6 Parte 6 Cisalhamento por cargas transversais

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INSTITUTO DE TECNOLOGIA - UFPA 
FACULDADE DE ENG. MECÂNICA 
Parte 6: 
Cisalhamento por cargas 
transversais 
Professor: Leonardo Dantas Rodrigues 
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM 
ELEMENTO DE VIGA E FLUXO DE CISALHAMENTO 
Figura 6.1 
FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM 
ELEMENTO DE VIGA E FLUXO DE CISALHAMENTO 
 
 
0 0
0
0
x x x xz xy
y xy y x
z xz z x
F dA M y z dA
F dA V M z dA
F dA M y M
  
 
 
    
    
    
 
 
 
A distribuição de tensões normais e de cisalhamento satisfazem: 
Carregamento transversal aplicado em uma viga resultará em tensões normais 
e de cisalhamento nas seções transversais. 
Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais de um 
elemento, tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces 
horizontais. Cisalhamento longitudinal deve existir em qualquer elemento 
submetido a uma carga transversal. 
Figura 6.2 
(6.1) 
(6.2) 
(6.3) 
(6.4) 
(6.5) 
(6.6) 
FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM 
ELEMENTO DE VIGA E FLUXO DE CISALHAMENTO 
Considere a viga prismática da fig. 6.3. 
Para o equilíbrio do elemento de viga, tem-se: 
 0x C D
A
D C
A
F H dA
M M
H ydA
I
     

 
 

xVx
dx
dM
MM
dAyQ
CD
A


Sendo: 
VQ
H x
I
H VQ
q fluxo de cisalhamento
x I
  

  

Substitutindo, 
(6.7) 
(6.8) 
(6.9) 
(6.10) 
Figura 6.3 
FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM 
ELEMENTO DE VIGA E FLUXO DE CISALHAMENTO 
Exemplo 6.1: Uma viga é feita de três pranchas, pregadas juntas 
(figura 6.4). Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 25 mm e 
que o cisalhamento vertical da viga é V = 500 N, determine a força 
cortante em cada prego. 
Etapas para solução: 
 
• Determine a força horizontal por 
unidade de comprimento ou o fluxo 
de cisalhamento (q) na superfície 
inferior da prancha superior. 
• Calcular a força cortante 
correspondente em cada prego. 
Figura 6.4 
FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM 
ELEMENTO DE VIGA E FLUXO DE CISALHAMENTO 
Exemplo 6.1: SOLUÇÃO 
  
  
  
  
6 3
31
12
31
12
2
6 4
( )
0.020m 0.100m 0.060m
120 10 m
0.020m 0.100m
2[ 0.100m 0.020m
0.020m 0.100m 0.060m ]
16.20 10 m
Q Ay momento estático
Q
I
I



 
 


 
 A força horizontal por unidade de 
comprimento ou o fluxo de 
cisalhamento (q) na superfície 
inferior da prancha superior é: 
m
N3704
m1016.20
)m10120)(N500(
46-
36





I
VQ
q
Cálculo da força de cisalhamento 
correspondente em cada prego para 
um espaçamento de 25 mm: 
(0.025m) (0.025m)(3704 )F q N m 
N6.92F
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA VIGA 
A tensão de cisalhamento média (ao longo da 
largura) na face horizontal do elemento é obtida 
dividindo a força de cisalhamento no elemento 
pela área da face. 
méd
méd
H q x VQ x
A A I t x
VQ
It


  
  
  

Se a largura da viga é relativamente pequena 
comparável com à altura, a tensão de 
cisalhamento varia muito pouco ao longo da 
largura. E o valor médio pode ser usado sem 
problemas. 
Nas superfícies 
superior e 
inferior da viga, 
yx= 0. 
Figura 6.5 
(6.11) 
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA VIGA 
(SEÇÕES COMUNS) 
Seção retangular: 
 
 
 
2
2
3
1
2 2
3
2
xy
max
VQ V y h
, sendo c
Ib A c
V
A


 
     
 

Seção circular: 
 
 
 
max
4
3
V
A
 
Figura 6.6 
Figura 6.7 
Figura 6.8 
(6.12) 
(6.13) 
(6.14) 
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA VIGA 
MPa82,0MPa12  admadm 
determinar a altura d mínima necessária para a viga. 
SOLUÇÃO: 
Desenvolver diagramas de força 
cortante e momento fletor. Identificar 
os valores máximos. 
Determinar a altura da viga com base 
na tensão normal admissível. 
Determinar a altura da viga com base 
na tensão de cisalhamento admissível. 
Altura da viga exigida é igual à maior 
das duas alturas encontradas. 
Exemplo 6.2: Uma viga de madeira deve suportar três forças 
concentradas mostradas. Sabendo que para o tipo de madeira utilizada, 
Figura 6.9 
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA VIGA 
SOLUÇÃO: 
 Desenvolvendo os diagramas de força 
cortante e momento fletor, chegamos a: 
mkN25,11
kN15
max
max


M
V
Exemplo 6.2: solução. 
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA VIGA 
Exemplo 6.2: solução. 
31
12
I bd
Determina-se a altura da viga com base na tensão 
normal admissível. 
max
3 2
3
11,25 kN m.(d/2)
12 10 kN/m
0.09 .( )
12
0,25m
adm
M c
I
m d
d
 

 

Determina-se agora a altura da viga com base na 
tensão de cisalhamento admissível. 
 
m30,0
m0,090
kN15
2
3
kN/m1082,0
2
3
23
max



d
d
A
V
adm
Altura da viga exigida é igual ao maior dos dois valores. 
mm300d
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS 
Exercício 6.1: A viga mostrada na figura 6.9 é feita de madeira e 
está submetida a uma força cortante interna V = 3 x103 lbf. 
Determine a tensão de cisalhamento no ponto P e máxima tensão de 
cisalhamento. 
Figura 6.9 
EXERCÍCIOS 
Exercício 6.2: A viga é composta por quatro tábuas pregadas. Se 
os pregos estiverem de ambos os lados da viga e cada um puder 
resistir a um cisalhamento de 3 kN, determine a carga máxima P 
que pode ser aplicada à extremidade da viga. 
Figura 6.10 
EXERCÍCIOS 
Exercício 6.3: A viga mostrada na figura 6.10 é feita de duas tábuas. 
Determinar a tensão de cisalhamento máxima na cola necessária 
para manter as tábuas unidas ao longo da junção. Os apoios em B e C 
exercem somente reações somente reações verticais sobre a viga. 
Figura 6.11 
EXERCÍCIOS 
Exercício 6.4: A viga AB é feita de três pranchas coladas entre si e 
está submetida, em seu plano de simetria ao carregamento mostrado 
na figura 6.10. Determine as tensões de cisalhamento nas juntas a e 
b, a máxima de cisalhamento e as máximas de tração e compressão. 
Figura 6.12 
C D