Geometria Descritiva 1

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REPRESENTAÇÕES TRIDIMENSIONAIS - CCE0887
GEOMETRIA DESCRITIVA E REPRESENTAÇÕES
PROF. ALINE CANCELA
A N C . E S TAC I O @ G M A I L . C O M
A.03 
ESTUDO DO 
PONTO
1
ESTUDO DO PONTO
A Geometria Descritiva faz uso do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção, fato 
este que determina uma única projeção em cada plano de projeção.
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PROJEÇÕES DO PONTO
Um ponto situado no espaço estabelece uma relação de distância com os planos de projeção. 
Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenadas que são registradas através das projeções 
sobre os planos. 
Conhecendo-se essas projeções, é possível determinar a posição do ponto no espaço.
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*A notação do ponto será 
feita com letras maiúsculas, 
que deverão estar entre 
parênteses. 
*A expressão “Ponto” deve 
ser sempre empregada 
somente para objeto.
LINHA DE CHAMADA
É toda linha (imaginária) perpendicular a 
linha de terra que une as projeções de um 
mesmo ponto (P e P’), ou seja, é a projeção 
das linhas projetantes.
IMPORTANTE:
Quando representarmos um objeto no diedro, 
estaremos utilizando somente os planos Horizontal e 
Vertical de projeção, consequentemente o objeto será 
representado através de duas projeções;
Mas quando a representação for feita no triedro, 
estaremos inserindo o plano de Perfil que também é 
conhecido por Terceiro plano.
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COORDENADAS DO PONTO
Para que possamos situar um objeto no espaço, 
precisamos conhecer as distâncias de seus 
pontos para com os planos de projeção. 
Assim, cada ponto é definido por um trio 
ordenado composto por x, y e z, denominados 
abcissa (x), afastamento (y) e cota (z), 
respectivamente, onde:
 Abcissa (ab): é a distância do ponto ao PP.
 Afastamento (af): é a distância do ponto ao 
PV.
 Cota (ct): é a distância do ponto ao plano PH.
Então, para um determinado ponto (P), a 
indicação das coordenadas é feita da seguinte 
maneira: (P) [ x ; y ; z ]. 
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ALGUMAS IGUALDADES
 A distância do ponto (P) ao PP é igual à 
distância da Linha de Chamada ao ponto 
origem. 
 Ambas traduzem a ABCISSA.
*Ponto de origem – O: é o ponto de intersecção dos três 
planos (horizontal, vertical e de perfil).
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ALGUMAS IGUALDADES
 A distância do ponto (P) ao PV é igual à 
distância da projeção horizontal P à LT.
 Ambas traduzem o AFASTAMENTO.
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ALGUMAS IGUALDADES
 A distância do ponto (P) ao PH é igual à 
distância da projeção vertical P’ à LT.
 Ambas traduzem a COTA.
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NÍVEL ESPACIAL X NÍVEL PROJETIVO
Logo podemos ter duas definições para as coordenadas: uma ao nível espacial, 
relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando as 
projeções à Linha de Terra.
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CONCEITO ESPACIAL
Abcissa (ab): é a distância do ponto ao 
PP.
Afastamento (af): é a distância do ponto 
ao PV.
Cota (ct): é a distância do ponto ao PH.
CONCEITO PROJETIVO
Abcissa (ab): é a distância da linha de 
Chamada à origem - O.
Afastamento (af): é a distância da 
projeção horizontal à LT.
Cota (ct): é a distância da projeção 
vertical à linha de terra.
NÍVEL ESPACIAL X NÍVEL PROJETIVO
É muito importante esta dupla conceituação das coordenadas, pois é objetivo da GD 
registrar os objetos através de suas projeções, e isto exige que desenhemos usando o 
“conceito projetivo”, mas que visualizemos o “conceito espacial”, ou seja, se tivermos 
um objeto no espaço seremos capazes de desenhá-lo, e se nos depararmos com o seu 
desenho seremos capazes de concebê-lo no espaço.
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SINAIS
Os planos de projeção, quando observados lateralmente, reduzem suas superfícies à 
linhas retas, e assemelham-se ao plano cartesiano da matemática, assumindo os 
mesmos valores (positivo e negativo), tanto para a cota, quanto para o afastamento. 
Já a abcissa terá como referencial a origem O, marcada sobre a linha de terra.
11VISTA DE PERFIL
SINAIS
Então, os PONTOS (diferentes de projeções), 
situados:
 à direita da origem possuem: abcissas 
positivas;
 à esquerda da origem possuem: abcissas 
negativas;
 acima do plano horizontal possuem: cotas 
positivas;
 abaixo do plano horizontal possuem: cotas 
negativas;
 anteriores ao plano vertical possuem: 
afastamentos positivos;
 posteriores ao plano vertical possuem: 
afastamentos negativos..
