Cálculo

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LISTA DE EXERCÍCIOS – EEL 7031 
Aluna: Camila Gasparin 
Matrícula: 14206067 
 
Reitero que os exercícios foram resolvidos com auxílio de uma calculadora científica e 
não do Matlab, como seria desejável. Porém, este problema está sendo resolvido e 
estará tudo pronto para resolução da próxima lista. 
 
 
 
Set 1.2 – Página 14 
 
Exercício 6) 
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 
 
a) Queremos 𝑃3(𝑥) em torno de 𝑥𝑜 = 0. 
Ou seja, temos 𝑛 = 3 𝑥𝑜 = 0. 
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)
1
2 → 𝑓(0) = 1 
𝑓′(𝑥) = 
1
2
(𝑥 + 1)−
1
2 =
1
√𝑥 + 1
 → 𝑓(0) =
1
2
 
𝑓′′(𝑥) = −
1
4
(𝑥 + 1)− 
3
2 = −
1
4 (𝑥 + 1)
3
2
 → 𝑓(0) = −
1
4
 
𝑓′′′(𝑥) = 
3
8
(𝑥 + 1)− 
5
2 = 
3
8 (𝑥 + 1)
5
2
 → 𝑓(0) =
3
8
 
Assim, temos 
𝑃3(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓
′(0). (𝑥 − 0) +
𝑓′′(0)
2!
. (𝑥 − 0)2 +
𝑓′′′(0)
3!
. (𝑥 − 0)3 = 
= 1 +
1
2
𝑥 +
1
4.2.1
𝑥2 +
1
8.2.1
𝑥3 
Portanto, 
𝑃3(𝑥) = 1 +
1
2
𝑥 +
1
8
𝑥² +
1
16
𝑥³ 
 
b) Usamos 𝑃3(𝑥) para aproximar os valores de f(x) abaixo: 
 
𝑓(− 0,5) = √0,5 → 𝑃3(− 0,5) = 1 +
1
2
(−0,5) +
1
8
(−0,5)2 +
1
16
(−0,5)3
= 0,7109375 
𝑓(− 0,25) = √0,75 → 𝑃3(− 0,25) = 1 +
1
2
(−0,25) +
1
8
(−0,25)2 +
1
16
(−0,25)3
= 0,866210937 
𝑓(0,25) = √1,25 → 𝑃3(1,25) = 1 +
1
2
(1,25) +
1
8
(1,25)2 +
1
16
(1,25)3
= 1,18164063 
𝑓(0,5) = √1,5 → 𝑃3(0,5) = 1 +
1
2
(0,5) +
1
8
(0,5)2 +
1
16
(0,5)3 = 1,2265625 
 
c) Comparando os valores obtidos em b com os fornecidos pela calculadora, temos 
 
√0,5 = 0,707106781 → |0,707106781 − 0,7109375| = 3,830718813 𝑥 10−3 
√0,75 = 0,866025403 → |0,8666025403 − 0,866210937| = 1,85533216 𝑥 10−4 
√1,25 = 1,118033989 → |1,118033989 − 1,18164063| = 0,063606641 
√1,5 = 1,224744871 → |1,224744871 − 1,2265625| = 1,8176286 𝑥 10−3 
 
 
Exercício 15) 
erf(𝑥) =
2
√𝜋
∫ 𝑒−𝑡²𝑑𝑡
𝑥
0
 
 
a) Devemos integrar a série de Maclaurin para 𝑒−𝑡². 
Para tal, devemos considerar a série convergente, assim poderemos resolver o 
problema da seguinte forma: 
 
f(𝑥) = ∫ 𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
0
= ∫ (∑
(−𝑡2)
𝑘!
∞
𝑘=0
) 𝑑𝑡
𝑥
0
= ∫ (∑
(−1)𝑘𝑡2𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
) 𝑑𝑡 =
𝑥
0
 
= ∑ ∫ (
(−1)𝑘𝑡2𝑘
𝑘!
) 𝑑𝑡 =
𝑥
0
∞
𝑘=0
∑
(−1)𝑘𝑥2𝑘+1
(2𝑘 + 1)𝑘!
∞
𝑘=0
 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 
 
