Ondas transversais - notas de aula

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Capı´tulo 2
Ondas Transversais Eletromagnéti
as
Os 
ampos elétri
os e magnéti
os (fen�meno de propagação de ondas eletromag-
néti
as (EM))que variam 
om o tempo obede
em as leis físi
as, des
ritas por um
onjunto de equação diferen
iais obtidas a partir das equações de Maxwell. Estas
ondas podem ter formas extremamente 
ompli
adas ou, em 
asos espe
iais, bastantes
simples. Um 
aso espe
ial parti
ularmente útil é o objetivo deste 
apítulo.
Deve-se men
ionar que, no 
aso de 
ampos EM estáti
os, os 
ampos elétri
o e
magnéti
os são independentes um do outro, em quando que, no 
aso de 
ampos EM
dinâmi
os, os dois 
ampos são interdependentes.
Neste 
apítulo são estudadas ondas eletromagnéti
as propagando-se num meio li-
near, homogêneo, dielétri
o isotrópi
o e sem perdas, �
ando o pro
esso de geração ou
radiação de ondas para 
apítulos posteriores. Em sugundo lugar, os 
ampos EM variá-
veis n otempo, representados por E(x, y, z, t) e H(x, y, z, t), sào de maior importân
ia
práti
a do que os 
ampos EM estáti
os.
Os prin
ipais meios matérias de propagação de ondas EM são:
1. Espaço livre (σ = 0, ǫ = ǫ0, µ = µ0);
2. Dielétri
os sem perdas (σ = 0, ǫ = ǫrǫ0, µ = µrµ0 ou σ ≪ ωǫ);
3. Dielétri
os 
om perdas (σ 6= 0, ǫ = ǫrǫ0, µ = µrµ0);
4. Bons 
ondutores (σ ≃ ∞, ǫ = ǫ0, µ = µrµ0 ou σ ≫ ωǫ).
em que ω é a freqüên
ia angular das ondas1.
1
Devido à es
assez de material em português sobre o assunto de Dispositivos em Mi
roondas,
essas notas de aula têm o objetivo de dire
ionar o aluno de graduação de Engenharia Elétri
a
Eletr�ni
a Tele
omuni
ações no aprofundamento do tema. O autor é um 
ompilador de diversos
autores, em que tenda levar o aluno a uma 
ompreensão do assunto e en
aminhá-lo para autores
mais espe
ializados 
aso deseje maior espe
i�
ação do material. Enfatizando, essas notas de aula é
uma tentativa de orientar o aluno no assunto de Dispositivos em Mi
roondas, todo mérito deve ser
dado aos autores referên
ias (ver referên
ias [1, 2, 3, 4, 5, 6℄.)
2 Mi
roondas - Notas de Aula
2.1 A Equação de Onda
Nessa seção será deduzida a 
hamada equação de onda em meios lineares, ho-
mogêneos e isotrópi
os, exprimir essa equação em 
oordenadas 
artesianas e depois
restringir o problema à sua forma mais simples e signi�
ativa.
As equações de Maxwell, na forma diferen
ial, podem ser simpli�
adas para pon-
tos do espaço onde não existem 
argas e/ou 
orrentes elétri
as. Estas regiões serão
denominadas a partir de agora de espaço-livre e as equações de Maxwell, asso
iadas
a elas, são
∇×E = −µ∂H
∂t
, (2.1)
∇×H = σE+ ǫ∂E
∂t
, (2.2)
∇ ·H = 0, (2.3)
∇ · E = 0, (2.4)
em que E é o vetor 
ampo elétri
o (Volt/metro), H é o vetor 
ampo magnéti
o
(Ampère/metro). Lembrando-se que µ = µrµ0 e ǫ = ǫrǫ0, sendo µr a permeabilidade
relativa do meio e ǫr permissividade relativa e no vá
uo ǫ0 = 8, 85×10−12 Henry/metro
e µ0 = 4π × 10−7 Farad/metro.
Relembrado o operador linear, 
onsidere a equação de Lapla
e ∇2V = 0, assim,
utilizando o operador linear ∇2, a equação de Lapla
e em 
oordenadas 
artesiana,
ilíndri
a e esféri
a, respe
tivamente, tem-se
∂2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
= 0 (2.5)
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂V
∂
ρ
)
+
1
ρ2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
= 0 (2.6)
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂V
∂
r
)
+
1
r2 sin θ
∂2
∂θ
(
sin θ
V
θ
)
+
1
r2 sin θ2
∂2V
∂φ2
= 0 (2.7)
Por outro lado, tomando o rota
ional em ambos os lados da Equação (2.2), obtém
∇×∇×H = σ (∇×E) + ǫ ∂
∂t
(∇×E) .
