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Aspectos matemáticos da análise geral dos sistemas
Anatol Rapoport
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A teoria geral dos sistemas conota uma perspectiva ou 
uma metodologia mais do que uma teoria no sentido re­
servado na ciência a esse termo. A característica mais 
marcante dessa perspectiva é, como seu nome indica, 
uma ênfase nos aspectos dos objetos ou eventos que de­
rivam das propriedades gerais dos sistemas, mais do que 
de seu conteúdo específico. Nessas condições é claro que 
o poder e a fecundidade científica da teoria geral de sis­
tema dependem da possibilidade, de fato, da existência 
de propriedades comuns a todos os sistemas e, em caso 
afirmativo, se podem ser tiradas conseqüências impor­
tantes dessas propriedades. Essa possibilidade, por sua 
vez, depende do modo como se define sistema ou, no sen­
tido pragmático, que partes do mundo se escolhe con­
siderar como sistemas.
O ponto de vista de teoria dos sistemas recebeu im­
pulso de duas fontes: primeiro, a constatação de que o 
mecanismo é inadequado como modelo universal; segun­
do, uma tendência a contrabalançar o fracionamento da 
ciência em especialidades isoladas umas das outras. Uma
21
crítica radical da perspectiva mecanística foi expressa, 
já nos anos 20, por Alfred North Whitehead (em 
Science and the modern world). Tese relevante nesse 
livro foi o aviso de que o acervo de idéias fundamentais 
sobre o qual se assentava a então ciência contemporânea 
(o capital intelectual, como o chamava Whitehead), es­
tava se esgotando. Implicitamente isso queria dizer que, 
a menos que se explorasse uma nova fonte de idéias, a 
ciência chegaria a um beco sem saída. Whitehead 
sugeriu que o conceito de organismo, até então despre- 
zado nas ciências físicas, poderia ser uma fonte de novas 
idéias.
De fato, o conceito de organismo sempre foi funda­
mental na biologia. Sua exclusão da física marcou o 
início das ciências físicas modernas. Essa exclusão era 
necessária a fim de liberar a física do peso morto da filo­
sofia aristotélica, com sua ênfase nos determinantes tele- 
ológicos do movimento. Nessa estrutura de pensamento, 
os filósofos procuraram explicar a queda de pedras pela 
natureza das pedras e o alçar da fumaça pela natureza 
da fumaça. A natureza de um objeto ou substância devia 
prescrever para si sua posição natural ou própria e, 
assim, o movimento era explicado pelo suposto esforço 
de cada objeto ou substância para atingir sua posição 
natural.
Essa concepção teleológica do movimento se revelou 
estéril e foi rejeitada por Galileu e seus sucessores em 
favor da concepção mecanicista. Nessa concepção, não 
era um estado final de coisas procurado, mas a combi­
nação de forças que agiam sobre um corpo que deter­
minavam seu movimento, através de mudanças instantâ­
neas de velocidade. O movimento observado era uma se­
qüência dessas variações instantâneas. Nesse esquema 
não havia lugar para a natureza do corpo em movimento 
e sua posição própria.
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O sucesso fenomenal da física clássica (que se ali- 
mentava inteiramente da concepção mecanicista) atesta 
a fecundidade desse enfoque. A dificuldade de incorporar 
nele o comportamento dos sistemas vivos atesta suas 
limitações. Tanto a força como as limitações da perspec- 
tiva mecanicista residem nos métodos matemáticos u.ti- 
iizados na construção das teorias mecanicistas. O ins- 
trumento fundamental desse método é a eauacão dife- 
rencial que é, essencialmente, uma afirmação precisa so- 
bre o modo como certas quantidades e seus ritmos de 
mudança sao relacionados entre si. Por exemplo, a lei 
do movimento de uma partícula num campo gravitacio- 
nal é expressa por uma relação que compreende a ace- 
leração sofrida pela partícula e a força e direção do 
campo, num certo momento, em um certo lugar. Mas 
a força e a direção do campo dependem da posição da 
partícula e sua aceleração compreende as segundas deri- 
vadas (os ritmos de mudança dos ritmos de mudança) 
das coordenadas da posição. Em outras palavras, uma 
lei do movimento é expressa por uma equação diferen- 
cial. A solução dessa equação diferencial dá a posição 
da partícula para todos os tempos a vir, uma vez que a 
posição e velocidade iniciais e a natureza do campo gra- 
vitacional são conhecidas. O imenso poder de previsão 
da mecânica celeste deriva desse caráter determinístico 
da equação diferencial.
Se estiverem em jogo vários corpos, o campo gravi- 
tacional associado a cada um deles afeta a aceleração de 
todos eles. Seus movimentos seriam, então, descritos por 
um sistema de equações diferenciais no qual as relações 
entre as posições e as acelerações estão todas entreteci- 
das por uma rede de interdependências. Ora, se as equa- 
ções diferenciais que abrangem um sistema forem li- 
neares, isto é, se as variáveis e seus ritmos de mudança 
aparecerem, no máximo, no primeiro grau, os mesmos 
métodos gerais de solução se aplicam, independente- 
mente, de quantas equações estiverem em jogo. Contudo,
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as equações diferenciais que descrevem movimentos de 
corpos no campo gravitacional a eles associado não são 
lineares (pois as forças gravitacionais são inversamente 
proporcionais ao quadrado da distância entre os corpos). 
Por conseguinte, as equações não são solúveis pelos mé- 
todos gerais conhecidos.
Felizmente, para o sucesso do método mecanicista, o 
sistema solar, com o qual a mecânica celeste se preocu- 
pava, constituía um caso especial e tratável de vários 
corpos em movimento. O sol é tão grande, mesmo com- 
parado com o maior dos planetas, que as forças gravita- 
cionais mútuas entre os planetas podem ser desprezadas 
numa primeira aproximação. Isso quer dizer que o mo- 
vimento de cada planeta pode ser calculado com boa 
aproximação como se ele e o sol fossem os dois únicos 
corpos do universo. Esse é o chamado problema dos dois 
corpos, que pode ser resolvido pelos métodos clássicos. 