Então, 
 
erf(𝑥) =
2
√𝜋
∫ 𝑒−𝑡²𝑑𝑡
𝑥
0
=
2
√𝜋
∑
(−1)𝑘𝑥2𝑘+1
(2𝑘 + 1)𝑘!
∞
𝑘=0
 
 
b) A função erro também pode ser expressa de outra forma se considerarmos a série 
de Maclaurin para 𝑒𝑥². 
Esta série de Maclaurin é 
𝑒𝑥² = ∑
𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
= 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ 
e 
 
𝑒−𝑥² = ∑
(−𝑥2)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
= ∑(−1)𝑛
𝑥2𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
 = 1 −
𝑥²
1!
+
𝑥4
2!
+
𝑥6
3!
+ ⋯ 
 
e como vimos antes 
 
∫ 𝑒−𝑡²𝑑𝑡
𝑥
0
= ∑
(−1)𝑘𝑥2𝑘+1
(2𝑘 + 1)𝑘!
∞
𝑘=0
 
 
Assim, vemos que podemos reescrever esta série obtida, na forma 
 
∑
(−1)𝑘𝑥2𝑘+1
(2𝑘 + 1)𝑘!
∞
𝑘=0
= 𝑒−𝑥² ∑
2𝑘𝑥2𝑘+1
1.3.5 … (2𝑘 + 1)
∞
𝑘=0
 
 
Portanto, a função erro fica 
 
erf(𝑥) =
2
√𝜋
𝑒−𝑥² ∑
2𝑘𝑥2𝑘+1
1.3.5 … (2𝑘 + 1)
∞
𝑘=0
 
 
c) Usando a série obtido no item a calculamos erf(1) até 10−7, e obtemos 
erf(1) =
2
√𝜋
∑
(−1)𝑘𝑥2𝑘+1
(2𝑘 + 1)𝑘!
∞
𝑘=0
= 
=
2
√𝜋
. (1 +
(−1)1. 13
3
+
(−1)215
5.2.1
+
(−1)317
7.3.2.1
+
(−1)419
9.4.3.2.1
+
(−1)5111
11.5.4.3.2.1
+
(−1)6113
13.6.5.4.3.2.1
+ 
(−1)7115
15.7.6.5.4.3.2.1
+
(−1)8117
17.8.7.6.5.4.3.2.1
+
(−1)9119
19.9.8.7.6.5.4.3.2.1
+
(−1)10121
21.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
+ ⋯ ) = 0,8427008 
 
d) Usando a igualdade obtida no item b, 
 
erf(1) =
2
√𝜋
𝑒−𝑥² ∑
2𝑘𝑥2𝑘+1
1.3.5 … (2𝑘 + 1)
∞
𝑘=0
= 0,8427069 
 
e) As dificuldades de cálculo utilizando a igualdade obtida no item b são devido à 
aproximação das igualdades das séries consideradas para obtê-la. 
 
 
 
Set 1.3 – Página 22 
 
Exercício 1) 
 
Usando 5 dígitos na mantissa, calculamos os erros absoluto e relativo, considerando, 
para comparação, as aproximações por truncamento e por arredondamento. 
 
a) Truncamento: 
𝑝 = 𝜋 = 0,31415 𝑥 10 
𝑝∗ =
22
7
= 0,31428 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,31415 𝑥 10) − (0,31428 𝑥 10)| = 0,13 𝑥 10−2 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,13 𝑥 10−2
0,31415 𝑥 10
= 0,41382 𝑥 10−3 
Arredondamento: 
𝑝 = 𝜋 = 0,31416 𝑥 10 
𝑝∗ =
22
7
= 0,31428 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,31415 𝑥 10) − (0,31428 𝑥 10)| = 0,12 𝑥 10−2 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,12 𝑥 10−2
0,31416 𝑥 10
= 0,38197 𝑥 10−3 
 
b) Truncamento: 
𝑝 = 𝜋 = 0,31415 𝑥 10 
𝑝∗ = 0,31416 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,31415 𝑥 10) − (0,31416 𝑥 10)| = 0,1 𝑥 10−3 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,1 𝑥 10−3
0,31415 𝑥 10
= 0,31831 𝑥 10−4 
Arredondamento: 
𝑝 = 𝜋 = 0,31416 𝑥 10 
𝑝∗ = 0,31416 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = 0 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0 
 
