Gabarito 1a Lista FISICA B3 2016 03 07

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE FÍSICA B3 – UFES 
 
Aluno:______________________________________________________________ Nº Matrícula:_________________ 
 
1ª LISTA DE FÍSICA B3 – 07/03/2016 
 
1
0
) Têm-se três pequenas esferas carregadas com cargas elétricas , e . Sabendo que: 
i) essas esferas estão colocadas no vácuo, sobre um plano horizontal; 
ii) os centros dessas esferas estão em uma mesma reta horizontal; 
iii) as esferas estão em equilíbrio separadas de uma distância uma da outra; 
iv) a carga elétrica do meio é positiva e vale . 
a) Quais os sinais das cargas elétricas e ? 
b) Quais os módulos das cargas elétricas e ? 
c) Se as posições de e fossem fixadas e sofresse um pequeno deslocamento ao longo da reta 
determinada pelas posições de e , seu movimento seria harmônico? Justifique. 
 
2
0
) Um bastão fino de vidro, de comprimento finito , possui uma carga elétrica total , 
uniformemente distribuída ao longo do bastão. Calcule o módulo campo elétrico em um ponto 
qualquer a linha mediatriz do bastão. 
 
3
0
) Um cilindro condutor de raio está carregado com uma carga elétrica – . Uma casca cilíndrica 
condutora de raio interno e externo ( ) está carregada com uma carga elétrica . A 
casca e o cilindro são concêntricos, muito longos e de comprimento . Desprezando os efeitos de 
borda e sendo a distância de um ponto até o eixo do cilindro, calcule o campo elétrico para: 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) . 
 
4
0
) Um elétron, movendo-se com velocidade constante de modulo , é arremessado paralelamente 
a um campo elétrico uniforme de intensidade , projetado de forma a retardar o seu movimento. 
Calcule a distância que o elétron percorrerá dentro do campo elétrico antes de alcançar 
(momentaneamente) o repouso. 
 
5
0
) Um dipolo elétrico consiste de cargas elétricas e , separadas por uma distância . Ele 
é colocado num campo elétrico uniforme de intensidade . Calcule a energia do sistema quando o 
momento de dipolo é: 
a) paralelo; 
b) perpendicular; 
c) oposto ao campo elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE FÍSICA B3 – UFES 
 
Aluno:______________________________________________________________ Nº Matrícula:_________________ 
Gabarito - 1ª Lista de Física III 
 
1) Têm-se três pequenas esferas carregadas com cargas elétricas , e . Sabendo que: 
 
i) Essas esferas estão colocadas no vácuo, sobre um plano horizontal; 
ii) Os centros dessas esferas estão em uma mesma reta horizontal; 
iii) As esferas estão em equilíbrio separadas de uma distância uma da outra; 
iv) A carga elétrica do meio é positiva e vale . 
a) Quais os sinais das cargas elétricas e ? 
b) Quais os módulos das cargas elétricas e ? 
c) Se as posições de e fossem fixadas e sofresse um pequeno deslocamento ao longo 
da reta determinada pelas posições e , seu movimento seria harmônico? Justifique. 
 
Solução: 
 
 
a) Para que as esferas estejam e equilíbrio, a força resultante sobre cada esfera deve ser nula. Assim, 
a força que a esfera de carga elétrica (ou ) exerce sobre exerce sobre a de carga (ou ) 
deve ter sentido oposto da força exercida pela esfera de carga . Portanto, as esferas, e , 
devem ter cargas elétricas de sinal oposto à esfera de carga : 
 
 
 
 
 
b) Aplicando a 2ª Lei de Newton sobre 
 
 
 ⃗ ⃗ 
 
 
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| || |
 
 
 
 
| || |
 
 
 
| |
( ) 
 
| |
 
 
 
| | | | 
 
Como a carga tem sinal negativo, logo: 
 
 
Como | | | |, então: 
 
 
 
 
 
c) Se a carga sofre um deslocamento, isso irá aumentar a intensidade da força atração exercida 
pela carga o qual ela se aproxima e diminuirá a força de atração exercida pela carga o qual ela se 
afasta. Assim, a carga tenderá a se afastar da sua posição de equilíbrio, e seu movimento não 
será oscilatório e consequentemente não harmônico. Isto é, o equilíbrio é instável. 
 