Substituindo ∇×E dado pela Equação (2.1) e transformando os termos, en
ontra-se
∇×∇×H+ µǫ∂
2
H
∂t2
+ µσ
∂H
∂t
= 0. (2.8)
Uma transformação análoga mostra que
∇×∇×E+ µǫ∂
2
E
∂t2
+ µσ
∂E
∂t
= 0. (2.9)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 3
Sabe-se de identidades vetoriais que
∇×∇×A = ∇(∇ ·A)−∇2A
e da Equação 2.3 e Equação (2.4) (ter
eira e quarta equação de Maxwell), pode-se
es
rever as Equação (2.8) e Equação (2.9) respe
tivamente 
omo
−∇2H+ µǫ∂
2
H
∂t2
+ µσ
∂H
∂t
= 0, (2.10)
−∇2E+ µǫ∂
2
E
∂t2
+ µσ
∂E
∂t
= 0. (2.11)
As Equações (2.10) e (2.11) são as formas gerais das 
hamadas equações de onda a
que obede
em os vetores do 
ampo E e H, 
ontudo são muito gerais para o objetivo
desse 
apítulo, assim pode-se tomar o problema mais parti
ular.
A primeira simpli�
ação é impor que o meio sem fontes não seja 
ondutor; isto é,
em todos os pontos a 
ondutividade é zero, σ = 0. Nesta 
ondição, as Equações (2.10)
e (2.11) reduzem-se
∇2H− µǫ∂
2
H
∂t2
,= 0 (2.12)
∇2E− µǫ∂
2
E
∂t2
,= 0 (2.13)
em que ∇2A = ∇2Axax+∇2Ayay +∇2Azaz , em 
oordenadas 
artesianas. As equa-
ções diferen
iais (2.12) e (2.13), envolvendo os 
ampos elétri
o e magnéti
o, represen-
tam de forma matemáti
a um onda eletromagnéti
a propagando-se no espaço-livre.
No 
aso em que o meio é linear, homogêneo, isotrópi
o, livre de fontes, não 
on-
dutor e ilimitado, existe soluções da equação de onda as quais só há uma 
omponente
do 
ampo elétri
o, a qual varia apenas 
om o tempo e 
om a direção perpendi
ular a
omponente do 
ampo. Assim a Equação (2.13) se reduz à úni
a equação
∂2Ex
∂z2
− µǫ∂
2Ex
∂t2
= 0. (2.14)
A Equação (2.14) é uma equação diferen
ial par
ial de segunda ordem,assim, pos-
sui duas soluções linearmente independentes além de uma solução independente do
tempo, da forma
Ex(z, t) = E
+
x (z − υt) + E−x (z − υt) (2.15)
O matemáti
o fran
es D'Alembert, em 1747, quando este tentava des
rever o
movimento ondulatório em uma 
orda esti
ada obteve uma equação semelhante. A
equação obtida por ele era algo pare
ido 
om
∂2y
∂x2
− 1
υ2
∂2y
∂t2
= 0,
em que y é a posição de um ponto qualquer da 
orda na direção transversal à mesma e
υ a velo
idade de propagação da onda me
âni
a que surge nesta 
orda, Ver Figura 2.1.
4 Mi
roondas - Notas de Aula
Figura 2.1: Movimento ondulatório em uma 
orda esti
ada.
Uma 
omparação entre as equações Equação (2.12) ou Equação (2.13) mostra que a
velo
idade de propagação da onda eletromagnéti
a é dada por
υ =
1√
µǫ
, (2.16)
que pode ser veri�
ado das Equações (2.14) e (2.15). Para o 
aso de ondas eletro-
magnéti
as que se propagam no ar ou no vá
uo, tem-se
c =
1√
µ0ǫ0
,
sendo 
 a velo
idade da luz no vá
uo, 
ujo valor é aproximadamente 3× 108 m/s.
2.2 Solução da Equação de Onda
Para tornar o pro
esso de obtenção da solução da equação de onda mais 
laro e
didáti
o, é interessante tomar-se um exemplo práti
o. Considere um dipolo, antena
linear 
onstituída por duas hastes metáli
as, orientado na direção az e alimentado por
um gerador de sinais de RF (Rádio Freqüên
ia). A tensão alternada desenvolvida nos
terminais do dipolo 
ria uma 
orrente de 
ondução nas hastes que varia no tempo.
Sabe-se, pela lei de Amp`ere, que esta 
orrente alternada produz 
ampo magnéti
o
no espaço em volta da antena, neste exemplo, orientado na direção aϕ.
Foi visto na seção anterior que 
ampo magnéti
o variante no tempo produz 
ampo
elétri
o variante no tempo, neste 
aso, 
om orientação na direção az . Para um ponto
de observação muito distante da antena dipolo, as frentes de onda podem ser 
onsi-
deradas prati
amente planas e os 
ampos podem ser representados neste 
aso pelas
equações
∂2E
∂r2
− ∂
2
E
∂t2
= 0 (2.17)
e
∂2H
∂r2
− ∂
2
H
∂t2
= 0 (2.18)
em que c é a velo
idade da onda eletromagnéti
a que se propaga na direção ar, 
om
ampo elétri
o da forma
E = Ez(r, t)az (2.19)
e o 
ampo magnéti
o
H = Hϕ(r, t)aϕ (2.20)
A solução da Equação (2.17) ou (2.18) pode ser obtida utilizando-se o método daseparação de variáveis. Tomando-se por exemplo a Equação (2.17) e 
onsiderando
que
Hz(r, t) = f(t)g(t) (2.21)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 5
Pode-se obter, através da substituição de 2.21 em 2.17, o seguinte resultado
f(t)
∂2g(r)
∂r2
=
g(r)
c2
∂2f(t)
∂t2
(2.22)
ou, dividindo-se toda a equação por Ez(r, t),
1
g(r)
∂2g(r)
∂r2
=
1
c2f(t)
∂2f(t)
∂t2
. (2.23)
Observe que o lado direito da Equação 2.23 só será igual ao lado esquerdo quando
ambos forem iguais a uma 
onstante. Portanto, pode-se es
rever duas equações a
partir de 2.23, ou seja,
1
g(r)
∂2g(r)
∂r2
= −k2 (2.24)
e
1
c2f(t)
∂2f(t)
∂t2
= −k2 (2.25)
em que o termo 
onstante −k2 foi es
olhido dessa forma por 
onveniên
ia.