c) Truncamento: 
𝑝 = 𝑒 = 0,27182 𝑥 10 
𝑝∗ = 0,2718 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,27182 𝑥 10) − (0,2718 𝑥 10)| = 2 𝑥 10−4 = 0,2 𝑥 10−3 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,13 𝑥 10−2
0,27182 𝑥 10
= 0,73578 𝑥 10−4 
Arredondamento: 
𝑝 = 𝑒 = 0,27183 𝑥 10 
𝑝∗ = 0,2718 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,27183 𝑥 10) − (0,2718 𝑥 10)| = 3 𝑥 10−4 = 0,3 𝑥 10−3 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,13 𝑥 10−2
0,27183 𝑥 10
= 0,11036 𝑥 10−3 
 
d) Truncamento: 
𝑝 = √2 = 1,41421 = 0,14142 𝑥 10 
𝑝∗ = 1,414 = 0,1414 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,14142 𝑥 10) − (0,1414 𝑥 10)| = 2 𝑥 10−4 = 0,2 𝑥 10−3 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,2 𝑥 10−3
0,14142 𝑥 10
= 0,14142 𝑥 10−3 
Arredondamento: 
𝑝 = √2 = 1,41421 = 0,14142 𝑥 10 
𝑝∗ = 1,414 = 0,1414 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,14142 𝑥 10) − (0,1414 𝑥 10)| = 2 𝑥 10−4 = 0,2 𝑥 10−3 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,2 𝑥 10−3
0,14142 𝑥 10
= 0,14142 𝑥 10−3 
 
e) Truncamento: 
𝑝 = 𝑒10 = 0,22026 𝑥 105 
𝑝∗ = 2,718 = 0,2718 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,22026 𝑥 105) − (0,2718 𝑥 10)| = 0,22023𝑥 105 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,22023𝑥 105
0,22026 𝑥 105
= 0,99986 
Arredondamento: 
𝑝 = 𝑒10 = 0,22026 𝑥 105 
𝑝∗ = 2,718 = 0,2718 𝑥 10 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,22026 𝑥 105) − (0,2718 𝑥 10)| = 0,22023𝑥 105 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,22023𝑥 105
0,22026 𝑥 105
= 0,99986 
 
f) Truncamento: 
𝑝 = 10𝜋 = 0,13854 𝑥 104 
𝑝∗ = 1400 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,13854 𝑥 104) − (1400)| = 0,146 𝑥 102 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,146 𝑥 102
0,13854 𝑥 104
= 0,10538 𝑥 10−1 
Arredondamento: 
𝑝 = 10𝜋 = 0,13854 𝑥 104 
𝑝∗ = 1400 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,13854 𝑥 104) − (1400)| = 0,146 𝑥 102 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,146 𝑥 102
0,13854 𝑥 104
= 0,10538 𝑥 10−1 
 
g) Truncamento: 
𝑝 = 8! = 0,40320 𝑥 105 
𝑝∗ = 39900 = 0,3990 𝑥 105 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,40320 𝑥 105) − (0,3990 𝑥 105)| = 0,420 𝑥 103 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,420 𝑥 103
0,40320 𝑥 105
= 0,10416 𝑥 10−1 
Arredondamento: 
𝑝 = 8! = 0,40320 𝑥 105 
𝑝∗ = 39900 = 0,3990 𝑥 105 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,40320 𝑥 105) − (0,3990 𝑥 105)| = 0,420 𝑥 103 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,420 𝑥 103
0,40320 𝑥 105
= 0,10416 𝑥 10−1 
 
h) Truncamento: 
𝑝 = 9! = 0,36288 𝑥 106 
𝑝∗ = √18𝜋. (
9
𝑒
)
9
= 0,35953 𝑥 106 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,36288 𝑥 106) − (0,35953 𝑥 106)| = 0,335 𝑥 10−2 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,335 𝑥 10−2
0,36288 𝑥 106
= 0,92317 𝑥 10−8 
Arredondamento:𝑝 = 9! = 0,36288 𝑥 106 
𝑝∗ = √18𝜋. (
9
𝑒
)
9
= 0,35954 𝑥 106 
|𝑝 − 𝑝∗| = |(0,36288 𝑥 106) − (0,35954 𝑥 106)| = 0,334 𝑥 10−2 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
=
0,334 𝑥 10−2
0,36288 𝑥 106
= 0,92041 𝑥 10−8 
 
Finalizando, conforme pode ser visto acima, apenas nos casos em que o truncamento e 
o arredondamento diferirem em resultado, teremos erros absolutos e relativos 
diferentes nos dois casos. 
 