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SINAIS
Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar 9 posições diferentes:
1. Ponto no 1º Diedro: afastamento positivo e cota positiva;
2. Ponto no 2º Diedro: afastamento negativo e cota positiva;
3. Ponto no 3º Diedro: afastamento negativo e cota negativa;
4. Ponto no 4º Diedro: afastamento positivo e cota negativa;
5. Ponto no semiplano horizontal anterior: afastamento positivo e cota nula;
6. Ponto no semiplano horizontal posterior: afastamento negativo e cota nula;
7. Ponto no semiplano vertical superior: afastamento nulo e cota positiva;
8. Ponto no semiplano vertical inferior: afastamento nulo e cota negativa;
9. Ponto na linha de terra: afastamento nulo e cota nula.
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COORDENADAS POSIÇÕES EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
1º 
diedro
2º 
diedro
3º 
diedro
4º 
diedro
(πA) (πp) (π’s) (π’i) L.T.
Afastamento + - - + + - 0 0 0
Cota + + - - 0 0 + - 0
SINAIS
1. Ponto no 1º Diedro (afastamento e cota positivos):
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
2. Ponto no 2º Diedro (afastamento negativo e cota positiva):
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
3. Ponto no 3º Diedro (afastamento e cota negativos):
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
4. Ponto no 4º Diedro (afastamento positivo e cota negativa):
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
5. Ponto no semiplano horizontal anterior (afastamento positivo e cota nula):
18
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
6. Ponto no semiplano horizontal posterior (afastamento negativo e cota nula):
19
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
7. Ponto no semiplano vertical superior (afastamento nulo e cota positiva):
20
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
8. Ponto no semiplano vertical inferior (afastamento nulo e cota negativa):
21
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
SINAIS
9. Ponto na linha de terra (afastamento e cota nulos):
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
Tomemos um ponto com coordenadas 
genéricas: (A) [ Ab; Af; Ct].
Entre o centro de projeção e o objeto, 
posicionaremos dois observadores (1 e 2) 
que enxerguem com “olhos do sistema 
cilíndrico ortogonal”.
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
Consideremos que, após o registro das projeções, o objeto seja retirado.
Com isto, o observador nas posições 1 e 2, estaria recebendo as seguintes imagens:
O observador 1 percebe as coordenadas abscissa e afastamento, e o observador 
2 percebe abscissa e cota. Uma das coordenadas não é percebida de acordo com a 
posição do observador.
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
Mas se unirmos as duas figuras pela Linha de Terra, teremos em um único desenho as 
coordenadas Ab, Af e Ct, onde a linha de chamada posiciona-se perpendicular à LT.
Obs.: O ponto de origem – O, sobre a linha de terra registra a posição a ser 
ocupada oportunamente pelo Plano de Perfil.
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
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ESPAÇO ÉPURA
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
NOTAÇÕES:
Linha de terra (LT) em Épura:
 (P) – Objeto ou Ponto Objetivo.
 P – Projeção do objeto ou ponto no PLANO HORIZONTAL (PH).
 P’ – Projeção do objeto ou ponto no PLANO VERTICAL (PV).
 P’’ – Projeção do objeto ou ponto no PLANO DE PERFIL (PP). 
 (P) [x, y, z] – onde: 
x= abscissa / y= afastamento / z= cota 27
REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
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REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
Observe que a 3ª projeção está na mesma altura da projeção vertical. Tome isto 
como regra: as cotas são iguais tanto no PV, quanto no PP.
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EXEMPLO
Dê a épura do ponto (A) [1; 2; 1] .
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EXEMPLO
Dê a épura do ponto (A) [1;2; 1] .
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EXERCÍCIO 1
Represente no espaço e em épura: 
a) Mais perto do plano (π) que do plano (π’); 
b) Mais perto de (π’) que de (π). 
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EXERCÍCIO 2
Em uma mesma épura, represente os pontos: 
(A) [-1; -2; -1] 
(B) [0; 1,5; -2] 
(C) [1,5; 1; 1,5] 
(D) [0; 0; 2] 
(E) [-1; 2; 0] 
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EXERCÍCIO 3
Indicar as posições dos pontos (J), (K), (L), (M), (N), (O) e (P) em relação aos planos de 
projeção, conhecendo-se as suas projeções dadas na épura abaixo.
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EXERCÍCIO 4
Representar no espaço os pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F) e (G), dados por suas projeções em 
épura, indicando a qual diedro eles pertencem.
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EXERCÍCIO 5
Representar os pontos (A), (B) e (C) na mesma épura, conhecendo-se as suas coordenadas (em 
milímetros) e a sua posição no espaço:
(A) [ 0; 20; 20 ]
(B) [ -10; 10; -20 ]
(C) [ 10; -30; 20 ]
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PONTOS NO PLANO BISSETOR
O plano bissetor é um plano que passa 
pela linha de terra e forma 45º com os 
planos de projeção, dividindo os diedros 
em duas regiões iguais. 