Para obter melhores aproximações, os matemáticos dos 
séculos X V III e X IX utilizaram o chamado método da 
perturbação, no qual as influências dos outros planetas 
eram superpostas às soluções dos problemas de dois cor- 
pos separadamente. O sucesso desses métodos ficou asse- 
gurado pela fraqueza da interdependência entre esses 
problemas de dois corpos entre si. Se essas interdepen- 
dências fossem fortes (se, por exemplo, as massas dos 
planetas fossem comparáveis à do sol), os matemáticos 
teriam que enfrentar um problema de n corpos, que, em 
sua forma geral, ainda não foi resolvido até hoje.
Assim, a natureza específica do sistema solar tinha 
um efeito ao mesmo tempo estimulante e inibidor no 
desenvolvimento da matemática aplicada. De um lado, 
o sucesso dos métodos matemáticos tornou os físicos 
supremamente confiantes em seu poder e levou à cria- 
ção da física matemática que, até hoje, permanece o 
modelo da ciência estritamente rigorosa. De outro, os 
métodos que logravam êxito se fixaram nos espíritos dos
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que trabalham em matemática aplicada, que procura- 
ram formular problemas de modo a torná-los tratáveis 
por esses métodos. Em seqüência, muitos fenômenos con- 
tinuaram fora do escopo da ciência matematicizada (isto 
é, estritamente rigorosa).
Os mais importantes dentre esses fenômenos são 
os de complexidade organizada. Matematicamente, uma 
complexidade organizada pode ser considerada como um 
conjunto de objetos ou eventos cuja descrição inclui mui- 
tas variáveis, entre as quais existem fortes interdepen- 
dências mútuas, de modo que o sistema de equações 
resultante não pode ser resolvido parceladamente, como 
no caso da mecânica celeste clássica, em que as pertur- 
bações podem ser impostas a prob!êmãs~de dois corpos.
Pela nossa experiência, o organismo vivo é o exem- 
plo mais evidente de complexidade organizada. As ten- 
tativas de representar o organismo vivo como um meca- 
nismo não lograram sucesso, salvoem contextos extre- 
mamente limitados, em geral bastante tangenciais ao 
problema central, que é o da descrição do processo vivo 
(inclusive o comportamento), em termos mecanicistas. 
A consciência dessa limitação conduziu certos filósofos 
(por exemplo, Bergson) e alguns biólogos (por exemplo, 
H. Driesch) ao vitalismo, que exclui a perspectiva de 
algum dia explicar os processos vivos em termos de pro- 
cessos físicos e químicos conhecidos. Os vitalistas pos- 
tulavam forças vitais especiais para explicar fenômenos 
associados com a vida. Outros filósofos, conquanto evi- 
tando refugiar-se em conceitos ad hoc, como o de força 
vital, enfatizavam a necessidade de reorganizar ou es- 
tender o repertório conceituai da ciência a fim de trazer 
a complexidade organizada para dentro de seu escopo. 
É esse o significado do brado de alerta de A. N . W hite- 
head de que o capital intelectual acumulado no século 
X V II (isto é, o método mecanístico de análise) estava
se esgotando.
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O método mecanicista de análise pode ser compre- 
endido em um sentido mais lato do que o da mecânica 
clássica. Inclui todas as formas de análise que buscam 
a explicação do funcionamento de um todo em termos 
do funcionamento de suas partes. Esse enfoque caracte- 
riza não apenas a mecânica celeste clássica (onde o 
comportamento do sistema solar surge do comporta- 
mento das massas de pontos que o compreendem), mas 
também dos métodos da físiologia em que o processo 
da vida é encarado em termos de seqüência de reações 
químicas; o método da psicologia behaviorística, que 
concebe o comportamento como uma totalidade de res- 
postas a estímulos-, a economia de mercado clássica, que 
descreve o processo econômico como uma totalidade de 
ações de indivíduos motivados para comprar ou vender 
pelas flutuações da oferta e da demanda, etc. Em suma, 
em sentido mais amplo, a perspectiva mecanicista é uma 
extensão da idéia laplaceana de que o universo (ou 
qualquer parcela do universo destacada por nossa aten- 
ção) pode ser explicado se forem conhecidas as leis que 
governam suas unidades atômicas constitutivas. Por 
assim dizer, é uma posição que considera o todo como a 
soma de suas partes. A negação dessa posição, freqüen- 
temente citada, “ O todo é maior do que a soma de suas 
partes” , deve ser considerada não como uma negação 
de uma conhecida tautologia mas, antes, como uma ex- 
pressão da inadequação da posição mecanicista.
Uma antítese da perspectiva mecanicista é a posição 
que faz de um todo o ponto de partida da investigação. 
De acordo com ela, as leis que governam o comporta- 
mento do todo sao consideradas fundamentais. Na me- 
dida em que estivermos interessados no comportamento 
das partes, procuramos deduzi-las das leis que governam 
o comportamento do todo. Assim, procuraríamos deduzir 
o comportamento de indivíduos dos papéis que desem- 
penham em uma instituição ou sociedade, que, supõe- 
se, é governada por leis que dizem respeito àquele nível
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de organização. Nesse enfoque, o problema da sintetiza- 
ção do comportamento do todo a partir do comportamen- 
to das partes, é contornado. Esse ponto de vista, que pode 
ser denominado organicista, ainda prevalece em certas 
áreas das ciências biológicas e sociais. Por exemplo, 
quando um fisiologista explica a ação de um órgão com 
relação à sua contribuição à sobrevivência do organismo, 
ou quando um antropólogo cultural da escola funciona- 
lista explica uma prática ou crença pelo seu ajustamento 
a um padrão de cultura, cada um deles está utilizando
o enfoque organicista.
A posição organicista focaliza o todo, o qual muitas 
vezes escapa aos métodos de aproximação mecanicista. A 
fraqueza da posição mecanicista provém de sua tendên- 
cia para a explicação teleológica, que, como já vimos, le- 
vou as ciências físicas anteriores a Galileu a um impasse.