 
2) Um bastão fino de vidro, de comprimento finito l, possui uma carga elétrica total , 
uniformemente distribuída ao longo do bastão. Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto 
qualquer a linha mediatriz do bastão. 
 
Solução: 
Há dois modos de resolução: 
 
i) Primeiro modo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Onde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 ∫
 
( ) 
 
 
 
 
Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na integral, 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 | 
 
 
Onde 
 
 
 
 
√ 
: 
 
 
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√ 
|
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
√(
 
 )
 
 )
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
√ 
 
 
)
 
 
 
 
 
Temos que 
 
 
, logo, temos que o campo terá direção em y, e pode ser escrito em função da 
carga, 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
√ 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
√ 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
ii) Segundo modo: 
 
 ⃗⃗ 
 
 
∫
( ⃗ ⃗ ) 
| ⃗ ⃗ | 
 
 
 
∫
( ̂ ̂) 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 ̂
 
∫
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂
 
∫
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segundo termo da integral vai a zero, pois a função é par, assim: 
 
 ⃗⃗ 
 ̂
 
∫
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que a solução dessa integral, ver solução i, é: 
 
 
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 ⃗⃗ 
 
 
(
 
 
 
 
√ 
 
 
)
 
 
 
 ̂
 
 
3) Um cilindro condutor de raio está carregado com uma carga elétrica . Uma casca cilíndrica 
condutora de raio interno e externo ( ) está carregada com uma carga elétrica . A 
casca e o cilindro são concêntricos, muito longos e de comprimento . Desprezando os efeitos de 
borda e sendo a distância de um ponto até o eixo do cilindro, calcule o campo elétrico para: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Solução: 
 
Desprezandoos efeitos de borda, o cilindro pode ser considerado infinito. 
 
a) Interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, temos que: 
 ⃗⃗ 
 
b) Aplicando a Lei de Gauss, 
 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 ̂ 
 
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c) Interior de um condutor em equilíbrio, mesmo caso que a letra a): 
 
 ⃗⃗ 
 
d) Aplicando a Lei de Gauss, 
 
∮ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
Onde é a carga encerrada na casca esférica. Como o cilindro interno possui está carregado 
com uma carga , para manter o equilíbrio a parte interna da casca esférica deve estar 
carregada com uma carga , assim a carga encerrada é dada por: 
 
 
 
A lei de Gauss fica, 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 ̂ 
 
Podemos escrever a solução geral como: 
 
 ⃗⃗( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 
4) Um elétron, movendo-se com uma velocidade constante de módulo , é arremessado 
paralelamente a um campo elétrico uniforme de intensidade , projetado de forma a retardar o 
 
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seu movimento. Calcule a distância que o elétron percorrerá dentro do campo elétrico antes de 
alcançar (momentaneamente) o repouso. 
 
Solução: 
 
Utilizando a 2ª Lei de Newton, temos: 
 
 ⃗ ⃗ 
 
 ⃗ ̂ 
 
 
 
 
 
 
Temos que a aceleração gerada pelo campo elétrico é constante, logo o elétron estará em M.R.U.V., 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um dipolo elétrico consiste de cargas elétricas e , separadas por uma distância . Ele é 
colocado num campo elétrico uniforme de intensidade . Calcule a energia do sistema quando o 
momento de dipolo é: 
a) Paralelo; 
b) Perpendicular; 
c) Oposto ao campo elétrico. 
 
Solução: 
 
A intensidade do momento de dipolo é 
 
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A energia é dada por: 
 
 ⃗ ⃗⃗ 
 
a) ⃗ ⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ ( ) 
 
 
 
b) ⃗ ⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ ( ) 
 
 
 
c) ⃗ ⃗⃗ 
 
 ⃗ ⃗⃗ ( )