MEMORIAL DE CÁLCULO ESTRUTURA DE MADEIRA PARA TELHADO

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URI – UNIVERDIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS 
MISSÕES 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
CAMPUS DE FREDERICO WESTPHALEN 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRURAS DE AÇO E MADEIRA 
PROJETO DE COBERTURA EM MADEIRA 
 
 
 
 
 
DIEGO SPERANDIO 
EDSON DE ALMEIDA VARGAS 
JOÃO MOTTA 
MATHEUS PERTILE 
RONALDO PADILHA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Frederico Westphalen, Maio de 2016 
 
2 
 
 
DIEGO SPERANDIO 
EDSON DE ALMEIDA VARGAS 
JOÃO MOTTA 
MATHEUS PERTILE 
RONALDO PADILHA 
 
 
 
 
 
 
ESTRURAS DE AÇO E MADEIRA 
PROJETO DE COBERTURA EM MADEIRA 
 
 
 
Trabalho apresentado como requisito 
parcial para avaliação da disciplina de 
Estruturas de Aço e Madeira, na 
Universidade Regional Integrada do Alto 
Uruguai e das Missões, Campus de 
Frederico Westphalen pelo Departamento 
de Engenharias e Ciência da Computação. 
 
Orientador: Prof. Patrícia Tonon 
 
 
 
 
 
 
 
Frederico Westphalen, Maio de 2016
 
3 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
OBRA: Cobertura de Edificação em Madeira 
DISCIPLINA: Estruturas de Aço e Madeira 
PROFESSORA: Patrícia Tonon 
 
OBJETIVO 
O presente memorial de Cálculo tem por objetivo demonstrar o dimensionamento da 
cobertura  em madeira  de  uma  edificação,  como  parte  avaliativa  da Disciplina  de 
Estrutura de Aço e Madeira do Curso de Engenharia Civil da URI‐FW. 
 
CARACTERÍSTICAS DA EDIFICAÇÃO  
Trata‐se de uma edificação de 8x14m com área de 112m². 
Coberto em madeira Angelin‐pedra 694 kgf/m³ e Pinus Eliotti= 560 kgf/m³. 
 A inclinação utilizada recomendada pelo fabricante das telhas foi de 45%. 
Carga de Vento Considerada ‐50 kgf/m². 
Demais  dados  Considerados  estão  indicados  no  momento  de  utilização  nos 
cálculos. 
 
DETALHES GENÉRICOS EXECUTIVOS 
 
 
Detalhe Genérico da Trama do Telhado. S/Escala. 
4 
 
 
Detalhe Genérico da Acomodação das Telhas. S/Escala. 
 
 
Vista superior da Cobertura. S/Escala. 
 
Corte Perpendicular a Tesoura. S/Escala. 
5 
 
Dimensionamento das Terças 
 
A terça foi considerada Biapoida, para a pior condição possível. 
AƵ ࢘ࢋࢇ ࢊࢋ ࡭࢈࢘ࢇ࢔ࢍê࢔ࢉ࢏ࢇ  = ૚, ૝૟࢓. ૛, ૙૙࢓ = ૛, ૢ૛࢓  
 
Levantamento dos carregamentos permanentes: 
 
1) Carregamentos devido ao seu peso próprio da terça: 
 
 Peso específico Madeira Angelim‐pedra = 694 kgf/m³ 
 Seção das terças = 6 cm x 16 cm 
 
ݍ݌݌ ൌ 694 ൬2,0 ∗ 0,06 ∗ 0,162,0 ൰ ൌ 6,66݂݇݃/݉ 
 
2) Carregamentos devido às ripas: 
 
 Peso específico Pinus Eliotti= 560 kgf/m³ 
 Galga 36 cm 
 Seção ripas = 1,5 cm x 5 cm 
 
ݍݎ݅ ൌ ൬1,460,36൰ ∗ 560 ∗ ൬
2,0 ∗ 0,015 ∗ 0,05
2,0 ൰ ൌ 1,70݂݇݃/݉ 
 
3) Carregamentos devido aos caibros: 
 
 Peso específico Angelim‐pedra= 694 kgf/m³ 
 Distância entre caibros = 0,60 cm 
 Seção ripas = 5 cm x 6 cm 
 
ݍܿܽ ൌ ൬ 2,00,60൰ ∗ 694 ∗ ൬
1,46 ∗ 0,05 ∗ 0,06
2,0 ൰ ൌ 5,07݂݇݃/݉ 
 
4) Carregamentos devido ao forro: 
 