A teoria geral dos sistemas, ou pelo menos o seu 
aspecto matemático, pode ser encarada como um esforço 
para fundir os enfoques mecanicista e organicista de 
modo a utilizar as vantagens de cada um. Um sistema 
não é meramente uma totalidade de unidades (partícu- 
las, indivíduos), cada uma governada por leis de causa- 
lidade que operam sobre ela, mas, antes, uma totalidade 
de relações entre tais unidades. A ênfase é na comple- 
xidade organizada, isto é, na circunstância de que a adi- 
ção de uma nova entidade introduz não apenas a relação 
dessa entidade para com as outras, mas, também, modi- 
fica as relações entre todas as outras entidades. Quanto 
mais estreitamente entrelaçada é a rede de relações, 
mais organizado é o sistema abrangido por essas rela- 
ções. O grau de organização torna-se, então, o conceito 
central do ponto de vista da teoria dos sistemas. As 
teorias engendradas por essa concepção foram chamadas, 
entre outras coisas, de contribuições à teoria geral dos 
sistemas.
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Um segundo impulso para a teoria geral dos siste- 
mas veio, como dissemos, da necessidade sentida de con- 
trabalançar a especialização excessiva na ciência, que 
estava ameaçando cortar toda comunicação entre os ci- 
entistas que trabalhavam em campos diferentes, ou 
mesmo em subcampos diferentes dos mesmos campos, 
por falta de uma linguagem técnica comum. Esse ponto 
de vista foi vigorosamente exprimido por Norbert Wiener 
em seu livro Cybernetics. 1 A cibernética é um exemplo 
de disciplina que atravessa as disciplinas estabelecidas 
da ciência e, ao fazê-lo, proporciona oportunidades para
comunicação entre cientistas de disciplinas diferentes.
Enquanto a posição organicista, proposta por White- 
head e outros filósofos de igual persuasão, era pouco 
mais que uma expressão de consciência ao problema 
suscitado pela inadequação da posição mecanicista, a ci- 
bernética tornou-se um exemplo concreto de como pode- 
mos desenvolver os conceitos de sistema sem nos afas- 
tarmos dos padrões de rigor exigidos pelas ciências físi- 
cas, pois a cibernética é um método matemático especi- 
ficamente desenvolvido para descrever a complexidade 
organizada.
A cibernética foi definida como a ciência da comu- 
nicação e do controle. Desenvolveu-se, primeiramente, 
no contexto de problemas associados com o desenvolvi- 
mento de sistemas complexos de armamentos equipados 
com direção automática e dispositivos de controle. Pro- 
blemas semelhantes surgiram também nos projetos de
1 A seleção de autores como proponentes de pontos de vista 
não implica prioridade. Assim, L. Bertalanffy, a quem, aliás, 
é creditado o termo teoria geral de sistema, antecipou-se a 
Wiener ao apontar a necessidade de contrabalançar o fracio- 
namento da ciência. Mencionamos Wiener para frisar a impor­
tância da cibernética para a obtenção de um arcabouço de 
idéias concretas que estimularam os progressos recentes da 
teoria geral dos sistemas.
sistemas de comunicação e de computadores de alta ve­
locidade. Quase simultaneamente, Wiener, pioneiro da 
cibernética, e Claude E. Shannon, o primeiro a formu­
lar rigorosamente os fundamentos da teoria matemá­
tica da comunicação, reconheceram o princípio cardial 
existente em todos esses problemas, isto é, o da quan- 
tidade de informação. O conceito de informação é tão 
central em cibernética e engenharia de comunicação co- 
mo o de energia o é na física clássica.
A energia tinha sido o conceito unificador subjacen­
te a todos os fenômenos físicos que supunham trabalho 
e calor. A informação tornou-se o conceito unificador 
subjacente ao funcionamento dos sistemas organizados, 
isto é, sistemas cujo comportamento era controlado de 
modo ’á atingir alguns objetivos preestabelecidos. Esse 
controle é conseguido por processos que compreendem a 
codificação, o armazenamento e a transmissão de infor­
mação. Desse modo, as noções organicistas teleológicas 
de comportamento, tendentes a um objetivo, foram rein- 
troduzidasna teoria dos processos físicos. Nessa versão 
moderna, contudo, essas noções derivam, não de espe­
culações metafísicas sobre a natureza das entidades que 
se comportam, mas da estrutura matemática dos sis­
temas caracterizados pela complexidade organizada.
Uma vez que a quantidade de informação se define 
em termos puramente matemáticos, esse conceito é apli­
cável à análise de todos os fenômenos nos quais existe 
comportamento organizada e especificamente dirigido 
para um objetivo. Assim, as idéias da cibernética servi­
ram não apenas para estender os rigorosos métodos ma­
temáticos ao estudo da complexidade organizada, mas 
também como fonte de conceitos comuns às diversas dis­
ciplinas. Assim, as idéias da cibernética tiveram papel 
decisivo para contrabalançar a alienação entre os cien­
tistas que se tinham tornado isolados uns dos outros,
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em virtude das barreiras levantadas pela linguagem téc­
nica especializada.
Um exemplo dessa função integradora da ciberné­
tica é visto na fusão dos conceitos biológicos e físicos 
que a cibernética estimulou. O conceito de quantidade 
de informação desempenhou importante papel nessa fu­
são. A quantidade de informação exigida para descrever 
um estado de coisas é, grosso modo, relacionada à quan­
tidade média (prevista) de conjeturas exigidas para adi­
vinhar o real estado de coisas entre todos os estados 
possíveis. Assim, se eu lhe peço que adivinhe um número 
por mim escolhido arbitrariamente entre 1 e 1 milhão, 
você necessitará mais tentativas (em média) para deter­
minar esse número do que se eu o tivesse escolhido de 
1 a 100. (Uma tentativa se compreende como uma per­
gunta que pode ser respondida por sim ou não.)