 
 
Exercício 3) 
 
Com arredondamento de 3 dígitos, calcule os erros absoluto e relativo determinados a, 
pelo menos, 5 dígitos. 
 
a) 
133 + 0,921 = 0,133 𝑥 103 + 0,921 = 0,13392 𝑥 103 = 𝑝 
0,134 𝑥 103 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 8 𝑥 10−3 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜:
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,59737 𝑥 10−3 
b) 
133 − 0,499 = 0,13250 𝑥 103 = 𝑝 
0,132 𝑥 103 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0,5 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,37736 𝑥 10−2 
c) 
(121 − 0,327) − 119 = 0,16730 𝑥 101 = 𝑝 
0,167 𝑥 101 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0,3 𝑥 10−2 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,17932𝑥 10−2 
 
d) 
(121 − 119) − 0,327 = 0,1673 𝑥 101 = 𝑝 
0,167 𝑥 101 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0 
 
e) 
13
14 −
6
7
2𝑒 − 5,4
= 0,19535 𝑥 101 = 𝑝 
0,195 𝑥 101 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0,35 𝑥 10−7 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,17916 𝑥 10−2 
 
f) 
− 10𝜋 + 6𝑒 −
3
32
= 0,15191 𝑥 102 = 𝑝 
0,152 𝑥 102 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0,33 𝑥 10−2 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,59246 𝑥 10−3 
 
g) 
(
2
9
) . (
9
7
) = 0,28571 = 𝑝 
0,286 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0,29 𝑥 10−3 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,10150 𝑥 10−2 
 
h) 
𝜋 −
22
7
1
17
= 0,21496 𝑥 10−1 = 𝑝 
0,215 𝑥 10−1 = 𝑝∗ 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜: |𝑝 − 𝑝∗| = 0,4 𝑥 10−4 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: 
|𝑝 − 𝑝∗|
|𝑝|
= 0,18608 𝑥 10−3 
 
 
 
Set 1.4 – Página 31 
 
Exercício 2) 
Use a aritmética do truncamento de 4 dígitos e as fórmulas do Exemplo 1 para 
encontrar as aproximações mais exatas para as raízes das equações quadráticas. 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥′1 =
−2𝑐
𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
 
𝑥′2 =
−2𝑐
𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
 
 
a) 
1
3
𝑥² −
123
4
𝑥 +
1
6
= 0 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 𝑥1 =
(
123
4 ) +
√(−
123
4 )
2
− 4.
1
3 .
1
6
2
3
= 0,9224 𝑥 102 
𝑥′1 =
−2𝑐
𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
= 𝑥′1 =
−
2
6
(−
123
4 ) + 
√(−
123
4 )
2
− 4.
1
3 .
1
6
= 1,5 = 0,15 𝑥 10 
|𝑥1 − 𝑥
′
1| = 0,9074 𝑥 10
2 
|𝑥1 − 𝑥
′
1|
|𝑥1|
= 0,9837 
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
(
123
4 ) −
√(−
123
4 )
2
− 4.
1
3 .
1
6
2
3
= 0,9224 𝑥 102 
𝑥′2 =
−2𝑐
𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
=
−
2
6
(−
123
4 ) − 
√(−
123
4 )
2
− 4.
1
3 .
1
6
= 0,5320 𝑥 10−2 
|𝑥2 − 𝑥
′
2| = 0,4394 𝑥 10
2 
|𝑥2 − 𝑥
′
2|
|𝑥2|
= 0,8107 𝑥 104 
 