 Peso específico Angelim‐pedra= 694 kgf/m³ 
 Espessura 10 mm 
 
ݍ݂݋ ൌ 694 ∗ ൬2,0 ∗ 1,46 ∗ 0,012,0 ൰ ൌ 10,13݂݇݃/݉ 
 
 
 
6 
 
5) Carregamentos devido as telhas: 
 
 Peso por m²= 49 kgf/m² 
 
ݍݐ݁ ൌ 49 ∗ ൬2,0 ∗ 1,462,0 ൰ ൌ 71,54݂݇݃/݉ 
 
6)  Carregamento total permanente: 
 
ݍtot ൌ 6,66 ൅ 1,70 ൅ 5,07 ൅ 10,13 ൅ 71,54 ൌ 95,10݂݇݃/ ݉ 
 
 
Levantamento dos carregamentos acidentais: 
 
1)  Vento de Sucção: 
 
 Carga por m²= ‐50 kgf/m² 
 
ݍݒݏ ൌ െ50 ∗ ൬2,0 ∗ 1,462,0 ൰ ൌ െ73,00 ݂݇݃/݉ 
 
2) Carga concentrada de 1 kN na posição mais desfavorável – NBR 6120 
 
Item 2.2.1.4 Todo elemento isolado de coberturas (ripas, terça, e barras de banzo superior de 
treliças) deve ser projetado para receber, na posição mais desfavorável, uma carga vertical de 
1kN, além da carga permanente. 
 
 
Decomposição dos carregamentos em x e y 
 
Ângulo Formado pela treliça com inclinação de 45%  α = 24,23° 
 
 Carregamento permanente total (qtot) 
Fx = 95,10 * sen 24,23° = 39,03 kgf/m 
Fy = 95,10 * cós 24,23° = 86,72 kgf/m 
 
 Carregamento acidental vento sucção (qsuc) 
Fx = ‐ 73,00  * sen 24,23° = ‐ 29,96 kgf/m 
Fy = ‐ 73,00  * cos 24,23° = ‐ 66,57 kgf/m 
 
 Carregamento acidental (qcon) 
Fx = 100 * sen 24,23° = 41,04 kgf 
Fy = 100 * cos 24,23° = 91,19 kgf 
 
 
 
 
7 
 
Momentos combinados em torno de x 
 
 Momento em torno do eixo x – Combinação com vento como variável principal: 
 
ܯ݀, ݔ ൌ 1,3 ∗ ቆ86,72 ∗ 2²8 ቇ ൅  1,4 ∗ ቆ0,75 ∗
െ66,57 ∗ 2²
8 ൅ 0,4 ∗
91,19 ∗ 2
4 ቇ ൌ 46,95 ݂݇݃.݉ 
 
 
 Momento em torno do eixo x – Combinação com 1 kN como variável principal: 
  
ܯ݀, ݔ ൌ 1,3 ∗ ቆ86,72 ∗ 2²8 ቇ ൅  1,4 ∗ ቆ
91,19 ∗ 2
4  ൅ 0,5 ∗
െ66,57 ∗ 2²
8 ቇ ൌ 96,90 ݂݇݃.݉ 
 
 
Momentos combinados em torno de y 
 
 Momento em torno do eixo x – Combinação com vento como variável principal: 
 
ܯ݀, ݕ ൌ 1,3 ∗ ቆ39,03 ∗ 2²8 ቇ ൅  1,4 ∗ ቆ0,75 ∗
െ29,96 ∗ 2²
8 ൅ 0,4 ∗
41,04 ∗ 2
4 ቇ ൌ 21,13 ݂݇݃.݉ 
 
 
 Momento em torno do eixo x – Combinação com 1 kN como variável principal: 
 
ܯ݀, ݕ ൌ 1,3 ∗ ቆ39,03 ∗ 2²8 ቇ ൅  1,4 ∗ ቆ
41,04 ∗ 2
4 ൅ 0,5 ∗
െ29,96 ∗ 2²
8 ቇ ൌ 43,61 ݂݇݃.݉ 
 
 
Tensões 
 
 Tensões (tração e compressão) na direção de maior inércia: 
 
 
σ݉ݔ, ݀ ൌ ൬ܯ݀, ݔ  ݕI ൰ ൅  ൬
96,90 ∗ 0,08
2,048ݔ10^ െ 5൰ ൌ 378515,625
݂݇݃
݉2 ൌ 3,78 ܯܲܽ 
 