Podemos ver facilmente como um número de 1 a 
100 pode sempre ser adivinhado em sete tentativas, ao 
passo que um número de 1 a 1 milhão pode ser sempre 
adivinhado em vinte tentativas. Para fazer isso é neces­
sário proceder por tentativas de modo a eliminar a me­
tade da faixa restante. No caso de um milhão começa-se 
com: “ É menos de 500.000?” Se for, “É menos de . .. 
250.000?” Se não, então, “É menos de 375.000?” . Como 
um milhão é menos do que 220, serão necessários, no 
máximo, 20 dessas dicotomias para determinar o nú­
mero.
Até agora pressupomos que a seleção de cada nú­
mero na série é igualmente provável. Se não for esse o 
caso, a quantidade de informação é reduzida. Especifi­
camente, seja p„ a probabilidadede que o número n te­
nha sido escolhido na série . Nesse caso pode-
se demonstrar que é o número médio
30
de tentativas necessárias para acertar o número. De 
acordo com isso, H (n ) se define como quantidade de 
informação associada à situagaã
Ora, Wiener havia notado que essa expressão de 
quantidade de informação era formalmente idêntica (co­
mo expressão matemática) à fórmula que designa a 
entropia de um sistema físico. Nessa interpretação P„ 
corresponde à probabilidade de que o sistema esteja em 
um certo estado molecular, definido pela configuração 
de suas moléculas e de suas velocidades. Essa fórmula 
foi tirada da mecânica estatística e proporcionou um elo 
entre a teoria cinética dos gases e a termodinâmica clás­
sica. O conceito de entropia havia sido desenvolvido nes­
ta última disciplina em conexão com a formulação de 
sua assim chamada Segunda Lei. A Segunda Lei da 
Termodinâmica determina que, se um sistema físico (no 
presente contexto simplesmente uma parcela do universo 
físico) for isolado de seu meio, então a quantidade de 
entropia no sistema só pode tender para um máximo 
(nunca decrescer). Fisicamente isto significa que, embo­
ra a quantidade total de energia no sistema permaneça 
constante (conseqüência da Primeira Lei da Termodi­
nâmica) , a quantidade da chamada energia livre, isto é, 
da energia que pode efetuar trabalho no ambiente, só 
pode decrescer. Em outras palavras, a tendência da ener­
gia de um sistema isolado é para degradar-se, ou seja, 
transformar-se em energia térmica, não disponível para 
trabalho ú til (isto é, trabalho sobre o ambiente). Esta­
tisticamente quer dizer que os sistemas isolados tendem 
a afastar-se de configurações menos prováveis para con­
figurações mais prováveis ou, o que é a mesma coisa, de 
estados mais organizados para outros mais caóticos.
Por um momento, os vitalistas citaram a Segunda 
Lei em apoio a seus pontos de vista. Parecia-lhes que os 
organismos vivos violavam a Segunda Lei, pois, pelo 
menos no processo do desenvolvimento do embrião, um
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organismo se tom a mais organizado e não menos. Só 
após a morte é que se instala o processo de desorganiza­
ção, até que o organismo se desintegra e pouco a pouco 
se torna indiferenciado do ambiente. Os vitalistas procu­
ravam, pois, explicar a capacidade de redução da entro­
pia dos organismos vivos por um princípio vital fora 
do escopo da lei física.
O erro básico da conclusão dos vitalistas não levou 
muito tempo para ser apontado. A Segunda Lei da Ter­
modinâmica aplica-se somente a sistemas isolados. Um 
sistema isolado não pode ser um sistema vivo (ao menos 
por muito tem po). Portanto, um argumento baseado nu­
ma suposta burla da Segunda Lei pelos sistemas vivos 
desmorona. Contudo, o argumento dos vitalistas, em­
bora em si não fosse sadio, serviu a uma finalidade cons­
trutiva ao chamar a atenção para um aspecto funda­
mental do processo vivo, anteriormente despercebido, 
isto é, que o alimento ingerido por organismos vivos serve 
não apenas como fonte de energia, mas também como 
fonte de energia livre, que compensa o aumento da en­
tropia associado com os processos físicos e químicos de 
acordo com a Segunda Lei. Como pitorescamente definiu 
E. Schroedinger, “ a vida se alimenta de entropia nega­
tiva” . O alimento ingerido pelos animais e a luz do sol 
absorvida pelas plantas são ricos em “ entropia negativa” 
(energia liv re ), e isso supre os organismos vivos não 
apenas da energia utilizada para manter o processo da 
vida, mas também dos meios de manter e, mesmo, au­
mentar a “ complexidade organizada” que os caracteriza 
como sistemas vivos e, assim, resistir à tendência à desor­
ganização, intrínseca à Segunda Lei.
A “ visão” de Wiener da significação da conexão 
matemática entre a entropia e a informação proporcio­
na esclarecimento adicional do princípio fundamental 
do processo vivo. O aumento de entropia pode ser enca- 
rado como a destruição da informação. Inversamente, a
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informação pode ser empregada para reduzir a entropia. 
Uma simples analogia poderá servir para ilustrar esse 
princípio. Consideremos um maço de cartas de baralho 
como sai da fábrica, isto é, arrumado em perfeita ordem. 
Se soubermos a ordem, podemos dizer com certeza o nome 
da carta que se segue a qualquer carta dada. Em outras 
palavras, o conhecimento da carta que foi apanhada dá- 
nos muitas informações sobre a carta que se segue. Ago­
ra, baralhemos as cartas por meio de cortes sucessivos. 
Após somente alguns cortes podemos ainda, com fre­
qüência, adivinhar que carta se segue a uma determi­
nada carta (se as duas não tiverem por acaso sido sepa­
radas por um corte). No entanto, à medida que aumenta 
o número de cortes, cometeremos cada vez mais erros 
em nossas adivinhações. Por fim, os cortes desordenarão 
completamente o maço e, assim, adivinharemos a carta 
que se segue a uma dada carta com uma freqüência não 
mais que fortuita (uma vez em cinqüenta e um a); isto 
é, toda informação fornecida por uma dada carta a res­
peito da seguinte foi destruída pelo baralhamento. Esse 
processo é análogo à operação da Segunda Lei da Ter­
modinâmica. O baralho vai de um estado ordenado (im­
provável) para um estado caótico (provável). Não pode­
mos inverter esse processo por meio de baralhamento 
contínuo: a ordem original, com quase toda a certeza, 
não será restaurada.
