Excicios resolvidos de Algebra

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COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2009
MATEMÁTICA I – 2ª SÉRIE
PROFESSOR: WALTER TADEU	DATA: ____________
	NOTA:
	
NOME: GABARITO	
www.professorwaltertadeu.mat.br
TESTE 1 – MATRIZES E DETERMINANTES - GABARITO
(Vale 1,5 ponto)
QUESTÃO 1: Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
	
	Ferro
	Madeira
	Vidro
	Tinta
	Tijolo
	Moderno
	5
	20
	16
	7
	17
	Mediterrâneo
	7
	18
	12
	9
	21
	Colonial
	6
	25
	8
	5
	13
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Solução. O número de unidades de materiais utilizados em cada tipo de casa aumenta proporcionalmente ao número de casas construídas. Logo, na construção de 5 casas do tipo moderno serão utilizados 5 vezes mais unidades utilizadas na construção de 1 casa desse tipo. Esse procedimento vale para os outros casos e indica uma multiplicação de matrizes (1 x 3).(3 x 5).
. Observando as respectivas colunas, vemos que serão utilizados no total: Ferro = 146; Madeira = 526; Vidro = 260; Tinta = 158; Tijolo = 388. 
QUESTÃO 2: Dadas as matrizes AT = 
 e B = 
 e sabendo-se que 2A + B = 
, determine os valores de “x” e “y”.
Solução. Se 
. Logo, 
. Igualando essa matriz a matriz soma informada no problema, descobrimos as incógnitas. Comparando elemento a elemento, temos: 
QUESTÃO 3: Determine a transposta da matriz produto de 
Solução. Calculando o produto encontramos um matriz do tipo (2 x 4) e sua transposta será tipo (4 x 2).
QUESTÃO 4: Seja A.B = C, onde A =
, B = 
e C = 
 . Determine o valor de “a” e “b”,
Solução. Calculando o produto A.B, temos 
. O valor de C será a matriz 
. Igualando as matrizes elemento a elemento, vem:
QUESTÃO 5: Sendo que 
e 
, calcule as matrizes X e Y no sistema: 
Solução. Simplificando o sistema antes de substituir as matrizes pelos valores expressamos o valor de X. Temos: 
. Calculando a expressão entre colchetes, vem: 
. Essa matriz permite descobrir o valor da matriz X: 
. 
Utilizando a 2ª equação do sistema, temos: 
. Substituindo os valores de X, A, e B, vem: 
QUESTÃO 6: Se det A = 
, calcule:
 a) 
 -10 b) 
 4.(10) = 40 c) 
10
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) Houve uma troca entre a 2ª coluna e a 1ª coluna. Logo o determinante é o mesmo com sinal trocado.
b) A 1ª linha foi quadruplicada, o mesmo ocorrendo com o determinante.
c) A 1ª coluna foi substituída pela soma de seus elementos com a 2ª coluna multiplicada por 1. O determinante não se altera. (Observe que d.(a + b) – b.(c + d) = ad + db – bc – db = ad – bc = 10).
QUESTÃO 7: Resolva as equações: 
 b) 
Solução. Calculando cada determinante e igualando - se os membros, resolve-se a equação. Em cada caso será utilizado o método de Laplace.
a) A 1ª coluna possui um elemento nulo. Aplicando Laplace utilizando esta coluna e igualando ao resultado 2, temos:
b) Aplicando Laplace na 1ª linha e igualando ao determinante 2 x 2 do 2º membro, temos:
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�PAGE �2�
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