ܫ ൌ ቆܾ ∗ ݄³12 ቇ ൌ ቆ
0,06 ∗ 0,16³
12 ቇ ൌ 2,048ݔ10^ െ 5 ݉⁴ 
 
 Tensões (tração e compressão) na direção de menor inércia: 
 
σ݉ݕ, ݀ ൌ ൬ܯ݀, ݔ  ݕI ൰ ൅  ൬
43,61 ∗ 0,03
2,88ݔ10^ െ 6൰ ൌ 454270,83
݂݇݃
݉2 ൌ 4,54 ܯܲܽ 
 
ܫ ൌ ቆܾ ∗ ݄³12 ቇ ൌ ቆ
0,16 ∗ 0,06³
12 ቇ ൌ 2,88ݔ10^ െ 6 ݉⁴ 
 
 
 
 
 
8 
 
Cálculo de esforço resistente a compressão da madeira: 
 
 Classe da madeira C40 fc0k = 40 Mpa 
 Carregamento de longa duração Kmod1 = 0,70 
 Classe de umidade 1 e Madeira serrada Kmod1 = 1,0 
 Madeira de segunda categoria Kmod3 = 0,80 
 
݂ܿ0, ݀ ൌ 0,56 ∗ 40
1,4
ൌ 16 ܯܲܽ 
 
 
Cálculo de esforço resistente a tração da madeira 
 
݂ܿ0, ݀ /݂ܿ0, ݀ ൌ 0,77 
 
݂ܿ0, ݀ ൌ 16
0,77
ൌ 20,78 ܯܲܽ 
 
 
 
Verificação dos Esforços 
 
 
 
૜, ૠૡ
૚૟ ൅ ૙, ૞ ∗
૝, ૞૝
૚૟ ൑ ૚ ൌ ૙, ૜ૠૡ  ൑ ૚ ࡻ࢑ ࡭࢚ࢋ࢔ࢊࢋ! 
 
૙, ૞ ∗ ૜, ૠૡ૚૟ ൅
૝, ૞૝
૚૟ ൑ ૚ ൌ ૙, ૝૙  ൑ ૚ ࡻ࢑ ࡭࢚ࢋ࢔ࢊࢋ!  
 
 
 
 
 
 
9 
 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NORMAIS 
 
Tesoura:  
 
 
Corte Perpendicular a Tesoura. S/Escala. 
 
Treliças afastadas a cada 2,0 m. 
 
Peso próprio dos componentes da treliça: 
 Material: Madeira Angelim pedra 694 kgf/m3. 
 Dimensões seção banzo inferior e superior: 10 x 15 cm. 
 Dimensões seção montantes e diagonais: 10 x 10 cm. 
 
 
 
Contribuição de cada barra no nó 
 
 
Divisão da Treliça para o Cálculo. S/Escala. 
 
10 
 
 
Tabela Excel com os Cálculos. 
 
CARGAS DEVIDO AOS CARREGAMENTOS VINDOS DA TERÇA 
 
Considerando os carregamentos distribuídos nas terças de: 
 
 Qtot = 95,10 kgf/m 
 Qsuc = ‐ 73,00 kgf/m 
 Qcon = 1kN = 100 kgf 
 
 
Teremos como reações nas terças mais solicitadas e consequentemente como cargas 
aplicas nas treliças (nos de 2 a 6): 
 
 Rtot = 95,10 * 2,0/2 = 95,10 Kgf 
 Rsuc= ‐ 73,00 * 2,0/2 = ‐ 73,00 Kgf 
 Rcon = 100/2 = 50 Kfg 
 
 
Nos nós 1 e 7 teremos (metade da área de influencia): 
 
 Rtot = 95,10/2 = 47,55 Kgf 
 Rsuc= ‐ 73,00/2 = ‐ 36,50 Kgf 
 Rcon = 50 Kfg 
 
 
 
 
 
 
11 
 
COMBINAÇOES: 
 
Combinação 1 : Vento como ação variável principal: 
 
  
Combinação 2: Carga variável vertical concentrada como ação principal: 
 
  
 
 Carga  Permanente  G  (carregamento  devido  aos  esforços  permanentes  na  terca  e 
peso próprio da treliça); 
 Ação Variável Q decorrentes ao uso normal da construção (carga concentrada de 1 
kN); 
 Ação VariávelW causada pelo efeito do vento (vento de succao); 
 
 
 
COMBINACAO DOS ESFORCOS NOS NÓS 
 
 
Tabela Excel com os Cálculos. 
Exemplo Para o nó 1: 
Combinação 1: 
F1=1,3*(14,52+47,55)+1,4*(0,75*‐36,30+0,4*50)= 70,37 Kgf 
 
Combinação 2: 
F1=1,3*(14,52+47,55)+1,4*(50+(‐36,30*0,5))=125,14 Kgf 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
LANCAMENTO DOS CARREGAMENTOS NO FTOOL 
 
 
 
Carregamentos no FTOOL. 
 