Podemos, entretanto, restaurara ordem original ali­
mentando com informação o baralho. Isso é possível da 
seguinte maneira: imaginemos uma posição dada a cada 
carta de acordo com a ordem original, isto é, 1-52. Olhe­
mos para cada carta sucessiva do maço embaralhado; 
se ela se deslocou para diante de sua posição original, 
desloquemo-la uma posição para trás e vice-versa. Fa­
zendo isso, estamos injetando informação (em forma de 
decisões ou...ou) no baralho. Finalmente, a ordem 
original das cartas será restaurada. Em outras palavras, 
um processo análogo a uma inversão da Segunda Lei
33
pode muito bem ocorrer se forem permitidas intervenções 
sob a forma de decisões.
Esse modo de encarar a Segunda Lei da Termodinâ­
mica levou Clark Maxwell a formular idéia interessante, 
principalmente a de que um ser com percepções sufici­
entemente agudas para observar e controlar as posições 
e velocidades de moléculas isoladas (O Demônio de 
Maxwe ll), poderia inverter o processo de entropia cres­
cente (desordem), mesmo em um sistema isolado. Para 
um observador estranho, esse sistema parecia estar 
violando a Segunda Lei da Termodinâmica.
O argumento de Maxwell, contudo, contém uma fa­
lha básica. Se o demônio é colocado dentro do sistema, 
os processos que se desenvolvem dentro dele têm também 
que ser levados em consideração ao se computar a mu­
dança total da entropia. Foi mais tarde demonstrado 
por L. Szilard, e depois por L. Brillouin, que os processos 
dentro do demônio (quer se trate de um mecanismo, 
quer de um organismo) têm que ser tais que a redução 
de entropia efetuada por sua intervenção seja pelo menos 
compensada (em geral, supercompensada) por um au­
mento de entropia no demônio. Se, por outro lado, o 
demônio intervém de fora do sistema, o sistema não 
pode ser considerado como isolado, e não se aplica a 
Segunda Lei.
Foi essa distinção fundamental entre sistemas isola­
dos e não Isolados que levou L. Bertalanffy a formular 
seu enfoque da teoria geral dos sistemas. A distinção, 
argumentã~Bertalanffy, leva a um'a~yIsacTda natureza da 
vida cuja importância é cruciaL
A propriedade mais fundamental de um organismo 
vivo é sua capacidade de manter seu estado organizado 
contra a tendência constante para a desorganização 
contida nas operações da Segunda Lei da Termodinâmi­
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ca. Já vimos que essa capacidade é inerente ao fato de 
o organismo vivo ser um sistema aberto (não isolado). 
Portanto, a biologia tem que ter suas raízes na teoria 
desses sistemas. Em particular, as propriedades carac­
terísticas dos organismos vivos, por exemplo, a manu­
tenção de estados constantes (homeostase), o princípio 
da eqüifinalidade (a consecução de estados finais, inde­
pendentemente das condições in iciais), o comportamento 
aparentemente dirigido dos organismos, etc., deverão ex­
plicar-se a partir das propriedades gerais dos sistemas 
abertos.
Na medida em que essas propriedades gerais dos sis­
temas são descritíveis em uma linguagem independente 
da natureza específica dos sistemas, a teoria geral dos 
sistemas pode proporcionar a arcabouço para a integra­
ção das disciplinas especializadas e, dessa forma, reme­
diar o afastamento entre trabalhadores em campos se­
parados por uma linguagem superespecializada.
A linguagem da matemática é eminentemente qua­
lificada para servir como linguagem da teoria geral dos 
sistemas, precisamente porque essa linguagem é vazia 
de conteúdo e exprime apenas as características estru­
turais (relacionais) de uma situação.
Como exemplo, consideremos um sistema de reações 
químicas em que o ritmo de mudança de concentração 
de cada uma das substâncias que nelas entram é uma 
função linear das concentrações de todas as substâncias.
O comportamento desse sistema é descrito por um sis­
tema de equações diferenciais lineares de primeiro grau 
da seguinte forma:
rl.T n / \A r = Z ai iXi + bi (* = 1, 2, ... ri) (1)
at j= i
onde i j é a concentração da i-ésima substância e ay re­
presenta os efeitos da substância j sobre o ritmo de mu­
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dança da substância i. Esse efeito é facilitador, se atj for 
positivo, e inibitório, se negativo. A constante bt repre­
senta uma fonte externa da i-ésima substância (se posi­
tiva) ou um escapamento (se negativa ).
Suponhamos que estejamos interessados em um es­
tado constante do sistema, isto é, um estado de coisas 
em que todos os ritmos de mudança são zero. Podemos 
cbter esse estado constante se igualarmos o membro es­
querdo de todas as equações a zero e as resolvermos para 
x t obtendo, assim, as concentrações que garantem um 
estado constante. Suponhamos, primeiramente, que o 
sistema seja isolado, isto é, não tenha nem fontes nem 
escapamentos. Matematicamente, isso significa que to­
dos os bt são zero. O sistema resultante de equações é, 
então, um sistema homogêneo de n equações lineares 
com n incógnitas. É sabido que há apenas uma solução 
única para esse sistema, que é = 0. Em outras pala­
vras, o único estado constante que é determinado de 
maneira única por nossas condições seria o trivial, onde 
todas as concentrações são zero. Contudo, omitimos uma 
condição importante se estivermos falando de um siste­
ma físico real, isto é, o fato de que a massa total de 
todas as substâncias deve permanecer a mesma (a lei 
de conservação da massa). Matematicamente, essa lei se 
exprime pela condição
£ = 0. (2)i = i d t
Mas, se a condição subsistir, só teremos n- 1 equações
d,Xj
independentes quando igualarmos —^ — a zero. Esse
sistema tem uma infinidade de soluções. Uma solução 
única pode ser obtida apenas se for imposta mais uma 
condição. Se o sistema é isolado, essa condição adicional
36
deve ser um pronunciamento a respeito da massa total 
(ou a soma da concentração) das substâncias, isto é:
(3)
Ora, o sistema tem um único estado constante, mas a 
sua definição depende de C, isto é, da soma das concen­
trações iniciais.