As soluções das equações diferen
iais ordinárias de segunda ordem 2.24 e 2.25 são
ombinações lineares de duas funções ortonormais que, neste 
aso, são respe
tivamente
es
ritas 
omo
g(r) = C1e
jkr + C2e
−jkr
(2.26)
e
g(r) = C3e
jωt + C4e
−jωt
(2.27)
sendo ω = kc.
Será mostrado mais adiante que, para ondas propagando-se no sentido r+, o que
neste 
aso equivale a onda sendo radiada pela antena, C1 é igual a zero e
g(r) = C2e
−jkr
(2.28)
Já a variação temporal pode ser es
rita 
omo,
f(t) = C3e
jωt
(2.29)
Sendo assim, a função que des
reve a variação do 
ampo elétri
o de uma onda plana
é da forma
Ez(r, t) = E0e
j(ωt−kr)
(2.30)
neste 
aso, a amplitude E0 é 
onsiderada 
onstante.
De maneira semelhante, pode-se obter a seguinte expressão para o 
ampo magné-
ti
o:
Hϕ(r, t) = H0e
j(ωt−kr)
(2.31)
sendo H0 
onstante. Os resultados apresentados em 2.30 e 2.31 representam os 
am-
pos de uma onda plana ideal. Na práti
a, as amplitudes E0 e H0 diminuem 
om a
distân
ia, 
omo será visto posteriormente.
6 Mi
roondas - Notas de Aula
2.3 Cara
terísti
as de uma Onda Eletromagnéti
a
Analisando-se as 
ara
terísti
as de uma onda plana, 
ujo 
ampo elétri
o é repre-
sentado matemati
amente pelo fasor-vetor
E(r, t) = E0e
jφ)
ay = E0e
j(ωt−kr))
ay (2.32)
ou, tomando-se apenas a parte real,
E(r, t) = cosφay = cos (ωt− kr)ay (2.33)
Pode-se veri�
ar que, para um plano z �xo, o 
ampo elétri
o varia harmoni
amente no
tempo. Da mesma forma tem-se para um instante de tempo t uma variação espa
ial
do 
ampo também harm�ni
a. A variação espa
ial, neste 
aso, o
orre ao longo de z.
O valor máximo do 
ampo, E0, é 
hamado de amplitude, enquanto o argumento da
função 
ossenoidal é 
hamado de fase da onda, ou seja, φ = ωt− kr. A velo
idade de
propagação da onda plana é igual `a velo
idade de um observador que a
ompanha o
deslo
amento de uma frente de onda 
uja fase é, por exemplo, φ0, isto é,
dφ0
dt
= ω − k z
dt
= 0 (2.34)
ou
vf =
z
dt
=
ω
k
(2.35)
ou na forma vetorial,
vf =
ω
k
az (2.36)
Lembrando-se que vf , também denominada velo
idade de fase da onda, depende
das 
ara
terísti
as elétri
as e magnéti
as do meio, 
omo mostra a Equação 2.16. A
propagação da onda, neste 
aso, se dá no sentido z+, 
omo mostrado na Figura ??.
Para ondas propagando-se no sentido 
ontrário, tem-se
dφ0
dt
= ω + k
z
dt
= 0 (2.37)
ou na forma vetorial,
vf =
ω
k
az. (2.38)
A dist.an
ia entre duas frentes de onda de mesma fase, para um dado instante de
tempo, é denominada de 
omprimento de onda, representado pela letra grega λ (vide
Figura 2.2). Neste 
aso, a variação ∆φ entre as duas frentes é igual a 2π, ou seja,
∆φ = k∆z = kλ = 2π (2.39)
e 
omo 
onseqüên
ia, a razão entre ∆φ e ∆z é dada por
k
∆φ
∆z
=
2π
λ
(2.40)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 7
Figura 2.2: Variação da intensidade do 
ampo elétri
o no: (a) espaço; (b) tempo.
omumente 
hamada de número de onda.
A variação de fase de 2π que o
orre num intervalo de tempo ∆t = T , para um
dado plano z, é denominado de período da onda (vide Figura ??). Portanto,
∆φ = ω∆t = ωT = φ2π (2.41)
e 
omo 
onseqüên
ia, a razão entre ∆φ e ∆t é dada por
ω =
∆φ
∆t
=
2π
T
(2.42)
Substituindo as Equações 2.40 e 2.42 em 2.35, obtém-se
vf = λf (2.43)
onde f = 1/T é 
hamada de freqüên
ia da onda.