LANCAMENTO DOS DADOS NA TABELA EXCEL 
 
 
Tabela Excel com os Cálculos. 
13 
 
BARRAS COM MAIRES TENSÕES: 
Barras Banzo: 
Tração: Barra 2 e 5 = 0,686 MPa 
Compressão: 7 e 12 = ‐0,753 Mpa 
Barras Montantes E Diagonais: 
Tração: Barra 17 = 0,37  MPa 
Compressão: 16 e 18 = ‐0,25 Mpa 
 
Barras Banzo – Tração 
 
 Para tração o esforço resistente foi obtido igual: ft0,d = 16, 16 Mpa 
 E o esforço solicitante Maximo: ᆓ t d = 0,686 MPa 
ᆓ t d ≤ f t0,d 
0,686 ≤ 16,16 ok! 
 
Barras Banzo – Compressão 
 
 Para compressão o esforço resistente foi obtido igual: fc0,d = 16,0 Mpa 
 E o esforço solicitante Maximo: ᆓ N d = ‐0,753 Mpa 
 Entretanto se  faz necessário realizar a avaliação da estabilidade da peca. Como λ= 
50,58 a peca se encaixa como medianamente esbelta e deve se verificar a seguinte 
equação: 
 
  
 
 Como:                                              Md = N d e d 
 
 
 N d e um valor conhecido, então resta encontrar o valor de e d. 
 
 
  
14 
 
 
DETERMINAÇÃO DO MODULO DE ELASTICIDADE EFETIVO: 
 
 
 Modulo de elasticidade a flexão Angelim Pedra Em = 11572 MPa 
 A norma estipula que o modulo de elasticidade a compressão paralela as fibras pode 
ser obtido através da seguinte relação: 
 
Em = 0,90*Ec0,m 
Ec0,m = 11572/0,9 = 12867,78 MPa 
 
 Necessitamos do valor de Ec0,ef que e obtido da seguinte forma: 
 
Ec0,ef = Kmod*Ec0,m 
Ec0,ef  = 0,56*12867,78 = 7200,35 MPa 
 
 
Carga critica de flambagem (FE) 
 
 
ࡲࡱ ൌ ࣊² ∗ ࡱࢉ૙, ࢋࢌ  ∗ ࡵࡸ૙²   
ࡲࡱ ൌ ࣊² ∗ ૠ૛૙૙, ૜૞ ∗ ሺ૚૞૙ ∗ ૚૙૙
૜/૚૛ሻ
૚૝૟૙² ൌ ૝૚૟ૠ૜૛, ૠૠࡺ   
Excentricidade e1 
 
e1= e i + ea 
 
ࢋ ࢏ ൌ ࡹ૚ࢊࡺࢊ ൌ
૙
ି૙,ૠ૞૜ = 0 
 
ࢋ ࢇ ൌ ࡸ૙૜૙૙ ൌ
૚૝૟૙
૜૙૙  = 4,87mm  
e1= 0 + 4,87 = 4,87mm 
 
Excentricidade ed 
 
܍܌ ൌ ૝, ૡૠ ൬ ૝૚૟ૠ૜૛, ૠૠ૝૚૟ૠ૜૛, ૠૠ െ ૛૞૛૙૙൰ ൌ ૞, ૚ૡ࢓࢓ 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Calculo de Md e ᆓmd 
 
ۻ܌ ൌ ૛૞૛૙૙ ∗ ૞, ૚ૡ ൌ ૚૜૙૞૜૟ ࡺ.࢓࢓ 
 
ો࢓ࢊ ൌ േࡹࢊ ∗ ࢟࢓࢏࢔ࡵ࢓࢏࢔ ൌ
૚૜૙૞૜૟ ∗ ૞૙
ሺ૚૞૙ ∗ ૚૙૙૜/૚૛ሻ  ൌ േ૙, ૞૞ ࡹ࢖ࢇ 
 
 
 
 
VERIFICACAO FINAL: 
 
  
െ૙,ૠ૞૜െ ૙,૞૞ ≤ ૚૟ 
 
െ૚, ૜૙ ≤ ૚૟ OK!