Suponhamos agora, que, pelo contrário, o sistema é 
aberto, isto é, contém fontes e escapamentos. Aí os bi 
não serão todos zero; o sistema de equações é não homo­
gêneo e (exceto em alguns casos muito especiais), tem 
uma única solução de estado constante, o qual não de­
pende das concentrações iniciais. Em conseqüência, se 
for adulterado o sistema, isto é, aumentarmos ou dimi­
nuirmos várias concentrações, ele tenderá, não obstante, 
para o mesmo estado constante logo que o deixarmos 
a si mesmo. Esse estado constante dependerá somente 
dos aij e dos bi isto é, das relações dentro do sistema e 
entre o sistema e o mundo exterior. Esse sistema reve­
lará eqüifinalidade, quer dizer, o observador terá a im­
pressão que ele procura um estado final apropriado a si 
mesmo. Um observador ingênuo pode ser induzido a in­
vocar noções teleológicas ou atribuir comportamento 
intencional a um sistema desse tipo, enquanto que a 
análise matemática mostra que o comportamento apa­
rentemente intencional do sistema é conseqüência estri­
tamente deduzida do fato de ser ele aberto e não fechado.
A questão da existência de um estado constante in­
dependente das condições iniciais é somente uma das 
muitas perguntas que podemos formular com refe­
rência ao comportamento de um sistema. Outras ques­
tões importantes relacionam-se com a estabilidade dos 
estados constantes, se é que existem. Um estado cons­
tante é estável se pequenos afastamentos resultarem na
37
volta eventual do sistema ao mesmo estado firme. Se, 
no entanto, os pequenos afastamentos tendem a am­
pliar-se, de modo que o sistema se afaste ainda mais, o 
estado constante é instável. A seguir, pode haver vários 
estados constantes se as equações diferenciais que des­
crevem o sistema não forem lineares. O número e a esta­
bilidade dos estados constantes, bem como o comporta­
mento do sistema deslocando-se através de estados inter­
mediários no sentidode se aproximar ou de se afastar 
dos estados constantes, são, assim, completamente de­
terminados pela estrutura do modelo matemático que 
descreve o sistema.
Os aspectos matemáticos da teoria geral dos siste- 
mas são os que dizem respeito à estrutura dos modelos 
matemáticos que descrevem os sistemas. O deslocamento 
da atenção da natureza específica dos sistemas (físicos, 
biológicos, sociais) para sua estrutura matemática torna 
possível uma definição rigorosa de sistema, sugere meios 
e modos de vincular o ponto de vista organicista ao meca- 
nicista e abre excelentes oportunidades para o preenchi­
mento das lacunas entre as disciplinas especializadas.
Um sistema do ponto de vista matemático é uma 
parcela do mundo que, em um tempo dado, pode ser 
descrita conferindo valores específicos a um certo nú­
mero de variáveis. A totalidade desses valores constitui 
um estado do sistema. Uma teoria estática ou estrutural 
de um sistema é a totalidade de asserções que relacionam 
os valores dessas variáveis umas às outras, quando o 
sistema se encontra em um estado eleito para estudo 
(por exemplo, um estado de equilíbrio ou constante). 
Teoria dinâmica de um sistema é aquela que indica como 
as mudanças nos valores de algumas das variáveis de­
pendem dos valores ou das mudanças de valores de ou­
tras variáveis. Assim, uma teoria dinâmica é a totalidade 
das asserções das quais o comportamento do sistema, à
38
medida que ele muda de um estado para outro, pode 
ser matematicamente deduzido.
Quanto mais complexo for o sistema, mais variáveis 
são necessárias para descrever um estado desse sistema. 
Quanto mais organizado o sistema, melhor equipado 
para resistir às perturbações na “ perseguição a um obje­
tivo escolhido” . A frase entre aspas deve ser entendida 
metaforicamente. Não é necessário supor em um sistema 
qualquer esforço consciente para atingir objetivos. Um 
objetivo, em seu sentido geral, é meramente um estado 
final para o qual um sistema tende em virtude de sua 
organização estrutural (como ficou claro no exemplo 
da reação química ac im a).
Organização e complexidade são correlatas. Por 
exemplo, a essência da automação é a capacidade das 
máquinas de se ajustarem às condições mutantes (como 
numa refinaria de petróleo automatizada). Os ajusta­
mentos exigem sentidos receptores (que lêem no ambi­
ente) , redes de comunicações, dispositivos de correção, 
etc. Tudo isso contribui para a maior complexidade, pois 
o estado de cada dispositivo é uma variável adicional 
no estado do sistema.
Como já foi indicado, o ponto de vista da teoria dos 
sistemas proporciona um laço entre a posição mecani­
cista, que não abrange as operações de um sistema com­
plexo como um todo, e a organicista, que confia em no­
ções teleológicas ad hoc e, muitas vezes, sacrifica o rigor 
ao interesse de descrições sugestivas do comportamento 
dos sistemas. A vantagem mais importante da posição 
matemática da teoria dos sistemas está na função natu­
ralmente integrativa da teoria matemática.