Exemplo 2.1 Duas antenas do tipo dipolo estão espaçadas perpendi
ularmente em relação ao eixo
z, 
omo mostrado na Figura 2.3. Cada antena radia ondas eletromagnéti
as de mesma intensidade
e fase. Qual deve ser o espaçamento mínimo para que o 
ampo, no ponto P , seja máximo?
Solução: O 
ampo elétri
o no plano z = z0 é obtido a partir de
E(z0, t) = E0 cosφ1 + E0 cosφ2
sendo, φ1 = ωt − kz0 = ωt − k(z0 − d) = φ1 + kd. Pode-se fa
ilmente veri�
ar que as ondas se
superpõem quando φ2 = φ1 ou, de uma forma geral, quando φ2 = φ1 = 2nπ . Portanto, a diferença
de fase é então
∆φ = kd = 2nπ
e
d =
2nπ
k
= nλ
o valor mínimo de d, diferente de zero, é λ. ⋄
8 Mi
roondas - Notas de Aula
Figura 2.3: Arranjo de antenas dipolos separadas por uma distân
ia d.
Exemplo 2.2 O 
ampo elétri
o no espaço livre é dado por
E = 50 cos(108t+ kx)ay V/m
a. En
ontre a orientação de propagação da onda.
b. Cal
ule k e o tempo que a onda leva para se propagar por uma distân
ia de λ/2.
. Esbo
e a onda a t = T/4 e T/2.
Solução
(a) Devido ao sinal positivo em (ωt + kx), inferi-se que a onda está propagando ao longo de −ay.
Isto será 
on�rmado na parte (
) desse exer
í
io.
(b) No espaço livre, vf = c, assim tem-se da Equação 2.35
k =
ω
c
=
108
3× 108 =
1
3
ou
k = 0, 33333 rad/m
Se T é o período da onda, isto signi�
a que a onda leva T segundos para se deslo
ar por uma distân
ia
λ à velo
idade c. Portanto, para se deslo
ar por uma distân
ia λ/2 levará
t1 =
T
2
=
1
2
2π
ω
=
π
108
= 31, 42 ns
Alternativamente, porque a onda está se propagando 
om velo
idade da luz c,
λ
2
= ct1 ou t1 =
λ
2c
Porém,
λ =
2π
k
= 6π
Portanto,
t1 =
6π
2(3 × 108) = 31, 42 ns
omo obtido anteriormente.
(
)
• Em t = 0, Ey = 50 cos kx.
• Em t = T/4, Ey = 50 cos
(
ω · 2π
4ω
+ kx
)
= 50 cos (kx+ π/2) = −50 sinkx.
• Em t = T/2, Ey = 50 cos
(
ω · 2π
2ω
+ kx
)
= 50 cos (kx+ π) = −50 cos kx.
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 9
Figura 2.4: Referente ao Exemplo 2.3; onda propagando ao longo de −ax.
O grá�
o de Ey em função de x para t = 0, T/4 e T/2 é apresentado na Figura. Note que o ponto P
(sele
ionado arbitrariamente) da onda se move ao longo de −ax 
onforme t aumenta 
om o tempo.
Isto mostra que a onda se deslo
a ao longo de −ax. ⋄
2.4 Polarização de Ondas Eletromagnéti
as
Uma onda está polarizada linearmente quando o 
ampo elétri
o não muda de
direção no espaço. No 
aso de uma onda plana propagando-se na direção z+, 
om o
vetor 
ampo elétri
o apontando sempre na direção y,
E = E0 sin (ωt− kz)ay (2.44)
a polarização é dita linear na direção y. O vetor 
ampo elétri
o poderia apontar em
qualquer outra direção no plano xy, para uma onda propagando-se na direção z, e
ainda assim ser linearmente polarizada, desde que este não mude de direção ao longo
do sentido de propagação.
O 
aso mais geral em termos de polarização o
orre quando o vetor 
ampo elétri
o
muda de direção ao longo da direção de propagação. Nesta 
ondição, a onda está
polarizada elipti
amente ou 
ir
ularmente, 
omo será visto mais adiante. Sendo as-
sim, pode-se 
lassi�
ar as ondas eletromagnéti
as de a
ordo 
om a direção do 
ampo
elétri
o ou polarização. Os tipos de polarização possíveis são mostrados na Figura 2.5,
ou seja: elípti
as (
aso genéri
o), 
ir
ular e linear (
asos parti
ulares).
10 Mi
roondas - Notas de Aula
Figura 2.5: Polarização: (a) elípti
a para direita; (b) 
ir
ular paradireita; (
) linear.