Há somente dois planos bissetores:
 o Plano Bissetor Ímpar (βI) ou Primeiro 
Bissetor (β13) que atravessa os diedros 
ímpares (1º e 3º);
 o Plano Bissetor Par (βP) ou Segundo 
Bissetor (β24) que atravessa os diedros 
pares (2º e 4º).
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PONTOS NO PLANO BISSETOR
Os pontos situados nos planos bissetores 
têm a característica principal de serem 
equidistantes dos planos de projeção 
(possuem afastamento e cotas iguais), o 
que pode ser explicado pelo ângulo de 
45º formado entre o bissetor e os planos 
de projeção.
Os sinais do afastamento e da cota de 
um ponto situado em um plano bissetor 
dependem da posição do ponto em 
relação aos planos de projeção (conforme 
os slides anteriores das posições 
particulares do ponto).
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PONTOS NO PLANO BISSETOR
Na figura abaixo tem-se a representação em épura de quatro pontos localizados 
nos planos bissetores: (A) [ -40; 20; 20 ], (B) [ -20; -20, -20], (C) [ 20; 20; -20] e (D) 
[ 40; -20; 20].
Percebemos assim, que em épura, um ponto situado no Plano Bissetor Ímpar tem 
projeções simétricas em relação à Linha de Terra, enquanto um ponto situado no 
Plano Bissetor Par tem projeções coincidentes. 39
(A) - 1ºD
(B) - 3ºD
(C) - 4ºD
(D) - 2ºD
SIMETRIA DE PONTOS
Para que dois pontos sejam simétricos em relação a um plano, este deve ser o 
mediador do segmento de reta formado por estes dois pontos. 
Em outras palavras, dois pontos são simétricos em relação a um plano quando é 
perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contém o seu ponto 
médio.
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SIMETRIA DE PONTOS
Pode-se considerar a simetria de um ponto em relação:
 aos planos de projeção;
 aos planos bissetores;
 à linha de terra.
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SIMETRIA DE PONTOS
1. Pontos simétricos em relação aos planos 
de projeção.
 Quando dois pontos são simétricos em 
relação ao plano horizontal de projeção, 
possuem a mesma abscissa, afastamentos 
iguais em grandeza e sentido, e cotas de 
mesma grandeza e sentidos contrários.
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SIMETRIA DE PONTOS
 Quando dois pontos são simétricos em 
relação ao plano vertical de projeção, 
possuem a mesma abscissa, cotas iguais 
em grandeza e sentido e afastamentos de 
mesma grandeza e sentidos contrários.
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SIMETRIA DE PONTOS
2. Pontos simétricos em relação aos planos bissetores.
 Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor ímpar, possuem a 
mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao afastamento do outro em 
grandeza e sentido. Nesse caso, as projeções de nomes contrários dos dois pontos 
são simétricas em relação à linha de terra.
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SIMETRIA DE PONTOS
 Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor par, possuem a 
mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao afastamento do outro com sinal 
contrário. Nesse caso, as projeções de nomes contrários dos dois pontos são 
coincidentes.
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SIMETRIA DE PONTOS
3. Pontos simétricos em relação à linha de terra.
Quando dois pontos são simétricos em relação à linha de terra, possuem a mesma 
abscissa e cotas e afastamentos iguais em grandeza, mas de sentidos contrários.
Nesse caso, as projeções de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra.
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EXERCÍCIO 6
Traçar a épura dos pontos (A) e (B) situados respectivamente no 2º e 1º bissetores, sabendo-se 
que:
(A) [2; -4; ?]
(B) [1; ?; -5]
Quais diedros que contém os pontos acima?
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EXERCÍCIO 7
Construir as projeções dos pontos (C) e (D), sabendo –se que:
(C) [0; -1; ?] – situado no (βi)
(D) [1; ?; -2] – situado no (βp)
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EXERCÍCIO 8
Dado o ponto (A) [-1; -2; 4], pede-se determinar as projeções de um ponto (B) simétricos em 
relação ao plano (π). 
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EXERCÍCIO 9
Dado o ponto (C) [0; -1; 3], pede-se determinar as projeções de um ponto (D), simétricos em 
relação ao plano (π’).
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EXERCÍCIO 10
Determinar as coordenadas de um ponto (B), simétrico a (A) [1; 0; 2], em relação ao plano (π).
51
EXERCÍCIO 11
Determinar as coordenadas de um ponto (D), simétrico a (C) [-1; -3; 0], em relação ao plano 
(π’). 
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EXERCÍCIO 12
Dado um ponto (M) [-1; -2; 3], pede-se determinar as projeções de um outro ponto (N), 
simétricos em relação a (ππ’).
*ππ’ = Linha de Terra
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EXERCÍCIO 13
Construir a épura dos pontos (A), (B) e (C), sabendo-se que:
 O ponto (A) é simétrico de (M) [4; 2; 4], em relação ao plano (π);
 O ponto (B) é simétrico de (N) [8; -3; 2], em relação ao plano (π’);
 O ponto (C) é simétrico de (P) [12; 5; -3], em relação a (ππ’).
*ππ’ = Linha de Terra
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