Do ponto de vista de uma teoria matemática, quanto 
mais estreitamente relacionados forem dois sistemas,
39
maior semelhança estrutural existirá entre os modelos 
matemáticos que os descrevem. Como exemplo, consi­
deremos o seguinte sistema de equações diferenciais:
(4)
Esse sistema é do segundo grau, pois os produtos 
de pares de variáveis aparecem à direita, além das pró­
prias variáveis e dos termos constantes. Esse sistema de 
equações é uma descrição razoável de um sistema de 
reações químicas em que as reações ocorrem em conse­
qüência de colisões entre moléculas das diferentes subs­
tâncias que aí entram. As freqüências dessas colisões são 
aproximadamente proporcionais aos produtos das con­
centrações correspondentes, refletidas nos termos qua­
dráticos. Os termos lineares representam as reações 
monomoleculares, enquanto que os termos constantes 
representam, como no exemplo anterior, fontes e esca­
pamentos. Todavia, nada existe nessas indicações que 
sugira uma interpretação em termos de reações quími­
cas. As variáveis poderiam muito bem representar popu­
lações de várias espécies de organismos em um sistema 
ecológico. Se os membros dessas populações se pilham 
uns aos outros, as taxas de aumento ou redução de po­
pulação podem muito bem depender das freqüências com 
que os indivíduos colidem, pois uma colisão entre um 
predador e sua presa pode resultar na aniquilação da 
presa e aumento da massa do predador. Analogamente, 
a reprodução depende de encontros de membros das 
mesmas espécies de sexos opostos. Portanto, as equações 
(4) podem representar um modelo grosseiro de um sis­
tema ecológico, tanto como de um sistema químico.
Por fim, consideremos uma população de seres hu­
manos divididos em grupos, cada qual caracterizado por 
um certo padrão de comportamento ou um complexo de 
opiniões ou crenças (isto é, membros de subculturas,
40
religiões, partidos políticos e semelhantes). Os contatos 
entre os membros podem resultar em deslocamentos ou 
modificações de padrões de comportamento, crenças e 
semelhantes e, conseqüentemente, em aumento ou de­
créscimo das subpopulações. Assim, as equações (4) po­
dem ser imaginadas como sendo também um modelo de 
processo social.
Com que precisão um modelo matemático pode des- 
crever um sistema real é uma questão importante, mas 
não central, em uma teoria geral de sistemas. Para res­
ponder a ela é necessário um estudo empírico intensivo 
do sistema em questão. Esse estudo tem seu centro no 
conteúdo dos eventos examinados. A teoria geral dos 
sistemas, contudo, preocupa-se primordialmente com as 
estruturas de sistemas definidas pelas relações que as 
partes de um sistema têm entre si, com o modo como 
essas relações determinam o comportamento dinâmico 
do sistema (sua passagem de um estado para outro), e 
com a história do sistema, isto é, seu próprio desenvolvi­
mento como resultado das interações entre ele e o meio.
Uma teoria geral matemática dos sistemas fornece 
descrições desses três aspectos, isto é, estrutura, com­
portamento e evolução, em linguagem matemática abs­
trata. Uma tipologia dos sistemas vem a ser, assim, uma 
tipologia matemática. Dois sistemas são idênticos se as 
estruturas matemáticas de seus modelos respectivos fo- 
rem idênticas (ou isomórficos. para utilizar a expressão 
matemática). O grau de semelhança entre os sistemas 
é estimado pelo grau em que seus modelos matemáticos 
estiverem relacionados entre si.
O deslocamento da ênfase do conteúdo para a estru­
tura dos eventos auxilia na resolução de muitas contro­
vérsias de fecundidade questionável. Por exemplo, à luz 
da aproximação organísmica uma teoria dé sistemas 
sociais sugere muitas analogias. Uma instituição pode
41
facilmente ser imaginada como um organismo. Sua es­
trutura funcional pode ser compreendida como corres­
pondendo à anatomia, seu modus operandi à físiologia 
ou psicologia, sua história ao desenvolvimento do orga­
nismo, enquanto que a história do tipo de instituição 
pode ser comparada à evolução do organismo. A analogia 
pode ser extremamente sugestiva, mas a sugestibilidade 
não é um índice de credibilidade. Não se sabe até que 
limites a analogia pode ser levada; nem como responder 
aos que renegam qualquer teoria inspirada por mera 
analogia. Afinal de contas, uma instituição não é um 
organismo biológico e a semelhança posta em relevo pela 
analogia pode ser tão espúria como a semelhança de 
algumas formações de nuvens com animais, ou do trovão 
com uma explosão de mau humor.
Outro exemplo familiar de acalorada controvérsia 
com relação à validade da analogia é a celeuma em torno 
da questão de ser o cérebro um computador. Essa con­
trovérsia acha-se obscurecida por contraditórias convic­
ções filosóficas. Existem alguns que se deleitam com a 
idéia dereduzir todos os fenômenos, inclusive as opera­
ções mentais e as emoções, a eventos físicos; e existem 
outros que repelem essa idéia. O teórico de sistemas 
gerais contorna esse assunto. Interessa-se pelo grau até 
onde a operação de um cérebro pode ser assemelhada à 
de um computador. A resposta a essa questão não está 
no que “ são” um cérebro e um computador (essas ques­
tões são vestígios da metafísica pré-científica), mas, an­
tes, o que os cérebros e computadores fazem. Na medida 
em que algumas operações do cérebro podem ser repre­
sentadas como o comportamento de um sistema com 
uma estrutura hipotética e propriedades dinâmicas, e 
na medida em que esse sistema pode ser simulado por 
um computador, tanto o cérebro como o computador pa­
recem ser realizações de um certo tipo de sistema geral. 
(Note-se que não se trata da mesma coisa que dizer que 
o cérebro é um computador.) O limite real até onde essa
42
analogia pode ser levada torna-se uma questão empírica, 
mais do que metafísica. É claro que uma reintrodução de 
um problema facilita uma busca significativa de novos 
conhecimentos, tanto no reino do processamento da in­
formação automática (tecnologia de computadores) co­
mo no da fisiologia cerebral. Nesse contexto, o conceito 
de quantidade de informação, acima debatido, serve 
para ligar estruturas teóricas de conteúdo amplamente 
diverso mas com estruturas semelhantes.