Uma onda elipti
amente polarizada pode ser obtida a partir de duas ondas line-
armente polarizadas, 
ujos 
ampos elétri
os são ortogonais entre si. Por exemplo,
Ex = E1 sin (ωt− kz) (2.45)
e
Ey = E2 sin (ωt− kz + δ) (2.46)
sendo δ a defasagem entre as duas 
omponentes de 
ampo. O 
ampo resultante na
forma vetorial é dado por
E = E1 sin (ωt− kz)ax + E0 sin (ωt− kz + δ)ay (2.47)
Para o plano z = 0, tem-se
Ex = E1 sin (ωt) (2.48)
e
Ey = E2 sin (ωt+ δ) (2.49)
ou
Ey = E2 (sinωt cos δ + sin δ cosωt) (2.50)
em que
sinωt =
Ex
E1
(2.51)
e
cos omegat =
√
1−
(
Ex
E1
)2
(2.52)
logo
Ey
E2
=
Ex
E1
cos δ +
√
1−
(
Ex
E1
)2
sin δ (2.53)
ou (
Ey
E2
− Ex
E1 cos δ
)2
1
sin δ
2
= 1−
(
Ex
E1
)2
(2.54)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 11
ou ainda(
Ey
E2
)2
− 2EyEx
E2E1
cos δ +
(
Ex
E1
)2
cos δ2 +
(
Ex
E1
)2
sin δ2 = sin δ2 (2.55)
Portanto, (
Ey
E2
)2
− 2EyEx
E2E1
cos δ +
(
Ex
E1
)2
= sin δ2 (2.56)
Considerando
1
E21 sin δ
2
= a, (2.57)
2 cos δ
E2E1 sin δ2
= b (2.58)
1
E22 sin δ
2
= c, (2.59)
obtém-se a equação de uma elipse, ou seja,
aE2x − 2bEyEx + E2y = 1 (2.60)
A Equação (2.60) representa a variação do vetor 
ampo elétri
o no plano z = 0, 
omo
mostrado na Figura 2.5a. Quando δ = ±90◦ e E1 = E2 a Equação (2.56) se reduz `a
equação de uma 
ir
unfer.en
ia, isto é,
E2x + E
2
y = E
2
1 (2.61)
neste 
aso, a variação do 
ampo elétri
o no plano z = 0 é 
ir
ular, 
omo mostrado
na Figura 2.5b. O sinal de δ determina o sentido de giro do 
ampo. Por exemplo, se
δ = 90◦. então,
Ex = E1 sinωt (2.62)
e
Ey = E1 sinωt− π
2
= E1 cosωt (2.63)
Portanto para t = 0, Ex = 0 e Ey = −E1, enquanto para t = T4 ,Ex = E1 e Ey = 0.
O resultado é mostrado na Figura 2.6a e a polarização é denominada 
ir
ular para
direita. Quando δ = +90◦, obtém-se uma onda polarizada no sentido 
ontrário, 
omo
visto na Figura 2.6b.
Uma maneira simples de se asso
iar o sentido da polarização 
om o resultado
grá�
o exposto pode ser obtida utilizando as mãos. Com a mão semife
hada e polegar
apontando na direção de propagação obtém-se o sentido da polarização. Por exemplo,
quando os dedos da mão direita apontam no sentido de giro do 
ampo, a polarização
é para direita.
Para δ = 0◦. ou δ = 180◦ a Equação (2.56) se reduz a
(
Ey
E2
)2
− 2EyEx
E2E1
+
(
Ex
E1
)2
= 0 (2.64)
12 Mi
roondas - Notas de Aula
Figura 2.6: Polarização 
ir
ular para: (a) direita; (b) esquerda.
ou (
Ey
E2
+
Ex
E1
)2
= 0 (2.65)
ou ainda
Ey
E2
= ∓Ex
E1
(2.66)
Rees
revendo a Equação (2.66), obtém-se a equação de uma reta, ou seja,
Ey = ∓E2
E1
Ex (2.67)
neste 
aso, a variação do 
ampo elétri
o no plano z = 0 é linear, 
omo mostrado na
Figura 2.3
.
Exemplo 2.3 Determine a polarização de uma onda eletromagnéti
a 
uja variação do 
ampo elétri
o
é representada por
E(z, t) = 2 sin(ωt − kz)ax − cos(ωt − kz)ay (2.68)
Solução: Pela equação a
ima, pode-se veri�
ar que a onda se propaga no sentido z+, uma
vez que os sinais, nos argumentos das funções seno e 
osseno, são negativos. Observa-se também
que as 
omponentes de 
ampo têm amplitudes diferentes e estão em quadratura (defasagem de
90◦), cos(ωt − kz) = sin(ωt − kz + π/2). Portanto, pode-se 
on
luir que a onda está elipti
amente
polarizada, pois a razão entre as amplitudes é diferente de 1 e a defasagem d = −90◦. Entretanto,
�
a faltando saber se o sentido é para direita ou para esquerda. No plano z = 0, quando t = 0,
Ex = 0 e Ey = −1, enquanto para t = T4 , Ex = 2 e Ey = 0, logo o sentido é para direita, 
omo
mostrado na Figura 2.5a. ⋄
2.5 Equação de Helmholtz
Considerando-se que a variação da onda eletromagnéti
a no domínio do tempo é
harm�ni
a, isto ejωt, e que o 
ampo elétri
o pode ser es
rito 
omo o produto de uma
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 13
função que depende somente do espaço 
om outra que depende são do tempo, ou seja,
E(r, t) = E(r)ejωt, então a equação de onda (??) pode ser es
rita 
omo