b) 
1
3
𝑥² +
123
4
𝑥 −
1
6
= 0 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 𝑥1 =
(−
123
4 ) +
√(
123
4 )
2
− 4.
1
3 . (−
1
6)
2
3
= 0,5419 𝑥 10−2 
𝑥′1 =
−2𝑐
𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
= 𝑥′1 =
2
6
(
123
4 ) + 
√(
123
4 )
2
− 4.
1
3 . (−
1
6)
= 0,5419 𝑥 10−2 
|𝑥1 − 𝑥
′
1| = 0 
|𝑥1 − 𝑥
′
1|
|𝑥1|
= 0 
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
(−
123
4 ) −
√(
123
4 )
2
− 4.
1
3 . (−
1
6)
2
3
= −0,9225 𝑥 102 
𝑥′2 =
−2𝑐
𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
=
2
6
(
123
4 ) − 
√(
123
4 )
2
− 4.
1
3 . (−
1
6)
= −0,9225 𝑥 10−2 
|𝑥2 − 𝑥
′
2| = 0 
|𝑥2 − 𝑥
′
2|
|𝑥2|
= 0 
 
c) 
1,002𝑥² − 11,01𝑥 + 0,01265 = 0 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 𝑥1 =
(11,01) + √(−11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
2. (1,002)
= 0,1098 𝑥 102 
𝑥′1 =
−2𝑐
𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
= 𝑥′1 =
−2. (0,01265)
(−11,01) + √(−11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
= 0,1098 𝑥 102 
|𝑥1 − 𝑥
′
1| = 0 
|𝑥1 − 𝑥
′
1|
|𝑥1|
= 0 
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
(11,01) − √(−11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
2. (1,002)
= 0,5517 𝑥 10 
𝑥′2 =
−2𝑐
𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
=
−2. (0,01265)
(−11,01) − √(−11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
= 0,1149 𝑥 10−2 
|𝑥2 − 𝑥
′
2| = 0,5515 𝑥 10 
|𝑥2 − 𝑥
′
2|
|𝑥2|
= 0,9997 
 
d) 
1,002𝑥² + 11,01𝑥 + 0,01265 = 0 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 𝑥1 =
(−11,01) + √(11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
2. (1,002)
= −0,1149 𝑥 10−2 
𝑥′1 =
−2𝑐
𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
= 𝑥′1 =
−2. (0,01265)
(11,01) + √(11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
= −0,1149 𝑥 10−2 
|𝑥1 − 𝑥
′
1| = 0 
|𝑥1 − 𝑥
′
1|
|𝑥1|
= 0 
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
(−11,01) − √(11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
2. (1,002)
= 0,1097 𝑥 10² 
𝑥′2 =
−2𝑐
𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
=
−2. (0,01265)
(11,01) − √(11,01)2 − 4. (1,002). (0,01265)
= 0,1098 𝑥 102 
|𝑥2 − 𝑥
′
2| = 0,1 𝑥 10 
|𝑥2 − 𝑥
′
2|
|𝑥2|
= 0,9115 𝑥 10−3 
 
 
 
Exercício 9) 
𝑒 = ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=0 com 𝑛! = 𝑛. (𝑛 − 1) … 2.1 para 𝑛 ≠ 0 e 0! = 1. 
(i) Usando o truncamento de 4 dígitos, compute os erros das aproximações 
(ii) Compute os erros absolutos e relativos 
 
a) 
∑
1
𝑛!
=
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
= 2,716
5
𝑛=0
 
𝑒 = 2,718 
|2,718 − 2,716| = 0,2 𝑥 10−2 
|2,718 − 2,716|
|2,718|
= 0,7358 𝑥 10−3 
 
b) 
∑
1
(5 − 𝑗)!
=
1
5!
+
1
4!
+
1
3!
+
1
2!
+
1
1!
+
1
0!
= 2,716
5
𝑗=0
 
𝑒 = 2,718 
|2,718 − 2,716| = 0,2 𝑥 10−2 
|2,718 − 2,716|
|2,718|
= 0,7358 𝑥 10−3 
 
c) 
∑
1
𝑛!
=
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
+
1
10!
= 2,718
10
𝑛=0
 
𝑒 = 2,718 
|2,718 − 2,716| = 0 
|2,718 − 2,716|
|2,718|
= 0 
 
d) 
∑
1
𝑛!
=
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
+
1
8!
+
1
9!
+
1
10!
= 2,718
10
𝑗=0
 
𝑒 = 2,718 
|2,718 − 2,716| = 0 
|2,718 − 2,716|
|2,718|
= 0