Ainda um outro exemplo de esclarecimento de certos 
problemas de longa data pela colocação de idéias de teo­
ria de sistemas em uma estrutura matemática é visto 
nas recentes aproximações matemáticas de certos aspec­
tos das relações internacionais. A idéia de equilíbrio de 
poder foi, durante muito tempo, importante na concei- 
tuação das relações internacionais. A idéia deriva clara­
mente de uma analogia com o equilíbrio físico. Como 
tal, está aberta a todas as objeções levantadas contra o 
pensamento analógico. É, contudo, possível construir 
vários modelos matemáticos de relações de poder entre 
Estados. O objetivo é ver que conseqüências teóricas po­
dem ser rigorosamente (isto é, matematicamente) ti­
radas dos vários modelos. Já vimos como a análise mate­
mática traz ao primeiro plano distinções cruciais entre 
equilíbrios estáveis e instáveis (estados constantes). A 
propriedade de estabilidade é uma propriedade geral dos 
sistemas. Se o conjunto das relações entre os estados 
que competem entre si pelo poder constitui um sistema, 
então este também tem certas propriedades de estabi­
lidade ou instabilidade, dependendo dos parâmetros de 
sua dinâmica.
Os sistemas econômicos são também caracterizados 
por graus de estabilidade ou instabilidade em certas fa­
ses de sua existência. Na medida em que certos aspectos 
de um sistema econômico (flutuação de níveis de pro­
dução, preços, ou capital de investimen to) podem se
43
r
enquadrar em um modelo matemático, as questões a 
respeito de seu equilíbrio e de sua estabilidade podem 
ser resolvidas por rigorosa dedução matemática, mais do 
que por conjeturas intuitivas.
Seria precipitado tirar conclusões definitivas acerca 
da estabilidade do sistema econômico ou internacional a 
partir das propriedades de vários sistemas hipotéticos 
oferecidos como modelos. No entanto, um exame dessas 
conseqüências puramente teóricas não pode deixar de ser 
instrutivo no sentido de ampliar o repertório conceituai 
dos teóricos. Os modelos matemáticos trazem ã nossa 
atenção aspectos de fenômenos que, de outra forma, po­
deriam não nos ter ocorrido.
Nestes últimos anos deu-se ênfase aos aspectos pro- 
babilísticos ou de estoque dos processos. Os modelos cor­
respondentes são baseados na suposição de que as tran­
sições de um sistema de Estado a Estado são governadas 
pelas probabilidades. Surge a questão: um sistema assim 
definido ainda é um exemplo de complexidade organi­
zada? (Pois comumente pensamos em organização em 
termos de contingências bem definidas de eventos, mais 
do que em termos de eventos determinados pela sorte.) 
Pode-se dar duas respostas: primeira, a distinção entre 
contingências determ in istas e probabilísticas não é 
acentuada. As probabilidades tendem para a certeza 
quando a probabilidade de um dos eventos possíveis se 
aproxima de um deles. Portanto, uma teoria probabilísti- 
ca de sistemas proporciona uma estrutura intermediária 
teórica útil entre o caos e a organização. Na verdade, 
o grau de organização de um sistema pode ser conveni­
entemente definido de acordo com o afastamento do 
comportamento observado de uma linha básica determi­
nada por eventos puramente fortuitos. Segunda, numa 
vasta população de sistemas, as probabilidades tornam- 
se freqüências e, assim, o determinismo é, em um certo
44
sentido, restabelecido nas distribuições das caracterís­
ticas do sistema observadas.
A introdução de modelos probabilísticos e de esto­
que para descrever sistema coloca todo o aparato con­
ceituai da teoria dos processos de estoque à disposição 
da teoria geral dos sistemas. Do mesmo modo que todos 
os outros conceitos matemáticos, os derivados da teoria 
dos processos de estoque são independentes de conteúdo
e, portanto, propiciam oportunidades adicionais para 
integração de teorias de conteúdos amplamente diferen­
tes. As estatísticas de acidentes, divórcios, greves, elei­
ções, etc., são todas deriváveis de modelos de estoque 
apropriados. Os parâmetros desses modelos constituem 
as características do sistema correspondente. Estes são 
parâmetros estruturais independentes do conteúdo e, 
portanto, blocos de construção adequados para as teorias 
unificadas correspondentes que atravessam os conceitos 
especiais derivados de conteúdos especiais.
Ao chamar a atenção para as vantagens metodoló- 
gicas da teoria geral dos sistemas, especialmente de suas 
formulações matemáticas, não devemos esquecer, natu­
ralmente, as limitações dessa posição. As conclusões a 
respeito das semelhanças estruturais entre dois ou mais 
sistemas são válidas apenas se os modelos matemáticos 
correspondentes~são representações suficientemente fiéis 
dos sistemas. De fato, entretanto, a formulação de um 
modelo matemático é, muitas vezes, tarefa extremamen­
te difícil. Alguns sistemas desafiam toda tentativa de 
descrição matemática. Até agora, todas as sugestões para 
a construção de modelos matemáticos de um cérebro per­
maneceram como meras sugestões. Não existe tal mode­
lo; nem tampouco parece factível, se por modelo se en­
tende mais que a descrição de algumas feições muito 
especiais de funcionamento neural em termos matemá­
ticos.
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Uma confiança demasiado forte na teoria geral ma­
temática dos sistemas, portanto, pode ter uma ou duas 
conseqüências infelizes. Primeira, longe de serem mo­
delos adequados, podem, contudo, ser levados muito a 
sério por falta de melhores modelos tratáveis. Segunda, 
porque pode-se desperdiçar esforços tentando sujeitar à 
análise matemática sistemas tão complexos que não po­
dem, de forma alguma, prestar-se a essas análises, com 
o conseqüente desprezo de outros enfoques, como, por 
exemplo, o enfoque puramente organicista que, afinal 
de contas, conheceu considerável sucesso na biologia 
clássica. Seria prudente, portanto, considerar a teoria 
geral matemática dos sistemas como um acréscimo im­
portante ao repertório conceituai do cientista, mais do 
que um método destinado a deixar na obscuridade todos 
os outros métodos mais antigos.
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