ejωt∇2E(r) + ω
2
v2
E(r)ejωt = 0 (2.69)
ou
∇2E(r) + k2E(r) = 0 (2.70)
uma vez que
∂2E
∂t2
= ω2E(r)ejωt (2.71)
A equação diferen
ial (2.70) é 
hamada de equação de onda reduzida ou equação
de Helmholtz. A solução de (2.70) forne
e a variação espa
ial do vetor 
ampo elétri
o
da onda. De forma semelhante pode-se obter a equação de Helmholtz para o 
ampo
magnéti
o,
∇H(r) + k2H(r) = 0 (2.72)
A solução da equação de Helmholtz para uma onda eletromagnéti
a propagando-
se num dielétri
o isotrópi
o sem perdas pode ser obtida utilizando-se o método da
separação de variáveis. Na forma vetorial, a solução de (2.70) é do tipo
E(r) = E0(r)e
jkr
(2.73)
Enquanto a solução para (2.72)
H(r) = H0(r)e
jkr
(2.74)
sendo E0 e H0 os vetores amplitude, r o vetor posição e k o vetor de onda que aponta
no sentido de propagação. Em 
oordenadas retangulares, estes vetores podem ser
es
ritos 
omo se segue:
E0(r) = Ex0(r)ax + Ey0(r)ay + Ez0(r)az (2.75)
H0(r) = Hx0(r)ax +Hy0(r)ay +Hz0(r)az (2.76)
r = xax + yay + zaz (2.77)
e
r = kxax + kyay + kzaz (2.78)
Por exemplo, se uma onda plana se propaga na sentido z− 
om 
ampo elétri
o
orientado na direção y, então a expressão do 
ampo elétri
o em função da posição no
espaço será dada por
E(r) = (Ey0ay)e
−jkzaz · (xax + yay + zaz) = Ey0ejkzzay (2.79)
14 Mi
roondas - Notas de Aula
2.5.1 Ondas Transversais Eletromagnéti
as
A solução da equação de Helmholtz para ondas propagando-se num espaço aberto
é dada, no 
aso do 
ampo elétri
o, por (2.73). Sabe-se que, para pontos livres de
argas elétri
as,
∇ ·E = 0 (2.80)
logo,
∇ · E0e−jk·r = 0 (2.81)
Utilizando-se a identidade vetorial
∇ ·Fφ ≡ F · ∇φ (2.82)
sendo F uma função vetorial e é uma função es
alar, tem-se
E0(r) · ∇e−jk·r = −jE · k = 0 (2.83)
ou simplesmente
E · k = 0 (2.84)
Portanto, o produto es
alar entre o vetor 
ampo elétri
o e o vetor número de onda,
que aponta na direção de propagação da onda, é zero. Este resultado indi
a que o
ampo elétri
o é ortogonal, ou transversal, à direção de propagação.
De maneira semelhante, substituindo (2.74) em (2.3), pode-se obter
H · k = 0 (2.85)
indi
ando que o 
ampo magnéti
o também é transversal à direção de propagação. Por
este motivo as ondas eletromagnéti
as, sejam elas planas, 
ilíndri
as ou esféri
as, 
om
os 
ampos elétri
o e magnéti
o ortogonais à direção de propagação, são 
hamadas de
ondas Transversais Eletromagnéti
as (TEM).
2.6 Impedân
ia e Admitân
ia Intrínse
as do Meio
Para ondas TEM, propagando-se num meio dielétri
o isotrópi
o homogêneo sem
perdas, as variações dos 
ampos no espaço são representadas matemati
amente pelas
equações (2.73) e (2.74). Sabe-se também que, para variação harm�ni
a no tempo,
∇×H = ǫ∂E
∂t
= jωǫE (2.86)
e
∇×E = µ∂H
∂t
= jωµH (2.87)
Substituindo (2.73) em (2.87), tem-se
∇×E0(r)e−jk·r = jωǫH (2.88)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 15
ou
H =
j
ωµ
∇×E0(r)e−jk·r (2.89)
De maneira semelhante, substituindo (2.74) em (2.86), pode-se obter
E =
−j
ωǫ
∇×H0(r)e−jk·r (2.90)
Utilizando-se a identidade vetorial des
rita na Equação (2.82)
∇ ·Fφ ≡ F · ∇φ
pode-se rees
rever as equações (2.89) e (2.90) 
omo
H =
j
ωµ
E0(r)×∇e−jk·r = 1
ωµ
k×E (2.91)
e
E =
j
ωǫ
H0(r)×∇e−jk·r = 1
ωǫ
k×H (2.92)
Considerando-se que n (vetor) é um versor na direção de propagação, têm-se
H = Y n×E (2.93)
e
E = −Zn×H (2.94)
em que
Z = η =
k
ωǫ
=
√
µ
ǫ
(2.95)
é a impedân
ia intrínse
a do dielétri
o e
Z =
1
η
=
k
ωµ
=
√
ǫ
µ
(2.96)a admitân
ia.
2.7 Densidade de Potên
ia e Densidade Volumétri
a
de Energia
Sabe-se que onde existe 
ampo elétri
o h�a também energia e que a densidade
volumétri
a de energia elétri
a máxima é dada por
Uemax =
1
2
ǫE20 (2.97)
sendo E0 o valor de pi
o do 
ampo elétri
o. Enquanto seu valor médio é dado por
Ue =
1
2
ǫE2ef =
1
4
ǫE20 (2.98)
16 Mi
roondas - Notas de Aula
onde Eef =
E0√
2
é o 
ampo elétri
o e�
az para 
ampos que variam harmoni
amente
no tempo.
Da mesma forma, pode-se a�rmar que onde existe 
ampo magnéti
o há energia
magnéti
a e a densidade volumétri
a de energia máxima é dada por
Ummax =
1
2
µH20 (2.99)
enquanto a densidade volumétri
a média é forne
ida por
Um =
1
2
µH2ef =
1
4
µH20 (2.100)
sendo Hef =
H0√
2
2 o 
ampo magnéti
o e�
az e H0 
ampo magnéti
o de pi
o. A energia
armazenada num dado volume é forne
ida pela express.ao
E =
∫ ∫ ∫
V
UdV (2.101)
Portanto, a energia elétri
a e magnéti
a armazenada num volume V são forne
idas
respe
tivamente por
Ee =
∫ ∫ ∫
V
Uedv =
ǫ
4
∫ ∫ ∫
V
E · E∗dV (2.102)
e
Em =
∫ ∫ ∫
V
Umdv =
ǫ
4
∫ ∫ ∫
V
H ·H∗dV (2.103)
onde o asteris
o indi
a 
omplexo 
onjugado.
Imagine agora uma onda eletromagnéti
a plana propagando-se na direção z. A
densidade volumétri
a de energia média total asso
iada à onda é dada por
Ut = Ue + Um =
1
4
ǫE20 +
1
4
µH20 (2.104)
es
revendo a equação (2.93) na forma es
alar, tem-se
H0 = Y E0 (2.105)
Substituindo (2.105) em (2.103), obtém-se
Ut = 2Ue = 2Um =
1
2
ǫE20 =
1
2
µH20 (2.106)
A densidade de potên
ia média num plano z qualquer é igual ao produto da
densidade volumétri
a de energia total da onda pela velo
idade de propagação da
energia, isto é,
Wm = Utv (2.107)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 17
num dielétri
o perfeito a energia asso
iada à onda é transportada a uma velo
idade
igual a velo
idade de fase desta onda. Portanto,
Wm =
1
2
ǫE20vf =
E20
2η
(2.108)
ou ainda
Wm =
1
2
ǫH20vf =
ηH20
2
(2.109)
É importante salientar que existem meios onde o transporte de energia asso
iada
à onda eletromagnéti
a não o
orre à velo
idade de fase.
Geralmente, a densidade de potên
ia é representada na forma vetorial, ou seja,
Wm =
1
2
E×H∗ (2.110)
sendo Wm denominado de vetor de Poynting médio. Para um meio qualquer, em que
a impedân
ia intrínse
a pode ser 
omplexa, o vetor de Poynting é dado por
Wm =
1
2
ℜ{E×H∗} (2.111)
A potên
ia média asso
iada a uma área S de uma determinada frente de onda é
forne
ida por
Pm =
∫ ∫
S
Wm · ds (2.112)
Exemplo 2.4 Um 
opo d'água, 
om 10
m de diâmetro e 15
m de profundidade, é 
olo
ado para
esquentar dentro de um forno de mi
roondas. O 
ampo elétri
o gerado pelo forno tem valor máximo
igual a 1kV/m e varia 
om uma freqüên
ia de 1GHz. Supondo-se que a onda eletromagnéti
a é
plana e in
ide normalmente sobre a superfí
ie da água, qual deve ser a energia absorvida por este
líquido? Qual a potên
ia média que 
hega à superfí
ie d'água? Considere que o 
ampo elétri
o na
água diminui para 20% do seu valor máximo no ar. Nesta freqüên
ia a permissividade relativa da
água é igual 81.
Solução: A energia pode ser 
al
ulada a partir da integração da densidade volumétri
a de
energia total, Equação (2.106). Neste 
aso, torna-se ne
essário en
ontrar o valor do 
ampo elétri
o
máximo dentro d'água, este valor é 5 vezes menor (20%) que no ar, isto é, 200V/m. Sendo assim,
Ut =
1
2
ǫrǫ0E
2
0 =
1
2
× 81 × 8, 85× 10−12 × (200)2 = 1, 43 × 10−5 J/m3
A energia é então obtida a partir de
E =
∫ ∫ ∫
V
UtdV = UtV = 1, 43× 10−5 × π × (5× 10−2)2 × 1, 5× 10−1 = 1, 68× 10−8 J
Finalmente, a potên
ia média que 
hega à superfí
ie da água é dada por
Pm =
∫ ∫
S
Wm · ds = E
2
0
2η
S
Como a impedân
ia intrínse
a do ar é η0 = 120πΩ, então
Pm =
(1 × 103)2
240π
π × (5× 10−2)2 = 10, 4 W
⋄
18 Mi
roondas - Notas de Aula
2.8 Velo
idade de Fase, de Grupo e Relativa
Foi visto que, para meios dielétri
os perfeitos, a velo
idade de fase de uma onda
eletromagnéti
a é dada por
vf =
1√
µǫ
(2.113)
e no espaço-livre, por
vf =
1√
µ0ǫ0
(2.114)
A velo
idade relativa é de�nida 
omo a razão entre a velo
idade de fase da onda no
meio dielétri
o pela velo
idade da onda no vá
uo, ou seja,
p =
vf
c
=
1√
µrǫr
(2.115)
Observe que, quanto maior for a permissividade e/ou permeabilidade do meio, menor
será a velo
idade relativa da onda. Para meios não-magnéti
os, tem-se
p =
1√
ǫr
(2.116)
uma vez que a permeabilidade relativa é igual à unidade.
Muitos materiais dielétri
os são 
lassi�
ados de a
ordo 
om uma grandeza 
ha-
mada índi
e de refração, que é de�nido 
omo sendo o inverso da velo
idade relativa
da onda no meio, isto é,
n =
1
p
=
√
ǫr (2.117)
A velo
idade de grupo está asso
iada a um grupo de ondas eletromgnéti
as de
freqüên
ias distintas. Cada onda se propaga 
om velo
idade de fase dada por (2.113)
e velo
idade de grupo
vg =
dω
dβ
(2.118)
Para materiais dieléletri
os β = k.
A equação (2.118) pode ser obtida 
omo segue. Considere, por exemplo, duas
ondas eletromagnéti
as de freqüên
ias distintas 
ujas expressões dos 
ampos elétri
os
são dadas por
E1(z, t) = E0e
ω1t−k1zay (2.119)
e
E2(z, t) = E0e
ω2t−k2zay (2.120)
Em que o 
ampo elétri
o resultante é
Et = E0
[
eω1t−k1z + eω2t−k2z
]
ay (2.121)
Supondo que
ω1 = ω0 −∆ω (2.122)
Ondas Transversais Eletromagnéti
as 19
Figura 2.7: Onda resultante da superposição de duas ondas de freqüên
ias distintas.
As velo
idades de fase e grupo estão indi
adas.
e
ω2 = ω0 −∆ω (2.123)
sendo
ω0 =
ω1 + ω2
2
(2.124)
e
∆ω =
ω2 + ω1
2
(2.125)
pode-se rees
rever a equação (2.121) 
omo
Et = E0e
j(ω0t−k0z)
[
e−j(∆ω0t−∆k0z) + ej(∆ω0t−∆k0z)
]
ay (2.126)
ou
Et = 2E0e
j(ω0t−k0z) cos (∆ω0t−∆k0z)ay (2.127)
Considerando-se apenas a parte real, tem-se
Et = 2E0 cos (ω0t− k0z) cos (∆ω0t−∆k0z)ay (2.128)
O que lembra um sinal modulado em amplitude 
om portadora suprimida [33℄[21℄,
onde a freqüên
ia da portadora é ω0 e do sinal modulador ∆ω. A Figura 2.7 mostra
a onda resultante indi
ando a velo
idade de grupo e de fase.
A velo
idade do grupo de um 
onjunto de onda está asso
iada à envoltória da
onda resultante e é de�nida 
omo sendo a velo
idade de deslo
amento de um dado
ponto �xo desta envoltória, ou seja,
vg =
∆ω
∆k
(2.129)
ou
vg = lim
∆ω→0
∆ω
∆k
=
dω
dk
(2.130)
20 Mi
roondas - Notas de Aula
A equação (2.130) forne
e a velo
idade do grupo de ondas na freqüên
ia ω0 que
é a média das freqüên
ias de 
ada onda que 
ompõe o grupo. Observe que, se a
permissividade do meio não varia 
om a freqüên
ia, então
vg = vf (2.131)
pois, substituindo ω = vfk em (2.130), tem-se
vg =
dω
dk
= vf + k
dvf
dk
(2.132)
Se a permissividade não varia 
om a freqüên
ia, vf também não varia 
om a freqüên
ia
e nem 
om o número de onda, tornando o segundo termo da equação (2.132) nulo.
Lista de Exer
í
io - Ondas Transversais Eletromagné-
ti
as
Questões referentes ao Capítulo 2.
Exer
í
io 2.8.1 Conforme a disposição e 
ara
terísti
as dos dipolos magnéti
os pre-
sentes nos materiais, estes serão 
lassi�
ados de que forma?
Exer
í
io 2.8.2 A água do mar é um meio não magnetizável que apresenta as se-
guintes 
ara
terísti
as: σ = 4S/m, ǫ = 81ǫ0. Determinar a distân
ia ne
essária para
que a amplitude de um 
ampo eletromagnéti
o 
aia a 1% de seu valor original nas
freqüên
ias de 20KHz e 200MHz.
Exer
í
io 2.8.3 Uma onda eletromagnétia 
om freqüên
ia de 3MHz em um meio
ilimitado, 
om as seguintes 
ara
terísti
as elétri
as: µ = µ0, ǫ = 5ǫ0 e σ = 2 ×
10−3S/m. Determinar o fator de atenuação, fator de fase, a impedân
ia intrínse
a
do meio, a velo
idade de fase, de grupo e índi
e de refração(de grupo e de fase).
Exer
í
io 2.8.4 Explique as diferenças entre as Polarizações de Ondas Eletromag-
néti
as.
Exer
í
io 2.8.5 Um dielétri
o 
om perdas tem um impedân
ia intrínse
a de 100∠60◦Ω
em uma freqüên
ia. Se, nesta freqüên
ia, a onda plana se propaga no material tem o
ampo magnéti
o
H = 100eαx cos
(
ωt− 1
2
x
)
ay A/m
en
ontre E e α. Determine a profundidade peli
ular e a polarização da onda.